đồ họa cơ bản đại học Bách Khoa Hà Nội

Pg1 + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư II và góc phần tư IV thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.Pg2 Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳ

Phần 1 HÌNH HỌA

Chương 1

Mở đầu

Cơ sở của biểu diễn

1.1 Giới thiệu môn học

Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy) được sử dụng

trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế

Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều còn hầu hết vật

thể đều là các vật thể 3 chiều

Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3 chiều lên mặt

phẳng 2 chiều?

Hình họa

Gaspard Monge

Đối tượng môn học

- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt

phẳng

- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng

1.2 – Cac phep chieu

1.2.1 Phép chiếu xuyên tâm

+ Điểm S gọi là tâm chiếu

+ Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của

điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π

+ Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm

A

A

A’

Hình 1.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

S

П

F D C

П

П

1.2.2- Phép chiếu song song

a) Xây dựng phép chiếu

- Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s

không song song mặt phẳng Π và một

điểm A bất kỳ trong không gian

- Qua A kẻ đường thẳng a//s A’ là giao

của đường thẳng a với mặt phẳng Π

* Ta có các định nghĩa sau:

+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình

chiếu

+ Đường thẳng s gọi là phương chiếu

+ Điểm A’ gọi là hình chiếu song song

của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π

theo phương chiếu s

+ Đường thẳng a gọi là tia chiếu của

điểm A

A

A’

Hình 1.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

s

П

a

A

A’

Hình 1.4a,b Tính chất phép chiếu song song

b) Tính chất phép chiếu

- Nếu đường thẳng AB không song song

với phương chiếu s thì hình chiếu song song

của nó là đường thẳng A’B’

- Nếu CD song song với phương chiếu s

thì hình chiếu song song của nó là một điểm

C’=D’

- Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’

+ Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi:

P

K’ I’

MNQ'

P'

N'M'

Q'//P'N'M'







= IK K'

I'

//IK K'

I'

MB

AM B'

M'

M' A'

=

1.2.3- Phép chiếu vuông góc

- Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc

biệt của phép chiếu song song khi phương

chiếu vuông góc với mặt phẳng hình

chiếu

- Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính

chất của phép chiếu song song, ngoài ra

- Sau đây là những ứng dụng của phép

chiếu vuông góc mà ta gọi là phương

Chương 2 Biểu diễn liên thuộc

П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay

được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2

trùng vớiП1 Ta nhận được đồ thức của điểm

A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)Hình 2.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm

- A 1 : hình chiếu đứng của điểm A

- A 2 : hình chiếu bằng của điểm A

- Gọi A x là giao của trục x và mặt phẳng

* Độ cao của một điểm

- Ta có: gọi là độ cao của

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

trục x

Hình 2.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm

Ax 1= 2

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

trục x

*Chú ý: Với một điểm A trong không gian

có đồ thức là một cặp hình chiếu A 1 , A 2

Ngược lại cho đồ thức A 1 A 2 , ta có thể

xây dựng lại điểm A duy nhất trong

không gian Như vậy đồ thức của một

điểm A có tính phản chuyển

Hình 2.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

A2

Π2

A A A

Π1

Π2

b)

A1

b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng

П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi một

+ Gọi x là giao điểm của П1 vàП2 (y = П1∩П2)

+ Gọi y là giao điểm của П2 vàП3 (y = П2∩П3)

+ Gọi z là giao điểm của П1 vàП3 (z = П1∩П3)

- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng

П1,П2 vàП3 ta nhận được các hình chiếu A1 ,

A2 và A3

- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng

П2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3

quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên

Hình 1.2.a cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng

với П1 Ta nhận được đồ thức của điểm A

trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)

Hình 2.2a,b Xây dựng đồ thức của một điểm

y

y O

Az

Ay

AyO

dóng thẳng đứng

+ A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục x gọi là đường

dóng nằm ngang Hình 2.2a,b Xây dựng đồ thức của một điểm

y

y O

Az

) AA (A y

Ay

) AA (A x

Ax

3 1

3 2

2 1

+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm

phía bên trái П3

+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm

phía bên phải П3

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

y

y O

A A A

Az 1 = y 2 = x = 3

A2

+ Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất (I)

+ Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai (II)

+ Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba (III)

+ Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư (IV)

Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

Hình 2.3 Góc phần tư I, II, III, IV

A2

Π 1

Π 2 ( I )

( IV ) ( III )

b) – Mặt phẳng phân giác

- Có hai mặt phẳng phân giác

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành

các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I (Pg1)

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)

Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng

phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)

2.1.3 Bài toán: Tìm hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức

Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu

cạnh của điểm đó trên đồ thức

Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức

x(+) Ax

A2

A3z(+)

Ez=Ey

E1

Δ Δ’

2.2 Đường thẳng

2.2.1 Biểu diễn đường thẳng

Vì một đường thẳng đươc xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một

đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt

thuộc đường thẳng đó

Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;

- l 1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng

) A , A(A

B A AB

2 1

2 1

Chú ý: Nếu từ hình chiếu l 1 và l 2 của đường

thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất

trong không gian thì đồ thức đường thẳng có

tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần

2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng

a)- Trường hợp tổng quát

Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh

là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng

Hình 2.8 Điểm thuộc đường thẳng

1 1

A )

/ / (

A

l

l l

l

b)- Trường hợp đặc biệt (Đường thẳng song song với П 3 )

Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3 được gọi là đường cạnh

y

O F

x

F2

E3z

PQ I

Q P I

PQ I

Q P I

3 3 3

3 3 3

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện

Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)

Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh Nếu:

Hình 2.10 Cách 1 Xét điểm thuộc đường cạnh

y x

Q2

P3z

1 1 1

Q P I

Q P I

I2

Q1

IQ

I

P

IQ

I

PI

PQ

IQ

I

P

IQ

I

PI

2 2

2 2 1

1

1 1

2 2

2 2 1

1

1 1

Hình 2.11 Cách 2 Xét điểm thuộc đường cạnh

- Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với

P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90o )

- Trên t lấy:

- Vẽ

2 2

2 2 1

QPQI

IPIP

I

PQ

⇔

- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau'I1 ≠ I1 ⇔ I ∈ PQ

- Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau'I1 ≡ I1

Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành

cách xác định khác Do đó phương pháp giải bài toán không

phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng

b) Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng

không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức:

các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình

chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng

I

I b

a

I b

a )

//

b , a (

I b a

2 1

2 2

2

1 1

Trường hợp đặc biệt

Một trong hai đường thẳng là đường cạnh

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và

Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay

không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường

cạnh đã xét ở trên

Hình 2.15 Hai đường thẳng cắt nhau

(một trong hai đường thẳng là đường cạnh)

b //

a )

/ b , a (

b //

a

c) Điều kiện để hai đường thẳng song song

* Định nghĩa:

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng

cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm

chung nào

* Điều kiện song song của hai đường thẳng trên

đồ thức

- Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không

phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ

thức các hình chiếu đứng của chúng song song và

các hình chiếu bằng của chúng cũng song song

* Trường hợp đặc biệt

Cả hai đường thẳng là đường cạnh

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường

cạnh RS Ta có: P1Q1//R1S1

P2Q2//R2S2Xét xem PQ có song song với RS không?

Xét xem PQRS có cùng mặt phẳng hay không?

Hình 2.17 Xét xem hai đường cạnh có song song hay không?

RS //

PQ x

I

I

I R

Q S

P

I R

Q S

P

2 1

2 2

2 2

2

1 1 1 1

PQ S

R //

- Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại

αx∈x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c)

- Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng

- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2

2.3.2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)

a) Bài toán cơ bản 1

Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó Biết hình chiếu đứng l 1 , tìm hình chiếu bằng l 2 (Hình 3.11)

Hình 3.11 Bài toán cơ bản 1

b) Bài toán cơ bản 2

(bài toán cơ bản 1)

- K2 ∈ l 2 (Điểm thuộc đường thẳng)

Hình 3.13 Bài toán cơ bản 2

2.4 Đa diện

Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó

Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy (Hình 5.1.a)

- Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b)

Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh

và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện

2.5 Mặt cong

2.5.1 Biểu diễn mặt cong

Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó

Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón)

- Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh

Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó

b) Bài toán điểm thuộc mặt

Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt

của hình chóp S.ABC Biết M1, N1, P1, Q2, tìm

hình chiếu còn lại của các điểm đó (Hình 5.2)

Giải:

* Tìm M 2 : Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi

qua đỉnh S, đó là SE và SE’

* Tìm N 1 : Gắn điểm N vào đường thẳng SA

* Tìm P 2 : Gắn P vào đường thẳng song song với

cạnh đáy của hình chóp Ví dụ PJ: có P2 và P’2

* Tìm Q 1 , ngược lại: Có thể gắn Q vào đường

thẳng qua đỉnh S Ví dụ SI hoặc gắn vào đường

thẳng song song cạnh đáy hình chóp

Lưu ý có một điểm Q’1 thuộc đáy chóp

Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc

các mặt của lăng trụ Biết M1, N1, P1, Q2,

Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó

(Hình 5.3)

Giải:

* Tìm M 2 : Ta gắn điểm M vào đường thẳng

t song song với cạch bên của lăng trụ

* Tìm N 2 : Gắn điểm N vào đường thẳng a1

* Tìm P 2 : Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b).

các điểm bằng cách gắn các điểm vào

đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ

Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón.

Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các

điểm đó (Hình 6.2)

Giải:

- Tìm M 2 : Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M

- Tìm N 1 : Gắn N vào đường sinh SJ

- Tim P 2 : Vẽ đường tròn song song đáy chứa

Ví dụ 4: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ Biết M1,

N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3)

- Tìm M 2 : qua M1 vẽ đường sinh a1

Chân đường sinh: E1, E’1

Trên hình chiếu bằng có E2, E’2

Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2

Điểm thuộc mặt cầu

Ví dụ : Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu

Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các

điểm đó (Hình 6.4)

Giải:

- Tìm M 2 : Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu

sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song

2.6- Biểu diễn các đối tượng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)

2.6.1- Các đối tượng song song với mặt phẳng hình chiếu

c)- Trường hợp đặc biệt (Đường thẳng song song với П 3 )

Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3 được gọi là đường cạnh

y

O F

x

F2

E3z

- p1 và p2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x

- Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E3F3=EF

- Góc p3,z = p, П1= α

- Góc p3,y = p, П2= β

x //

B A )

( ABC ∈ α ⇔ 2 2 2 =

−

⊥

α 1

ABC C

B A )

( ABC ∈ ⇔ 1 1 1 =

nβ

−

β 2

ABC C

B A )

( ABC ∈ ⇔ 3 3 3 =

x n

(γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng

) (

) ( //

)

(

γ

γ γ

Chú ý:

x B

A2 2 ⊥

1

AB ⊥ ∏

xD

C1 1 ⊥

3

) ( γ ⊥ ∏

γ

∈

⇔ γ

y

x

A3z

=

−pγ,z , 1

x//

n ,x//

=

−pγ,y , 2

γ

2.7- Biểu diễn đường thẳng mặt phẳng vuông

góc với nhau

2.7.1 Định lý về điều kiện một góc vuông được

chiếu thành một góc vuông (Hình 2.20)

- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình

chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П

- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa

mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:

Hình 2.20 Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông

3)

90y'O' x'2)

90 xOy)1

O’

y’ O

x’

x

y

a) П

Chuyển sang đồ thức

- Trên đồ thức, để một góc vuông trong không gian được giữ nguyên là vuông thì một trong hai cạnh của góc phải là đường thẳng đồng mức (đường bằng, đường mặt, đường cạnh)

I

a //

h

90

aIh

2 2 2 2

K

b //

f

90

bKf

1 1 1 1

h

a //

h

h a

1

f

b//

f

fb

2.7.2 Định nghĩa và đinh lý về đường thẳng và mặt

phẳng vuông góc

*- Định nghĩa

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một

mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả

các đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Hình 3.38.a)

*- Định lý

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng

đó vuông góc với mặt phẳng (Hình 3.38.b)

*- Chuyển sang đồ thức

- Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau

của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường

mặt, đường cạnh)

- Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà

cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt

nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó

)(a)

(α ⇔ ⊥∀ ∈ α

l

Hình 3.38 Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

Ví dụ: Qua điểm M dựng đường thẳng l

vuông góc với mặt phẳng α(a,b)

2.7.3 Cách dựng đường thẳng l vuông góc

với mặt phẳng anpha (tiếp)

b) Mặt phẳng α là mặt phẳng chiếu (α vuông

góc với Π1 hoặc α vuông góc với Π2)

* Trường hợp α vuông góc với Π1

l vuông góc với mặt phẳng α khi và chỉ khi :

l1┴ α1 và l2// x

* Trường hợp α vuông góc với Π2

l vuông góc với mặt phẳng α khi và chỉ khi :

mặt phẳng α vuông góc với l thì α phải

vuông góc với Π1 , α1 suy biến thành

đường thẳng , α1┴ l1

* Trường hợp l // Π2

mặt phẳng α vuông góc với l thì α phải

vuông góc với Π2, α2 suy biến thành đường

Chương 3

Giao của các

đối tượng

3.1 Giao của mặt phẳng

cắt mặt phẳng

3.1- Mặt phẳng cắt mặt phẳng

Vấn đề đặt ra: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng

Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước