Toán hình trụ hình cầu hình nón ôn thi đại học và tốt nghiệp

cách giải và bài tập hình học chuyên đề về hình trụ,hình cầu,hình nón.Đó đây là phần ít thì đại học nên mọi người thường chủ quan tuy nhiên nó là phần đã từng thi. Tài liệu đi vào trọng tâm giúp hiểu nhất về phần này

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn III HÌNH CẦU - HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc  = 30 1/Tính thể tích khối chóp S.ABC 2/Tính Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp cho 3/Tính thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp cho 4/Tính diện tích xung quanh hình nón nội tiếp hình chóp cho 5/Tính thể tích khối nón nội tiếp khối chóp cho a3 a 21 ĐS 1/ VS ABCD = 4/ S XQ nón = 36 2a 2/ S XQ nón = a 3/ Vnón = 27 72 a 108 5/ Vnón = Bài 2: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm,bán kính đáy r = 25 cm a/ Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón b/ Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Hãy xác định thiết diện (P) với khối nón tính diện tích thiết diện ĐS: a/ Sxq  2514,5cm2; V  13089,969 cm3; b/ 500cm2 Bài 3: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = a ,bán kính đáy r = a a/ Tính diện tích toàn phần hình nón thể tích khối nón b/ Một thiết diện qua đỉnh hình nón tạo với đáy góc 600.Tính diện tích thiết diện 3 a ĐS : a/ Stp=  a (2  10) ; V= b/ 2a2 Bài 4: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh hình nón tính thể tích khối nón a 3 ĐS S XQ nón = 2a ; Vnón = Bài 5: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông cân có cạnh huyền a 1/Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón cho 2/Tính thể tích khối nón cho 3/Cho dây cung MN đường tròn đáy hình nón cho mp(SMN) tạo với mặt đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SMN 2a 2a a a  ĐS 1/ S XQ = ; STP nón = = (  1) 2a 2/ Vnón = 12 2 3/ S SMN = a2 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Bài 6: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A, B điểm thuộc đường tròn  đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO = 300;  SAB = 600 Tính diện tích xung quanh hình nón tính thể tích khối nón ĐS 1/ S XQ nón =  OA.SA = a 2/ Vnón =  OA SO = a Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông A, góc B = 600 Một hình nón nội tiếp hình chóp cho với bán kính đáy r, góc đường sinh đáy hình nón  1/Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón 2/Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp cho r ĐS 1/ S XQ nón = ; Vnón =C r tan  cos 2/ S XQ chóp =   cosr  1 2 ; Vchóp S ABC =    r tan  Bài 8: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); BD vuông góc với góc với BC.Biết AB = AD = a a/ Chứng minh mặt tứ diện tam giác vuông b/ Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón tạo thành quay tam giác ABD xung quanh cạnh AB ĐS: Sxq hình nón = rl   a.a  a 2 1 a Vkhối nón = r h  a a  3 Bài 9: Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r 1/Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình trụ 2/Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho 3/ Cho điểm A B nằm đường tròn đáy cho góc đường thẳng AB trục hình trụ 300 a)Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ b)Tính diện tích thiết diện qua AB song song với trục hình trụ c)Tính góc hai bán kính đáy qua A qua B ĐS 1) S XQ = 3r ; S T P =  r 2/ V = 3r  3/ a) d(AB, OO’) =  r = d(OO’, (ABA’)) ,với AA’ đường sinh hình trụ b) S td = r c) Góc (OA, O’B) = 600 Bài 10: Một hình trụ có hai đáy hình tròn (O;r) (O’; r) Khoàng cách đáy OO’ = r Một hình nón có đỉnh O’ đáy hình tròn (O;r) 1/Gọi S1 diện tích xung quanh hình trụ S diện tích xung quanh Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn hình nón Hãy tính S1 =? S2 2/Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành phần Tính tỷ số thể tích phần ĐS: 1/ S1 = 3r ; S = 2r 2/  S1 = S2 V1 = (với V1 thể tích khối nón V2 thể tích phần lại V2 khối trụ) Bài 11: Một khối trụ có chiều cao 20 cm có bán kính đáy bàng 10 cm Người ta kẻ hai bán kính OA O’B’ nằm hai đáy cho chúng hợp với góc 300.Cắt khối trụ mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ song song với trục khối trụ đó.Hãy tính diện tích thiết diện ĐS: 200  Bài 12: Một khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vuông a/ Tính diện tích xung quanh khối trụ b/ Tính thể tich hình lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho c/ Tính tỉ số thể tích hình lăng trụ nội tiếp hình trụ thể tích khối trụ ĐS a/ 4 r b/ 4r3 c/  Bài 13: Một hình trụ có bán kính đáy r =5 cm có khoảng cách hai đáy cm a/ Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ tạo nên b/ Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục cm.Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên ĐS: a/ Sxq= 2rl mà r=5 cm l=OO’=7cm nên Sxq = 2 5.7  70 (cm ) V= r 2l   52.7  175 (cm ) b/ Gỉa sử mặt phẳng (p) song song với trục OO’ cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật EFF’E’.Gọi I trung điểm EF OI  EF OI  EE’ nên OI  (EFF’E’).Suy OI khoảng cách từ OO’ đến (P).theo giả thiết OI=3cm Ta có:IE= r  OI =    EF  cm Vậy SEFF’E’=EF.EE’=8.7=56 cm Bài 14:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu trường hợp sau : a/ Đi qua đỉnh của hình lập phương b/ Tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương c/ Tiếp xúc với mặt bên hình lập phương ĐS : a/ S1(O; a ) với O trung điểm AC Gia sư Thành Được b/ S2(O; www.daythem.com.vn a ) a c/ S3(O; ) Bài 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên b Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ĐS : Goi H trọng tâm tam giác ABC I trung điểm SA tâm mặt cầu điểm O nằm đường cao SH cho OI vuông góc với SA,bán kính mặt cầu r = 3b 2 3b  a Bài 16: Ba đoạn thẳng SA,SB,SC đôi vuông góc với tạo thành tứ diện SABC với SA =a ,SB = b,SC = c.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ĐS : Goi M trung điểm AB I trung điểm SC Từ M dựng Mx vuông góc với mặt phẳng (ABC).Từ I dựng Iy song song với SM Tâm O mặt cầu giao Mx Iy,bán kính mặt cầu r = a  b2  c2 Bài 17: Cho hình chóp SABC cao SA = SB = SC = a có chiều cao h Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tính diện tích mặt cầu ĐS : R = a2 a4 ; S=  2h h Bài 18: Cho tứ diện ABCD có cạnh a có đường cao AH Gọi O trung điểm AH Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD ĐS : R = a Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có SA = a chiều cao hình chóp đáy ABCD hình thang vuông A B; AB = BC = a, AD = 2a Gọi E trung điểm AD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE ĐS : R = a 11 Bài 20: Cho mặt cầu S(O;r) điểm A biết OA = 2r.Qua A kẻ tiếp tuyến với mặt cầu B kẻ cát tuyến với mặt cầu C D.Cho biết CD = r a/ Tính độ dài đoạn AB b/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD ĐS : a/ r b/ r/2 Bài 21:Trong mặt phẳng (  )cho hình vuông ABCD có cạnh a.Trên đường thẳng Ax vuông góc với (  ) ta lấy điểm S tuỳ ý ,dựng mặt phẳng ( ) qua A vuông góc với đường thẳng SC.Mặt phẳng (  ) cắt SB, SC,SD B’,C’,D’ a/ Chứng minh điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ luôn thuộc mặt cầu cố định b/Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo thành Hướng dẫn giải: a/Ta có: BC  AB  BC  (SAB) Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn AC  SA  BC  AB' Ta lại có: AB’  SC  AB’  (SBC) Do đó: AB’  B’C Chứng minh tương tự ta có:  AD’  D’C.Vậy ABC = ABˆ ' C = ACˆ ' C  ADˆ ' C  ADˆ C  900 Từ  điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ nằm mặt cầu đường kính AC b/ Gọi r bán kính mặt cầu,ta có:r = AC a  2 a 2   2a Vậy S =  r =4      4 a 2   a V= r     3   Bài 22:Cho hình cầu tâm O bán kính r.Lấy điểm A mặt cầu gọi (  )là mặt phẳng qua A cho góc OA   300 a/Tính diện tích thiết diện tạo   hình cầu b/Đường thẳng  qua A vuông góc với mặt phẳng   cắt mặt cầu B.Tính độ dài đoạn AB Hướng dẫn giải: a/ Gọi H hình chiếu vuông góc tâm O mặt phẳng   Theo giả thiết ta có OAˆ H  300 Do đó:HA = OA cos 300 =r 3r Vậy diện tích thiết diện tạo   hình cầu S=  HA  b/ Mặt phẳng  ABO  qua tâm O hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn qua A B.Gọi I trung điểm đoạn AB ta có OI  AB.Vì AB//OH nên AIOH hình chữ nhật Do AI = OH = AO r  2 Vậy AB = 2AI = r Chú ý: Có thể nhận xét  OAB cân O OA  OB  góc OAˆ B  600 nên OAB tam giác  AB=AO=OB=r Bài 23:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a có đườngcao h a/ Một hình trụ có đường tròn đáy tiếp xúc với cạnh tam giác đáy gọi hình trụ nội tiếp lăng trụ Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp b/ Gọi I trung điểm cạnh BC.Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp nói theo đoạn thẳng.Tính độ dài đoạn thẳng 3 ah 3a  4h2 ĐS :a/ b/ 3 Bài 24:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn a/Tính diện tích xung quanh hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD A’B’C’D’ b/Tính diện tích mặt cầu qua tất đỉnh hình lập phương c/ Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC’ làm trục sinh cạnh AB Hướng dẫn giải: a/ Hình trụ có chiều cao h = a bán kính đáy r = a 2 Do ta có: Sxq=2 rh  a 2 b/Gọi I tâm hình lập phương.Tất đỉnh hình lập phương có khoảng cách đến I r= a nên chúng nằm mặt cầu tâm I bán kính a Ta có diện tích mặt cầu S=4 r  3a 2 c/Đường tròn đáy hình nón tròn xoay đình A tạo nên cạnh AB đường tròn ngoại tiếp  A’BD,tam giác có cạnh a có đường cao a Do đường tròn đáy hình nón có bán kính r’= a Vậy hình nón tròn xoay có đường sinh l =a có diện tích xung quanh a a a Sxq= r ' l   3 Bài 25:Cho tứ diện ABCD cạnh a.Gọi H hình chiếu vuông góc đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD) a/ Chứng minh H tâm đường tròn ngoại tiếp  BCD.Tính độ dài đoạn AH b/ Tính diện tích xung quanh thể tích khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp  BCD chiều cao AH Hướng dẫn giải: a/Vì AH  (BCD) AB=AC=AD nên HB=HC=HD.Vậy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.Trong tam giác BCD cạnh a,ta có 3a a a a   Vậy AH= AB  BH = a  3 b/ Sxq trụ =2 rl a a a a 2a 2  Ta có: r = ,l =AH= => Sxq=2  3 3 a V= r h  BH= Bài 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi A', B', C', D' trung điểm SA, SB, SC, SD Cmr A, B, C, D, A', B', C', D' thuộc mặt cầu tính diện tích mặt cầu Bài 27: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân cạnh huyền AB = 2a SA vuông góc với đáy a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn b/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC góc mp (ABC) (SAB) 300 ĐS : R = a 42 Bài 28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh tâm O hình vuông ABCD đáy hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’ Hướng dẫn giải: Khối nón có chiều cao a có bán kính đáy r = a 2 Sxq =  rl l = 3 a a a a = a2    = 2 a 2 V= Bh = r h     a = a 12 = a