cách giải và bài tập hình học chuyên đề về hình trụ,hình cầu,hình nón.Đó đây là phần ít thì đại học nên mọi người thường chủ quan tuy nhiên nó là phần đã từng thi. Tài liệu đi vào trọng tâm giúp hiểu nhất về phần này
Trang 1III HÌNH CẦU - HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy
góc = 30
1/Tính thể tích của khối chóp S.ABC
2/Tính Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho
3/Tính thể tích của khối nón ngoại tiếp khối chóp đã cho
4/Tính diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp đã cho
5/Tính thể tích của khối nón nội tiếp trong khối chóp đã cho
ĐS 1/ V S.ABCD =
36
3
3
a
4/ SXQnón=
72
21
2
a
2/ SXQnón=
9
3
a
5/ Vnón=
108
3
a
3/ Vnón=
27
3
a
Bài 2: Cho một khối nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm,bán kính đáy r = 25 cm
a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón đó
b/ Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm Hãy xác định thiết diện của (P) với khối nón và tính diện tích thiết diện đó
ĐS: a/ Sxq2514,5cm2; V13089,969 cm3; b/ 500cm2
Bài 3: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = a 3,bán kính đáy r = a 2
a/ Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón đó
b/ Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón tạo với đáy một góc 600.Tính
diện tích của thiết diện này
ĐS : a/ Stp= 2
(2 10)
a
3
2 3 3
a
b/ 2a2
Bài 4: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một thiết diện là
một tam giác đều cạnh 2a Tính diện tích xung quanh của hình nón và tính thể tích của khối nón đó
ĐS SXQnón= 2
2 a ; Vnón=
3
3
3
a
Bài 5: Cắt hình nón đỉnh S bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông
cân có cạnh huyền bằng a 2
1/Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón đã cho
2/Tính thể tích của khối nón đã cho
3/Cho dây cung MN của đường tròn đáy hình nón sao cho mp(SMN) tạo với mặt đáy của hình nón một góc 600 Tính diện tích tam giác SMN
ĐS 1/ SXQ=
2
2a2
; STPnón=
2 2
2a2 a2
=
2
2
a
( 2 1)
2/ Vnón=
12
2a3
3/ S SMN=
3
2
2
a
Trang 2Bài 6: Cho một hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A, B là 2 điểm thuộc đường tròn
đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
SAO= 300;
SAB= 600 Tính diện tích xung quanh của hình nón và tính thể tích của khối nón đó
ĐS 1/ SXQnón=.OA SA=a2 3 2/ Vnón= OA SO
3
4
2
3
a
Bài 7: Cho một hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, góc B = 600 Một hình nón nội tiếp hình chóp đã cho với bán kính đáy là r, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là
1/Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón
2/Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp đã cho
ĐS 1/ SXQnón=
cos
2
r
; Vnón=C tan
3
1 3
r
2/ SXQchóp=
cos 1 3 2
3 2 r2 ; VchópS.ABC= 3 1 tan
6
r
Bài 8: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); BD vuông
góc với góc với BC.Biết AB = AD = a
a/ Chứng minh rằng các mặt của tứ diện là những tam giác vuông
b/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo thành khi quay tam giác ABD xung quanh cạnh AB
ĐS: Sxq hình nón =rl.a.a 2 a2 2
Vkhối nón =
3
3
1 3
a a h
Bài 9: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3
1/Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
2/Tính thể tích khối trụ được tạo nên bởi hình trụ đã cho
3/ Cho 2 điểm A và B lần lượt nằm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300
a)Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
b)Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ c)Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và qua B
ĐS 1) SXQ= 2 3r2.;ST P= 2
1 3
2 r 2/ V = 3
3 r
3/ a) d(AB, OO’) =
2
3
r
= d(OO’, (ABA’)) ,với AA’ là 1 đường sinh của hình trụ
b) Std= r2 3
c) Góc (OA, O’B) = 600
Bài 10: Một hình trụ có hai đáy là hình tròn (O;r) và (O’; r) Khoàng cách giữa 2 đáy
là OO’ = r 3 Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;r)
1/Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ và S là diện tích xung quanh
Trang 3của hình nón Hãy tính
2
1
S
S
= ? 2/Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành 2 phần Tính tỷ số thể tích của 2 phần đó
ĐS: 1/ S1= 2
3
2 r ; S2= 2
2 r
2
1
S
S
2/
2
1
V
V
=
2
1
(với V1 là thể tích của khối nón và V2 là thể tích của phần còn lại của khối trụ)
Bài 11: Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bàng 10 cm Người
ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt nằm trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc bằng 300.Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục của khối trụ đó.Hãy tính diện tích của thiết diện
ĐS: 200 2 3
Bài 12: Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình
vuông
a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó
b/ Tính thể tich của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã
cho
c/ Tính tỉ số giữa thể tích của hình lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ và thể tích khối trụ
ĐS a/ 2
4 r b/ 4r3 c/ 2
Bài 13: Một hình trụ có bán kính đáy r =5 cm và có khoảng cách giữa hai đáy là 7 cm
a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên
b/ Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm.Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên
ĐS: a/ Sxq=2rl mà r=5 cm và l=OO’=7cm nên Sxq = 25.770(cm2)
V=r2l 52.7175(cm3)
b/ Gỉa sử mặt phẳng (p) song song với trục OO’ cắt hình trụ theo thiết
diện là hình chữ nhật EFF’E’.Gọi I là trung điểm của EF thì OIEF và
OIEE’ nên OI(EFF’E’).Suy ra OI là khoảng cách từ OO’ đến (P).theo giả thiết OI=3cm
Ta có:IE= r2 OI2 = 52 32 4 EF 8cm
Vậy SEFF’E’=EF.EE’=8.7=56 cm2
Bài 14:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy xác định tâm và bán
kính của mặt cầu trong các trường hợp sau :
a/ Đi qua 8 đỉnh của của hình lập phương
b/ Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương
c/ Tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương
ĐS : a/ S1(O; 3
2
a
) với O là trung điểm AC
Trang 4b/ S2(O; 2
2
a
) c/ S3(O;
2
a
)
Bài 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mỗi cạnh bên đều
bằng b Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó
ĐS : Goi H là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm SA thì tâm mặt cầu là
điểm O nằm trên đường cao SH sao cho OI vuông góc với SA,bán kính mặt cầu r =
2
2 2
3
2 3
b
b a
Bài 16: Ba đoạn thẳng SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ diện
SABC với SA =a ,SB = b,SC = c.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện đó
ĐS : Goi M là trung điểm AB và I là trung điểm SC Từ M dựng Mx vuông góc
với mặt phẳng (ABC).Từ I dựng Iy song song với SM Tâm O của mặt cầu là giao của Mx và Iy,bán kính mặt cầu r = 1 2 2 2
2 a b c
Bài 17: Cho hình chóp SABC cao SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h Xác
định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính diện tích của mặt cầu đó
ĐS : R =
2
2
a
h; S =
4 2
a h
Bài 18: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH Gọi O là trung
điểm của AH Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OBCD
ĐS : R = 6
4
a
Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD
là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a, AD = 2a Gọi E là trung điểm của AD Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE
ĐS : R = 11
2
a
Bài 20: Cho mặt cầu S(O;r) và một điểm A biết OA = 2r.Qua A kẻ một tiếp tuyến với
mặt cầu tại B và kẻ một cát tuyến với mặt cầu tại C và D.Cho biết CD = r 3
a/ Tính độ dài đoạn AB
b/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD
ĐS : a/ r 3 b/ r/2
Bài 21:Trong mặt phẳng ()cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Trên đường thẳng
Ax vuông góc với () ta lấy một điểm S tuỳ ý ,dựng mặt phẳng() đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC.Mặt phẳng () cắt SB, SC,SD lần lượt tại
B’,C’,D’
a/ Chứng minh rằng các điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu
cố định
b/Tính diện tích của mặt cầu đó và thể tích khối cầu được tạo thành
Hướng dẫn giải:
a/Ta có: BCAB BC(SAB)
Trang 5ACSA
BCAB'
Ta lại có: AB’SC AB’ (SBC)
Do đó: AB’ B’C
Chứng minh tương tự ta có:
AD’D’C.Vậy A BC
90 ˆ
' ˆ '
ˆ C A D C A D C
C A
Từ đó 7 điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính AC b/ Gọi r là bán kính mặt cầu,ta có:r =
2
2 2
a
AC
Vậy S = 4 2
2 2 2
2
a
3
1 2
2 3
4 3
a
a
Bài 22:Cho hình cầu tâm O bán kính r.Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi ()là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và bằng 0
30
a/Tính diện tích của thiết diện tạo bởi và hình cầu
b/Đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng cắt mặt cầu tại B.Tính độ dài đoạn AB
Hướng dẫn giải:
a/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mặt phẳng Theo giả thiết ta có 0
30
ˆH
A O
30 =r
2 3
Vậy diện tích của thiết diện tạo bởi và hình cầu là S=
4
3
2
2 r
b/ Mặt phẳng ABO qua tâm O của hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn qua A và B.Gọi I là trung điểm của đoạn AB ta có OIAB.Vì AB//OH nên AIOH là hình chữ nhật
Do đó AI = OH =
2 2
r
AO
Vậy AB = 2AI = r
Chú ý: Có thể nhận xét rằng OAB cân tại O OAOB và góc O AˆB 600 nên OAB
Bài 23:Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đườngcao h
a/ Một hình trụ có đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của tam giác đáy
được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp đó
b/ Gọi I là trung điểm của cạnh BC.Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đoạn thẳng.Tính độ dài đoạn thẳng đó
ĐS :a/ 3
3
ah
b/
2 2
3
a h
Bài 24:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a
Trang 6a/Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD và A’B’C’D’
b/Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương
c/ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng
AC’ làm trục và sinh ra bởi cạnh AB
Hướng dẫn giải:
a/ Hình trụ có chiều cao h = a và bán kính đáy r =
2
2
a
Do đó ta có: Sxq=2rha2 2
b/Gọi I là tâm hình lập phương.Tất cả các đỉnh của hình lập phương đều có khoảng cách đến I bằng
2
3
a
nên chúng nằm trên mặt cầu tâm I bán kính
r=
2
3
a
3 a
c/Đường tròn đáy của hình nón tròn xoay đình A tạo nên bởi cạnh AB là
đường tròn ngoại tiếp đều A’BD,tam giác này có cạnh bằng a 2 và có đường cao bằng
2
6
a
Do đó đường tròn đáy hình nón có bán kính r’=
3
6
a
.Vậy hình nón tròn xoay này có đường sinh là l =a và có diện tích xung quanh là
Sxq= r l a a
3
6
3
6
2
a
Bài 25:Cho tứ diện ABCD cạnh a.Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống
mặt phẳng (BCD)
a/ Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD.Tính độ dài đoạn AH b/ Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp BCD và chiều cao AH
Hướng dẫn giải:
tròn ngoại tiếp tam giác đều BCD.Trong tam giác đều BCD cạnh a,ta có BH=
3
3 2
3 3
BH
3
6 9
3 2
a
b/ Sxq trụ =2rl
Ta có: r =
2
3
a
,l =AH=
3
6
a
=> Sxq=2
3
2 2 3
6 3
V=
9
6
3
h
Bài 26: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi A', B',
C', D' lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD Cmr A, B, C, D, A', B', C', D' cùng thuộc 1 mặt cầu và tính diện tích của mặt cầu đó
Bài 27: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền AB = 2a
SA vuông góc với đáy
a/ Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện S.ABC
Trang 7b/ Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện S.ABC khi góc giữa 2 mp (ABC) và (SAB) bằng 300
ĐS : R =
6
42
a
Bài 28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh
và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’
Hướng dẫn giải:
Khối nón có chiều cao bằng a và có bán kính đáy r =
2
a
Sxq =rl trong đó l =
2 2
2
a
2
5
a
=
4
5 2
a a
= 4
5
2
a
V=
3
1
2 3
1 3
12
1
a