ĐỀ SỐ 1, K15, THI NGÀY 24-12-2012 Câu Xét tính liên tục hàm số sau tại 𝑥 = 0: ln cos2 𝑥 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = Câu Tính giới hạn sau: arcsin𝑥 − 𝑥 ; 𝑥→0 𝑥 arctan𝑥 𝑎) lim 𝑏) lim 𝑥→0 1+𝑥 𝑒 1 𝑥 𝑥 Câu Tính tích phân sau: 𝜋 − 𝑎) 8𝑥 + 16𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑥2 + 𝑏) cos 𝑥𝑑𝑥 𝜋 −2 sin 𝑥 Câu Tính tích phân suy rộng ∞ 1 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 𝜋 Câu Giải phương trình 𝑦 ′ + 𝑥𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦 Câu Giải phương trình sai phân 𝑥𝑛+4 − 3𝑥𝑛+3 + 3𝑥𝑛+2 − 3𝑥𝑛+1 + 2𝑥𝑛 = ∙ 2𝑛+1 Câu Một doanh nghiệp cạnh tranh túy sản xuất hai loại sản phẩm Giả sử tổng chi phí kết hợp 𝑇𝐶 = 3𝑄12 + 5𝑄22 + 7𝑄1 𝑄2 Giá loại sản phẩm 230$ 305$ Hãy tìm mức sản lượng loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1, NGÀY 24-12-2012 Câu (1 điểm) ln cos2 𝑥 ln − sin2 𝑥 − sin2 𝑥 lim 𝑓 𝑥 = lim = lim = lim = −1 ≠ 𝑓 , 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 𝑥2 nên 𝑓 gián đoạn 𝑥 = Câu (1+1 điểm) a) arcsin 𝑥−𝑥 lim 𝑥→0 𝑥 arctan 𝑥 = −1 arcsin 𝑥−𝑥 𝐿 1−𝑥 lim = lim 𝑥3 𝑥→0 𝑥→0 3𝑥 lim 𝑥→0 𝑥 = lim 1+𝑥 𝑒 𝑒 𝑥→0 𝑥 3𝑥 1−𝑥 = lim 𝑥→0 − 𝑥2 + − 𝑥2 𝑥→0 1+𝑥 𝑒 𝑥→0 1− 1−𝑥 = lim b) Đây giới hạn dạng 1∞ , nên lim = lim 1 𝑥 𝑥 = lim 𝑒 1 1+𝑥 𝑥 −1 𝑥 𝑒 𝑥→0 1− 1−𝑥 3𝑥 1−𝑥 1+ 1−𝑥 = 1 + 𝑥 𝑥 𝑒 −1 − 𝑒 𝑥 ln − = lim = lim 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥2 𝑥− +𝑜 𝑥 𝑥 1+𝑥 −1 −1 𝑥 −𝑥 𝑜 𝑥 −1 + 𝑥 = lim ∙ lim 𝑥→0 −𝑥 𝑥→0 𝑜 𝑥2 𝑥 𝑥 + 𝑥 −1 𝑜 𝑥 −1 = ∙ lim + = 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 −1 −𝑥 𝑜 𝑥 𝑒2+ 𝑥 −1 −1 Giới hạn phải tìm 𝑒 Cách khác: lim ln 𝑥→0 1+𝑥 𝑒 1 𝑥 𝑥 = lim 𝑥→0 ln + 𝑥 −1 𝑥 𝑥 ln + 𝑥 − 𝑥 𝑥→0 𝑥2 = lim 1 + 𝑥 − = lim −1 = −1 = lim 𝑥→0 𝑥→0 + 𝑥 2𝑥 𝐿 Câu (1+1 điểm) 8𝑥 + 16𝑥 4𝑥 + 4𝑡 − 𝑑𝑡 𝑡=𝑥 +4 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑥2 + = 2 2 𝑥 +4 𝑥 +4 𝑡2 8 − = ln 𝑡 + + 𝐶 = ln 𝑥 + + + 𝐶 𝑡 𝑡 𝑡 𝑥 +4 𝑎) = 𝜋 − 𝑏) cos3 𝑥𝑑𝑥 𝜋 −2 sin 𝑥 𝜋 − = − sin2 𝑥 𝑑 sin 𝑥 𝜋 −2 sin 𝑥 −6 𝑡= sin 𝑥 = −1 − 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 −6 =3 Câu (1 điểm) 𝑡 𝑡 −6 1 1 𝑡 − 𝑡 𝑑𝑡 = − |−1 = 3 − − − 8 2 16 −1 ∞ 𝜋 𝑡= 𝑥 1 sin 𝑑𝑥 = − 𝑥2 𝑥 𝜋 sin 𝑡 𝑑𝑡 = 𝜋 = 21 − 16 𝜋 sin 𝑡 𝑑𝑡 = − cos + cos = Câu (1 điểm) 2 Giả sử 𝑦 ≠ Ta có: 𝑦 ′ + 𝑥𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦 ⟺ 𝑦 ′ 𝑦 −3 + 𝑥𝑦 −2 = 𝑒 𝑥 Thay 𝑧 = 𝑦 −2 ⟹ 𝑧 ′ = −2𝑦 ′ 𝑦 −3 , ta có phương trình vi phân tuyến tính: ′ 2 𝑧 + 𝑥𝑧 = 𝑒 𝑥 ⟺ 𝑧 ′ − 2𝑥𝑧 = −2𝑒 𝑥 −2 Phương trình có nghiệm tổng quát 𝑧= −2𝑒 𝑥 𝑒 −2 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 2 −2 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥 = −2𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥 Tích phân tổng quát phương trình cho 𝑦 −2𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥 − = (0,5 điểm) Dễ thấy 𝑦 ≡ nghiệm phương trình cho (0,5 điểm) Câu (1,5 điểm) Phương trình đặc trưng 4 - 33 + 32 - 3 + = ( - 1)( - 2)(2 + 1) = có tập nghiệm {1; 2; 𝑖; −𝑖} (0,5 điểm) Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥𝑛 = 𝐶1 + 𝐶2 2𝑛 + 𝐶3 cos + 𝐶4 sin (0,5 điểm) Một nghiệm riêng 𝑥𝑛∗ xn+4 – 3xn+3 + 3xn+2 – 3xn+1 + 2xn = 102n có dạng 𝑥𝑛∗ = 𝐴𝑛2𝑛 Thay vào phương trình cho giản ước cho 2n ta có A[(n+4)24 – 3(n+3)23 + 3(n+3)22 – 3(n+1)2 + 2n] = 10 Cho n = A = 𝑥𝑛∗ = 𝑛2𝑛 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛∗ = 𝐶1 + 𝐶2 2𝑛 + 𝐶3 cos + 𝐶4 sin + 𝑛2𝑛 (0,5 điểm) Câu (1,5 điểm) Hàm lợi nhuận sản phẩm Π 𝑄1 ; 𝑄1 = 230𝑄1 + 305𝑄2 − 3𝑄12 − 5𝑄22 − 7𝑄1 𝑄2 (0,5 điểm) Π𝑄′ = 230 − 6𝑄1 − 7𝑄2 Π𝑄′ = 305 − 7𝑄1 − 10𝑄2 Giải hệ: 230 − 6𝑄1 − 7𝑄2 = , 305 − 7𝑄1 − 10𝑄2 = ta có 𝑄1 = 15; 𝑄2 = 20 Π"𝑄12 = −6, Π"𝑄22 = −10, Π"𝑄1 𝑄2 = −7 ⟹ 𝐷 = Π"𝑄12 Π"𝑄22 − Π"𝑄1 𝑄2 = 11 (0,5 điểm) 𝐷 > 0, Π"𝑄12 < ⟹ Π đạt cực đại 𝑄1 = 15, 𝑄2 = 20 𝜋 = 4775 (0,5 điểm) ĐỀ SỐ 2, K15, THI NGÀY 24-12-2012 Câu Hàm cầu loại sản phẩm độc quyền 𝑃 = 600 − 2𝑄 $ tổng chi phí 𝐶 = 0,2𝑄 + 28𝑄 + 200 & Tìm mức sản xuất 𝑄 để lợi nhuận tối đa, tìm mức giá 𝑃 lợi nhuận Nếu quyền đặt thuế 22 $ cho đơn vị sản phẩm lợi nhuận tối đa đạt với mức giá bao nhiêu? Câu Tính giới hạn sau: cos 𝑥𝑒 𝑥 − cos 𝑥𝑒 −𝑥 ; 𝑥→0 𝑥3 𝑎) lim 𝑏) lim 𝑥 + 2𝑥 𝑥→+∞ 𝑥 Câu Tìm cực trị hàm số 𝑧 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2𝑦 − 𝑦 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0) Câu Tính tích phân sau: 𝑎) 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 − 𝜋 ; 𝑏) Câu Xét hội tụ tính tích phân suy rộng sau (nếu hội tụ) ∞ Câu Giải phương trình 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥 𝑦 Câu Giải phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16 𝑥2 𝑑𝑥 +1 𝑑𝑥 cos 𝑥 + ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2, NGÀY 24-12-2012 Câu (1 điểm) Hàm lợi nhuận sản phẩm 𝜋 𝑄 = 𝑇𝑅 − 𝐶 = 𝑃 ∙ 𝑄 − 0,2𝑄 + 28𝑄 + 200 = −2,2𝑄 + 572𝑄 − 200 Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 130 + 36980 ≤ 𝜋 130 = 36980, nên với 𝑄 = 130 ta có lợi nhuận tối đa Khi đó, 𝑃 = 600 − ∙ 130 = 340 (0,5 điểm) Khi tính thuế, ta có 𝜋 𝑄 = −2,2𝑄2 + 572𝑄 − 200 − 22𝑄 = −2,2𝑄 + 550𝑄 − 200 Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 125 + 34175 ≤ 𝜋 125 = 34175, nên với 𝑄 = 125 ta có lợi nhuận tối đa Khi đó, 𝑃 = 600 − ∙ 125 = 350 (0,5 điểm) Câu (1+1 điểm) 1) cos 𝑥𝑒 𝑥 −cos 𝑥𝑒 −𝑥 lim 𝑥3 𝑥→0 = lim −2 sin 𝑥 𝑥→0 −1 𝑒 = lim 𝑥→0 2) lim 𝑥 + 𝑥→+∞ 2𝑥 𝑥 = lim 𝑒 2𝑥 ln 𝑥+2 𝑥 𝑥 𝑥→+∞ 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 −𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 𝑥3 −2𝑥 = lim 4𝑥 −2𝑥 𝑥→0 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 𝑥 2 𝑥3 −1 𝑒 −1 −4 = lim lim 2𝑥 = = −2 𝑥→0 𝑒 𝑥→0 𝑥 𝐿 = lim 𝑒 1+2 𝑥 ln 𝑥+2 𝑥 𝑥→+∞ 𝐿 = lim 𝑒 𝑥 ln 2 1+2 𝑥 ln 𝑥→+∞ = lim 𝑒 ln 2 +ln 2𝑥 𝑥→+∞ = 𝑒 ln = Câu (1,5 điểm) 𝑧𝑥′ = − 2𝑥 2𝑦 − 𝑦 ; 𝑧𝑥′ = 2𝑥 − 𝑥 2 − 2𝑦 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0) 𝑧(𝑥; 𝑦) có hai điểm dừng 𝑀1 1; ; 𝑀2 2; ′′ 𝑧𝑥′′2 = −2 2𝑦 − 𝑦 ; 𝑧𝑦′′ = −2 2𝑥 − 𝑥 ; 𝑧𝑥𝑦 = − 2𝑥 − 2𝑦 ′′ 𝐷 𝑥; 𝑦 = 𝑧𝑥′′2 𝑧𝑦′′ − 𝑧𝑥𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2𝑦 − 𝑦 − − 2𝑥 2 − 2𝑦 (0,5 điểm) 𝐷 1; = > 0; 𝑧𝑥′′2 = −2 < ⟹ hàm số đạt cực đại 𝑀1 1; ; 𝑧 1; = (0,5 điểm) 𝐷 2; = −16 < ⟹ hàm số không đạt cực trị 𝑀2 2; (0,5 điểm) Câu (1+1 điểm) 𝑑𝑥 𝑎) 𝑥 𝑥2 − 𝜋 𝑏) = 𝑥𝑑𝑥 𝑡= 𝑥 −1 = 𝑡𝑑𝑡 = +1 𝑡 𝑡2 𝑑𝑡 +1 𝑡2 𝑥2 𝑥2 − = arctan𝑡 + 𝐶 = arctan 𝑥 − + 𝐶 𝑥 𝑡=tan 𝑑𝑥 = cos 𝑥 + 𝑑𝑡 𝑡 1 + 𝑡2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = arctan |0 = arctan − 𝑡2 𝑡2 + 5 5 +3 + 𝑡2 Câu (1 điểm) 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥2 = − 𝑥𝑑 = + 𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥 𝑥2 + − 𝑥 𝑑𝑥 = +2 𝑑𝑥 = + 2𝐼 − 2 2 𝑥 +1 𝑥 +1 𝑥 +1 𝑥 +1 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 = + 𝐼= + arctan𝑥 + 𝐶 (0,5 điểm) 2 2 𝑥 +1 𝑥 +1 2 𝑥 +1 𝐼= ⟹ ∞ 𝑑𝑥 𝑥 +1 𝑡 = lim 𝑡⟶∞ 𝑥2 𝑑𝑥 +1 = lim 𝑡⟶∞ Cách khác: ∞ 𝑥2 𝑑𝑥 +1 𝜋 2 𝜋 𝑥=tan 𝑡 = 𝑡 1𝜋 𝜋 + arctan𝑡 = + = (0,5 điểm) +1 22 𝑡2 +1 tan2 𝑡 𝜋 2 cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑑 tan 𝑡 = + cos 2𝑡 𝑡 sin 2𝑡 𝜋2 𝜋 𝑑𝑡 = + |0 = 2 4 Câu (1 điểm) Giả sử 𝑦 ≠ Ta có: 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥 𝑦 ⟺ 𝑦 ′ 𝑦 −3 + 2𝑥𝑦 −2 = 2𝑥 Thay 𝑧 = 𝑦 −2 ⟹ 𝑧 ′ = −2𝑦 ′ 𝑦 −3 , ta có phương trình vi phân tuyến tính: ′ 𝑧 + 2𝑥𝑧 = 2𝑥 ⟺ 𝑧 ′ − 4𝑥𝑧 = −4𝑥 −2 Phương trình có nghiệm tổng quát 𝑧= = −4𝑥 𝑒 −4 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑒 −2𝑥 + 𝐶 𝑒 2𝑥 = 𝑥 𝑒 −2𝑥 − −4𝑥 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 2𝑥 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 2𝑥 2 𝑒 −2𝑥 2 = 𝑥 𝑒 + + 𝐶 𝑒 2𝑥 = 𝑥 + + 𝐶𝑒 2𝑥 2 Tích phân tổng quát phương trình cho 𝑦 𝑥 + + 𝐶𝑒 2𝑥 − = (0,5 điểm) Dễ thấy 𝑦 ≡ nghiệm phương trình cho (0,5 điểm) −2𝑥 Câu (1,5 điểm) Phương trình đặc trưng 𝑘 + 4𝑘 + = có nghiệm −1; −3 Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng 𝑦𝑡 = 𝐶1 −1 𝑡 + 𝐶2 −3 𝑡 (0,5 điểm) Một nghiệm riêng phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16 có dạng 𝑦𝑡∗ = 𝐴 Thay vào phương trình này, ta có: 𝐴 + 4𝐴 + 3𝐴 = 16 ⟺ 𝐴 = (0,5 điểm) Nghiệm tổng quát phương trình cho 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 + 𝑦𝑡∗ = 𝐶1 −1 𝑡 + 𝐶2 −3 𝑡 + (0,5 điểm)