www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRƯỜNG THPT PHÙ CỪ TỔ TOÁN - TIN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN – Lần Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = m Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = −x + 3x x −1 đoạn 2; 2x − ( ) ( x −1 1 b) Giải bất phương trình: 22x +1 < 8 π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = HV N co Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: log x − x + log x + = ) ∫ (2x − − sin x ) dx ( ) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x − y − 2z − = ( ) ( ) ( ) ( ) hai điểm A 2; 0; , B 3; −1;2 Viết phương trình mặt cầu S tâm I thuộc mặt phẳng P qua điểm A, B điểm gốc toạ độ O Câu (1,0 điểm) M AT cos2α -3 sin2 α b) Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT Phù Cừ có 10 học sinh đạt giải có học sinh nam học sinh nữ Nhà trường muốn chọn nhóm học sinh 10 học sinh để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ năm học 2015 – 2016 huyện uỷ Phù Cừ tổ chức Tính xác suất để chọn nhóm gồm học sinh mà có nam nữ, biết số học sinh nam số học sinh nữ Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' , đáy ABCD hình chữ nhật có a) Cho góc lượng giác α , biết tan α = Tính giá trị biểu thức P = ( ) AB = a, AD = a Biết góc đường thẳng A 'C mặt phẳng ABCD 600 Tính thể tích + y − 2x − 12y + 27 = Tìm toạ độ điểm B viết phương trình đường thẳng BC , biết điểm ww (C ) : x w khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' khoảng cách hai đường thẳng chéo B 'C C ' D theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân A Gọi G trọng tâm tam giác ABC Điểm D thuộc tia đối tia AC cho GD = GC Biết điểm G thuộc đường thẳng d : 2x + 3y − 13 = tam giác BDG nội tiếp đường tròn B có hoành độ âm toạ độ điểm G số nguyên Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau tập ℝ : 5x − 13 − 57 + 10x − 3x x + − 19 − 3x ≥ x + 2x + Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ( ) a +b +c 2a 3b c + + ≤ a + b + c +1 a +b +c + -Hết Thí sinh không dùng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com TRƯỜNG THPT PHÙ CỪ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TỔ TOÁN TIN MÔN: TOÁN – Ngày thi: 31/01/2016 – Lần (Đáp án gồm có trang) Đáp án Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = −x + 3x Tập xác định: D = ℝ x = Ta có y ' = −3x + ⇒ y ' = ⇔ x = −1 Giới hạn lim y = lim −x + 3x = lim x −1 + = −∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ x lim y = lim −x + 3x = lim x −1 + = +∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ x Bảng biến thiên x −∞ −1 +∞ − + − f' x ( ) ( ) HV N co Câu m Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề ( ) M AT +∞ Điểm 0,25 0,25 ( ) f x ( Hàm số đồng biến khoảng −1;1 ( ) 0,25 −2 ) ( Hàm số nghịch biến khoảng −∞; −1 1; +∞ −∞ ) w Hàm số đạt cực đạt điểm x = yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu điểm x = -1 yCT = -2 Đồ thị: Bảng giá trị x -2 -1 y -2 -2 ww y -8 -6 -4 f(x)=-x^3+3*x 0,25 x -2 -5 www.dethithudaihoc.com www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = () m ( 0,25 ) 0,25 () HV N co đoạn 2; Hàm số liên tục đoạn 2; Ta có y ' = > 0, ∀x ∈ 2; 2x − x −1 2x − 1 ;y = Vậy max y = x = y = x = 2;4 2;4 Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình log x − x + log x + = Có y = ( ) ( x > Điều kiện: −4 < x < ( ) ) ( 3 ( x + ) ⇔ x ( ( ) ) ( − x = (x + ) ) x = −2 ⇔ x − 4x − 12 = ⇔ (thoả mãn) x = M AT 0,25 ) log x − x − log x + = ⇔ log x − x = log x + + log 3 ⇔ log x − x = log 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2; x = x −1 1 b) Giải bất phương trình 22x +1 < 8 Bất phương trình tương đương với 22x +1 < x −1 2−3 ( ) ⇔ 22x +1 < 2−x +1 0,25 ⇔ 2x + < −x + ( ) w ⇔ x + 2x < ⇔ −2 < x < Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −2; π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ww π I = ∫( ) π A = ∫ 2x dx = x π π π 2 0 0 π π = π2 ( C = ∫ sin xdx = −cosx Vậy I = A − B + C = www.dethithudaihoc.com ; B = ∫ dx = x π ∫ (2x − − sin x ) dx 2x − − sin x dx = ∫ 2x dx − ∫ dx − ∫ sin xdx = A − B − C ) 0,25 π = π 0,25 0,25 π π2 =1 − π 0,25 −1 0,25 www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) ( Bán kính mặt cầu (S) R = IA = ( ) ( Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x − + y + Câu (1,0 điểm) () ) + ( z − 1) 2 ) cos2α -3 2cos2α − = sin2 α − cos2α 0,25 0,25 cos2α -3 sin2 α 0,25 1 ⇒ cos α = = Suy P = − cos2α + tan2 α b) Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT Phù Cừ có 10 học sinh đạt giải có học sinh nam học sinh nữ Nhà trường muốn chọn nhóm học sinh 10 học sinh để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ năm học 2015 – 2016 huyện uỷ Phù Cừ tổ chức Tính xác suất để chọn nhóm gồm học sinh mà có nam nữ, biết số học sinh nam số học sinh nữ M AT + tan2 α = 0,25 =6 a) Cho góc lượng giác α , biết tan α = Tính giá trị biểu thức P = P = 0,25 HV N co x − y + 2z = Do A, B,O ∈ S ⇒ IA = IB = IO Suy x = x − y − 2z − = x = Từ (1) (2) ta có hệ x − y + 2z = ⇔ y = −2 ⇒ I 1; −2;1 x = z = m (P ) : x − y − 2z − = hai điểm A (2; 0; ) , B ( 3; −1;2 ) Viết phương trình mặt cầu (S ) tâm I thuộc mặt phẳng (P ) qua điểm A, B điểm gốc toạ độ O Giả sử I ( x , y, z ) Ta có I ∈ ( P ) ⇒ x − y − 2z − = (1) 0,25 ( ) Không gian mẫu n Ω = C 105 = 252 w Gọi A biến cố học sinh chọn có nam nữ đồng thời số học sinh nam học sinh nữ Trường hợp 1: Chọn học sinh nam học sinh nữ nên ta có C 41.C 64 0,25 Trường hợp 2: Chọn học sinh nam học sinh nữ nên ta có C 42 C 63 ( ) Suy n A = C 41.C 64 + C 42 C 63 = 180 ( ) Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' , đáy ABCD hình chữ ww Vậy xác suất cần tìm P A = ( nhật có AB = a, AD = a Biết góc đường thẳng A 'C mặt phẳng ABCD 0,25 ) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' khoảng cách hai đường thẳng chéo B 'C C ' D theo a www.dethithudaihoc.com www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com ( ) D' A' Do ABCD.A ' B 'C ' D ' lăng trụ đứng nên A ' A ⊥ ABCD ) B' C' m ( Suy góc A 'C mặt phẳng ABCD A 'CA = 600 0,25 HV N co H A D M 600 C B Có AC = AB + BC = 2a ⇒ A ' A = AC tan 600 = 2a ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = a ⇒ S ABCD = AB.AD = a 0,25 Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' V = A ' AS ABCD = 6a Do C’D//AB’ nên C’D//(AB’C) ( ) ( ( Suy d C ' D, B 'C = d C ' D, A B 'C ) ) = d (C ', ( A B 'C ) ) = d ( B, ( A B 'C ) ) 0,25 Do BC’ giao với mp(AB’C) trung điểm BC’ (vì BCC’B’ hình chữ nhật) ( ) ( ) ( ) Kẻ BH ⊥ B ' M ⇒ BH ⊥ ( AB 'C ) hay d ( B, ( A B 'C ) ) = BH Có M AT Kẻ BM ⊥ AC ⇒ AC ⊥ BB ' M ⇒ AB 'C ⊥ BB ' M theo giao tuyến B’M 1 1 1 17 2a 51 = + = + + = ⇒ BH = 2 2 2 17 BH B 'B BM B 'B BC AB 12a ( 0,25 ) 2a 51 17 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân A Gọi G trọng tâm tam giác ABC Điểm D thuộc tia đối tia AC cho GD = GC Biết điểm G thuộc đường thẳng d : 2x + 3y − 13 = tam Vậy d C ' D, B 'C = ( ) w giác BDG nội tiếp đường tròn C : x + y − 2x − 12y + 27 = Tìm toạ độ điểm B ww viết phương trình đường thẳng BC , biết điểm B có hoành độ âm toạ độ điểm G số nguyên C Tam giác ABC vuông cân A có G trọng tâm nên GB = GC Mà GD = GC nên tam giác BCD nội tiếp đường (?) tròn tâm G M Suy d: 2x + 3y - 13 = BGD = 2BCD = 2BCA = 900 ⇒ BG ⊥ GD Hay tam giác BDG vuông cân G Đường tròn (C) tâm I(1;6) bán kính R = 10 ngoại tiếp tam giác BDG nên I trung điểm BD Do IG = 10 IG ⊥ BD www.dethithudaihoc.com G 0,25 A F B(?) I(1;6) D www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com 13 − 2m Vì G ∈ d : 2x + 3y − 13 = ⇒ G m; G 2; Từ IG = 10 ⇒ 28 75 , toạ độ điểm G số nguyên nên G(2;3) G − ; 13 13 BD qua I(1;6) IG ⊥ BD nên phương trình x − 3y + 17 = ( ) ( ) m ( ) ( ) ( Vậy B −2;5 HV N co B −2;5 B, D ∈ BD ∩ C ⇒ (do hoành độ điểm B âm) D 4;7 ) 0,25 Gọi M trung điểm BC ta có AM = MB = MC (do ABC vuông cân A) 1 Suy AM ⊥ BC ⇒ GM ⊥ MB GM = AM = MB 3 MG Nên tan GBM = = ⇒ cosGBM = MB 10 ( ( ) ) Gọi n = a, b với a + b ≠ VTPT BC ( ) ( ) Ta có VTCP BG BG = 4; −2 ⇒ nBG = 1;2 VTPT BG ( ) ( ) ( ) ⇔ 10 = M AT Có cos BG, BC = cos nBG , n ⇔ cosGBM = cos nBG , n ⇔ a + 2b ( a + b2 ) 10 = 0,25 nBG n nBG n a − b = ⇔ 35a − 40ab + 5b = ⇔ 7a − b = ( ) Trường hợp 2: Với 7a − b = ⇒ n = (1;7 ) nên phương trình BC : x + 7y − 33 = Trường hợp 1: Với a − b = ⇒ n = 1;1 nên phương trình BC : x + y − = Do hai điểm D G mằn phía đường thẳng BC nên phương trình 0,25 w BC thoả mãn x + y − = ( Vậy BC : x + y − = B −2;5 ) Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau tập ℝ : 5x − 13 − 57 + 10x − 3x ww x + − 19 − 3x 19 −3 ≤ x ≤ Điều kiện x ≠ Bất phương trình tương đương ( x + − 19 − 3x )(2 x + + 19 − 3x x + − 19 − 3x ⇔ x + + 19 − 3x ≥ x + 2x + www.dethithudaihoc.com ) ≥x ≥ x + 2x + 0,25 + 2x + 0,25 www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com 13 − x x + 5 ⇔ 2 x + − + 19 − 3x − ≥x +x −2 ( ) x + 5 9 x + + + −x − x + ≥ x2 + x − 13 − x 19 − 3x + m ⇔ −x − x + 2 ≤0 ⇔ x +x −2 + * x + 5 13 − x 9 x + + 19 − 3x + 19 Vì + > với x ∈ −3; \ 3 x + 5 13 − x 9 x + + 19 − 3x + ) () HV N co ( 0,25 {} () Do * ⇔ x + x − ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ (thoả mãn) Vậy tập nghiệm bất phương trình S = −2;1 Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ( ) a +b +c 2a 3b c + + ≤ a + b + c +1 a +b +c + Bất đẳng thức tương đương với (1 ) ( ) 10 M AT a + 2a b + 3b c + c a +b +c + 6 a +b +c − − − − + + ≥ a +2 b + 3 c + 1 a +b +c + (a − ) + (b − ) + (c − 1) ≥ (a + b + c − ) ⇔ (a + ) (b + ) (c + 1) (a + b + c + ) (a − ) + (b − ) + (c − 1) ≥ (a + b + c − ) ⇔ 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 0,25 ) ) ( (2 ) ) 0,25 w a −2 + b − + c −1 = a + b + c − = VP VT ≥ a +b +c + a +2 + b +3 + c +1 () 0,25 a +2 b+3 c +1 a +b +c + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ( ( 0,25 () 0,25 ww Dấu xảy a = 2;b = 3; c = Vậy bất đẳng thức (2) Do bất đẳng thức (1) chứng minh Chú ý: Mọi cách làm khác học sinh chấm điểm bình thường! Giáo viên đề: Quách Đăng Thăng www.dethithudaihoc.com