bài tập hình 7

Tuyển tập các bài toán hình 71.Cho tam giác ABC vuông cân tại A.. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE.. Chứng minh rằng ∆AMN đều.. d Chứng minh rằng IA là phân gi

Tuyển tập các bài toán hình 7

1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểm A, bờ là

BC vẽ các tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC Lấy M thuộc cạnh BC ( M khác A và B); đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt Bx, Cy lần lượt tại H và K

a, Chứng minh: BM = CK

b, Chứng minh A là trung điểm của HK

c, Gọi P là giao điểm của AB và MN, Q là giao điểm của AC và MK Chứng minh: PQ song song với BC

2.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC

a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE

b) Chứng minh rằng: ·DIB = 600

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh rằng ∆AMN đều

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE

3. Cho ·xAy =60 0 có tia phân giác Az Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ

BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C Từ C kẻ CM

vuông góc với Ay tại M Chứng minh :

a ) K là trung điểm của AC.

b ) ∆ KMC là tam giác đều.

c) Cho BK = 2cm Tính các cạnh ∆ AKM.

4.Cho tam giác ABC ( AB ≠ AC) Đường trung trực của đoạn BC tai H cắt tia phân giác

Ax của góc A tại K Kẻ KE, KF theo thứ tự vuông góc với AB và AC

a) Chứng minh rằng BE = CF

b) Nối EF cắt BC tại M Chứng minh rằng M là trung điểm của BC

5.Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho

BM = MN = NC Gọi H là trung điểm của BC

a) Chứng minh AM = AN và AH ⊥ BC

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm

c) Chứng minh MAN > BAM = CAN

Đáp án

1

I K

A

D

E

Ta có: AD = AB; ·DAC BAE=· và AC = AE

Suy ra ∆ADC = ∆ABE (c.g.c)

Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a)⇒ABE ADC· =· ,

mà ·BKI AKD= · (đối đỉnh)

Khi đó xét ∆BIK và ∆DAK suy ra ·BIK DAK=· = 600 (đpcm)

I K A

D

E

M

N J

Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ CM = EN và ·ACM AEN=·

⇒∆ACM = ∆AEN (c.g.c) ⇒ AM = AN và ·CAM EAN= ·

MAN CAE= = 600 Do đó ∆AMN đều

Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ⇒∆BIJ đều ⇒ BJ = BI và ¶JBI DBA= · = 600 suy ra

IBA JBD= , kết hợp BA = BD

⇒∆IBA = ∆JBD (c.g.c) ⇒AIB DJB· =· = 1200 mà ·BID = 600

·DIA

⇒ = 600 Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE

V ẽ h ình , GT _ KL

a, ∆ABC cân tại B do CAB ACB· =· ( =MAC· ) và BK là đường cao ⇒

BK là đường trung tuyến

⇒ K là trung điểm của AC

b, ∆ABH = ∆BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )

⇒ BH = AK ( hai cạnh t ư ) mà AK = 1

2AC ⇒ BH = 1

2AC

Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = 1

2AC ⇒

CM = CK ⇒ ∆MKC là tam giác cân ( 1 )

Mặt khác : ·MCB= 900 và ·ACB= 300

⇒ ·MCK = 600 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∆MKC là tam giác đều

c) Vì ∆ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm

Vì ∆ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:

AK = 2 2

16 4 12

AB −BK = − =

Mà KC = 1

2AC => KC = AK = 12

∆KCM đều => KC = KM = 12

Theo phần b) AB = BC = 4

AH = BK = 2

HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật)

=> AM = AH + HM = 6

Chứng minh

⇒ DM = EN

Chứng minh ∆DMI= ∆ENI

⇒IM = IN

Hay I là trung điểm của MN

Gọi O là giao điểm của đường trung trực của BC với đường thẳng vuông góc với MN tại I

Vì AB = AC ⇒AO là đường trung trực của BC ⇒OB=OC Vì I là trung điểm của MN ⇒OI là đường trung trực của MN

⇒ OM = ON

Vì ∆DBM= ∆ECN ⇒BM = CN

Xét ∆OBM và ∆OCN có

OB = OC, OM = ON, BM = CN

E D

O

I

N

M

C B

A

⇒ ∆OBM= ∆OCN(C.C.C)

⇒ ·OBM OCN= · (1)

Vì AO là đường trung trực của BC ⇒ OBA OCA· =· (2) Từ (1) và (2)⇒OCN OCA· =·

OC AC

Vì vậy O là giao điểm của đường trung trực của cạnh BC với đường thẳng vuông góc với AC tại C nên điểm O cố định Suy ra điều phải chứng minh