phân tích kết cấu dầm nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học

TÓM TẮT NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN Tên của đề tài nghiên cứu là “Phân tích kết cấu dầm nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học” Luận văn đ

ĐỀ TÀI:

PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM NHIỀU LỚP

DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐẲNG HÌNH HỌC

(ANALYSIS OF MULTI-LAYER BEAM USINGHIGH-ORDER

SHEAR DEFORMATION THEORYAND ISOGEOMETRIC METHOD)

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này “Phân tích kết cầu dầm nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học” là bài nghiên cứu của chính tôi

Ngoài trừ những tài liệu tham khảo được trích dẫn trong luận văn này, tôi cam đoan rằng toàn phần hay những phần nhỏ của luận văn này chưa từng được công bố hoặc được sử dụng để nhận bằng cấp ở những nơi khác

Không có sản phẩm nghiên cứu nào của người khác được sử dụng trong luận văn này

mà không được trích dẫn theo đúng quy định

Luận văn này chưa bao giờ được nộp để nhận bất kỳ bằng cấp nào tại các trường đại học hoặc cơ sở đào tạo khác

TP.Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2015

VŨ DIỄM TRANG

TÓM TẮT NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN

Tên của đề tài nghiên cứu là “Phân tích kết cấu dầm nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học”

Luận văn đã áp dụng lý thuyết dầm bậc cao để nghiên cứu kết cấu dầm nhiều lớp Các kết quả của lý thuyết này sẽ xác định được sự phân bố ứng suất và biến dạng cắt ngang theo suốt chiều dày của dầm nhiều lớp, không bỏ qua các ảnh hưởng của lực cắt ngang như trong lý thuyết dầm cổ điển, hoặc lực cắt là một hằng số qua bề dày dầm theo lý thuyết dầm Timosheko

Điểm quan trọng tiếp theo là áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IsoGeometric Analysis – IGA) để giải quyết các bài toán về ứng xử cơ học của kết cấu dầm nhiều lớp theo lý thuyết dầm bậc cao (bậc 5) Phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học là một phương pháp số tích hợp công cụ hỗ trợ thiết kế hình học (Computer Aided Design – CAD) và phân tích phần tử hữu hạn (Finite Element Analysis – FEM) thành một mô hình thống nhất, điều này có nghĩa là phân tích đẳng hình học sử dụng các hàm NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) có trong CAD

để mô tả cả dạng hình học đồng thời xấp xỉ các biến chưa biết trong việc phân tích Việc kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học để nghiên cứu ứng xử cơ học của kết cấu dầm nhiều lớp dựa trên lý thuyết dầm bậc cao (bậc 5) sẽ cho được kết quả tin cậy so với một số mô hình khác Do kết cấu dầm được mô hình trong 1 chiều, nên đặc trưng hình học chính xác dùng IGA không là lợi thế Tuy nhiên, luận văn này khai thác tính liên tục của đạo hàm bậc cao của hàm cơ sở (hay hàm dạng trong IGA)

để phát huy hiệu quả của nó khi kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Do đó,

để phát huy ưu điểm mô tả hình học chính xác của IGA, việc nghiên cứu cho dầm cong sẽ là rất hứa hẹn cho công việc tương lai

Để kiểm chứng tính tin cậy và hiệu quả của lý thuyết áp dụng và phương pháp IGA, các kết quả đạt được của luận văn sẽ được so sánh với các kết quả tính toán bằng những lời giải khác nhau đã công bố như: lời giải giải tích, lời giải chính xác 3D, hoặc các mô hình lý thuyết khác được nêu trong các bài báo đã công bố trên các tạp chí uy tín Các kết quả số của phân tích tĩnh, dao động tự do và phân tích ổn định

này sẽ được đưa ra với các điều kiện biên khác nhau, các thông số vật liệu khác nhau dưới tác dụng của tải trong phân bố đều, tải trọng phân bố hình sin

Từ khóa liên quan:

Phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học, IGA, hàm NURBS, lý thuyết dầm bậc cao, dầm nhiều lớp, dầm composite, phân tích tĩnh, ổn định, dao động tự do

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ii

LỜI CẢM ƠN iii

TÓM TẮT NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN iv

MỤC LỤC vi

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ, BIỂU ĐỒ viii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU xi

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT xii

CHƯƠNG 1 : MỞ ĐẦU 1

1.1 Giới thiệu chung 1

1.2 Tình hình phát triển của việc nghiên cứu phân tích kết cấu dầm nhiều lớp hiện nay trên thế giới 10

1.3 Tình hình nghiên cứu liên quan đến kết cấu dầm nhiều lớp ở trong nước 11

1.4 Mục tiêu nghiên cứu 12

1.5 Quy mô nghiên cứu 13

1.6 Bố cục của luận văn 14

CHƯƠNG 2 : CƠ SỞ LÝ THUYẾT 15

2.1 Sơ lược lý thuyết về vật liệu composite 15

2.2 Chuyển vị, biến dạng, ứng suất của dầm nhiều lớp 17

2.3 Dạng yếu của mô hình dầm composite 20

CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐẲNG HÌNH HỌC 27

3.1 Giới thiệu hàm B-splines và NURBS 27

3.2 Lý thuyết hàm cơ sở B-spline và knot vector[16] 29

3.3 Hàm NURBS 31

3.4 Công thức đẳng hình học của dầm composite nhiều lớp dựa trên lý thuyết dầm bậc cao 32

CHƯƠNG 4 : CÁC ỨNG DỤNG SỐ 35

4.1 Phương pháp so sánh kết quả 35

4.2 Phân tích tĩnh 36

4.3 Phân tích dao động tự do 61

4.4 Phân tích ổn định 68

CHƯƠNG 5 : KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

PHỤ LỤC 81 PHỤ LỤC A: ĐOẠN CODES CHÍNH VIẾT CHO PHÂN TÍCH TĨNH DẦM

NHIỀU LỚP CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ HÌNH SIN 81 PHỤ LỤC B: ĐOẠN CODES CHÍNH VIẾT CHO PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ

DO CỦA DẦM NHIỀU LỚP 89 PHỤ LỤC C: ĐOẠN CODES CHÍNH VIẾT CHO PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA DẦM NHIỀU LỚP 95

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ, BIỂU ĐỒ

Hình 1.1: Các loại vật liệu composite: đẳng hướng, trực hướng [53] 2

Hình 1.2: Hình ảnh các loại vật liệu composite-Nguồn: internet 2

Hình 1.3: Vật liệu composite sử dụng trong các kết cấu cơ bản ngành xây dựng-Nguồn: internet 2

Hình 1.4: Lan can bờ biển được sản xuất từ vật liệu composite-Nguồn: internet 3

Hình 1.5: Hình ảnh hệ sàn composite và ứng dụng trong thực tế-Nguồn: internet 3

Hình 1.6: Hình ảnh thực tế các công trình xây dựng sử dụng các loại dầm composite-Nguồn: internet 4

Hình 1.7: Vật liệu composite FGM chế tạo động cơ đốt trong, động cơ phản lực-Nguồn: internet 5

Hình 1.8: Máy bay F-22 Raptor được cấu tạo từ vật liệu hợp kim và composite-Nguồn: internet 5

Hình 1.9: Hình ảnh của tàu Happy Days trên biển được thiết kế bằng phần mềm mô phỏng ANSYS và chế tạo bằng vật liệu composite (Photo by Neil Rabinowitz) 6

Hình 1.10: Tàu chiến, tàu ngầm được chế tạo bằng vật liệu composite-Nguồn: internet 6

Hình 1.11: Hình ảnh cánh trực thăng và trực thăng được chế tạo bằng vật liệu composite-Nguồn: internet 7

Hình 1.12: Hình ảnh minh họa hệ thống các lý thuyết tính toán dầm 9

Hình 2.1: Mô hình cấu trúc của các loại vật liệu composite nhiều lớp [53] 15

Hình 2.2: Hệ trục của vật liệu (1, 2, 3) và hệ trục quy chiếu chung (x, y, z) [53] 16

Hình 2.3: Kích thước hình học và hệ tọa độ của dầm nhiều lớp 16

Hình 3.1: Sơ đồ minh họa các tham số của hàm NUBRS trong IGA [16] 28

Hình 3.2: Sự khác nhau giữa FEM và IGA[16] 29

Hình 3.3: Sự khác nhau giữa Nodes (FEM) và knot vector (IGA) [16] 29

Hình 3.4:Hàm cơ sở B-splines 1D – 2D [11] 30

Hình 3.5:Sơ đồ khối tính toán chungtrong phương pháp IGA [16] 31

Hình 4.1:Kích thước hình học và tải trọng tác dụng lên dầm nhiều lớp 35

Hình 4.2: Minh họa phân chia phần tử và các điểm điều khiển 36

Hình 4.3: So sánh độ võng tại vị trí giữa dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, 40

Hình 4.4: So sánh độ võng tại vị trí đầu mút dầm 3 lớp (0/90/0), 40

Hình 4.5: So sánh ứng suất trong mặt phẳng dầm 2lớp (0/90), gối tựa đơn, 44

Hình 4.6: So sánh ứng suất cắt ngang dầm 2lớp (0/90), gối tựa đơn, 44

Hình 4.7: So sánh ứng suất trong mặt phẳng dầm 2lớp (0/90), 45

Hình 4.8: So sánh ứng suất cắt ngang dầm 2lớp (0/90), 1 đầu ngàm, 45

Hình 4.9: So sánh ứng suất trong mặt phẳng dầm 2lớp (0/90), 2 đầu ngàm, 46

Hình 4.10: So sánh ứng suất cắt ngang dầm 2lớp (0/90), 2 đầu ngàm, 46

Hình 4.11: So sánh ứng suất trong mặt phẳng dầm Cantilever 2 lớp (0/90), chịu tải trọng phân bố đều, L/h=5 47

Hình 4.12: So sánh ứng suất cắt ngang dầm Cantilever 2lớp (0/90), 47

Hình 4.13: So sánh độ võng tại vị trí giữa dầm 2 lớp (0/90), 48

Hình 4.14: So sánh độ võng tại vị trí giữa dầm 2 lớp (0/90), 48

Hình 4.15: So sánh độ võng tại vị trí giữa dầm 2 lớp (0/90), 49

Hình 4.16: So sánh độ võng tại vị trí đầu mút dầm 2 lớp (0/90), 49

Hình 4.17: So sánh ứng suất vị trí giữa dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, 51

Hình 4.18: So sánh ứng suất vị trí giữa dầm 3 lớp (0/90/0), 1 đầu ngàm, 51

Hình 4.19: So sánh ứng suất vị trí giữa dầm 3 lớp (0/90/0), 2 đầu ngàm, 52

Hình 4.20: So sánh ứng suất tại vị trí đầu mút dầm 3 lớp (0/90/0), 52

Hình 4.21: So sánh ứng suất vị trí giữa dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, 52

Hình 4.22: So sánh ứng suất vị trí giữa dầm 3 lớp (0/90/0), 2 đầu ngàm, 53

Hình 4.23: So sánh ứng suất vị trí đầu mút dầm3 lớp (0/90/0),1 đầu ngàm,

1 đầu tự do, L/h=4, chịu tải trọng phân bố hình sin 53

Hình 4.24: So sánh độ võng tại vị trí giữa dầm 3 lớp (0/90/0), 55

Hình 4.25: So sánh độ võng tại vị trí giữa dầm 3 lớp (0/90/0), 55

Hình 4.26: So sánh độ võng tại vị trí giữa dầm 3 lớp (0/90/0), 56

Hình 4.27: So sánh độ võng tại vị trí đầu mút dầm 3 lớp (0/90/0), 56

Hình 4.28: So sánh ứng suất xvị trí giữa dầm, dầm 3 lớp (0/90/0), 57

Hình 4.29: So sánh ứng suất xvị trí giữa dầm, 3 lớp (0/90/0),

1 đầu ngàm, 1 đầu gối tựa đơn, chịu tải trọng phân bố hình sin 57

Hình 4.30: So sánh ứng suất xvị trí giữa dầm, dầm 3 lớp (0/90/0), 58

Hình 4.31: So sánh ứng suất xvị trí đầu mút dầm Cantilever, 3 lớp (0/90/0), 58

Hình 4.32: So sánh ứng suất xzvị trí giữa dầm, dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, 59

Hình 4.33: So sánh ứng suất xzvị trí giữa dầm, dầm 3 lớp (0/90/0), 59

Hình 4.34: So sánh ứng suất xzvị trí giữa dầm, dầm3 lớp (0/90/0), 60

Hình 4.35: So sánh ứng suất xzvị trí đầu mút dầmCantilever, 3 lớp (0/90/0), 60

Hình 4.36: Hình dạng Mode 1 =9,316 dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5 62

Hình 4.37: Hìnhdạng Mode 2 =22,4 dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5 63

Hình 4.38: Hình dạng Mode 3 = 39,08 dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5 63

Hình 4.39: Hình dạng Mode 1 = 11,048 dầm10 lớp (0/90)5, gối tựa đơn, L/h =10 64

Hình 4.40: Hình dạng Mode 2 = 33,2418 dầm 10 lớp (0/90)5, gối tựa đơn, L/h =10.

64 Hình 4.41: Hình dạng Mode 3  = 58,148 dầm 10 lớp (0/90)5, gối tựa đơn, L/h =10.

65

Hình 4.42: Dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5, Pcr= 8,613 70

Hình 4.43: Dầm 3 lớp (0/90/0), 1 đầu ngàm, 1 đầu gối tựa đơn, L/h =5, Pcr= 10,32 70

Hình 4.44: Dầm 3 lớp (0/90/0), 2 đầu ngàm, L/h =5, Pcr= 12,729 71

Hình 4.45: Dầm Cantilever, 3 lớp (0/90/0), L/h =5, Pcr= 4,736 71

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1: Một vài hàm dạng trong các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 19

Bảng 4.1: Kết quả so sánh chuyển vị tại vị trí giữa nhịp (SS, CS, CC), đầu mút dầm (CF) của dầm 3 lớp (0/90/0) 36

Bảng 4.2: Kết quả so sánh chuyển vị tại vị trí giữa nhịp (S-S), đầu mút dầm (C-F) của dầm 3 lớp (0/90/0) 37

Bảng 4.3: Kết quả so sánh ứng suất trong mặt phẳng xx của dầm 3 lớp 38

Bảng 4.4: Kết quả so sánh ứng suất cắt xz của dầm 3 lớp [0/90/0] 39

Bảng 4.5: Kết quả chuyển vị tại vị trí giữa nhịp(SS, CS, CC), đầu mút dầm (CF) của dầm 2 lớp (0/90) 41

Bảng 4.6: Kết quả ứng suất trong mặt phẳng xx của dầm 2 lớp (0/90) 42

Bảng 4.7: Kết quả ứng suất cắt ngang xz của dầm 2 lớp (0/90) 42

Bảng 4.8: Kết quả so sánh chuyển vị vị trí giữa dầm gối tựa đơn 3 lớp [0/90/0] 50

Bảng 4.9: Kết quả chuyển vị vị trí giữa dầm, ứng suất dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn 53

Bảng 4.10: Kết quả so sánh tần số dao động tự do của dầm 3 lớp(0/90/0) 61

Bảng 4.11: Kết quả so sánh tần số dao động tự do của dầm 10 lớp (0/90)5 61

Bảng 4.12: So sánh 3 tần số dao động tự do không thứ nguyên của dầm 4 lớp (0/90/90/0), L/h = 15 66

Bảng 4.13: Kết quả so sánh tần số dao động tự do của dầm 4 lớp [0/90/90/0], 67

Bảng 4.14: Kết quả so sánh tần số dao động tự do của dầm 2 lớp  / 68

Bảng 4.15: Kết quả so sánh tải trọng tới hạn của dầm 3 lớp(0/90/0) 69

Bảng 4.16: So sánh tải trọng tới hạn của dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn 72

Bảng 4.17: So sánh tải trọng tới hạn của dầm Cantilever 3 lớp (0/90/0) 72

Bảng4.18: Kết quả so sánh tải trọng tới hạn của dầm Cantilever 2 lớp (0/90) 73

Bảng 4.19: Kết quả so sánh tải trọng tới hạn của dầm 2 lớp  / 74

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

CHƯƠNG 1 : MỞ ĐẦU 1.1 Giới thiệu chung

Nội dung chương này sẽ mô tả tổng quan về vật liệu composite, ứng dụng của vật liệu composite trong cuộc sống từ cấu kiện đơn giản đến các kết cấu phức tạp trong ngành xây dựng, đến những thiết bị, vật liệu cao cấp được sử dụng trong các ngành: hàng hải, hàng không, vũ trụ Ngoài ra, chương này cũng giới thiệu tổng quan

về các lý thuyết được áp dụng trong luận văn, tình hình nghiên cứu tính toán kết cấu dầm nhiều lớp trong nước và thế giới Từ đó sẽ đưa ra mục tiêu, quy mô nghiên cứu

và bố cục của luận văn

1.1.1 Giới thiệu về vật liệu composite và các ứng dụng

Cùng với sự phát triển của khoa học và kỹ thuật như hiện nay, việc nghiên cứu các loại vật liệu mới với những tính năng vượt trội, ưu việt đáp ứng được những yêu cầu cao trong các ngành kỹ thuật, công nghiệp đã phát triển và đạt được những kết quả khả quan đồng thời được ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống Điển hình của quá trình phát triển nghiên cứu trên là các loại vật liệu composite Vật liệu composite là một loại vật liệu tổng hợp được tạo thành từ sự kết hợp của hai hay nhiều loại vật liệu khác nhau để tạo nên vật liệu mới có những đặc tính tốt hơn các vật liệu thành phần Hiện nay, các kết cấu được cấu tạo từ vật liệu composite như: dầm, tấm, vỏ, đang được sử dụng khá rộng rãi trong các ngành như: xây dựng, hàng không, hàng hải…bởi vì nó có những ưu điểm vượt trội so với những vật liệu truyền thống khác Những ưu điểm của vật liệu composite đáp ứng được những yêu cầu làm việc của kết cấu như: cường độ cao, trọng lượng nhẹ, độ cứng lớn, giới hạn mỏi được gia tăng, khả năng cách âm, cách nhiệt cao, khả năng chống mài mòn cao… Vì có nhiều ứng dụng và đặc tính ưu việt hơn so với các vật liệu khác nên những ứng xử về mặt cơ học của loại vật liệu này vẫn đang là đề tài thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu hiện nay

Vật liệu composite theo phân tích ứng xử cơ học thì được chia làm các loại: đẳng hướng (isotropic), trực hướng (orthotropic), lệch trục (off-axis) như Hình 1.1, Hình 1.2 và Hình 1.3

Hình 1.1: Các loại vật liệu composite: đẳng hướng, trực hướng [53]

Dưới đây là một số hình ảnh ứng dụng trong đời sống của các loại vật liệu composite từ những ứng dụng đơn giản trong thực tế cuộc sống (lan can bờ biển), đến những kết cấu chịu lực công trình xây dựng dân dụng, công nghiệp, giao thông vận tải, tiếp đến là những vật liệu, thiết bị cao cấp được chế tạo để sử dụng trong các ngành: hàng không (máy bay chiến đấu, máy bay tàng hình); hàng hải (du thuyền, tàu ngầm); vũ trụ (vỏ tàu vũ trụ, các động cơ phản lực), …

Các thành phần cốt của vật liệu composite có độ chịu lực, độ bền cơ học cao, vật liệu nền luôn đảm bảo cho các thành phần liên kết hài hoà tạo nên các kết cấu có khả năng chịu lực, chịu nhiệt và chịu sự ăn mòn của vật liệu trong điều kiện khắc nghiệt của môi trường kể cả môi trường biển Vât liệu composite này đã được sử dụng làm lan can bờ biển như trong Hình 1.4:

Hình 1.2: Hình ảnh các loại vật liệu composite-Nguồn: internet

Hình 1.3: Vật liệu composite sử dụng trong các kết cấu cơ bản ngành xây

dựng-Nguồn: internet

Hình 1.4: Lan can bờ biển đƣợc sản xuất từ vật liệu composite-Nguồn: internet Vật liệu composite đƣợc sử dụng trong các hệ kết cấu của công trình xây dựng

nhƣ hệ sàn composite, dầm composite trong các Hình 1.5 và Hình 1.6:

Hình 1.5: Hình ảnh hệ sàn composite và ứng dụng trong thực tế-Nguồn: internet

Hình 1.6: Hình ảnh thực tế các công trình xây dựng sử dụng các loại dầm

composite-Nguồn: internet

Ngoài ra vật liệu composite chức năng (FGM) cũng đƣợc sử dụng làm vật liệu

để chế tạo các động cơ nhƣ động cơ đốt trong, động cơ tên lửa nhƣ Hình 1.7:

Hình 1.7: Vật liệu composite FGM chế tạo động cơ đốt trong, động cơ phản

thế hệ 4 (Hình 1.8) Đây là máy bay chiến đấu chiến thuật phải đƣợc tích hợp các kỹ

thuật mới ra đời gồm vật liệu hợp kim và composite, hệ thống động cơ mạnh, khả

Hot gases Turbine

Fuel injector

Inlet

Compressor Combustion

chamber Nozzle

Du thuyền Happy Days (Hình 1.9) được cũng chế tạo bằng vật liệu composite với các đặc tính vật liệu gọn, nhẹ và thiết kế đầy đủ các thiết bị công nghệ hiện đại.

Hình 1.9: Hình ảnh của tàu Happy Days trên biển được thiết kế bằng phần mềm mô phỏng ANSYS và chế tạo bằng vật liệu composite (Photo by Neil Rabinowitz)

Vật liệu sợi composite không chỉ có ưu điểm cường độ cao, mà còn có tính tàng hình mạnh đối với radar, được ứng dụng nhiều cho tàu chiến tàng hình (Hình

1.10)

Hình 1.10: Tàu chiến, tàu ngầm được chế tạo bằng vật liệu composite-Nguồn:

internet

Việc chế tạo máy bay trực thăng cũng phải ứng dụng rất nhiều vật liệu composite (sợi carbon) Cánh của máy bay trực thăng làm bằng vật liệu composite cũng là ứng dụng của dầm trong thực tế (Hình 1.11)

Hình 1.11: Hình ảnh cánh trực thăng và trực thăng được chế tạo bằng vật liệu

composite-Nguồn: internet

1.1.2 Giới thiệu lý thuyết tính toán dầm

Việc nghiên cứu khả năng ứng xử của các kết cấu được cấu tạo từ vật liệu composite chủ yếu là lập ra các mô hình tính toán, áp dụng những lý thuyết khác nhau để phân tích khả năng ứng xử của kết cấu Đối với các công trình xây dựng từ

cơ bản đến phức tạp thì dầm là một trong những loại kết cấu quan trọng cấu tạo nên

bộ khung chịu lực của công trình xây dựng, vì vậy việc ứng dụng vật liệu composite

để cấu tạo dầm là một trong những hướng phát triển tốt cho các công trình xây dựng

Để ứng dụng thành công loại kết cấu này ta phải nắm rõ được ứng xử cơ học của nó: đặc trưng của biến dạng, phân bố ứng suất, tần số dao động tự do, tải trọng tới hạn,…được áp dụng với những điều kiện khác nhau để từ đó đưa ra những phương án thiết kế hợp lý, tiết kiệm chi phí… Các mô hình đưa ra được nghiên cứu, tính toán với nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp giải tích, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và áp dụng nhiều lý thuyết để tính toán cho mô hình kết cấu dầm như: lý thuyết dầm cổ điển (Classical Beam Theory - CBT), lý thuyết dầm bậc nhất (First–Order Beam Theory – FOBT), lý thuyết dầm bậc cao (High-Order Beam Theory – HOBT): bậc 2, bậc 3, bậc 5, hàm mũ, hàm lượng giác,…và lý thuyết dầm cải tiến (Refined Beam Theory):

- Lý thuyết dầm cổ điển (Classical Beam Theory - CBT): được áp dụng để khảo sát khả năng ứng xử của dầm mỏng (dầm Euler-Bernoulli) vì bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt ngang theo chiều dày của dầm Theo lý thuyết này, công thức tính trường chuyển vị yêu cầu liên tục C1;

- Lý thuyết dầm bậc nhất (First–Order Beam Theory – FOBT): để xét đến ảnh hưởng của lực cắt ngang theo chiều dày của dầm, Timoshenko đã phát triển một lý thuyết tính toán áp dụng cho dầm có chiều dày trung bình.Lý thuyết dầm bậc nhất (còn có tên gọi là lý thuyết dầm Timoshenko) cho kết quả tốt hơn lý thuyết dầm cổ điển (CBT) vì trường chuyển vị chỉ yêu cầu liên tục

C0 mà còn tính đến ảnh hưởng biến dạng cắt ngang Tuy nhiên với lý thuyết dầm bậc nhất (FOBT) thì biến dạng cắt ngang được giả thiết là hằng số dọc suốt chiều dày của dầm và không thỏa điều kiện ứng suất cắt phải bằng không tại mặt đáy và mặt trên cùng của dầm Vì vậy cần phải sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt (shear correction factor – SCF) Hệ số hiệu chỉnh cắt này phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố như: hệ số vật liệu, sự sắp xếp hướng sợi, điều kiện biên

và hình dạng hình học….Hệ số này rất khó xác định và vẫn còn nhiều vấn đề

để nghiên cứu

- Lý thuyết dầm bậc cao (Higher-Order Beam Theory – HOBT): để giải quyết các nhược điểm trên của lý thuyết dầm bậc nhất (FOBT), các lý thuyết dầm bậc cao đã được nghiên cứu và ra đời, trong đó trường biến dạng được xấp xỉ bằng các hàm bậc cao: bậc 2, bậc 3, bậc 5, hàm mũ, hàm lượng giác,…lý thuyết dầm bậc 3 của Reddy (TOBT) mô tả ứng suất, biến dạng là hàm số bậc 3 theo chiều dày dầm, vì vậy không cần sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt (SCF) và điều kiện ứng suất cắt bằng không tại mặt trên và đáy của dầm tự động được thỏa Tuy nhiên, lý thuyết bậc 3 của Reddy khi giải dầm dày yêu cầu liên tục C1 trong trường chuyển vị, mà điều này sẽ là nhiều trở ngại dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) Đây chính là một trong những nhược điểm của phương pháp PTHH Với việc xấp xỉ hàm dạng bằng các hàm bậc cao thì lý thuyết dầm bậc cao (HOBT) cho kết quả tốt hơn, chính xác và

phù hợp hơn so với lý thuyết dầm bậc nhất (FOBT) và lý thuyết dầm cổ điển (CBT)

Ta có thể tóm tắt các lý thuyết và phương pháp tính toán dầm bằng phương pháp phân tích IGA như Hình 1.11

Hình 1.12: Hình ảnh minh họa hệ thống các lý thuyết tính toán dầm

1.1.3 Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học

Ngày nay, các công cụ hỗ trợ cho việc thiết kế hình học trước khi đưa vào tính toán (Computer Aided Design – CAD) đã trở nên phổ biến và quen thuộc đối với các

kỹ sư Các công cụ hỗ trợ này cùng với việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn

để giải các phương trình vi phân bằng các đa thức nội suy Lagrange sẽ giải quyết được đa số các bài toán kỹ thuật mà trường chuyển vị tổng quát yêu cầu liên tục C0

Tuy nhiên đối với bài toán mà trường chuyển vị tổng quát yêu cầu liên tục bậc cao thì việc dùng đa thức nội suy Lagrange sẽ gặp khó khăn do có đạo hàm bậc cao trong công thức ma trận độ cứng Một số phần tử liên tục C0 đã được đề xuất để giải quyết vấn đề đó như hàm nội suy Hermit Tuy nhiên, với việc đưa vào phần tử này thì sẽ gia tăng các biến thêm vào làm chi phí tính toán tăng lên đáng kể Năm 2005, Hughes và các cộng sự [40] đã đưa ra một phương pháp tính toán số mới là phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (Iso Geometry Analysis – IGA) vừa thỏa mãn liên tục bậc cao

và cho kết quả chính xác Phương pháp này tích hợp công cụ thiết kế hình học (CAD)

và việc phân tích phần tử hữu hạn (FEA) vào một mô hình, dữ liệu hình học chính xác chỉ truy xuất duy nhất một lần khi đưa qua phân tích tính toán Để việc kết hợp này thực hiện được, phương pháp IGA đã sử dụng các hàm B-spline hoặc hàm cơ sở NURBS (Non-Uniform Rational B-spline) là các hàm thường sử dụng trong CAD để

mô tả cả dạng hình học và xấp xỉ các biến số chưa biết trong việc phân tích Hàm NURBS có thể biểu diễn chính xác một số dạng hình học như hình tròn, hình cầu, hình trụ, hình ellip,…Sử dụng hàm NURBS trong IGA có thể đạt được bậc liên tục

Cp-1 khi hàm cơ sở NURBS có bậc p, vì vậy dễ dàng đạt được bậc liên tục cao hơn

việc sử dụng đa thức nội suy Lagrange trong phương pháp FEM truyền thống

Với những ưu điểm như trên, phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học luôn đảm bảo dạng hình học chính xác, tạo ra sự linh hoạt dùng hàm cơ sở NURBS

để gia tăng sự chính xác nghiệm số Hiện nay, sau gần một thập niên ra đời, phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học đã được ứng dụng rộng rãi vào nhiều lĩnh vực trong kỹ thuật và đang được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm

1.2 Tình hình phát triển của việc nghiên cứu phân tích kết cấu dầm nhiều lớp hiện nay trên thế giới

Hiện nay, việc nghiên cứu phân tích kết cấu của dầm composite đã được nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới thực hiện với những phương pháp và lý thuyết áp dụng khác nhau:

- Kahrobaiyan [17] nghiên cứu biến dạng của dầm chức năng Bernoulli bằng lý thuyết dầm cổ điển (Classical Beam Theory - CBT) Kong

Euler-và các cộng sự [18] đã thực hiện nghiên cứu tần số dao động tự do của dầm kích thước nhỏ Euler-Bernoulli;

- Prabhat Kumar Sinha và Rohit đã phân tích dầm composite bằng lý thuyết FOBT và phương pháp phần tử hữu hạn [32] M.Endo và N.Kimura [26] đã tìm ra công thức mới để giải quyết các vấn về điều kiện biên của lý thuyết dầm FOBT và tấm Mindlin;

- Để giải quyết các giới hạn của lý thuyết dầm bậc nhất (FOBT), các lý thuyết dầm bậc cao đã được nghiên cứu và ra đời, trong đó trường biến dạng được xấp xỉ bằng các hàm bậc cao: Stephan và Levinson đã nghiên cứu dầm

bằng lý thuyết dầm bậc 2 [37]; Reddy và Khdeir đã nghiên cứu phân tích tĩnh, dao động và ổn định của dầm nhiều lớp bằng lý thuyết dầm bậc 3 [35], [7], [8], [9]; Loc V.Tran và các cộng sự đã nghiên cứu kết cấu tấm nhiều lớp dùng hàm bậc 5 [23]; M Karama và các cộng sự đã nghiên cứu dầm nhiều lớp với hàm biểu diễn ứng suất cắt ngang là hàm mũ [27]; Santos và Reddy đã phân tích dao động tự do, ổn định của dầm nhiều lớp dùng lý thuyết ứng suất kết hợp [14]; Sayyad và Ghugal đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt hyperbol để phân tích dầm chịu uốn [2]; tương tự Dahake và Ghugal cũng nghiên cứu khả năng chịu uốn của dầm dày gối tựa đơn bằng lý thuyết biến dạng cắt lượng giác [4]; Thuc P.Vo và cộng sự đã nghiên cứu khả năng chịu uốn của dầm dùng lý thuyết biến dạng cắt hình sin [58]; Chiến và các cộng sự áp dụng lý thuyết biến dạng hàm lượng giác ngược để phân tích tấm composite [11]; Ghugal và Dahake đã nghiên cứu dầm dày chịu uốn bằng lý thuyết biến dạng cắt hình parabol [59]; Nazargah và các cộng sự đã phân tích tĩnh, dao động của dầm nhiều lớp composite bằng lý thuyết toàn trục địa phương bậc cao [28]; Sayyad

đã phân tích tĩnh và dao động tự do kết cấu dầm dày đẳng hướng bằng cách sử dụng các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao khác [1]

Qua thời gian tìm hiểu, người viết luận văn này chưa tìm thấy bất kỳ nghiên cứu nào sử dụng phương pháp đẳng hình học cho phân tích kết cấu dầm nhiều lớp dựa trên lý thuyết dầm bậc cao (bậc 5)

1.3 Tình hình nghiên cứu liên quan đến kết cấu dầm nhiều lớp ở trong nước

Hiện nay việc nghiên cứu kết cấu nhiều lớp đang được thực hiện tại một số nhóm nghiên cứu, điển hình qua một số công bố quốc tế của các nhóm nghiên cứu bằng những phương pháp khác nhau:

- Nguyễn Trung Kiên, Võ Phương Thức, Thái Hữu Tài xây dựng cơ sở lý thuyết mới dầm bậc nhất để phân tích kết cấu dầm chức năng [48];

- Bên cạnh đó, Nguyễn Trung Kiên, Nguyễn Bá Duy, Võ Phương Thức, Thái Hữu Tài đã áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao để phân tích kết cấu dầm Sandwich, dầm chức năng [45], [46], [47], [49], [51];

- Một số nhà nghiên cứu khác như: Võ Phương Thức, Thái Hữu Tài, Nguyễn Trung Kiên đã đề xuất lời giải giả 3D (quasi-3D) để phân tích kết cấu dầm chức năng, dầm Sandwich [43], [44];

- Việc phát triển một số lý thuyết bậc cao khác để phân tích kết cấu dầm chức năng, dầm Sandwich đã được Nguyễn Trung Kiên, Võ Phương Thức, Thái Hữu Tài thực hiện trong các nghiên cứu của mình trong các tài liệu tham khảo [13], [50], [52];

- Trong hội nghị Cơ học toàn quốc năm 2012, Trần Vĩnh Lộc, Vũ Quang Thắng, Thái Hoàng Chiến, Lương Văn Hải, Nguyễn Xuân Hùng áp dụng phương pháp phân tích phi tuyến đẳng hình học và dao dộng của dầm mỏng bằng phương pháp đẳng hình học [41];

- Nghiên cứu dao động và ổn định của dầm composite dùng lý thuyết dầm bậc cao hình sin được Võ Phương Thức, Thái Hữu Tài thực hiện trong các nghiên cứu đã công bố trong tài liệu tham khảo [58]

Với kiến thức của người viết, việc nghiên cứu kết cấu dầm nhiều lớp dùng lý thuyết dầm bậc cao kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học còn rất hạn chế ở Việt Nam, trong khi lý thuyết này đóng vai trò rất quan trọng để biểu diễn sự phân bố ứng suất cắt dạng phi tuyến qua chiều dày của dầm Trong luận văn này sẽ áp dụng phương pháp tính toán mới là phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học kết hợp với lý thuyết dầm bậc cao (bậc 5) để phân tích tĩnh, dao động tự do và ổn định

của kết cấu dầm nhiều lớp.

1.4 Mục tiêu nghiên cứu

Để phát triển những phương pháp tính ưu việt, nhiều phương pháp số đã được nghiên cứu như: phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element method – FEM), phương pháp sai phân hữu hạn (Finite difference method – FDM), phương pháp phần

tử biên (Boundary Element Method- BEM), phương pháp không lưới (Meshless method), phương pháp phần tử hữu hạn trơn… Gần đây, Hughes và các cộng sự đã giới thiệu phương pháp phân tích đẳng hình học (IsoGeometric Analysis – IGA) [15], [16] dựa trên hàm cơ sở NURBS, đây là phương pháp thực hiện cầu nối giữa công cụ

hỗ trợ thiết kế (CAD) và công cụ hỗ trợ tính toán (FEA) Sự khác biệt giữa 2 phương pháp PTHH (FEM) và PTĐHH (IGA) là FEM sử dụng đa thức cơ sở Lagrange, còn IGA thì sử dụng hàm cơ sở NURBS, là hàm thường dùng trong CAD để mô tả đồng thời hình dạng hình học và các biến số trong việc phân tích, nên quá trình tạo lưới sẽ không còn dùng một chương trình tạo lưới riêng biệt như trong FEM Do đó phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IGA) là phương pháp mang lại nhiều hứa hẹn mong đợi bởi vì nó có thể trực tiếp sử dụng dữ liệu CAD để mô tả chính xác cả hình dạng hình học và xấp xỉ nghiệm số Với những ưu điểm của phương pháp IGA, người viết luận văn này sẽ áp dụng phương pháp phần tử đẳng hình học cho việc phân tích tĩnh, dao động tựdo, ổn định của dầm nhiều lớp dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với bậc của hàm dạng là bậc 5

Việc áp dụng lý thuyết dầm bậc cao kết hợp phương pháp phần tử đẳng hình học (IGA) sẽ cho kết quả lời giải của bài toán kết cấu dầm chính xác hơn và thỏa điều kiện liên tục C1, đây chính là mục tiêu nghiên cứu của luận văn tên đề tài: “Phân tích kết cấu dầm nhiều lớp dùng lý thuyết biến biến dạng cắt bậc cao và phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học”

1.5 Quy mô nghiên cứu

Từ mục tiêu nghiên cứu đã được xác định, quy mô nghiên cứu của luận văn sẽ thực hiện:

- Phân tích tĩnh dầm composite nhiều lớp chịu tải trọng phân bố đều, tải trọng phân bố hình sin;

- Phân tích dao động tự do dầm nhiều lớp;

- Phân tích tính ổn định của dầm nhiều lớp

Việc nghiên cứu trên thực hiện dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (bậc 5) kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IGA)

1.6 Bố cục của luận văn

Chương 1: Mở đầu

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học

CHƯƠNG 2 : CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, luận văn trình bày lý thuyết dầm bậc cao áp dụng trong việc phân tích dầm nhiều lớp Hàm dạng xấp xỉ trong trường chuyển vị là hàm bậc 5 Thực hiện việc giải các phương trình vi phân cai quản qua các công thức dạng yếu và năng lượng biến dạng của mô hình dầm composite

2.1 Sơ lược lý thuyết về vật liệu composite

Như đã trình bày trong phần 1, vật liệu composite được cấu tạo từ nhiều loại vật liệu thành từng lớp và trong mỗi lớp vật liệu cũng có thể có phương khác nhau như Hình 2.1

Hình 2.1: Mô hình cấu trúc của các loại vật liệu composite nhiều lớp [53]

Tùy theo sự phân bố của các lớp mà vật liệu composite có thể được phân thành:

- Composite đối xứng đúng trục: 0 / 904 0 / 90 / 90 / 0

- Composite đối xứng lệch trục:  30 4 30 / 30 / 30 / 30  

- Composite xen lớp đúng trục: 0 / 904 0 / 90 / 0 / 90

- Composite xen lớp lệch trục:  30 4 30 / 30 / 30 / 30  

Trong việc tính toán ứng xử cơ học của vật liệu composite, ta cần hiểu rõ hệ

trục chính của vật liệu là (1,2,3), hệ tọa độ chung của dầm là (x,y,z) như Hình 2.2

Hình 2.2: Hệ trục của vật liệu (1, 2, 3) và hệ trục quy chiếu chung (x, y, z) [53]

Dầm composite nhiều lớp thường được cấu tạo bởi nhiều lớp trực hướng (orthotropic), có kích thước hình học và hệ trục tọa độ mô tả trong Hình 2.3

2.2 Chuyển vị, biến dạng, ứng suất của dầm nhiều lớp

Kích thước hình học, hệ tọa độ của dầm nhiều lớp trực hướng được mô tả như Hình 2.3 Giả sử rằng chuyển vị của dầm được đại diện bởi chuyển vị tại trục trung

hòa của dầm trong mặt phẳng x-z

Đối với kết cấu dạng 3D ta có các thành phần ứng suất:

000

T T

Mối quan hệ ứng xử giữa ứng suất và biến dạng tại lớp k của dầm composite

trực hướng (orthotropic layer) tuân theo định luật Hooke:

k  k k    k k

000

k

Q Q Q

+ u 0 , w 0 : là thành phần chuyển vị theo phương x, z

+x : là góc xoay quanh trục y trong mặt phẳng x-z

+ f z : là hàm dạng biểu diễn sự phân bố của biến dạng cắt ngang và ứng suất

theo suốt chiều dày của dầm Bảng 2.1 cho ví dụ các dạng hàm f(z)

Bảng 2.1: Một vài hàm dạng trong các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

Lý thuyết Hàm dạng f z 

Một số mô hình có hàm dạng là đa thức (Polynomial Model)

2

413

Một số mô hình có hàm dạng lƣợng giác ( Trigonometric Model)

h

arcsinh 2

z h

 

   

Trong những mô hình hàm dạng của lý thuyết biến dạng cắt bậc cao nêu trên, luận văn chọn hàm dạng đa thức bậc cao (bậc 5) được đề nghị trong các bài báo quốc tế đã được công bố [11], [23] để phân tích kết cấu dầm nhiều lớp vì hàm đa thức bậc cao (bậc 5) đơn giản hơn hàm mũ, hàm lượng giác nhưng cho kết quả tương

tự như các hàm phức tạp khác và kết quả chính xác hơn kết quả lý thuyết dầm Reddy (bậc 3)

Từ (2.10) ta có biến dạng trong mặt phẳng của dầm nhiều lớp:







u x

2 0

Hay nói cách khác thì g z  là đạo hàm của hàm f z 

2.3 Dạng yếu của mô hình dầm composite

2.3.1 Năng lƣợng biến dạng tại lớp k của dầm composite

Ta có biểu thức năng lƣợng biến dạng tại lớp k của dầm composite:

1

2

 2 1 2

1

2

h k

12

h k

h k

h n

h k n

13 2

h

k n

k h

k h

h k

x k

2

1

1 ( ) ( )

( ) ( )

k

k

h k n

2

( )( ) ( ) ( )

( )

k

h k n

Đặt :

2

2 11

1

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

k h

2

( )

h k n

2

( ) ( ) ( ) ( )

( )

h k n

k h

h k n

2.3.2 Năng lƣợng biến dạng của dầm composite trong hệ tọa độ chung

Biểu thức năng lƣợng biến dạng của dầm composite trong hệ tọa độ chung

2

12

2

12

2

( )

h k n

h k k

E Q

Ta có công của ngoại lực tác dụng lên dầm composite trong hệ tọa độ chung

p: là cường độ lực phân bố trên 1 đơn vị diện tích;

Thế năng toàn phần của dầm composite:

0 0 0

T p

CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐẲNG

HÌNH HỌC

Trong chương này sẽ trình bày lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học, giới thiệu các hàm B-spline, NURBS, và thành lập công thức xấp xỉ dựa trên hàm NURBS của phương pháp IGA dựa trên lý thuyết dầm bậc cao (bậc 5) cho việc phân tích kết cấu dầm composite nhiều lớp

3.1 Giới thiệu hàm B-splines và NURBS

Trong nỗ lực phát triển những phương pháp tính ưu việt, nhiều phương pháp

số đã được nghiên cứu và ra đời như: phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn trơn, phương pháp không lưới ….Gần đây, Hughes và các cộng sự

đã giới thiệu một phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (Isogeometric analysic – IGA)[15],[16], phương pháp này là cầu nối giữa chương trình hỗ trợ tính toán (Computer Aided Design – CAD) và phân tích phần tử hữu hạn (Finite Element Analysis – FEA) Điều này có nghĩa là phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IGA) sử dụng các hàm cơ sở được tạo từ các đường cong hữu tỷ không đồng nhất (Non-Uniform Rational B-Splines – NURBS) để mô tả các hình dạng hình học và xấp

xỉ biến chưa biết trong việc phân tích, vì thế quá trình phân chia lưới trong phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IGA) có thể sẽ biến mất và cả hai mô hình cho CAD và FEA hợp nhất thành một Ưu điểm chính của phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IGA) là có khả năng biểu diễn chính xác miền giới hạn bởi các mặt cắt hình nón và xấp xỉ bậc cao với bậc liên tục bất kỳ.Trong phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IGA), dạng hình học chính xác được duy trì ở mức độ lưới thô nhất và sự phân chia lại lưới được thực hiện ở mức lưới này mà không cần thêm bất cứ sự hỗ trợ nào của CAD Hơn thế nữa, hàm B-spline hoặc hàm NURBS được cung cấp linh động để thực hiện việc chỉnh sửa và tăng bậc hàm số Phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IGA) đã mở rộng lĩnh vực phân tích của các vấn đề

cơ học thực tế như: dao động của kết cấu; tối ưu hóa hình dạng kết cấu; kết cấu dầm, tấm nhiều lớp; dầm, tấm chức năng; vấn đề tấm với góc xoay tự do…Một sơ đồ tính toán dựa trên phương pháp IGA có thể được minh họa trong Hình 3.1

Với những ưu điểm như trên của phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học, luận văn sẽ áp dụng công thức xấp xỉ của hàm NURBS dựa trên phương pháp đẳng hình học (IGA) kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (lý thuyết dầm bậc cao – bậc 5) để thực hiện việc phân tích tĩnh, dao động tự do và ổn định của dầm composite nhiều lớp Trường chuyển vị được xây dựng bằng cách sử dụng hàm cơ sở NURBS đạt được liên tục bậc cao và dễ dàng đạt được liên tục C1

theo yêu cầu của lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Các ví dụ số sẽ được minh họa để chứng tỏ sự hữu ích của phương pháp này Những kết quả tính toán từ lý thuyết này sẽ được so sánh với những nghiệm giải theo lời giải chính xác 3D [6], lời giải giải tích [7], [8], [9] hoặc những nghiệm giải bằng phương pháp số khác [30]

Hình 3.1: Sơ đồ minh họa các tham số của hàm NUBRS trong IGA [16]

Lưới điều khiển

Không gian vật lý

Điểm điều khiển Bij

Hình thành từ những phần tử gốc

Lưới vật lý

Không gian tham số

Phần tử gốc

Không gian chỉ số Các vector Knot

Hình 3.2: Sự khác nhau giữa FEM và IGA[16]

Không kém phần quan trọng, Hình 3.2 và Hình 3.3 so sánh sự khác nhau cơ bản giữa FEM và IGA

3.2 Lý thuyết hàm cơ sở B-spline và knot vector[16]

Hình 3.3: Sự khác nhau giữa Nodes (FEM) và knot vector (IGA) [16]

Một knot vector (vector nút)  1, 2, ,n p 1 đƣợc định nghĩa nhƣ là 1 chuỗi giá trị knot với i R,i 1, n p  i đƣợc gọi là tọa độ các knot và  hình thành hệ tọa độ không gian tham số

Nếu các knot đầu tiên và cuối cùng đƣợc lặp lại p+1 lần thì knot vector đƣợc

gọi là knot vector mở Một giá trị knot có thể xuất hiện hơn một lần thì gọi là đa knot

Phần tử tham chiếu Miền vật lý Miền tham số Miền vật lý

(b) FEM truyền thống (a) Ánh xạ NURBS

(b) Phân tích IGA

(a) Phân tích FEM