Phân tích tĩnh dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến

Bài viết này đề xuất một lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến để phân tích ứng xử tĩnh của dầm composite. Trường chuyển vị của bài toán được rút gọn từ lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ba biến bằng cách sử dụng phương trình cân bằng tĩnh học.

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2020 14 (4V): 54–66 PHÂN TÍCH TĨNH DẦM COMPOSITE SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO HAI BIẾN Nguyễn Thiện Nhâna , Nguyễn Ngọc Dươngb,∗, Nguyễn Trung Kiênb a Khoa Kỹ thuật – Công nghệ, Trường Đại học Kiên Giang, số 320A, Quốc lộ 61, Thị trấn Minh Lương, huyện Châu Thành, tỉnh Kiên Giang, Việt Nam b Khoa Xây Dựng, Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật TP Hồ Chí Minh, số 01 Võ Văn Ngân, Quận Thủ Đức, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam Nhận ngày 25/08/2020, Sửa xong 07/09/2020, Chấp nhận đăng 09/09/2020 Tóm tắt Bài báo đề xuất lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến để phân tích ứng xử tĩnh dầm composite Trường chuyển vị toán rút gọn từ lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ba biến cách sử dụng phương trình cân tĩnh học Phương trình chủ đạo thành lập từ phương trình Lagrange Lời giải Ritz, với hàm xấp xỉ hàm số mũ số Napier, phù hợp với điều kiện biên khác đề xuất để giải toán Sự hiệu trường chuyển vị đề xuất hàm xấp xỉ Ritz phân tích, đánh giá Các ví dụ số thực để khảo sát độ hội tụ lời giải so sánh với nghiên cứu trước Ảnh hưởng điều kiện biên, hướng sợi, tỷ số chiều dài/chiều cao dầm, đặc biệt biến dạng cắt đến chuyển vị ứng suất dầm composite lớp khảo sát bình luận chi tiết Từ khố: dầm composite; lý thuyết biến dạng cắt bậc cao; phương pháp Ritz; phân tích tĩnh; rút gọn trường chuyển vị BENDING ANALYSIS OF COMPOSITE BEAM USING A TWO-VARIABLE HIGH ORDER BEAM THEORY Abstract This paper proposes a two-variable higher-order beam theory for static analysis of laminated composite beams The displacement fields are refined from general higher-order beam theory by using static equilibrium equations The governing equations are established from the Lagrange equations The Ritz’s approximation functions, which so called Napier’s exponential functions, are developed for various boundary conditions The effectiveness of the proposed displacement field and new Ritz’s approximation function are analyzed and evaluated The numerical examples are performed to examine the convergence of solution, and compare with available results Effects of boundary conditions, fiber orientation, length-to-height ratio and especially shear effect on displacement and stress of laminated composite beams are investigated and discussed in detail Keywords: composite beam; high-order beam theory; Ritz method; static analysis; refine beam theory https://doi.org/10.31814/stce.nuce2020-14(4V)-05 © 2020 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) Giới thiệu Composite vật liệu hỗn hợp, tạo thành từ hai hay nhiều vật liệu thành phần Các ưu điểm bật vật liệu composite cường độ cao, trọng lượng nhẹ, cách âm, cách nhiệt chống ăn mòn tốt Nhờ đặc điểm ưu việt trên, vật liệu composite sử dụng nhiều ngành kỹ thuật ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: duongnn@hcmute.edu.vn (Dương, N N.) 54 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng xây dựng, giao thông, hàng không, tàu thủy Trong dạng kết cấu composite ứng dụng thực tiễn, dầm composite phổ biến thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học Nhiều lý thuyết, phương pháp tính tốn, quy luật ứng xử đề xuất nhằm phân tích ứng xử dầm [1, 2] Lý thuyết dầm chia vào ba nhóm chính: lý thuyết cổ điển (LTCĐ) [3], lý thuyết bậc (LTBN) [4, 5] lý thuyết bậc cao (LTBC) [6–10] LTCĐ bỏ qua biến dạng cắt, vậy, áp dụng phù hợp cho dầm mảnh LTBN kể đến biến dạng cắt, nhiên, lý thuyết cần hệ số điều chỉnh cắt Trong trường hợp tổng quát, việc xác định hệ số điều chỉnh cắt phức tạp Để khắc phục nhược điểm này, nhà khoa học phát triển LTBC Khi đề xuất LTBC, ý tưởng để giảm chi phí tính tốn giảm biến số trường chuyển vị toán Thái, cs [11] đề xuất lý thuyết biến dạng cắt biến để phân tích tĩnh dao động tự dầm vật liệu đẳng hướng kích thước vi mơ Shimpi [12] phân tích tĩnh dao động dầm đẳng hướng lý thuyết dầm biến giải tích phân trực tiếp Nguyễn, cs [13] giới thiệu lý thuyết ba biến phân tích tĩnh vật liệu phân lớp chức (FGM) Ngoài ra, Thái, cs [14] phân tích tĩnh dao động tự vật liệu đẳng hướng dựa vào lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản giải tốn Navier Levy Có thể thấy rằng, hướng tiếp cận chưa sử dụng phổ biến phân tích ứng xử dầm vật liệu composite Về phương pháp, phần tử hữu hạn sử dụng phổ biến [6, 15, 16] Bên cạnh đó, phương pháp giải tích nhà khoa học quan tâm Zenkour [17] sử dụng lời giải Navier để phân tích dầm composite sandwich chịu uốn ngang Aydogdu [18, 19] sử dụng phương pháp Ritz để phân tích dao động tự ổn định dầm composite Mantari, cs [20] phân tích ổn định dao động tự dầm composite theo phương pháp Ritz với điều kiện biên khác Nguyễn, cs [21] đề xuất hàm Ritz dạng lượng giác để giải toán tĩnh, dao động tự ổn định dầm composite nhiều lớp Ngoài ra, Nguyễn, cs [22] đề xuất hàm “Hybrid” dạng mũ đa thức để phân tích dao động ổn định dầm composite chịu tải trọng nhiệt Có thể thấy rằng, hiệu lời giải Ritz phụ thuộc vào đặc điểm hàm dạng lời giải sử dụng phân tích tĩnh dầm composite Mục tiêu báo đề xuất (i) lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến (ii) hàm xấp xỉ dạng hàm số mũ số Napier để phân tích tĩnh dầm composite Trường chuyển vị hai biến rút gọn từ trường chuyển vị bậc cao ba biến cách sử dụng phương trình cân tĩnh học Quan hệ ứng suất-biến dạng tuân thủ định luật Hooke cho vật liệu composite Phương trình chủ đạo rút từ nguyên lý Lagrange Các hàm xấp xỉ dạng mũ Napier đề xuất để xấp xỉ trường chuyển vị Các ví dụ số thực so sánh với nghiên cứu trước để chứng minh xác lý thuyết đề xuất Các ảnh hưởng tỷ số nhịp/chiều cao, điều kiện biên, hướng sợi đến chuyển vị dầm khảo sát chi tiết Cơ sở lý thuyết 2.1 Quan hệ ứng suất biến dạng Vật liệu composite nghiên cứu báo vật liệu composite nhiều lớp, lớp vật liệu trực hướng có hướng sợi khác Quan hệ ứng suất biến dạng lớp thứ kth hệ tọa độ tổng thể có dạng sau:   (k)   (k)   (k)     σx    Q¯ 11  εx     (1)  (k)  σ(k)   =   γ(k)   ¯ Q xz xz 55 55 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng th ¯ (k) Q¯ (k) 11 ; Q55 số độ cứng giảm lớp thứ k hệ tọa độ tổng thể, cho công thức sau: (k) (k) (k) (k) 2 Q¯ (k) (2) 11 = Q11 cos θ + 2(Q12 + 2Q66 )sin θcos θ + Q22 sin θ Q¯ (k) = Q(k) cos2 θ + Q(k) 44 sin θ 55 55 (3) θ góc hợp hướng sợi lớp kth trục x: Q(k) 11 = E1(k) 1− , Q(k) 12 (k) (k) ν12 ν21 = (k) (k) ν12 E2 1− , Q(k) 22 (k) (k) ν12 ν21 = E2(k) (k) (k) − ν12 ν21 (k) (k) (k) (k) (k) Q(k) 44 = G 23 , Q55 = G 13 , Q66 = G 12 (4) (5) 2.2 Trường chuyển vị Trường chuyển vị lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (LTBC) theo Thai [14]: u(x, z) = u0 (x) − zwb,x (x) + g(z)w s,x (x) (6) w(x, z) = wb (x) + w s (x) (7) 5z3 z , u0 (x) chuyển vị điểm trục trung hòa theo phương trục dầm, − 3h2 wb (x) w s (x) chuyển vị ngang điểm trục trung hòa biến dạng uốn cắt gây Phương trình biến dạng: ε x = u,x = u0,x − zwb,xx + gw s,xx (8) g(z) = γ xz = u,z + w,x = −wb,x + g,z w s,x + wb,x + w s,x = (1 + g,z )w s,x (9) Phương trình cân tĩnh dầm: σ xx,x + σ xz,z = (10) Tích phân hai vế phương trình (10) theo z ∈ [−h/2; h/2] kết hợp với phương trình (1) với lưu ý z = h/2 σ xz = 0, ta thu được: z = −h/2 N xx,x = h/2 σ xx,x dz =A1 u0,xx − A2 wb,xxx + A3 w s,xxx = (11) −h/2 đó: n zk+1 Q¯ (k) 11 (1, z, g)dz (12) N xx = A1 u0,x − A2 wb,xx + A3 w s,xx = C (13) (A1 , A2 , A3 ) = k=1 zk Tích phân hai vế phương trình (11) theo x thu được: C số tích phân Do báo phân tích tĩnh dầm chịu tải ngang nên N xx = C = [12] 56 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Tích phân hai vế phương trình (13) thu được: A1 u0 − A2 wb,x + A3 w s,x = C1 (14) Phương trình (14) viết lại : u0 = A3 C1 A2 wb,x − w s,x + A1 A1 A1 (15) Thay phương trình (15) vào phương trình (6), ta thu trường chuyển vị mới: A2 A3 C1 − z)wb,x + (g − )w s,x + A1 A1 A1 (16) w(x, z) = wb (x) + w s (x) (17) u(x, z) = ( Thay phương trình (16) (17) vào phương trình (8) (9) thu trường biến dạng mới: εx = ( A2 A3 − z)wb,xx + (g − )w s,xx A1 A1 (18) γ xz = (1 + g,z )w s,x (19) 2.3 Các biểu thức lượng Năng lượng biến dạng hệ: U= (σ xx ε x + σ xz γ xz ) dV = V L B1 w2b,xx + 2B2 wb,xx w s,xx + B3 w2s,xx + Dw2s,x dx (20) đó: n (B1 ; B2 ; B3 ) = k=1 zk+1 zk   2  A2 A2 A3 A3  −z ; −z g− ; g−  bdz A1 A1 A1 A1   Q¯ (k)  11  (21) n Q¯ (k) (1 + g,z )2 bdz 55 D= (22) k=1 Cơng tải trọng ngồi: L V=− q(wb + w s )dx (23) q tải trọng phân bố dầm Tổng lượng hệ: Π=U +V = L B1 w2b,xx + 2B2 wb,xx w s,xx + B3 w2s,xx + Dw2s,x dx − 57 L q(wb + w s )dx (24) Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 2.4 Phương pháp Ritz Sử dụng phương pháp Ritz, trường chuyển vị xấp xỉ sau: N wb (x) = ϕ j (x)wb j (25) ϕ j (x)w s j (26) j=1 N w s (x) = j=1 wb j , w s j thông số cần xác định; ϕ j (x) hàm xấp xỉ thỏa điều kiện biên khác biên tựa đơn (S), biên ngàm (C) biên tự (F) cho (Bảng 1) Theo nghiên cứu [23], hàm ϕ j (x) hàm kết hợp đa thức khóa biên hàm số mũ số Napier Tuy nhiên, báo có cải tiến bỏ qua hàm đa thức, sử dụng túy hàm số mũ số Napier đem lại nhiều lợi ích cho tốc độ hội tụ tốn Có thể thấy rằng, phương pháp Ritz dựa vào nguyên lý biến phân chuyển vị Theo nguyên lý này, trường chuyển vị thỏa mãn điều kiện biên làm cho lượng hệ đạt giá trị dừng trường chuyển vị thực làm thỏa phương trình cân [24] Trong báo này, trường chuyển vị toán biểu diễn gần tổ hợp tuyến tính hàm xấp xỉ Tương tự nghiên cứu trước [18, 19, 23], hàm xấp xỉ đề xuất nghiên cứu thỏa điều kiện biên tốn (Bảng 1) Trong trường hợp, hàm xấp xỉ khơng thỏa điều kiện biên phương pháp nhân tử Lagrange [25, 26] hàm phạt [20] sử dụng, vậy, hướng tiếp cận làm tăng chi phí tính tốn Bảng Hàm xấp xỉ điều kiện biên (ĐKB) dầm ĐKB ϕ j (x) SS e− L − e L − e j CF e− L − CC jx jx jx jx e− L − jx x=0 x=L w s = 0; wb = w s = 0; wb = u = 0; w s = 0; wb = 0; - w s,x = 0; wb,x = e L − ej u = 0; w s = 0; wb = 0; u = 0; w s = 0; wb = 0; w s,x = 0; wb,x = w s,x = 0; wb,x = Thay phương trình (25) (26) vào phương trình (24) sử dụng nguyên lý Lagrange: ∂Π =0 ∂p j (27) đó: p j tương ứng với biến số w s j , wb j Phương trình chủ đạo tốn phân tích tĩnh dầm composite rút từ phương trình (27) có dạng sau: K11 K12 T 12 K K22 wsj wbj = Fj Fj (28) Kvà F ma trận độ cứng véc tơ tải trọng, với hệ số sau: Ki11j = B1 Ii1j ; Ki12j = B2 Ii2j ; Ki22j = B3 Ii1j + DIi2j ; 58 L Fj = qϕ j dx (29) Kij11 B1Iij1 ; Kij12 Iij1 B2 Iij2 ; Kij22 L i , xx j , xx B3 Iij1 dx ; Iij2 DI ij2 ; Fj L i,x j ,x L (29) q j dx (30) dx Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Từ phương trình (28), (29) Lvà (30) thấy Lrằng: trường chuyển vị rút gọn thu Ii1j =với ítϕbiến = ϕi,x ϕ j,x dx vị ban đầu số lần (30)tính phương trình chủ đạo sốdx;hơnIi2jtrường chuyển i,xx ϕ j,xx 0 j tốn cho ma trận K giảm tính lần tích phân phương trình (30) Trong Từ phương trình (28), (29) (30) thấy rằng: trường chuyển vị rút gọn thu phương khitrình chủ nếuđạo sửvới dụng trường chuyển vị bavịbiến nghiên cứu Nguyễn cộng biến số trường chuyển ban đầu số lần tính tốn cho ma trận K giảm j Để [21] lầncác tính trình phương trình (28), chuyển báo dụng chỉthì tínhsố j lần tíchtích phân phân phương (30).giải Trong sử dụng trường vị basử biến j phần lập trình tốn matính trận độphân cứng vectơ tải F trình (28), nhưmềm nghiênMatlab cứu để Nguyễn cs tính [21] số lần tích 3K, Để giải phương báo sử dụng phần mềm Matlab để lập trình tính tốn ma trận độ cứng K, vectơ tải F Kết số Trong phần ví dụ số thực hiện để khảo sát hội tụ độ xác Kết này, số lời giải Vật liệu sử dụng có đặt trưng sau: dụ số thực để khảo sát hội tụ độ xác lời giải E1 / E2Trong 25;phần G này, G13các ví0.5 E2 ; G23 0.2 E2 ; 12 0.25 Kích thước hình học dầm Vật liệu được12sử dụng có đặt trưng sau: E1 /E2 = 25; G12 = G13 = 0.5E2 ; G23 = 0.2E2 ; ν12 = thể0.25 hiệnKích quathước Hìnhhình học Để thuận việcqua khảo cácthuận biểutiệnthức thứ dầmtiện đượccho thể Hìnhsát, Để cho khơng việc khảo sát,ngun nghĩathứ sau: định nghĩa sau: biểuđịnh thức không nguyên bh 100wE bh 100wE22bh bh3 bh2 LL hh bh ;; σ ¯ xxxx = 22 σ xx ( , , );) ; σ ¯ xzxz= σ xz (0, 0) 0) ww¯ = xz (0, xx ( 4 2 qL qL qL qL qL qL 2 (31)(31) Hình Kích thướchình hình học củacủa dầmdầm composite Hình Kích thước học composite 3.1 Khảo sát hội tụ 3.1 Khảo sát hội tụ Kết khảo sát số bước lặp tìm chuyển vị nhịp w dầm0 composite Kết khảo sát số bước lặp tìm chuyển vị nhịp w¯ dầm composite (0 /900 ) (0 / 900 ) L / h trình bày Bảng Có thể thấy rằng: với điều kiện biên L/h = trình bày Bảng Có thể thấy rằng: với điều kiện biên SS toán hội tụ j ,toán SS j hộikiện tụ biên CF vớihội điều kiện kiện toánbiên hộiCC tụbài khitoánj hội10tụ = 4,toán với điều tụ j =biên 10 vàCF với điều với j =kiện Vì biên vậy, quảchuỗi j để6 biểu điều CCchuỗi bàisốtoán hộiđược tụ sử khidụng Vì diễn vậy,kếtcác sốbáo nàynày sử dụng Từ kết khảo sát Bảng 3, thấy hàm xấp xỉ Ritz báo cho kết hội để biểu diễn kết báo tụ nhanh, với số bước lặp hàm xấp xỉ Ritz nghiên cứu [21] Do đó, chi phí tính tốn giảm đáng kể Bảng Khảo sát số bước lặp hàm xấp xỉ Ritz ĐKB Chỉ số j phương trình (25) (26) 59 10 12 14 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Bảng Khảo sát số bước lặp hàm xấp xỉ Ritz Chỉ số j phương trình (25) (26) ĐKB SS CF CC 10 12 14 4,776 15,034 1,876 4,777 15,201 1,92 4,777 15,286 1,922 4,777 15,277 1,922 4,777 15,279 1,922 4,777 15,279 1,922 4,777 15,279 1,922 Bảng So sánh kết khảo sát số bước lặp Chỉ số j phương trình (25) (26) ứng với ĐKB Nghiên cứu Bài báo Nguyễn cs [21] SS CF CC 14 10 14 14 3.2 Các ví dụ số Ví dụ 1: Trong ví dụ này, chuyển vị ngang khơng thứ nguyên dầm phân lớp (00 /900 ) (00 /900 /00 ) trình bày so sánh với kết nghiên cứu trước Bảng cho thấy rằng: lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đề xuất báo cho chuyển vị nhịp dầm hồn tồn xác với kết nghiên cứu [6], [10], [15], [21] Kết phân tích ứng suất pháp σ xx ứng suất cắt σ xz dầm SS (00 /900 ) (00 /900 /00 ) trình bày Bảng Có thể thấy rằng, kết báo hoàn toàn trùng khớp với kết nghiên cứu [6], [21] Bảng Chuyển vị không thứ nguyên nhịp dầm (00 /900 ) L/h ĐKB Lý thuyết SS 10 20 30 50 Bài báo Nguyễn cs [21] Khdier Reddy [10] Võ Thái [6] Murthy cs [15] 4,777 4,777 4,777 4,785 4,750 3,688 3,688 3,668 3,696 3,688 3,413 3,413 3,421 - 3,362 3,362 - 3,336 3,336 3,336 3,344 3,318 CF Bài báo Nguyễn cs [21] Khdier Reddy [10] Võ Thái [6] Murthy cs [15] 15,279 15,260 15,279 15,305 15,334 12,343 12,330 12,343 12,369 12,398 11,562 11,556 11,588 - 11,414 11,410 - 11,337 11,335 11,337 11,363 11,392 CC Bài báo Nguyễn cs [21] Khdier Reddy [10] Murthy cs [15] 1,922 1,920 1,922 1,924 1,006 1,004 1,005 1,007 0,753 0,752 - 0,704 0,704 - 0,679 0,679 0,679 0,681 60 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Bảng Chuyển vị không thứ nguyên nhịp dầm (00 /900 /00 ) L/h ĐKB Lý thuyết SS 10 20 30 50 Bài báo Nguyễn cs [21] Khdier Reddy [10] Võ Thái [6] Murthy cs [15] 2,413 2,412 2,412 2,414 2,398 1,097 1,096 1,096 1,098 1,090 0,759 0,759 0,761 - 0,697 0,697 - 0,665 0,665 0,665 0,666 0,661 CF Bài báo Nguyễn cs [21] Khdier Reddy [10] Võ Thái [6] Murthy cs [15] 6,824 6,813 6,824 6,830 6,836 3,455 3,447 3,455 3,461 3,466 2,525 2,520 2,530 - 2,345 2,342 - 2,251 2,250 2,251 2,257 2,262 CC Bài báo Nguyễn cs [21] Khdier Reddy [10] Murthy cs [15] 1,537 1,536 1,537 1,538 0,532 0,531 0,532 0,532 0,236 0,236 - 0,178 0,177 - 0,147 0,147 0,147 0,147 Bảng Ứng suất pháp σ xx dầm (00 /900 ) (00 /900 /00 ) L/h θ Lý thuyết 00 /900 /00 00 /900 10 20 30 50 Bài báo Nguyễn cs [21] Võ Thái [6] 1,0694 1,0696 1,0670 0,8512 0,8516 0,8503 0,7959 0,7965 0,7961 0,7857 - 0,7806 - Bài báo Nguyễn cs [21] Võ Thái [6] 0,2362 0,2362 0,2361 0,2342 0,2343 0,2342 0,2338 0,2338 0,2337 0,2337 - 0,2336 - Bảng Ứng suất pháp σ xz dầm (00 /900 ) (00 /900 /00 ) L/h θ Lý thuyết /90 /0 0 00 /900 10 20 30 50 Bài báo Nguyễn cs [21] Võ Thái [6] 0,4057 0,4050 0,4057 0,4319 0,4289 0,4311 0,4467 0,4388 0,4438 0,4514 - 0,4545 - Bài báo Nguyễn cs [21] Võ Thái [6] 0,9212 0,9174 0,9187 0,9611 0,9483 0,9484 0,9819 0,9594 0,9425 0,9874 - 0,9905 - 61 Bài báo 0,9212 Nguyễn cộng [21] 0,9174 0,9187 Võ Thái [6] 00 / 900 0,9611 0,9483 0,9819 0,9594 0,9874 0,9905 - 0,9484 0,9425 - Kết phân tích ứng suất pháp xx ứng suất cắt xz dầm SS (0 / 900 ) và Bảng Có thể thấyXây rằng, kết (00 / 900 /Nhân, 00 ) N trình T., vàbày cs.trong / TạpBảng chí Khoa học Cơng nghệ dựng báo hồn tồn trùng khớp với kết nghiên cứu [6], [21] Hình biểu diễn ảnh hưởng hướng sợi đến chuyển vị thứ nguyên nhịpgiữa nhịp dầm ứng Hình biểu diễn ảnh hưởng hướng sợi đến chuyển vịkhông không thứ nguyên dầm ứng với điều kiện biên khác L / h 10 Có thể thấy rằng, chuyển vị với điều kiện biên khác L/h = 10 Có thể thấy rằng, chuyển vị dầm tăng hướng sợi dầm tăng hướng sợi tăng với tất ĐKB Điều hợp lý hướng sợi tăng làmĐiều giảm độ cứng dầm tăng với tất ĐKB làcủa hợp lýcomposite hướng sợi tăng làm giảm độ cứng dầm composite 60 SS CF CC 50 40 w 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Hình Ảnh hưởng hướng sợi đến chuyển vị không thứ nguyên nhịp dầm Hình Ảnh hưởng đến vị khơng thứ nguyên nhịp dầm phân lớp đối xứng [θ/ − θ] s [ / chuyển ]s phânhướng lớp đốisợi xứng 0.5 0.5 0.5 0.5 z/h z/h z/h z/h 00 -0.5 -0.5 -1-1 00 00 0 0 0 00/0 /90 /90/0/0 (a) (a) 0(a) /90 11 00 -0.5 -0.5 -4-4 -2-2 00 00 0 0 0/90 (b) /90 (b)(b) /90 22 Hình đồ bố ứng pháp dọc chiều cao dầm Hình3.Hình 3.Biểu Biểu đồphân phân bố ứng suấtpháp pháp dọc chiều cao dầm tựađơn đơn Biểu đồ phân bố ứngsuất suất dọc chiều cao dầm tựa đơn tựa 0.5 0.5 z/h z/h z/h z/h 0.5 bố ứng suất pháp dọc chiều cao dầm vị trí 0.5x = L/2 dầm 00 /900 /00 00 /900 Sự phân trình bày hình Hình 3(a) 3(b) Sự phân bố ứng suất tiếp dọc chiều cao dầm vị trí x = dầm 00 /900 /00 00 /900 trình bày hình Hình 4(a) 4(b) Có thể thấy rằng, ứng suất cắt không biên biên dầm Trong ví dụ trình bày ảnh hưởng của0 0các chuyển vị không thứ nguyên w¯ b , w¯ s Ví dụ02: đến tổng chuyển vị w¯ nhịp dầm phân lớp (00 /900 /00 ) ứng với điều kiện biên khác Các chuyển vị không thứ nguyên w¯ b , w¯ s , w¯ dọc chiều dài dầm composite ĐKB SS CC thể Hình 5(a) 5(b) Kết cho thấy rằng, chuyển vị w¯ s đóng vai trị quan trọng -0.5 tổng thấy đường cong biểu diễn w¯ b , w¯ s gần -0.5chuyển vị dầm Mặt khác, Hình 5(b) cho-0.5 -0.5 0.5 0với điều kiện w0.5 0.5 0.5 10 tiếp xúc với trục x vị trí x = 0; x = L, điều phù hợp (0) = 0; wb,x (L)1 = b,x 0 0 0 0 0 w s,x (0) = 0; w s,x (L) = 000của (a) /90 /0/0 kiện biên CC (b) (a) /90điều (b)0 0/90 /90 Hình Hình4.4.Biểu Biểuđồ đồphân phânbố bốứng ứngsuất suất tiếpdọc dọcchiều chiềucao caocủa củadầm dầmtựa tựađơn đơn 62tiếp Sự Sự phân phân bố bố ứng ứngsuất suấtpháp phápdọc dọcchiều chiềucao caodầm dầmtạitạivịvịtrítrí x x L L/ 2/ 2của củadầm dầm 00 00 00 00 00 00 / /90 90 / /00 / 90được và00 / 90 đượctrình trìnhbày bàylần lầnlượt lượtởởhình hìnhHình Hình3(a) 3(a)vàvàHình Hình3(b) 3(b).SựSựphân phân 0 0 0 bố / 90/0 0/ 00vàvà0 0/0 90 / 90được bốứng ứngsuất suấttiếp tiếpdọc dọcchiều chiềucao caodầm dầmtại tạivịvịtrítríx x 00của củadầm dầm0 0/0 90 -0.5 -0.5 -1 -1 00 0 (a) 00 /90 /9000/0 /000 (a) -0.5 -0.5 -4 -4 11 -2-2 00 00 (b)00/90 /90 (b) 22 Biểu BiểuNhân, đồ phân phân bốcs.ứng ứng suất pháp dọc chiều cao củadầm dầmtựa tựađơn đơn N T., bố / Tạpsuất chí Khoa họcdọc Cơngchiều nghệ Xây dựng Hình đồ pháp cao 0.5 0.5 z/h z/h z/h 0.5 -0.5 0.5 0.5 0 00 00 000 /0 /90 /0 (a) (a) 00 /90 (a) /90 /0 00 -0.5 -0.5 00 11 0.5 0.5 00 0000/90 (b)(b) 00 /90 (b) /90 11 Hình Biểu đồ bố tiếp dọc chiều cao dầm Biểu đồ phân phân bốbốứng ứng suấttiếp tiếp dọc chiều cao dầm tựađơn đơn Hình Biểu đồ phân ứng suất suất dọc chiều cao dầm tựa đơn tựa w w w w (a)(a)suất Sự phân trítrí xx LL/ 2/ phân bố bố ứng ứng suất pháp pháp dọc dọc chiều chiều cao cao dầm dầm tại vị(b) vị(b) củadầm dầm 00 00 00 00 00 / 90 / 90 00 // 90 trình trình bày bày lần lượtởởhình hìnhHình Hình3(a) 3(a)và vàHình Hình3(b) 3(b) Sự Sựphân phân 00 00 00 0 0 bố ứng suất tiếp dầm xx 00 90 / 0/ / 90được tiếp dọc dọc chiều chiều cao cao dầmtại tạivị vịtrí trí1.5 và0 / 90 (a) dầm (b) 00 / /90 1.5 dầm trình 2bày hình Hình 4(a) Hình 4(b) Có thể thấy rằng, ứng suất cắt lượt hình Hình 4(a) Hình 4(b) Có thể thấy rằng, ứng suất cắt không biên dầm biên trên và biên biên dầm 1.51 wswdưới s wsws w w wbwsẽ bsẽwtrình Ví bày ảnh vịvịkhơng w hưởng bwb Trong Ví dụ dụ1 2: 2: Trong ví ví dụ dụ này hưởngcủa cácchuyển chuyển khơngthứ thứ strình bày ảnh wscác w w 00 00 0 0.5 w 0.5 b w w w b lớp (0 / 90 / ) ứng với w w , w nguyên đến tổng chuyển vị nhịp dầm phân nguyên wbb , wss đến tổng chuyển w vị w 0.5nhịp dầm phân w lớp (0 / 90 / ) ứng với điều kiện biên khác điều khác 0 kiện biên 00 0 00 0.5 0 0.50.5 0.5 11 0.50.5 11 wwb , ,wws , ,ww dọc Các không thứ nguyên chiều dầm x/L x/L dài Các chuyển chuyển vị vịx/L không thứ nguyên dọc chiều dài dầmcomposite compositeĐKB ĐKB x/Lx/L x/L b s a SS b CC SS hiện Hình 5(a) Hình 5(b) Kết SS và CC CC đượca.thể thể hiện Kết quảcho chothấy thấyrằng, rằng, (a)SS SS Hình 5(a) Hình 5(b) (b) CC a b CC Mặt khác, Hình SS b.dầm CC Hình Chuyển vị không thứtrong nguyên tổng dọc chiều vị dài w , w , wchuyển w chuyển vị đóng vai trị quan trọng dầm chuyển vị wss đóng vai trò quan trọng tổng chuyển vị dầm Mặt khác, Hình nguyên / 90nguyên / ; L /w h w 0của dầm Hình Chuyển vị khơng dọc chiều dài ,tiếp w Hình 5 Chuyển vị biểu khơng thứthứ dọc chiều ,5như w , wsdài Hình Chuyển không thứ nguyên w¯ w ¯, sw, sw¯ gần dọcbchiều dầm 00dài /90 /0của ; L/h = 5các vị trí b ,s w 5(b) thấy đường diễn xúc với trục x xdầm b ,bw w , w 5(b) cho cho thấy đườngvị cong cong biểu diễn gần tiếp xúc với trục vị trí b s 0 0 0 0/ 90 / 90/với 0hợp 0/ ;0L;/Lđiều h/ h 5 kiện w (0) = 0;w (L)= xx 0; x L , điều phù 2.5 b,x (0) = 0;w b,x (L)= 0; x L , điều phù hợp với điều kiện w b,x wb,x s w (0) = ;w (L)= điều kiện biên CC wb s,x ws,x s,x (0) = 0;ws,x (L)= điều kiện biên CC w b 2.52.5 s wsws wbwb ww w 1.5 2 0.5 w w 1.51.5 10 10 1 10 15 20 25 30 35 40 45 50 L/h Hình Ảnh hưởng hiệu ứng dầm dày đến chuyển vị khơng thứ ngun nhịp Hình Ảnh hưởng hiệu ứng dầm dày đến chuyển vị không thứ nguyên nhịp dầm tựa đơn dầm tựa đơn 0.50.5 63 0 5 1010 1515 2020 2525 3030 L/hL/h 3535 4040 4545 5050 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Quan hệ chuyển vị không thứ nguyên nhịp dầm tỉ số L/h thể Hình Các hình cho thấy rằng: chuyển vị uốn w¯ b khơng phụ thuộc vào tỉ số L/h đóng vai trò định đến chuyển vị w¯ dầm mảnh Tuy nhiên, chuyển vị cắt w¯ s có khuynh hướng tăng dầm dày w¯ s đóng vai trị định tính tốn chuyển vị w¯ dầm dày Mặt khác, dầm tựa đơn (SS) chuyển vị w¯ s lớn w¯ b L ≈ 10h, đó, dầm hai đầu ngàm (CC) w¯ s vượt w¯ b L ≈ 18h 1.6 ws wb w 1.4 1.2 w 0.8 0.6 0.4 0.2 10 15 20 25 30 35 40 45 50 L/h Hình Ảnh hưởng hiệu ứng dầm dày đến chuyển vị khơng thứ ngun nhịp Hình Ảnh hưởng hiệu ứng dầm dày đếncủa chuyển vịđầu không thứ nguyên nhịp dầm hai đầu ngàm dầm hai ngàm Quan hệ chuyển vị không thứ nguyên nhịp dầm tỉ số L / h thể hiện Hình Hình Các hình cho thấy rằng: chuyển vị uốn wb không tỉ số L / h đóng vai trò định đến chuyển vị w phụ thuộc vào SS dày dầm mảnh Tuy nhiên, chuyển vị cắt ws có khuynh hướng tăng dầm CF khác, đối ws đóng vai trị định tính tốn chuyển vị w dầm dày Mặt 0.8 đơn (SS) chuyển vị w lớn w L 10h , đó,CC với dầm tựa dầm s b hai đầu ngàm (CC) ws vượt wb L 18h ws / w 0.6 0.4 0.2 10 20 30 40 50 L/h Hình Quan hệ tỉ số ws / w tỉ số L / h Hình Quan hệ tỉ số w¯ s /w¯ tỉ số L/h Hình thể hiện biến thiên ws / w theo L / h dầm ứng với điều kiện biên 12 w đối khác Nhìn chung, hầu ảnh hưởng đến tổng với biên khác Hình thể biến thiên củaww /w¯ theoít L/h dầm ứng chuyển với cácvịđiều kiện s¯ s w dầm mỏng Đối với điều kiện biên SS, CF chuyển vị chiếm khoảng 5%w Nhìn chung, w¯ s ảnh hưởng đến tổng chuyển vị w¯ dầm mỏng Đối, với điều s ws chiếm cịnthì đốichuyển với điềuvị kiện CC Khiđiều dầm kiện dày ảnh w kiện biên SS, CF w¯ sbiên chiếm khoảng 5%khoảng w, ¯ còn10%w biênthìCC ¯ s chiếm khoảng 10%w ¯ Khi cao, ảnhcụhưởng ¯ s5, đến w¯ cụ SS, thểCF khivàL/h ¯s ≈ w ws đến dày L / hw ws 70% w đối cao, hưởngdầm thể khicủa với dầm tỉ = 5, w 70%w¯ dầm SS, CF số dầm nàyCC > 90% đối vớirằng, dầm Cócủa thểbiến thấy rằng, ảnhnhất hưởng biến số đốitỉvới Có thể thấy ảnhCC hưởng dạng cắt lớn 90%và điều kiệnkiện biên CC dạng cắt lớn nhấtvớivới điều biên CC Kết luận 64 biến dạng cắt bậc cao hai biến, thiết Bài báo trình bày lý thuyết lập từ trường chuyển vị lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ba biến cách sử dụng phương trình cân tĩnh học Hàm xấp xỉ Ritz dạng hàm số mũ số Napier đề xuất để xấp xỉ trường chuyển vị Từ kết số khảo sát số bước lặp, chuyển vị không thứ nguyên ứng suất dầm composite kết luận rằng: Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Kết luận Bài báo trình bày lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến, thiết lập từ trường chuyển vị lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ba biến cách sử dụng phương trình cân tĩnh học Hàm xấp xỉ Ritz dạng hàm số mũ số Napier đề xuất để xấp xỉ trường chuyển vị Từ kết số khảo sát số bước lặp, chuyển vị khơng thứ ngun ứng suất dầm composite kết luận rằng: - Trường lý thuyết đề xuất đơn giản hiệu việc phân tích tĩnh dầm composite - Hàm xấp xỉ Ritz cho kết tính tốn xác giảm số bước lặp, điều làm giảm chi phí tính tốn Lời cảm ơn Tác giả thứ xin chân thành cảm ơn hỗ trợ tài Trường Đại học Kiên Giang cho đề tài “Phân tích tĩnh dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến”, mã số: A2020-KTCN-33 Tài liệu tham khảo [1] Ghugal, Y M., Shimpi, R P (2001) A review of refined shear deformation theories for isotropic and anisotropic laminated beams Journal of Reinforced Plastics and Composites, 20(3):255–272 [2] Sayyad, A S., Ghugal, Y M (2017) Bending, buckling and free vibration of laminated composite and sandwich beams: A critical review of literature Composite Structures, 171:486–504 [3] Bernoulli, J (1964) Curvatura laminae elasticae Acta Eruditorum Lipsiae, 1694:262–276 [4] Girhammar, U A., Pan, D H (2007) Exact static analysis of partially composite beams and beamcolumns International Journal of Mechanical Sciences, 49(2):239–255 [5] Li, X.-F (2008) A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler–Bernoulli beams Journal of Sound and vibration, 318(4-5):1210–1229 [6] Vo, T P., Thai, H.-T (2012) Static behavior of composite beams using various refined shear deformation theories Composite Structures, 94(8):2513–2522 [7] Khdeir, A A., Redd, J N (1997) Buckling of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions Composite Structures, 37(1):1–3 [8] Kant, T., Marur, S R., Rao, G S (1997) Analytical solution to the dynamic analysis of laminated beams using higher order refined theory Composite Structures, 40(1):1–9 [9] Khdeir, A A., Reddy, J N (1994) Free vibration of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions International Journal of Engineering Science, 32(12):1971–1980 [10] Khdeir, A A., Reddy, J N (1997) An exact solution for the bending of thin and thick cross-ply laminated beams Composite Structures, 37(2):195–203 [11] Thai, S., Thai, H.-T., Vo, T P., Patel, V I (2018) A simple shear deformation theory for nonlocal beams Composite Structures, 183:262–270 [12] Shimpi, R P., Shetty, R A., Guha, A (2017) A simple single variable shear deformation theory for a rectangular beam Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 231(24):4576–4591 [13] Nguyen, T N., Ngo, T D., Nguyen-Xuan, H (2017) A novel three-variable shear deformation plate formulation: theory and Isogeometric implementation Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 326:376–401 [14] Thai, H.-T., Nguyen, T.-K., Vo, T P., Ngo, T (2017) A new simple shear deformation plate theory Composite Structures, 171:277–285 [15] Murthy, M V V S., Mahapatra, D R., Badarinarayana, K., Gopalakrishnan, S (2005) A refined higher order finite element for asymmetric composite beams Composite Structures, 67(1):27–35 65 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [16] Han, J., Hoa, S V (1993) A three-dimensional multilayer composite finite element for stress analysis of composite laminates International Journal for Numerical Methods in Engineering, 36(22):3903–3914 [17] Zenkour, A M (1999) Transverse shear and normal deformation theory for bending analysis of laminated and sandwich elastic beams Mechanics of Composite Materials and Structures, 6(3):267–283 [18] Aydogdu, M (2006) Free vibration analysis of angle-ply laminated beams with general boundary conditions Journal of Reinforced Plastics and Composites, 25(15):1571–1583 [19] Aydogdu, M (2005) Vibration analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions by Ritz method International Journal of Mechanical Sciences, 47(11):1740–1755 [20] Mantari, J L., Canales, F G (2016) Free vibration and buckling of laminated beams via hybrid Ritz solution for various penalized boundary conditions Composite Structures, 152:306–315 [21] Nguyen, T.-K., Nguyen, N.-D., Vo, T P., Thai, H.-T (2017) Trigonometric-series solution for analysis of laminated composite beams Composite Structures, 160:142–151 [22] Nguyen, N.-D., Nguyen, T.-K., Nguyen, T.-N., Thai, H.-T (2018) New Ritz-solution shape functions for analysis of thermo-mechanical buckling and vibration of laminated composite beams Composite Structures, 184:452–460 [23] Duong, N N., Kien, N T., Nhan, N T (2019) Ritz solution for buckling analysis of thin-walled composite channel beams based on a classical beam theory Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE)-NUCE, 13(3):34–44 [24] Reddy, J N (2003) Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis CRC Press [25] Nguyen, T.-K., Vo, T P., Nguyen, B.-D., Lee, J (2016) An analytical solution for buckling and vibration analysis of functionally graded sandwich beams using a quasi-3D shear deformation theory Composite Structures, 156:238–252 [26] S¸ims¸ek, M (2010) Fundamental frequency analysis of functionally graded beams by using different higher-order beam theories Nuclear Engineering and Design, 240(4):697–705 66 ... điểm hàm dạng lời giải sử dụng phân tích tĩnh dầm composite Mục tiêu báo đề xuất (i) lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến (ii) hàm xấp xỉ dạng hàm số mũ số Napier để phân tích tĩnh dầm composite. .. [1, 2] Lý thuyết dầm chia vào ba nhóm chính: lý thuyết cổ điển (LTCĐ) [3], lý thuyết bậc (LTBN) [4, 5] lý thuyết bậc cao (LTBC) [6–10] LTCĐ bỏ qua biến dạng cắt, vậy, áp dụng phù hợp cho dầm mảnh... dầm đẳng hướng lý thuyết dầm biến giải tích phân trực tiếp Nguyễn, cs [13] giới thiệu lý thuyết ba biến phân tích tĩnh vật liệu phân lớp chức (FGM) Ngoài ra, Thái, cs [14] phân tích tĩnh dao động