lý thuyết về chuyển vị và biến dạng

®¹i häc CƠ CƠ SỞ SỞ CƠ CƠ HỌC HỌC MÔI MÔI TRƯỜNG TRƯỜNG LIÊN LIÊN TỤC TỤC VÀ VÀ LÝ LÝ THUYÊT THUYÊT ĐÀN ĐÀN HỒI HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 1(39) Chương Lý thuyết chuyển vị biến dạng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(39) NỘI DUNG 4.1 4.1.Hệ Hệtoạ toạđộ độvà vàcác cáccách cáchmô môtả tảchuyển chuyểnđộng động 4.2 4.2.Vận Vậntốc tốcvà vàgia giatốc tốcchuyển chuyểnđộng động 4.3 4.3.Quan Quanhệ hệchuyển chuyểnvịvị biến biếndạng dạngbé bé 4.4 4.4.Biến Biếndạng dạngchính chính––Phương Phươngcủa củabiến biếndạng dạngchính 4.5 4.5.Cường Cườngđộ độbiến biếndạng dạng 4.6 4.6.Ten-xơ Ten-xơquay quay 4.7 4.7.Vận Vậntốc tốc––Gia Giatốc tốcbiến biếndạng dạng––Tenxơ Tenxơvận vậntốc tốcxoáy xoáy 4.8 4.8.Điều Điềukiện kiệntương tươngthích thíchcủa củacác cácbiến biếndạng dạng 4.9 4.9.Quan Quanhệ hệchuyển chuyểnvịvị biến biếndạng dạnglớn lớn July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(39) 4.1 Hệ toạ độ cách mô tả chuyển động 4.1 Hệ toạ độ cách mô tả chuyển động 4.1.1 Ký hiệu hệ trục toạ độ Hệ toạ độ đồng hành hệ toạ độ qui chiếu t • Hệ trục toạ độ vuông góc Descrates x, y, z biểu diễn dạng x1, x2, x3 xi với i=1, 2, • X1 X2 X3 gắn với môi trường vật chất liên tục gọi hệ trục toạ độ đồng hành (t=0) • x1x2x3 (xi ) – hệ toạ độ qui chiếu (t≠0) - Vec tơ chuyển vị điểm M: July 2009 M1 t=0 u M x2 X2 R X3 b X1 x3 r x1 Xi - tọa độ điểm vật chất ban đầu, Xi ∉ t M - điểm vật chất (t=0) M1- điểm vật chất (t≠0) u = MM = r + b − R Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(39) 4.1 Hệ toạ độ cách mô tả chuyển động 4.1.2 Chuyển vị Sự thay đổi vị trí phần tử vật chất môi trường môi trường chuyển từ trạng thái sang trạng thái khác gọi chuyển vị ƒƒChuyển Chuyểnvịvịcứng cứng Chuyển vị ƒƒChuyển Chuyểnvịvịgây gâybiến biếndạng dạng July 2009 • Chuyển vị cứng: môi trường chuyển động vật thể cứng sang trạng thái mới, khoảng cách phần tử vật chất không thay đổi • Khoảng cách phần tử vật chất thay đổi Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 5(39) 4.1 Hệ toạ độ cách mô tả chuyển động -Chọn hệ trục toạ độ đồng hành qui chiếu gốc, phương chiều - Vec tơ chuyển vị điểm M: u u=r−R R - Hình chiếu thành phần chuyển vị lên trục: r ui = xi - X i •• Lagrange Lagrange Mô tả chuyển động •• Euler Euler July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 6(39) 4.1 Hệ toạ độ cách mô tả chuyển động •• Mô Môtả tảLagrange Lagrange Mô tả phần tử vật chất thời điểm t khác ⎧ x1 = x1 ( X , X , X , t ) ⎪ ⎨ x2 = x2 ( X , X , X , t ) ⎪ x = x (X , X , X , t) ⎩ 3 July 2009 R r (4.1) xi = xi ( X , X , X , t ) = xi ( X i , t ) u = u( Xi , t ) u xi - vị trí điểm vật chất thời điểm t xét - Xi - vị trí điểm vật chất thời điểm t=0 - toạ độ (biến số) Lagrange Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 7(39) 4.1 Hệ toạ độ cách mô tả chuyển động Cố định Xi phương trình (4.1) mô tả vị trí liên tiếp điểm vật chất M (quĩ đạo chuyển động) • Cố định thời gian t (4.1) cho hình ảnh phân bố vật chất môi trường thời điểm t • Nếu Xi t thay đổi (4.1) xác định qui luật chuyển động môi trường • July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 8(39) 4.1 Hệ toạ độ cách mô tả chuyển động •• Mô Môtả tảEuler Euler Mô tả tượng xảy điểm không gian M1 thời điểm t ⎧ X = X ( x1 , x2 , x3 , t ) ⎪ ⎨ X = X ( x1 , x2 , x3 , t ) ⎪X = X (x , x , x , t) ⎩ 3 July 2009 xi = xi (t) R r (4.2) X i = X i ( x1 , x2 , x3 , t ) = X i ( xi , t ) u = u ( xi , t ) u xi - vị trí điểm vật chất thời điểm t xét - toạ độ (biến số) Euler - Xi - vị trí điểm vật chất thời điểm t=0 - Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 9(39) 4.1 Hệ toạ độ cách mô tả chuyển động • Nếu cố định M1, phương trình (4.2) xác định dòng phần tử vật chất chuyển tới M1 theo thời gian t mô tả Euler phù hợp với việc nghiên cứu dòng chảy chất lỏng, chất khí (áp lực, vật tốc dòng chảy, điểm khác thành ống) • mô tả Lagrange phù hợp với việc nghiên cứu quĩ đạo chuyển động • July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 10(39) 4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé - Biến dạng dài tỉ đối theo phương x2 x1, x2 ε11 , ε 22 ∂u2 ∂u1 = ε ε11 = ; 22 ∂x2 ∂x1 MN = dx1 MN M N1 = cos α ∂ u2 u2+ ∂ x dx2 P1 β M1N2 (Biến dạng bé) dx2 u2 M N − MN ε11 = 1 MN ∂ u2 u1+ ∂ x dx1 N1 ∂ u2 dx1 α N2 u2+ P M M1 u1 N dx1 - Biến dạng góc mặt phẳng x1x2 γ 12 γ 12 = α + β Biến dạng bé: ∂u ∂u γ 12 = + ∂x1 ∂x2 July 2009 β tg β sin β α tgα sin α ; ⎛ ∂ui ∂u j ε ij = ⎜ + ⎜⎝ ∂x j ∂xi ∂ u1 u1+ ∂ x dx1 x1 ∂u1 ∂x1 ∂u (4.15) ε 22 = ∂x ∂u ε 33 = ∂x ε 11 = ⎞ ⎟⎟ ⎠ ∂ x1 γ 12 = γ 21 = 2ε 12 = ∂u2 ∂u1 + ∂x1 ∂x2 ∂u3 ∂u2 + ∂x ∂x ∂u ∂u = 3+ ∂x1 ∂x3 γ 23 = γ 32 = 2ε 23 = γ 13 = γ 31 = 2ε 13 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 18(39) 4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé x2 4.3.3 Ten xơ biến dạng bé Biến dạng dài theo phương x2+dx2 Khảo sát vi phân chiều dài ds = MK theo phương ν M M ( x1 , x2 , x3 ) = M ( xi ) K ( x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ) = K ( xi + dxi ) Khi biến dạng MK => M1K1=ds1 chuyển vị M ui M ( xi + ui ) K1 ( xi + dxi + ui + dui ) K ds x1 x1+dx1 x1 x3 x3+dx3 x3 Biến dạng dài theo phương ν ενν = ε 11l12 + ε 22 l22 + ε 33 l32 + ( ε 12 l1l2 + ε 13 l1l3 + ε 23 l2 l3 ) July 2009 M1 x2 - Toạ độ ban đầu: K1 ds1 2ενν + ενν2 = ds12 − ds ds li=dxi/ds Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 19(39) 4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé Ten xơ biến dạng bé – Tenxơ lệch tenxơ cầu biến dạng Biến dạng dài theo phương bất kỳ, trạng thái biến dạng điểm môi trường dặc trưng thành phần: biến dạng dài theo ba phương trục toạ độ biến dạng góc ba mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ => tenxơ biến dạng ••TTenxơ ch bibiến ến ddạng ạng enxơlệlệch ⎡ε ε ⎢ 11 12 Tε = ⎢ε 21 ε 22 ⎢ ⎢ε 31 ε 32 ⎣ ⎡ ε 11 ⎢ ⎤ ε 13 ⎥ ⎢ ε 23 ⎥ = ⎢ γ 21 ⎥ ⎢2 ε 33 ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ γ ⎢⎣ 31 Tε = Dε + Tε July 2009 γ 12 ε 22 γ 32 ⎤ γ 13 ⎥ ⎥ ⎥ γ 23 ⎥ ⎥ ε 33 ⎥ ⎥⎦ (4.19) ⎡ε 11 − ε tb ⎢ Dε = ⎢ ε 21 ⎢⎣ ε 31 ε 12 ε 22 − ε tb ε 32 ε 13 ⎤ ε 23 ⎥⎥ ε 33 − ε tb ⎥⎦ ••TTenxơ ầu bibiến ến ddạng: ạng: enxơccầu ⎡ε tb ⎢ Tε = ⎢ ⎢⎣ 0 ε tb 0⎤ ⎥ 0⎥ ε tb ⎥⎦ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com ε tb = ( ε + ε 22 + ε 33 ) 11 20(39) 4.4 Biến dạng – Phương biến dạng 4.4 Biến dạng – Phương biến dạng • Tại điểm tồn ba phương vuông góc với nhau, ba phương biến dạng trượt không - gọi phương biến dạng • Các biến dạng tương ứng theo phương gọi biến dạng chính, ký hiệu ε11 , ε 22 , ε 33 •Các biến dạng xác định từ phương trình: ε3 - J1ε2 + J2ε - J3 = J = ε 11 + ε 22 + ε 33 ε 11 ε 12 ε 22 ε 23 ε 11 ε 13 J2 = + + ε 21 ε 22 ε 32 ε 33 ε 31 ε 33 July 2009 (4.23) ε 11 ε 12 ε 13 J = ε 21 ε 22 ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 21(39) 4.5 Cường độ biến dạng 4.5 Cường độ biến dạng Cường độ biến dạng trị số tỉ lệ với bậc hai bất biến thứ hai ten-xơ lệch biến dạng εi = ( ε 11 − ε 22 ) + ( ε 22 − ε 33 ) + ( ε 33 − ε 11 ) 2 2 + ( ε 122 + ε 23 + ε 31 ) (4.25) 4.6 Ten-xơ quay Ngoài biến dạng dài biến dạng góc, phân tố bị quay Sự quay đặc trưng góc quay đường chéo phân tố July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 22(39) 4.6 Ten-xơ quay • Xét góc quay đường chéo MQ hình chiếu phân tố hình lập phương mặt Ox1x2 quay quanh trục x3, ta ký hiệu ω12 ω12 P1 P α/2 α/2––MN MNquay quaygóc gócαα Q α/2 N1 β/2 β/2––MP MPquay quaygóc gócββ ⎛ ∂u ∂u ⎞ = ⎜ − 1⎟ 2 ⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠ •Nếu qui ước góc quay dương, đường chéo quay ngược chiều kim đồng hồ ta có: ω12 = α − ⎛ ∂u2 ∂u1 ⎞ − ω12 = ⎜ ⎟ ⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠ β ⎛ ∂u3 ∂u2 ⎞ ω = − ⎜ ⎟ 23 ⎛ ∂u2 ∂u3 ⎞ x x ∂ ∂ ω13 = ⎜ − ⎠ ⎝ ⎟ ⎝ ∂x3 ∂x1 ⎠ July 2009 x2 (4.26) α M x2 P β M Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com x1 N P1 Q Q1 β/2 x1 N 23(39) 4.6 Ten-xơ quay ⎛ ∂ui ∂u j ω ij = ⎜ − ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎞ ⎟⎟ = −ω ji ⎠ Ten xơ biến dạng biểu diễn ⎡ε11 ε12 ⎢ Tε = ⎢ε 21 ε 22 ⎢ ⎢ε ε ⎣ 31 32 ⎡ ⎢ Tω = ⎢ −ω12 ⎢⎣ ω 31 July 2009 ω12 −ω 23 −ω 31 ⎤ ω 23 ⎥⎥ ⎥⎦ 1 ⎛ ∂u j ∂ui ε ij = γ ij = ⎜ + ⎜ 2 ⎝ ∂xi ∂x j ⎡ ∂u1 ⎢ ⎤ ε13 ⎢ ∂x1 ⎥ ⎢ ∂u ε 23 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ∂x1 ε 33 ⎥ ⎢ ∂u ⎦ ⎢ ⎣ ∂x1 ∂u1 ∂x2 ∂u2 ∂x2 ∂u3 ∂x2 ⎞ ∂ui + ωij ⎟⎟ = ⎠ ∂x j ∂u1 ⎤ ⎥ ∂x3 ⎥ ⎡ ⎥ ∂u12 ⎢ ⎥ + ⎢ −ω12 ∂x3 ⎥ ⎢⎣ ω31 ⎥ ∂u3 ⎥ ∂x3 ⎦ ω12 −ω23 −ω31 ⎤ ω23 ⎥⎥ ⎥⎦ Ten xơ quay (4.30) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 24(39) 4.7 Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy 4.7 Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy • Vận tốc gia tốc biến dạng đạo hàm bậc bậc hai biến dạng theo thời gian ận tốtốc c bibiến ến ddạng ạng bbé é •• tenxơ tenxơvvận ận tố c xo áy •• tenxơ tenxơvvận tốc xoáy (đạo hàm bậc thành phần tenxơ quay theo thời gian) July 2009 ⎡ε i ε i ε i ⎤ ⎡ ε i ⎢ 11 12 13 ⎥ ⎢ 11 ⎢ i ⎥ ⎢1 i i i T i = ⎢ε 21 ε 22 ε 23 ⎥ = ⎢ γ 21 ε ⎢ ⎥ ⎢2 ⎢ε i ε i ε i ⎥ ⎢ i ⎢⎣ 31 32 33 ⎥⎦ ⎢ γ 31 ⎢⎣ ⎡ ⎢ i Tω = ⎢ −ω 12 ⎢ ⎢ ωi ⎣ 31 i ω 12 i −ω 23 i γ 12 i ε 22 i γ 32 i ⎤ γ 13 ⎥ ⎥ i ⎥ γ 23 ⎥ ⎥ i ⎥ ε 33 ⎥⎦ i ⎤ −ω 31 ⎥ i ⎥ ω 23 ⎥ ⎥⎦ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 25(39) 4.8 Điều kiện tương thích biến dạng 4.8 Điều kiện tương thích biến dạng Hệ phương trình hình học Navier-Cauchy ∂u ε 11 = ∂x1 ∂u ε 22 = ∂x ∂u ε 33 = ∂x γ 12 = γ 21 ∂u ∂u = 2ε 12 = + ∂x1 ∂x2 ∂u3 ∂u2 + ∂x ∂x ∂ u ∂u = 3+ ∂x1 ∂x3 γ 23 = γ 32 = 2ε 23 = γ 13 = γ 31 = 2ε 13 f* S V CCác ác phân phân tốtố hình hình hộp hộp đứng đứng f July 2009 ài totoán án thu ận: bibiết ết 33 th ành •• BBài thuận: thành ph ần chuy ển vvị ị => ành phần chuyển => 66 th thành ph ần bibiến ến ddạng: ạng: OK phần OK!!!!!! ài totoán án ngư ợc: Bi ết 66th ành •• BBài ngược: Biết thành ph ần bibiến ến ddạng ạng => ành phần => 33 th thành ph ần chuy ển vvị ị ??? phần chuyển ??? 33ẩn, ẩn,66phương phươngtrình trình=> =>giữa cácthành thànhphần phầnbiến biếndạng dạngphải phải có córàng ràngbuộc buộc cạnh cạnh nhau trước trước biến biến dạng, dạng, giữa chúng chúng không có khe khe hở hở Đi ều kikiện ện tương ích Điều tươngththích Nếu biến dạng Nếu biến dạng phân tố tùy phân tùy ýý thì TrantốMinh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 26(39) chúng có khe hở chúng có kheEmail: hở tpnt2002@yahoo.com 4.8 Điều kiện tương thích biến dạng Phương trình tương thích biến dạng Nhóm 1: Quan hệ thành phần biến dạng mặt phẳng Nhóm 2: Quan hệ thành phần biến dạng mặt phẳng khác ∂ 2ε 11 ∂ 2ε 22 ∂ 2ε 12 ∂ 2γ 12 + =2 = 2 ∂x ∂x1 ∂x1∂x2 ∂x1∂x2 ∂ 2ε 13 ∂ 2γ 13 ∂ 2ε 11 ∂ 2ε 33 + =2 = 2 ∂x ∂x1 ∂x1∂x3 ∂x1∂x3 ∂ 2ε 23 ∂ 2γ 23 ∂ 2ε 22 ∂ 2ε 33 + =2 = 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ x ∂x ∂ 2ε 11 ∂ ⎛ ∂ε 23 ∂ε 31 ∂ε 12 ⎞ = + + ⎜− ⎟ ∂x2 ∂x3 ∂x1 ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎠ ∂ 2ε 22 ∂ ⎛ ∂ε 31 ∂ε 12 ∂ε 23 ⎞ = + + ⎜− ⎟ ∂x3 ∂x1 ∂x2 ⎝ ∂x2 ∂x3 ∂x1 ⎠ ∂ 2ε 33 ∂ ⎛ ∂ε 12 ∂ε 23 ∂ε 31 ⎞ = + + ⎜− ⎟ ∂x1∂x2 ∂x3 ⎝ ∂x3 ∂x1 ∂x2 ⎠ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 27(39) 4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn 4.9 4.9.Quan Quanhệ hệchuyển chuyểnvịvị biến biếndạng dạnglớn lớn - Khi xác định tenxơ biến dạng bé ta bỏ qua bình phương biến dạng bé biểu thức ds12 − ds 2 2ενν + ενν = ds - Biến dạng lớn (hữu hạn) biến dạng dài ενν2 bỏ qua, nghiệm phương trình (*) phụ thuộc vào ds − ds Tenxơ biến dạng Green ds12 − ds = Toạ Toạđộ độvật vậtchất chất Lagrange Lagrange ds − ds12 = 2GijdX i dX j Toạ Toạđộ độkhông khônggian gian Euler Euler ds − ds12 = Aijdxi dx j Tenxơ biến dạng Almansi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 28(39) 4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn Toạ Toạđộ độvật vậtchất chấtLagrange Lagrange Tenxơ biến dạng Green ⎛ ∂u j ∂ui ∂uk ∂uk Gij = G ji = ⎜ + + ⎜⎝ ∂X i ∂X j ∂X i ∂X j ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 ∂u1 ⎡⎛ ∂u1 ⎞ ⎛ ∂u2 ⎞ ⎛ ∂u3 ⎞ ⎤ G11 = + ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ ∂X ⎢ ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂X ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 ∂u2 ⎡⎛ ∂u1 ⎞ ⎛ ∂u2 ⎞ ⎛ ∂u3 ⎞ ⎤ G22 = + ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ ∂X 2 ⎢ ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂X ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 ∂u ⎡ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ G33 = + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ∂X ⎢ ⎝ ∂ X ⎠ ⎝ ∂ X ⎠ ⎝ ∂ X ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3 ⎤ ⎡ ∂u G12 = ⎢ + ⎥ + ⎢ + + ⎥ ⎣ ∂X ∂X ⎦ ⎣ ∂X ∂ X ∂ X ∂ X ∂ X ∂ X ⎦ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3 ⎤ ⎡ ∂u G13 = ⎢ + ⎥ + ⎢ + + ⎥ ⎣ ∂X ∂X ⎦ ⎣ ∂X ∂ X ∂ X ∂ X ∂X ∂ X ⎦ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3 ⎤ ⎡ ∂u G12 = ⎢ + ⎥ + ⎢ + + ⎥ ⎣ ∂X ∂X ⎦ ⎣ ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X ⎦ July 2009 ⎡G11 G12 G13 ⎤ ⎢ ⎥ TG = ⎢G21 G22 G23 ⎥ ⎢⎣G31 G32 G33 ⎥⎦ Các thành phần đường chéo tenxơ biến dạng Green đặc trưng cho biến dạng dài theo phương trục toạ độ, thành phần lại dặc trưng cho biến dạng góc mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 29(39) 4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn Toạ Toạđộ độkhông khônggian gianEuler Euler Tenxơ biến dạng Almansi ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ Aij = A ji = ⎜ j + i + k k ⎟ ⎝⎜ ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j ⎟⎠ 2 ∂u1 ⎡⎛ ∂u1 ⎞ ⎛ ∂u2 ⎞ ⎛ ∂u3 ⎞ ⎤ A11 = − ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ ∂x1 ⎢⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎡ ⎤ ∂u ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ A22 = − ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ∂x 2 ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂ x ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎡ ∂u3 ⎛ ∂u1 ⎞ ⎛ ∂u2 ⎞ ⎛ ∂u3 ⎞ ⎤ A33 = − ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ ∂x3 ⎢⎝ ∂x3 ⎠ ⎝ ∂x3 ⎠ ⎝ ∂x3 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ A12 = ⎡ ∂u1 ∂u2 ⎤ ⎡ ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3 ⎤ + + + ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎣ ∂x2 ∂x1 ⎦ ⎣ ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ⎦ A13 = ⎡ ∂u3 ∂u1 ⎤ ⎡ ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3 ⎤ + + + ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎣ ∂x1 ∂x3 ⎦ ⎣ ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x1 ⎦ A23 = ⎡ ∂u2 ∂u3 ⎤ ⎡ ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3 ⎤ + + + ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎣ ∂x3 ∂x2 ⎦ ⎣ ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ⎦ July 2009 ⎡ A11 ⎢ TA = ⎢ A21 ⎢⎣ A31 A12 A22 A32 A13 ⎤ ⎥ A23 ⎥ A33 ⎥⎦ Các thành phần đường chéo tenxơ biến dạng Almansi đặc trưng cho biến dạng dài theo phương trục toạ độ, thành phần lại dặc trưng cho biến dạng góc mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 30(39) 4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn 4.9.3 Trường hợp biến dạng bé - Tenxơ biến dạng Green tenxơ biến dạng Almansi hai cách mô tả trạng thái biến dạng điểm môi trường, chúng gồm hai thành phần: tuyến tính phi tuyến đạo hàm bậc thành phần chuyển vị - Trong trường hợp biến dạng bé, thành phần phi tuyến tenxơ biến dạng Green Almansi bỏ qua ⎛ ∂u j ∂ui ⎞ Tenxơ Tenxơbiến biếndạng dạngbé béGreen Green Lij = ⎜ + ⎟ ⎜⎝ ∂X i ∂X j ⎟⎠ Tenxơ Tenxơbiến biếndạng dạngbé béEuler Euler ⎛ ∂ui ∂u j Eij = ⎜ + ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ∂ui ∂u j + ⎜ ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎞ ⎟⎟ ⎠ - So sánh hai trường hợp, ta thấy xét biến dạng bé đạo hàm theo biến Lagrange Euler nhau, lúc không cần phân biệt cách mô tả Như vậy: Lij = E ij = ε ij = July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 31(39) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 32(39) [...]... tpnt2002@yahoo.com 27(39) 4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn 4.9 4.9.Quan Quanhệ h chuyển chuyểnv vị biến biếndạng dạnglớn lớn - Khi xác định tenxơ biến dạng bé ta đã bỏ qua bình phương của biến dạng bé trong biểu thức ds12 − ds 2 2 2ενν + ενν = ds 2 - Biến dạng là lớn (hữu hạn) thì biến dạng dài ενν2 không thể bỏ qua, nghiệm của phương trình (*) phụ thuộc vào ds 2 − ds 2 1 Tenxơ biến dạng Green ds12 − ds 2 =... tpnt2002@yahoo.com 19(39) 4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 2 Ten xơ biến dạng bé – Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng Biến dạng dài theo phương bất kỳ, hoặc trạng thái biến dạng tại một điểm của môi trường dặc trưng bởi 9 thành phần: 3 biến dạng dài theo ba phương trục toạ độ và 6 biến dạng góc trong ba mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ => tenxơ biến dạng ••TTenxơ ch bibiến ến ddạng ạng enxơlệlệch ⎡ε ε ⎢... cách mô tả trạng thái biến dạng tại một điểm của môi trường, chúng gồm hai thành phần: tuyến tính và phi tuyến của đạo hàm bậc nhất các thành phần chuyển vị - Trong trường hợp biến dạng bé, các thành phần phi tuyến trong tenxơ biến dạng Green và Almansi có thể bỏ qua 1 ⎛ ∂u j ∂ui ⎞ Tenxơ Tenx biến biếndạng dạngbé béGreen Green Lij = ⎜ + ⎟ 2 ⎜⎝ ∂X i ∂X j ⎟⎠ Tenxơ Tenx biến biếndạng dạngbé béEuler Euler... đường chéo của tenxơ biến dạng Almansi đặc trưng cho biến dạng dài theo phương các trục toạ độ, các thành phần còn lại dặc trưng cho biến dạng góc trong các mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 30(39) 4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn 4.9.3 Trường hợp biến dạng bé - Tenxơ biến dạng Green và tenxơ biến dạng Almansi là hai... tpnt2002@yahoo.com ∂u3 dx1 ∂x1 16(39) 4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 4.3.2 Liên hệ vi phân giữa các thành phần chuyển vị và biến dạng bé Xét biến dạng của phân tố vật chất chứa điểm M(xi) Quan sát biến dạng của hình chiếu phân tố trên mặt phẳng toạ độ Ox1x2 M => M1: chuyển vị MM1: M u1(x1,x2), u2(x1,x2) ∂u u1 + 1 dx1 ∂x1 ∂u u2 + 2 dx1 ∂x1 Điểm lân cận P => P1: chuyển vị PP1: ∂u1 u1 + dx2 ∂x2 u2 + ∂u2 dx2... Email: tpnt2002@yahoo.com ( ∂v i x j , t j ∂t k ∂x k 14(39) ) 4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 4.3.1 Chuyển vị ở lân cận điểm đã cho Xét hai điểm vật chất M, N lân cận nhau x2 n1 M(x1,x2,x3) và N(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3) Ngoại lực => Biến dạng: M=>M1 và N=> N1 Các thành phần của vec tơ chuyển vị MM 1 ( u1 , u2 , u3 ) NN 1 ( u1* , u2* , u3* ) u1 = u1 ( xi ) u2 = u2... Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 21(39) 4.5 Cường độ biến dạng 4.5 Cường độ biến dạng Cường độ biến dạng là một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai của ten-xơ lệch biến dạng εi = 2 3 ( ε 11 − ε 22 ) + ( ε 22 − ε 33 ) + ( ε 33 − ε 11 ) 2 2 2 2 2 + 6 ( ε 122 + ε 23 + ε 31 ) (4.25) 4.6 Ten-xơ quay Ngoài biến dạng dài và biến dạng góc, phân tố còn bị quay Sự quay này được đặc trưng bởi... 18(39) 4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé x2 4.3.3 Ten xơ biến dạng bé 1 Biến dạng dài theo phương bất kỳ x2+dx2 Khảo sát một vi phân chiều dài ds = MK theo phương ν bất kỳ M M ( x1 , x2 , x3 ) = M ( xi ) K ( x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ) = K ( xi + dxi ) Khi biến dạng MK => M1K1=ds1 chuyển vị của M là ui M 1 ( xi + ui ) K1 ( xi + dxi + ui + dui ) K ds x1 x1+dx1 x1 x3 x3+dx3 x3 Biến dạng dài theo phương... vvị ị => ành phần chuyển => 66 th thành ph ần bibiến ến ddạng: ạng: OK phần OK!!!!!! ài totoán án ngư ợc: Bi ết 66th ành •• BBài ngược: Biết thành ph ần bibiến ến ddạng ạng => ành phần => 33 th thành ph ần chuy ển vvị ị ??? phần chuyển ??? 33ẩn, ẩn,66phương phươngtrình trình=> =>giữa giữa các cácthành thànhphần phầnbiến biếndạng dạngphải phải có córàng ràngbuộc buộc cạnh cạnh nhau nhau trước trước biến. .. trên đường chéo của tenxơ biến dạng Green đặc trưng cho biến dạng dài theo phương các trục toạ độ, các thành phần còn lại dặc trưng cho biến dạng góc trong các mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 29(39) 4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn Toạ Toạđộ độkhông khônggian gianEuler Euler Tenxơ biến dạng Almansi 1 ⎛ ∂u ∂u ∂u ... cáchmô môtả t chuyển chuyểnđộng động 4.2 4.2.Vận Vậntốc tốcvà vàgia giatốc tốcchuyển chuyển ộng động 4.3 4.3.Quan Quanhệ h chuyển chuyểnv vị biến biếndạng dạngbé bé 4.4 4.4 .Biến Biếndạng dạngchính... 27(39) 4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn 4.9 4.9.Quan Quanhệ h chuyển chuyểnv vị biến biếndạng dạnglớn lớn - Khi xác định tenxơ biến dạng bé ta bỏ qua bình phương biến dạng bé biểu thức ds12... chuyển động 4.1.2 Chuyển vị Sự thay đổi vị trí phần tử vật chất môi trường môi trường chuyển từ trạng thái sang trạng thái khác gọi chuyển vị ƒ Chuyển Chuyểnvịvịcứng cứng Chuyển vị ƒ Chuyển Chuyểnvịvịgây