Chủ đề tính thể tích và khoảng cách luyện thi thpt quốc gia

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam ÔN THI THPT QUỐC GIA VỚI CHỦ ĐỀ TÍNH THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH Nguyễn Bá Tuấn – Trường THPT Xuân Thọ, Đồng Nai Theo cấu trúc đề thi THPT Quốc gia, thường có toán tính thể tích khối đa diện tính khoảng cách hình học không gian (Câu 7) Đối với học sinh trung bình, đa số em làm phần tính thể tích, riêng phần tính khoảng cách tương đối khó, nhiên học sinh nắm vững kiến thức làm Vì vậy, lựa chọn viết chuyên đề nhằm giúp em học sinh rèn luyện kỹ để làm tốt câu tính thể tích tính khoảng cách đề thi THPT Quốc gia Trong chuyên đề trình bày cách tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ tính khoảng cách nhiều phương pháp Tùy vào toán mà lựa chọn phương pháp cho việc tính toán thuận lợi hiệu nhất, việc xin dành cho bạn đọc Để làm tốt toán tính thể tích khoảng cách, cần nắm vững kiến thức sau : • Góc hai mặt phẳng : góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc với giao tuyến Như vậy, để xác định góc hai mặt phẳng, ta phải : 1- Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 2- Quan sát để tìm mặt phẳng đường thẳng vuông góc với giao tuyến, hai đường thẳng cắt điểm giao tuyến Nếu không tìm thấy phải tìm cách vẽ thêm hình • Góc đường thẳng mặt phẳng : góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng Để xác định góc đường thẳng mặt phẳng, ta phải : 1- Tìm hình chiếu đường thẳng mặt phẳng 2- Góc đường thẳng mặt phẳng góc hình chiếu Cần nhớ công thức tính diện tích tam giác, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật… Hệ thức lượng tam giác vuông, định lý Pitago, hệ thức lượng tam giác thường Công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ… Việc quan trọng cần phải làm vẽ hình vẽ Nếu không vẽ hình, không xác định chiều cao khối chóp (hoặc lăng trụ), không xác định góc… Từ không tính thể tích khối chóp (hoặc lăng trụ) Vì vậy, giáo viên cần hướng dẫn bước cho học sinh vẽ hình: 1) Vẽ đáy : • Hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi biểu diễn hình bình hành, thông thường cạnh bên trái cạnh phía vẽ nét đứt (bị che khuất), cạnh bên phải cạnh phía vẽ nét liền (nhìn thấy) • Hình thang biểu diễn hình thang, thường đáy lớn nằm phía vẽ nét đứt • Hình tam giác vuông, tam giác đều, tam giác cân … biểu diễn tam giác thường, cạnh phía thường vẽ nét đứt 2) Xác định hình chiếu vuông góc đỉnh đáy, từ vẽ đỉnh đường cao khối chóp (hoặc lăng trụ) 3) Vẽ cạnh, đường lại : cạnh nào, đường bị che khuất vẽ nét đứt; cạnh nào, đường nhìn thấy vẽ nét liền GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam NỘI DUNG : Phần : TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích V khối chóp có diện tích đáy S chiều cao h : V = S h Thể tích V khối lăng trụ có diện tích đáy S chiều cao h : V = S h Thể tích khối hộp tích diện tích đáy với chiều cao Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kích thước I- Phương pháp hình học sử dụng trực tiếp công thức: Các bước tiến hành sau : 1) Xác định chiều cao khối đa diện cần tính thể tích: nhiều toán chiều cao xác định từ đề bài, có toán việc xác định chiều cao phải dựa vào định lý quan hệ vuông góc chương trình lớp 11, Với toán, đề không cho trước hình chiếu vuông góc đỉnh mặt phẳng đáy, trường hợp cần lưu ý tính chất sau : - Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng năm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng 2) Xác định góc cho đề (nếu có) 3) Tính diện tích đáy 4) Tính thể tích khối đa diện Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) , góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải : SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD ABCD hình vuông ⇒ AD ⊥ CD , suy CD ⊥ ( SAD ) ⇒ SDA = 600 Trong tam giác vuông SAD, ta có : SA = AD.tan SDA = a tan 600 = a Diện tích hình vuông ABCD : S ABCD = a Thể tích khối chóp S.ABCD : 1 a3 VS ABCD = SA.S ABCD = a 3.a = 3 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D với AD = CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (Tốt nghiệp THPT 2011) Giải : SA ⊥ (ABCD) ⇒ AC hình chiếu SC lên mp(ABCD) ⇒ SCA = 450 ⇒ ∆SAC vuông cân A ⇒ SA = AC = AD = a GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Diện tích hình thang ABCD : S ABCD = AB + CD AD 3a + a a = 2a 2 Thể tích khối chóp S.ABCD : 1 2a 2 VS ABCD = SA.S ABCD = a 2.2a = 3 = Ví dụ : Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I giao điểm AM A ' C Tính thể tích tứ diện IABC (Đại học khối D – 2009) Giải : Trong tam giác vuông A ' AC : AC = A ' C − A ' A2 = 9a − 4a = a Trong tam giác vuông ABC : BC = AC − AB = 5a − a = 2a ABC A ' B ' C ' lăng trụ đứng nên kẻ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) IH //A ' A ⇒ IH CI 2 4a = = ⇒ IH = A ' A = A' A A'C 3 Diện tích tam giác ABC : S ∆ABC = 1 AB.BC = a.2a = a 2 1 4a 4a Thể tích khối tứ diện IABC : VIABC = IH S ∆ABC = a = 3 3a , hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD (Đại học khối A – 2014) Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SD = Giải : Gọi H trung điểm AB, suy SH ⊥ ( ABCD ) Do SH ⊥ HD Ta có : HD = AH + AD = a2 a + a2 = a 5a − =a 4 Thể tích khối chóp S.ABCD: 1 a3 VS ABCD = SH S ABCD = a.a = 3 SH = SD − HD = Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B, BA = 3a, BC = 4a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a (Đại học khối D – 2011) GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Giải : Kẻ SH ⊥ BC ( H ∈ BC ), ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) , SH = SB.sin SBC = a 1 Diện tích tam giác ABC : S ∆ABC = BA.BC = 3a.4a = 6a 2 Thể tích khối chóp S.ABC : 1 VS ABC = SH S ∆ABC = a 3.6a = 2a 3 3 • Nhận xét : toán tính thể tích đề thi II- Phương pháp phân chia khối đa diện cần tính thể tích thành tổng hiệu khối cách so sánh thể tích với khối khác : Trong số toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện gặp nhiều khó khăn : khó xác định chiều cao, khó tính diện tích mặt đáy Trong trường hợp này, người ta thường phân chia, so sánh, liên hệ với khối đa diện khác mà việc tính thể tích khối đa diện dễ dàng Với loại toán này, người ta thường áp dụng kết sau : Cho khối chóp S.ABC, đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S Khi : VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = ⋅ ⋅ VS ABC SA SB SC Ví dụ : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng (P) qua A vuông góc SC cắt SB, SC, SB ' SD B’, C’, D’ Biết : AB = a, = Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ SB (Ví dụ trang 17, sách tập hình học 12 – chương trình chuẩn) Giải : Ta có : VS AB ' D ' 2 VS B 'C ' D ' = ⋅ = , VS ABD 3 VS BCD a) Gọi H tâm hình vuông ABCD ⇒ SH ⊥ ( ABCD) Mp(P) cắt hình chóp theo thiết diện tứ giác AB’C’D’ Ta có : BD⊥(SAC) ⇒ BD⊥SC, BD // (P), từ suy (P) cắt (SBD) theo giao tuyến B’D’ // BD Kẻ HE // AC’, : EC’= EC SC ' SH ' SB ' = = = SE SH SB SC ' SE − SC ' EC ' Suy : − = 1− ⇔ = ⇔ = SE SE SE 2 Do : SC ' = SE = ⋅ 3EC ' = EC ' = CC ' 3 Vậy C’ trung điểm SC 2 = ⋅ ⋅ = 3  V VS AB 'C ' D ' = VS AB 'C ' + VS B 'C ' D ' =  +  S ABCD = VS ABCD 9 9 GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Ta có : SC ⊥ ( P ) ⇒ SC ⊥ AC ' nên theo chứng minh trên, AC’ vừa đường cao vừa đường trung tuyến ∆SAC nên AS = SC, suy ∆SAC Từ ta có : SH = AC a = 2 1 a a3 VS ABCD = SH S ABCD = ⋅ a = 3 3 a a = Suy : VS AB 'C ' D ' = 18 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh cm, đường chéo AC = cm Đoạn thẳng SO = 2 cm, SO ⊥ ( ABCD ) với O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi M trung điểm cạnh SC, giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN (Đại học khối A - 2004) Giải : Ta có : AB //CD ⇒ AB //( SCD ) ⇒ ( ABM ) ∩ ( SCD ) = MN //AB //CD ( N ∈ SD ) Vì M trung điểm SC nên N trung điểm SD Ta có : VS ABMN = VS ABN + VS BMN VS ABN SN 1 = = ⇒ VS ABN = VS ABD = VS ABCD VS ABD SD 2 VS BMN SM SN 1 = = ⇒ VS BMN = VS BCD = VS ABCD VS BCD SC SD 4 1 Suy : VS ABMN = VS ABCD + VS ABCD = VS ABCD 8 Ta có : OB = AB − AO = − = ⇒ BD = 2OB = (cm) 1 Diện tích hình thoi ABCD : S ABCD = AC.BD = 4.2 = (cm ) 2 1 (cm3 ) Thể tích khối chóp S,ABCD : VS ABCD = SO.S ABCD = 2.4 = 3 3 Suy : VS ABMN = VS ABCD = = (cm3 ) 8 Nhận xét : Hình thang ABMN tính diện tích, nhiên việc xác định chiều cao từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABMN) phức tạp, cách tính hợp lý III- Phương pháp tọa độ không gian : Các bước tiến hành sau : 1) Lập hệ tọa độ phù hợp với đề : việc quan trọng định cho việc tính toán bước đơn giản hay phức tạp 2) Tính toán tìm tọa độ điểm, vectơ cần thiết 3) Tính thể tích dựa vào công thức sau : VABCD A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  AA ' =  BA, BC  BB ' = VABCD = 1  AB, AC  AD =  BA, BC  BD =    6 GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Ví dụ : Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I giao điểm AM A ' C Tính thể tích tứ diện IABC (Đại học khối D – 2009) Giải : Xét hệ trục tọa độ Bxyz hình vẽ : Ta có : B (0; 0;0), A(0; a;0) AC = A ' C − A ' A2 = 9a − 4a = a BC = AC − AB = 5a − a = 2a nên C (2a; 0;0) ABC A ' B ' C ' lăng trụ đứng nên kẻ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) IH CI 2 4a = = ⇒ IH = A ' A = A' A A'C 3 2a 2a  2a a a  , HP = AB = Kẻ HQ //BC , HP //AB , suy : HQ = BC = ⇒I ; ;  3 3  3   2a 2a a  Ta có : BA = (0; a; 0), BC = (2a; 0;0), BI =  ; ;   3  a 0 0 a ; ; Nên :  BA, BC  =   = ( 0;0; −2a )  0 2a a  1 2a 2a 4a 4a   Vậy : VIABC = VBACI =  BA, BC  BI = + − 2a = 6 3 IH //A ' A ⇒ Nhận xét : So với cách giải trực tiếp phương pháp hình học (ví dụ 3, mục I), cách giải phức tạp Nếu cho a = (đơn vị độ dài) việc tính toán trở nên giống toán tọa độ không gian thông thường Sau tính kết quả, thể tích ta nhân thêm a , diện tích nhân thêm a khoảng cách nhân thêm a 3a Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD (Đại học khối A – 2014) Giải : Gọi H trung điểm AB, suy SH ⊥ ( ABCD) Do SH ⊥ HD Ta có : HD = AH + AD = a2 a + a2 = a 5a − =a 4 Xét hệ trục tọa độ Hxyz hình vẽ : SH = SD − HD =  a  a  a  Ta có : A  − ; 0;  , B  ; 0;  , C  ; a;  , S ( 0; 0; a )   2  2  a  Do : BA = ( − a;0; ) , BC = ( 0; a; ) , BS =  ;0; a  2  GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam  0 − a −a   BA, BC  =  ; ;  = ( 0;0; − a )   0 a a 0 Thể tích khối chóp S.ABCD: 1 a a3   VS ABCD =  BA, BC  BS = + 0.0 − a a = 3 Nhận xét : Rõ ràng so với cách giải trực tiếp phương pháp hình học (ví dụ 4, mục I), cách giải dài dòng, phức tạp Phần : TÍNH KHOẢNG CÁCH Các toán tính khoảng cách thường xuyên xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng năm trước kỳ thi THPT quốc gia năm 2015 Có nhiều phương pháp để tính khoảng cách : 1- Phương pháp trực tiếp cách xác định hình chiếu vuông góc từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) xác định đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo 2- Phương pháp thể tích 3- Phương pháp tọa độ không gian Hai dạng toán thường gặp là: • Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo A- Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng I - Phương pháp trực tiếp : Các bước tiến hành sau : 1) Xác định hình chiếu vuông góc điểm cần tính khoảng cách mặt phẳng cần tính khoảng cách tương ứng, bước quan trọng nhờ việc xác định mà ta có đủ liệu để tính toán bước 2) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông, định lý Pitago, hệ thức lượng giác tam giác thường, để tính khoảng cách Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi H chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) Chứng minh : a) H trực tâm tam giác ABC; 1 1 b) = + + 2 OH OA OB OC (Bài tập 4, trang 105, SGK Hình học lớp 11 - chương trình chuẩn) Giải : Theo bước trên, đề cho hình chiếu vuông góc O mp(ABC) H, ta chứng minh H trực tâm tam giác ABC Sau áp dụng hệ thức tam giác vuông để tính khoảng cách Lời giải toán sau: a) Kẻ OH ⊥ ( ABC ) , Ta có : BC ⊥ OH (OH ⊥ ( ABC )   ⇒ BC ⊥ ( AOH ) BC ⊥ OA (OA ⊥ (OBC )  ⇒ BC ⊥ AH Tương tự ta chứng minh AB ⊥ CH AC ⊥ BH , suy H trực tâm tam giác ABC GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam b) Gọi K = AH ∩ BC 1 = + (1) 2 OK OB OC 1 Trong tam giác vuông OAK, OH đường cao nên : = + (2) 2 OH OA OK 1 1 = + + Từ (1) (2), ta có : 2 OH OA OB OC Vì H chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) nên d (O, ( ABC )) = OH Trong tam giác vuông OBC, OK đường cao nên : Nhận xét : Bài toán cho H hình chiếu vuông góc điểm O mặt phẳng (ABC) Mấu chốt toán phải xác định vị trí hình chiếu vuông góc H điểm O nằm đâu mặt phẳng (ABC) Để xác định vị trí điểm H thông thường ta làm sau: - Tìm đường thẳng thuộc mp(ABC) nằm mặt phẳng đáy với điểm O, đường thẳng BC, từ O kẻ OK ⊥ BC K - Kẻ OH ⊥ SK H, ta chứng minh OH ⊥ ( ABC ) ⇒ d (O,( ABC )) = OH Các ví dụ sau làm rõ thêm nhận xét Kết toán có ứng dụng hiệu việc giải số toán tính khoảng cách phần “Quan hệ vuông góc” hình học không gian Đối với số toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, nhiều khó tính trực tiếp khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà phải tính thông qua điểm khác thuận lợi (thường chân đường vuông góc hạ từ đỉnh đến đáy) Thông thường sử dụng kết toán sau để tính : Bài toán : Cho mặt phẳng (α ) đường thẳng d cắt (α ) A, d lấy hai điểm B C (khác điểm A) cho AC = k AB Gọi H, K hình chiếu vuông góc B C mặt phẳng (α ) ∆ABH đồng dạng với ∆ACK : CK AC = = k ⇔ CK = k BH BH AB Hay: d (C , (α )) = k d ( B, (α )) Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cân B, góc ACB = 300 , AC = a SA ⊥ ( ABC ) SA = a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Giải : Theo lược đồ trên, trước hết ta xác định hình chiếu vuông góc H A mp(SBC), áp dụng hệ thức tam giác vuông để tính khoảng cách Lời giải sau : Kẻ AD ⊥ BC ( D ∈ BC ) , tam giác ADC vuông D : a Kẻ AH ⊥ SD ( H ∈ SD) SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAD) ⇒ BC ⊥ AH AH ⊥ SD   ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH AH ⊥ BC  Trong tam giác vuông SAD , ta có : AD = AC.sin ACD = GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 1 1 a 21 = 2+ = + = ⇒ AH = 2 AH SA SD a 3a 3a a 21 Vậy : d ( A, ( SBC )) = Ví dụ : Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I giao điểm AM A ' C Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC (Đại học khối D – 2009) Giải : Kẻ AK ⊥ A ' B K, BC ⊥ ( A ' AB ) ⇒ BC ⊥ AK Suy AK ⊥ ( A ' BC ) ⇒ AK ⊥ ( IBC ) ⇒ d ( A, ( IBC )) = AK Trong tam giác vuông A ' AB : 1 1 = + = 2+ = 2 2 AK A' A AB 4a a 4a 2a 2a ⇒ AK = Vậy d ( A, ( IBC )) = 5 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B, BA = 3a, BC = 4a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a (Đại học khối D – 2011) Giải : Với toán ta khó tính trực tiếp khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) mà phải tính thông qua điểm H chân đường vuông góc đỉnh S mặt phẳng đáy (ABC) Lời giải sau : Kẻ SH ⊥ BC ( H ∈ BC ), ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) , SH = SB.sin SBC = a BH = SB.cos SBC = 3a , HC = BC − BH = a Trong tam giác ABC, kẻ HE ⊥ AC ( E ∈ AC ) , kẻ HK ⊥ SE ( K ∈ SE ) , ta chứng minh HK ⊥ ( SAC ) SH ⊥ AC  Thật vậy,  ⇒ AC ⊥ ( SHE ) ⇒ AC ⊥ HK HE ⊥ AC  HK ⊥ SE   ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( H , ( SAC )) = HK HK ⊥ AC  BC = HC ⇒ d ( B, ( SAC )) = 4d ( H , ( SAC )) Tam giác vuông HEC đồng dạng với tam giác vuông ABC nên : ⇒ HE = AB.HC = AC AB.HC = 3a.a = HE HC = AB AC 3a BA + BC 16a + 9a 1 1 25 28 3a 3a = + = + = ⇒ HK = = 2 HK SH HE 3a 9a 9a 14 2 Vậy d ( B, ( SAC )) = 4.d ( H , ( SAC )) = 2 6a 7 GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Ví dụ : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt đáy 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) (Đại học khối B – 2014) Giải : Gọi H trung điểm AB ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) A ' CH = 600 a 3a 3= 2 Kẻ HK ⊥ AC K, HI ⊥ AK I Suy HI ⊥ ( ACC ' A ') ⇒ d ( H , ( ACC ' A ')) = HI Do : A ' H = HC.tan 600 = a a sin 600 = Trong tam giác vuông A ' KH : 1 16 52 3a 13 = + = + = ⇒ HI = 2 HI A'H HK 9a 3a 9a 26 Do HK = AH sin HAK = BA = HA ⇒ d ( B, ( ACC ' A ')) = 2d ( H , ( ACC ' A ')) = HI = Vậy d ( B, ( ACC ' A ')) = 3a 13 13 3a 13 13 II- Phương pháp thể tích : Các bước giải phương pháp sau : 1) Giả sử toán yêu cầu tìm khoảng cách từ đỉnh S hình chóp (hoặc lăng trụ) Ta tìm thể tích khối chóp (hoặc lăng trụ) theo cách khác mà không dựa vào đỉnh S 2) Tính diện tích đáy đỉnh S 3V V 3) Tính khoảng cách dựa vào công thức : với khối chóp h = , với khối lăng trụ h = vớ i S S V , S , h thể tích, diện tích đáy, chiều cao khối chóp (hoặc lăng trụ) Ví dụ : Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I giao điểm AM A ' C Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC (Đại học khối D – 2009) Giải : Ta có : d ( A, ( IBC )) = d ( A, ( A ' BC )) Theo ví dụ phần 1, mục I, ta có : AC = A ' C − A ' A2 = 9a − 4a = a BC = AC − AB = 5a − a = 2a BC ⊥ ( A ' AB ) ⇒ BC ⊥ A ' B A ' B = A ' C − BC = 9a − 4a = a Diện tích tam giác ABC : S ∆ABC = a 1 2a Thể tích tứ diện A ' ABC : VA ' ABC = AA '.S ∆ABC = 2a.a = 3 1 Diện tích tam giác A’BC : S ∆A ' BC = A ' B.BC = a 5.2a = a 2 GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 10 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 3.VA ' ABC 2a 2a Gọi d = d ( A, ( IBC )) : d = = = S ∆A ' BC a Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B, BA = 3a, BC = 4a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a (Đại học khối D – 2011) Giải : Kẻ SH ⊥ BC ( H ∈ BC ), ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) , SH = SB.sin SBC = a BH = SB.cos SBC = 3a , HC = BC − BH = a Trong tam giác ABC, kẻ HE ⊥ AC ( E ∈ AC ) SH ⊥ AC  Ta có  ⇒ AC ⊥ ( SHE ) ⇒ AC ⊥ SE HE ⊥ AC  Tam giác vuông HEC đồng dạng với tam giác vuông ABC : HE HC = AB AC AB.HC AB.HC 3a.a 3a ⇒ HE = = = = AC BA2 + BC 16a + 9a 9a 2a 21 SE = SH + HE = 3a + = 25 2 1 2a 21 5a = a 21 SE AC = 2 Theo ví dụ phần 1, mục I, ta có : VB.SAC = VS ABC = 2a 3 Diện tích tam giác SAC : S ∆SAC = Gọi d khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) : d = 3.VB.SAC 6a 3 6a = = S ∆SAC a 21 III- Phương pháp tọa độ không gian : Các bước tiến hành sau : 1) Lập hệ tọa độ phù hợp với đề bài: việc quan trọng định cho việc tính toán bước đơn giản hay phức tạp 2) Tính toán tìm tọa độ điểm, vectơ cần thiết 3) Lập phương trình mặt phẳng mà ta cần tính khoảng cách đến 4) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo công thức sau : Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = : d ( M ,(α )) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Ví dụ : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc Cho OA = a, OB = b, OC = c Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) theo a, b, c Giải : Lập hệ tọa độ Oxyz hình vẽ, ta có : O(0; 0;0) B (b;0; 0), C (0; c; 0), A(0;0; a ) Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, mặt phẳng GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 11 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam x y z + + −1 = b c a Khoảng cách từ điểm O đến mp(ABC) : (ABC) có phương trình : d (O,( ABC )) = −1 1 + 2+ 2 b c a = abc a b + b2c2 + c2 a 2 Nhận xét : bạn so sánh với cách tính ví dụ 1, mục I Ví dụ : Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I giao điểm AM A ' C Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC (Đại học khối D – 2009) Giải : Lập hệ trục tọa độ Bxyz hình vẽ : Ta có : B (0; 0;0), A(0; a;0) AC = A ' C − A ' A2 = 9a − 4a = a BC = AC − AB = 5a − a = 2a nên C (2a; 0;0) , A '(0; a; 2a ) Mặt phẳng (IBC) mặt phẳng (A’BC) Viết phương trình mp(A’BC): Ta có : BC = (2a; 0;0), BA ' = ( 0; a; 2a )  a 2a 2a 0 a  2 n =  BA ', BC  =  ; ;  = ( 0; 4a ; −2a ) 0 a a   Mặt phẳng (IBC) qua B (0; 0;0) nhận n = (0; 4a ; −2a ) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình : 4a y − 2a z = Khoảng cách từ điểm A(0; a;0) đến mp(IBC) : d ( A, ( IBC )) = 4a 16a + 4a 4 = 2a (do a > ) Ví dụ : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD = 1200 , M trung điểm cạnh BC SMA = 450 Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) (Đại học khối D – 2013) Giải : BAD = 1200 ⇒ ABC = 600 ⇒ ∆ABC a ⇒ AM = MAD = 900 Tam giác SAM vuông A, có SMA = 450 a ⇒ ∆SAM vuông cân A ⇒ SA = AM = Lập hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ , ta có : a  a a   a 3 A(0;0;0), M  ; 0;0  , C  ; ;0  , D(0; a;0), S  0; 0;      2   Mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (SMC) GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 12 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam  a a 3  a  Ta có : MC =  0; ;0  , MS =  − ;0;  2     a  n =  MC , MS  =   0  a ;a a  a2    a2 ; = ;0;   a    a − 0 −  0  a 3 Mặt phẳng (SBC) qua S  0;0;  nên có phương trình :   2 a a 3 a 3 a2 a2 3a x+ z x z − = ⇔ + − =0   4   4 3a − a Khoảng cách từ điểm D (0; a;0) đến mặt phẳng (SBC) : d ( D, ( SBC )) = = 4 3a 3a + 16 16 B- Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo I - Phương pháp trực tiếp : Cách giải phương pháp sau : 1) Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Vì vậy, ta xác định đoạn vuông góc chung coi tính độ dài đoạn vuông góc chung Với toán yêu cầu tính khoảng cách hai đường thẳng chéo vuông góc việc tìm đoạn vuông góc chung tương đối dễ dàng 2) Đối với toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo không vuông góc nhau, việc xác định đoạn vuông góc chung hai đường thẳng lúc dễ dàng Hơn nhiều toán người ta yêu cầu tính khoảng cách hai đường thẳng chéo mà không yêu cầu xác định đoạn vuông góc chung Với toán khó xác định đoạn vuông góc chung vậy, người ta thường chuyển việc tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 d toán sau: (xem nhận xét trang 117, SGK Hình học lớp 11) a) Nếu d1 //( P ) d ⊂ ( P ) d (d1 , d ) = d (d1 , ( P )) Với A điểm thuộc d1 , d1 //( P ) ⇒ d (d1 , ( P )) = d ( A, ( P )) b) Nếu d1 ⊂ ( P ), d ⊂ (Q ) ( P )//(Q ) d (d1 , d ) = d (( P ), (Q )) Do ( P )//(Q ) nên khoảng cách ( P ) (Q ) khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Như vậy, nhiều toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo quy toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SC BD (Ví dụ trang 118, SGK Hình học 11) Giải : Với toán này, dễ thấy BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 13 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Nên ta tìm đoạn vuông góc chung SC BD Gọi O tâm hình vuông ABCD, kẻ OH ⊥ SC Ta có BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ OH Suy : OH đoạn vuông góc chung SC BD AC a = Ta có : OC = 2 SC = SA2 + AC = a + 2a = a Tam giác vuông SAC đồng dạng tam giác vuông OHC : a a SA SC SA.OC =a = ⇒ OH = = OH OC SC a Vậy d ( SC , BD) = a 6 Ví dụ : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD , H giao điểm CN với DM Biết SH ⊥ ( ABCD) SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a (Đại học khối A – 2010) Giải : ∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN Mặt khác SH ⊥ ( ABCD) ⇒ DM ⊥ SH , suy DM ⊥ ( SHC ) ⇒ DM ⊥ SC Theo cách giải trên, DM ⊥ SC nên ta tìm đoạn vuông góc chung DM SC Kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) , ta có HK đoạn vuông góc chung DM SC , d ( DM , SC ) = HK a2 a = CD 2a ∆CHD đồng dạng ∆CDN ⇒ HC = = CN Trong tam giác vuông SHC , HK đường cao nên: 1 1 19 2a 57 = + = 2+ = ⇒ HK = 2 2 HK SH HC 3a 4a 12a 19 2a 57 Vậy : d ( DM , SC ) = 19 Ví dụ : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy tam giác vuông có BA = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C (Đại học khối D – 2008) CN = CD + DN = a + Giải : Gọi N trung điểm BB’ ⇒ MN //B ' C ⇒ B ' C //( AMN ) Do : d ( B ' C , AM ) = d ( B ' C , ( AMN )) = d (C , ( AMN )) Vì M trung điểm BC nên d (C , ( AMN )) = d ( B, ( AMN )) Gọi BH = d ( B, ( AMN )) Tam giác ABC có BA = BC = a nên vuông B Ta có BA, BM , BN đôi vuông góc nên : GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 14 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 1 1 = + + = 2+ 2+ = 2 2 BH AB BM BN a a a a a ⇒ BH = a Vậy d ( AM , B ' C ) = Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a (Đại học khối A – 2011) Giải : (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC BC ⊥ ( SAB ) ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = AB.tan SBA = 2a Mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N ⇒ MN //BC N trung điểm AC BC AB MN = = a, AM = BM = =a 2 Qua N, kẻ đường thẳng d song song với AB Từ A, kẻ AH ⊥ d ( H ∈ d ) , kẻ AK ⊥ SH ( K ∈ SH ) AB //d ⇒ AB //HN ⇒ AB //( SHN ) Do d ( AB, SN ) = d ( AB, ( SHN )) = d ( A, ( SHN )) Tam giác SAH vuông A, có: AK ⊥ SH AH = MN = a SA AH SA AH 2a 3.a 2a 39 d ( AB, SN ) = AK = = = = 2 2 SH 13 SA + AH 12a + a Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 450 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB, AC (THPT Quốc gia năm 2015) Giải : SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA chiều cao khối chóp Xác định góc SC mp(ABCD) : Do SA ⊥ ( ABCD) ⇒ AC hình chiếu SC mp(ABCD), suy góc SC mp(ABCD) SCA = 450 Trong tam giác vuông SAC : SCA = 450 ⇒ ∆SAC vuông cân A nên SA = AC = a Qua B, kẻ đường thẳng d //AC , kẻ AM ⊥ d ⇒ AC //( SBM ) Suy d ( AC , SB ) = d ( AC , ( SBM )) = d ( A, SBM )) Kẻ AN ⊥ SM , ta chứng minh d ( A, ( SBM )) = AN Ta có AM ⊥ BM   ⇒ BM ⊥ ( SAM ) ⇒ BM ⊥ AN SM ⊥ AN nên AN ⊥ ( SBM ) SA ⊥ BM  GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 15 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Vậy d ( A, ( SBM )) = AN Ta có MBA = BAC = 450 (so le trong) ⇒ ∆MAB vuông cân M ⇒ AM = AB a = 2 Tam giác vuông SAM có AN ⊥ SM nên : a a 2 SA AM SA AM = a = a 10 Vậy d ( SB, AC ) = a 10 AN = = = SM SA2 + AM a2 a 2a + 2 II- Phương pháp thể tích : Cách giải phương pháp sau : • Đưa toán tìm khoảng cách hai đương thẳng chéo toán tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Các bước lại thực giống toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a (Đại học khối A – 2011) Giải : (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC BC ⊥ ( SAB ) ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = AB.tan SBA = 2a Mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N ⇒ MN //BC N trung điểm AC BC AB MN = = a, AM = BM = =a 2 Gọi K trung điểm BC ⇒ AB //NK ⇒ AB //( SNK ) AB NK = =a Do d ( AB, SN ) = d ( AB, ( SNK )) = d ( M , ( SNK )) 1 a2 S ∆ABC = 2a.2a = 4 2 Diện tích tam giác MNK : S ∆SMNK = 1 a a3 Thể tích khối chóp S.MNK : VS MNK = SA.S ∆MNK = 2a = 3 BC Kẻ AH ⊥ NK ( AH //BC ) ⇒ AH = BK = =a NK ⊥ AH  2 2  ⇒ NK ⊥ ( SAH ) ⇒ NK ⊥ SH , SH = SA + AH = 12a + a = a 13 NK ⊥ SA  1 a 13 Diện tích tam giác SNK : S ∆SNK = SH NK = a 13.a = 2 3.V 3.V a3 2a 39 Đặt h = d ( M , ( SNK )) , ta có : VM SNK = h.S ∆SNK ⇒ h = M SNK = S MNK = = 13 S ∆SNK S ∆SNK a 13 Nhận xét : So với cách tính trực tiếp ví dụ 4, mục I, cách dài phức tạp GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 16 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Ví dụ : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy tam giác vuông có BA = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C (Đại học khối D – 2008) Giải : Gọi N trung điểm BB’ ⇒ MN //B ' C ⇒ B ' C //( AMN ) Do : d ( B ' C , AM ) = d ( B ' C , ( AMN )) = d (C , ( AMN )) Vì M trung điểm BC nên d (C , ( AMN )) = d ( B, ( AMN )) Ta có : S ∆ABM = 1 a2 S ∆ABC = BA.BC = 2 Thể tích khối tứ diện NABM : 1 a a2 a3 VNABM = NB.S ∆ABM = = 3 24 Kẻ BH ⊥ AM ( H ∈ AM ) ⇒ AM ⊥ ( BHN ) ⇒ AM ⊥ NH AM = AB + BM = a + a2 a = Trong tam giác vuông ABM : a a AB.BM a BH AM = AB.BM ⇒ BH = = = AM a 2 a a a 70 NH = BN + BH = + = 10 1 a 70 a a 14 = Diện tích tam giác AMN : S ∆AMN = NH AM = 2 10 3.VBAMN 3.VNABM Gọi h = BH = d ( B, ( AMN )) , ta có : VBAMN = h.S ∆AMN ⇒ h = = S ∆AMN S ∆AMN a3 a = 28 = a 14 a 7 Nhận xét : So với cách tính trực tiếp ví dụ 3, mục I, cách dài dòng phức tạp Vậy d ( AM , B ' C ) = h = III- Phương pháp tọa độ không gian : Các bước tiến hành sau : 1) Lập hệ tọa độ phù hợp với đề bài: việc quan trọng định cho việc tính toán bước đơn giản hay phức tạp 2) Lấy đường thẳng điểm thích hợp, tính toán tìm tọa độ điểm điểm cần thiết khác 3) Tính tọa độ vectơ phương đường thẳng, vectơ tạo hai điểm chọn bước 4) Giả sử đường thẳng d1 qua điểm M có vec tơ phương u1 , đường thẳng d qua điểm M có vec tơ phương u2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 , d : d (d1 , d ) = u1 , u2  M 1M n.M 1M   , với n = u1 , u2  = u1 , u2  n   GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 17 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Ví dụ : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy tam giác vuông có BA = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C (Đại học khối D – 2008) Giải : Lập hệ trục tọa độ Bxyz hình vẽ : a  Ta có : B (0; 0;0), A(0; a;0) , C (a; 0;0), B '(0; 0; a 2), M  ;0;  2  Ta có : a  AM =  ; − a;  vectơ phương đường thẳng AM 2  ( B ' C = a;0; − a ) vectơ phương đường thẳng B’C Và AC = (a; − a;0)  a a 0  −a   2;2 n =  AM , B ' C  =  ;  − a −a a a   −a     a2 2  2a a 14 =  a 2; + a4 = ; a  ⇒ n = 2a +   Suy : d ( AM , B ' C ) = a n AC = a3 2− = a 7 a 14 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a (Đại học khối A – 2011) Giải : (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) ( SAB) ∩ ( SAC ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC Lập hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ, với trục Ay //BC ⇒ Ay ⊥ Ax n BC ⊥ ( SAB ) ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = AB.tan SBA = 2a Mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N ⇒ MN //BC N trung điểm AC BC AB MN = = a, AM = BM = =a 2 Ta có : A(0;0;0), B (2a;0; 0), S (0; 0; 2a 3), N (a; a;0) AB = (2a;0; 0) vectơ phương đường thẳng AB SN = (a; a; −2a 3) vectơ phương đường thẳng SN Và AN = (a; a; 0) 0 n =  AB, SN  =  a  2a 2a ; − 2a −2a a a ; 0 2  = 0; 4a 3; 2a a  ( ) n = 48a + 4a = 2a 13 GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 18 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Suy : d ( AB, SN ) = n AN = n 4a 3 2a 13 = 2a 39 13 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 450 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB, AC (THPT Quốc gia năm 2015) Giải : SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA chiều cao khối chóp Lập hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AC hình chiếu SC mp(ABCD), suy góc SC mp(ABCD) SCA = 450 Trong tam giác vuông SAC : SCA = 450 ⇒ ∆SAC vuông cân A nên SA = AC = a Ta có : A(0;0;0), B (a; 0;0), C (a; a;0), S (0;0; a 2) AC = (a; a; 0) vectơ phương đường thẳng AC SB = (− a;0; a 2) vectơ phương đường thẳng SB Và AB = (a; 0; 0) a a a a 0 n =  AC , SB  =  ; ; = a 2; − a 2; a  a a − a − a    ( ) n = 2a + 2a + a = a Suy : d ( AC , SB ) = n AB n = a3 a = a 10 Phần : MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÌNH NÓN, HÌNH TRỤ, HÌNH CẦU 1- Hình nón : • Diện tích xung quanh : S xq = π rl • Diện tích đáy : Sñ = π r 1 Thể tích : V = Sñ h = π r h 3 Trong đó: r bán kính đáy, h chiều cao l độ dài đường sinh Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sñ Ví dụ : Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm a) Tính diện tích xung quanh hình nón cho b) Tính thể tích khối nón tạo thành hình nón c) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12 cm Tính diện tích thiết diện (Bài tập trang 39, SGK Hình học 12) Giải : Ta có : độ dài đường sinh l = r + h = 202 + 252 = 41 (cm) a) Diện tích xung quanh hình nón : S xq = π rl = π 25.5 41 = 125π (cm ) GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 19 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam b) Thể tích khối nón : 1 12500π V = π r h = π (25) 20 = (cm3 ) 3 c) Gọi thiết diện qua đỉnh tam giác SAB cân đỉnh S, O tâm hình tròn đáy, I trung điểm dây cung AB, kẻ OH ⊥ AI Ta có OH ⊥ ( SAB ) ⇒ d (O, ( SAB )) = OH = 12 (cm) , SO = h = 20 (cm) , OB = r = 25 (cm) Trong tam giác vuông SOI vuông O : 1 1 1 1 OH ⊥ SI : = + ⇔ = − = 2− 2 2 2 OH SO OI OI OH SO 12 20 ⇒ OI = 15 (cm) SI OH = SO.OI ⇔ SI = SO.OI 20.15 = = 25 (cm) OH 12 BI = OB − OI = 252 − 152 = 20 (cm) Diện tích thiết diện SAB : S ∆SAB = SI BI = 25.20 = 500 (cm ) Ví dụ : Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy thể tích khối nón tương ứng b) Cho dây cung BC đường tròn đáy hình nón cho mặt phẳng ( SBC ) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC (Bài tập trang 40, SGK Hình học 12) Giải : Gọi thiết diện qua trục tam giác vuông cân SAB vuông cân đỉnh S, tâm O hình tròn đáy trung điểm AB Ta có AB = a AB a Bán kính đáy r = = 2 AB a Chiều cao h = SO = = 2 a2 a2 Độ dài đường sinh l = SA = SO + OA = + =a 2 2 a) Diện tích xung quanh : S xq = π rl = π a π a2 a = 2  a  π a2 Diện tích đáy : Sd = π r = π   =   1 π a a π a3 Thể tích khối nón : V = Sñ h = = 3 2 12 b) Gọi H trung điểm BC, suy BC ⊥ (SOH ) ⇒ SHO = 60 a a , Tam giác SOH vuông O : SH = = = 3 sin SHO SO GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 20 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam HC = SC − SH = l − SH = a2 − 6a a = Diện tích tam giác SBC : S∆SBC = SH HC = a a a2 = 3 2- Hình trụ : • Diện tích xung quanh : S xq = 2π rl = 2π rh • Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sñ Diện tích đáy : Sñ = π r Thể tích : V = Sñ h = π r h Trong đó: r bán kính đáy, h chiều cao l độ dài đường sinh h = l Ví dụ : Một hình trụ có bán kính đáy r đường cao h = r a) Tính diện tích xung quanh hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tương ứng c) Cho hai điểm A B nằm hai đường tròn đáy cho góc đường thẳng AB trục hình trụ 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ (Bài tập trang 39, SGK Hình học 12) Giải : Gọi OO’ trục hình trụ, ta có OO ' = h = r a) Diện tích xung quanh hình trụ : S xq = 2π rl = 2π rh = 2π r.r = 2π r b) Thể tích khối trụ: V = π r h = π r r = π r 3 c) Kẻ đường sinh AA’, ta có AA’ vuông góc với mặt phẳng chứa đáy nên AA ' //OO ' ⇒ BAA ' = 300 Do OO ' //AA ' ⇒ d (OO ', AB) = d (OO ',( ABA ')) = d (O ',( ABA ')) Gọi I trung điểm A’B, ta có : O ' I ⊥ AB '  ⇒ O ' I ⊥ ( ABA ') ⇒ d (O ',( ABA ')) = O ' I O ' I ⊥ AA '  Tam giác ABA’ vuông A’ : A ' B = AA '.tan BAA ' = r 3 A'B r = r , BI = = 2 r2 r O ' I = OB − BI = r − = 2 2 Vậy d ( AB, OO ') = d (OO ', AB) = r Ví dụ : Cho hình trụ có bán kính r chiều cao r Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB CD dây cung hai đường tròn đáy , cạnh BC AD đường sinh hình trụ Tính diện tích hình vuông côsin góc mặt phẳng chứa hình vuông mặt phẳng đáy (Bài tập 10 trang 40, SGK Hình học 12) Giải : Gọi O’O trục hình trụ Kẻ hai đường sinh CC’ DD’ Ta có D’C’ // DC D’C’ = DC ABCD hình vuông nên AB // DC AB = DC Suy AB // C’D’ AB = D’C’ ⇒ ABC ' D ' hình bình hành GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 21 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Hình bình hành ABC ' D ' nội tiếp đường tròn nên hình chữ nhật Suy AC ' đường kính hình tròn đáy : AC ' = 2r Gọi a cạnh hình vuông ABCD, ta có AC = a Xét tam giác vuông ACC’ vuông C’ : r 10 5r Diện tích hình vuông ABCD : SABCD = a = Ta có AB ⊥ ( BCC ') suy góc mặt phẳng chứa hình vuông AC = AC '2 + CC '2 ⇔ 2a2 = 4r + r ⇔ a = mặt phẳng đáy CBC ' BC ' = BC − CC '2 = 5r r − r2 = 2 r BC ' Xét tam giác vuông BCC’ vuông C’ : cos CBC ' = = = BC r 10 3- Hình cầu : Diện tích mặt cầu : S = 4π r Thể tích khối cầu : V = π r 3 Trong đó: r bán kính Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD = 60 SB ⊥ ( ABCD ) góc SD đáy 600 a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) b) Xác định tâm mặt cầu tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ACD Giải : Hình thoi ABCD có BAD = 60 nên hai tam giác ABD BCD hai tam giác cạnh a Suy BD = a, OA = OC = a , AC = a SB ⊥ ( ABCD ) ⇒ SDB = 60 , SB = BD.tan SDB = a a) Kẻ CK vuông góc với đường thẳng AB K , ta có : CK ⊥ SB   ⇒ CK ⊥ (SAB) ⇒ d (C ,(SAB)) = CK CK ⊥ AB  Tam giác ACK vuông K có CAK = 30 nên : a CK = AC.sin CAK = a = 2 a b) Do BA = BD = BC = a nên SB trục hình tròn ngoại tiếp tam giác ACD Trong mặt phẳng (SBC), đường trung trực SC cắt SB I, ta có IS = IC Vì I ∈ SB ⇒ IA = ID = IC , suy IA = ID = IC = IS ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ACD Bán kính mặt cầu r = SI Vậy d (C ,(SAB)) = GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 22 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Tam giác vuông SHI đồng dạng với tam giác vuông SBC : SC = SB + BC = 3a2 + a2 = 2a ⇒ r = SI = 4a2 2.a 4 8a 32π a 3 Thể tích khối cầu : V = π r = π = 3 27 = SI SH SH SC SC = ⇒ SI = = SC SB SB 2.SB 2a 3 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc với đáy, biết AB = a, BC = 2a, SA = 2a a) Tính thể tích khối tứ diện SABC theo a b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD tính diện tích mặt cầu theo a Giải : (SAB) ⊥ ( ABCD ), (SAD ) ⊥ ( ABCD ) (SAB) ∩ (SAD ) = SA suy SA ⊥ ( ABCD ) a) Diện tích tam giác ABC: S∆ABC = AB.BC = a2 Thể tích khối tứ diện SABC : 1 VS ABC = SA.S∆ABC = 2a.a2 = a3 b) Gọi I trung điểm SC Tam giác SAC vuông A nên IS = IA = IC Ta có : CD ⊥ (SAD ) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ tam giác SCD vuông D, : IS = IC = ID Suy IS = IA = IC = ID ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD SC Bán kính mặt cầu r = IS = 3a AC = AB + BC = a2 + 4a2 = a , SC = SA + AC = 4a2 + 5a2 = 3a ⇒ r = 2 9a Diện tích mặt cầu : S = 4π r = 4π = 9π a CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP 1- Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A , ABC = 300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên ( SBC ) vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) (Đại học khối A, A1 – 2013) Đáp số : VS ABC a3 a 39 = , d (C , ( SAB )) = 16 13 2- Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình vuông , tam giác A ' AC vuông cân, A ' C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB ' C ' khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCD ') theo a (Đại học khối D – 2012) Đáp số : VABB 'C ' = a3 a , d ( A, ( BCD ')) = 48 3- Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA,BC (Đại học khối D – 2014) GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 23 www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Đáp số : VS ABC a3 a = , d ( SA, BC ) = 24 4- Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) (Đại học khối B – 2013) Đáp số : VS ABCD = a3 a 21 , d ( A, ( SCD )) = 5- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD = 1200 , SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB SC theo a Đáp số : VS ABCD = a3 3a , d ( AB, SC ) = 6- Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD, AB = 2a, BC = a , SA ⊥ ( ABCD) Góc mặt phẳng (SBC) đáy (ABCD) 450 Gọi M điểm cạnh CD cho MD = MC Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBM ) Đáp số : VS ABCD = 4a 3a 22 , d ( A, ( SBM )) = 11 7- Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB = a, BC = 2a, ACB = 300 , hình chiếu vuông góc A ' mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ABC , góc AA ' mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng B ' C ' , A ' C 2a 51 17 8- Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a (Đại học khối B – 2010) Đáp số : VABC A ' B 'C ' = a , d ( B ' C ', A ' C ) = Đáp số : VABC A ' B 'C ' = 3a 3 7a , R= 12 KẾT LUẬN : Chuyên đề tài liệu nhỏ phần giúp cho em học sinh trường THPT Xuân Thọ rèn luyện kỹ làm tập Đối với học sinh trung bình, yếu có ý chí vượt khó, chịu cố gắng làm phần tính thể tích Các em khá, giỏi làm phần tính khoảng cách, giúp em tự tin cho kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 tới Tuy có nhiều cố gắng, thời gian hạn chế nên tài liệu chắn nhiều thiếu sót, xin biết ơn góp ý mong đợi từ quý Thầy Cô em học sinh GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai 24 [...]... (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích của khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a Đáp số : VS ABCD = a3 3 3a , d ( AB, SC ) = 8 4 6- Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, AB = 2a, BC = a , SA ⊥ ( ABCD) Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy (ABCD) bằng 450 Gọi M là điểm trên cạnh CD sao cho MD = 2 MC Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD và khoảng cách. .. KẾT LUẬN : Chuyên đề này là một tài liệu nhỏ phần nào giúp cho các em học sinh trường THPT Xuân Thọ rèn luyện kỹ năng làm bài tập Đối với học sinh trung bình, yếu nếu có ý chí vượt khó, chịu cố gắng sẽ làm được phần tính thể tích Các em khá, giỏi có thể làm được cả phần tính khoảng cách, giúp các em tự tin cho kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 sắp tới Tuy đã có nhiều cố gắng, do thời gian hạn chế nên tài... tâm G của tam giác ABC , góc giữa AA ' và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng B ' C ' , A ' C 2a 51 17 8- Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A ' B ' C ' có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện... vuông cân, A ' C = a Tính thể tích của khối tứ diện ABB ' C ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCD ') theo a (Đại học khối D – 2012) Đáp số : VABB 'C ' = a3 2 a 6 , d ( A, ( BCD ')) = 48 6 3- Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường... cách giữa ( P ) và (Q ) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Như vậy, nhiều bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Ví dụ 1 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD (Ví dụ trang 118, SGK... đáy, h là chiều cao và l là độ dài đường sinh và h = l Ví dụ 1 : Một hình trụ có bán kính đáy r và đường cao h = r 3 a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ (Bài tập 7 trang 39, SGK... Diện tích xung quanh : S xq = π rl • Diện tích đáy : Sñ = π r 2 1 1 Thể tích : V = Sñ h = π r 2 h 3 3 Trong đó: r là bán kính đáy, h là chiều cao và l là độ dài đường sinh Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sñ Ví dụ 1 : Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho b) Tính thể tích khối nón được tạo thành bởi hình nón đó c) Một thi t... những bài toán yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì việc tìm đoạn vuông góc chung tương đối dễ dàng 2) Đối với bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc nhau, việc xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng này không phải lúc nào cũng dễ dàng Hơn nữa trong nhiều bài toán người ta chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường... phương trình mặt phẳng mà ta cần tính khoảng cách đến nó 4) Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng theo công thức sau : Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 là : d ( M 0 ,(α )) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2 Ví dụ 1 : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau Cho OA = a, OB = b, OC = c Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng... chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, BAD = 60 0 SB ⊥ ( ABCD ) và góc giữa SD và đáy bằng 600 a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) b) Xác định tâm của mặt cầu và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ACD Giải : Hình thoi ABCD có BAD = 60 0 nên hai tam giác ABD và BCD là hai tam giác đều cạnh bằng a Suy ra BD = a, OA = OC = a 3 , AC = a 3 2 SB ⊥ ( ABCD ) ⇒ SDB = 60 0 ,