các dạng bài tập chọn lọc về khảo sát hàm số cực hay

các dạng bài tập chọn lọc về khảo sát hàm số cực haycác dạng bài tập chọn lọc về khảo sát hàm số cực haycác dạng bài tập chọn lọc về khảo sát hàm số cực haycác dạng bài tập chọn lọc về khảo sát hàm số cực haycác dạng bài tập chọn lọc về khảo sát hàm số cực haycác dạng bài tập chọn lọc về khảo sát hàm số cực haycác dạng bài tập chọn lọc về khảo sát hàm số cực haycác dạng bài tập chọn lọc về khảo sát hàm số cực haycác dạng bài tập chọn lọc về khảo sát hàm số cực hay

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 x4  3x  2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thi (C) hàm số Cho điểm M thuộc (C) có hồnh độ xM = a Viết phương trình tiếp tuyến (C) M, với giá trị a tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M Giải  a 5  3a   2/ + Vì M  (C )  M  a ; 2  Bài Cho hàm số y = Ta có: y’ = 2x3 – 6x  y' (a)  2a  6a Vậy tiếp tuyến (C) M có phương trình : y  (3a  6a)( x  a)  a4  3a  2 x4 a4  3x   (3a  6a)( x  a)   3a   ( x  a) ( x  2ax  3a  6)  2 2 x  a   2  g ( x)  x  2ax  3a    | a | '  a   YCBT pt g(x) = có nghiệm phân biệt khác a       g (a)  a  1 a  + Xét pt : x (C) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thi (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn Giải x0 2/ Giả sử M ( x0 ; )  (C ) mà tiếp tuyến với đồ thị có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp x0  tuyến lớn x ( x  x0 )  Phương trình tiếp tuyến M có dạng : y   ( x0  1) x0  Bài Cho hàm số y  x02 x  y  0 ( x0  1) ( x0  1) 2 x0  1 Ta có d(I ;tt) = Đặt t = >0 x0  1 1 ( x0  1) 2t (t  0) Xét hàm số f(t) 1 t4 (1  t )(1  t )(1  t ) ta có f’(t) = (1  t )  t f’(t) = t = Bảng biến thiên từ bảng biến thiên ta có  t f’(t) f(t)  + - Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 d(I ;tt) lớn t = hay  x0  x0      x0  + Với x0 = ta có tiếp tuyến y = -x + Với x0 = ta có tiếp tuyến y = -x+4 Bài Cho hàm số y  x  x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm đồ thị (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) N(-1; -1) Giải     Gọi điểm cần tìm A, B có A  a;   ; B  b;   ; a, b  1 a 1   b 1    ab a2 b2 ;  Trung điểm I AB: I    a 1 b 1  Pt đường thẳng MN: x + 2y +3=  AB.MN  a   A(0; 4)   Có :  =>   I  MN b   B(2;0) Bài Cho hàm số y  x  x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho Biện luận theo tham số k số nghiệm phương trình x  x   3k y Giải Đồ thị hàm số y  x  x  gồm phần nằm phía Ox đối xứng phần nằm phía Ox quả: qua Ox đồ thị (C); y  3k đường thẳng song song với Ox Từ ta có kết * 3k   k  : phương trình có nghiệm, * 3k   k  : phương trình có nghiệm, *  3k    k  : phương trình có nghiệm, * 3k   k  : phương trình có nghiệm, 1 O x k *   k  : phương trình có nghiệm 1 2x  Bài Cho hµm sè y  x 1 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cđa hµm sè T×m täa ®é ®iĨm M cho kho¶ng c¸ch tõ ®iĨm I (1; 2) tíi tiÕp tun cđa (C) t¹i M lµ lín nhÊt Giải   3   (C ) th× tiÕp tun t¹i M cã ph-¬ng tr×nh y    ( x  x0 ) hay NÕu M  x0 ;  x0  ( x0  1) x0    3( x  x0 )  ( x0  1)2 ( y  2)  3( x0  1)  Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 Kho¶ng c¸ch tõ I (1;2) tíi tiÕp tun lµ d 3(1  x0 )  3( x0  1)   x0  1 x0   ( x0  1)   ( x0  1) 2 ( x0  1) Theo bÊt ®¼ng thøc C«si  ( x0  1)   , v©y d  Kho¶ng c¸ch d lín nhÊt b»ng ( x0  1)  ( x0  1)   x0  1   x0  1  ( x0  1)  VËy cã hai ®iĨm M : M   ;2   hc M   ;2   Bài Cho hµm sè y  x  (C) x 1 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C) Cho ®iĨm A(0;a) X¸c ®Þnh a ®Ỵ tõ A kỴ ®-ỵc hai tiÕp tun tíi (C) cho hai tiÕp ®iĨm t-¬ng øng n»m vỊ hai phÝa trơc ox Giải Ph-¬ng tr×nh tiÕp tun qua A(0;a) cã d¹ng y=kx+a (1) x  (2)  x   kx  a §iỊu kiƯn cã hai tiÕp tun qua A:  cã nghiƯm x     k (3)  (x  1) Thay (3) vµo (2) vµ rót gän ta ®-ỵc: (a  1)x  2(a  2)x  a   (4) a  a   §Ĩ (4) cã nghiƯm x  lµ: f (1)  3    a  2 '  3a    Hoµnh ®é tiÕp ®iĨm x ; x lµ nghiƯm cđa (4) Tung ®é tiÕp ®iĨm lµ y  x  , y  x  x2  x1  §Ĩ hai tiÕp ®iĨm n»m vỊ hai phÝa cđa trơc ox lµ: y y   (x  2)(x  2) 0 (x  1)(x  2) x x  2(x  x )  9a  0   a   VËy   a  tho¶ m·n ®kiƯn bµi to¸n x x  (x  x )  3 Bài Cho hàm số y  x 1 x 1 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số 2.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 1  m x 1 Giải Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y  x 1  C ' Học sinh tự vẽ hình x 1 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 Suy đáp số m  1; m  1: phương trình có nghiệm m  1: phương trình có nghiệm 1  m  1: phương trình vơ nghiệm 2x  Bài Cho hàm số y  có đồ thị (C) x2 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) 2.Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Giải   Lấy điểm M  m;     C  Ta có : y '  m    m2   m  2 Tiếp tuyến (d) M có phương trình : 1 y x  m    m2  m  2   Giao điểm (d) với tiệm cận đứng : A  2;   m2  Giao điểm (d) với tiệm cận ngang : B(2m – ; 2)   Ta có : AB2   m     Dấu “=” xảy m = 2  m  2   Vậy điểm M cần tìm có tọa độ : (2; 2) Bài Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Giải Gọi tọa độ điểm cực đại A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2) Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4P=6>0 Vậy điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ => điểm A, M, B thẳng hàng Phương trình đường thẳng AB: y= - 2x+2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ:  x  y  x    4 2  => M  ;   5 5  y  2 x  y   mx có đồ thị ( H m ) , với m tham số thực x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m  Tìm m để đường thẳng d : x  y   cắt ( H m ) hai điểm với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích S  Giải Bài 10 Cho hàm số y  Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 Hồnh độ giao điểm A, B d ( H m ) nghiệm phương trình  2x  x  2(m 1)  0, x  2 xm  x  x2 (1) 17    17  16m  m  Pt (1) có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác     16 2.( 2)   2(m  1)  m  2 Ta có AB  ( x2  x1 )  ( y  y1 )  ( x2  x1 )  ( x2  x1 )  x1 x2  17  16m Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d h  2 1 17  16m   m  , thỏa mãn Suy S OAB  h AB  2 2 2 Bài 11 Cho hàm số y   x  (m  1) x  (3m  2) x  có đồ thị (Cm ), m tham số 3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m  2 Tìm m để (Cm ) có hai điểm phân biệt M1 ( x1 ; y1 ), M ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2  tiếp tuyến (Cm ) điểm vng góc với đường thẳng d : x  y   Giải Ta có hệ số góc d : x  y   k d  Do x1 , x2 nghiệm phương trình y '  3 , hay  2x  2(m  1) x  3m   3 (1)  2x  2(m  1) x  3m   u cầu tốn  phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2  '  (m  1)  2(3m  1)  m  3     3m     m     y   Vậy kết tốn m  3   m   3 y  x  x  Bài 12 Cho hàm số 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt | 2x4  4x2  |  m2  m  1 O 2 Giải  1 Phương trình | x  x  |  m  m  có nghiệm phân biệt  Đường thẳng y  m  m  2 cắt đồ thị hàm số y  | x  x  | điểm phân biệt Đồ thị y  | x  x  | gồm phần (C) phía trục Ox đối xứng phần (C) phía trục Ox qua Ox x Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 Từ đồ thị suy u cầu tốn   m2  m  1  2  m2  m    m  Bài 13 Cho hàm số y  x  3(m  1) x  9x  m , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m  Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x cho x1  x  Giải Ta cã y'  3x  6(m  1) x  +) Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiĨu t¹i x1 , x  ph-¬ng tr×nh y' cã hai nghiƯm pb lµ x1 , x 2  Pt x  2(m  1) x   cã hai nghiƯm ph©n biƯt lµ x1 , x m  1   '  (m  1)     (1) m     +) Theo ®Þnh lý Viet ta cã x1  x2  2(m  1); x1 x2  Khi ®ã x1  x   x1  x 2  x1 x   4m  12  12   (m  1)   3  m  (2) Tõ (1) vµ (2) suy gi¸ trÞ cđa m lµ   m  1  vµ    m  Bài 14 Cho hàm số y  x  (1  2m) x  (2  m) x  m  (1) m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x  y   góc  , biết cos  26 Giải Gọi k hệ số góc tiếp tuyến  tiếp tuyến có véctơ pháp n1  (k ;1) d: có véctơ pháp n  (1;1) Ta có cos  n1 n2 n1 n2  26   k1    12k  26k  12    2 k 1 k  2  k 1 u cầu tốn thỏa mãn  hai phương trình: y /  k1 (1) y /  k (2) có nghiệm x  có nghiệm 3x  2(1  2m) x   m  /    / có nghiệm 3x  2(1  2m) x   m     1  8m  2m   m   ; m  1    m   m  4m  m   m   ; m   2x Bài 15 Cho hàm số y = (C) x2 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt thuộc nhánh khác đồ thị cho khoảng cách điểm nhỏ Tìm giá trị nhỏ Giải 2x  x  m hay x2 + (m - 4)x -2x = (1) có nghiệm phân Để (d) cắt (C) điểm phân biệt pt x2   m  16 m (2) biệt khác Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác  4  Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2) giao điểm x1, x2 nghiệm phương trình (1) Theo định lí viet ta  x1  x2   m (3) , y1=x1+m, y2=x2+m có   x1 x2  2m Để A, B thuộc nhánh khác đồ thị A, B nằm khác phía đt x – = A, B nằm khác phía đt x – = (x1- 2)(x2 - 2) < hay x1x2 – 2(x1 + x2) +4 < (4) thay (3) vào ta – < ln (5) mặt khác ta lại có AB = ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  2( x1  x2 )2  8x1 x2 (6) thay (3) vào (6) ta AB = ta có m = thoả mãn Bài 16 2m  32  32 AB = 32 nhỏ m = (7) Từ (1), (5), (7) 2x  x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến Giải Tiếp tuyến (C) điểm M (x ; f (x ))  (C ) có phương trình y  f '(x )(x  x )  f (x ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y  Hay x  (x  1)2 y  2x  2x   (*) *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*)  2x    (x  1)4 giải nghiệm x  x  *Các tiếp tuyến cần tìm : x  y 1  x  y   Bài 17 Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = Giải 2 Ta có y’ = - 3x + 6mx ; y’ =  x = v x = 2m Hàm số có cực đại , cực tiểu  phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt  m  Hai điểm cực trị A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1) Trung điểm I đoạn thẳng AB I(m ; 2m3 – 3m – 1) Vectơ AB  (2m; 4m3 ) ; Một vectơ phương đường thẳng d u  (8; 1) I  d Hai điểm cực đại , cực tiểu A B đối xứng với qua đường thẳng d    AB  d Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013  m  8(2m  3m  1)  74    m=2 AB u    Bài 18 Cho hàm số y  x  3x  (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Định m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: x  x  m  3m y Giải Phương trình cho phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị 3   (C’) hàm số: y  x  x  đường thẳng (d): y  m3  3m  (d) ((d) phương với trục hồnh) 1 Xét hàm số: y  x  x  , ta có: 1 + Hàm số hàm chẵn nên (C’) nhận trục Oy làm trục đối xứng, 2   3 đồng thời x  y  x  x   x  3x  1 + Dựa vào đồ thị (C’) ta suy điều kiện m để phương trình cho có nghiệm phân biệt là:  2  m   m3  3m   1  m3  3m       0  m  3  m  3m    m  x x 3 cã ®å thÞ lµ (C) x 1 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè 2) ViÕt ph-¬ng tr×nh tiÕp tun cđa ®å thÞ hµm sè, biÕt tiÕp tun ®ã c¾t trơc hoµnh t¹i A, c¾t trơc tung t¹i B cho OA = 4OB Giải OB 1   TiÕp tun AB cã hƯ sè gãc k =  OA =4OB nªn  OAB cã tan A  OA 4 x       Ph­¬ng tr×nh y’ = k  ( x  1)  x  5 +) x =  y=0, tiÕp tun cã ph-¬ng tr×nh y  ( x  3) 1 13 +) x= -5  y= 2, tiÕp tun cã ph-¬ng tr×nh y  ( x  5)   y  x  4 x 1 Bài 20 Cho hàm số y  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C) hàm số 2) Tìm a b để đường thẳng (d): y  ax  b cắt (C) hai điểm phân biệt đối Bài 19 Cho hµm sè y  xứng qua đường thẳng (  ): x  y   Giải Phương trình () viết lại: y  x  2 Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với () hay a  2 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 Khi phương trình hoành độ giao điểm (d) (C): x 1 (1)  2x  b  2x2  (b  3) x  (b  1)  x1 Để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B  (1) có hai nghiệm phân biệt  0  b  2b  17   b tuỳ ý Gọi I trung điểm AB, ta có  x A  xB b    xI   b  y  2 x  b   I  I ton b taiï A, B   Vậy để thoả yêu cầu toán   AB  ()   a  2 x  2y    I  ( ) I  I   a  2  a  2   b     (b  3)   b  1   x 1 Bài 21 Cho hµm sè y  ( ) cã ®å thÞ (C) x 1 Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè ( 1) Chøng minh r»ng ®-êng th¼ng (d ) : y  x  m lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt A, B thc hai nh¸nh kh¸c X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®o¹n AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt Giải Chøng minh r»ng ®-êng th¼ng (d ) : y  x  m lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt A, B thc hai nh¸nh kh¸c X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®o¹n AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt x 1  x  m cã hai nghiƯm §Ĩ ®-êng th¼ng (d) lu«n c¾t ( C ) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt th× ph-¬ng tr×nh x 1 ph©n biƯt víi mäi m vµ x1   x2  x   ( x  1)(2 x  m)  cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1   x2 x  2 x  (m  3) x  m   (*)  cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1   x2 x    (m  1)2  16  m      f (1)   f (1)   (m  3)  m   2  VËy víi mäi gi¸ trÞ cđa m th×®-êng th¼ng (d ) : y  x  m lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt A, B thc hai nh¸nh kh¸c Gäi A( x1;2x1  m), B( x2 ;2x2  m) lµ hai ®iĨm giao gi÷a (d) vµ (C).( x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa ph-¬ng tr×nh (*)) Ta cã AB  ( x2  x1;2( x2  x1 ))  AB  ( x2  x1 )2  (2( x2  x1 ))2  5( x2  x1 )2 (m  1)2  16   m AB   m  1  VËy víi m = -1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m (R) Theo Vi Ðt ta cã AB  Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 Bài 22 Cho hàm số y  x  có đồ thị (C) x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm tọa độ M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Giải 3a  )  (C ), a  2 Phương trình tiếp tuyến (C) M là: 2.Gọi M (a; a2 y 3a  () ( x  a)  (a  2) a2 Đường thẳng d1:x+2=0 d2:y-3=0 hai tiệm cận đồ thị d1=A(-2; 3a  ) , d2=B(2a+2;3) a2 Tam giác IAB vng I AB đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB diện tích hình tròn S=  AB   64   4(a  2)   8 4 (a  2)  Dấu xảy chi (a  2)  a  16  (a  2) a  4 Vậy có hai điểm M thỏa mãn tốn M(0;1) M(-4;5) Bài 23 Cho hàm số y  f ( x)  8x  9x  1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 8cos4 x  9cos2 x  m  với x [0;  ] Giải Xét phương trình 8cos4 x  9cos2 x  m  với x [0;  ] (1) Đặt t  cosx , phương trình (1) trở thành: 8t  9t  m  (2) Vì x [0;  ] nên t [1;1] , x t có tương ứng đối một, số nghiệm phương trình (1) (2) Ta có: (2)  8t  9t    m (3) Gọi (C1): y  8t  9t  với t [1;1] (D): y = – m Phương trình (3) phương trình hồnh độ giao điểm (C1) (D) Chú ý (C1) giống đồ thị (C) miền 1  t  Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: 81 m  : Phương trình cho vơ nghiệm 32 81 m  : Phương trình cho có nghiệm 32 10 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 81 32  m 1 m0 m  ) , xN xP nghiệm (*)  3 2 m  Theo giả thiết: x N2  x P2   1  9m  18m      32 m   2x  Bài 30 Cho hàm số y  1 x 1) Khảo sát vẽ đồ thị  C  hàm số 2) Gọi (d) đường thẳng qua A( 1; ) có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt ( C ) hai điểm M, N MN  10 Giải Từ giả thiết ta có: (d ) : y  k ( x 1)  Bài tốn trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai f(x)    nghiệm ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt cho  x2  x1    y2  y1   90(*) 2  2x  kx  (2k  3) x  k    k ( x  1)   ( I )  ( I ) Ta có:  x    y  k ( x  1)    y  k ( x  1)  Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt phương trình kx2  (2k  3) x  k   0(**) có hai nghiệm phân biệt Khi dễ có k  0, k  2 Ta biến đổi (*) trở thành: (1  k )  x2  x1   90 (1  k )[ x2  x1   x2 x1 ]  90(***) 2k  k 3 , x1 x2  , vào (***) ta có phương trình: k k   41   41 k  8k  27k  8k    (k  3)(8k  3k 1)   k  3  k  16 16 KL: Vậy có giá trị k thoả mãn Theo định lí Viet cho (**) ta có: x1  x2  Bài 31 Cho hàm số y  x2 2x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2 , 0) B(0 , 2) Giải Pt đường trung trực đọan AB : y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồng độ nghiệm pt : 13 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 x2  x 2x 1  x2  x 1   1 x    1 x   1 1  1 1  ;  Hai điểm đồ thị thỏa ycbt :  , , 2   2      2x  x 2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Giài Bài 32 Cho hàm số y   2x   1 , x0  , y' (x0 )  Ta có: M x0 ; x0   x0  22  Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng:  : y  1 2x  (x  x )  x0  x0  2  2x   ; B2x  2;2  Toạ độ giao điểm A, B   hai tiệm cận là: A 2;  x0   y  y B 2x  x  x B  2x    y M suy M trung điểm AB   x0  x M , A Ta thấy A x0  2 Mặt khác I = (2; 2) tam giác IAB vng I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích   2x      2 S = IM  (x0  2)       (x0  2)2   2 2 (x  )    x0     x  1  (x  2) x  Do có hai điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) 2x  Bài 33 Cho hàm số y  (C) x 1 Khảo sát hàm số Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = Giải 2 Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x + mx + m + = , (x≠ - 1) (1) d cắt (C) điểm phân biệt  PT(1) có nghiệm phân biệt khác -1  m2 - 8m - 16 > (2) Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 nghiệm PT(1) Dấu “=” xảy (x0  2)2  14 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 m   x1  x2   Theo ĐL Viét ta có  m   x1 x2   AB2 =  ( x1  x2 )2  4( x1  x2 )2   ( x1  x2 )2  4x1 x2   m2 - 8m - 20 =  m = 10 , m = - ( Thỏa mãn (2)) Bài 34 Cho hàm số y  x3  3mx2  3(m2 1) x  m3  m (1) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O Giải , 2 Ta có y  3x  6mx  3(m 1) Để hàm số có cực trị PT y,  có nghiệm phân biệt  x2  2mx  m2 1  có nhiệm phân biệt     0, m Cực đại đồ thị hàm số A(m-1;2-2m) cực tiểu đồ thị hàm số B(m+1;-2-2m)  m  3  2 Theo giả thiết ta có OA  2OB  m2  6m      m  3  2 Vậy có giá trị m m  3  2 m  3  2 Bài 35 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 – 3x2 + 2 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x  x   m x 1 Giải Ta có x  x   m   x  x   x   m,x  Do số nghiệm phương trình số x 1 giao điểm y   x  x   x  , C'  đường thẳng y  m,x    f  x  x  Vẽ y   x  x   x    nên  C'  bao gồm:  f x x      + Giữ ngun đồ thị (C) bên phải đường thẳng x  + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x  qua Ox 1+ 1- Dựa vào đồ thị ta có: + m  2 : Phương trình vụ nghiệm; + m  2 : Phương trình có nghiệm kép; -2 + 2  m  : Phương trình có nghiệm phân biệt; m + m  : Phương trình có nghiệm phân biệt Bài 36 2x  khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C) hàm số: y  x2 Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt cho tiếp tuyến (C ) hai điểm song song với Giải 15 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C) là: 2x   x  m  x  (m  6) x  2m   (x = khơng nghiệm p trình) x2 (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến song song với  (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn: y’(x1) = y’(x2) hay x1+x2=   (m  6)  8(2m  3)    6  m  m  2 4   Bài 37 Cho hàm số : y  ( x – m)3 – 3x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m =  x   3x  k   2) Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm:  1  log x  log ( x  1)  2 Giải  x   3x  k  (1)  Ta có :  Điều kiện (2) có nghĩa: x > 1 log x  log ( x  1)  (2)  2 Từ (2)  x(x – 1)  < x  Hệ PT có nghiệm  (1) có nghiệm thoả < x  ( x  1)3  3x  k  ( x  1)3  3x < k    x   1  x  Đặt: f(x) = (x – 1) – 3x g(x) = k (d) Dựa vào đồ thị (C)  (1) có nghiệm x (1;2]  k  f ( x )  f (2)  5 Vậy hệ có nghiệm  k > – 1;2 Bài 38 Cho hàm số y  x3  2mx2  3(m 1) x  (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m  Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  : y   x  điểm phân biệt A(0;2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M (3;1) Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị với () là: x3  2mx2  3(m 1) x    x  x   y    g ( x)  x  2mx  3m   0(2) Đường thẳng () cắt dồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0;2), B, C  Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác m  2hoacm  m2  3m     '      g (0)  3m   m   Gọi B  x1 ; y1  C  x2 ; y2  , x1 , x2 nghiệm (2); y1   x1  y1   x2  1 2S MBC 2.2  4 h 2 Mà BC  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( x2  x1 )  x1 x2  = 8(m2  3m  2) Ta có h  d  M ;()    BC  16 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Các tập dễ KS hàm số Trong Ơn thi Đại Học năm 2012 -2013 Suy 8(m2  3m  2) =16  m  (thoả mãn) m  (thoả mãn) Bài 39 Cho hàm số y  2x3  3(2m 1) x2  6m(m 1) x 1 có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng 2;  Giải y  2x3  3(2m 1) x2  6m(m 1) x 1  y'  6x  6(2m  1) x  6m(m  1) y’ có   (2m  1)  4(m  m)   x  m y'    x  m  Hàm số đồng biến 2;   y' x   m    m  x Bài 40 Cho hàm số y = x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng qua điểm M điểm I(1; 1) (M(0 ; 0) ; M(2 ; 2) ) Giải x0 Với x0  1, tiếp tuyến (d) với (C) M(x0 ; ) có phương trình : x0  x02 x0 1 ( x  x )   x  y  0 ( x0  1) x0  ( x0  1) ( x0  1) 1 ) , IM  ( x0  1; ) (d) có vec – tơ phương u  (1; ( x0  1) x0  Để (d) vng góc IM điều kiện :  x0  1 u.IM   1.( x0  1)  0 ( x0  1) x0   x0  + Với x0 = ta có M(0,0) + Với x0 = ta có M(2, 2) y 17 [...]... = 3x + 6x trờn (0 ; + ) 2 11 0 0 Gia s Thnh c www.daythem.com.vn Cỏc bi tp d v c bn v KS hm s Trong ễn thi i Hc nm 2012 -2013 T ú ta c : (*) m 0 Bi 26 Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị là (C) x2 1 .Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2.Chứng minh đ-ờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất Gii 2 Hoành độ giao điểm của... s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2/ Tỡm m (d) ct (C) ti M(-1; 3), N, P sao cho tip tuyn ca (C) ti N v P vuụng gúc nhau Gii 2 Phng trỡnh hũanh giao im ca (C) v (d): x3 (m + 3)x m 2 = 0 x 1 , y 3 Hay : (x + 1)(x2 x m 2) = 0 2 x x m 2 0 (*) 9 (*) phi cú hai nghim phõn bit ( m > ) , xN v xP l nghim ca (*) 4 3 2 2 m 3 Theo gi thit: x N2 3 x P2 3 1 9m 2 18m 1 0 32 2 m 3 2x ... l: 2x 3 2 x m 2 x 2 (m 6) x 2m 3 0 (x = 2 khụng l nghim ca p trỡnh) x2 (d) ct (C ) ti hai im phõn bit m tip tuyn ti ú song song vi nhau (1) cú hai nghim phõn bit x1; x2 tho món: y(x1) = y(x2) hay x1+x2= 4 (m 6) 2 8(2m 3) 0 6 m m 2 4 2 Bi 37 Cho hm s : y ( x m)3 3x (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi m = 1 x 1 3 3x k 0 2) Tỡm k h bt phng trỡnh sau cú