1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

PT Vi phân

262 6,5K 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 262
Dung lượng 11,18 MB

Nội dung

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV CHƯƠNG 5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006) NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A- BÀI TOÁN CÔSI (GIÁ TRỊ ĐẦU) B- BÀI TOÁN BIÊN 1 – PHƯƠNG PHÁP EULER 1- PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN 2 – EULER CẢI TIẾN + RUNGE – KUTTA 3 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO BÀI TOÁN CÔSI --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tìm hàm y = y(t) thoả phương trình vi phân thường & điều kiện đầu Giải xấp xỉ: Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau, độ dài h = (b – a)/n, (n + 1) điểm chia t 0 = a < t 1 = a + h < … < t n = b    = ≤≤= α )( ),,(' ay btaytfy a b a = t 0 b = t n t 1 t 2 h y 0 = α y 1 = ? Cần tính gần đúng giá trò w k ≈ y k = y(t k ), k = 1 → n MINH HOẠ Ý TƯỞNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán Côsi: & công thức xấp xỉ đạo hàm 2 điểm:    = ≤++−= 31)0( 0,255' 2 y tttyy Từ đó xây dựng đa thức nội suy Lagrange (spline) y gđ và vẽ đồ thò so sánh với nghiệm chính xác g(t) = hãy tính xấp xỉ nghiệm y tại t = 0.5, t = 1. Với bước chia h = 0.5 h xfhxf xf )()( )(' 00 0 −+ ≈ t et 52 3 1 − + Điểm chia: 0 0 = t 5.0 1 = t .1 2 = t Kết quả tìm được: ( ) ( ) 875.10.1 5.05.0 = −= y y 33.087.442.6 2 +−=⇒ tty gđ cbtaty ++= 2 egđ.Lagrang CÁC SƠ ĐỒ GIẢI XẤP XỈ PTRÌNH VPHÂN THƯỜNG ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- [ ]    = ∈= α )( ,),,(' ay batytfy Chia [a, b] → n đoạn ihat n ab h i += − = , Tính w i , i = 0 → n Sơ đồ Euler (i = 0 → n – 1) S/đ Euler cải tiến (i = 0 → n – 1) 2)( ),(),,( . 211 121 0 kkww kwhthfkwthfk ww ii iiii i ++= ++== ⇒= + biếtđãsửGiả α ),( . 1 0 iiii i wthfww ww += ⇒= + biếtđãsửGiả α Sơ đồ Runge – Kutta: w 0 = α. Giả sử biết w i ⇒      ++++= +=++= ++== + + 6)22( ),(),2,2( )2,2(),,( 43211 31423 121 kkkkww kwthfkkwhthfk kwhthfkwthfk ii iiii iiii Btoán Côsi: Tìm y(t) VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP EULER -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Sơ đồ Euler: Bằng p/pháp Euler, giải bài toán Côsi với n = 3 đoạn chia: So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm g(t) = (t+1) 2 – 0.5e t . Từ đó tính xấp xỉ tích phân bằng c/t hình thang:    = ≤≤+−= 5.0)0( 10,1' 2 y ttyy ∫ = 1 0 )( dttyI Giải: f(t,y) = y – t 2 + 1 5.0,0 00 == wt 11 , wt 22 , wt 33 , wt h = (b–a)/n = 1/3    +−+=+= = + )1(2.0),( 5.0 2 1 0 iiiiiii twwwthfww w KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bảng kết quả: Tính gần đúng tích phân với công thức hình thang i t i w i g i = g(t i ) | g i - w i | 0 0 0.5 0.5 0 1 1/3 2 2/3 3 1. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 32103210 1 0 22 2 22 2 )( wwww h tytytyty h dtty +++≈+++≈ ∫ 3528807.1= VÍ DỤ EULER CẢI TIẾN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính y(1.) của bt Côsi sau bằng SĐ Euler cải tiến với h = 0.5:    = ≤≤+−= 5.0)0( 10,1' 2 y ttyy i t i w i k 1 k 2 0 0.0 0.5 1 0.5 2 1.0 5.0,1),( 2 =+−= htyytf 5.0,0 0 == α t ?,5.0 11 == wt 22 , wt 2 ),(,),( 21 1121 kk wwkwhthfkwthfk iiiiii + +=→++== + 0.75 1.0 1.375 Bài giảng Biên soạn: TS Phan Đức Tuấn Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức 10 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức248 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức249 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức250 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức251 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức252 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức253 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức254 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức255 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức256 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức257 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức258 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức259 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức260 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức261 Bài giảng: Phương Biên soạn: TS Phan Đức262 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Bài giảng điện tử) Biên soạn: ThS. Bùi Thị Thanh Xuân Thái Nguyên - 2010 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kỹ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế, nó là một bộ môn toán học cơ bản vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng. Nhiều bài toán cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu các phuơng trình vi phân tương ứng. Ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chung cho các ngành toán học và khoa học khác. Nó có mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu quả giá trị của nhiều ngành như tối ưu, điều khiển tối ưu, giải tích số, tính toán khoa học,… THÔNG TIN MÔN HỌC 1. Thông tin môn học - Tên tiếng Việt: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - Tên tiếng Anh: Differential Equations. - Số tín chỉ: 2 2. Điều kiện đăng ký môn học - Môn đã học: Toán cao cấp 1, 2 3. Yêu cầu của môn học - Sinh viên dự lớp đầy đủ - Hoàn thành các bài tập được giao - Có các bài kiểm tra thường xuyên để đánh giá 4. Đánh giá môn học - Thang điểm đánh giá môn học: thang điểm 10 - Điểm các bài kiểm tra thường xuyên: 30 % - Điểm thi học phần: 70% NỘI DUNG MÔN HỌC Chương 1 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Chương 2 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Chương 3 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BÀI TẬP THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO § 1 Các khái niệm cơ bản § 2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm § 3 Phương trình vi phân có biến số phân ly § 4 Phương trình vi phân thuần nhất § 5 Phương trình tuyến tính cấp một § 6 Phương trình vi phân hoàn chỉnh § 7 PT vi phân cấp một chưa giải ra đối với đạo hàm § 8 Phương pháp tìm nghiệm kỳ dị Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT §1. Các khái niệm cơ bản 1.1. Định nghĩa 1.2. Trường hướng 1.3. Bài toán Côsi 1.4. Nghiệm tổng quát 1.5. Nghiệm riêng 1.6. Nghiệm kỳ dị §1 Các khái niệm cơ bản Chương 1 - Phương trình vi phân cấp một 1.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát là     , , 0 1 F x y y   trong đó dy y dx   Nghiệm của phương trình (1) là hàm y = y(x) có tính chất là khi thế vào phương trình (1) thì ta được đồng nhất thức. Phương trình (1) có vô số nghiệm. Quá trình tìm các nghiệm của phương trình (1) được gọi là sự tích phân phương trình đó. Nếu từ phương trình (1) ta có thể giải được y’, nghĩa là (1) có dạng     , 2 y f x y   thì phương trình (2) được gọi là phương trình cấp một đã giải ra đối với đạo hàm. §1 Các khái niệm cơ bản Chương 1 - Phương trình vi phân cấp một 1.2 Trường hướng Giả sử hàm f(x,y) xác định và liên tục trong miền G của mặt phẳng Oxy. Qua điểm (x 0 ,y 0 ) thuộc G ta vẽ véc tơ có độ dài bằng 1 và lập với chiều dương của trục hoành một góc α sao cho tgα = f(x 0 ,y 0 ). Làm như vậy đối với mọi điểm (x,y) thuộc G chúng ta sẽ nhận được một trường véc tơ được gọi là trường hướng. Giả sử y = y(x) là một nghiệm của phương trình (2). Khi đó tập hợp những điểm (x,y(x)) sẽ tạo nên một đường cong mà ta gọi là đường cong tích phân của phương trình (2). Như vậy, tại mỗi điểm của đường cong tích phân, hướng tiếp tuyến với đường cong trùng với hướng véc tơ của trường hướng tại điểm đó. Đường cong mà tại mỗi điểm của nó hướng trường không thay đổi được gọi là đường đẳng phục. Như vậy phương trình của đường đẳng phục có dạng Đường đẳng phục có thể là đường tích phân nhưng nói chung nó không trùng với đường cong tích phân.   , , f x y k k const   Ví dụ §1 Các khái niệm cơ bản Chương 1 - Phương trình vi phân cấp một 1.2 Trường hướng Ví dụ: Xét phương trình ở đây các đường cong tích phân là các nửa đường thẳng C là số thực bất kỳ. Dễ thấy các đường cong tích phân ở đây cũng là đường đẳng phục. dy y dx x      0 , 0 0 y Cx x x y     §1 Các khái niệm cơ MỤC LỤC 1 PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Khái niệm về logic mờ được giáo sư L.A Zadeh đưa ra lần đầu tiên năm 1965, tại trường Đại học Berkeley, bang California - Mỹ. Từ đó lý thuyết mờ đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi. Năm 1970 tại trường Mary Queen, London – Anh, Ebrahim Mamdani đã dùng logic mờ để điều khiển một máy hơi nước mà ông không thể điều khiển được bằng kỹ thuật cổ điển. Tại Đức Hann Zimmermann đã dùng logic mờ cho các hệ ra quyết định. Tại Nhật logic mờ được ứng dụng vào nhà máy xử lý nước của Fuji Electronic vào 1983, hệ thống xe điện ngầm của Hitachi vào 1987. Lý thuyết mờ ra đời ở Mỹ, ứng dụng đầu tiên ở Anh nhưng phát triển mạnh mẽ nhất là ở Nhật. Trong lĩnh vực Tự động hoá logic mờ ngày càng được ứng dụng rộng rãi. Nó thực sự hữu dụng với các đối tượng phức tạp mà ta chưa biết rõ hàm truyền, logic mờ có thể giải quyết các vấn đề mà điều khiển kinh điển không làm được. Lý thuyết mờ được ứng dụng trong hầu hết các chuyên ngành kỹ thuật. Đặc biệt được sử dụng nhiều để phán đoán, đánh giá và quyết định khi phải giải quyết những nguồn thông tin hoặc dữ liệu bất định, không chính xác hoặc không chắc chắn. Với kiến thức ít ỏi bản thân, tiểu luận này xin trình bày một số vấn đề cơ bản lý thuyết về hệ điều kiển mờ và một ứng dụng thiết kế hệ thống. II. Đối tượng nghiên cứu Tiểu luận này tập trung trình bày lý thuyết về hệ điều khiển mờ được xây dựng trên tập nền mờ với logic mờ. Các phương pháp mờ trong hệ mờ vi phân, hệ vi phân có điều khiển mờ và ứng dụng cụ thể trong thiết kế hệ thống. III. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích. - Phương pháp tổng hợp. 2 PHẦN NỘI DUNG Chương I. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Lý thuyết về tập mờ và logic mờ. 1.1. Định nghĩa tập mờ Tập mờ F xác định trên tập kinh điển B là một tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp giá trị (x, µ F (x)), với x ∈ X và µ F (x) là một ánh xạ : µ F (x) : B → [0 1] trong đó : µ F gọi là hàm thuộc , B gọi là tập nền. 1.2. Các thuật ngữ trong logic mờ • Độ cao tập mờ F là giá trị h = Sup µ F (x), trong đó sup µ F (x) chỉ giá trị nhỏ nhất trong tất cả các chặn trên của hàm µ F (x). • Miền xác định của tập mờ F, ký hiệu là S là tập con thoả mãn : S = Supp µ F (x) = { x ∈ B | µ F (x) > 0 } • Miền tin cậy của tập mờ F, ký hiệu là T là tập con thoả mãn : T = { x ∈ B | µ F (x) = 1 } • Các dạng hàm thuộc (membership function) trong logic mờ Có rất nhiều dạng hàm thuộc như : Gaussian, PI-shape, S-shape, Sigmoidal, Z-shape … 3 Hình 1.1: µ 1 miền tin cậy MXĐ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 trapmf gbellmf trimf gaussmf gauss2mf smf 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 zmf psigmf dsigmf pimf sigmf 1.3. Biến ngôn ngữ Biến ngôn ngữ là phần tử chủ đạo trong các hệ thống dùng logic mờ. Ở đây các thành phần ngôn ngữ của cùng một ngữ cảnh được kết hợp lại với nhau. Để minh hoạ về hàm thuộc và biến ngôn ngữ ta xét ví dụ sau : Xét tốc độ của một chiếc xe môtô, ta có thể phát biểu xe đang chạy: - Rất chậm (VS) - Chậm (S) - Trung bình (M) - Nhanh (F) - Rất nhanh (VF) Những phát biểu như vậy gọi là biến ngôn ngữ của tập mờ. Gọi x là giá trị của biến tốc độ, ví dụ x =10km/h, x = 60km/h … Hàm thuộc tương ứng của các biến ngôn ngữ trên được ký hiệu là : µ VS (x), µ S (x), µ M (x), µ F (x), µ VF (x) Như vậy biến tốc độ có hai miền giá trị : 4 VS S M F VF 0 20 40 60 65 80 100 tốc độ µ 1 0.75 0.25 Hình 1.2: - Miền các giá trị ngôn ngữ : N = { rất chậm, chậm, trung bình, nhanh, rất nhanh } - Miền các giá trị vật lý : V = { x∈B | x ≥ 0 } Biến tốc độ được xác định trên miền ngôn ngữ N được gọi là biến ngôn ngữ. Với mỗi x∈B ta có hàm thuộc: x → µ X = { µ VS (x), µ S (x), µ M (x), µ F (x), µ VF (x) } Ví dụ hàm thuộc tại giá trị rõ x=65km/h là: µ X (65) = { 0;0;0.75;0.25;0 } 1.4. Các phép toán trên tập mờ Cho X, Y là hai tập mờ trên không gian nền B, có các hàm thuộc tương ứng là µ X , µ Y , khi đó: - Phép hợp hai tập mờ: X∪Y + Theo luật Max µ X ∪ Y (b) = Max{ µ X (b) , µ Y (b) } + Theo luật Sum µ X ∪ Y (b) = Min{ 1, µ X (b) + µ Y (b) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂN BẰNG CỦA CHẤT LỎNG TĨNH Hình chiếu của lực khối theo các phương của trục toạ độ Xρ dx dy dz; Yρ dx dy dz; Zρ dx dy dz. Áp suất tại điểm M là p và như nhau với mọi phương. Khi dịch chuyển từ M tới N, L và I, thì toạ độ thay đổi dx, dy và dz - áp suất biến thiên một lượng x p ∂ ∂ dx, y p ∂ ∂ dy và z p ∂ ∂ dz . Áp suất tại điểm N, L và I: p + x p ∂ ∂ dx; p + y p ∂ ∂ dy và p + z p ∂ ∂ dz Lực mặt tác dụng lên phân tố lần lượt sẽ là: - Theo phương trục x: p dy dz, (p + x p ∂ ∂ dx) dy dz; - Theo phương trục y: p dx dz, (p + y p ∂ ∂ dy) dx dz; - Theo phương trục z: p dx dy, (p + z p ∂ ∂ dz) dx dy. Từ điều kiện cân bằng của phân tố chất lỏng suy ra: Xρ dx dy dz + p dy dz - (p + x p ∂ ∂ dx) dy dz = 0; Yρ dx dy dz + p dx dz - (p + y p ∂ ∂ dy) dx dz = 0; y M p p p x z N p + dx p + dz p + dy I L Zρ dx dy dz + p dx dy - (p + z p ∂ ∂ dz) dx dy = 0. Chia cả 2 vế cho ρ dx dy dz sẽ nhận được phương trình Euler: X - ρ 1 x p ∂ ∂ = 0; Y - ρ 1 y p ∂ ∂ = 0; Z - ρ 1 z p ∂ ∂ = 0. Dạng véctơ thì phương trình Euler: F  - ρ 1 gradp = 0. CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Người soạn Út Nhỏ DẠNG 1: Pt vi phân với biến phân li Dạng: M (x) dx+N (y) dy=0 Pp: Tích phân 2 vế M (x) dx + N (y) dy =C là nghiệm TQ Dạng đưa được về biến phân li: M 1(x) N 1(y) dx+M 2(x) N 2(y) dy=0 Pp: chia 2 vế cho N 1(y) M 2(x) Ngoài ra N 1(y) =0 cho ta nghiệm kì dị của nghiệm riêng DẠNG 2: PT vi phân thuần nhất cấp 1. Dạng y’=f (x;y) , trong đó hàm f (x;y) là hàm thuần nhất Pp: Đặt: u= => y=u.x (x≠0) =>y’=u’x+u Pt trở thành: u’x+u=f(1; ) u’x+u=f(1; u) => u’x= f(1; u) -u x = f(1; u) -u => = là pt phân li Ngoài ra f(1; u) -u =0 cho nghiệm kì dị DẠNG 3: pt đưa về pt thuần nhất. y’=f ( ) Pp: ● Nếu C 1 2 +C 2 2 =0 => C 1 =C 2 =0 → PT thuần nhất ● Nếu =0 , a 1 x+b 1 y=k(a 2 x+b 2 y) Đặt a 2 x+b 2 y = z Xét Đặt y’ = f xác định k & l : thế vào pt => pt thuần nhất DẠNG 4: Pt vi phân toàn phần: M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 Pp: ĐK để là pt vi phân toàn phần là = với mọi (x,y) thuộc TXĐ Nghiệm của pt là: u(x,y) = C Với u(x,y)= M(x,y)dx + N(x o ,y)dy , hoặc u(x,y)=M(x,y o )dx+N(x,y)dy, x o; y o là điểm tùy ý DẠNG 5: Thừa số tích phân. Nếu M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 chưa thỏa = khi đó nhân 2 vế với hàm µ µ.M(x,y)dx + µ.N(x,y)dy =0  tìm µ: theo ĐK  toàn phần =  .M + .µ= .N+ .µ ∂ = N. - M.  - = - M => - = N. - M. là pt vi phân đạo hàm riêng Xét ● TH1: µ= µ(x) → =0 → - = N. → = lnµ= dx => µ= ℮ ● TH2: µ= µ(y) tương tự = - → µ=℮ DẠNG 6: Phương trình vi phân tuyến tính: y’+p(x).y=q(x) Pp: xát định P(x) và q(x) => nghiệm TQ là y= .℮ DẠNG 7: pt bécnuly: y’+P(x).y=q(x).y Pp: ta được pt vi phân thuần nhất chia 2 vế pt cho y Pt: y.y’+P(x).y 1-α =q(x) Đặt z=y =(1-α).y .y’ => y -α .y’= Thế vào pt +P(x).z=q(x)  z’+(1-α).P(x).z=(1-α).q(x) là pt vi phân thuần nhất DẠNG 8: pt lagrăng y=g(y’).x+h(y’) Pp: đặt y’=p pt: y=g(p)x+h(p) y’=g’(p).x+g(p)+h’(p).  p-g(p)= coi x là hàm của p = tìm x qua p Còn y=g(p)x+b(p) Đường cong tìm được cho dưới dạng tham số DẠNG 10: pt klêrô y=xy’+h(y’) là pt đặt biệt của lagrăng Pp: đặt y’=p PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢM CẤP ĐƯỢC DẠNG 1: y”=f(x) vế phải chỉ chứa x Pp: tích phân liên tiếp 2 lần DẠNG 2: y”=f(x,y) vế phải không chứa y Pp: Đặt y’= P=> y’=f(x,p) là pt cấp 1, hàm phải tìm là P(x). DẠNG 3: y’=f(y,y”) vế phải không chứa x Pp: đặt y’=P coi P là hàm của y y”x=P’y.y’x=P’P thế vào PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 Dạng: a 1 (x)y”+a 2 (x)y’+a 3 (x)y=g(x) Vì a 1 (x)≠0 nên pt viết lại là y”+P(x)y’+q(x)y=f(x) là pt vi phân không thuần nhất Khi f(x)=0 thì pt y”+P(x)y’+q(x)y=0 là pt thuần nhất PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO HỆ SỐ HẰNG DẠNG pt không thuần nhất cấp 2 hệ số hằng: y”+Py’+qy=f(x)  Pp: xét pt tn y”+Py’+qy=0  Xét pt đặc trưng: k 2 +pk+q=0 (*) ■Tìm nghiệm của  : (*) có 2 n o pb k 1, k 2 thì =C 1 e+C 2 e (*) có n o kép k 1,2 thì =C 1 e+x.C 2 e (*) có n o phức k=α+-ιβ => =e (*) có 2 n o phức k=α+-ιβ => =e +e ■Tìm một nghiệm riêng y* của  nghiệm TQ của  là y=+y* Có 2 cách tìm y* ●Cách 1: tìm nghiệm y*=C 1 (x)y 1 +C 2 (x)y 2 trong đó C 1 (x), C 2 (x) là nghiệm của hệ ●Cách 2: Dùng khi f(x) đặt biệt. Có 2 trường hợp ▪TH 1 : f(x)=℮.P(x)  α≠k 1 , k 2 => y*=℮.Q(x)  α≡ 1 n o đơn => y*= x℮.Q(x)  α≡ k 1 ≡k 2 => y*=x 2 ℮.Q(x) bậc của Q(x)=P(x) ▪TH 2 : f(x)= e Xét α+-ιβ  α+-ιβ không trùng với nghiệm của (*) =>y*=e , Q 1 (x);Q 2 (x)là đa thức bậc

Ngày đăng: 26/04/2016, 18:23

Xem thêm

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

  • Đang cập nhật ...

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w