CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Người soạn Út Nhỏ
DẠNG 1: Pt vi phân với biến phân li Dạng: M (x) dx+N (y) dy=0
Pp: Tích phân 2 vế M(x)dx + N(y)dy =C là nghiệm TQ
Dạng đưa được về biến phân li: M1(x)N1(y) dx+M2(x) N2(y)dy=0
Pp: chia 2 vế cho N1(y) M2(x)
Ngoài ra N1(y) =0 cho ta nghiệm kì dị của nghiệm riêng
DẠNG 2: PT vi phân thuần nhất cấp 1 Dạng y’=f (x;y) , trong đó hàmf(x;y) là hàm thuần nhất
Pp: Đặt: u= => y=u.x (x≠0) =>y’=u’x+u
Pt trở thành: u’x+u=f(1; ) u’x+u=f(1; u) => u’x= f(1; u) -u
x = f(1; u) -u => = là pt phân li
Ngoài ra f(1; u) -u =0 cho nghiệm kì dị
DẠNG 3: pt đưa về pt thuần nhất y’=f ( )
Pp: ● Nếu C1 +C22 =0 => C1=C2=0 → PT thuần nhất
● Nếu =0 , a1x+b1y=k(a2x+b2y)
Đặt a2x+b2y = z Xét Đặt
y’ = f xác định k & l : thế vào pt => pt thuần nhất
DẠNG 4: Pt vi phân toàn phần: M(x,y)dx + N(x,y)dy =0
Pp: ĐK để là pt vi phân toàn phần là = với mọi (x,y) thuộc TXĐ
Nghiệm của pt là: u(x,y) = C
Với u(x,y)= M(x,y)dx + N(xo,y)dy , hoặc u(x,y)=M(x,yo)dx+N(x,y)dy, xo;yo là điểm tùy ý
DẠNG 5: Thừa số tích phân Nếu M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 chưa thỏa = khi đó nhân 2 vế với hàm µ
µ.M(x,y)dx + µ.N(x,y)dy =0 tìm µ: theo ĐK toàn phần
= M + µ= N+ µ ∂ = N - M
- = - M => - = N - M là pt vi phân đạo hàm riêng
Xét ● TH1: µ= µ(x) → =0 → - = N → =
lnµ= dx => µ= ℮
● TH2: µ= µ(y) tương tự = - → µ=℮
DẠNG 6: Phương trình vi phân tuyến tính: y’+p(x).y=q(x)
Pp: xát định P(x) và q(x) => nghiệm TQ là y= ℮
DẠNG 7: pt bécnuly: y’+P(x).y=q(x).y
Pp: ta được pt vi phân thuần nhất
chia 2 vế pt cho y
Pt: y.y’+P(x).y1-α=q(x)
Đặt z=y
=(1-α).y y’ => y-α .y’=
Thế vào pt +P(x).z=q(x)
z’+(1-α).P(x).z=(1-α).q(x) là pt vi phân thuần nhất
DẠNG 8: pt lagrăng y=g(y’).x+h(y’)
Pp: đặt y’=p pt: y=g(p)x+h(p)
y’=g’(p).x+g(p)+h’(p)
p-g(p)= coi x là hàm của p
= tìm x qua p
Còn y=g(p)x+b(p)
Đường cong tìm được cho dưới dạng tham số
DẠNG 10: pt klêrô y=xy’+h(y’) là pt đặt biệt của lagrăng
Pp: đặt y’=p
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢM CẤP ĐƯỢC DẠNG 1: y”=f(x) vế phải chỉ chứa x
Pp: tích phân liên tiếp 2 lần
DẠNG 2: y”=f(x,y) vế phải không chứa y
Pp: Đặt y’= P=> y’=f(x,p) là pt cấp 1, hàm phải tìm là P(x)
DẠNG 3: y’=f(y,y”) vế phải không chứa x
Pp: đặt y’=P coi P là hàm của y
y”x=P’y.y’x=P’P thế vào
Trang 2PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2
Dạng: a1(x)y”+a2(x)y’+a3(x)y=g(x)
Vì a1(x)≠0 nên pt viết lại là y”+P(x)y’+q(x)y=f(x) là pt vi phân không thuần nhất
Khi f(x)=0 thì pt y”+P(x)y’+q(x)y=0 là pt thuần nhất
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO HỆ SỐ HẰNG DẠNG pt không thuần nhất cấp 2 hệ số hằng: y”+Py’+qy=f(x)
Pp: xét pt tn y”+Py’+qy=0
Xét pt đặc trưng: k2+pk+q=0 (*)
■Tìm nghiệm của : (*) có 2 no pb k1,k2 thì =C1e+C2e
(*) có no kép k1,2 thì =C1e+x.C2e (*) có no phức k=α+-ιβ => =e
(*) có 2 no phức k=α+-ιβ => =e +e ■Tìm một nghiệm riêng y* của nghiệm TQ của là y=+y*
Có 2 cách tìm y*
●Cách 1: tìm nghiệm y*=C1(x)y1+C2(x)y2 trong đó C1(x), C2(x) là nghiệm của hệ
●Cách 2: Dùng khi f(x) đặt biệt Có 2 trường hợp
▪TH1: f(x)=℮.P(x)
α≠k1,k2 => y*=℮.Q(x)
α≡ 1 no đơn => y*= x℮.Q(x)
α≡ k1≡k2 => y*=x2℮.Q(x) bậc của Q(x)=P(x)
▪TH2: f(x)= e
Xét α+-ιβ
α+-ιβ không trùng với nghiệm của (*) =>y*=e ,
Q1(x);Q2(x)là đa thức bậc bằng bậc lớn nhất trong P1(x) và P2(x)
α+-ιβ≡ với nghiệm của (*) => y*=x.e ■