CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Người soạn Út Nhỏ DẠNG 1: Pt vi phân với biến phân li Dạng: M (x) dx+N (y) dy=0 Pp: Tích phân 2 vế M (x) dx + N (y) dy =C là nghiệm TQ Dạng đưa được về biến phân li: M 1(x) N 1(y) dx+M 2(x) N 2(y) dy=0 Pp: chia 2 vế cho N 1(y) M 2(x) Ngoài ra N 1(y) =0 cho ta nghiệm kì dị của nghiệm riêng DẠNG 2: PT vi phân thuần nhất cấp 1. Dạng y’=f (x;y) , trong đó hàm f (x;y) là hàm thuần nhất Pp: Đặt: u= => y=u.x (x≠0) =>y’=u’x+u Pt trở thành: u’x+u=f(1; ) u’x+u=f(1; u) => u’x= f(1; u) -u x = f(1; u) -u => = là pt phân li Ngoài ra f(1; u) -u =0 cho nghiệm kì dị DẠNG 3: pt đưa về pt thuần nhất. y’=f ( ) Pp: ● Nếu C 1 2 +C 2 2 =0 => C 1 =C 2 =0 → PT thuần nhất ● Nếu =0 , a 1 x+b 1 y=k(a 2 x+b 2 y) Đặt a 2 x+b 2 y = z Xét Đặt y’ = f xác định k & l : thế vào pt => pt thuần nhất DẠNG 4: Pt vi phân toàn phần: M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 Pp: ĐK để là pt vi phân toàn phần là = với mọi (x,y) thuộc TXĐ Nghiệm của pt là: u(x,y) = C Với u(x,y)= M(x,y)dx + N(x o ,y)dy , hoặc u(x,y)=M(x,y o )dx+N(x,y)dy, x o; y o là điểm tùy ý DẠNG 5: Thừa số tích phân. Nếu M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 chưa thỏa = khi đó nhân 2 vế với hàm µ µ.M(x,y)dx + µ.N(x,y)dy =0 tìm µ: theo ĐK toàn phần = .M + .µ= .N+ .µ ∂ = N. - M. - = - M => - = N. - M. là pt vi phân đạo hàm riêng Xét ● TH1: µ= µ(x) → =0 → - = N. → = lnµ= dx => µ= ℮ ● TH2: µ= µ(y) tương tự = - → µ=℮ DẠNG 6: Phương trình vi phân tuyến tính: y’+p(x).y=q(x) Pp: xát định P(x) và q(x) => nghiệm TQ là y= .℮ DẠNG 7: pt bécnuly: y’+P(x).y=q(x).y Pp: ta được pt vi phân thuần nhất chia 2 vế pt cho y Pt: y.y’+P(x).y 1-α =q(x) Đặt z=y =(1-α).y .y’ => y -α .y’= Thế vào pt +P(x).z=q(x) z’+(1-α).P(x).z=(1-α).q(x) là pt vi phân thuần nhất DẠNG 8: pt lagrăng y=g(y’).x+h(y’) Pp: đặt y’=p pt: y=g(p)x+h(p) y’=g’(p).x+g(p)+h’(p). p-g(p)= coi x là hàm của p = tìm x qua p Còn y=g(p)x+b(p) Đường cong tìm được cho dưới dạng tham số DẠNG 10: pt klêrô y=xy’+h(y’) là pt đặt biệt của lagrăng Pp: đặt y’=p PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢM CẤP ĐƯỢC DẠNG 1: y”=f(x) vế phải chỉ chứa x Pp: tích phân liên tiếp 2 lần DẠNG 2: y”=f(x,y) vế phải không chứa y Pp: Đặt y’= P=> y’=f(x,p) là pt cấp 1, hàm phải tìm là P(x). DẠNG 3: y’=f(y,y”) vế phải không chứa x Pp: đặt y’=P coi P là hàm của y y”x=P’y.y’x=P’P thế vào PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 Dạng: a 1 (x)y”+a 2 (x)y’+a 3 (x)y=g(x) Vì a 1 (x)≠0 nên pt viết lại là y”+P(x)y’+q(x)y=f(x) là pt vi phân không thuần nhất Khi f(x)=0 thì pt y”+P(x)y’+q(x)y=0 là pt thuần nhất PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO HỆ SỐ HẰNG DẠNG pt không thuần nhất cấp 2 hệ số hằng: y”+Py’+qy=f(x) Pp: xét pt tn y”+Py’+qy=0 Xét pt đặc trưng: k 2 +pk+q=0 (*) ■Tìm nghiệm của : (*) có 2 n o pb k 1, k 2 thì =C 1 e+C 2 e (*) có n o kép k 1,2 thì =C 1 e+x.C 2 e (*) có n o phức k=α+-ιβ => =e (*) có 2 n o phức k=α+-ιβ => =e +e ■Tìm một nghiệm riêng y* của nghiệm TQ của là y=+y* Có 2 cách tìm y* ●Cách 1: tìm nghiệm y*=C 1 (x)y 1 +C 2 (x)y 2 trong đó C 1 (x), C 2 (x) là nghiệm của hệ ●Cách 2: Dùng khi f(x) đặt biệt. Có 2 trường hợp ▪TH 1 : f(x)=℮.P(x) α≠k 1 , k 2 => y*=℮.Q(x) α≡ 1 n o đơn => y*= x℮.Q(x) α≡ k 1 ≡k 2 => y*=x 2 ℮.Q(x) bậc của Q(x)=P(x) ▪TH 2 : f(x)= e Xét α+-ιβ α+-ιβ không trùng với nghiệm của (*) =>y*=e , Q 1 (x);Q 2 (x)là đa thức bậc bằng bậc lớn nhất trong P 1 (x) và P 2 (x) α+-ιβ≡ với nghiệm của (*) => y*=x.e ■ . CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Người soạn Út Nhỏ DẠNG 1: Pt vi phân với biến phân li Dạng: M (x) dx+N (y) dy=0 Pp: Tích phân 2 vế M (x) dx + N (y) dy =C là nghiệm TQ Dạng đưa được. a 1 (x)≠0 nên pt vi t lại là y”+P(x)y’+q(x)y=f(x) là pt vi phân không thuần nhất Khi f(x)=0 thì pt y”+P(x)y’+q(x)y=0 là pt thuần nhất PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO HỆ SỐ HẰNG DẠNG pt không. dưới dạng tham số DẠNG 10: pt klêrô y=xy’+h(y’) là pt đặt biệt của lagrăng Pp: đặt y’=p PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢM CẤP ĐƯỢC DẠNG 1: y”=f(x) vế phải chỉ chứa x Pp: tích phân liên tiếp 2 lần DẠNG