Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 10, 2000 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 10 Năm học 2000 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Câu I (7 điểm). Cho hàm số (1) 1) Tùy theo giá trị của a, hãy lập bảng biến thiên của hàm số (1). 2) Tìm a sao cho phương trình: có nghiệm duy nhất. Câu II (4 điểm) Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ phương trình với m = -1. 2) Tìm m để hệ có đúng 2 nghiệm phân biệt. Câu III (5 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c thứ tự là độ dài các cạnh BC, CA, AB và A, B, C là độ lớn các góc: và Chứng minh: Câu IV (4 điểm). Chứng minh bất đẳng thức: --------------------------------------------------------HẾT------------------------------- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN - Lớp (Thời gian làm bài: 120 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời viết chữ đứng trước phương án vào làm x2 + có nghĩa là: x −1 A x ≠ B x < C x > Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = 2x – qua điểm: A (0; 4) B (2; 0) C (– 2; 1) Câu Hàm số sau nghịch biến ¡ : B y = x + C y = 3x − A y = (1 − 2) x + Câu Điều kiện để biểu thức D x ≥ D (4; 0) D y = Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, số giao điểm Parabol y = x2 đường thẳng y = x + là: A B C D Câu Phương trình sau có nghiệm kép: A x − x + = B − x + x − = C x − x + = D x − x + = Câu Cho đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC vuông cân A, AC bằng: A R B R C R D 2 R · Câu Tam giác ABC vuông A AC = a, BC = 2a, số đo ABC A 300 B 1200 Câu Diện tích hình tròn có bán kính 3cm là: A 12π cm2 B 9π cm2 Bài ( 1,5 điểm) C 600 D 900 C 6π cm2 D 3π cm2 1) Rút gọn biểu thức: x A= + + ÷ với x ≥ 0; x ≠ –1 x ≠ ÷: x − x − x x +1 x − 2) Chứng minh đẳng thức: 1− x x − x ≠ + x ÷ ÷ − x ÷ ÷ = với x ≥ x 1− x Bài ( 1,5 điểm) Cho phương trình x − (2m + 1) x + m + m = (1), với m tham số 1) Giải phương trình (1) m = 2) Chứng minh với giá trị m, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 3) Giả sử x1 ; x2 ( x1 < x2 ) hai nghiệm phương trình (1), chứng minh m thay đổi điểm A ( x1 ; x2 ) nằm đường thẳng cố định x + y = Bài ( 1,0 điểm) Giải hệ phương trình x + y − x + y = −1 Bài ( 3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm C nằm (O) ( C khác A, B) Lấy D thuộc dây BC ( D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC E, tia AC cắt BE F 1) Chứng minh tứ giác FCDE nội tiếp 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC · · 3) Chứng minh CFD = OCB Bài (1,0 điểm).Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a ≠ 4a + 2b + c + d = Chứng minh b ³ 4ac + 4ad Hết Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 10, 2001 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 10 Năm học 2001 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Câu I (4 điểm). 1) Chứng minh với mọi số thực dương a, ta luôn có: 2) Giải phương trình: Câu II (6 điểm) Tìm giá trị của m để bất phương trình: có ít nhất một nghiệm không âm. Câu III (4 điểm) Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình: Tìm các điểm của tập hợp S làm cho biểu thức F = y - x đạt giá trị lớn nhất. Câu IV (6 điểm). Cho tam giác ABC có H là trực tâm, biết AB = c, AC = b và BC = a. Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HAC, HBC. Tính theo a, b, c bán kính đường tròn đi qua 3 điểm . --------------------------------------------------------HẾT------------------------------- Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 10, 2002 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 10 Năm học 2002 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Câu I (3 điểm). Giải phương trình sau: Câu II (6 điểm) 1) Cho a, b là 2 số không âm. Chứng minh: 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: . Câu III (8 điểm) Cho tam giác ABC là tam giác đều có các cạnh bằng 1. Một đường thẳng thay đổi cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng chu vi của tứ giác BCNM. Gọi S 1 , S 2 lần lượt là diện tích của tam giác AMN và tứ giác BCNM. 1) Chứng minh tỏ rằng AM + AN không đổi. 2) Chứng minh rằng: . 3) Chứng minh rằng: Câu IV (3 điểm). Cho a, b và c là 3 số dương. Chứng minh bất đẳng thức: --------------------------------------------------------HẾT--------------------------------- Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 10, 2004 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 10 Năm học 2004 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Câu I (7 điểm). Cho hệ phương trình sau: (với m là tham số). 1) Giải hệ khi 2) Hỏi có thể tồn tại m để hệ có nhiều hơn một nghiệm (x;y) hay không? Câu II (6 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. 1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA. 2) Chứng minh rằng: Câu III (4 điểm) Cho hàm số với Kí hiệu là giá trị lớn nhất của khi 1) Chứng minh rằng: 2) Xác định a để đạt giá trị lớn nhất. Câu IV (3 điểm). Cho a, b và c là các số dương. Chứng minh rằng: --------------------------------------------------------HẾT-------------------------------- GV: CAO LÊ DƯợC Sở giáo dục - đào tạo nam định Đề chính thức đề thi tuyển sinh năm học 2009 2010 Môn : Toán - Đề chung Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề Bài1 (2,0 điểm)Trong mỗi Câu từ 1 đến Câu 8 đều có bốn phơng án trả lời A, B, C, D; Trong đó chỉ có một phơng án đúng. Hãy chọn phơng án đúng để viết vào bài làm. Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị các hàm số y = x 2 và y = 4x + m cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi A. m > 1. B. m > - 4. C. m < -1. D. m < - 4 Câu 2. Cho phơng trình3x 2y + 1 = 0. Phơng trình nào sau đay cùng với phơng trình đã cho lập thành một hệ phơng trình vô nghiệm A. 2x 3y 1 = 0 B. 6x 4y + 2 = 0 C. -6x + 4y + 1 = 0 D. -6x + 4y 2 = 0 Câu 3. Phơng trình nào sau đây có ít nhất một nghiệm nguyên ? A. 2 ( 5) 5x = B . 9x 2 - 1 = 0 C. 4x 2 4x + 1 = 0 D. x 2 + x + 2 = 0 Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy góc tạo bởi đờng thẳng y = 3 x + 5 và trục Ox bằng A. 30 0 B. 120 0 C. 60 0 D. 150 0 Câu 5. Cho biểu thức P = a 5 với a < 0. Đ thừa số ở ngoài dấu căn vào trong dấu căn, ta đợc P bằng: A. 2 5a B. - 5a C. 5a D. - 2 5a Câu 6. Trong các phơng trình sau đây phơng trình nào có hai nghiệm dơng: A. x 2 - 2 2 x + 1 = 0 B. x 2 4x + 5 = 0 C. x 2 + 10x + 1 = 0 D.x 2 - 5 x 1 = 0 Câu 7. Cho đờng tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác MNP vuông cân ở M . Khi đó MN bằng: A. R B. 2R C.2 2 R D. R 2 Câu 8.Cho hònh chữ nhật MNPQ có MN = 4cm; MQ = 3 cm. Khi quay hình chữ nhật đã cho một vòng quanh cạn MN ta đợc một hình trụ có thể tích bằng A. 48 cm 3 B. 36 cm 3 C. 24 cm 3 D.72 cm 3 Bài 2 (2,0 điểm) 1) Tìm x biết : 2 (2 1) 1 9x + = 2) Rút gọn biểu thức : M = 4 12 3 5 + + GV: CAO LÊ DƯợC 3) Tìm điều kiện xác định của biểu thức: A = 2 6 9x x + Bài 2 (1,5 điểm) Cho phơng trình: x 2 + (3 - m)x + 2(m - 5) = 0 (1), với m là tham số. 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có nghiệm x 1 = 2. 2) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm x 2 = 1 + 2 2 Bài 3. ( 3,0 điểm) Cho đờng tròn (O; R) Và điểmA nằm ngoài (O; R) .Đờng tròn đờng kính AO cắt đờng tròn (O; R) Tại M và N. Đờng thẳng d qua A cắt (O; R) tại B và C ( d không đi qua O; điểm B nằm giữa A và C). Gọi H nlà trung điểm của BC. 1) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đờng tròn đờng kính AO. 2) Đờng thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D. Chứng minh rằng: a) Góc AHN = góc BDN b) Đờng thẳng DH song song với đờng thẳng MC. c) HB + HD > CD Bài 5 (1,5 điểm) 1) Giải hệ phơng trình: 2 2 2 2 0 ( 1) 1 x y xy x y x y xy + = + = + 2) Chứng minh rằng với mọi x ta luôn có: 2 2 (2 1) 1 (2 1) 1x x x x x x+ + > + + Gợi ý đáp án môn toán Nam Định 09-10. Bài 1: Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 đáp án B C B C D A D B Bài 2: 1. 2 )12( x = 9 2x 1 = 9 hoặc 2x 1 = -9 x = 5 hoặc x = - 4. 2. M = 12 + 35 ) 3- 5 4( = 2 3 + 2( 5 - 3 ) = 2 5 3. ta có x 2 + 6x + 9 = - (x - 3) 2 0 x. (1) A = 2 )3( x . Điều kiện để A có nghĩa là: - (x - 3) 2 0 (2) Từ (1), (2) => x = 3. Bài 3. 1. Thay x = 2 vào ta có: 2 2 + (3 - m)2 + 2(m - 5) = 4 + 6 2m + 2m 10 = 0. Vậy x = 2 là nghiệm của phơng trình (1) m. 2. áp dụng định lí viet cho phơng trình (1) ta có: x 1 + x 2 = m 3 => x 2 = m 3 x 1 = m 3 2 = m 5. Mà x 2 = 1 + 2 2 => m 5 = 1 + 2 2 => m = 6 + 2 2 . Bài 4: 1. Ta có M đờng tròn đk AO => góc AMO = 90 0 => AM MO. Mà M (O) => AM là tiếp tuyến (O). H là trung điểm BC => OH BC => AHO = 90 0 => H đtđk AO. 2. ta có AHN = AMN (chắn AN) AM MO => AMN + NMO =90 0 BD OM tại E => MDE + NMO = 90 0 . => AMN = MDE (cug fụ NMO) GV: CAO LÊ DƯợC C D H N B O A M E Mà AHN = AMN (cmt) => AHN = MDE Mặt khác MDE = BDN (đđ) => AHN = BDN (đpcm) b. từ câu trên => tứ giác BDHN nội tiếp. => BND = BHN Mà BHN = BCN (chắn BN của (O)) => BHN =