Đề thi violympic năm học 2014-2015

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 Thời gian: 120 phút Câu 1: (6 điểm) a Tính A  11 13 25 30      3.5 5.8 8.19 8.19 32.57 57.87 b Cho a, b  N Chứng tỏ 5a + 3b 13a + 8b chia hết cho 2012 a b chia hết cho 2012 c Tìm số tự nhiên a, b, c nhỏ khác cho 16a = 25b = 30c Câu 2: (4 điểm) CMR: A  1 1      50 Rút gọn phân số sau: A 10.11  50.55  70.77 11 12  55.60  77.84 215.53.2 6.34 B 8.218.81.5 Câu 3: (2 điểm) Cho p p +4 số nguyên tố (p>3) Chứng tỏ p +8 hợp số Câu 4: (6 điểm) a Cho tia OA, OB, OC cho Góc AOB = 1100, góc BOC = 1300, góc COA = 1200 Hỏi tia nằm tia lại b Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox Vẽ tia Oy, Oz cho góc xOy = a0, góc xOz = b0 (a 13(5a+3b)  2012 => 65 a + 39b  2012 (1) Lại có: 13a + 8b  2012 => 5(13a + 8b)  2012 => 65 a + 40b  2012 (2) Từ (1)(2) => (65a + 40b) – (65a+39b)  2012 => b  2012 Tương tự => a  2012 Vậy a, b chia hết cho 2012 Đặt 16a = 25b = 30c = x c => x  16, x  25, x  30 Mà a,b,c nhỏ , khác => x nhỏ khác Vậy x = BCNN (16, 25, 30) X = 1200 Câu Ta có: A  A 1 1 1 1         4 5 50 51 A 1  51 A 16 16   51 64 Vậy A  1 1     3.4 4.5 5.6 50.51 1đ A B 10.11(1  5.5  7.7) 10   11 12(2  5.5  7.7) 12 15 21 1đ 3  21  52  25 18 2 5 Câu Vì p số nguyên tố, p > nên p có dạng P= 3k + p = 3k + (k  N ) * Nếu p= 3k + => p + = 3k + + P + = 3k + 9, hợp số * Nếu p = 3k + => p+ = 3k + 6, hợp số (loại) Vậy p, p+4 số nguyên tố (p>3) p+8 hợp số Câu a Ta có AOB + BOC = 1100 + 1300 = 2400  COA Vậy tia OB không nằm tia OA OC Ta có AOB + COA = 1100 + 1200 = 2300  BOC Vậy tia OA không nằm tia OA, OB KL: Vậy tia OA, OB, OC tia nằm tia lại b n z y m x Vì tia 0m tia phân giác x0y Nên x0m = m0y = x0 y a  2 Vì tia 0n tia phân giác x0z Nên x0n = n0z = x0 z b  2 Trên nửa mp bờ ox có a x0m < x0n -> 0m nằm tia 0x 0n Ta có x0m + m0n = x0n -> a0 b0  m0n  2 -> m0n = Câu b0 a0 b0  a0   2 Ta có x => 1  x y  x => x  16 Lại có 1   x  x => < x< 16 => x  {9;10;11;12;13;14;15} Ta có bảng giá trị x 10 11 12 13 14 15 x 10 11 12 13 14 15 1   y x 72 40 88 24 104 56 120 y 72 40 Loại 24 Loại Loại Loại