tài liệu này có thể giúp các bạn ôn thi tốt trong kì thi tốt nghiệp và tuyển sinh thpt sắp tới.
HèNH HC PHNG TUYN CHN Bi 1: Cho ng trũn tõm O, v hai dõy cung AB v CD vuụng gúc vi ti M ng trũn (O) Qua A k ng thng vuụng gúc BC ti H v ct ng thng CD ti E Gi F l im i xng ca C qua AB Tia AF ct BD ti K Chng minh: a) T giỏc AHCM ni tip b) Tam giỏc ADE cõn c) AK vuụng gúc BD d) H, M, K thng hng E a) Xột t giỏc AHCM cú: H C _ A M B _ F O K ãAHC = ãAMC = 900 ã ã (gt) Suy AHC + AMC = 180 ã ã ã b) T AHCM ni tip suy ra: HAM (cựng bự HCM ) = MCB ã ã ằ ) Nờn HAM ã ã M MCB ( cựng chn BC = MAD = MAD ã ã - ADE cú AM DE v HAM nờn ADE cõn ti A = MAD ã ã c) F l i xng ca C qua AB => CBF cõn ti B=> CBM = FBM - Gi N l giao im BF vi AD ta cú: AHB = ANB ( g-c-g) => ãANB = ãAHB = 900 - ADB cú DM v BN l hai ng cao nờn F l trc tõm => AF BD hay AK BD d) - T giỏc AHBK ni tip ( ãAHB = ãAKB = 900 )=> ãAKH = ãABH ã ã ã - T giỏc FMBK ni tip ( FKM = FBM = 900 ) => ãAKM = FBM D ã ã - M FBM ( FBC cõn ti B) nờn ãAKM = ãAKH = MBH - Suy ra: K, M, H thng hng Bi 2: Cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn ng kớnh AD Hai ng chộo AC v BD ct ti E K EF vuụng gúc vi AD ti F Chng minh rng: a) Chng minh: T giỏc DCEF ni tip c b) Chng minh: Tia CA l tia phõn giỏc ca BC F C a)Ta cú: ACD = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn ng kớnh AD) B Xột t giỏc DCEF cú: E ECD = 900 (cm trờn) v EFD = 900 (vỡ EF AD (gt)) => ECD + EFD = 1800 => T giỏc DCEF l t giỏc ni tip (pcm) A F D b) Vỡ t giỏc DCEF l t giỏc ni tip ( cm phn a ) => C = D ( gúc ni tip cựng chn cung EF) (1) M: C = D (gúc ni tip cựng chn cung AB) (2) T (1) v (2) => C = C hay CA l tia phõn giỏc ca BC F ( pcm ) N Bi 3: Cho na ng trũn (O) ng kớnh AB im M nm trờn na ng trũn (M A; B) Tip tuyn ti M ct tip tuyn ti A v B ca ng trũn (O) ln lt ti C v D a) Chng minh rng: t giỏc ACMO ni tip ã ã b) Chng minh rng: CAM = ODM c) Gi P l giao im CD v AB Chng minh: PA.PO = PC.PM d) Gi E l giao im ca AM v BD; F l giao im ca AC v BM Chng minh: E; F; P thng hng E F D M C P A O B a T giỏc ACMO ni tip ã ã b Chng minh rng: CAM = ODM ã ã - Chng minh c CAM = ABM - Chng minh t giỏc BDMO ni tip ã ã - Chng minh c ABM = ODM ã ã Suy CAM = ODM c Chng minh: PA.PO = PC.PM Chng minh c PAM ng dng vi PCO (g.g) Suy PA PM = =>PA.PO=PC.PM PC PO d Chng minh E; F; P thng hng Chng minh c CA = CM = CF; DB = DM = DE Gi G l giao im ca PF v BD, cn cm G trựng E Da vo AC//BD chng minh c FC PC PC AC AC CF = ; = ; = DG PD PD BD BD DE => DE = DG hay G trựng E.Suy E; F; P thng hng Bi 4: T im A ngoi ng trũn (0;2cm) K hai tip tuyn AB, AC v cỏt tuyn AMN vi ng trũn ú (M nm gia A v N), cho gúc BAC cú s o bng 600 a) Chng minh t giỏc ABOC ni tip ng trũn Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca ng trũn ngoi tip t giỏc ABOC b) Chng minh: AB = AM AN Tớnh din tớch phn hỡnh gii hn bi cỏc on AB, AC v cung nh BC núi trờn B A O M N C a)T giỏc ABOC cú ẳ ABO = ẳ ACO = 900 (tớnh cht ca tip tuyn ) ẳ ABO + ẳ ACO = 1800 T giỏc ABOC ni tip ng trũn VABC cú AB = AC (tớnh cht hai tip tuyn giao ) v ẳ = 600 suy VBAC l tam giỏc u ẳ BAC ACB = 600 ẳ AOB = ẳ ACB = 600 (hai gúc ni tip cựng chn cung) OA = OB = = cm ẳ cos 600 cos AOB Vy t giỏc ABOC ni tip trung ng trũn tõm l trung im ca OA bỏn kớnh bng cm b) Xột hai tam giỏc VABM v VANB ẳ ẳ ) ABM v ẳ ANB (gúc to bi tia tip tuyn v gúc ni tip cựng chn cung BM ) A chung Suy ABM ng dng ANB(g.g) AB AM = AB = AM AN AN AB ẳ + BOC ẳ = 1800 BAC T giỏc ABOC ni tip ẳ = 1800 BAC ẳ = 1800 600 = 1200 BOC R 4.120 = = (cm ) Squt OBMC = 3600 3600 AB.OB SOBAC = 2SOBA = = 3.2 = 4 12 4(3 ) Scn tỡm = SOBAC Squt = = = cm 3 S Bi 5: T im M bờn ngoi ng trũn (O; R) v hai tip tuyn MA, MB ( A, B l cỏc tip im) Gi E l im nm gia M v A ng trũn ngoi tip tam giỏc AOE ct AB ti im H Ni EH ct MB ti F a) Tớnh s o gúc EHO b) Chng minh rng t giỏc OHBF ni tip c) Chng minh rng tam giỏc EOF cõn d) Gi I l trung im ca AB Chng minh rng OI OF = OB.OH Gii ã Lớ lun c EHO = 90 A ã ã Lớ lun c OHF = OBF = 900 suy c t giỏc OHBF ni tip E ãOEF = OAH ã ( cựng chn cung OH ca trũn ng kớnh OE) I M ã ã O ( AOB cõn) OAH = OBH ã ã ( cựng chn cung OH ca ng trũn ng OBH = OEF H kớnh OF) B ã ã Suy OEF hay OEF cõn ti O = OFE Chng minh c OIB OHF F Suy OI OB = nờn OI.OF = OB.OH OH OF Bi 6: Cho na ng trũn (O; R), ng kớnh AB, Gi C l im chớnh gia ca cung AB Ly M thuc cung BC cho AM ct OC ti N v MB = MN a) Chng minh: T giỏc OBMN ni tip C b) Chng minh: BA M = MN B T ú tớnh s o BA M c) Tớnh di cnh ON d) Tớnh th tớch ca hỡnh c sinh quay tam giỏc AON quanh AO Gii Hỡnh v ỳng a/ Nờu c NM B = 90 v NO B = 90 Suy T giỏc OBMN ni tip b/ Nờu c: BN M = BO M ( cựng chn cung MB) M N A B O -Nờu c BA M = BO M ( Gúc ni tip v gúc tõm cựng chn cung MB) - Suy BA M = MN B -MBN cú MB = MN (gt), NM B = 90 (Gúc nt chn na ng trũn) Nờn MBN vuụng cõn ti M Suy BN M = 45 v tớnh c : BA M = MN B = 22 30' c) ON = OA tanA = R tan 22030 R2h 3 2 V = R tan 22 30'.R = R tan 22 30' (vtt) 3 d) Vit c V = Tỡm c: Bi Cho ng trũn (O), dõy AB v mt im C ngoi ng trũn v nm trờntia BA T mt im chớnh gia P ca cung ln AB k ng kớnh PQ ca ng trũn ct dõy AB ti D Tia CP ct ng trũn (O) ti im th hai l I Cỏc dõy AB v QI ct ti K a) Chng minh rng t giỏc PDKI ni tip b) Chng minh CI.CP = CK.CD c) Chng minh IC l phõn giỏc ngoi nh I ca tam giỏc AIB d) Gi s A, B, C c nh, chng minh rng ng trũn (O) thay i nhng i qua A, B thỡ ng thng QI luụn i qua mt im c nh Gii a) Xột t giỏc PDKI cú: ã = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) PIQ Vỡ P l im chớnh gia ca cung ln AB nờn ã AB PQ hay PDK = 900 ã ã Suy PIQ + PDK = 1800 Vy t giỏc PDKI ni tip chung nờn b) Xột hai tam giỏc vuụng CIK v CDP cú C CIK ng dng CDP (g.g) CI CK = CD CP CI CP = CK CD ã ằ ) Mt khỏc CIK ã c) Ta cú BIQ = ãAIQ (hai gúc ni tip chn hai cung bng ằAQ = QB = 900 nờn CI l phõn giỏc ngoi nh I ca AIB d) T giỏc ABPI ni tip nờn suy ra: CIA ng dng CBP (g.g) => CI.CP = CA.CB (1) M theo cõu b), ta cú CI.CP = CK.CD (2) T (1) v (2) suy ra: CK.CD = CA.CB hay CK = CA.CB khụng i v K thuc tia CB CD Vy K c nh v QI qua K c nh Bi 8: Cho ABC nhn ni tip (O;R), AB CNB => T giỏc BNMC cú hai nh lin k M, N cựng nhỡn BC di gúc 900 nờn ni tip ng trũn = 900 ) Tõm O l trung im ca BC ( (do CNB b/ Chng minh : AB.NM = AM.BC Xột AMN v ABC cú : chung, ANM ( BNMC ni tip ng trũn) = ACB BAC => AMN ng dng ABC ( g.g) => M N H B K O MN AM = AB.MN = BC.AM BC AB C I c/ Tớnh din tớch hỡnh qut trũn gii hn bi cung nh MC, bỏn kớnh OC, bỏn kớnh OM ca (O) theo R = 600 Ta cú : OM=OC=MC (=R)=> OMC u => MOC R n R 60 R = = Din tớch ca qut trũn cn tỡm: S = ( vdt) 360 360 d) Chng minh : IM BC Xột tam giỏc ABC cú : BM, CN l hai ng cao ct ti H => H l trc tõm => AH vuụng gúc vi BC + BKH = 1800 => T giỏc BKHN ni tip BNH = NBH ( cựng chn cung NH) => NKH = NBH ( cựng chn cung NB ca (O)) Li cú : NIM = NKH => AK // IM => NIM Li cú AK BC => IM BC Bi 10: Cho ABC u ni tip ng trũn (O; R) Trờn AB ly im M (khỏc A, B), trờn AC ly im N ( khỏc A, C ) cho BM = AN a) Chng minh OBM bng OAN b) Chng minh t giỏc OMAN ni tip c ng trũn Tớnh din tớch viờn phõn gii hn bi dõy BC v cung BC theo R Gii a) Xột OBM v OAN cú: OA = OB ( bỏn kớnh) ; BM = AN ( gt) ; MB O = NA O (Cựng bng 30 ) Vy OBM = OAN b) Ta cú: AM O + BM O = 180 (k bự) M: AN O = BM O ( OBM = OAN ) Suy ra: AM O + AN O = 180 Vy t giỏc OMAN ni tip c ng trũn Vỡ BC l cnh tam giỏc u ni tip (O; R) BC = R ; OH = R v s BC = 120 R n R 120 R = = 360 360 1 R R S BOC = BC.OH = R = 2 2 R R Vy S viờnphõn = = R2 ( S OB C = n (vdt) (vdt) ) (vdt) Bi 11: Cho tam giỏc ABC cõn ti A, ni tip ng trũn (O); tia AO ct ng trũn (O) ti D ( D khỏc A) Ly M trờn cung nh AB ( M khỏc A, B ) Dõy MD ct dõy BC ti I Trờn tia i ca tia MC ly im E cho ME = MB Chng minh rng: a/ MD l phõn giỏc ca gúc BMC b/ MI song song BE c/ Gi giao im ca dng trũn tõm D, bỏn kớnh DC vi MC l K (K khỏc C ) Chng minh rng t giỏc DCKI ni tip A A E M O K B N C I D ã ã ằ = BD ằ a) Ta cú O l tõm ng trũn ngoi tip ABC cõn ti A BAD = CAD DC ã ã ( Hai gúc ni tip chn hai cung bng nhau) BMD = CMD Vy MD l phõn giỏc ca gúc BMC ã b) Ta cú MD l phõn giỏc ca gúc BMC BMC = ãDMC (1) M MEB cõn ti M ( Vỡ theo gi thit ME = MB ) ã BMC = ãMEB (2) ( Tớnh cht gúc ngoi tam giỏc ) ã T (1) v (2) DMC = ãMEB M chỳng v trớ ng v Nờn suy : MI // EB ằ + sd BD ằ sd MB ã ã ẳ c) Ta cú : DCK ( Gúc ni tip chn MBD ) = MCD = ằ ằ sd MB + sdCD ã Cú : DIC ( gúc cú nh bờn ng trũn ) = ã ã ằ = CD ằ DCK = DIC M theo C/m trờn : BD (3) ã ã Ta cú DK = DC ( bỏn kớnh ca ng trũn tõm D) DCK cõn ti D DKC (4) = DCK ã ã T (3) v (4) : DKC Suy : T giỏc DCKI ni tip (pcm) = DIC Bi 12: Cho hỡnh vuụng ABCD, ly mt im M bt k trờn cnh BC (M khỏc B v C) Qua B k ng thng vuụng gúc vi ng thng DM ti H, kộo di BH ct ng thng DC ti K a) Chng minh t giỏc BHCD ni tip ng trũn Xỏc nh tõm I ca ng trũn ú b) Chng minh KM DB c) Chng minh KC.KD = KH KB d) Gi s hỡnh vuụng ABCD cú l a Tớnh th tớch ca hỡnh na hỡnh trũn tõm I quay mt vũng quanh ng kớnh Gii a) Chng minh t giỏc BHCD ni tip B A H ã Ta cú BCD = 900 (vỡ ABCD l hỡnh vuụng) ã BHD = 900 (vỡ BH DM ) H, C cựng thuc ng trũn ng kớnh BD I D M C K Vy t giỏc BHCD ni tip c ng trũn ng kớnh BD, cú tõm I l trung im on BD b) Chng minh KM DB DH BK ( gt ) KM DB (ng cao th ba) BC DK ( gt ) c) Chng minh KC.KD = KH KB Trong KBD cú: Xột KCB v KHD cú: C = H = 900; K l gúc chung KCB KHD (g-g) KC KB = KH KD d) Na hỡnh trũn tõm I quay mt vũng quanh ng kớnh, ta c mt hỡnh cu cú bỏn kớnh: R = BD 2 Trong ú: BD = a + a = a R = a Vy th tớch ca hỡnh cu l: V = R 3 2 = a = a (n v th tớch) ữ ữ Bi 13: Cho tam giỏc ABC cõn ti A ni tip ng trũn (O) cỏc ng cao AG, BE, CF ct ti H : a Chng minh t giỏc AEHF ni tip Xỏc nh tõm (I) ca ng trũn ngoi tip t giỏc ú b Chng minh AE AC = AH AG c Chng minh GE l tip tuyn ca ng trũn tõm (I) d Cho bỏn kớnh ca ng trũn tõm (I) l cm Gúc BAC = 500 Tớnh din tớch hỡnh qut IEHF Bi 14: Cho ABC nhn ni tip (O;R) Cỏc ng cao AD; BE; CF ct ti H a) Chng minh : T giỏc AEHF ni tip b) Chng minh : T giỏc BFEC ni tip c) Chng minh : OA EF d) Bit s o cung AB bng 90 v s o cung AC bng 120 Tớnh theo R din tớch phn hỡnh trũn gii hn bi dõy AB; cung BC v dõy AC a) Chng minh : T giỏc AEHF ni tip ã ã = 90 ; AFH = 90 ( gt ) + T giỏc AEHF cú: AEH ã ã + AEH + AFH = 900 + 90 = 180 + Vy t giỏc AEHF ni tip ng trũn ng kớnh AH b) Chng minh : T giỏc BFEC ni tip F v E l hai nh k cựng nhỡn BC di gúc 900 ã ã = 90 ; BEC = 90 ( gt ) + T giỏc BFEC cú: BFC + Vy t giỏc BFEC ni tip ng trũn ng kớnh BC c) Chng minh : OA EF ã + K tip tuyn xAx ca (O) xã ' AB = ACB ( Cựng chn cung AB ) ã ã + AFE ( BFEC ni tip ) = ACB ã ã + x ' AB = AFE ị x 'x //FE + Vy : OA EF d) Tớnh theo R din tớch phn hỡnh trũn gii hn bi dõy AB; cung BC v dõy AC + Gi SCt l din tớch phn hỡnh trũn gii hn bi dõy AB; cung BC v dõy AC SCt = S( O) - SVFAB - SVFAC + SVFAB = SquatOAB - SD OAB = pR R (vdt) pR R (vdt) ổ ổ pR R R2 5pR - 6R - 3R ữ ỗpR ữ ữ ữ - ỗ = ữ + SCt = S( O) - SVFAB - SVFAC = pR - ỗỗỗỗ (vdt) ữ ữ ữ ỗ 2ứ ứ 12 ữ ỗ ố ố + SVFAC = SquatOAC - SDOAC = ... tõm O ca ng trũn ú = 90 0 ( doCN AB ) CNB = 90 0 (do BM AC ) CMB A = CMB (= 90 0 ) => CNB => T giỏc BNMC cú hai nh lin k M, N cựng nhỡn BC di gúc 90 0 nờn ni tip ng trũn = 90 0 ) Tõm O l trung... AEH ã ã + AEH + AFH = 90 0 + 90 = 180 + Vy t giỏc AEHF ni tip ng trũn ng kớnh AH b) Chng minh : T giỏc BFEC ni tip F v E l hai nh k cựng nhỡn BC di gúc 90 0 ã ã = 90 ; BEC = 90 ( gt ) + T giỏc BFEC... (O) thay i nhng i qua A, B thỡ ng thng QI luụn i qua mt im c nh Gii a) Xột t giỏc PDKI cú: ã = 90 0 (gúc ni tip chn na ng trũn) PIQ Vỡ P l im chớnh gia ca cung ln AB nờn ã AB PQ hay PDK = 90 0