Bài tập có đáp án toán rời rạc

BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài 1: Số mã vùng cần thiết nhỏ để đảm bảo 25 triệu máy điện thoại khác Mỗi điện thoại có chữ số có dạng 0XX-8XXXXX với X nhận giá trị từ đến Giải Vì số mã vùng có dạng: 0XX-8XXXXX, với X nhận giá trị từ đến (10 số), có 07 ký tự X có 107 trường hợp Do đó, theo nguyên lý Dirichlet với 10 triệu máy điện thoại số mã vùng cần thiết là:  25.000.000   10.000.000  = ] 2,5[ = Vậy số mã vùng cần thiết thỏa yêu cầu toán Bài 2: Biển số xe gồm ký tự, dạng NN-NNNN-XN, ví dụ 75_1576_F1 Hai số đầu mã tỉnh, X chữ (26 chũ cái) N gồm số 0, 1, …, Hỏi tỉnh cần đăng ký cho 10 triệu xe cần serial (X) Giải Bài toán có 02 cách hiểu: serial 02 ký tự NN 02 ký tự XN cuối Cách hiểu 1: (serial 02 ký tự XN cuối cùng) Hai số NN đầu mã tỉnh, nhà nước quy định nên không ảnh hưởng đến kết toán Sáu ký tự lại có ký tự N, có 10 trường hợp Theo nguyên 10.000.000  = 100 Điều lý Dirichlet, số serial X tối thiểu phải thỏa mãn:   100.000  không hợp lý số ký tự chữ 26 Do vậy, toán sửa lại triệu  1.000.000  = 10 bảng số xe kết hợp lý hơn, số serial là:   100.000  Cách hiểu 2: (serial 02 ký tự NN đầu tiên) Bốn ký tự NNNN có 104 trường hợp, 02 ký tự XN có 26*10 = 260 trường hợp Theo quy tắc nhân, tổng số trường hợp là: 10 4*260 = 2.600.000 Do đó, theo nguyên lý Dirichlet, số serial tối thiểu phải là:  10.000.000   2.600.000  = ]3,84[ = Vậy cần 04 số serial để đăng ký đủ cho 10 triệu xe Bài 3: Có xâu nhị phân có độ dài 10: a Bắt đầu 00 kết thúc 11 b Bắt đầu bẳng 00 kết thúc 11 Giải a Bắt đầu 00 kết thúc 11 Xâu nhị phân bắt đầu 00 có dạng: 00.xxxx.xxxx Ký tự x 1, có ký tự x có xâu Xâu nhị phân kết thúc 11 có dạng: xx.xxxx.xx11 Tương tư ta tính có 28 xâu Xâu nhị phân bắt đầu 00 kết thúc 11 có dạng 00.xxxx.xx11 Tương tự trên, ta tính có xâu Vậy số xâu nhị phân bắt đầu 00 hay kết thúc 11 là: n = * − = 512 − 64 = 448 xâu b Bắt đầu 00 kết thúc 11 Xâu nhị phân thỏa mãn đề phải có dạng: 00.xxxx.xx11 Hai ký tự đầu 02 ký tự cuối không đổi, 06 ký tự Do số xâu nhị phân thỏa mãn đề là: 26 xâu Bài 4: Khóa 29 CNTT có 150 SV học NNLT Java, 160 SV hoc Delphi, 40 SV học hai môn a Tìm tất SV khóa 29 biết SV phải học 01 môn b Biết tổng số SV 285, hỏi có SV không học Java Delphi Giải Gọi J: SV học Java D: SV học Delphi a Số SV khóa 29 là: n1 = J  D = J + D − J  D = 150 + 160 − 40 = 270 SV b Câu b có 02 cách hiểu: Cách 01: không học 01 môn Số SV không học Java Delphi (áp dụng nguyên lý bù trừ) ta tính được: n2 = n − J  D = 285 − 40 = 245 SV Cách 02: không học Java chẳng học Delphi: Theo cách hiểu này, áp dụng nguyên lý bù trừ ta tính số SV sau: n 2' = J  D = n − J − D + J  D = 285 − 150 − 160 + 40 = 15 SV Bài 5: Mỗi người sử dụng máy tính dùng password có -> ký tự Các ký tự chữ số chữ cái, password phải có 01 chữ số Tìm tổng số password có Giải Bài toán hiểu theo 02 cách Cách 01: phân biệt chữ thường với chữ hoa Chữ thường: 26 Chữ hoa: 26 Chữ số: 10 Do đó, tổng cộng có 26 + 26 + 10 = 62 ký tự khác Nếu password có n ký tự Tổng số trường hợp: 62 n Số password chữ số: 52 n Suy số password có 01 chữ số: nn = 62 n − 52 n Áp dụng cho trường hợp n = 6, 7, Tổng số password thỏa yêu cầu đề là: n = n6 + n7 + n8 = 62 − 52 + 62 − 52 + 62 − 52 = 167.410.949.583.040 Cách 02: không phân biệt chữ thường với chữ hoa: Cách làm hoàn toàn tương tự, thay sử dụng số 62 52 sử dụng 02 số: 36 26 Kết là: n = n6 + n7 + n8 = 36 − 26 + 36 − 26 + 368 − 26 = 2.684.483.063.360 Bài 6: Có n thư bỏ vào n bì thư Hỏi xác suất để xảy trường hợp thư bỏ bì thư Giải Vì có n phong bì n bì thư nên có tất N = n! cách bỏ thư khác Để đếm số cách bỏ thư cho không thư địa chỉ, ta áp dụng nguyên lý bù trừ: N = n! − N1 + N2 − + (−1)nNn, Nm (1 ≤ m ≤ n) số cách bỏ thư cho có m thư địa chỉ, Nm số cách lấy m thư từ n lá, với cách lấy m thư, có (n-m)! cách bỏ để m thư địa chỉ, vậy: n! 1 m Nm = Cn (n - m)! = k! N = n!(1 − 1! + 2! − + (−1)n n! ), Dođó xác suất thỏa toán: p = N N 1 1 = = − + - + +(-1) k N n! 1! 2! 3! k! Bài 7: Chỉ chọn số từ tập số {1, 2, …, 7, 8} có 01 cặp số có tổng Giải Từ số trên, ta chia thành 04 cặp: {1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5} tổng cặp Như vậy, đề trở thành chọn số từ cặp số Theo nguyên lý Dirichlet, phải có 01 cặp số chọn hết Vậy toán chứng minh Bài 8: Chứng minh nhóm 27 từ tiếng Anh có từ 01 chữ Giải Bảng chữ tiếng anh gồm 26 ký tự: a, b, c, …, x, y, z Vì có 27 từ tiếng Anh từ bắt đầu 01 chữ nên theo nguyên lý Dirichlet phải có 02 từ bắt đầu 01 chữ Bài 9: Cần phải có SV ghi tên vào lớp TRR để chắn có 65 SV đạt điểm thi, giả sử thang điểm thi gồm 10 bậc Giải Gọi n số sinh viên tối thiểu thỏa mãn đề bài, theo nguyên lý Dirichlet = 65 Do n = 10 * 64 + = 641 SV 10 ] [ n Bài 10: Tìm hệ thức truy hồi cho điều kiện đầu để tính số xâu nhị phân có độ dài n số liên tiếp Có xâu nhị phân có độ dài Giải Với xâu nhị phân có độ dài n, ta chia thành 02 trường hợp: Nếu ký tự cuối ký tự trước (ký tự thứ n – 1) Nếu ký tự cuối ký tự trước (ký tự thứ n – 1) (vì vi phạm yêu cầu toán) ký tự trước (thứ n – 2) hay Từ 02 trường hợp ta suy được: f n = f n −1 + f n− Các điều kiện đầu: f1 = , f = Có 13 xâu nhị phân có độ dài số liên tiếp Bài 11:  f0 =  f1 = Dãy số Fibonacci thõa f n = f n −1 + f n− , cho điều kiện đầu:  Hãy tìm hệ thức truy hồi Fibonacci Giải Phương trình đặc trưng: x − x − = 1+ 1− có nghiệm là: r1 = r2 = n n  1+   1−  + α  Do số Fibonacci tổng quát có dạng: f n = α1  ÷ ÷ ÷ ÷      α1 + α = α1 =   f0 =   với điều kiện ban đầu :  f = ⇒ α  +  + α  −  = ⇒  −    ÷ α = ÷  ÷ ÷       Do số Fibonacci cho công thức sau: n n  1+  1−  fn = −  ÷  ÷ 5 ÷  ÷   Bài 12: Tìm nghiệm hệ thức truy hồi sau: a n = 2a n−1 + 5a n −2 − 6a n −3 điều kiện đầu là: a0 = , a1 = −4 , a = Giải Phương trình đặc trưng x − x − x + = ⇔ ( x − 1)( x − x − 6) =  x0 =  Các nghiệm phương trình đặc trưng:  x1 = −2 x =  Do đó, hệ thức truy hồi có dạng: an = α 11n + α (−2) n + α 3n Với điều kiện đầu cho: a0 = , a1 = −4 , a = Ta có hệ phương trình 7 = α + α + α α =   sau: − = α − 2α + 3α ⇒ α = 8 = α + 4α + 9α α = −1   Vậy nghiệm hệ thức truy hồi là: a n = + 3(−2) n − n Bài 13: Tìm hệ thức truy hồi rn Với rn số miền mặt phẳng bị phân chia n đường thẳng Biết đường thẳng song song 03 đường thẳng qua điểm Giải Với n đường thẳng, theo đề đường thẳng thứ n cắt n – đường thẳng lại n – điểm, tức cắt n – + = n phần mặt phẳng Do đó, số phần mặt phẳng tăng lên n Từ đó, ta có hệ thức truy hồi: rn = rn−1 + n Các điều kiện đầu là: n = 0: r0 = n = 1: r1 = BÀI TẬP CHƯƠNG II Bài 14 Chứng minh đơn đồ thị có 02 đỉnh có bậc Giải Trong đồ thị đơn, số bậc tối đa cung TH1: Giả sử đồ đỉnh treo, số bậc tối thiểu đỉnh 1, số bậc tối đa đỉnh n-1 (vì đơn đồ thị) Có n đỉnh, số bậc đỉnh từ đến n-1 (n-1) giá trị Do theo nguyên lý Dirichlet phải có 02 đỉnh có bậc TH2: Giả sử đồ thị có 01 đỉnh treo, số bậc tối thiểu đỉnh 0, số bậc tối đa n-2 (vì đơn đồ thị, đồng thời có đỉnh treo) Có n đỉnh, số bậc đỉnh từ đến n-2 (n-1) giá trị Do theo nguyên lý Dirichlet phải có 02 đỉnh có bậc Bài 15: Tính tổng số bậc K n (đơn đồ thị đủ) Giải Với đồ thị đủ đỉnh nối với đỉnh lại Do vậy, có n đỉnh đỉnh nối với n -1 đỉnh lại, tức bậc đỉnh n – Vậy, tổng số bậc đồ thị là: n*(n – 1) bậc II Các tập giấy kiểm tra lần Bài 16: (giống 12 phần trước) Tìm nghiệm hệ thức truy hồi sau: a n = 2a n−1 + 5a n −2 − 6a n −3 điều kiện đầu là: a0 = , a1 = −4 , a = Giải Phương trình đặc trưng x − x − x + = ⇔ ( x − 1)( x − x − 6) =  x0 =  Các nghiệm phương trình đặc trưng:  x1 = −2 x =  Do đó, hệ thức truy hồi có dạng: an = α 11n + α (−2) n + α 3n Với điều kiện đầu cho: a0 = , a1 = −4 , a = Ta có hệ phương trình 7 = α + α + α α =   sau: − = α − 2α + 3α ⇒ α = 8 = α + 4α + 9α α = −1   Vậy hệ thức truy hồi là: a n = + 3(−2) n − n Bài 17: Trong tổng số 2504 sinh viên khoa công nghệ thông tin, có 1876 theo học môn NNLT Pascal, 999 học môn ngôn ngữ Fortran 345 học môn ngôn ngữ C Ngoài biết 876 sinh viên học Pascal Fortran, 232 học Fortran C, 290 học Pascal C Nếu 189 sinh viên học 03 môn Psacal, Fortran C trường hợp có sinh viên không học môn 03 môn nói Giải Gọi P: tập gồm SV học Pascal F: tập gồm SV học Fortran C: tập gồm SV học C N: tổng số SV (2504 SV) Gọi K số SV học 01 môn Theo nguyên lý bù trừ, ta có: K = P U F UC = P + F + C − P I F − F I C − C I P + P I F I C K = 1876 + 999 + 345 − 876 − 232 − 290 + 189 = 2011 ⇒ K = N − K = 2504 − 2011 = 493 SV Vậy có 493 SV không học môn 03 môn: Pascal, Fortran C Bài 18: Hãy tìm số đỉnh, số cạnh, số bậc đỉnh xác định đỉnh cô lập, đỉnh treo, ma trận liền kề, ma trận liên thuộc đồ thị vô hướng sau: Giải Câu 18.1 Số đỉnh: Số cạnh: 11 Đỉnh cô lập: D Đỉnh treo: Tên đỉnh Bậc định Ma trận liền kề: 0  0 0  0 1  0  0 1    A B  C  Ma trận liên thuộc:  D E  G H  I e1 = (a, c) e = (a, e)  đó:  e3 = (a, i ) e4 = (b, e) a 0 0 1 e1 1 0 0 0 1 b 0 0 0 0 e2 0 0 C d e g h i 1  0 1  0 , thứ tự đỉnh: a, b, c, d, e, g, h, i 0  0  1  e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11   0 0 0 0 0 0 0  1 0 0 0 0 0  0 1 0  0 1 0 0 0 1  0 0  1 0 0 e3 0 0 0 0 0 e4 0 0 e5 e   e7 e8 = (b, h) = (c, e ) = (c , g ) = (c, i ) e9 = (e, g )  e10 = (e, g ) e = (h, i )  11 Câu 18.2 a b c d e Số đỉnh: Số cạnh: 12 Đỉnh cô lập: Đỉnh treo: Tên đỉnh Bậc định Ma trận liền kề: 1  3 0  0 1    a b Ma trận liên thuộc:  c d  e  đó: e1 = (a, a ) e = (a, b)   e3 = (a, b) e4 = (a, b) a 0 1 e1 0 0 0 b e2 1 0 c d e 1  1  , thứ tự đỉnh: a, b, c, d,  1  e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 e5 = (a, e) e = (b, e)   e7 = (b, d ) e8 = (c, c ) e10 0 1 e9 = (c, d ) e = (c, d )  10  e11 = (c, d ) e12 = (d , e) e11 0 1 e12         Bài 19: Hai đơn đồ thị với ma trận liền kề sau có đẳng cấu không? Gọi n1, n2 số đỉnh phần (n + n2 = v) Vì đơn đồ thị phân đôi nên số cạnh nhiều đơn đồ thị phân đôi đủ, tức là: K n1 ,n2 Khi đó, số cạnh nhiều là: n = n1 × n2 ⇔ e ≤ n1n2 (2) Ta dễ dàng có được: (n1 − n2 ) ≥ ⇔ n12 − 2n1n2 + n22 ≥ ⇔ n12 + 2n1n2 + n22 ≥ 4n1n2 (n1 + n2 )2 v2 (2) ⇔ ≥ n1n2 ≥ e  → ≥ e (đpcm) 4 Bài 23: (3.4) Hãy vẽ đồ thị vô hướng biểu diễn ma trận sau: 1  b   1 1 3  ÷ a  ÷ 3 0÷   0 1 0  1 c   0 4  1 ÷ 0÷ 1÷ ÷ 0 3 1 0 4 ÷ 0÷ 1÷ ÷ 2÷ 3÷  Giải A C A B C D B h.a h.b A B C D E h.c Bài 24: (3.6) Tìm ma trận liền kề cho đồ thị sau: a.Kn b.Cn c.Wn d.Km,n e.Qn Giải  1 1   ÷  1 1 ÷  1 1 ÷  ÷ a.K n :  1 1 ÷  ÷  ÷ 1 1  ÷  1 1 ÷   0  1 0  c.Wn :    1 1  0 1 0 0 1  0   ÷ 1 0  ÷  1 0 ÷  ÷ b.Cn :  0 0 ÷  ÷  ÷  0 0 ÷  0 ÷    7m 48 64 7n 48  1   ÷ ÷ 1÷  ÷   ÷ 1÷   ÷ ÷  ÷ ÷ d K m , n :  m n  48 64 48 ÷ ÷   ÷ ÷  ÷ 1÷   ÷  0÷  ÷     Bài 25: (3.8) Hai đồ thị với ma trận liền kề sau có đẳng cấu với không? 0  1 0  1 0 0 1 ÷ 1÷ (h.1) 1÷ ÷ 0 0  1 1  1 Giải 0 1 0 1 ÷ 1÷ (h.2) 1÷ ÷ 0 Hai đồ thị với ma trận liền kề đẳng cấu với vì: chúng có số cạnh khác nhau: đồ thị thứ có cạnh, đồ thị thứ hai có cạnh Bài 26: (3.9) Hai đồ thị với ma trận liền kề sau có đẳng cấu với không? 1  1 0  0 0 0 ÷ 1÷ (h.1) 0 1÷ ÷ 1 0 0  0 1  1 0 1 ÷ 1 0÷ (h.2) 0 0÷ ÷ 1 Giải Thưa thầy, theo em nghĩ hai ma trận liên thuộc hai ma trận liền kề Và hai ma trận liên thuộc chúng đẳng cấu với vì:    v1  v2   v3 v  e1 e 1 0 e3 e4 0 1 1 e5  ÷ 0÷ ÷( h.1') ÷ 1÷ 0÷  Xét ánh xạ f từ V1 lên V2 cho:   '  v1  v2'  '  v3  v'  e1' e2' e3' e4' 0 1 1 0 1 e5'  ÷ 1÷ ÷(h.2 ') ÷ 0÷ 1÷  ' '  f (v1 ) = v1 _& _ f (v2 ) = v2 ;  ' ' , đồng thời  f (v3 ) = v3 _& _ f (v4 ) = v4 ; biểu diễn lại đồ thị ma trận liên thuộc hình (h.2’) Trong đó, cạnh e2'  → e5'  → e3'  → e1'  → e4' theo thứ tự: Lúc này, hai ma trận liên thuộc hoàn toàn giống Vì chúng đẳng cấu với   '  v1  v2'  '  v3  v'  e1' e2' e3' e4' 0 1 1 0 1  e5'  ÷  ' 1÷  v1 ÷(h.2 ') ⇒  v2' ÷  ' 0÷  v3  ' 1÷   v4 e2' e5' e3' 1 0 0 1 e1' e4'  ÷ 0÷ ÷(h.2 '') ÷ 1÷ 0÷  Bài 27: (3.10) Các cặp đồ thị sau có đẳng cấu với không? Giải Bài hoàn toàn giống số 20 giải Bài 28: (3.11) Cho V = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} E tập hợp cặp phần tử (u, v) V cho u < v u với v số nguyên tố Hãy vẽ đồ thị có hướng G = ( V , E ) Tìm số đường phân biệt độ dài từ đỉnh tới đỉnh Giải Bài 29: (3.12) Hãy tìm số đường độ dài n hai đỉnh liền kề (t.ư không liền kề) tùy ý K3,3 với giá trị n sau: a n = 2, b n = 3, c n = 4, d n = Giải (I) (II) Cách 1: Hai đỉnh liền kề phải phần khác Một cạnh nối từ đỉnh phần (I) đến đỉnh phần (II) ngược lại Gọi m số đường đỉnh K3,3 có độ dài n TH1: n chẵn Nếu n chẵn đỉnh đầu đỉnh cuối đường phải phần, chúng liền kề TH2: n lẻ Nếu n lẻ đỉnh đầu đỉnh cuối đường phải phần khác nhau, chúng phải liền kề (vì K3,3) Mặc khác đỉnh phần có phương án để qua đỉnh phần Do ta có kết luận sau đây: o Hai đỉnh liền kề, n chẵn: m = 0, o Hai đỉnh liền kề, n lẻ: m = 3n-1, o Hai đỉnh không liền kề, n chẵn: m = 3n-1, o Hai đỉnh không liền kề, n lẽ: m = Áp dụng cho trường hợp: Độ dài đường Số đường (giữa đỉnh liền kề) Số đường (2 đỉnh không liền kề) Cách 2: n=2 n=3 n=4 27 n=5 81 0 0 1   ÷ 0 1  ÷ 0 0 1 ÷ K3,3 có ma trận liền kề:  ÷ 1 1 0 0÷ 1 1 0 0÷  ÷ ÷ 1 1 0 0 Ta dễ dàng chứng minh (bằng quy nạp):  3n −1 3n −1 3n −1 0   n −1 n −1 n −1 ÷ 3 0  ÷ n − n − n − 3 3 0 ÷ An =  ÷, n = 2k n −1 n −1 n −1 0 3 ÷   0 3n −1 3n −1 3n −1 ÷  ÷ n −1 n −1 n −1 ÷ 0 3       n A =  n −1 3  3n −1  n −1 3 0 3n −1 3n −1 3n −1 0 3n −1 3n −1 3n −1 3n −1 3n −1 3n −1 0 3n −1 3n −1  ÷ 3n −1 3n −1 ÷ 3n −1 3n −1 ÷ ÷, n = 2k + 0 ÷ 0 ÷ ÷ 0 ÷  Theo định lý [543], số đường có độ dài n từ đỉnh i đến đỉnh j giá trị phần tử ai,j ma trận An Do ta có kết sau: Độ dài đường Số đường (giữa đỉnh liền kề) Số đường (giữa đỉnh không liền kề) n=2 n=3 n=4 27 n=5 81 BÀI TẬP CHƯƠNG III Bài 30: (4.1) Với giá trị n đồ thị sau đồ thị Euler? a Kn b Cn c Wn d Qn Giải Điều kiện cần đủ để đồ thị đồ thị Euler tất đỉnh có bậc chẵn a Kn: Vì đỉnh Kn có số bậc n – Để K n đồ thị Euler n – = chẵn Do n phải lẻ (n >= 3) b Cn: Vì đỉnh Cn có bậc nên Cn đồ thị Euler c Wn: Trừ đỉnh có bậc n – 1, lại đỉnh khác có bậc 3, đồ thị Euler d Qn: Vì đỉnh có bậc n, để Qn đồ thị Euler n chẵn Bài 31: (4.2) Với giá trị m n đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n có: a Chu trình Euler b Đường Euler Giải a Vì đỉnh đồ thị phân đôi đủ Km,n có bậc m n Do vậy, để đồ thị Euler m n phải chẵn b Để đồ thị có đường Euler phải có đỉnh bậc lẻ, đỉnh lại có bậc chẵn Do giá trị m, n phải 2, giá trị lại phải số lẻ Bài 32: (4.3) Với giá trị m n đồ thị phân đôi đầy đủ K m,n có chu trình Hamilton Giải Cách 1: Theo định lý Đirác, G đơn đồ thị có n đỉnh đỉnh G n G đồ thị Hamilton Với Km,n, đỉnh có bậc n ≥ (n + m) / ⇔m≤n≤m⇔n=m m n, để đồ thị Hamilton thì:   m ≥ ( n + m) / có bậc không nhỏ Cách 2: Theo định lý Ore G đơn đồ thị có n đỉnh hai đỉnh không kề có tổng số bậc không nhỏ n G đồ thị Hamilton Với Km,n đỉnh không kề có bậc n m Do đó, để  ( n + n ) ≥ ( n + m) ⇔m≤n≤m⇔n=m  ( m + m ) ≥ ( n + m) đồ thị Hamilton thì:  Cách 3: Theo định lý 4.2.6 G đồ thị phân đôi với hai tập đỉnh V 1, V2 có số đỉnh n (n ≥ 2) bậc đỉnh lớn n G đồ thị Hamilton Do vậy, m = n hiển nhiên Km,n đồ thị Hamilton Bài 33: (4.4) Chứng minh đồ thị lập phương Qn đồ thị Hamilton Vẽ liệt kê tất chu trình Hamilton đồ thị lập phương Q3 Giải a Chứng minh Qn đồ thị Hamilton: Dùng mã Gray để giải toán này, ta chứng minh quy nạp toán học sau: Với n = 1: hiển nhiên với mã: 0, Giả sử toán với n = k, tức ta có mã: a1 → a2 → a3 → → aq −1 → aq (q = 2k ) Ta phải chứng minh toán với n = k + Điều hiển nhiên ta gắn thêm ký tự vào mã theo cách sau: 0a1 → 0a2 → 0a3 → → 0aq −1 → 0aq → 1aq → 1aq −1 → → 1a3 → 1a2 → 1a1 ( q = k ) Vậy toán với n, toán chứng minh b Vẽ liệt kê tất chu trình Hamilton Q3: 00 00 01 01 10 10 01 11 10 11 010 111 100 111 001 111 100 111 001 111 010 111 110 101 110 011 101 110 101 011 011 110 011 101 111 100 111 010 111 100 111 001 111 010 111 001 101 110 011 110 110 101 011 101 110 011 101 011 100 010 010 100 100 001 001 100 010 001 001 010 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Bài 34: (4.5) Trong họp có 15 người ngày ngồi với quanh bàn tròn lần Hỏi có cách xếp cho lần ngồi họp, người có hai người bên cạnh bạn mới, xếp Giải Bài 35: (4.6) Hiệu trưởng mời 2n (n ≥ 2) sinh viên giỏi đến dự tiệc Mỗi sinh viên giỏi quen n sinh viên giỏi khác đến dự tiệc Chứng minh luôn xếp tất sinh viên giỏi ngồi xung quanh bàn tròn, để người ngồi hai người mà sinh viên quen Giải Xét đồ thị G = (V, E), đó: V tập sinh viên đến dự tiệc; E = (u,v) với u, v thuộc V u, v có quen biết Theo cách xác lập đồ thị đơn đồ thị có 2n đỉnh, đỉnh có bậc tối thiểu n (vì sinh viên quen với n sinh viên khác) Do đó, theo định lý Đirac (4.2.3) G đồ thị Hamilton Mặc khác, đồ thị vô hướng nên toán chứng minh Bài 36: (4.7) Một ông vua xây dựng lâu đài để cất báu vật Người ta tìm thấy sơ đồ lâu đài (hình sau) với lời dặn: muốn tìm báu vật, cần từ phòng bên (số 1, 2, 6, 10, ), qua tất cửa phòng, cửa lần; báu vật giấu sau cửa cuối Hãy tìm nơi giấu vật 10 11 14 13 12 15 16 17 18 21 20 19 Giải Báu vật giấu sau cửa từ phòng 19 qua phòng 18 Sau đường để tìm báu vật: 6-2-1-4-3-7-11-12-8-13-12-17-16-2021-17-18-13-14-9-5-4-2-5-6-10-15-14-19-18 Bài 37: (4.8) Đồ thị cho hình sau gọi đồ thị Peterson P a Tìm đường Hamilton P b Chứng minh P \ {v}, với v đỉnh P, đồ thị Hamilton a e b g f h k d i c Giải a Tìm đường Hamilton G: a→b→c→d →e→ f →h→k → g →i b Ta chia G thành nhóm: a, b, c, d, e f, g, h, i, k Các phần tử nhóm có vai trò giống nhau, toán có trường hợp tổng quát TH1: bỏ điểm a: i → f →e→d →c →b→h →k → g →i TH2: bỏ điểm f: h →k →d →e →a → g →i →c →b →h Bài 38: (4.9) Giải toán người đua thư Trung Hoa với đồ thị cho hình sau đây: Giải Bài 39: (4.10) Chứng minh đồ thị G cho hình sau có đường Hamilton (từ s đến r) chu trình Hamilton s d r c e g b f a h Giải Đường Hamilton từ r đến s: s → a → b → c → e → d → g → f → h → r Giả sử có chu trình Hamilton để qua đỉnh s phải qua 02 đỉnh a c, đồng thời để qua đỉnh b phải qua 02 đỉnh a c Như 02 đỉnh a c phải qua 02 lần Điều không đồ thị Hamilton ngoại trừ đỉnh đầu đỉnh cuối đỉnh chu trình qua 02 lần (bài toán chứng minh) Bài 40: (4.11) Cho thí dụ về: Đồ thị có chu trình vừa chu trình Euler vừa chu trình Hamilton Đồ thị có chu trình Euler chu trình Hamilton, hai chu trình không trùng Đồ thị có đỉnh, đồ thị Hamilton, đồ thị Euler Đồ thị có đỉnh, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton Giải Một chu trình vừa chu trình Euler, vừa chu trình Hamilton Một chu trình Euler, chu trình Hamilton không trùng a b f c e Chu trình Euler: Chu trinh Hamilton: d a→b→ c→ e→ a→ c→ d → e→ f → a a→b→c→d →e→ f →a Đồ thị Hamilton đỉnh đồ thị Euler (h.1) a b f c Đồ đồ Hamilton (h.2) d e thị Euler đỉnh Bài 41: (4.12) h.2 h.1 Chứng minh mã qua tất ô bàn cờ có x x ô vuông, ô lần, trở chỗ cũ Giải 13 10 14 11 15 10 13 14 15 17 18 19 20 22 23 24 25 11 12 16 21 12 16 Ta xem đồ thị với ô cờ đỉnh, (u,v) cạnh mã từ u đến v Bài toán trở thành xác định xem đồ thị G1 G2 tương ứng với bàn cờ 4x4 5x5 có phải đồ thị Hamilton không? Ta chứng minh toán phương pháp phản chứng (tương tự 39 - 4.10), tức giả sử đồ thị G1 G2 đồ thị Hamilton Từ G1 ta nhận thấy, chu trình Hamilton muốn qua đỉnh phải qua 02 đỉnh 11, đồng thời muốn qua đỉnh 13 phải qua 02 đỉnh 11 Như vậy, đỉnh 11 phải lặp lại 02 lần, điều trái với giả thuyết G1 đồ thị Hamilton (vì có đỉnh đầu đỉnh cuối lặp lại) Tức G1 đồ thị Hamilton (đpcm) Tương tự G2, chu trình Hamilton (nếu có): để qua đỉnh phải qua đỉnh 12, muốn qua đỉnh phải qua đỉnh 14, muốn qua đỉnh 25 phải qua đỉnh 14 18, muốn qua đỉnh 12 phải qua đỉnh 18 12 Như đỉnh 8, 14, 18, 12 phải qua hai lần, điều không với đồ thị Hamilton Vậy G2 đồ thị Hamilton (đpcm) BÀI Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính có "password" dài từ đến ký tự, ký tự chữ in hoa ký số thập phân Mỗi "password" phải có ký số Hỏi có password khác ? Bài Giải Do Bài toán phép đếm nên ta sẽ: Đặt P số lượng tất "password", P 6, P7, P8 số "password" có độ dài 6, 7, Do qui tắc cộng ta có P = P + P7 + P8 Chúng ta tính P6, P7, P8 Tính trực tiếp P6 tương đối khó Để tính P6 cho dễ, ta tính số chuỗi có độ dài gồm chữ in hoa hay ký số thập phân, kể chuỗi ký số thập phân, trừ cho số chuỗi (với độ dài 6) ký số thập phân Theo qui tắc nhân, số chuỗi gồm ký tự 36 số chuỗi ký số 266 Suy P6 = 366 - 266 = 176 782 336 - 308 915 776 = 867 866 560 Tương tự, ta tính : P7 = 367 - 267 = 78 364 164 096 - 031 810 176 = 70 332 353 920 P8 = 368 - 268 = 821 109 907 456 - 208 827 064 576 = 612 282 842 880 Từ ta tính : P = P6 + P7 + P8 = 684 483 063 360 Trong version ngôn ngữ BASIC tên biến chuỗi gồm ký tự, ký tự mẫu tự ký số thập lục phân không phân biệt chữ in hoa chữ thường Hơn nữa, tên biến phải bắt đầu mẫu tự tên biến phải khác với chuỗi gồm ký tự dành riêng cho ngôn ngữ Hỏi có tên biến khác version nầy BASIC Bài Giải Đặt V số tên biến khác version nầy BASIC, V1 số biến gồm ký tự, V2 số biến gồm hai ký tự Theo qui tắc cộng ta có V = V1 + V2 Vì biến gồm ký tự phải mẫu tự nên V1 = 26 Ngoài ra, theo qui tắc nhân ta có 26.36 chuỗi có độ dài với ký tự đầu mẫu tự ký tự kế mẫu tự ký số thập phân Tuy nhiên, có chuỗi bị loại nên V2 = 26.36 - = 931 Vậy có V = V1 + V2 = 26 + 931 = 957 tên khác cho biến version nầy BASIC [...]... Hamilton của đồ thị lập phương Q3 Giải a Chứng minh Qn là đồ thị Hamilton: Dùng mã Gray để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp toán học như sau: Với n = 1: hiển nhiên đúng với 2 mã: 0, 1 Giả sử bài toán đúng với n = k, tức là ta đã có mã: a1 → a2 → a3 → → aq −1 → aq (q = 2k ) Ta phải chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 Điều này hiển nhiên đúng khi ta gắn thêm 2 ký tự 0 và 1 vào các mã này... vào ma trận liền kề của hai đơn đồ thị ta có thể vẽ lại các đồ thị bằng hình vẽ: U U V V 1 2 1 2 U U V V 4 3 4 3 Theo hình vẽ của hai đơn đồ thị ta thấy chúng không có cùng số cạnh, một bên có 4 cạnh và một bên có 5 cạnh Vậy hai đồ thị có ma trận liền kề đã cho ở trên không đẳng cấu Bài toán này có thể không cần vẽ hình lại cũng được, từ ma trận kề ta cũng có thể dễ dàng xác định được số cạnh của mỗi... đầu và đỉnh cuối thì không có đỉnh nào chu trình đi qua 02 lần (bài toán đã được chứng minh) Bài 40: (4.11) Cho thí dụ về: 1 Đồ thị có một chu trình vừa là chu trình Euler vừa là chu trình Hamilton 2 Đồ thị có một chu trình Euler và một chu trình Hamilton, nhưng hai chu trình đó không trùng nhau 3 Đồ thị có 6 đỉnh, là đồ thị Hamilton, nhưng không phải là đồ thị Euler 4 Đồ thị có 6 đỉnh, là đồ thị Euler,... Hamilton (đpcm) BÀI 1 Mỗi người sử dụng trên một hệ thống máy tính có một "password" dài từ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi ký tự là một chữ in hoa hoặc là một ký số thập phân Mỗi "password" phải có ít nhất một ký số Hỏi có bao nhiêu password khác nhau ? Bài Giải Do đây là Bài toán trong phép đếm nên ta sẽ: Đặt P là số lượng tất cả các "password", và P 6, P7, P8 lần lượt là số các "password" có độ dài 6,... điểm f: h →k →d →e →a → g →i →c →b →h Bài 38: (4.9) Giải bài toán người đua thư Trung Hoa với đồ thị được cho trong hình sau đây: Giải Bài 39: (4.10) Chứng minh rằng đồ thị G cho trong hình sau có đường đi Hamilton (từ s đến r) nhưng không có chu trình Hamilton s d r c e g b f a h Giải Đường đi Hamilton từ r đến s: s → a → b → c → e → d → g → f → h → r Giả sử có chu trình Hamilton thì để đi qua đỉnh... ÷ 1 1÷ 1 0÷  Bài 27: (3.10) Các cặp đồ thị sau có đẳng cấu với nhau không? Giải Bài này hoàn toàn giống bài số 20 đã giải ở trên Bài 28: (3.11) Cho V = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và E là tập hợp các cặp phần tử (u, v) của V sao cho u < v và u với v là các số nguyên tố cùng nhau Hãy vẽ đồ thị có hướng G = ( V , E ) Tìm số đường đi phân biệt độ dài 3 từ đỉnh 2 tới đỉnh 8 Giải 2 3 7 8 4 6 Bài 29: (3.12)... (V, E), trong đó: V là tập các sinh viên đến dự tiệc; E = (u,v) với u, v thuộc V và u, v có quen biết nhau Theo cách xác lập đồ thị ở trên thì đây là đơn đồ thị có 2n đỉnh, mỗi đỉnh có bậc tối thiểu là n (vì mỗi sinh viên quen với ít nhất n sinh viên khác) Do đó, theo định lý Đirac (4.2.3) thì G là đồ thị Hamilton Mặc khác, đây là đồ thị vô hướng nên bài toán đã được chứng minh Bài 36: (4.7) Một ông... đều có bậc chẵn a Kn: Vì mỗi đỉnh của Kn có số bậc bằng nhau và bằng n – 1 Để K n là đồ thị Euler thì n – 1 = chẵn Do vậy n phải lẻ (n >= 3) b Cn: Vì mọi đỉnh của Cn đều có bậc là 2 nên Cn luôn là đồ thị Euler c Wn: Trừ một đỉnh có bậc là n – 1, còn lại các đỉnh khác đều có bậc là 3, do vậy đây không thể là đồ thị Euler d Qn: Vì mọi đỉnh đều có bậc là n, do vậy để Qn là đồ thị Euler thì n chẵn Bài. .. đỉnh nhưng Bài 41: (4.12) h.2 h.1 Chứng minh rằng con mã không thể đi qua tất cả các ô của một bàn cờ có 4 x 4 hoặc 5 x 5 ô vuông, mỗi ô chỉ một lần, rồi trở về chỗ cũ Giải 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 10 14 11 15 4 5 9 10 13 14 15 17 18 19 20 22 23 24 25 1 2 6 7 11 12 16 21 3 8 12 16 Ta có thể xem đây là một đồ thị với mỗi ô cờ là một đỉnh, mỗi (u,v) là một cạnh nếu con mã có thể đi từ u đến v Bài toán trở thành...  Bài 25: (3.8) Hai đồ thị với ma trận liền kề sau đây có đẳng cấu với nhau không? 0  1 0  1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 ÷ 1÷ (h.1) 1÷ ÷ 0 0  1 1  1 Giải 1 0 0 1 1 0 0 1 1 ÷ 1÷ (h.2) 1÷ ÷ 0 Hai đồ thị với ma trận liền kề ở trên không thể đẳng cấu với nhau vì: chúng có số cạnh khác nhau: đồ thị thứ nhất có 4 cạnh, đồ thị thứ hai có 5 cạnh Bài 26: (3.9) Hai đồ thị với ma trận liền kề sau đây có ... 9: Cần phải có SV ghi tên vào lớp TRR để chắn có 65 SV đạt điểm thi, giả sử thang điểm thi gồm 10 bậc Giải Gọi n số sinh viên tối thi u thỏa mãn đề bài, theo nguyên lý Dirichlet = 65 Do n = 10... đỉnh lớn n G đồ thị Hamilton Do vậy, m = n hiển nhiên Km,n đồ thị Hamilton Bài 33: (4.4) Chứng minh đồ thị lập phương Qn đồ thị Hamilton Vẽ liệt kê tất chu trình Hamilton đồ thị lập phương Q3 Giải... thị cho hình sau gọi đồ thị Peterson P a Tìm đường Hamilton P b Chứng minh P {v}, với v đỉnh P, đồ thị Hamilton a e b g f h k d i c Giải a Tìm đường Hamilton G: a→b→c→d →e→ f →h→k → g →i b