THÔNG TIN TÀI LIỆU
TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN THÚ VỊ 1 TỪ MỘT LỜI GIẢI ĐI ĐẾN BÀI TOÁN TỔNG QUÁT .4 TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN THÚ VỊ Khi giải phương trình bậc hai, đã bao giờ bạn từng đặt câu hỏi, chẳng hạn tại sao phương trình x 2 + 6x - 3 = 0 có nghiệm là thì cũng có nghiệm là ? Ban đầu tôi giải thích điều kì lạ này bằng định lí Viét nhưng sau quá trình suy nghĩ, tìm tòi tôi mới phát hiện ra những bí ẩn tuyệt vời đằng sau điều kì lạ đó. Trước hết ta xét bài toán : Bài toán 1 : Chứng minh rằng : Nếu phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ, có một nghiệm vô tỉ là (m ; n thuộc Q) thì sẽ có một nghiệm nữa là . Chứng minh : Có 3 cách để chứng minh bài toán này. Cách 1 : (sử dụng hệ thức Viét) Xét phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (*) (a ≠ 0) có một nghiệm là . Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của (*) trong đó x 1 = . Do x 1 là nghiệm của (*) Cách 2 : Khi chứng minh như ở cách 1 và được 2am + b = 0 => 2am + b = 0 = am 2 + an + bm + c Khi đó : Cách 3 : Xét : = (x - m) 2 - n = x 2 - 2mx + m 2 - n Chia đa thức ax 2 + bx + c cho g(x) ta có : ax 2 + bx + c = a(x - )(x - ) + (b + 2ma)x + (an + c - m 2 a) Khi x 1 = => ax 2 + bx + c = 0. => : (b + 2ma)( ) + an + c = 0. Do vô tỉ ; m, n, a, b, c thuộc Q nên => : b + 2ma = an + c - m 2 a = 0 => ax 2 + bx + c = a(x - )(x - ) => là một nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (đpcm). Sau khi thử nghiệm một số trường hợp, tôi đã tổng quát bài toán như sau : Bài toán 2 : Chứng minh rằng : Nếu một phương trình bậc n (n ≥ 2) có hệ số hữu tỉ và một nghiệm vô tỉ là (m, n thuộc Q) thì cũng là một nghiệm của phương trình này. Chứng minh : Đến đây có lẽ bạn đọc cũng thấy được sự bất lực của các cách 1 ; 2 (bài toán 1) trong bài toán này. Tuy nhiên sử dụng cách giải 3 bài toán 1 ta sẽ chứng minh được bài toán 2. Thật vậy : Xét phương trình P(x) = 0 với P(x) là đa thức bậc n và hệ số hữu tỉ. Xét : = x 2 - 2mx + m 2 - n Chia P(x) cho G(x) được thương là Q(x) dư B(x) + C (B,C thuộc Q). Vì x 0 = là nghiệm của P(x) = 0 => : P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 => Bx 0 + C = 0 => : B( ) + C = 0. Do vô tỉ ; B, C hữu tỉ => B = C = 0 => P(x) = Q(x).(x - )(x - ) => cũng là nghiệm của phương trình P(x) = 0 : (đpcm). Bây giờ chúng ta xét đến bài toán 3 cũng là một bài toán quen thuộc về phương trình bậc hai. Bài toán 3 : Chứng minh rằng : Một phương trình bậc hai không thể có nghiệm hữu tỉ nếu các hệ số của nó đều lẻ. Chứng minh : Giả sử phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c thuộc Z, lẻ) có nghiệm hữu tỉ là (p, q thuộc Z, q ≠ 0, (p, q) = 1) => : a.(p/q) 2 + b.(p/q) + c = 0 => : ap 2 + bpq + cq 2 = 0 (2) Từ phương trình (2) ta có ap 2 chia hết cho q mà (p,q) = 1 => a chia hết cho q => q lẻ (vì a lẻ) Tương tự c chia hết cho p => p lẻ (vì c lẻ) Do a, b, c, p, q lẻ => vế trái (2) lẻ và khác 0 (vô lí). => : Phương trình không có nghiệm hữu tỉ (đpcm). Để tổng quát bài toán này có lẽ một số bạn sẽ mắc sai lầm khi quy về phương trình bậc n bất kì. Điều này không đúng với n lẻ, chẳng hạn n = 3 ta có phương trình : x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0 vẫn có nghiệm -1. Bài toán 4 : Chứng minh rằng : Một phương trình bậc n chẵn, không thể có nghiệm hữu tỉ nếu hệ số của nó đều lẻ. Chứng minh : Dựa vào chứng minh của bài toán 3 ta có : Xét P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + . + a 1 x + a 0 = 0 là phương trình bậc n (với n chẵn ; a i nguyên lẻ, i = 0, .,n ) có nghiệm hữu tỉ là p/q (p, q thuộc Z, q ≠ 0, (p, q) = 1) Ta có : a n (p/q) n + a n - 1 (p/q) n - 1 + . + a 1 (p/q) + a 0 = 0 Tương đương với : a n p n + a n - 1 p n - 1 q + . + a 1 pq n - 1 + a 0 q n = 0 (3) => a n p n chia hết cho q và a 0 q n chia hết cho p , mà (p, q) = 1 => a n chia hết cho q và a 0 chia hết cho p . => TRC NGHIM KHCH QUAN Chng 1: CN BC HAI CN BC BA KIN THC CN NH A = A A.B = A B ( Vi A v B ) A A = B B ( Vi A v B > ) ( Vi B ) B = A B ( Vi A v B ) B = A B ( Vi A< v B ) A A A = AB B B A B = A B A B C = A B B A B C = A B ( Vi AB v B ) ( Vi B > ) C( A + B) A B2 = ( Vi A v A B ) C ( A + B) AB ( Vi A , B V A B ) BI TP TRC NGHIM Cõu 1: Cn bc hai s hc ca l: A -3 B C D 81 Cõu 2: Cn bc hai ca 16 l: A B - C 256 D Cõu 3: So sỏnh vi ta cú kt lun sau: A 5> B 5< C = D Khụng so sỏnh c Cõu 4: x xỏc nh v ch khi: A x > B x < C x Cõu 5: x + xỏc nh v ch khi: A x B x < Cõu 6: ( x 1)2 bng: A x-1 B 1-x Cõu 7: (2 x + 1) bng: A - (2x+1) B x + Cõu 8: x =5 thỡ x bng: A 25 B Cõu 9: 16 x y bng: A 4xy2 B - 4xy2 C x D x D x C x D (x-1)2 C 2x+1 D x + C D 25 C x y D 4x2y4 Cõu 10: Giỏ tr biu thc 7+ + bng: 7+ A C 12 B Cõu 11: Giỏ tr biu thc A -8 3+ 2 D 12 + bng: 32 B C 12 Cõu12: Giỏ tr biu thc A -2 2+ + B D -12 bng: C D Cõu13: Kt qu phộp tớnh l: A - B - C - D Mt kt qu khỏc Cõu 14: Phng trỡnh x = a vụ nghim vi : A a < B a > C a = D mi a 2x khụng cú ngha Cõu 15: Vi giỏ tr no ca x thỡ b.thc sau A x < B x > C x D x Cõu 16: Giỏ tr biu thc 15 6 + 15 + 6 bng: A 12 B 30 C D Cõu 17: Biu thc (3 ) cú gớa tr l: A - B -3 C D -1 a2 A a4 vi b > bng: 4b2 2b2 Cõu 18: Biu thc a 2b D b B a b C -a b Cõu 19: Nu + x = thỡ x bng: A x = 11 B x = - C x = 121 Cõu 20: Giỏ tr ca x x + = l: A x = 13 B x =14 C x =1 B Cõu 22: Biu thc A ab b 2 B - C a b D bng: Cõu 23: Giỏ tr biu thc A D x =4 a a b + bng: b b a Cõu 21: Vi a > 0, b > thỡ A D x = C -2 ( B - Cõu 24: Giỏ tr biu thc ) bng: C -1 5 D - D bng: 2a b A B Cõu 25: Biu thc A x v x C 2x xỏc nh khi: x2 B x v x D C x D x 2 Cõu 26: Biu thc x + cú ngha khi: A x B x C x D x 3 x 9x 45 = l: Cõu 27: Giỏ tr ca x 4x 20 + A 2 B C D C A, B, C u sai xx Cõu 28: vi x > v x thỡ giỏ tr biu thc A = A x B - x C x Cõu 29: Giỏ tr biu thc A B 20 1 + bng: 25 16 C 20 x l: D x-1 D Cõu 30: (4 x 3) bng: A - (4x-3) B x C 4x-3 D x + Chng II: HM S BC NHT KIN THC CN NH Hm s y = a.x + b ( a ) xỏc nh vi mi giỏ tr ca x v cú tớnh cht: Hm s ng bin trờn R a >0 v nghch bin trờn R a < Vi hai ng thng y = a.x + b ( a ) (d) v y = a '.x + b ' ( a ' ) (d) ta cú: a a' (d) v (d) ct a = a ' v b b ' (d) v (d) song song vi a = a ' v b = b ' (d) v (d) trựng a.a= - (d) va (d) vuông góc với BI TP TRC NGHIM Cõu 32: Trong cỏc hm sau hm s no l s bc nht: A y = 1- x B y = 2x C y= x2 + D y = x + Cõu 33: Trong cỏc hm sau hm s no ng bin: A y = 1- x B y = 2x C y= 2x + D y = -2 (x +1) Cõu 34: Trong cỏc hm sau hm s no nghch bin: A y = 1+ x B y = 2x C y= 2x + D y = -2 (1-x) Cõu 35: Trong cỏc im sau im no thuc th hm s y= 2-3x A.(1;1) B (2;0) C (1;-1) D.(2;-2) Cõu 36: Cỏc ng thng sau ng thng no song song vi ng thng: y = -2x A y = 2x-1 B y = ( + x ) C y= 2x + D y = -2 (1+x) Cõu 37: Nu ng thng y = -3x+4 (d1) v y = (m+1)x + m (d2) song song vi thỡ m bng: A - B C - D -3 Cõu 38: im thuc th hm s y = 2x-5 l: A.(4;3) B (3;-1) C (-4;-3) D.(2;1) Cõu 39: Cho h to Oxy ng thng song song vi ng thng y = -2x v ct trc tung ti im cú tung bng l : A y = 2x-1 B y = -2x -1 C y= - 2x + D y = -2 (1-x) Cõu 40 : Cho ng thng y = 1 x + v y = - x + hai ng thng ú 2 A Ct ti im cú honh l C Song song vi B Ct ti im cú tung l D Trựng Cõu 41: Cho hm s bc nht: y = (m-1)x - m+1 Kt lun no sau õy ỳng A Vi m> 1, hm s trờn l hm s nghch bin B Vi m> 1, hm s trờn l hm s ng bin C vi m = th hm s trờn i qua gc to C vi m = th hm s trờn i qua im cú to (-1;1) 2 Cõu 42: Cho cỏc hm s bc nht y = x + ; y = - x + ; y = -2x+5 Kt lun no sau õy l ỳng A th cỏc hm s trờn l cỏc ng thng song song vi B th cỏc hm s trờn l cỏc ng thng i qua gc to C Cỏc hm s trờn luụn luụn nghch bin D th cỏc hm s trờn l cỏc ng thng ct ti mt im Cõu 43: Hm s y = m ( x + 5) l hm s bc nht khi: A m = B m > C m < D m Cõu 44: Hm s y = m+2 x + l hm s bc nht m bng: m2 A m = B m - C m D m 2; m - Cõu 45: Bit rng th cỏc hm s y = mx - v y = -2x+1 l cỏc ng thng song song vi Kt lun no sau õy ỳng A th hm s y= mx - Ct trc honh ti im cú honh l -1 B th hm s y= mx - Ct trc tung ti im cú tung bng -1 C Hm s y = mx ng bin D Hm s y = mx nghch bin Cõu 46: Nu th y = mx+ song song vi th y = -2x+1 thỡ: A th hm s y= mx + Ct trc tung ti im cú tung bng B th hm s y= mx+2 Ct trc honh ti im cú honh l C Hm s y = mx + ng bin D Hm s y = mx + nghch bin Cõu 47: ng thng no sau õy khụng song song vi ng thng y = -2x + A y = 2x B y = -2x + C y = - ( x + 1) D y =1 - 2x Cõu 48: im no sau õy thuc th hm s y = -3x + l: A.(-1;-1) B (-1;5) C (4;-14) D.(2;-8) Cõu 49: Vi giỏ tr no sau õy ca m thỡ hai hm s ( m l bin s ) y = 2m x + v y = m x cựng ng bin: A -2 < m < B m > C < m < D -4 < m < -2 Cõu 50: Vi giỏ tr no sau õy ca m thỡ th hai hm s y = 2x+3 v y= (m -1)x+2 l hai ng thng song song vi nhau: A m = B m = -1 C m = D vi mi m Cõu 51: Hm s y = (m -3)x +3 nghch bin m nhn giỏ tr: A m 3 C m D m Cõu 52: ng thng y = ax + v y = 1- (3- 2x) song song : A a = B a =3 C a = D a = -2 Cõu 53: Hai ng thng y = x+ v ... Tuyn tp bi tp hỡnh hc lp 9 ụn thi vo 10 THPT Bài 1 .Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F sao cho ã 0 45EAF = . Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh: a) ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp b) CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau n Bài 2. Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD. b) M là tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF. Bài 3. Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Gọi H là điểm chính giữa cung AB, gọi M là một điểm nằm trên cung AH; N là một điểm nằm trên dây cung BM sao cho BN = AM. Chứng minh: 1. AMH = BNH. 2. MHN là tam giác vuông cân. 3. Khi M chuyển động trên cung AH thì đờng vuông góc với BM kẻ từ N luôn đi qua một điểm cố định ở trên tiếp tuyến của nửa đờng tròn tại điểm B. Gợi ý : 3) Gọi đthẳng qua N vuông góc với MB cắt ttuyến tại B ở Q Chứng minh AMB = BNQ BQ = BA = const 1 I BT 3 : Hai pt đồng dạng với nhau khi và chỉ khi Hoặc 1 và 2 nhỏ hơn 0 Hoặc a a , = b b' = c c' a) Chứng minh góc EHM = góc HCD b) MN// AC, AC CD, CD // HE MN HE mà MN là đường kính của vòng tròng ngoại tiếp ABHE MH = ME Từ M kẻ đường thẳng // BE như hình vẽ + PJ là đường TB của hthang BECF PJ FE + Từ đó dễ thấy MF = ME P K J N M F E H D C A B N Q H O A B M Bài 4.Cho (O) đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đờng tròn (O / ) đờng kính BC. Gọi M là trung điểm đoạn AB. Từ M kẻ dây cung DEAB. Gọi I là giao của DC với (O / ) a) Chứng minh ADBE là hình thoi. b) BI// AD. c) I,B,E thẳng hàng . Gọi ý : c: Chứng minh qua B có 2 đờng thẳng: BE và BI Cùng song song với AD Bài 5. Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. 1)Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn 2)Chứng minh AI.BK = AC.CB 3)Giả sử A,B,I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI max. Bài 6. Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đờng tròn đó. 2 I D E M O' A C B x y a/ Chứng minh KPC = KBC = 90 b/ Chứng minh AIC BCK P K A C B I a) Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S,A,E,O,B cùng thuộc một đờng tròn b) Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao? c) Chứmg minh rằng: . . . 2 AB CD AC BD BC DA = = b/ SAOB là hình vuông c/ Lấy E thuộc CD Sao cho ã ã CAE BAD= chứng minh CAE BAD AB.CE = AC. AD (1) CM AB.DE = AC. CB (2) Từ (1) và (2) AB.CD = AC .BD + AD.BC (3) Cminh SAC SDA SA SC SD SB = (4) , AC SA AD SD = (5) SCB SBD BC SC BD SD = (6) Từ 4, 5, 6 AC.BD = AD. BC (7) Từ 3, 7 Đfải CM Bài 7. Cho ABC vuông ở A. Nửa đờng tròn đờng kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. a) Chứng minh: CDEF là một tứ giác nội tiếp. b) Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao? c) Gọi r, r 1 , r 2 là theo thứ tự là bán kính của đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh rằng 2 2 1 2 r r r = + . 3 E C B A O S D O D A C B E r r 2 r 1 a/ CM góc C = góc DEB b/ Chứng minh AQB = QPK( cùng bằng 1/2 sđBD ) + Từ đó suy ra KN là đường trung trực của PQ, QPlà đường trung trực của MN + KL MNPQ là hình thoi c/ CM COB AO 2 B BO BO 2 = r r 2 r 2 r = AB BC ; tương tự tacó r 1 r = AB BC r 2 1 r 2 + r 2 2 r 2 = AB 2 + AC 2 CB 2 = 1 Đpcm O1 O2 D O P L M Q N K F D A B A B C E C Bài 8. Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đ- ờng cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) tại các điểm Tuyển tập các bài toán hình học lớp 9 ôn thi vao 10 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1)Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2)Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3)AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4)H và M đối xứng nhau qua BC. 5)Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: ∠ CEH = 90 0 ( Vì BE là đường cao) ∠ CDH = 90 0 ( Vì AD là đường cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 180 0 Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 90 0 . CF là đường cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 90 0 . Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90 0 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 90 0 ; Â là góc chung => ∆ AEH ∼ ∆ADC => AC AH AD AE = => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 90 0 ; ∠C là góc chung => ∆ BEC ∼ ∆ADC => AC BC AD BE = => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có ∠C 1 = ∠A 1 ( vì cùng phụ với góc ABC) ∠C 2 = ∠A 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => ∠C 1 = ∠ C 2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân tại C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn => ∠C 1 = ∠E 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp ∠C 1 = ∠E 2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) ∠E 1 = ∠E 2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 1 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: ∠ CEH = 90 0 ( Vì BE là đường cao) ∠ CDH = 90 0 ( Vì AD là đường cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 180 0 Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 90 0 . AD là đường cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 90 0 . Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có ∠BEC = 90 0 . Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2 1 BC. 4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => ∠E 1 = ∠A 1 (1). Theo trên DE = 2 1 BC => tam giác DBE cân tại D => ∠E 3 = ∠B 1 (2) Mà ∠B 1 = ∠A 1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => ∠E 1 = ∠E 3 => ∠E 1 + ∠E 2 = ∠E 2 + ∠E 3 Mà ∠E 1 + ∠E 2 = ∠BEA = 90 0 => ∠E 2 + ∠E 3 = 90 0 = ∠OED => DE ⊥ OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED 2 = OD 2 – OE 2 ED 2 Tuyển tập chuyên đề toán THCS trên báo toán học tuổi trẻ http://edufly.vn TỪ MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC THÚ VỊ Trong quá trình giải toán tôi đã phát hiện được khá nhiều bổ đề có thể áp dụng để giải nhiều bài toán khác. Bổ đề sau là một tron số đó. Bổ đề.Với x, y là các số dương ta có: 2 2 2 1 1 8 ( ) x y x y (*) Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta có: 2 2 2 2 2 1 1 2 ( ) 4 . 8 x y xy x y x y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y Sau đây là một số bài toán áp dụng bổ đề (*). Bài toán 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca abc Chứng minh rằng: 2 2 2 8 8 8 2 b c c a a b a b b c c a a b c Lời giải: Sử dụng bổ đề (*) ta có: 8 8 8 a b b c c a 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b b c c a a b b c c a Rút gọn vế phải ta được 2 2 2 2 b c c a a b a b c 1 1 1 a b c Từ đó kết hợp với giả thiết đpcm, đẳng thức xảy ra 3 a b c Bài toán 2: Cho các số a, b, c, thỏa mãn a > b > c.Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 4 2 ( ) ( ) a c ac a b b c Lời giải: Áp dụng bổ đề (*) với x = a- b > 0 và y = b – c >0 ta có: 2 2 1 1 ( ) ( ) a b b c 2 8 ( ) a c (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta được: Tuyển tập chuyên đề toán THCS trên báo toán học tuổi trẻ http://edufly.vn 2 2 ( ) 8 4 2 ( ) a c a c (2) Cộng theo vế của (1) và (2) rồi rút gọn ta được đpcm, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có đẳng thức ở cả (1) và (2) a – b = b – c và 4 ( ) 16 a c a = c +2 và b = c + 1 (c R) Hy vọng các bạn sẽ tìm thấy nhiều điều thú vị nữa xung quanh bổ đề (*) .Sau đây là một số bài luyện tập. Bài toán 3: Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 2 2 2 a b c a b b c c a Bài toán 4: Cho a, b, c là các số dương có tổng bằng 1.Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a b b c c a a b c Bài toán 5: Cho các số dương a, b, c, chứng minh rằng: 2 2 2 b c c a a b a b c 2. 1 1 1 a b c B Chng I: Khỏi quỏt c th ngi 1, phần, quan thể C th ngi gm phn: u, thõn v tay chõn Khoang ngc ngn cỏch vi khoang bng nh c honh C quan nm khoang ngc: tim, phi C quan nm khoang bng: d dy, rut, gan, ty, thn, búng ỏi v c quan sinh sn H c quan Cỏc c quan tng h c quan Chc nng ca h c quan H ng C v xng H tiờu húa Ming, ng tiờu húa, v cỏc tuyn tiờu húa H tun hon Tim v h mch Vn ng c th Tip nhn v bin i thc n thnh cht dinh dng cung cp cho c th Vn chuyn cht dinh dng, oxi ti cỏc t bo v võn chuyn cht thi, CO2 H hụ hp Mi, khớ qun, ph qun v hai lỏ phi Thc hin trao i khớ O2, CO2 gia c th v mụi trng H bi tit Thn, ng dn nc tiu v búng ỏi Bi tit nc tiu H thn kinh Nóo, ty sng, dõy thn kinh v hch thn kinh Tip nhn v tr li cỏc kớch thớch ca mụi trng, iu hũa hot ng cỏc c quan 2, Cu to ca t bo: Cỏc b phn Mng sinh cht Cỏc bo quan Cht t bo Chc nng Giỳp t bo thc hin trao i cht Li ni cht Riboxom Thc hin cỏc hot ng sng ca t bo Tng hp v chuyn cỏc cht Ni tng hp protein Ti th Tham gia hot ng hụ hp gii phúng nng lng B mỏy Gụngi Trung th Thu nhn, hon thin, phõn phi sn phm Tham gia quỏ trỡnh phõn chia t bo Nhõn iu khin mi hot ng sng ca t bo Nhim sc th Nhõn L cu trỳc quy nh s hỡnh thnh protein, cú vai trũ quyt nh di truyn Tng hp ARN riboxom (rARN) 3, Mi quan h thng nht v chc nng gia mng sinh cht, cht t bo v nhõn t bo: Mng sinh cht thc hin trao i cht tng hp nờn nhng cht riờng ca t bo S phõn gii vt cht to nng lng cho mi hot ng sng ca t bo c thc hin nh ti th Nhim sc th qui nh c im cu trỳc ca protein c tng hp t bo riboxom Nh vy, cỏc bo quan t bo cú s phi hp hot ng t bo thc hin chc nng sng 4, Chng minh T bo l n v chc nng ca c th: - Chc nng ca t bo l thc hin trao i cht v nng lng cung cp nng lng cho mi hot ng sng ca c th Ngoi ra, s phn chia t bo giỳp c th ln lờn ti giai on trng thnh cú th tham gia vo quỏ trỡnh sinh sn ca c th Nh vy, mi hot ng sng ca c th u liờn quan n hot ng sng ca t bo nờn t bo cũn l n v chc nng ca c th 5, Thnh phn húa hc ca t bo: gm cht vụ c v hu c: Hu c: + Protein: Cacbon (C ), oxi (O), hidro (H) nito (N), lu hunh (S), photpho (P), ú nito l nguyờn t c trng cho cht sng + Gluxit: gn nguyờn t l: C,H,O ú t l H:O l 2H:1 + Lipit: gm nguyờn t: C, H, O ú t l H:O thay i theo tng loi lipit + Axit nucleic gm loi: ADN (Acid deoxyribonucleic) v ARN (AXIT RIBễNUCLấIC) - Cht vụ c: cỏc loi mui khoỏng nh Canxi(Ca), kali (K), natri(Na), st (Fe), ng (Cu) Mụ biu bỡ Mụ liờn kt Mụ c c im cu to Chc nng T bo xp xớt Bo v, hp th, tit ( mụ sinh sn lm nhim v sinh sn) T bo nm cht nn Nõng ( mỏu chuyn cỏc cht) Mụ thn kinh T bo di, xp thnh tng bú Noron cú thõn ni vi si trc v si nhỏnh Co dón, to nờn s ng ca cỏc c quan v ng ca c th Tip nhn kớch thớch, dn truyn xung thn kinh, x lớ thụng tin, iu hũa cỏc hot ng cỏc c quan 6, Mụ l gỡ? Mụ l hp cỏc t bo chuyờn húa,cú cu trỳc ging nhau, cựng thc hin chc nng nht nh 7, So sỏnh mụ biu bỡ v mụ liờn kt v v trớ ca chỳng c th v s sp xp t bo hai loi m ú: V trớ ca mụ: + Mụ biu bỡ ph phn ngoi c th, lút cỏc ng ni quan + Mụ liờn kt: di lp da, gõn, dõy chng, sn, xng Mụ biu bỡ Mụ liờn kt Mụ c Mụ thn kinh c im T bo nm T bo di, xp thnh tng Noron cú thõn ni vi cu to T bo xp xớt cht nn bú si trc v si nhỏnh 8, C võn, c trn, c tim cú gỡ khỏc v c im cu to, s phõn b c th v kh nng co dón? c im cu to: C võn C trn C tim S nhõn Nhiu nhõn Mt nhõn Nhiu nhõn V trớ nhõn Cú võn ngang - phớa ngoi sỏt mng Cú gia khụng gia Cú Phõn b: c võn gn vi xng to nờn h c xng C trn to nờn thnh ni quan, c tim to nờn thnh tim Kh nng co dón: tt nht l c võn, n c tim, kộm hn l c trn 9, Mỏu thuc loi mụ gỡ? Vỡ sao? - Mỏu thuc loi mụ liờn kt, vỡ mỏu sn sinh cht khụng sng ( cht c bn, cht nn) l huyt tng 10, Nờu cht nng ca noron Cm ng l kh nng tip nhn cỏc kớch thớch v phn ng li cỏc kớch thớch bng hỡnh thc phỏt sinh xung thn kinh Dn truyn xung thn kinh l kh nng lan truyn xung thn kinh theo chiu nht nh t ni phỏt sinh hoc tip nhn v thõn noron v truyn i dc [...]... m C P B 60 ° H10 I H9 O B M n A 55 ° 58 ° M 20 ° x A x 18 ° N Q Câu 189: Trong hình 10 Biết MA và MB là tiếp tuyến của (O) và AMB = 58O Số đo góc x bằng : A 240 B 290 C 300 D 310 Câu 190: Trong hình 11 Biết góc QMN = 20O và góc PNM = 18O Số đo góc x bằng 20 C x E A 340 B 390 C 380 D 310 D B A x 5 m 80 ° H12 20 ° A O O E C x A H 14 H13 C B M Câu 191: Trong hình vẽ 12 Biết CE là tiếp tuyến của đường... tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh là tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến và một cạnh chứa dây cung 5 Tứ giác nội tiếp đ.tròn là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đ tròn CÁC ĐỊNH LÍ: 1 Với hai cung nhỏ trong một đ.tròn, hai cung bằng nhau (lớn hơn) căng hai dây bằng nhau (lớn hơn) và ngược lại 2 Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau và ngược lại 3 Trong một đường... Câu 185: Trong hình 6 Biết MA và MB là tiếp tuyến của (O), đường kính BC Góc BCA = 70 0 Số đo góc x bằng: A 700 B 600 C 500 D 400 M P K A 45o B O m 80 ° 30 o N 30 ° n H8 H7 D Q Câu 186: Trong hình 7 Biết góc NPQ = 450 vốcgóc MQP = 30O Số đo góc MKP bằng: A 750 B 700 C 650 D 600 Câu 187: Trong hình 8 Biết cung AmB = 80O và cung CnB = 30O Số đo góc AED bằng: A 500 B 250 C 300 D 350 Câu 188: Trong hình... 181: Trong H.2 AB là đường kính của (O), DB là tiếp tuyến của (O) tại B Biết Bˆ = 60O , cung BnC bằng: A 400 B 500 C 600 D 300 Câu 182: Trong hình 3, cho 4 điểm MNPQ thuộc (O) Số đo góc x bằng: A 200 B 250 C 300 D 400 19 A D B 30 o x M H6 O O P 78o H4 C B N H5 x M 70o x C A Q Câu 183: Trong hình 4 Biết AC là đường kính của (O) Góc ACB = 300 Số đo góc x bằng: A 400 B 500 C 600 D 700 Câu 184: Trong hình... A 400 B 700 C 600 D 500 A A B 20 ° ? 10 ° D H 17 R 15 ° C 80 ° H 15 A O R F 60 ° C E x B D H 16 B C Cõu 196: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường trũn (O;R) cắt nhau tại M Nếu MA = R 3 thỡ gúc ở tõm AOB bằng : A 1200 B 900 C 600 D 450 Cõu 197 :Tam giác ABC nội tiếp trong nửa đường trũn đường kính AB = 2R Nếu góc ·AOC = 100 0 thỡ cạnh AC bằng : A Rsin500 B 2Rsin1000 C 2Rsin500 D.Rsin800 Cõu 198: Từ... trũn (O;R) vẽ tiếp tuyến MT và cỏt tuyến MCD qua tõm O.Cho MT= 20, MD= 40 Khi đó R bằng : A 15 B 20 C 25 D 30 Cõu 199: Cho đường trũn (O) và điểm M không nằm trên đường trũn , vẽ hai cỏt tuyến MAB và MCD Khi đó tích MA.MB bằng : A MA.MB = MC MD B MA.MB = OM 2 C MA.MB = MC2 D MA.MB = MD2 Cõu 200: Tỡm cõu sai trong cỏc cõu sau đây A Hai cung bằng nhau thỡ cú số đo bằng nhau B Trong một đường trũn hai... cm2 (Lấy π = 3.14 ) Bán kính mặt cầu đó là: A 100 cm B 50 cm D 10 cm D 20 cm Câu 222: Một hình nón có bán kính đáy là 7 cm, góc tại đỉnh tạo bởi đường cao và đường sinh của hình nón là 30O Diện tích xung quanh của hình nón là: A 22 147 cm2 B 308 cm2 C 426 cm2 D Tất cả đều sai Câu 223: Diện tích toàn phần của một hình nón có bán kính đáy 7 cm đường sinh dài 10 cm và là: 23 A 220 cm2 ( Chọn π = B 264 cm2... 800 B 700 C 600 D 500 Câu 192: Trong hình 14 Biết cung AmD = 800.Số đo của góc MDA bằng: A 400 B 700 C 600 D 500 Câu 193: Trong hình 14 Biết dây AB có độ dài là 6 Khoảng cách từ O đến dây AB là: A 2,5 B 3 C 3,5 D 4 Câu 194: Trong hình 16 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Điểm C thuộc (O) sao cho AC = R Số đo của cung nhỏ BC là: A 600 B 900 C 1200 D 1500 Câu 195: Trong hình 17 Biết AD // BC Số đo... Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính 4 Trong một đường tròn: a) Đường kính ⊥ với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không qua tâm thì vuông góc với dây ấy 5 Trong một đường tròn : a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau b) Dây lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại a) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến... trụ bằng bỏn kớnh đáy Diện tích xung quanh của hỡnh trụ bằng 314cm2 Khi đó bán kính của hỡnh trụ và thể tớch của hỡnh trụ là : A R = 7,07 (cm) ; V = 1 110, 72(cm3) B R = 7,05 (cm) ; V = 1120,52(cm3) C R = 6,03 (cm) ; V = 1 210, 65(cm3) D R = 7,17 (cm) ; V = 101 0,32(cm3) Cõu 227 :Một ống cống hỡnh trụ cú chiều dài bằng a; diện tớch đáy bằng S Khi đó thể tích của ống cống này là : A a.S B C S2.a D a +S Cõu ... = mx - v y = -2x+1 l cỏc ng thng song song vi Kt lun no sau õy ỳng A th hm s y= mx - Ct trc honh ti im cú honh l -1 B th hm s y= mx - Ct trc tung ti im cú tung bng -1 C Hm s y = mx ng bin... nghch bin Cõu 46: Nu th y = mx+ song song vi th y = -2x+1 thỡ: A th hm s y= mx + Ct trc tung ti im cú tung bng B th hm s y= mx+2 Ct trc honh ti im cú honh l C Hm s y = mx + ng bin D Hm... song song vi ng thng y = -2x v ct trc tung ti im cú tung bng l : A y = 2x-1 B y = -2x -1 C y= - 2x + D y = -2 (1-x) Cõu 40 : Cho ng thng y = 1 x + v y = - x + hai ng thng ú 2 A Ct ti im cú honh
Ngày đăng: 22/04/2016, 10:55
Xem thêm: cac em hoc sinh tu on thi vao 10