các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88 CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số y = f ( x ) ,đồ thị (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau: Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) − Tính đạo hàm giá trị f ' ( x0 ) − Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Chú ý: Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) có hệ số góc k = f ' ( x0 ) Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến k − Giải phương trình: f ' ( x ) = k , tìm nghiệm x0 ⇒ y0 − Phương trình tiếp tuyến dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 Chú ý: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = , đó: − Nếu d //∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = a − Nếu d ⊥ ∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = − a Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A ( x A ; y A ) ∉ ( C ) − Gọi d đường thẳng qua A có hệ số góc k, ( d ) : y = k ( x − x A ) + y A  f ( x ) = k ( x − x A ) + y A  f ' ( x ) = k − Điều kiện tiếp xúc ( d ) ( C ) hệ phương trình sau phải có nghiệm:  Tổng quát: Cho hai đường cong ( C ) : y = f ( x ) ( C ') : y = g ( x ) Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với  f ( x ) = g ( x ) hệ sau có nghiệm   f ' ( x ) = g ' ( x ) Cho hàm số y = x − x a khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): i Tại điểm có hoành độ x = ii Tại điểm có tung độ y = iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x − y + 2009 iv Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d : x + 24 y + 2009 − x2 − x + có đồ thị (C) x+ a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i Tại giao điểm (C) với trục tung ii Tại giao điểm (C) với trụng hoành iii Biết tiếp tuyến qua điểm A(1;−1) iv Biết hệ số góc tiếp tuyến k = −13 x2 − x − Cho hàm số y = có đồ thị (C) x+ Cho hàm số y = Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88 a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x = c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y = d Tìm tất điểm trục tung mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C) Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến (Cm) B C vuông góc với Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm d (Cm) là: x3 + mx2 + = – x + ⇔ x(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x2 + mx + d cắt (Cm) ba điểm phân biệt ⇔ g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác  ∆ g = m − > m> ⇔  ⇔  m< −2  g ( ) = ≠  S = xB + xC = − m Vì xB , xC nghiệm g(x) = ⇒   P = xB xC = Tiếp tuyến (Cm) B C vuông góc với nên ta có: f ′ ( xC ) f ′ ( xB ) = − ⇔ xB xC ( 3xB + 2m ) ( xC + 2m ) = − ⇔ xB xC  xB xC + 6m ( xB + xC ) + 4m  = − ⇔  + 6m ( − m ) + 4m  = − ⇔ 2m = 10 ⇔ m = ± (nhận so với điều kiện) x2 + Cho hàm số y = Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ để từ kẻ đến (C) hai tiếp x tuyến vuông góc Lời giải: Gọi M(x0;y0) Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k y = k(x – x0) + y0 x2 + Phương trình hoành độ giao điểm (C) d: = k ( x − x0 ) + y0 , ( kx ≠ ) x ⇔ ( − k ) x − ( y0 − kx0 ) x + = ( *) k≠  k ≠  ⇔  x02 k + ( − x0 y0 ) k + y02 − = d tiếp xúc với (C): ⇔   ∆ = ( y0 − kx0 ) − ( − k ) =  y ≠ kx  ( I)  k1 , k2 ≠ Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:   k1k2 = − x ≠   x0 ≠   y0 − ⇔  = − ⇔  x02 + y02 =  x0 y ≠ x    ( y0 − x0 ) ≠ Vậy tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu toán đường tròn: x + y = loại bỏ bốn giao điểm đường tròn với hai đường tiệm cận 2x Cho hàm số y = (ĐH Khối−D 2007) x+ a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B diện tích tam giác OAB   ĐS: M  − ; −  M ( 1;1)   Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88 x2 + x − (ĐH Khối−B 2006) x+ a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên ĐS: b y = − x ± − m x = (*) Gọi (Cm) đồ thị hàm số: y = x3 − (m tham số) (ĐH Khối−D 2005) 3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m=2 b Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ −1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng x − y = ĐS: m=4 Cho hàm số y = x3 − 3mx − x + 3m ( Cm ) Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành Cho hàm số y = 10 Cho hàm số y = x + x3 + ( m − 1) x − x − m ( Cm ) Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành 11 Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x2 − Tìm tập hợp điểm trục hoành cho từ kẻ tiếp x+ tuyến đến (C) 12 Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x − 3x + Tìm tập hợp điểm trục hoành cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 13 Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x − x + Tìm điểm M nằm Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) 14 Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x − 3x + Tìm điểm đường thẳng y = cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 15 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH Khối−B 2008) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1;–9) y f(x)=4x^3-6x^2+1 Lời giải: a D=R, y’ = 12x – 12x; y’ = ⇔ x = hay x = 23 461=−+ yx BBT : x −∞ +∞ y' y + +∞ −∞ CĐ1 − -7 -6 + -5 -4 -3 -2 -1 x -2 CT -4 −1 b Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) – -6 Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) – ⇔ 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) ⇔ 2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1) ⇔ x = –1 hay 2x2 – 5x + = 6x2 – 6x ⇔ x = –1 hay 4x2 – x – =   15 ⇔ x = –1 hay x = ; y’(−1) = 24; y '   =  4 15 21 Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = x− 4 Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô y = f ( x ) ,đồ thị (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ: − Nghiệm phương trình f ' ( x ) = hoành độ điểm cực trị Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88  f ' ( x0 ) = hàm số đạt cực đại x = x0  f '' ( x0 ) < − Nếu   f ' ( x0 ) = hàm số đạt cực tiểu x = x0  f '' ( x0 ) > − Nếu  Một số dạng tập cực trị thường gặp − Để hàm số y = f ( x ) có cực trị − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hoành − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục tung − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hoành − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hoành − Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành  a ≠ ⇔   ∆ y ' > ⇔ yCĐ yCT < ⇔ xCĐ xCT <  ⇔    ⇔   yCĐ + yCT > yCĐ yCT > yCĐ + yCT < yCĐ yCT < ⇔ yCĐ yCT = Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: hàm số y = ax3 + bx + cx + d Lấy y chia cho y’, thương q(x) dư r(x) Khi y = r(x) đường thẳng qua điểm cực trị ax + bx + c Dạng 2: Hàm số y = dx + e ax + bx + c ' 2a b Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y = = x+ d d ( dx + e ) ' Chứng minh hàm số y = ( ( ) ) có có cực trị với m Tìm m cho hai x2 + m m2 − x − m + x− m cực trị nằm đường thẳng y=2x Cho hàm số y = x3 − mx + ( m + ) x − Định m để: a Hàm số có cực trị b.Có cực trị khoảng ( 0; + ∞ ) c Có hai cực trị khoảng ( 0; + ∞ ) ( ) Định m để hàm số y = x3 − 3mx + m − x + b − 4ac đạt cực đại x = Cho hàm số y = x −3x +3mx+3m+4 a Khảo sát hàm số m = b.Định m để hàm số cực trị c Định m để hàm só có cực đại cực tiểu Cho hàm số y = x3 − 3mx + x + 3m − Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị x + ( m + 1) x − m + Cho hàm số y = Chứng minh đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu với x− m m Hãy định m để hai cực trị nằm hai phía trục hoành Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88 Cho hàm số y = x3 + ( − 2m ) x + ( − m ) x + m + Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ x + 2mx + − 3m Cho hàm số y = Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục x− m tung Cho hàm số y = x3 − mx + ( 2m − 1) x − m + ( Cm ) Định m để hàm số có hai điểm cực trị dương x + ( m + 1) x + m + 4m 10 Cho hàm số y = (1) (ĐH Khối−A năm 2007) x+ a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=−1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O ĐS: m = − ± ( ) 2 11 Cho hàm số y = − x − 3x + m − x − 3m − (1), m tham số (ĐH Khối−B năm 2007) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ ĐS : b m = ± ( ) 2 12 Cho hàm số y = mx + m − x + 10 (1) (m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị f(x)=x^4-8x^2+10 10 y (ĐH Khối−B năm 2002) x -30 -25 -20 -15 -10 -5 -5 m< −3 0< m<  -10 -15 a b ĐS : x + ( m + 1) x + m + 13 Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = (*) (m tham số) x+ a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) có hai điểm cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 -20 Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88 y f(x)=x+1+1/(x+1) f(x)=x+1 x(t)=-1 , y(t)=t x -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 MN = L = 20 -4 -6 -8 -10 a b CĐ(−2;m−3), CT(0;m+1)⇒ Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN−NGHỊCH BIẾN Cho hàm sô y = f ( x ) có tập xác định miền D − f(x) đồng biến D ⇔ f ' ( x ) ≥ , ∀ x ∈ D − f(x) nghịch biến D ⇔ f ' ( x ) ≤ , ∀ x ∈ D (chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm miền D) Thường dùng kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c Nếu ∆ < f(x) dấu với a b b Nếu ∆ = f(x) có nghiệm x = − f(x) dấu với a x ≠ − 2a 2a Nếu ∆ > f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, khoảng nghiệm f(x) dấu với a So sánh nghiệm tam thức với số ∆ > ∆ >   * x1 < x2 < ⇔  P > * < x1 < x2 ⇔  P > S< S>   * x1 < < x2 ⇔ P < Cho hàm số y = x3 − ( m + 1) x + ( m + 1) x + Định m để: a Hàm số đồng biến R b Hàm số đồng biến khoảng ( 2; + ∞ ) Xác định m để hàm số y = x3 mx − − 2x + a Đồng biến R b Đồng biến ( 1; + ∞ ) Cho hàm số y = x3 − ( 2m + 1) x + ( 12m + ) x + a Định m để hàm số đồng biến khoảng ( 2; + ∞ ) b Định m để hàm số nghịch biến khoảng ( − ∞ ; − 1) Cho hàm số y = mx + x − Định m để hàm số nghịch biến [1;+ ∞ ) x+ Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88 Quan hệ số nghiệm số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1) (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm (1) ⇔ (C1) (C2) điểm chung (1) vô nghiệm ⇔ (C1) (C2) có n điểm chung (1) có n nghiệm (1) có nghiệm đơn x1 ⇔ (C1) (C2) cắt N(x1;y1) (1) có nghiệm kép x0 ⇔ (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0) Cho hàm số y = ( x − 1) có đồ thị (C) x+ a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − ( m + ) x − m + = Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) có đồ thị (C) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2 ( ) b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x − − 2m + = Cho hàm số y = x3 + kx − a Khảo sát hàm số k = b Tìm giá trị k để phương trình x3 + kx − = có nghiệm Cho hàm số y = x3 − x + (ĐH Khối−D 2006) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Gọi d đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 15 , m ≠ 24 ĐS: b m > − x + 3x − y = Cho hàm số (1) (ĐH Khối−A 2004) ( x − 1) a Khảo sát hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1 1± ĐS: b m = mx + x + m Cho hàm số y = (*) (m tham số) (ĐH Khối−A 2003) x− a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=−1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hoành độ dương ĐS: b − < m < x2 − x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = (1) (ĐH Khối−D 2003) x− b Tìm m để đường thẳng d m : y = mx + − 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt ĐS: m>1 Cho hàm số y = − x3 + 3mx2 + 3(1 − m2)x + m3 − m2 (1) (m tham số) (ĐH Khối−A 2002) a Khảo sát biến thiên vẽ đố thị hàm số (1) m = b Tìm k để phương trình − x3 + 3x2 + k3 − 3k2 = có nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88  − 1< k < ĐS: b  , c y = x − m + m k ≠ ∧ k ≠  Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức khoảng cách: Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB = ( xB − 2 x A ) + ( yB − y A ) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = điểm Ax0 + By0 + C M(x0;y0) d ( M ,.∆ ) = A2 + B Cho hàm số y = x3 − 3mx − x + 3m + ( Cm ) Định m để ( Cm ) có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng bé 2x + 2 Cho hàm số ( C ) : y = Tìm tọa độ điểm M nằm (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận x− nhỏ x2 − x + Cho hàm số ( C ) : y = Tìm điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến tiệm cận nhỏ x− 2x + Cho hàm số ( C ) : y = Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN x− nhỏ x2 + x + Cho hàm số ( C ) : y = Tìm hai điểm M, N thuộc nhánh khác (C) cho đoạn MN x+ nhỏ x2 + 2x + Cho hàm số ( C ) : y = x− a Tìm điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ nhỏ b.Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ Gọi (Cm) đồ thị hàm số: y = mx + (*) (m tham số) (ĐH Khối−A 2005) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên ĐS: m=1 Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số y = f ( x, m ) ta đưa dạng F ( x, y ) = mG ( x, y ) Khi tọa độ điểm cố định có  F ( x, y ) = nghiệm hệ phương trình   G ( x, y ) = Cho hàm số y = x3 − ( m − 1) x − 3mx + ( Cm ) Chứng minh ( Cm ) qua hai điểm cố định m thay đổi x2 + ( − m ) x + Cho hàm số ( Cm ) : y = Chứng minh đồ thị ( Cm ) qua điểm cố định mx + m thay đổi Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88 Cho hàm số ( Cm ) : y = ( − 2m ) x + 3mx − ( m + 1) Tìm điểm cố định họ đồ thị Chứng minh đồ thị hàm số y = ( m + 3) x3 − ( m + 3) x − ( 6m + 1) x + m + ( Cm ) qua ba điểm cố định Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f ( x ) có đồ thị (C “) y = f ( x ) có đồ thị (C’) y = f(x) có đồ thị (C) y = f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ D Do ta phải giữ nguyên phần phía trục Ox lấy đối xứng phần phía trục Ox lên y f(x)=x^3-2 x^2-0.5 y = f ( x ) có f ( − x ) = f ( x ) , ∀ x ∈ D nên hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy y f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) f(x)=x^3-2x^2-0.5 y f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 (C') (C) x (C'') x x Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ x2 + x 2x − a Khảo sát hàm số Cho hàm số ( C ) : y = b.Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt f(x)=(x^2+x)/(2x-2) y x2 + x 2x − = k y f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x(t)=1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1 f(x)=x/2+1 f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2) f(x)=-x/2+1 2 y= -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 x2 + x 2x − y= x2 + x 2x− x x -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 x + 3x + x+ a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Cho hàm số ( C ) : y = x2 + 3x + = m b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x+ Hoctoancungthukhoa.com y f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) Liên hệ: 0964.73.22.88 y f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 f(x)=x+2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2 y= x + 3x + x+ 2 y= x -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 x2 + 3x + x+ x -2 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 -10 -10 4x − x2 Cho hàm số ( C ) : y = x− a Khảo sát hàm số b.Định m để phương trình x + ( m − ) x − m = có bốn nghiệm phân biệt f(x)=(4x-x^2)/(x-1) y f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-x+3 f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3 y x -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 y= -2 Cho hàm số ( C ) : y = x 4x − x x− -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 -10 -10 y= x − x2 x−1 x2 + x − x+ Khảo sát hàm số Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x + ( − m ) x − 2m − = a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 − x + 12 x − b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: x − x + 12 x = m ĐS: b 4[...]...Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88 3 Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + m ( 1) (m là tham số) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2 (ĐH Khối B−2003) ĐS: a f ( x0 ) = − f ( − x0 ) , ∀ x0 ≠ 0 ⇒ … m>0 4 Cho hàm số y = − x3 11 có đồ thị ( C ) Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục + x 2 + 3x − 3 3 tung 5 Cho hàm số y... Cho hàm số y = x3 + ax 2 + bx + c ( 1) Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;−1) 6 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) (ĐH Khối D−2008) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) b Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn... Chứng minh rằng đồ thị của hàm số x− 2 này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định 2 x 2 − 3x + 2 4 Cho hàm số y = f ( x) = có đồ thị (C) x− 1 a Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường đường tiệm cận là một số không đổi b Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất 2 x 2 + mx − 2 5 Cho hàm số y = f ( x) = có đồ thị (Cm)... -11 -11 mx 2 + ( 3m2 − 2 ) x − 2 ( 1) , với m là tham số thực x + 3m a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1 b Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45 0 Lời giải: ( x + 3) 2 n m -6 -8 x2 + 6 x + 5 5 -5 -7 y′ = 4 -4 -6 { − 3} 3 -3 -5 TXĐ: D = R 2 x= − -2 -4 a Khi m =1: y = 1 -1 -3 1 Cho hàm số y = x -1 n x= − m y = λx+ µ I 1 x (ĐH Khối A−2008)... bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)≥g(x), ∀x∈[a;b]) được tính bởi công thức: ∫ {[ f ( x ) ] b V =π a 2 } − [ g ( x ) ] dx 2 * 1 Cho hàm số y = ( 2m − 1) x − * m * 2 (1) (m là tham số) x− 1 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=−1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạm bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x... MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN 1 Định nghĩa: (d) là tiệm cận của (C) ⇔f x lim MH = 0 = 1.7 x ( ) M→ ∞ ( M∈ ( C ) ) 6 g ( x) = 0 h y = 0 ) 2 Cách xác định tiệm (cận a Tiệm cận đứng: limx → fx ( x ) = ∞ ⇒ ( d ) : x = x 0 0 b Tiệm cận ngang: limx→f∞( x ) = y 0 ⇒ ( d ) : y = y 0 c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=λx+µ trong đó: f ( x) λ = lim ; µ = lim [ f ( x ) − λ x ] x→ ∞ x→ ∞ x Các. .. x ] x→ ∞ x→ ∞ x Các trường hợp đặc biệt: -1 0 y ( d) 4 ( C) 2 M H x -5 -2 -4 11 5 Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88 *Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến) ax + b y= mx + n  n +TXĐ: D= R\  −   m n +TCĐ: lim ny = ∞ ⇒ ( d ) : x = − m x→ − * Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ) ax 2 + bx + c A y= = (λ x + µ ) + mx + n mx + n  n +TXĐ: D= R\  −   m n +TCĐ: lim ny = ∞... x 2 + mx − 2 5 Cho hàm số y = f ( x) = có đồ thị (Cm) Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo x− 1 với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 3 Cho hàm số y = Dạng 10: DIỆN TÍCH−THỂ TÍCH Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghệp) a Diện tích Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường... -8 -10 -12 12 Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88 Gọi (Cm) là đồ thị hàm số (Cm) có tiệm cận đứng d1 : x + 3m = 0 và tiệm cận xiên d 2 : mx − y − 2 = 0 1    m ≠ ∧ m ≠ 0 3   m m 2 0 ⇔ = Theo giả thuyết ta có: cos 45 = ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ± 1 (nhận) 2 2 2 m +1 m +1 2 Cho hàm số y = f ( x ) = mx 2 + ( m 2 − 1) x + 1 − m x Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f có tiệm cận xiên đi qua gốc tọa... các đường thẳng x=a, x=b b x ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b b Thể tích y y Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi ξ(x) b được tính bởi công thức: V=π ∫ [ f ( x) ] d f(x) {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox 2 dx O a b x c x a Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi O {(C): x=ξ(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy d được tính bởi công thức: V=π ∫ [ξ ( y ) ] 2 dy c 13 Hoctoancungthukhoa.com Liên