BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

PHẦN MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định là một hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết định tính các hệ phương trình vi phân. Trải qua hơn một thế kỉ phát triển, cho đến nay lý thuyết ổn định của Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển sôi động, vẫn đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu, cả lý thuyết cũng như tìm kiếm các mô hình ứng dụng 1. Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ thống thì bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóa cũng được quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong thực tiễn 1, 2, 4. Từ đó đến nay, hai tính chất này đã trở thành hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Trong các mô hình ứng dụng từ các bài toán thực tiễn thường xuất hiện các độ trễ thời gian 12. Sự xuất hiện của các độ trễ đó ảnh hưởng đến dáng điệu của hệ cũng như ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ 1, 4, 7, 12. Chính vì vậy bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ thu hút sự chú ý đặc biệt của nhiều tác giả trong và ngoài nước trong vài thập kỉ gần đây (xem 8, 11, 20 và các tài liệu trích dẫn trong đó). Cách tiếp cận chính của các nghiên cứu gần đây là dựa trên phương pháp hàm LyapunovKrasovskii và các bất đẳng thức ma trận tuyến tính 4 hoặc phương trình Riccati đại số 14. Tuy nhiên cách tiếp cận này không áp dụng được cho các hệ không dừng nảy sinh trong các bài toán điều khiển các hệ kĩ thuật 10, 3. Khó khăn chính là nghiệm của phương trình vi phân Riccati ma trận không xác định dương đều để sử dụng trong các hàm LyapunovKrasovskii 10. Đồng thời, cho đến 1 nay chưa có thuật toán nào hữu hiệu có thể tìm nghiệm dương đều của các bất đẳng thức ma trận 20. Vì vậy, nghiên cứu tính ổn định của các hệ không dừng trở nên khó khăn hơn và trở thành đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học và kĩ sư. Bên cạnh đó, các quá trình trong thực tiễn thường xảy ra một cách không chắc chắn (có sự xuất hiện các đại lượng “nhiễu” hệ thống). Các nhiễu này có thể xuất hiện do sai số vận hành, do ảnh hưởng lẫn nhau giữa các thành tố trong hệ thống hoặc giữa các hệ thống khác nhau. Vì vậy, việc đòi hỏi phải biết chính xác tất cả các tham số của hệ trong mô hình là điều không tưởng hoặc rất khó áp dụng trong thực tế. Do đó, việc đánh giá tối ưu mức ảnh hưởng của nhiễu đối với đầu ra của hệ thống (bài toán điều khiển H∞) là bài toán có tính thời sự, được nhiều nhà toán học và kỹ sư quan tâm nghiên cứu 5, 13, 14, 16, 17, 19

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Toán Giải tích (Phương trình vi phân tích phân) Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Hiện HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực luận văn thạc sỹ, nhận giúp đỡ, tạo điều kiện nhiệt tình quý báu nhiều cá nhân, tập thể Lời xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS.Lê Văn Hiện,người không hướng dẫn truyền đạt cho kiến thức,kinh nghiệm nghiên cứu khoa học quý báu mà khuyến khích động viên vượt qua khó khăn suốt thời gian học tập nghiên cứu đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy cô tổ môn giải tích, khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn, cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp thời gian làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn tất nhiệt tình lực mình, nhiên luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp quý báu thầy cô bạn Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Trang MỤC LỤC Phần mở đầu Chương Một số kiến thức kết bổ trợ 1.1 Hệ phương trình vi phân có trễ toán ổn định 1.2 Bài toán điều khiển H∞ 1.3 Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ 1.4 Một số kết bổ trợ 10 Chương Bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên nhiễu phi tuyến 2.1 Phát biểu toán 11 2.2 Điều kiện ổn định hóa H∞ 13 2.3 Ví dụ 23 2.4 Kết luận chương 26 Chương Bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ hỗn hợp biến thiên 3.1 Tính ổn định H∞ 27 3.2 Bài toán ổn định hóa H∞ 35 3.3 Kết luận chương 38 Kết luận chung 39 Tài liệu tham khảo 40 DANH MỤC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN R+ tập hợp số thực không âm Rn không gian vectơ Euclide n-chiều , tích vô hướng Rn , x, y = xT y x chuẩn vectơ x = ∑ni=1 x2i Rn×r tập hợp ma trận thực cỡ n × r AT ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ (A) tập tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ j (A) : λ j (A) ∈ λ (A)} λmin(A) η (A) A>0 = min{Reλ j (A) : λ j (A) ∈ λ (A)} chuẩn phổ ma trận A, η (A) = λmax(AT A) ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A>B M+ ma trận A − B xác định dương tập ma trận đối xứng, xác định dương C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn với chuẩn supa≤t≤b x(t) L2 ([0,t], Rn ) không gian hàm khả tích bậc [0,t] có giá trị Rn BM +(0, ∞) tập hợp hàm ma trận đối xứng, nửa xác định dương bị chặn (0, ∞) PHẦN MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết định tính hệ phương trình vi phân Trải qua kỉ phát triển, lý thuyết ổn định Lyapunov lý thuyết phát triển sôi động, nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu, lý thuyết tìm kiếm mô hình ứng dụng [1] Cùng với phát triển lý thuyết điều khiển hệ thống toán nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay gọi toán ổn định hóa quan tâm nghiên cứu tìm nhiều ứng dụng thực tiễn [1, 2, 4] Từ đến nay, hai tính chất trở thành hướng nghiên cứu thiếu lý thuyết hệ thống ứng dụng Trong mô hình ứng dụng từ toán thực tiễn thường xuất độ trễ thời gian [12] Sự xuất độ trễ ảnh hưởng đến dáng điệu hệ ảnh hưởng đến tính ổn định hệ [1, 4, 7, 12] Chính toán nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ thu hút ý đặc biệt nhiều tác giả nước vài thập kỉ gần (xem [8, 11, 20] tài liệu trích dẫn đó) Cách tiếp cận nghiên cứu gần dựa phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii bất đẳng thức ma trận tuyến tính [4] phương trình Riccati đại số [14] Tuy nhiên cách tiếp cận không áp dụng cho hệ không dừng nảy sinh toán điều khiển hệ kĩ thuật [10, 3] Khó khăn nghiệm phương trình vi phân Riccati ma trận không xác định dương để sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii [10] Đồng thời, chưa có thuật toán hữu hiệu tìm nghiệm dương bất đẳng thức ma trận [20] Vì vậy, nghiên cứu tính ổn định hệ không dừng trở nên khó khăn trở thành đối tượng nghiên cứu nhiều nhà toán học kĩ sư Bên cạnh đó, trình thực tiễn thường xảy cách không chắn (có xuất đại lượng “nhiễu” hệ thống) Các nhiễu xuất sai số vận hành, ảnh hưởng lẫn thành tố hệ thống hệ thống khác Vì vậy, việc đòi hỏi phải biết xác tất tham số hệ mô hình điều không tưởng khó áp dụng thực tế Do đó, việc đánh giá tối ưu mức ảnh hưởng nhiễu đầu hệ thống (bài toán điều khiển H∞ ) toán có tính thời sự, nhiều nhà toán học kỹ sư quan tâm nghiên cứu [5, 13, 14, 16, 17, 19] Trong luận văn nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho số lớp hệ không dừng có trễ biến thiên dựa cách tiếp cận phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii phương trình vi phân Riccati ma trận Nội dung luận văn trình bày ba chương Chương phần kiến thức chuẩn bị, giới thiệu sơ lược toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ toán điều khiển H∞ , đồng thời nêu số kết bổ trợ dùng để trình bày kết chương sau Trong chương 2, nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính không ô-tô-nôm có trễ biến thiên nhiễu phi tuyến dạng    x(t) ˙ = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) + B(t)u(t) + B1 (t)ω (t)        + f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), t ≥ 0,          z(t) = C(t)x(t) +C1 (t)x(t − h(t)) + D(t)u(t), t ≥ 0, x(t) = φ (t), t ∈ [−hu, 0] Bằng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii dựa cách tiếp cận điều kiện dạng phương trình vi phân Ricatti ma trận, xây dựng hàm điều khiển ngược dạng có trọng cho lời giải toán H∞ hệ Một số ví dụ đưa nhằm minh họa cho điều kiện nhận Nội dung chương phát triển từ nội dung báo [18] Trong chương 3, dựa phương pháp xây dựng hàm Lyapunov-Krasovskii đưa báo [3], nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ hỗn hợp biến thiên dạng sau  p q t    x(s)ds x(t) ˙ = A0(t)x(t) + ∑ Ai (t)x(t − hi (t)) + ∑ Dk (t)    t−r (t) k i=1 k=1  + B(t)u(t) + B1 (t)w(t), t ≥ 0,       x(t) = φ (t), t ∈ [−hu , 0] Giả sử rằng, hàm quan sát không phụ thuộc tường minh vào điều khiển, z(t) = C(t)x(t), t ≥ Cách tiếp cận chương mô tả sau Bằng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii, trước hết tìm điều kiện ổn định H∞ cho hệ Tức là, điều khiển (u(t) = 0), thiết lập điều kiện thông quan lớp phương trình Riccati ma trận cho hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) Hệ α -ổn định mũ với w(.) = 0; (ii) Điều kiện γ -mức sup c0 φ ∞ z(t) dt + ∞ w(t) dt ≤γ thỏa mãn Dựa điều kiện ổn định H∞ thu được, sau tìm điều kiện ổn định hóa H∞ với lớp hàm điều khiển ngược dạng u(t) = K(t)x(t) với ma trận đạt K(t) xây dựng thông qua nghiệm lớp phương trình Riccati tương ứng Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Trang Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Trong chương này, trình bày số kiến thức toán ổn định cho hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ giới thiệu sơ lược toán điều khiển H∞ 1.1 Hệ phương trình vi phân có trễ toán ổn định Với số thực h ≥ 0, kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) không gian Banach hàm liên tục đoạn [−h, 0] với chuẩn φ = sup φ (s) −h≤s≤0 Với x(.) hàm liên tục R+ , nhận giá trị Rn , xây dựng hàm xt ∈ C sau xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0],t ≥ Như vậy, xt quỹ đạo [t − h,t] hàm x(.) với chuẩn C xác định xt = sup x(t + s) −h≤s≤0 Xét hệ phương trình vi phân có trễ x(t) ˙ = f (t, xt ), x(t) = φ (t), t ≥ 0, (1.1) t ∈ [−h, 0], f : R+ × C → Rn, f (t, 0) = 0, ∀t ≥ φ ∈ C hàm ban đầu thỏa mãn điều kiện cho với t0 ∈ R+ , φ ∈ C , hệ (1.1) có nghiệm xác định [t0, ∞) dạng sau  p    x(t) ˙ = A0 (t)x(t) + ∑ Ai (t)x(t − hi(t))    i=1   q + ∑ Dk (t)    k=1     x(t) = φ (t), t ∈ [−d, 0], t t−rk (t) x(s)ds + B1(t)w(t), t ≥ 0, (3.1) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái hệ, A0 (t), Ai (t), i ∈ p = {1, , p}, Dk (t), k ∈ q = {1, 2, , q} B1 (t) hàm ma trận liên tục R+ Các hàm trễ hi (t), rk (t) liên tục thỏa mãn điều kiện sau ≤ hi (t) ≤ hi , h˙ i (t) ≤ δi < 1, ≤ rk (t) ≤ rk , r˙k (t) ≤ µk < 1, i ∈ p, (3.2) k ∈ q, d = max {hi , rk } i∈p,k∈q Chúng xét hàm quan sát dạng z(t) = C(t)x(t), t ≥ 0, (3.3) với C(t) hàm ma trận cho trước với số chiều thích hợp Với số dương α , β γ , xét phương trình vi phân Riccati sau ˙ + AT P(t) (t)Pβ (t) + Pβ (t)A0 (t) + 2α Pβ (t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) + Q(t) = 0, (RDE3) q Pβ (t) = P(t) + β I, Q(t) = (p + ∑k=1 rk )I +CT(t)C(t) q e2α hi rk e2α rk T T R(t) = ∑ Dk (t)DT Ai (t)Ai (t) + ∑ k (t) + B1 (t)B1 (t) γ i=1 − δi k=1 − µk p Kí hiệu q −2α rk + 2α r k − 1 − e−2α hi e p0 = λmax(P(0)), ϒ = p0 + β + ∑ +∑ 2α 4α i=1 k=1 p Định lí sau cho tiêu chuẩn ổn định H∞ hệ (3.1) 28 Định lí 3.1.1 Với α > 0, γ > cho trước, hệ (3.1) ổn định H∞ tồn số β > hàm ma trận P ∈ BM +[0, ∞) thỏa mãn phương trình Riccati (RDE3) Hơn nữa, nghiệm x(t, φ ) (3.1) với nhiễu w(.) = thỏa mãn đánh giá mũ x(t, φ ) ≤ ϒ φ e−α t , β t ≥ Chứng minh Giả sử β > P ∈ BM +[0, ∞) thỏa mãn RDE3 Xét hàm Lyapunov-Krasovskii sau V (t, xt ) = V1(t, xt ) +V2(t, xt ) +V3(t, xt ) +V4(t, xt ), t ≥ 0, V1(t, xt ) = P(t)x(t), x(t) , V2(t, xt ) = β x(t) , p V3(t, xt ) = V4(t, xt ) = ∑ t i=1 t−hi (t) q t ∑ e2α (s−t) x(s) ds, t k=1 t−rk (t) s (3.4) e2α (θ −t) x(θ ) d θ ds Dễ thấy hàm V (t, xt ) xác định dương thỏa mãn điều kiện V (t, xt ) ≥ β x(t) , t ∈ R+ Lấy đạo hàm V1 V2 dọc theo nghiệm hệ (2.1) ta ˙ V˙1(t, xt ) = P(t)x(t), x(t) + P(t)x(t), ˙ x(t) ˙ + AT = (P(t) (t)P(t) + P(t)A0 (t))x(t), x(t) p + ∑ P(t)Ai (t)x(t − hi (t)), x(t) i=1 29 (3.5) q + ∑ P(t)Dk (t) k=1 t t−rk (t) x(s)ds, x(t) + P(t)B1 (t)w(t), x(t) , V˙2(t, xt ) = 2β (A0 (t)x(t), x(t)) + 2β p ∑ i=1 + 2β q ∑ k=1 Ai (t)x(t − hi (t)), x(t) t Dk (t) t−rk (t) x(s)ds, x(t) + B1 (t)w(t), x(t) Từ ta có V˙1 (t, xt ) + V˙2(t, xt ) = (P˙β (t) + AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A0 (t))x(t), x(t) p + ∑ Pβ (t)Ai (t)x(t − hi (t)), x(t) i=1 q + ∑ Pβ (t)Dk (t) k=1 (3.6) t t−rk (t) x(s)ds, x(t) + Pβ (t)B1 (t)w(t), x(t) Áp dụng mệnh đề 1.4.1, 1.4.2, ta có đánh giá sau e2α hi Pβ (t)Ai (t)AT Pβ (t)Ai (t)x(t − hi(t)), x(t) ≤ i (t)Pβ (t)x(t), x(t) − δi + (1 − δi)e−2α hi x(t − hi (t)) , i ∈ p, rk e2α rk Pβ (t)Dk (t) x(s)ds, x(t) ≤ Pβ (t)Dk (t)DT k (t)x(t), x(t) − µk t−rk (t) t T t −2α rk + (1 − µk )e x(s)ds rk t−rk (t) rk e2α rk Pβ (t)Dk (t)DT ≤ k (t)x(t), x(t) − µk + (1 − µk )e−2α rk t t−rk (t) 30 x(s) ds, k ∈ q t t−rk (t) x(s)ds Kết hợp với (3.6) ta V˙1 (t, xt ) + V˙2(t, xt ) ≤ ˙ + Pβ (t)A0 (t) + AT P(t) (t)Pβ (t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) x(t), x(t) p + ∑ (1 − δi )e−2α hi x(t − hi (t)) i=1 q + ∑ (1 − µk )e −2α rk k=1 t t−rk (t) + Pβ (t)B1 (t)w(t), x(t) − x(s) 2ds Pβ (t)B1 (t)BT (t)x(t), x(t) γ (3.7) Tiếp theo, lấy đạo hàm V3 (t, xt ) V4(t, xt ) theo hệ (3.1) ta p V˙3(t, xt ) = p ∑ x(t) i=1 − ∑ (1 − h˙ i (t))e−2α hi (t) x(t − hi(t)) i=1 p ≤ p x(t) − ∑ (1 − δi )e−2α hi x(t − hi (t)) i=1 q V˙4(t, xt ) = ∑ rk(t) x(t) k=1 q q ≤ ∑ rk x(t) k=1 − 2αV3(t, xt ) − 2αV3(t, xt ), (3.8) − 2αV4(t, xt ) − ∑ (1 − r˙k (t)) k=1 2 t t−rk (t) e2α (s−t) x(s) ds − 2αV4(t, xt ) q − ∑ (1 − µk )e−2α rk k=1 t t−rk (t) x(s) ds (3.9) Từ đánh giá (3.7)-(3.9) ta có ˙ + AT V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ (P(t) (t)Pβ (t) + Pβ (t)A0 (t) + 2α Pβ (t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) + Q(t))x(t), x(t) T + Pβ (t)B1 (t)w(t), x(t) − C (t)C(t)x(t), x(t) − Pβ (t)B(t)BT (t)x(t), x(t) γ 31 (3.10) Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 1.4.1 ta có Pβ (t)B1 (t)w(t), x(t) ≤ P (t)B1 (t)BT (t)Pβ (t)x(t), x(t) γ β + γ w(t) , t ≥ Kết hợp với (3.3) (3.10) ta nhận V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) + zT(t)z(t) − γ wT (t)w(t) (3.11) ˙ + AT ≤ (P(t) (t)Pβ (t) + Pβ (t)A0 (t) + 2α Pβ (t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) + Q(t))x(t), x(t) , t ≥ Do Pβ (t) nghiệm (RDE3) nên từ (3.11) ta có V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) + z(t) − γ w(t) ≤ 0, (3.12) t ≥ Với w(.) = 0, (3.12) suy V (t, xt ) ≤ V (0, x0 )e−2α t , t ≥ Kết hợp (3.5) ta x(t, φ ) ≤ V (0, x0 ) −α t e , β (3.13) t ≥ Để xác định số ổn định N, ta đánh giá V (0, x0 ) sau V (0, x0 ) = P(0)x(0), x(0) + β x(0) p +∑ i=1 −hi (0) 2α s e q x(s) ds + ∑ p ≤ (p0 + β ) φ = (p0 + β ) φ + + ∑ ∑ k=1 −rk (0) s q 2α s e ds + ∑ i=1 −hi p − e−2α hi i=1 =ϒ φ 2α , 32 e2αθ x(θ ) d θ ds e2αθ d θ ds φ k−1 φ k=1 −rk s q −2α rk e + 2α r +∑ k=1 4α q −2α rk + 2α r k − 1 − e−2α hi e ϒ = p0 + β + ∑ +∑ 2 α α i=1 k=1 p Từ đánh giá trên, kết hợp với (3.13) ta x(t, φ ) ≤ ϒ φ e−α t , β t ≥ Điều chứng tỏ hệ (3.1) α - ổn định mũ Ta phải chứng minh điều kiện γ -mức (2.4) thỏa mãn Để ý từ (3.12) rằng, với T > ta có T V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) + z(t) − γ w(t) dt ≤ Vì V (t, xt ) ≥ 0, ∀t ≥ 0, nên T z(t) − γ w(t) dt ≤ V (0, x0 ) ≤ ϒ φ Cho T → ∞ ta ∞ z(t) dt ≤ γ c0 φ 2 ∞ + w(t) dt , (3.14) c0 = ϒγ Điều chứng tỏ điều kiện γ -mức thỏa mãn Định lí chứng minh Ví dụ 3.1.1 Xét hệ không dừng với trễ hỗn hợp sau    x(t) ˙ = A0(t)x(t) + A1 (t)x(t − h1(t)) + A2 (t)x(t − h2(t))     t + D(t) x(s)ds + B1(t)w(t), t ≥ 0, t−r(t)      z(t) = C(t)x(t), t ≥ 0,   a0 (t) b0(t) , A0(t) =  b0 (t) c0 (t)   −1 1 , A1 (t) = e−1+t  33 (3.15)   1  D(t) = et−0.5    1 , A2(t) = e−1+t  −1   0.1  , B1(t) = √ + e−2t C(t) = 0.5e−t , 5e2t 61 , b0(t) = + e2t , a0(t) = −3e − − 2t 20 2(1 + e ) 21e2t 2t c0(t) = − (1 + e ) − , 8(1 + e2t ) t t 3t h1(t) = sin2 , h2 (t) = cos2 , r(t) = cos2 2 2 2t Ví dụ điều kiện [5, 9] không áp dụng điều kiện họ đưa dẫn đến tính không giải bất đẳng thức ma trận không dừng (LMIs) Chẳng hạn, sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii, điều kiện ổn định định lí 2.1.1 [9], dẫn tới LMIs phụ thuộc theo t dạng Ψ[A0(t), A1 (t), P, Q, R] < ∀t ≥ Cho đến chưa có thuật toán hữu hiệu giải bất đẳng thức dạng với nghiệm hàm ma trận xác định dương P, Q, R Tuy nhiên, tìm nghiệm phương trình (RDE3) liên kết với hệ ví dụ Ta có h1 = h2 = 1, r = 0.5 δ1 = δ2 = 0.5, µ1 = 0.75 Cho α = 1, γ = 0.1, (RDE3) có nghiệm  P(t) =  e−2t e−2t   với β = Do đó, theo định lí 3.1.1, hệ cho ổn định H∞ Hơn nữa, tính toán chứng minh Định lí 3.1.1 ta p0 = 1, ϒ = − e−2 + 41 e−1 số ổn định N = 34 ϒ β ≃ 1.7195 Từ ta được: (i) Với w(.) = 0, nghiệm x(t, φ ) hệ thỏa mãn đánh giá mũ x(t, φ ) ≤ 1.72e−t φ , t ≥ (ii) Với nhiễu = w(.) ∈ L2 ([0, ∞), R), hàm quan sát z(t) thỏa mãn điều kiện mức sau ∞ z(t) 2dt ≤ 0.1 sup 1.7195 φ + 0∞ w(t) dt 3.2 Bài toán ổn định hóa H∞ Trong phần này, nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho lớp hệ dạng (3.1) Dựa điều kiện ổn định H∞ đưa mục 3.1, tìm điều kiện ổn định hóa tương ứng với lớp hàm điều khiển dạng u(t) = K(t)x(t) Xét lớp hệ điều khiển dạng sau  p    x(t) ˙ = A0 (t)x(t) + ∑ Ai (t)x(t − hi(t))    i=1   q t + ∑ Dk (t) x(s)ds + B(t)u(t) + B1 (t)w(t), t ≥ 0,   t−r (t) k  k=1     x(t) = φ (t), t ∈ [−d, 0], (3.16) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm vectơ điều khiển, A0 (t), Ai (t), Dk (t), i ∈ p, k ∈ q B(t), B1 (t) hàm ma trận liên tục [0, ∞), hàm trễ hi (t), rk (t) thỏa mãn điều kiện (3.2) Với số kí hiệu giới thiệu mục 3.1, kí hiệu ˆ = [B(t)BT (t) − I]R(t) + R(t)[B(t)BT (t) − I], R(t) 2 35 xét phương trình vi phân Riccati ma trận sau ˙ + AT ˆ P(t) (t)Pβ (t) + Pβ (t)A0 (t) + 2α Pβ (t) − Pβ (t)R(t)Pβ (t) + Q(t) = (RDE4) Các điều kiện ổn định hóa H∞ hệ (3.16) cho định lí sau Định lí 3.2.1 Cho trước α > 0, γ > Hệ (3.16) H∞ ổn định hóa tồn β > hàm ma trận P ∈ BM +[0, ∞) thỏa mãn (RDE4) Hàm điều khiển ngược cho u(t) = − BT (t)R(t)[P(t) + β I]x(t), t ≥ Chứng minh Với hàm điều khiển u(t) = K(t)x(t), K(t) = − BT (t)R(t)Pβ (t), hệ đóng tương ứng (3.16) cho p x(t) ˙ = [A0 (t) + B(t)K(t)]x(t) + ∑ Ai (t)x(t − hi (t)) i=1 q + ∑ Dk (t) k=1 t t−rk (t) (3.17) x(s)ds + B1(t)w(t), t ≥ Kí hiệu A0(t) = A0 (t) + B(t)K(t) Khi hệ (3.17) viết lại sau p x(t) ˙ = A0 (t)x(t) + ∑ Ai (t)x(t − hi (t)) q + ∑ Dk (t) k=1 i=1 t t−rk (t) (3.18) x(s)ds + B1(t)w(t) Trước hết, ý ˆ Pβ (t)[B(t)BT (t) − I]R(t)Pβ (t) Pβ (t)R(t)P (t) = β + Pβ (t)R(t)[B(t)BT (t) − I]Pβ (t) = − [Pβ (t)B(t)K(t) + K T (t)BT (t)Pβ (t)] − Pβ (t)R(t)Pβ (t) 36 Từ ta có T T T ˆ AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A0 (t) − Pβ (t)R(t)Pβ (t) = [A0 (t) + K (t)B (t)]Pβ (t) + Pβ (t)[A0 (t) + B(t)K(t)] + P(t)R(t)P(t) ¯ = A¯ T (t)Pβ (t) + Pβ (t)A0 (t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) Do ¯ ˙ + A¯ T P(t) (t)Pβ (t) + Pβ (t)A0 (t) + 2α Pβ (t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) + Q(t) = Theo Định lí 3.1.1, hệ đóng (3.17) ổn định H∞ , đo (3.16) H∞ ổn định hóa Định lí chứng minh Ví dụ 3.2.1 Xét hệ điều khiển (3.16) với p = q =     −t −t − 1+e−t −1 e (1 + e ) , , A1 (t) = e0.5t−1  A0 (t) =  −t −t − 1+e−t e (1 + e )     1 1  , B(t) = + e−t   , D(t) = e0.5(t−1)  1   0 , C(t) = , B1 (t) = + e−t 0.5 h(t) = sin2 t, r(t) = cos2 t Tacó h  = 2, r = δ1 = µ1 = 0.75 Cho α = 0.5, γ = 0.25 Khi P(t) =  thỏa mãn (RDE4) với β = Do đó, theo Định lí 3.2.1, hệ (3.16) e−t  H∞ ổn định hóa Hàm điều khiển ngược cho u(t) = −e−t (1 + e−t ) 2 x(t), 37 t ≥ KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính không dừng với trễ hỗn hợp biến thiên Kết đạt được: • Một điều kiện đủ tính chất ổn định H∞ (khi điều có điều khiển) Bằng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii, tìm điều kiện ổn định thông qua nghiệm lớp phương trình Riccati ma trận Điều kiện đảm bảo hai yêu cầu: (i) Khi nhiễu w(.) = 0, hệ α -ổn định mũ; (ii) chuẩn ánh xạ chuyển Tw,z thỏa mãn ∞ ≤ γ điều kiện mức Tw,z • Áp dụng điều kiện ổn định H∞ , tìm điều kiện ổn định hóa H∞ cho lớp hệ điều khiển tương ứng • Tính hiệu điều kiện ổn định, ổn định hóa H∞ minh họa ví dụ 38 KẾT LUẬN CHUNG Nội dung luận văn trình bày số kết nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho số lớp hệ không dừng có trễ biến thiên phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii Nội dung chương phát triển từ báo [18], xây dựng hàm điều khiển dạng có trọng, góp phần giảm tính bảo thủ điều kiện ổn định hóa Chương nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho lớp hệ điều khiển xét [3] Dựa hàm Lyapunov-Kraasovskii đưa [3], tìm điều kiện ổn định ổn định hóa H∞ cho lớp hệ nói Kết đạt chương kết mở rộng [3] 39 Tài liệu tham khảo [1] Lê Văn Hiện (2010), Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân điều khiển, Luận án Tiến sĩ Toán học, ĐHSP Hà Nội [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] T.T Anh, L.V Hien and V.N Phat (2011), Stability analysis for linear non-autonomous systems with continuously distributed multiple timevarying delays and applications, Acta Math Viet., 36, 129-143 [4] S Boyd, L.E Ghaoui, E Feron and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, SIAM, Philadelphia [5] E Fridman and U Shaked (2003), Delay-dependent stability and H∞ control: constant and time-varying delays, Int J Control, 76, 48–60 [6] K Gu (2000), An integral inequality in the stability problem of timedelay systems, IEEE Conference on Decision and Control, IEEE Publisher, New York [7] K Gu, V.L Kharitonov and J Chen (2003), Stability of Time-Delay Systems, Berlin, Birkhauser 40 [8] J Hale and S.M Verduyn Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equations, New York, Springer-Verlag [9] S.H Xu, J Lam and M Zhong (2006), New exponential estimates for time-delay systems, IEEE Trans Aut Contr 51 , 1501-1505 [10] L.V Hien and V.N Phat (2009), Delay feedback control in exponential stabilization of linear time-varying systems with input delay, IMA J Math Contr Inf., 26, 163-177 [11] L.V Hien and V.N Phat (2009), Exponential stability and stabilization of a class of uncertain linear time-delay systems, J Frank Inst., 346, 611-625 [12] V Kolmanovskii and A Myshkis (1992), Applied Theory of Functional Differential Equations, Kluwer Academic Publishers [13] H Li, X Jing, H.R Karimi (2014), Output-feedback-based H∞ control for vehicle suspension systems with control delay, IEEE Trans Ind Electron., 61, 436-446 [14] R Nagpal and K.M Khargonekar (1991), H∞ control of linear timevarying systems: A state-space approach, SIAM J Control Optim., 29, 1394- 1413 [15] V.N Phat (2006), Global stabilization for linear continuous timevarying systems, Appl Math Comput., 175, 1730 - 1743 [16] V.N Phat and D.Q Vinh (2007), Controllability and H∞ control for linear continuous time-varying uncertain systems, Diff Equ Appl., 4, 105111 41 [17] V.N Phat, D.Q Vinh and N.S Bay (2008), L2 stabilization and H∞ control for linear non-autonomous time delay systems in Hilbert spaces via Riccati equations, Adv Nonlinear Var Inequal., 11, 1-12 [18] V.N Phat and Q.P Ha (2009), H∞ control and exponential stability for a class of nonlinear non-autonomous systems with time-varying delay, J Optim Theory Appl., 142, 603-618 [19] U Shaked, I Yaesh (1998), H∞ static output-feedback control of linear continuous-time systems with delay, IEEE Trans Automat Contr., 43, 1431-1436 [20] M.V Thuan, L.V Hien, V.N Phat (2014), Exponential stabilization of non-autonomous delayed neural networks via Riccati equations, Appl Math Comput., 246, 533-545 [21] Y.Wang, L.Xie and C.E de Souza (1992), Robust control of a class of uncertain nonlinear systems, Syst Control Lett., 19, 139-149 42 [...]... tôi xét bài toán điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến không dừng có trễ biến thiên Hai trường hợp của hàm trễ: (i) Hàm trễ ˙ ≤ δ < 1 và (ii) hàm trễ biến thiên nhanh, được nghiên biến thiên chậm h(t) cứu Các điều kiện ổn định hóa H∞ của hệ được đặt thông qua nghiệm không âm của một số lớp phương trình vi phân Riccati ma trận để thiết kế hàm điều khiển giải bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ nói trên... nói trên 26 Chương 3 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ HỖN HỢP BIẾN THIÊN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một lớp hệ tuyến tính không dừng đa trễ dạng hỗn hợp phân phối và rời rạc biến thiên Chúng tôi tìm các điều kiện ổn định hóa H∞ thông qua nghiệm của lớp phương trình vi phân Riccati ma trận phù hợp với hàm điều khiển ngược dạng u(t)... Chương 2 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ BIẾN THIÊN VÀ NHIỄU PHI TUYẾN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên và nhiễu phi tuyến Bằng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và dựa trên cách tiếp cận bằng các điều kiện dạng phương trình vi phân Ricatti ma trận, chúng tôi xây dựng hàm điều khiển ngược... đó hệ (1.1) là ổn định tiệm cận toàn cục đều 1.2 Bài toán điều khiển H∞ Xét hệ điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), x(t0 ) = x0 , (1.2) ở đó x(t) ∈ Rn là trạng thái của hệ, u(t) ∈ Rm là biến điều khiển Một hệ thống điều khiển mô tả một quá trình vận hành thông tin dạng “vào-ra”, ở đó, với mỗi hàm điều khiển (đóng vai trò thông tin “đầu vào"), hệ (1.2) sẽ cho một. .. chương, chúng tôi tìm điều kiện ổn định H∞ Dựa trên các điều kiện ổn định H∞ thu được, trong phần sau của chương chúng tôi tìm được các điều kiện ổn định hóa H∞ cho lớp hệ nói trên Sau mỗi phần chúng tôi đưa ra một số ví dụ số minh họ cho các kết quả thu được 3.1 Tính ổn định H∞ Trong mục này, chúng tôi phân tích tính ổn định H∞ của một lớp hệ tuyến tính không dừng với trễ hỗn hợp biến thiên Cụ thể, sử... Lyapunov-Krasovskii, chúng tôi tìm các điều kiện thông qua nghiệm của một lớp phương trình vi phân Riccati phù hợp đảm bảo đồng thời hai điều: (i) Khi không có nhiễu, hệ là α -ổn định mũ; và (ii) Điều kiện γ -mức (2.4) được thỏa mãn Kết quả nhận được trong mục này là cơ sở để giải bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ điều khiển tương ứng Xét lớp hệ tuyến tính không dừng với trễ hỗn hợp dạng phân phối và rời... ma trận, chúng tôi xây dựng hàm điều khiển ngược dạng có trọng cho lời giải bài toán H∞ dựa trên nghiệm của lớp phương trình Riccati ma trận được đưa ra Một số ví dụ được đưa ra nhằm minh họa cho các điều kiện nhận được Nội dung của chương này phát triển từ nội dung bài báo [18] 2.1 Phát biểu bài toán Xét lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên và nhiễu phi tuyến dạng    x(t) ˙ = A(t)x(t)... trận đạt được (matrix gain) của hệ [2] Các hệ thống trong thực tiễn kĩ thuật không chỉ phụ thuộc các tham số điều khiển mà còn có sự xuất hiện các nhiễu trạng thái, tức là các tham số không biết trước (có thể do sai số hoặc mất dữ liệu khi vận hành hệ thống) Vì vậy bài toán tối ưu định mức chuẩn các hàm quan sát đầu ra so với các độ nhiễu (bài toán H∞ ) là bài toán có ý nghĩa ứng dụng kĩ thuật, đã... nghiên cứu (xem [5, 14, 16, 17, 19]) Bài toán H∞ đối với hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) + Dw(t), z(t) = Cx(t) + Eu(t) t ≥ 0, (1.5) x(0) = x0 ở đó z(t) ∈ Rr là hàm quan sát, w(t) ∈ L2 (0; ∞, Rs ) là nhiễu đầu vào; A, B,C, D, E là các ma trận cho trước với số chiều thích hợp Bài toán điều khiển H∞ đối với hệ (1.5) là bài toán tìm hàm điều khiển SFC u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng x(t) ˙ = [A + BK]x(t) 8... φ Cho s → ∞ và đặt 2 , ∀s ≥ 0 p + β + ε1h + 2ε2h2 , c0 = γ ta được c0 φ ∞ 2 0 z(t) dt 2 + ∞ ω (t) 2 dt 0 ≤ γ, với mọi ω ∈ L2 ([0, ∞), Rr ), ω = 0 Do vậy điều kiện γ -mức trong định nghĩa của bài toán điều khiển H∞ đúng Định lí được chứng minh Trong phần còn lại của chương này, chúng tôi xét bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2.1) với hàm trễ liên tục và không nhất thiết khả vi Chúng tôi kí hiệu một số ... Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ BIẾN THIÊN VÀ NHIỄU PHI TUYẾN Trong chương này, nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên. .. hóa H∞ hệ đặt thông qua nghiệm không âm số lớp phương trình vi phân Riccati ma trận để thiết kế hàm điều khiển giải toán điều khiển H∞ cho lớp hệ nói 26 Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO LỚP HỆ... này, xét toán điều khiển H∞ cho lớp hệ phi tuyến không dừng có trễ biến thiên Hai trường hợp hàm trễ: (i) Hàm trễ ˙ ≤ δ < (ii) hàm trễ biến thiên nhanh, nghiên biến thiên chậm h(t) cứu Các điều kiện