tóm tắt tích tenxơ các không gian hilbert tách

1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vectơ suy rộng lần đầu tiên được nhà toán học nổi tiếng Ucraina  Iu.M.Beredanxki đưa ra và nghiên cứu khi xét bài toán biên đối với phương  trình đạo hàm riêng   7,8,9  Tuy nhiên các vấn đề lân cận với hướng đó đã được  các nhà toán học M.G.Krein  10 , J.Leray   6 , P.D.Lax 5  đưa ra và nghiên cứu  sớm hơn Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn, trên cơ sở sơ đồ tích tenxơ và những  nhận  xét  về  tích  tenxơ  các  không  gian  Hilbert  của  Giáo  sư­Viện  sĩ  Yu.M.Berezanxki,  và  nhằm  trình  bày  lại  các  kết  quả  một  cách  tổng  quan  ,  nghiên cứu thêm về các bao hàm thức không gian Hilbert tách và áp dụng các  kết quả, cùng với sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS_TS_GVCC Nguyễn  Phụ Hy, tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Tích tenxơ các không gian Hilbert tách” 2. Mục đích nghiên cứu Trình  bày  một  cách  hệ  thống  khái  niệm  về  tích  tenxơ  các  không  gian  Hilbert tách, tích tenxơ các không gian Hilbert của các vectơ suy rộng, các bao  hàm thức giữa các không gian đó và các toán tử tuyến tính bị chặn tác dụng trên  chúng 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống ,chi tiết về  không  gian  Hilbert  tách,  khái  niệm  tích  tenxơ  các  không  gian  Hilbert  tách,  về  toán tử và phiếm hàm tuyến tính liên tục tác dụng trên tích tenxơ các không gian  Hilbert 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả của về  không gian Hilbert tách và tích tenxơ các không gian Hilbert tách Phạm  vi  nghiên  cứu:  Các  tài  liệu,  các  bài  báo  trong  và  ngoài  nước  liên  quan đến tích tenxơ các không gian Hilbert tách 5. Phương pháp nghiên cứu ­  Thu  thập  tài  liệu  và  các  bài  báo  về  tích  tenxơ  các  không  gian  Hilbert  tách ­ Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất ­ Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống những kiến thức về “Tích tenxơ các  không  không gian Hilbert tách” và toán tử tuyến tính bị chặn tác dụng trong các tích  tenxơ đó.Vận dụng vào không gian  ℝ ,  l2 n Chương 1 KHÔNG GIAN HILBERT 1.1.Khái niệm không gian Hilbert 1.1.1. Các định nghĩa   Định  nghĩa  1.1.1.  Cho  không  gian  tuyến  tính  X   trên  trường  P (  P   là  trường số thực  ℝ  hoặc trường số phức  ℂ ). Ta gọi là tích vô hướng trên không  gian  X  mọi ánh xạ từ tích Descartes   X  vào trường  , kí hiệu  .,. , thỏa mãn  P tiên đề: 1)  x, y  X  y, x    x, y ; 2)  x, y, z  X  x  y, z    x, z    y, z  ; 3)  x, y  X    P  x, y     x, y  ; 4)  x  X  x, x   nếu  x   ,  x, x    nếu  x   ,(   là ký hiệu phần tử không của không gian  X ) Các phần tử  x, y, z gọi là các nhân tử của tích vô hướng x y Số   x, y   gọi là tích vô hướng của hai nhân tử   và    Các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính  X trên trường  P  cùng với một tích vô  hướng trên  X  gọi là không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.1.3. Ta gọi một tập  H   gồm những phần tử  x, y, z  nào đấy là  không gian Hilbert, nếu tập  H  thỏa mãn các điều kiện:  1) H  là không gian tuyến tính trên trường  P ; 2) H  được trang bị một tích vô hướng  .,. ; 3) H  là không gian Banach với chuẩn  x  ( x, x) , x  H Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert  H  là không  gian Hilbert con của không gian  H Định lý 1.1.1: (Bất dẳng thức schwartz): Đối với mỗi  x X  ta dặt : x  ( x, x )  (1.1.1) Khi đó  x, y  X  ta có bất đẳng thức Schwarz:   ( x, y )  x y (1.1.2) Hệ quả1.1.12. Không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn xác  định bởi công thức(1.1.1)  Chứng minh: Nếu  ( x, y )   thì bất đẳng thức (1.1.2) hiển nhiên đúng Nếu   ( x, y )   thì    ℝ  ta có:    x   ( x, y ) y , x   ( x, y ) y   x   ( x, y )( y, x)   ( x, y )( y, x)   ( x, y )( x, y )( y, y ) 2  x  2 ( x , y )   ( x , y ) y Từ bất đẳng thức trên ta nhận được một tam thức bậc hai không âm với    ℝ   Do đó  ( x, y )  ( x, y ) x 2 y   ( x, y )  x 2 y  ( x, y )  x y Vậy  ( x, y )  x y (x, y  X )  Hệ quả 1.1.21. Tích vô hướng  ( x, y )  là môt hàm liên tục của hai biến  x  và  y   theo chuẩn (1.1.1)  x Chứng minh: Giả sử dãy điểm   xn   X  bất kỳ hội tụ tới  , dãy điểm bất kỳ   yn   Y  hội tụ tới  y  Khi đó,   C    n  N *  yn  C  xn , yn   ( x, y )   xn , yn   ( x, yn )   x, yn   ( x, y )             xn  x yn  x yn  y *              C xn  x  x yn  y  n  N    Suy ra,  n  lim xn , yn   ( x, y )                                                             □ Hệ quả1.1.2. Không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn xác  định bởi công thức(1.1.1) Chứng minh:  Thật vậy, ta kiểm tra các tiên đề sau: 1)  x  X  x  x   x, x   0,  x, x    x     là ký hiệu phần tử không của không gian tiền Hilbert  X   (Do cách xây dựng   x, x  ); 2)  x  X    P   x  ( x,  x)    x, x  3)  x, y  X  x  y  ( x  y, x  y )   x, x  y    y , x  y    x, x    y , x    x, y    y , y   x 2 x y  y Vậy không gian tiền Hilbert  X  là không gian định chuẩn Chuẩn sinh bởi công thức (1) gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian Hilbert  H  Hai phần tử   x, y  H  gọi là trực  giao, ký hiệu  x  y,   nếu   x, y   Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian Hilbert  H  và tập con  A  H ,  A    Phần tử  x  H  gọi là trực giao với tập  A , nếu   x  y (y  A),  và ký hiệu   x  A Định  nghĩa  1.1.6.  Cho  không  gian  Hilbert  H   và  không  gian  con  E  H   Tập  con  F  H  gồm các phần của không gian  H  trực giao với tập  E  gọi là phần bù  trực giao của tập  E  trên  không gian  H  và ký hiệu : F  H E Định  nghĩa  1.1.7.  Cho  không  gian  Hilbert  H   Một  tập  (  còn  gọi  là  hệ  thống)  gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử   en n1  H  gọi là một hệ trực chuẩn,  nếu   e , e       i j ij  ij  là ký hiệu Kroneckes,    ij   với  i  j ,   ij   với   i  j ,   i, j  1, 2,  Định nghĩa 1.1.7. Hệ trực chuẩn   en n1  trong  không gian Hilbert   gọi là cơ  sở trực chuẩn của không gian  H  , nếu trong không gian  H  không  tồn tại vectơ  khác không nào trực giao với hệ đó Định nghĩa 1.1.8. Cho  A  là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian  Hilbert   X và không gian Hilbert   Y  Toán tử  B  ánh xạ không gian  Y vào không  gian  X  gọi là toán tử liên hợp với toán tử  A , nếu  H  Ax, y    x, By  , x  X , y  Y Toán tử liên hợp  B  được ký hiệu là  A Định nghĩa 1.1.9. Toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert  H  vào  chính nó gọi là tự liên hợp, nếu   Ax, y    x, Ay  , x, y  H Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng 1.1.2. Một số tính chất cơ bản  1)   x  X  , x   Thật vậy,   x  X  , x    0.x, x    x, x   2)   x, y  X    P  x,  y    ( x, y ) Thật vậy, với   x, y  X    P   ta có   x,  y    y, x     y, x    ( x, y ) 3)   x, y, z  X  x, y  z   ( x, z )  ( y, z ) Chứng minh. Thật vậy, với   x, y, z  X   ta có   x, y  z    y  z, x   ( y, x)  ( x, z )  ( x, y)  ( x, z ) 4)     x  x  H   (  là ký hiệu phần tử không của không gian) Chứng minh.  Vì   x  H  ta có   , x   nên    x    5)  x  H mà  x  x  thì  x   Chứng minh. Vì  x  x  ta có   x, x     ,   nên   x   6) Nếu các phần tử  x, y j  H ( j  1, 2,3, , n)  thỏa mãn điều kiện  x  y j ( j  1, 2, , n ),   j  P ( j  1, 2,3, , n) n x   j y j j 1 thì   ta có  Chứng minh  Thật vậy, nhờ các tính chất của tích vô hướng  n  n  n x ,  y  ( x ,  y )   j ( x, y j )    j j   j j j 1  j 1    j 1 xH  yn   H 7) Cho phần tử   và dãy các phần tử   hội tụ tới  y  H  theo chuẩn  x  ( x, x) Nếu  x  yn (n  N  )  thì  x  y   Thật vậy, theo tính liên tục của tích vô hướng, ta có :    yn   lim  x, yn    x, y    x, nlim  n  Chú ý. Theo tính chất 7) và định nghĩa (1.1.6) thì  F  là không gian con  của  không  gian  H     Khi  đó  không  gian H biểu  diễn  được  dưới  dạng  tổng  trực  tiếp: H  F  E   x  x1  x2 : x1  F , x2  E Trong trường hợp hai tập  E ,  F  mà tập này là phần bù trực giao của tập  kia trên  không gian  H , thì tổng trực tiếp  F  E  gọi là tổng trực giao 8) Cho A  là tập con trù mật khắp nơi trong không gian  H  . Khi đó, nếu  x  H    và  x  A  thì  x   Thật vậy, giả sử   x  H   và  x  A  Do A là tập con trù mật khắp nơi trong không  x H H gian  , nên tồn tại dãy phần tử   xn   A  hội tụ tới   trong không   Áp dụng  tính chất 7) ta được  x  x,  do đó  x   1.2.Một số định lý quan trọng  1.2.12. Định lý về hình chiếu lên không gian con  Định lý 1.2.1. Cho không gian Hilbert  H và  H  là không gian con của  H  Khi  đó phần tử bất kỳ  x  H  biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng  x  y  z , y  H , z  H                     (1.2.1) Phần tử  y  trong biểu diễn (1.2.1) gọi là hình chiếu của phần tử  x  lên không  gian con  H 1.2.2. Bất đẳng thức Bessel Định lý 1.2.2. Nếu   en n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert , thì  H x  H  ta đều có bất đẳng thức   (1.2.2) Bất đẳng thức (1.2.2) gọi là bất   ( x, en )  x đẳng thức Bessel n 1 Chứng minh. Đặt  d  inf x  u , theo tính chất cận dưới đúng  tồn tại một dãy  uH lim x  un  d u  H0 phần tử   n   sao cho  n  Ta có: x  un Đặt  d k  x  uk (k  1, 2,3 )  x  um u  um 4 x n 2 u  u   H0  Do  n m , nên ta có: un  um  2d n2  2d m2  4d (n, m  1, 2, )  un  um lim un  um  Suy ra  n,m không gian con  H0  Mặt khác do  H lim un  y  H , ta có  n  là không gian Banch và tính đóng của  , nghĩa là  x  y  lim x  un  d Đặt  z  x y do đó  v  n  ,ta chứng minh  z  H  Thật vậy, giả sử  v  H  mà   z, v   c  0,    Suy ra phần tử  w  y c v  H0  v, v   và  d  xw 2   c c c  x y v   z  v, z  v   v, v   v, v   v, v    c c c c.c  z  c c  d 2,  v, v   z   v, v   v, v   v, v   v, v  điều này vô lý. Suy ra  ( z, u )  0, u  H  hay  z  H Cuối cùng ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn (1.2.1) Giả sử phần tử  x  H  có thể biểu diễn dưới dạng (1.2.1) bằng hai cách  x  y  z  y '  z ' , y, y '  H , z  H , z '  H ' ' ' ' Khi đó   y  y   ( z  z )  0, y  y  H , z  z  H  Áp dụng định lý Pythagore ta  được  y  y'  z  z'   y  y' , z  z' , Vậy biểu diễn (1.2.1) là duy nhất Định lý được chứng minh.                                                         □   1.2.32. Định lý về đẳng thức Paseval và phương trình đóng H  Định lý 1.2.32. Cho   en n1  là một hệ trực chuẩn trong  không gian Hilbert   .  Khi đó năm mệnh đề sau là tương đương: H 1) Hệ    en n1  là cơ sở trực chuẩn của không gian  ; 2) 3)  x  H  x   ( x, en )en ; n 1 ;  x, y  H  x, y    ( x, en )(en , y) n 1  x  H  x   ( x, en )  (Đẳng  thức Paseval); 4) ( Phương trình đóng); n 1 H 5)   Bao tuyến tính của hệ   en n1  trù mật khắp nơi trong không gian    ( nghĩa là,  tập tất cả tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kỳ các  H phần tử thuộc hệ    en n1  trù mật khắp nơi trong không gian  ) Lưu ý. Tích vô hướng  ( x, en )  gọi là hệ số Fourier của phần tử  x  H  đối với hệ   en n1  H  ( x, e )  Theo bất đẳng thức Bessel   n  x trực chuẩn   chuỗi số gồm  n 1 các bình phương modun các hệ số Fourier của một phần tử bất kỳ thuộc không  gian Hilbert  H  theo một hệ trực chuẩn tùy ý trong không gian  H  bao giờ cũng   ( x, e ).e n n hội tụ. Từ đó suy ra chuỗi  n1  hội tụ  và gọi là chuỗi Fourier  của phần tử  xH  theo hệ trực chuẩn   en n1  H     ( x, e ).e 1)  2) n n Chứng minh.   Theo nhận xét trên, chuỗi   n1  hội tụ trong không  H x  H gian   đối với phần tử bất kỳ    Ký hiệu tổng của chuỗi đó là z. Khi đó  m  N   và  k  m  ta có:   k  z  x, em    z, em    x, em   lim  ( x, en ).en ,em    x, em    x, em    x, em   k    n 1 zx  en n1 Vậy   zx x   ( x, en ).en  trực giao với cơ sở trực chuẩn   . Do đó   hay    n 1 2)  3)   Áp dụng tính chất tích vô hướng  ( x, y )  là một hàm liên tục của hai biến  x  và  y  theo chuẩn (1.1.1)  ta có: k k   ( x, y )   lim  ( x, en ).en , lim  ( y, e j ).e j  k  j 1  k  n 1  k k    lim   ( x, en ).en ,  ( y, e j ).e j  k  j 1  n 1  k k  lim  ( x, en )( y, e j )(en , e j ) k  n 1 j 1 k              Vậy    lim  ( x, en )( y, en )   ( x, en ).(en , y ) k  ( x, y )   ( x, en ).(en , y ) n 1 n 1 n 1 3)  4)   Cho  y  x  thay vào đẳng thức Paseval ta được x   x, x    ( x, en ) n 1 4)  5)  ( x, e ).e n n   Theo chứng minh trên ta biết chuỗi   n1  hội tụ trong không gian  H xH  đối với phần tử bất kỳ   . Mặt khác vì  ( x, en ).en  ( x, en ) , n  , nên ta có: k k    k  x  ( x , e ) e , x  ( x , e ) e  x    n n n n   x,  ( x, en ).en  n 1 n 1    n 1         ( x, en ).en , x     ( x, en ).en ,  ( x, en ).en  n 1  n1   n1   x   ( x, en )   ( x, en )   ( x, en )  2 n 1  Vậy  n 1 n 1 x   ( x, en ).en n 1 k Suy ra  x  lim  ( x, en ).en , x  H , k  n 1 10 nghĩa là  x  giới hạn của một dãy các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kì  các phần tử thuộc hệ   en n1  H  Vì vậy bao tuyến tính của hệ   en n1  trù mật  trong không gian  H   5)  1)   Giả sử  x  H  và  x  en ,  n  1, 2,3   Khi đó, theo tính chất 6), x  trực giao  với bao tuyến tính của hệ   en n1  . Nhưng bao tuyến tính của hệ   en n1   trù mật  khắp nơi trong không gian  H , (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một  số hữu hạn bất kỳ các phần tử thuộc hệ   en n1  trù mật khắp nơi trong không gian  H H ), nên  x    Vậy hệ   en n1  là cơ sở trực chuẩn của không gian  Định lý được chứng minh.                                                                       □   1.2.43. Điều kiện cần và đủ để một không gian Hilbert là không gian tách  Định lý 1.2.43. Không gian Hilbert có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi không  gian đó là không gian tách được Chứng minh. Điều kiên cần H Y Giả sử không gian Hilbert   có cơ sở trực chuẩn   en n1  Ký hiệu   là bao tuyến  Y tính của hệ   en n1  . Theo định lý (1.2.2) tập  trù mật khắp nơi trong không gian  H Ký hiệu  A  là tập tất cả tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn tùy ý vectơ thuộc  cơ sở trực chuẩn với hệ số hữu tỉ hoặc với hệ số phức có phần thực và phần ảo  hữu tỉ. Dễ dàng thấy tập  A  đếm được . Mặt khác , với phần tử bất kỳ  y  Y  ta có  y  a1en1  a2 en   a p enp  Với     cho trước tùy ý, với mỗi  j  1, 2,3, , p  tìm  được số  rj  hữu tỉ hoặc số phức  rj  có phần thực và phần ảo hữu tỉ tùy theo số  a j   thực hoặc phức sao cho  a j  rj  p  z   rj en  A, p  Ta nhận được phần tử  j 1  và  p y  z   rj en   j 1 Từ đó suy ra tập  A  trù mật trong tập  Y , do đó tập A trù mật khắp nơi trong  H   Vậy  H  là không gian Hilbert tách được Điều kiện đủ  Giả sử không gian Hilbert H tách được và A là tập đếm được trù mật khắp  nơi trong không gian  H  Khi đó các phần tử của tập A viết được dưới dạng một  dãy, giả sử  A   zn n1  Nếu một phần tử nào đó  zn  A  là tổ hợp tuyến tính của  các vectơ  z1 , z2 , , zn 1 ,  thì vectơ đó bị loại bỏ. Ta nhận được dãy mới   xn n1 gồm  các vectơ độc lập tuyến tính (hữu hạn hay đếm được). Như vậy bao tuyến tính  của hệ trùng với bao tuyến tính của hệ   zn n1  Nhờ quá trình trực giao hóa  Hilbert­Schmidt, ta nhận được hệ trực chuẩn   en n1  Bằng phép quy nạp toán  học, ta thấy bao tuyến tính của các vectơ  e1 , e2 , , en  trùng với bao tuyến tính của  n các vectơ  x1 , x2 , , xn với mỗi số   nguyên dương. Do đó bao tuyến tính của các  hệ   en n1 trùng với bao tuyến tính của hệ   xn n1  Từ đó suy ra bao tuyến tính của  16  Suy raThật vậy,giả sử   xn n1  ℝ  là các vectơ hữu hạn hay đếm được phần tử  n x1 e1  x1  thì  độc lập tuyến tính . Đặt  Đặt  y2  x2   x2 , e1  e1  thì   y2 , e1    x2 , e1    x2 , e1  e1 , e1   e1  Hiển nhiên,  y2    vì  y2    sẽ kéo theo  x1 , x2  phụ thuộc tuyến tính, điều này  y2  e2 , e1   e2  y2  ta được  mâu thuẫn với giả thiết. Đặt  , k Giả sử đã xây dựng được   phần tử  e1 , e2 , , ek  sao cho   ei , e j    ij  i, j  1, 2, , k  e2  jk k Đặt  yk 1  xk 1    xk 1 , ei ei i 1  thì với  và  yk 1   , vì  yk 1    sẽ kéo theo  x1 , x2 , , xk  phụ thuộc tuyến tính, điều này mâu  ek 1  yk 1 ek 1   ek 1 , e j   0( j  1, 2, , k ) yk 1  ta được   và  thuẫn với gỉa thiết . Đặt  m Nếu dãy   xn n1  gồm   vectơ độc lập tuyến tính, thì quá trình trên dừng lại ở   bước thứ  m(m  ℕ ) ; còn nếu dãy   xn n1  gồm vô hạn vectơ độc lập tuyến tính ( n  1, 2, ), thì quá trình trên có thể tiếp tục mãi mãi. Cuối cùng ta nhận được hệ  trực chuẩn cần tìm   en n1 n x Giả sử  x  ℝ  và  x  en  n  1, 2,3   Khi đó   trực giao với bao tuyến tính của hệ   en n1  . Ký hiệu  M là bao tuyến tính của hệ   en n1  Khi đó  M trù mật khắp nơi  trong không gian  ℝ n (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu  n hạn bất kỳ các phần tử thuộc hệ   en n1  trù mật khắp nơi trong không gian  ℝ )  n nên  x    Vậy hệ   en n1  là cơ sở trực chuẩn của không gian  ℝ Ký hiệu  A là tập tất cả tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn số tùy ý thuộc cơ  sở trực chuẩn   en n1  với hệ số hữu tỉ. Khi đó A là tập đếm được Mặt khác, với một số bất kỳ  y  M ta có: p y  a1en1  a2 en   a p enp   a j enj j 1 Với     cho trước,  j  1, 2, , p  ta tìm được số  rj  : a j  rj  p  p p z   rj en  A y  z   a j  rj   j 1 j 1 Ta nhận được phần tử   và  n  A trù mật  trong  ℝ  A trù mật khắp nơi trong  ℝ n Suy ra  A trù mật  trong  M Do đó không gian  ℝ n là không gian tách được Vậy không gian  ℝ n là không gian Hilbert tách được 1.4.2. Không gian.  l2 17     l2   x   xk k 1 \ xk  ℂ ,  xk    k 1   Ký hiệu   Tập hợp Không gian  l2  cùng với hai phép toán: l2  l2  l2 Phép cộng: “+”:  x, y   x  y   xk  yk k 1  ℂ  l2  l2 Phép nhân: “ . ”:   , x    x    xk k 1  là không gian tuyến tính phức Thật vậy, hai phép toán trên đều tồn tại vì với  x   xk k 1 , y   yk k 1  l2 ,   ℂ     thì   xk  yk k 1  l2  và    xk k 1  l2   Hơn nữa, 8 tiên đề về không gian tuyến tính phức được thoả mãn  vì: 1)  x, y  l2   ta có:  x  y   xk k 1   yk k 1   xk  yk k 1   yk  xk k 1       yk k 1   xk k 1  y  x;  2)   x, y, z  l2 x  y   z   xk k 1   yk k 1    zk k 1   xk  yk k 1   zk k 1    ta có:                xk  yk  zk k 1   xk k 1   yk  zk k 1   xk k 1   yk k 1   zk k 1   x  ( y  z );   3)  x  l2 k  1, 2,  tồn tại     0k k 1  l2 , 0k   thỏa mãn:   x     xk k 1   0k k 1  ( xk  0k )   xk k 1  x    (  là phần tử không của không gian  l2 ) ; 4)  x  l2  tồn tại phần tử   x    xk k 1  l2  thỏa mãn:  x  ( x)   xk k 1    xk k 1   xk  xk k 1   k 1    x     chính là phần tử đối của  x  trong không gian  l2 ; 5)  x  l2 6)  x  l2 , a, b  ℂ  ta có:  1.x   xk k 1  1.xk k 1   xk k 1  x;     ta có:  a(bx)  a  bxk k 1   abxk k 1   ab  xk k 1  (ab) x;    18 7)  x  l2 , a, b  ℂ  ta có: (a  b) x  (a  b)  xk k 1   a  b  xk k 1    a  b  xk k 1      axk  bxk k 1   axk k 1   bxk k 1  a  xk k 1  b  xk k 1  ax  bx;  8)   x, y  l2 , a  ℂ        a ( x  y )  a  xk k 1   yk k 1   a  xk  yk k 1   axk  byk k 1    ta có:   axk k 1   byk k 1  a  xk k 1  b  yk k 1  ax  ay;                                                                         Ta xét ánh xạ  .,. : l2  l2  ℂ  ( x, y ) ↦ f ( x, y )   xk yk  ( x, y ) k 1 Khi đó, ánh xạ  .,.  là một tích vô hướng trên không gian  l2  l2  Không gian   được trang bị một tích vô hướng  ( x, y )   xk yk k 1 Vậy không gian  l2  là một không gian tuyến tính phức  l2  Không gian   được trang bị tích vô hướng  ( x, y )   xk yk x 1 Thật vậy, ta kiểm tra các tiên đề: 1)  2)    k 1 x 1  x, y  l2  y, x    yk xk   xk yk  ( x, y );   k 1 k 1  x, y, z  l2  x  y, z     xk  yk .zk    xk zk  yk zk          xk zk   yk zk  ( x, z )  ( y, z ); k 1 3)  k 1  4)    k 1 k 1  x, y  l2    ℂ  x, y     xk  yk    xk yk   ( x, y );  x  l2  x, x    xk k 1   x, x     xk k 1 2 0 x ,  với    xk   k  1, 2,   x   ;  l2 Vậy, không gian   là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng   Không gian  l2  là không gian Hilbert: ( x, y )   xk yk x 1 19 Thật vậy, chuẩn trên  l2  được xác định bởi hệ thức  x  ( x, x), x  l2 ;   (Hệ quả 1.1.2). Nên ta chỉ còn cần chứng minh  l2  là không gian Banach Ta xét dãy cơ bản bất kỳ   x n   n 1  l2  với    x n   xk n   k 1  n  1, 2,  Khi đó,      n0  ℕ   n, m  n0  :   x n  x m  k 1 xk n   xk m    Suy ra với mỗi  n, m  n0 : p  xk n   xk m    , p  1, 2, k 1 và  xk   xk n m             (1.4.1)   , k  1, 2,               (1.4.2) Các bất đẳng thức (1.4.2) chứng tỏ với mỗi   cố định tùy ý, dãy số phức   xk    n là dãy cơ bản, do đó tồn tại giới hạn:  n   n  lim xk n   xk , k  1, 2, p Đặt  x   xk    xk k 1  Vì bất đẳng thức (1.4.1) không phụ thuộc   nên ta có thể   cho qua giới hạn trong bất đẳng thức (1.4.1) khi  m  ,  khi đó ta được: p  x   x k 1 n k k   , n  n0 , p  1, 2,    (1.4.3) Cho qua giới hạn trong đẳng thức (1.4.3) khi  p    ta được:   x   x k 1 n k k   , n  n0         (1.4.4) Mặt khác,  xk  xk  xk n   xk n  2   x  n k  xk  xk n   2  xk n   xk n   xk , k , n  1, 2, Từ bất đẳng thức (1.4.4) và (1.4.5) suy ra:  (1.4.5) 20 p  k 1 p p  2  xk  2 xk   2 xk   xk  2 xk   2 xk   xk n k 1  n k 1 n k 1 n k 1  2 xk n1   2 , p  1, 2, , n1  n0 k 1     xk  2 xk   2 , n1  n0 k 1 n k 1 Do đó  x   xk   l2  Từ kết quả trên đây và hệ thức (1.4.4) suy ra x n  x    x   x k 1 n k k   , n  n0  Nên dãy cơ bản đã cho hội tụ tới  x  trong không gian  l2 Suy ra Kkhông gian  l2  là một không gian Banach với chuẩn  x  ( x, x )   x k 1 k Do đó, Vậy, không gian  l2  là một không gian Hilbert Mặt khác,  l2  là không gian là không gian tách  Thật vậy,giả sử  x   xn n1  là phần tử bất kì thuộc  l2 và  là số dương cho trước  l2 , tùy ý. Theo định nghĩa  p   chuỗi số  n 1  0 xn hội tụ, nghĩa là với  đã cho, tồn tại   số nguyên dương   sao cho  n  p 1 Đối với mỗi số  xn ta tìm được số  rn (n  1, 2, , p), sao cho:   xn  xn  rn  2 ; 4p (ở đây, nếu  xn  là số thực thì số  rn  là số hữu tỉ, còn nếu  xn là số phực thì số  rn   được hiểu là số phức với phần thực và phần ảo đều hữu tỉ) Suy ra  x n 1 Đặt  x ( p)  ( x1 , x2 , , x p , 0, 0, , 0), y d ( p)  dy n    ( y1 , y2 , , y p , 0, 0, , 0) , thì   x ( p ) , y ( p )  l2  và ( p)      2    x( p)  x     2 , x( p)   d  x( p) , x   y ( p)  x  y ( p)  x( p) Điều này chứng tỏ tập  B  gồm tất cả các dãy số dạng 21 y ( p )  ( y1 , y2 , , y p , 0, 0, , 0), Do đó không gian  l2 là không gian tách được Suy ra, Vậy  l2 là không gian Hilbert tách được Chương 2 TÍCH TENXƠ CÁC KHÔNG GIAN HILBERT TÁCH 2.1.Khái niệm tích tenxơ các không gian Hilbert tách 2.1.1. Sơ đồ thành lập tích tenxơ các không gian Hilbert tách Trong cuốn sách  9  Giáo sư_Viện sĩ Yu.M.Berezanxki đã đưa ra sơ đồ  thành lập tích tenxơ hai không gian Hilbert như sau: Giả sử  H '  và  H "  là hai không gian Hilbert trên trường  K ( K   là trường số phức  ℂ   hoặc  trường  số  thực ℝ ).  Các  phần  tử  của  H '   và  H "   lần  lượt  được  ký  hiệu  22 f ' , g ' và  f " , g "  Ký hiệu f '  f " được gọi là tích tenxơ của hai phần tử  f '  H ' , f "  H " nếu ký hiệu đó thỏa mãn các điều kiện: T  f '  g '   f "  f '  f "  g '  f " ;    T f '   f "  g "   f '  f "  f '  g " ;  (2.1.1)  T   f '   f "  f '    f "     f '  f  ,   K  ' " Ký hiệu  L là bao tuyến tính các tích tenxơ của hai phần tử dạng  f  f với  f '  H ' , f "  H " và đưa vào L  tích vô hướng dạng:   f '  f ", g '  g"  L , f '  f " , g '  g "    f ' , g '  '  f " , g "  H H"   (2.1.2) Ta nhận được không gian tiền Hilbert  L  Làm đầy không gian tiền Hilbert  L   theo chuẩn sinh bởi  tích vô hướng (2.1.2) và thác triển tích vô hướng (2.1.2) từ  L lên toàn bộ không gian đã được làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng  đó, ta nhận được không gian Hilbert mới. Không gian Hilbert mới nhận được  gọi là tích tenxơ của hai không gian Hilbert  H '  và  H " , ký hiệu là  H '  H " Tuy nhiên, đối với không gian Hilbert nói chung việc chứng minh hệ thức  (2.1.1) là một tích vô hướng không phải dễ. Trong luận văn này, tôi chỉ xét các  không gian Hilbert tách.  2.1.2. Tích tenxơ các không gian Hilbert tách  Giả sử  H '  và  H "  là hai không gian Hilbert tách trên trường  K  ( K  là  trường số thực  ℝ  hay trường số phức  ℂ ) ) , (e j ) j 1 và  (ek ) k 1  là các cơ sở trực  ' " chuẩn tương ứng trong các không gian  H '  và  H " , các phần tử của  H '  và  H "   ' ' " " được ký hiệu lần lượt là  f , g và  f , g Giả sử tập hợp kí hiệu  e j  ek  thỏa mãn điều kiện (2.1.1) ' Định lý 2.1.1. Với  " f '  H ' , f '   f j'e'j j 1  ,  f "  H " , f "   f k"ek" k 1 thức   tập hợp các tích hình  23  f' f"  j , k 1 f j' f k"e'j  ek" ,                              (2.1.32) thỏa mãn các điều kiện (2.1.1)  ' " ' ' ' " Kí hiệu  L  L  f  f   là bao tuyến tính các tích hình thức  f  f với  f  H , f "  H " ' " K  Khi đó,  L  L  f  f   trở thành không gian vectơ trên trường  ' " ' "  Định lý 2.1.2. Với  f  f  L ,  g  g  L  đặt f '  f " , g '  g "    f ' , g '  '  f " , g "  H ,     (2.1.23) H" xác định một tích vô hướng trên không gian  L Giả sử, các phần tử  f ' , g '  và  f " , g "  tương ứng thuộc   H '  và  H " có biểu diễn: f '   f j'e'j , g '   g 'j e'j , f "   f k"ek" , g "   g k" ek" , j 1 trong đó    j 1 j 1 k 1 k 1 f j'  ,  g 'j  ,  f k"  ,  g k"   2 j 1 k 1 k 1 ' " ' " ' ' " " Khi đó,   f  f , g  g    f , g  H  f , g  H   '       f j' g 'j    f k" g k"     j 1   k 1  j , k 1 " f j' f k" g 'j g k" (2.1.4)  Không gian  L  cùng với tích vô hướng (2.1.23) trở thành không gian tiền  Hilbert. Làm đầy không gian tiền Hilbert  L  theo chuẩn sinh bởi  tích vô hướng  (2.1.2) và thác triển tích vô hướng (2.1.2) từ  L lên toàn bộ không gian đã được  làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng đó, ta nhận được không gian  Hilbert mới. Không gian Hilbert mới nhận được gọi là tích tenxơ của hai không  gian Hilbert  H '  và  H " , ký hiệu là  H '  H " Làm đầy không gian tiền Hilbert đó theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1.2) ta  nhận được tích tenxơ của hai không gian Hilbert tách  H ' H " ,kí hiệu là  H '  H " H '  H "  là không gian Hilbert trên trường  K   Định lý 2.1.3. Hệ   e j  ek  j ,k 1  lập thành hệ trực chuẩn đủ trong không gian  ' "  H'  H" 24 ' " ' " ' " Định lý 2.1.4. Với  F  f  f , G  g  g  H  H  ta có các hệ thức sau: F   Fjk e'j  ek" ;           (2.1.5)                                 (2.1.5) G   G jk e'j  ek" ;        (2.1.6)                                     (2.1.6)  F , G    Fjk G jk        (2.1.7)                                   (2.1.7) ' ' ' " " Định lý 2.1.5. Nếu  f n  f  n     trong không gian  H ,  f m  f  m     trong  " ' " ' " ' " không gian  H  thì   f n  f m  f  f  trong không gian  H  H Định lý 2.1.6. Không gian tích tenxơ  H '  H "  được thành lập không phụu thuộc  việc chọn các cơ sở trực chuẩn   e'j  j 1  H' ,   ek k 1  H " " 2.2. Toán tử tuyến tính liên tục  2.2.1. Khái niệm tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục ' " ' " GiảGỉa sử  H , H , G , G  là các không gian Hilbert tách trên cùng trường  K , A' : H '  G ' , A" : H "  G " , là các toán tử tuyến tính liên tục. Tích hình thức  A'  A"   xác định như sau: A'  A" : H '  H "  G '  G "     f j 1 ' j    f j" ↦ A'  A"   f j'  f j"     A' f j'    A" f j"   j 1  j 1   (2.2.1) 2.2.2. Một số định lí ' " ' " Giả sử  H , H , G , G  là các không gian Hilbert tách trên cùng trường  K , các hệ  e  ' j j 1 ,   e  " k k 1 là các cơ sở trực chuẩn tương ứng trong các không gian  H ' , H "   A' : H '  G ' , B ' : H '  G ' , A" : H "  G " , B" : H "  G " là các toán tử tuyến tính liên tục.  Định lý 2.2.12. Toán tử (2.2.1) là tuyến tính liên tục và có thể thác triển liên tục  từ toàn bộ không gian  H '  H "  lên toàn bộ không gian  G '  G"  Hơn nữa,  A'  A"  A' A" 25 Định lý 2.2.21. Ta cóChứng minh rằng: ' ' " ' " ' " 1)  A  B   A  A  A  B  A ; ' " " ' " ' " 2) A   A  B   A  A  A  B ; ' " ' " ' " 3)   A  A     A   A  A    A  Định lý 2.2.2. Toán tử (2.2.1) là tuyến tính liên tục và có thể thác triển liên tục  từ toàn bộ không gian  H '  H "  lên toàn bộ không gian  G '  G"  Hơn nữa,  A'  A"  A' A" ' " ' " ' " ' " ' " Định lý 2.2.3. Tồn tại toán tử  A  A  : G  G  H  H  và   A  A   A  A   26 KẾT LUẬN Bước đầu tìm hiểu đề tài “Tích tenxơ các không gian Hilbert tách” , với  mục đích đề ra , luận văn đã trình bày chi tiết các vấn đề nghiên cứu trong từng  chương :        ­  Chương 1: Hệ thống các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert .Giới  thiệu và chứng minh chi tiết một số định lí quan trọng trong không gian Hilbert,  n giới thiệu các một số không gian Hilbert tách  ℝ , l2         ­  Chương 2 : Đưa ra được khái niệm tích tenxơ haicác không gian Hilbert  tách,khái  niệm  tích  tenxơ  các  toán  tử  tuyến  tính  liên  tục  trong  không  gian  Hilbert tách. Từ đó đưa ra một số định lý quan trọng liên quan đến tích tenxơ  hai  các  không  gian  Hilbert  tách  và  tích  tenxơ  các  toán  tử  tuyến  tính  liên  tục  trong không gian đó             Rất  mong  nhận  được  sự  đóng  góp  ý  kiến  của  thầy  cô  và  các  bạn  đồng  nghiệp để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO A. Tài liệu tiếng Việt [1].  Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà  Nội [3] Nguyễn  Phụ  Hy  (1989),  Về  một  lớp  phương  trình  phi  tuyến,  Thông  tin  khoa học trường ĐHSP Hà Nội 2, số 2, (23­30) [4].  Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà  Nội B. Tài liệu tiếng nước ngoài [5].  Lax P.D.( 1954), Symmetrizable linear transformations đối xứng tuyến  Comm. Pure a Appl. Math, T.7, số 4, tr. 633­647 [6].  Leray J(1952), Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients,  Princeton, Inst. For Adv. Study  [7]. Berezanxki Yu.М.(1958), Về các bài toán biên đối với toán tử vi phân tổng  quát trong đạo hàm riêng, DNA Liên Xô,Т.122, số 6, tr.959­962 [8]. Berezanxki Yu.М. (1963),Các không gian với chuẩn âm, UМN, Т.18, số1,  tr.63­96 28 [9] Berezanxki  Yu.М.  (1965),  Khai  triển  theo  hàm  riêng  của  các  toán  tử  tự  liên hợp, Nxb Khoa học, Kiev [10] Krein  М.G.(1947),  Về  các  toán  tuyến  tính  liên  tục  trong  các  không  gian  hàm ,Tuyển tập các công trình của viện toán học Ukraina,Т.9, tr 104– 129 TÀI LIỆU THAM KHẢO  Tài liệu tiếng Việt [1].  Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà  Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (1989), “Về một lớp phương trình phi tuyến”, Thông tin  khoa học trường ĐHSP Hà Nội 2, (số 2), (23­30) [4].  Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà  Nội B. Tài liệu tiếng nước ngoài 29 [5] Крейн М.Г.(1947), Об линейных непрерывных операторахв  функциональных пространствах, (Về các toán tuyến tính liên tục trong  các không gian hàm) Зборник трудов института математика АН УРСР,  Т.9,104– 129 [6].  Leray J(1952), Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients  (Các  bài  giảng  về  hyperbolic  tương  đương  với  hệ  số  biến  thiên  ),  Princeton, Inst. For Adv. Study, [7].  Lax P.D.( 1954), Symmetrizable linear transformations,( (Phép biến đổi  đối xứng tuyến tính) Comm. Pure a Appl. Math., T.7, №4, , 633­647   [8] Березанский  Ю.М.(1958),  О  красивых  задачах  для  общих  дифференциальных  оператороы  в  частных  производных  ДАН  СССР,  (Về  các  bài  toán  bờ  đối  với  toán  tử  vi  phân  tổng  quát  trong  đạo  hàm  riêng)Т.122, № 6, 959­962 [9].  Березанский  Ю.М.  (1963)Пространства  с  негативской  нормы,(Các  không gian với chuẩn âm) УМН, Т.18, №1, 63­96, [10] Березанский  Ю.М.(1965)  Разложение  по  собственным  функциям  самосопряженных операторов, (Khai triển theo hàm riêng của các toán  tử liên hợp)Наукова дупка, Киев 30 [...]...  gồm tất cả các dãy số dạng 1 21 y ( p )  ( y1 , y2 , , y p , 0, 0, , 0), Do đó không gian l2 là không gian tách được Suy ra, Vậy  l2 là không gian Hilbert tách được Chương 2 TÍCH TENXƠ CÁC KHÔNG GIAN HILBERT TÁCH 2.1.Khái niệm tích tenxơ các không gian Hilbert tách 2.1.1. Sơ đồ thành lập tích tenxơ các không gian Hilbert tách Trong cuốn sách  9  Giáo sư_Viện sĩ Yu.M.Berezanxki đã đưa ra sơ đồ  thành lập tích tenxơ hai không gian Hilbert như sau:... lên toàn bộ không gian đã được làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng  đó, ta nhận được không gian Hilbert mới. Không gian Hilbert mới nhận được  gọi là tích tenxơ của hai không gian Hilbert H '  và  H " , ký hiệu là  H '  H " Tuy nhiên, đối với không gian Hilbert nói chung việc chứng minh hệ thức  (2.1.1) là một tích vô hướng không phải dễ. Trong luận văn này, tôi chỉ xét các không gian Hilbert tách.   2.1.2. Tích tenxơ các không gian Hilbert tách ...  trong không gian ℝ n  Nên không gian ℝ n  là một không gian Banach với chuẩn  x  ( x, x )  n x k 1 k 2 ℝn Không gian  được trang bị một tích vô hướng  n ( x, y )   xk yk k 1 Không gian ℝ n  là một không gian Banach với chuẩn  x  ( x, x )  n x k 1 2 k Do đó, không gian ℝ n  là một không gian Hilbert Mặt khác,  ℝ n  là không gian là không gian tách Vậy, không gian ℝ n  là một không gian Hilbert. .. (2.1.4)  Không gian L  cùng với tích vô hướng (2.1.23) trở thành không gian tiền  Hilbert.  Làm đầy không gian tiền Hilbert L  theo chuẩn sinh bởi  tích vô hướng  (2.1.2) và thác triển tích vô hướng (2.1.2) từ  L lên toàn bộ không gian đã được  làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng đó, ta nhận được không gian Hilbert mới. Không gian Hilbert mới nhận được gọi là tích tenxơ của hai không gian Hilbert ...        ­  Chương 1: Hệ thống các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert .Giới  thiệu và chứng minh chi tiết một số định lí quan trọng trong không gian Hilbert,   n giới thiệu các một số không gian Hilbert tách ℝ , l2         ­  Chương 2 : Đưa ra được khái niệm tích tenxơ haicác không gian Hilbert tách, khái  niệm  tích tenxơ các toán  tử  tuyến  tính  liên  tục  trong  không gian Hilbert tách.  Từ đó đưa ra một số định lý quan trọng liên quan đến tích tenxơ ... trù mật  trong  M Do đó không gian ℝ n là không gian tách được Vậy không gian ℝ n là không gian Hilbert tách được 1.4.2. Không gian.   l2 1 17    2  l2   x   xk k 1 \ xk  ℂ ,  xk    k 1   Ký hiệu   Tập hợp Không gian l2  cùng với hai phép toán: l2  l2  l2 Phép cộng: “+”:  x, y   x  y   xk  yk k 1  ℂ  l2  l2 Phép nhân: “ . ”:   , x    x    xk k 1  là không gian tuyến tính phức... Làm đầy không gian tiền Hilbert đó theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1.2) ta  nhận được tích tenxơ của hai không gian Hilbert tách H ' và H " ,kí hiệu là  H '  H " H '  H "  là không gian Hilbert trên trường  K   Định lý 2.1.3. Hệ   e j  ek  j ,k 1  lập thành hệ trực chuẩn đủ trong không gian ' "  H'  H" 1 24 ' " ' " ' " Định lý 2.1.4. Với  F  f  f , G  g  g  H  H  ta có các hệ thức sau:...  Từ kết quả trên đây và hệ thức (1.4.4) suy ra x n  x    x   x k 1 n k k 2   , n  n0  Nên dãy cơ bản đã cho hội tụ tới  x  trong không gian l2 Suy ra Kkhông gian l2  là một không gian Banach với chuẩn  x  ( x, x )   x k 1 k 2 Do đó, Vậy, không gian l2  là một không gian Hilbert Mặt khác,  l2  là không gian là không gian tách  Thật vậy,giả sử  x   xn n1  là phần tử bất kì thuộc  l2 và  là số dương cho trước  l2 ,... Định lý 2.1.5. Nếu  f n  f  n     trong không gian H ,  f m  f  m     trong  " ' " ' " ' " không gian H  thì   f n  f m  f  f  trong không gian H  H Định lý 2.1.6. Không gian tích tenxơ H '  H "  được thành lập không phụu thuộc  việc chọn các cơ sở trực chuẩn   e'j  j 1  H' ,   ek k 1  H " " 2.2. Toán tử tuyến tính liên tục  2.2.1. Khái niệm tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục... là bao tuyến tính các tích tenxơ của hai phần tử dạng  f  f với  f '  H ' , f "  H " và đưa vào L tích vô hướng dạng:   f '  f ", g '  g"  L , f '  f " , g '  g "    f ' , g '  '  f " , g "  H H"   (2.1.2) Ta nhận được không gian tiền Hilbert L  Làm đầy không gian tiền Hilbert L   theo chuẩn sinh bởi  tích vô hướng (2.1.2) và thác triển tích vô hướng (2.1.2) từ  L lên toàn bộ không gian đã được làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng  ... là không gian Hilbert tách được Chương 2 TÍCH TENXƠ CÁC KHÔNG GIAN HILBERT TÁCH 2.1.Khái niệm tích tenxơ các không gian Hilbert tách 2.1.1. Sơ đồ thành lập tích tenxơ các không gian Hilbert tách. .. Phạm  vi  nghiên  cứu:  Các  tài  liệu,  các  bài  báo  trong  và  ngoài  nước  liên  quan đến tích tenxơ các không gian Hilbert tách 5. Phương pháp nghiên cứu ­  Thu  thập  tài  liệu  và  các ... (2.1.1) là một tích vô hướng không phải dễ. Trong luận văn này, tôi chỉ xét các  không gian Hilbert tách.  2.1.2. Tích tenxơ các không gian Hilbert tách Giả sử  H '  và  H "  là hai không gian Hilbert tách trên trường