Hình học xạ ảnh 6

Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh

Bài tập Bài tập 6: Mặt phẳng aphin A2 bổ sung thêm điểm vô tận để trở thành mặt phẳng xạ ảnh P2 Trong A2 ta chọn mục tiêu aphin xét điểm có tọa độ mục tiêu sau: A1(1,0), A2(0,1), A3(0,0) E(1,1) Xem {A1, A2,A3,E} mục tiêu xạ ảnh P2 Nếu điểm M có tọa độ aphin la (x1, x2) tạo độ xạ ảnh bao nhiêu? Điểm vô tận đường thẳng aphin có tọa độ xạ ảnh biết phương mục tiêu? Tổng quát cho trường hợp n chiều Phương pháp: -Xây dựng mơ hình aphin khơng gian xạ ảnh P2 -Tìm sở sinh mục tiêu xạ ảnh -Tìm tọa độ xạ ảnh điểm M có tọa độ aphin (x 1,x2) P2 -Gọi M  làđiểm vô tận thuộc đường thẳng aphin có vectơ phương đó: a,  a đd  M  , ta tìm tọa độ  ađối với sở sinh mục tiêu xạ ảnh P2 Bài giải-bài tập 6: Xây dựng mơ hình aphin khơng gian xạ ảnh Theo mơ hình aphin, ta có ánh xạ: p :V  X Với X A2 V2 Lấy điểm O3 mà O2 , chiều V3 + Nếu V1 V2: p (V1) = V1 1 không gian + Nếu V1V2: MA2: OM  V1 Đặt: p(V1)=M Khi ta có khơng gian xạ ảnh: (X, p, V3) Đặt: đd đd OA1  A1 , OA2   A2 đd OA3  A3 Bài giải-bài tập 6: Tìm sở sinh mục tiêu xạ ảnh A,E  Với sở chọn + Ta có: i 1, mục tiêu xạ ảnh P2 ứng với A ,A,A  mục tiêu aphin A2  A3 E  A3 A1  A3 A2  A3O  OE  A3O  OA1  A3O  OA2  OE OA1  OA2  OA3 Ta đặt:   ei 1, e1 OA1 , e2 OA2 , e3  OA3 Là sở sinh mục tiêu xạ ảnh  A , A , A , E Bài giải-bài tập 6: Tìm tọa độ xạ ảnh M P2 Theo giả thuyết M có tọa độ (x1, x2) A2 mục tiêu aphin  A3 , A1 , A2   A3 M x1 A3 A1  x2 A3 A2 Mặt khác: OM OA3  A3 M OA3  x1 A3 A1  x2 A3 A2 OA3  x1 A3O  x1 OA1  x2 A3O  x2 OA2 x1 OA1  x2 OA2   x1  x2  1OA3  x1 e1  x2 e2   x1  x2  1 e3 M  x1 , x2 , x1  x2  1 / Ai , E i 1, Bài giải-bài tập 6: Tìm tọa độ xạ ảnh M  P2 + Gọi M điểm thuộc đường thẳng , với  có véctơ phương  a  a1 , a2  / A3 A1 , A3 A2  a   M  đd   a a1 A3 A1  a2 A3 A2 a1 OA1  a2 OA2   a1  a2 OA3 a1 e1  a2 e2   a1  a2  e3    a  a1 , a2 , a1  a2  / ei  i 1,  M   a1 , a2 , a1  a2  / Ai , E  i 1, Bài giải-bài tập 6: Trường hợp tổng quát Ta xây dựng mơ hình khơng gian xạ ảnh theo mơ hình aphin, đo ta có khơng gian xạ ảnh Pn Tọa độ M không gian aphin: M  x1 , x2 , , xn  / Ai  i 1,n1 , A1(1,0,0,…,0) A2(0,1,0,…,0) An+1(0,0,0,…,0) Đặt: OAi   Ai , i 1, n  1, OE   E đd đd Bài giải-bài tập 6: Trường hợp tổng quát Ta có: An1 E  An 1 A1  An 1 A2   An1 An  OE OA1  OA2   OAn   n  1OAn 1 Đặt: ei OAi , i 1, n ei 1   n  1 OAn 1    ei i 1, n 1 sở sinh mtxa  A , E i i 1, n 1 Bài giải-bài tập 6: Trường hợp tổng quát  Trường hợp M có tọa độ aphin Khi đó: M  x1 , x2 , , xn  / Ai  i 1,n 1 An1 M x1 An1 A1  x2 An1 A2   xn An1 An  OM x1 OA1  x2 OA2   xn OAn   x1  x2   xn  1OAn1  x1  x2   xn  1en1  OM x1 e1  x2 e2   xn en  n 1    x1  x2   xn  1  / Ai , E i1,n1  M  x1 , x2 , , xn , n   Bài giải-bài tập 6: Trường hợp tổng quát  Trường hợp M: Gọi M điểm thuộc đường thẳng ,  có vectơ chí phương là:  a  a1 , a2 , , an  / An1 Ai  11, n  a a1 An1 A1  a2 An1 A2   an An1 An a1 OA1  a2 OA2   an OAn   a1  a2   an OAn1  a1  a2   an  en1 a1 e1  a2 e2   an en  n 1    a1  a2   an   / Ai , E i1,n1  M   a1 , a2 , , an , n   ...  , ta tìm tọa độ  ađối với sở sinh mục tiêu xạ ảnh P2 Bài giải-bài tập 6: Xây dựng mơ hình aphin khơng gian xạ ảnh Theo mơ hình aphin, ta có ánh xạ: p :V  X Với X A2 V2 Lấy điểm O3 mà O2... Tổng quát cho trường hợp n chiều Phương pháp: -Xây dựng mơ hình aphin khơng gian xạ ảnh P2 -Tìm sở sinh mục tiêu xạ ảnh -Tìm tọa độ xạ ảnh điểm M có tọa độ aphin (x 1,x2) P2 -Gọi M  làđiểm vơ... có khơng gian xạ ảnh: (X, p, V3) Đặt: đd đd OA1  A1 , OA2   A2 đd OA3  A3 Bài giải-bài tập 6: Tìm sở sinh mục tiêu xạ ảnh A,E  Với sở chọn + Ta có: i 1, mục tiêu xạ ảnh P2 ứng với