Đề minh họa đặc biệt toán

Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 ĐỀ THI ĐẶC BIỆT MINH HỌA KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 [Môn Toán – Đề số 01 – Dành cho Toán – NC] Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Đề thi chữa chi tiết TẠI MOONTV, Thứ hai, 13/04/2015 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3mx + ( m − 1) x − m3 + ( Cm ) ( m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( Cm ) với m = b) Gọi d tiếp tuyến điểm cực đại A ( Cm ) Đường thẳng d cắt trục Oy B Tìm m để S ∆OAB = với O gốc tọa độ Câu (1,0 điểm) a) Cho góc α thỏa mãn sin α = 2 π π  < α < π Tính giá trị biểu thức P = cos  2α +  3  b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + 2i ) z + z = 4i − 20 Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z ( ) Câu (0,5 điểm) Giải phương trình log x + log 1 − x = log ( ( 2x − ) x +1 − ) 3 x + y + = ( y − x ) y + xy + x +  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ ) x + y − 13 y − 14 − x + = ) ( ( 2 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ) x dx x2 + + x2 − Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ABCD , đáy ABCD hình thang vuông A D, AB = 2a, AD = DC = a Góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD ) 600 Tính thể tích khối chóp S ABD khoảng cách từ trung điểm I SD đến mặt phẳng ( SBC ) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, điểm A ( −1; ) Gọi M , N trung điểm AD CD, E giao điểm BN CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BME, biết BN có phương trình x + y − = B có hoành độ lớn Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M ( 2;1; ) đường thẳng x −1 y + z = = Tính khoảng cách từ M đến ∆ lập phương trình đường thẳng qua M , cắt −1 vuông góc với ∆ Câu (0,5 điểm) Một phòng thi kì thi THPT quốc gia có 50 thí sinh đăng ký dự thi, có 31 em nam 19 em nữ Trong phòng thi có 50 bàn ghế đánh số theo thứ tự từ đến 50 Giám thị ghi số báo danh thí sinh vào bàn cách ngẫu nhiên gọi thí sinh vào phòng thi, tính xác suất để thí sinh dự thi ngồi bàn số bàn số 50 thí sinh nam ∆: Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y số thực thỏa mãn x − + y + + = x + y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = ( ) 32 + xy x + y x y ( x − y) + ( y − x) + 2 x+ y Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (2,0 điểm) x = 1+ m Ta có y ' = x − 6mx + ( m − 1) = ⇔ x − 2mx + m2 = ⇔   x = −1 + m Do + m > −1 + m, ∀m ∈ R nên hàm số có điểm cực trị Lại có hệ số a = > nên hàm số đại A ( −1 + m; −3m + 3) cực tiểu C (1 + m; −3m − 1) Phương trình tiếp tuyến A là: y = −3m + ⇒ B ( 0; −3m + 3) 1 Do tam giác OAB vuông B nên ta có: SOAB = AB AB = −3m + m − = 2 m = ⇔ ( m − 1) = ⇔   m = −1 Vậy m = 3; m = −1 giá trị cần tìm Câu (1,0 điểm) a) Thầy chưa làm nhé! b) Gọi M ( z ) = ( x; y ) ⇒ z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ z = x − yi Theo ta có (1 + 2i ) ( x + yi ) + x − yi = 4i − 20 ⇔ ( 4i − 3)( x + yi ) + x − yi − 4i + 20 = ⇔ xi − y − x − yi + x − yi − 4i + 20 = 20 − x − y =  x + y = 10 ⇔ 20 − x − y + ( x − y − ) i = ⇔  ⇔ 4 x − y − = x − y = x = ⇔ ⇒ M ( 4;3) Vậy M ( 4;3) y = Câu (1,0 điểm) ĐK: ⇔ ( ) ( ) > x > Khi PT ⇔ log x − log − x = log 2 x − x + − log ( ) x2 8x2 = 2x − x +1 ⇔ 1− x 1− x ( )  2x  = + 1 ( − x > )  1− x   t = x Đặt t = > ta có: 8t = ( 2t + 1) ⇔  1− x t = − ( loai )  Với t = x −1 + 2− ⇒ = ⇔ 2x + x −1 = ⇔ x = ⇔x= ( tm ) 1− x 2 Vậy nghiệm PT là: x = 2− Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 Câu (1,0 điểm) 14  y ≥ Điều kiện:   x ≥ −1 (1) ⇔ 3x + y + = y − x + y − x ⇔ x + x + x + = y − y + y ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( y − 1) + ( y − 1) 3 Xét hàm số f ( t ) = t + 3t ℝ có f ' ( t ) = 3t + > 0∀t ∈ ℝ Suy hàm số đồng biến ℝ Nên f ( x + 1) = f ( y − 1) ⇔ x + = y − ⇔ x + = y Thay vào (2) ta ( x − 11) ⇔ ( x − 11)( x − ) = ( ( ) 3x − − x + = ) x − + x + ⇔ x − 40 x + 99 = ⇔ ( x − 3)( x − ) + x + − ( ) ( 3x − + x + ) 3x − + x + = ⇔ ( x − 3)( x − ) + 3x − − 3x − + x + − x + = ⇔ ( x − 3)( x − ) + ( x − 3)( x − ) + ( x − 3)( x − ) =0 3x − + 3x − x + + x + x = ⇔ y =   ⇔ ( x − 3)( x − )  + + = ⇔  x = ⇔ y = 11 (do x ≥ )  x − + 3x − x + + x +    Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) = ( 3;5) , (8;11) Câu (1,0 điểm) Ta có I = 2 ∫ x + + x −1 2 dx x + = t ⇒ x = t − Khi x = ⇒ t = 2; x = 2 ⇒ t = Đặt Do I = 3 1 2t ( t − 1) + ( t + ) d t − = dt = ( ) ∫ ( t − 1)( t + ) ∫ ( t − 1)( t + ) dt ∫2 t + t − − 2 3 =   1 + d (t + 2) + ∫ d ( t − 1)   dt = ∫ ∫  t + t −1  t+2 t −1 = 3 ln t + + ln t − = ln + ln 2 3 3 Vậy I = ln + ln Câu (1,0 điểm) Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 Gọi E trung điểm AB dễ thấy ABCE hình vuông cạnh a Khi ta có: CE = AB ⇒ ∆ABC vuông đỉnh C hay AC ⊥ CB Lại có SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAC ) Do SCA = 600 Ta có: AC = a ⇒ SA = AC tan 600 = a 1 a3 VS ABD = SA.S ABD = a 6.a = 3 Do I trung điểm SD nên ta có: d ( I ; ( SBC ) ) = d ( D; ( SBC ) ) CD / / AB  Gọi K = AD ∩ BC  nên CD đường trung bình tam giác AKB CD = AB  Khi đó: d ( D; ( SBC ) ) = 1 d ( A; ( SBC ) ) ⇒ d ( I ; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) Dựng AH ⊥ SC ta có: d ( A; ( SBC ) ) = AH = Vậy V = SA AC SA2 + AC =a a = 2 a3 a ;d = Câu (1,0 điểm) Gọi cạnh hình vuông 2x Ta có BM = x Ta có ∆MCD = ∆NBC (c g.c ) ⇒ MCD = NBC ⇒ MCN + BNC = 90o ⇒ NEC = 90o ⇒ MC ⊥ BN Gọi H hình chiếu A BN Có: AH = d ( A/ BN ) = ( −1) + − +1 2 = Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Ta có BAH = MCN (so le ngoài) nên Facebook: Lyhung95 AH CD 5 = = ⇒ AB = AH = = ⇒ BM = 2 AB CM 5 Phương trình đường thẳng AH là: ( x + 1) − ( y − ) = ⇔ x − y + = Gọi B ( b,8 − 2b ) ta có AB = ⇒ ( b + 1) + ( − 2b ) = 16 ⇔ 5b − 22b + 21 = ⇒ b = (do b > ) 2 Suy B ( 3;2 ) , suy I (1;2 ) trung điểm AB AB = ( 4;0 ) Phương trình trung trực AB qua I nhận AB làm véc tơ pháp tuyến x − =  xO − = Suy O giao đường trung trực AB với AH nên  ⇒ O (1;3)  xO − yO + = Suy phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆BME ( x − 1) + ( y − 3) = 2 Câu (1,0 điểm) Đường thẳng ∆ qua điểm A (1; −1;0 ) nhận u = ( 2;1; −1) làm VTCP Ta có AM = (1; 2; ) ⇒  AM ; u  = ( −2;1; −3) ⇒  AM ; u  = ( −2 ) + 12 + ( −3) = 14  AM ; u  14 14   ⇒ d (M ; ∆) = = = = u 22 + 12 + ( −1) Gọi d đường thẳng cần tìm giả sử d cắt, vuông góc với ∆ điểm N  x = + 2t  Phương trình tham số ∆  y = −1 + t ( t ∈ ℝ )  z = −t  Do N ∈ ∆ ⇒ N ( 2t + 1; t − 1; −t ) ⇒ MN = ( 2t − 1; t − 2; −t ) d ⊥ ∆ ⇔ MN u = ⇔ ( 2t − 1) + ( t − ) + t = ⇔ 6t = ⇔ t = 1 2 ⇒ MN =  ; − ; −  3 3 1 2 Đường thẳng d nhận MN =  ; − ; −  làm VTCP nên nhận a = (1; −4; −2 ) làm VTCP 3 3 Kết hợp với d qua điểm M ( 2;1; ) ⇒ d : Vậy d : x − y −1 z = = −4 −2 x − y −1 z = = −4 −2 Câu (0,5 điểm) Ω số cách chọn 31 em từ 50 em ⇒ Ω = C5031 Gọi A biến cố: “ thí sinh dự thi ngồi bàn số bàn số 50 thí sinh nam ” Bàn số bàn số 50 bạn nam nên 29 em nam 19 em nữ ứng với 48 vị trí lại Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ⇒ ΩA = C4829 ⇒ P ( A) = Vậy xác suất cần tìm ΩA Ω = Facebook: Lyhung95 C4829 93 = 31 C50 245 93 245 Câu 10 (1,0 điểm) ( x + y ) + 64 64 64 x + y − xy x + xy + y Ta có P = + + xy = + = 2 x+ y x+ y x+ y Đặt t 64 x + y = t (t ≥ 0) ⇒ P = + = f (t ) t Đi tìm ĐK cần đủ t Từ x − ≥ 0; y + ≥ ⇒ ( x − ) + ( y + 1) ≥ ⇒ x + y ≥ ⇒ x + y ≥ ⇒ t ≥ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có x−2 y +1 x−2 y +1 x+ y + ≥ x − 2; + ≥ y + ⇒ x −1 + y +1 ≤ +2+ + = 2+ 2 2 2 x+ y ⇒ x + y −1 ≤ + ⇒ < x + y ≤ ⇒ x + y ≤ ⇒ t ≤ ⇒ ≤ t ≤ ⇒ t ∈ 1;  t 64 Xét hàm số f ( t ) = + với t ∈ 1;  Rõ ràng f ( t ) liên tục đoạn 1;  t f ' ( t ) = 2t − 64 t − 32 = ; t2 t2  f ' ( t ) = t = ⇔ ⇔ t =  t ∈ 1; t ∈ 1; 129 ;f ( ) = 18 + 32 ; f ( ) = 40 Ta có f (1) = ( ) ( Vậy Pmin = f ( t ) = f ( ) = 40; Pmax = max f ( t ) = f (1) = 1;    1;    ) 129 Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! ... Vậy nghiệm PT là: x = 2− Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook:... = ln + ln Câu (1,0 điểm) Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook:... BN ) = ( −1) + − +1 2 = Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Ta có BAH