Khóa học LUYỆN ĐỀ TỐN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ Facebook: LyHung95 KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số y = 2x − x−2 Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − x + x − điểm có hồnh độ x0 thỏa mãn phương trình y '' ( x0 ) = −12 Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z + 2iz = + 3i Tìm mơđun số phức w = ( z + 1) − z b) Giải phương trình log ( x + 18 ) = x + 2 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ( ) x + − x xdx Câu (1,0 điểm) 3π tan α − < α < 2π Tính giá trị biểu thức A = 2 − cos 2α b) Trường THPT X tổ chức hội thảo GDQP – AN Trung đội 10A chọn tiểu đội, có chiến sĩ nam chiến sĩ nữ tham gia nội dung: hiểu biết chung GDQP – AN, điều lệnh người khơng có súng, băng bó cứu thương đội ngũ đơn vị Tiểu đội trưởng chọn ngẫu nhiên chiến sĩ tham gia nội dung băng bó cứu thương Tính xác suất để chiến sĩ chọn có nam nữ x y −1 z − Câu (1,0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = mặt phẳng a) Cho góc α thỏa mãn cos α = ( P ) : x + y − z + = Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua gốc tọa độ O vng góc với d Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho khoảng cách từ M đến ( P ) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O với cạnh AB = 2a 3, BC = 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm H đoạn thẳng OD Góc hợp đường thẳng SB mặt phẳng đáy ( ABCD ) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng AD SC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A thuộc đường thẳng d1 : x − y + = 0, điểm D thuộc đường thẳng d : x − y − = Gọi H hình chiếu vng góc 9 2 A BD Điểm M ; , N ( 9; ) trung điểm BH CD Xác định tọa độ đỉnh 5 5 hình chữ nhật ABCD, biết điểm D có tung độ dương 4 + x y − = x + − x y + − x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 x y − x = x + x − x3 y y + ( x, y ∈ ℝ) Câu 10 (1,0 điểm) Xét x, y, z số thực dương thỏa mãn y + z = x ( y + z ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (1 + x ) + (1 + y ) + (1 + z ) + (1 + x )(1 + y )(1 + z ) Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc Khóa học LUYỆN ĐỀ TỐN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ CÂU TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM 2016 Thực Anh Vũ Văn Bắc Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − x + x − điểm có hồnh độ x0 thỏa mãn phương trình y '' ( x0 ) = −12 Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc Ta có y ' = 3x − 12 x + ⇒ y '' = x − 12 ⇒ y '' ( x0 ) = x0 − 12 Bài y '' ( x0 ) = −12 ⇒ x0 − 12 = −12 ⇔ x0 = ⇒ y0 = −2 Phương trình tiếp tuyến có dạng d : y = y ' ( ) ( x − ) − = x − Đ/s: d : y = x − Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z + 2iz = + 3i Tìm mơđun số phức w = ( z + 1) − z b) Giải phương trình log ( x + 18 ) = x + Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc a) Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi Bài có (1 − i ) z + 2i.z = + 3i nên (1 − i )( a + bi ) + 2i ( a − bi ) = + 3i ⇔ a + bi − + b + 2ai + 2b = + 3i ⇔ a + 3b + ( a + b ) i = + 3i a + 3b = a = ⇔ ⇔ ⇒ z = 2+i ⇒ z = 2−i a + b = b = ⇒ w = ( z + 1) − z = ( + i ) − ( − i ) = + 3i ⇒ w = 42 + 32 = Đ/s: w = b) ĐK: x + 18 > ⇔ x ∈ ℝ (*) Khi log ( x + 18 ) = x + ⇔ x + 18 = 3x + = 9.3x ⇔ (3 ) x 3 x = x = thỏa mãn (*) − 9.3 + 18 = ⇔ x ⇔ x = log 3 = x x = Đ/s: x = log Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ( ) x + − x xdx Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 2 0 Ta có I = ∫ x x + 1dx − ∫ x dx = A − B Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc Khóa học LUYỆN ĐỀ TỐN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG • B = ∫ 3x dx = x Facebook: LyHung95 = 3 1 ( x + 1) 2 2 • A = ∫ x x + 1dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) = 4 0 13 11 Do I = A − B = − = − 3 11 Đ/s: I = − 2 2 = 13 Câu (1,0 điểm) 3π tan α − < α < 2π Tính giá trị biểu thức A = 2 − cos 2α b) Trường THPT X tổ chức hội thảo GDQP – AN Trung đội 10A chọn tiểu đội, có chiến sĩ nam chiến sĩ nữ tham gia nội dung: hiểu biết chung GDQP – AN, điều lệnh người khơng có súng, băng bó cứu thương đội ngũ đơn vị Tiểu đội trưởng chọn ngẫu nhiên chiến sĩ tham gia nội dung băng bó cứu thương Tính xác suất để chiến sĩ chọn có nam nữ a) Cho góc α thỏa mãn cos α = Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 4 a) Ta có cos 2α = cos α − = − = 25 5 1 25 tan α + = = = ⇔ tan α = ⇔ tan α = ± 2 cos α 16 16 5 3π Bài < α < 2π ⇒ tan α < ⇒ tan α = − − −1 tan α − 175 Do A = = =− − cos 2α − 172 25 175 Đ/s: A = − 172 b) Chọn chiến sĩ từ 11 chiến sĩ tiểu đội có C113 = 165 cách chọn ⇒ Ω = 165 Gọi K biến cố: “ chiến sĩ chọn có nam nữ ” Ta có số kết thuận lợi cho K Ω K = C51.C62 + C52 C61 = 135 Do P ( K ) = Đ/s: P ( K ) = ΩK Ω = 135 = 165 11 11 Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc Khóa học LUYỆN ĐỀ TỐN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Câu (1,0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : ( P ) : x + y − z + = Facebook: LyHung95 x y −1 z − = = mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua gốc tọa độ O vng góc với d Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho khoảng cách từ M đến ( P ) Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc Đường thẳng d co VTCP u = (1; 2;3) Bài ( Q ) ⊥ d ⇒ ( Q ) nhận u = (1; 2;3) VTPT Mà ( Q ) qua O ( 0; 0; ) ⇒ ( Q ) :1 ( x − ) + ( y − ) + ( y − ) = ⇒ ( Q ) : x + y + 3z = x = t Phương trình tham số d d : y = + 2t z = + 3t (t ∈ ℝ) Mà M ∈ d ⇒ M ( t ;1 + 2t ; + 3t ) Ta có d ( M ; ( P ) ) = t + (1 + 2t ) − ( + 3t ) + 12 + 22 + ( −2 ) = −t + =3 t = −8 ⇒ M ( −8; −15; −22 ) 1 − t = ⇔ ⇔ 1 − t = −9 t = 10 ⇒ M (10; 21;32 ) M ( −8; −15; −22 ) Đ/s: ( Q ) : x + y + 3z = M (10; 21;32 ) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O với cạnh AB = 2a 3, BC = 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm H đoạn thẳng OD Góc hợp đường thẳng SB mặt phẳng đáy ( ABCD ) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng AD SC Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc • Ta có SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SB; ( ABCD ) ) = SBH = 600 HB = 3 BD = AB + AD = 3a ⇒ SH = HB.tan 600 = 3a 4 ⇒ S ABCD = AB.BC = 2a 3.2a = 3a 1 ⇒ VS ABCD = SH S ABCD = 3a 3.4 3a = 12a (đvtt) 3 • Do AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD; SC ) = d ( AD; ( SBC ) ) = d ( D; ( SBC ) ) = d ( H ; ( SBC ) ) Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc Khóa học LUYỆN ĐỀ TỐN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Kẻ HM ⊥ BC ( M ∈ BC ) , HK ⊥ SM Ta có Facebook: LyHung95 ( K ∈ SM ) ⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HK 1 3 4 3 = + = a ⇒ d ( AD; SC ) = HK = a = 4a ⇒ HK = 2 2 HK SH HM 27 a 3 5 Đ/s: VS ABCD = 12a (đvtt) d ( AD; SC ) = 4a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A thuộc đường thẳng d1 : x − y + = 0, điểm D thuộc đường thẳng d : x − y − = Gọi H hình chiếu vng góc 9 2 A BD Điểm M ; , N ( 9; ) trung điểm BH CD Xác định tọa độ đỉnh 5 5 hình chữ nhật ABCD, biết điểm D có tung độ dương Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc +) Gọi E trung điểm AH , ta có ME ⊥ AD ⇒ E trực tâm tam giác ∆ADM ⇒ DE ⊥ AM +) Tứ giác EMND hình bình hành ⇒ DE / / MN ⇒ AM ⊥ MN Đường thẳng AM qua M vng góc với MN ⇒ AM : x + y − 17 = +) A = d1 ∩ AM ⇒ A (1; ) +) D ∈ d ⇒ d ( d ; d − ) d = ⇒ D ( 9; ) Do AD ⊥ DN ⇒ DA.DN = ⇒ d = ⇒ D ( 4; −1) Mà yD > ⇒ D ( 9; ) ⇒ C ( 9;0 ) +) Phương trình AH : x + y − = 0; DM : x − y − = 13 Do H = AH ∩ DM ⇒ H ; ⇒ B (1; ) 5 Đ/s: A (1; ) , B (1;0 ) , C ( 9;0 ) , D ( 9; ) 4 + x y − = x + − x y + − x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 x y − x = x + x − x3 y y + ( x, y ∈ ℝ) Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc −1 ≤ x ≤ ĐK: 1 + x y ≥ (*) 1 − x y ≥ Với x = ta dễ dàng thấy hệ có nghiệm với y ∈ ℝ 1 1 1 Với x ≠ có ( ) ⇔ y + y ( y ) + = + +1 ⇔ f (2 y ) = f → y = x x x x x Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc Khóa học LUYỆN ĐỀ TỐN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Thế vào (1) ta + x − = 3x + − x + − x a = + x ≥ 2a = + x Đặt ⇒ ⇒ + x = 2a − b b = − x ≥ b = − x a + b = ⇒ 4a − = 2a − b − + 2b + ab ⇔ 2a + ( b − ) a + 2b − b = ⇔ a = b b Mà a, b ≥ nên a = ⇒ + x = − x ⇔ x = − ⇒ y = − thỏa mãn hệ cho 2 2 Đ/s: ( x; y ) = ( 0; y ) , − ; − ( ∀y ∈ ℝ ) Câu 10 (1,0 điểm) Xét x, y, z số thực dương thỏa mãn y + z = x ( y + z ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (1 + x ) + (1 + y ) + (1 + z ) + (1 + x )(1 + y )(1 + z ) Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 2 Ta có ( y + z ) = x ( y + z ) ≥ x ( y + z ) ⇒ y + z ≤ x Lại có P ≥ (1 + x ) Mà (1 + y )(1 + z ) + (1 + y )(1 + z ) (1 + y + + z ) ≤ ⇒P≤ Xét hàm số + x3 + x + x + (1 + x ) f '( x) = (1 + x )(1 + y )(1 + z ) 1 (1 + x ) ≤ 2+ = 4 x x2 (1 + x ) + x2 (1 + x ) + x2 (1 + x ) = x3 + x + x + (1 + x ) với x ∈ ( 0; +∞ ) có 10 x − = 0; (1 + x)4 x ∈ ( 0; +∞ ) 91 ⇔ x = ⇒ P ≥ f ( x) ≥ f = 108 f ' ( x ) = x = Dấu " = " xảy ⇔ y = z = Vậy Pmin = 91 108 Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc