Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐỀ THI MINH HỌA KÌ THI THPTQG 2016 – MOON.VN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO giảng LỜI GIẢI CHI TIẾT tập có website MOON.VN −x + m , ( m ≠ −1) , ( Cm ) x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = b) Tìm m để đường thẳng d : x + y − = cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB (với O gốc toạ độ) Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình 4sin x − cos x ( sin x − 1) − 4sin x + = b) Tìm số thực a, b, c cho phương trình z + az + bz + c = nhận z = z = + i nghiệm ( Câu (0,5 điểm) Giải bất phương trình (2 x − 2)2 < (2 x + 2) − x − ) x − x + x − y − = 0, Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x + y ( x; y ∈ ℝ ) x + xy + y + = x + y π cos x + 8 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ dx sin x + cos x + π Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang vuông A D với AB = 2a; DC = a; AD = 2a Gọi I trung điểm AD, biết SI = SB = SC = a 13 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AD SC theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn ( C ) , từ điểm M ( 5; −6 ) kẻ tiếp tuyến MA MB tới ( C ) (trong A,B tiếp điểm), biết đường tròn nội tiếp tam giác MAB có phương trình (T ) : ( x − ) + ( y + ) = 2 25 Viết phương trình đường tròn ( C ) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + z = 16 , 2 mặt phẳng ( P ) : x − y − z + = điểm A ( 0; −1;2 ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, song song với mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) hai điểm B, C cho đoạn BC có độ dài nhỏ Câu (0,5 điểm) Một máy bay có phận A, B, C, D đặt liên tiếp Máy bay rơi có viên đạn trúng vào phận phận kề trúng đạn Tìm xác suất để máy bay rơi trường hợp phận có diện tích máy bay trúng hai viên đạn Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2 1 2(a + b + c ) Chứng minh bất đẳng thức + + + ≥ a b c Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (2,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm là: x ≠ −1 −x + m = −x + ⇔ x +1 g ( x ) = x − x + m − = Để d cắt ( Cm ) điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác -1 ∆ ' = − m > x1 + x2 = ⇔ ⇔ > m ≠ −1 Khi gọi A ( x1 ; − x1 ) ; B ( x2 ; − x2 ) theo Viet ta có: g ( −1) = m + ≠ x1 x2 = m − 1 2 Ta có: SOAB = d ( O; AB ) AB = 2 ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 12 − 4m = ⇔ m = ( tm ) 2 Vậy m = giá trị cần tìm Câu (1,0 điểm) a) Ta có sin x − cos x ( sin x − 1) − sin x + = ⇔ 4sin x ( sin x − 1) − cos x.sin x + cos x + = ⇔ −4sin x.cos x − cos x.sin x + ( cos x + 1) = ⇔ ( cos x + 1)(1 − 2sin x.cos x ) = 2π cos x = − ⇒ x = ± + 2kπ ⇔ (k ∈ Z) sin x = ⇒ x = π + kπ b) Ta có z = 2; z = + i nghiệm nên thay z = + i vào phương trình ta có : −2 + b + c = PT ⇒ (1 + i )3 + a (1 + i ) + b(1 + i ) + c = ⇔ (−2 + b + c) + (2a + b + 2)i = ⇔ (1) 2a + b + = Thay z = vào phương trình ta có : + 4a + 2b + c = (2) −2 + b + c = a = −4 ⇔ b = Từ (1) (2) ta có hệ ⇔ 2a + b + = 8 + 4a + 2b + c = c = −4 Vậy a = −4; b = 6; c = −4 giá trị cần tìm Câu (0,5 điểm) Điều kiện x − ≥ ⇔ x ≥ Đặt t = x − , điều kiện t ≥ , đó: x = t + ( ⇔ ( t − 1) − ( t + 3)( t − 1) Bất phương trình có dạng: t + − 2 2 2 ) < (t 2 ) ( ) ( ) + + (1 − t ) ⇔ t − < t + (1 − t ) 2 2 2 < ⇔ ( t − 1) ( t + 1) − ( t + 3) < ⇔ ( t − 1) ( 2t − ) < ⇔ ( t − 1) ⇔ t < ⇔ x − < ⇔ x < ⇔ x < Vậy nghiệm bất phương trình S = [ 0;1) Câu (1,0 điểm) Từ phương trình thứ hai ta có x + y ≥ Chú ý Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x2 + y2 x + xy + y + = ( x + 2y) ( x − 2y) + ( x + 2y) Facebook: LyHung95 + ( x − 2y) + 3( x + y ) 12 3( x + y) x + 2y x + 2y ≥ + = + = x + 2y = x + 2y 12 2 Do phương trình thứ hai hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức x − y = ⇔ x = y Khi kết hợp x + y ≥ ⇒ x ≥ ⇔ x ≥ Phương trình thứ trở thành 2 x − x + x − x − = ⇔ ( x − 1) ( x3 + x + 1) = (1) 1 Vì x3 + x + > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ ( x; y ) = 1; Hệ có nghiệm 2 Câu (1,0 điểm) π + cos x + π 4 Ta có I = ∫ dx Đặt t = x − ⇒ dx = dt π 20 cos x − + 4 π π π Đổi cận: x = ⇒ t = − ; x = ⇒ t = 4 π π π π π + cos t + 4 4 1 − sin t dt sin t dt = Khi đó, I = ∫ dt = − ∫ dt ∫ ∫ π cos t + π + cos t π + cos t π + cos t − − − − 4 4 π π π t π d 4 dt dt t 4 π π 2 π = ∫ = tan = tan − tan − = tan = 2 − ∫ + cos t = ∫ −π 8 t t 8 π π π − − cos − cos 4 4 2 π ( π π sin t d (1 + cos t ) ∫ + cos t dt = − ∫ + cos t = − ln + cos t π π − − π − π ) =0 π π = −1 = − Vậy I = tan = 8 2 4 2 2 tan Câu (1,0 điểm) Gọi H hình chiếu vuông góc S xuống mặt phẳng đáy ( ABCD ) a 13 nên suy tam giác vuông SHI , SBI , SCI Suy HI = HB = HC nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC Nhận xét: theo đề SI = SB = SC = Mặt khác ta tính được: IB = a ( ∆ v ABI ) , IC = a ( ∆ v CDI ) , BC = AD + CD = 3a ⇒ IB + IC = BC ⇒ ∆IBC tam giác vuông I Do tâm đường tròn ngoại tiếp H tam giác IBC trung điểm BC Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 • Tính thể tích khối chóp S.ABCD AB + CD 3a Ta có: IH = = ⇒ SH = SI − IH = a 2 1 AB + CD ⇒ VS ABCD = SH S ABCD = SH AD = a3 3 • Tính khoảng cách AD SC Dựng Cx / / AD, Cx ∩ AB = E ⇒ AD / / ( SCE ) ⇒ d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SCE ) ) = d ( I , ( SCE ) ) = 2d ( H , ( SCE ) ) Gọi M = IH ∩ CE , kẻ HK ⊥ SM CE ⊥ ( SHM ) ⇒ CE ⊥ HK Ta có: ⇒ HK ⊥ ( SCE ) HK ⊥ SM Suy d ( H , ( SCE ) ) = HK Xét: 1 a a = + ⇒ HK = SH = a; HM = 2 HK SH HM 2 5 2a ⇒ d ( AD, SC ) = 2d ( H , ( SCE ) ) = HK = ∆ v SHM : Đáp số: VS ABCD = a 2; d ( AD, SC ) = 2a Câu (1,0 điểm) Gọi E ( 2; −2 ) tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Ta có: sin AME = EK r = = ⇒ AMI = 300 ⇒ ∆MAB tam giác ME ME đều, ME = EH với H trung điểm AB ta có: −3 = ( xH − ) 1 ⇒ H ; , AH = MH tan 300 = 2 4 = ( yH + ) 1 15 5 − = xI − 2 2 Khi HI = ⇒ R = AH + HI = 25 Lại có MH = ; HI = ⇒ MH = 3HI ⇒ 2 6 = ( x − ) I Khi I ( −1; ) ⇒ ( C ) : ( x + 1) + ( y − ) = 25 2 Đáp số: Vậy ( C ) ( x + 1) + ( y − ) = 25 đường tròn cần tìm 2 Câu (1,0 điểm) +) Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −3;0 ) , bán kính R = Chỉ điểm A nằm mặt cầu +) Gọi H trung điểm BC Ta có BC = BH = R − IH = 16 − IH BC nhỏ IH lớn Mà IH ≤ IA = const ⇒ BC lớn ∆ qua A vuông góc IA +) IA = ( −1; 2; ) ; nP = ( 2; −1; −1) véc tơ pháp tuyến (P) u∆ = IA, nP = ( 0;3; −3) ⇒ véc tơ phương ∆ u∆ = ( 0;1; −1) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x = Suy ra, phương trình ∆ y = −1 + t z = − t Câu (0,5 điểm) Đánh số phận A,B,C,D 1,2,3,4 Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’ Không gian mẫu: Ω = 4.4 = 16 phần tử Xét biến cố A: máy bay bị rơi Gọi tập Ω A kết thuận lợi cho biến cố A : Ta có: Ω A = {(1;1) ; ( 2; ) ; ( 3;3) ; ( 4; ) ; (1; ) ; ( 2;1) ( 3; ) ; ( 4;3)} đó: Ω A = 10 Xác suất A: PA = 10 = giá trị cần tìm 16 Câu 10 (1,0 điểm) Ký hiệu vế trái BĐT P ( a − 1) ( 2a + 6a + 3) 2a 2a Ta có ≥ 0, ∀ a > ⇒ + ≥ − 3a a2 3 2b 2b 2c 2c Tương tự + ≥ − ; 2+ ≥ − ⇒ P ≥ − (a + b + c) = b 3 c 3 3 Dấu đẳng thức xảy ba số Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016