đơn ánh, toàn ánh, song ánh trong bài toán phương trình hàm, các dạng toán cơ bản trong chương trình tổ hợp logic toán đại học đơn ánh, toàn ánh, song ánh trong bài toán phương trình hàm, các dạng toán cơ bản trong chương trình tổ hợp logic toán đại học đơn ánh, toàn ánh, song ánh trong bài toán phương trình hàm, các dạng toán cơ bản trong chương trình tổ hợp logic toán đại học
N NH, TON NH V SONG NH TRONG CC BI TON V PHNG TRèNH HM TRN NGC THNG GV THPT CHUYấN VNH PHC I M U Toỏn hc khụng phi l mt quyn sỏch ch gúi gn gia nhng t bỡa m ngi ta ch cn kiờn nhn c ht ni dung, toỏn hc cng khụng phi l mt vựng m quý m ngi ta ch cn cú thi gian khai thỏc; toỏn hc cng khụng phi l mt cỏnh ng s b bc mu vỡ nhng v thu hoch; toỏn hc cng khụng phi l lc a hay i dng m ta cú th v chỳng li c Toỏn hc khụng cú nhng gii hn nh khụng gian m ú nú cm thy quỏ cht chi cho nhng khỏt vng ca nú; kh nng ca toỏn hc l vụ hn nh bu tri y cỏc vỡ sao; ta khụng th gii hn toỏn hc nhng quy tc hay nh ngha vỡ nú cng ging nh cuc sng luụn luụn tin húa Sylvester Vic quan trng l khụng ngng suy ngh Tớnh tũ mũ cú lớ riờng ca nú Con ngi s b lo s suy ngm v cỏc n ca vụ tõn, i sng, v cu trỳc tuyt vi ca thc t Nu ngi ta mi ngy ch thu hiu mt chỳt v nhng n ny, thỡ cng Hóy ng bao gi mt i s tũ mũ thiờng liờng Abert Einstein Cú th núi toỏn hc l khoa hc ca mi khoa hc, toỏn hc l cụng c ca cỏc mụn hc khỏc, toỏn hc cú vai trũ rt quan trng i sng thc tin Do ú cỏc lnh vc ca toỏn hc c quan tõm c bit Toỏn hc bao gm nhiu lnh vc khỏc v nú u cú vai trũ v tm nh hng khỏc toỏn hc Mt nhng lnh vc rt quan trng toỏn hc ú l lnh vc liờn quan n hm s, cú th núi hm s xut hin v úng vai trũ quan trng cỏc lnh vc ca toỏn hc nh: gii tớch, hỡnh hc, xỏc sut, phng phỏp tớnh, toỏn ng dng Trong cỏc lnh vc liờn quan n hm s thỡ cỏc khỏi nim v n ỏnh, ton ỏnh v song ỏnh úng mt vai trũ rt quan trng Chớnh vỡ vy m cỏc bi toỏn v hm s liờn quan n song ỏnh thng xut hin hu ht cỏc thi olimpiad ca cỏc nc, khu vc v quc t Cỏc bi loi ny thng rt a dng v phng phỏp gii, v mc khú, tớnh mi m Vỡ vy phõn chia thnh cỏc dng toỏn c th l rt khú khn Tuy nhiờn bi vit ny tụi c gng a mt s bi vi mt s phng phỏp gii tng ng Do trỡnh v thi gian cú hn bi vit khụng th trỏnh nhng sai sút v mt ni dung v hỡnh thc trỡnh by, tụi rt mong mun nhn c cỏc ý kin úng gúp t cỏc thy cụ giỏo v cỏc em hc sinh Phng trỡnh quan trng hn chớnh tr, vỡ chớnh tr cho hin i cũn phng trỡnh cho vnh cu Abert Einstein Vnh Yờn, thỏng 07-2011 Trn Ngc Thng II NI DUNG A PHN Lí THUYT nh x 1.1 nh ngha Mt ỏnh x f t X n Y l mt quy tc t tng ng mi phn t x ca X vi mt (v ch mt) phn t ca Y Phn t ny c gi l nh ca x qua ỏnh x f v c kớ hiu l f(x) (i) Tp X c gi l xỏc nh ca f Tp hp Y c gi l giỏ tr ca f (ii) nh x f t X n Y c kớ hiu l f : X Y x a y = f ( x) (iii) Khi X v Y l cỏc s thc, ỏnh x f c gi l mt hm s xỏc nh trờn X (iv) Cho a X , y Y Nu f ( a ) = y thỡ ta núi y l nh ca a v a l nghch nh ca y qua ỏnh x f (v) Tp hp Y = { y Y x X , y = f ( x ) } gi l nh ca f Núi cỏch khỏc, nh f ( X ) l hp tt c cỏc phn t ca Y m cú nghch nh n ỏnh, ton ỏnh, song ỏnh 2.1 nh ngha nh x f : X Y c gi l n ỏnh nu vi a X , b X m a b thỡ f ( a ) f ( b ) , tc l hai phn t phõn bit s cú hai nh phõn bit T nh ngha ta suy ỏnh x f l n ỏnh v ch vi a X , b X m f ( a ) = f ( b ) , ta phi cú a = b 2.2 nh ngha nh x f : X Y c gi l ton ỏnh nu vi mi phn t y Y u tn ti mt phn t x X cho y = f ( x ) Nh vy f l ton ỏnh nu v ch nu Y = f ( X ) 2.3 nh ngha nh x f : X Y c gi l song ỏnh nu nú va l n ỏnh va l ton ỏnh Nh vy ỏnh x f : X Y l song ỏnh nu v ch nu vi mi y Y , tn ti v nht mt phn t x X y = f ( x ) nh x ngc ca mt song ỏnh 3.1 nh ngha nh x ngc ca f, c kớ hiu bi f , l ỏnh x t Y n X gỏn cho mi phn t y Y phn t nht x X cho y = f ( x ) Nh vy f ( x ) = y f ( x ) = y 3.2 Chỳ ý Nu f khụng phi l song ỏnh thỡ ta khụng th nh ngha c ỏnh x ngc ca f Do ú ch núi n ỏnh x ngc f l song ỏnh nh x hp 4.1 nh ngha Nu g : A B v f : B C v g ( A ) B thỡ ỏnh x hp f og : A C c xỏc nh bi ( Kớ hiu f og ) ( a ) = f ( g ( a ) ) p n = p o p o o p 42 43 n Mt s kớ hiu Ơ : Tp cỏc s t nhiờn Ơ * : Tp cỏc s nguyờn dng Ô : Tp cỏc s hu t Ô + : Tp cỏc s hu t dng  : Tp cỏc s nguyờn  + : Tp cỏc s nguyờn dng Ă : Tp cỏc s thc Ă + : Tp cỏc s thc dng B PHN BI TP MINH HA BI T11/409 (THTT, THNG 07-2011) Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă Ă , liờn tc trờn Ă v tha iu kin f ( xy ) + f ( x + y ) = f ( xy + x ) + f ( y ) , x, y Ă (1) LI GII Thay y = vo (1) ta c: f ( x ) + f ( x + 1) = f ( x ) + f ( 1) , x Ă (2) f ( x ) + f ( x + 1) f ( x ) = f ( 1) f ( x ) + f ( x + 1) f ( x ) = f ( 1) = f ( x + 1) + f ( x + ) f ( x + ) f ( x + ) f ( x ) = f ( x + ) f ( x ) , x Ă Do ú ta thu c: x x x x f ( x + ) f ( x ) = f + ữ f ữ = = f k + ữ f k ữ, k 2 x x f ( x + ) f ( x ) = lim f k + ữ f k ữữ = f ( ) f ( ) T ú suy ra: k + f ( x + ) f ( x ) = f ( ) f ( ) , x Ă (3) Vi n l s nguyờn dng v ng thc (3) ta thu c: f ( x + 2n ) f ( x + 2n ) = f ( ) f ( ) f ( x + 2n ) f ( x + 2n ) = f ( ) f ( ) f ( x + 2) f ( x ) = f ( 2) f ( 0) Cng tng v cỏc ng thc trờn ta c: Tng t ta cú: f ( x + 2n ) = n ( f ( ) f ( ) ) + f ( x ) , n 1, x Ă (4) f ( x + 2n + 1) = n ( f ( ) f ( ) ) + f ( x + 1) , n 1, x Ă (5) Thay y = 2n vo (1) v kt hp vi ng thc (4) ta c: f ( ( 2n + 1) x ) + f ( 2n ) = f ( 2nx ) + f ( x + 2n ) f ( ( 2n + 1) x ) f ( 2nx ) = f ( x + 2n ) f ( 2n ) f ( ( 2n + 1) x ) f ( 2nx ) = n ( f ( ) f ( ) ) + f ( x + 1) n ( f ( ) f ( ) ) f ( 1) f ( ( 2n + 1) x ) f ( 2nx ) = f ( x ) f ( ) Tng t ta cú ng thc: f ( 2nx ) f ( ( 2n 1) x ) = f ( x + 1) f ( 1) T cỏc ng thc (6) v (7) ta cú: f ( 2nx ) f ( ( 2n 1) x ) = f ( x + 1) f ( 1) (6) (7) f ( ( 2n 1) x ) f ( ( 2n ) x ) = f ( x ) f ( ) f ( x ) f ( x ) = f ( x + 1) f ( 1) Cng tng v cỏc ng thc trờn ta c: f ( 2nx ) f ( x ) = n ( f ( x + 1) f ( 1) ) + ( n 1) ( f ( x ) f ( ) ) f ( 2nx ) = n ( f ( x ) + f ( x + 1) f ( 1) ) ( n 1) f ( ) Kt hp vi ng thc (2) ta c: f ( 2nx ) = nf ( x ) ( n 1) f ( ) , x Ă f ( nx ) = nf ( x ) ( n 1) f ( ) , x Ă (8) Trong (8) thay n = 2, x = ta c: f ( ) = f ( 1) f ( ) ( f ( 1) f ( ) ) = f ( ) f ( ) = f ( ) f ( 1) f ( 1) = f ( ) f ( 1) t a = f ( 1) f ( ) ; b = f ( ) Khi ú vi mi s nguyờn dng n v t ng thc (8) ta c: f ( n ) = nf ( 1) ( n 1) f ( ) = an + b 1 f n ữ = nf ữ ( n 1) f ( ) f ữ = a + b n n n n f n ữ = nf ữ ( n 1) f ( ) f ữ = a + b n n n n Vi mi s hu t r Ô luụn biu din di dng r = m , ú m Ơ * , n  nờn n theo ng thc (8) v cỏc ng trờn ta c: m 1 f ( r ) = f m ữ = mf ữ ( n 1) f ( ) = a + b = ar + b f ( r ) = ar + b (9) n n n Vi mi x Ă , tn ti dóy s hu t { xn } hi t n x nờn t ng thc (9) v tớnh liờn tc ca f suy f ( x ) = ax + b Th li thy tha Bi (IMO 1988) Tỡm tt c cỏc hm f : Ơ * Ơ * tha ng thc: f ( f ( m) + f ( n) ) = m + n , vi mi m, n Ơ * Li gii Thay m = n vo ng thc trờn ta c f ( f ( n ) ) = 2n (1), v t ng thc ny ta cú: nu f ( n1 ) = f ( n2 ) f ( f ( n1 ) ) = f ( f ( n2 ) ) 2n1 = 2n2 n1 = n2 hay suy f l n ỏnh Ta cú 2n = n + n + = n + n f ( f ( n 1) + f ( n + 1) ) = f ( f ( n ) + f ( n ) ) , v f l n ỏnh nờn f ( n 1) + f ( n + 1) = f ( n ) , n (2) T ng thc (2) ta cú: f ( n ) f ( n 1) = f ( n 1) f ( n ) = = f ( ) f ( 1) = a , suy f ( n ) = f ( 1) + ( n 1) a = an + b ; ú b = f ( 1) a Thay f ( n ) = an + b vo phng trỡnh ban u ta c a = 1, b = * Vy f ( n ) = n, n Ơ Nhn xột Bng cỏch lm tng t bi trờn ta gii c cỏc bi sau: Bi (Canada 2008) Tỡm tt c cỏc hm s f : Ô Ô tha ng thc: f ( f ( x) + f ( y ) ) = 2x + y , Vi mi x, y Ô Bi (M rng Canada 2008) Tỡm tt c cỏc hm s f : Ô + Ô + tha ng thc: f ( f ( x) + f ( y ) ) = 2x + y , Vi mi x, y Ô + Bi (Balkan MO 2009) Kớ hiu Ơ * l hp cỏc s nguyờn dng Tỡm tt c cỏc hm f : Ơ * Ơ * tha ng thc: f ( f ( m ) + f ( n ) ) = m + 2n , Vi mi m, n Ơ * Li gii Nu m1 , m2 Ơ * cho f ( m1 ) = f ( m2 ) f ( f ( m1 ) + f ( n ) ) = f ( f ( m2 ) + f ( n ) ) m12 + 2n = m22 + 2n , suy m1 = m2 hay f l n ỏnh D thy vi mi n Ơ * , n ta cú: 2 2 ( n + ) + ( n 1) = ( n ) + ( n + 1) T ng thc kt hp vi phng trỡnh ó cho ta c: f ( f ( n + ) + f ( n 1) ) = f ( f ( n ) + f ( n + 1) ) , f l n ỏnh nờn ta cú: f ( n + ) + f ( n 1) = f ( n ) + f ( n + 1) (1) T ng thc (1) ta cú: f ( n + ) f ( n + 1) + f ( n ) = f ( n + 1) f ( n ) + f ( n 1) = = f ( 3) f ( ) + f ( 1) = a f ( n ) f ( n 1) = f ( n 1) f ( n ) + a f ( n 1) f ( n ) = f ( n ) f ( n 3) + a ( n ) f ( n 1) = f ( ) f ( 1) + a ( n ) f ( n 1) f ( n ) = f ( ) f ( 1) + a ( n 3) f 2 f ( ) f ( 1) = f ( ) f ( 1) Cng tng v ca cỏc ng thc trờn ta c: f ( n ) f ( 1) = ( n 1) ( f ( ) f ( 1) ) + T ng thc (2) ta suy f ( n ) cú dng: a ( n 1) ( n ) f ( n ) = bn + cn + d Mt khỏc phng trỡnh ban u cho m = n ta c: (2) (3) f ( f ( n ) ) = 3n (4) T (3) v (4) ta thu c b = 1, c = d = Vy f ( n ) = n , vi mi n Ơ * Nhn xột Bng cỏch lm tng t ta gii c bi toỏn sau: Bi (HSG Lp 10 Vnh Phỳc 2011) Kớ hiu Ơ ch hp cỏc s t nhiờn Gi s f : Ơ Ơ l hm s tha cỏc iu kin f ( 1) > v ( ) f m + 2n = ( f ( m ) ) + ( f ( n ) ) , 2 vi mi m, n Ơ Tớnh cỏc giỏ tr ca f ( ) v f ( 2011) Bi (Indonesia TST 2010) Xỏc nh tt c cỏc s thc a cho cú mt hm s f : Ă Ă tha món: x + f ( y ) = af ( y + f ( x ) ) , vi mi x, y Ă Li gii D thy nu a = khụng tha Do ú a , thay y = vo ng thc trờn ta c: f ( f ( x) ) = x + f ( 0) a (1) T ng thc (1) suy f l mt ton ỏnh nờn tn ti x Ă cho f ( x ) = Khi ú t phng trỡnh ban u ta cú: x + f ( y ) = af ( y ) x = ( a 1) f ( y ) , vi mi y Ă (2) T ng thc (2) thỡ s xy a = hoc f ( y ) const +) Nu f ( y ) const thỡ khụng tha phng trỡnh ban u +) Nu a = thỡ ly f ( x ) = x , vi mi x Ă tha bi toỏn Vy a = Bi (MEMO 2009) Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă Ă tha ng thc: f ( xf ( y ) ) + f ( f ( x ) + f ( y ) ) = yf ( x ) + f ( x + f ( y ) ) , Vi mi x, y Ă Li gii +) Nu f ( x ) = vi mi x Ă , th vo phng trỡnh ó cho ta thy tha +) Nu tn ti a Ă cho f ( a ) Khi ú vi y1 , y2 Ă cho f ( y1 ) = f ( y2 ) , t phng trỡnh trờn thay x bi a v y ln lt bi y1 , y2 ta c: f ( af ( y1 ) ) + f ( f ( a ) + f ( y1 ) ) = y1 f ( a ) + f ( a + f ( y1 ) ) (1) v f ( af ( y2 ) ) + f ( f ( a ) + f ( y2 ) ) = y2 f ( a ) + f ( a + f ( y2 ) ) (2) T (1) v (2) ta c y1 f ( a ) = y2 f ( a ) y1 = y2 Vy f l mt n ỏnh Thay x = 0, y = vo phng trỡnh ta c: f ( ) + f ( f ( ) + f ( 1) ) = f ( ) + f ( f ( 1) ) , s dng f l n ỏnh ta c f ( ) = Mt khỏc thay y = v phng trỡnh v s dng f ( ) = ta c: f ( xf ( ) ) + f ( f ( x ) + f ( ) ) = f ( x ) + f ( x + f ( ) ) f ( f ( x ) ) = f ( x ) f ( x ) = x, x Ă Vy f ( x ) = 0, x Ă hoc f ( x ) = x, x Ă Bi (T11/407 THTT thỏng - 2011) Tỡm tt c cỏc hm s f xỏc nh trờn Ă , ly giỏ tr Ă v tha phng trỡnh f ( x + y + f ( y) ) = f ( f ( x) ) + 2y , vi mi s thc x, y Li gii +) Cho y = ta c f ( f ( x ) ) = f ( x + f ( ) ) (1) +) Ta chng minh f l n ỏnh Tht vy nu y1 , y2 cho f ( y1 ) = f ( y2 ) (2) T (1) v (2) ta cú f ( f ( y1 ) ) = f ( f ( y2 ) ) f ( y1 + f ( ) ) = f ( y2 + f ( ) ) (3) Cho x = f ( ) f ( y ) thay vo phng trỡnh ó cho ta c ( ) f ( f ( 0) f ( y ) + y + f ( y ) ) = f f ( f ( 0) f ( y ) ) + y ( ) f ( y + f ( 0) ) = f f ( f ( 0) f ( y ) ) + y (4) T (4) ln thay y bi y1 , y2 ta c ( ) f ( y + f ( 0) ) = f ( f ( f ( 0) f ( y ) ) ) + y f ( y1 + f ( ) ) = f f ( f ( ) f ( y1 ) ) + y1 2 T hai ng thc ny kt hp vi (2) v (3) ta c y1 = y2 Vy f l mt n ỏnh Do ú t (1) ta cú f ( x ) = x + f ( ) th li thy tha Bi (IRAN TST 2011) Tỡm tt c cỏc song ỏnh f : Ă Ă cho: f ( x + f ( x) + f ( y ) ) = f ( 2x) + f ( y ) , Vi mi x, y Ă (42) Li gii Do f l mt ton ỏnh nờn vi mi x Ă tn ti t Ă cho f ( t ) = x + f ( x) +x Khi ú thay vo phng trỡnh ban u ta c: f ( x ) = f ( x ) + f ( 2t ) f ( 2t ) = (1) Thay x = y = 2t vo phng trỡnh hm ban u v kt hp vi (1) ta c: f ( 2t + f ( 2t ) + f ( 2t ) ) = f ( 4t ) f ( 4t ) = T (1), (2) v f l n ỏnh nờn ta cú: f ( 4t ) = f ( 2t ) 4t = 2t t = Vy f ( x ) = x , vi mi x Ă (2) x + f ( x) + x = f ( x) = x Bi 10 Xột tt c cỏc hm n ỏnh f : Ă Ă tha iu kin: f ( x + f ( x ) ) = 2x , vi mi x Ă Chng minh rng hm s f ( x ) + x l mt song ỏnh.(19) Li gii t g ( x ) = f ( x ) + x f ( x ) = g ( x ) x Khi ú t phng trỡnh ban u ta c: g ( x + f ( x ) ) ( x + f ( x ) ) = x g ( g ( x ) ) g ( x ) = 2x Do ú ta cú g ( g ( x ) ) g ( x ) = x, x Ă (1) +) Ta chng minh g l n ỏnh Tht vy vi x1 , x2 Ă cho g ( x1 ) = g ( x2 ) suy g ( g ( x1 ) ) g ( x1 ) = g ( g ( x2 ) ) g ( x2 ) x1 = x2 hay g l n ỏnh +) Ta chng minh g l ton ỏnh Tht vy vi mi x Ă ta cú: f ( x ) = f ( x) f ( x) f ( x) = f +f f l mt n ỏnh ta thu c: ữữ ữ v kt hp vi f ( x) f ( x) f ( x) +f ữ= g ữ ng thc ny chng t g l mt ton ỏnh 2 Do ú g l mt song ỏnh hay f ( x ) + x l mt song ỏnh x= Bi 11 Xột tt c cỏc hm f , g , h : Ă Ă cho f l n ỏnh v h l song ỏnh tha iu kin f ( g ( x ) ) = h ( x ) , vi mi x Ă Chng minh rng g ( x ) l mt hm song ỏnh Li gii +) Ta chng minh g ( x ) l n ỏnh Tht vy vi x1 , x2 Ă cho g ( x1 ) = g ( x2 ) suy f ( g ( x1 ) ) = f ( g ( x2 ) ) h ( x1 ) = h ( x2 ) x1 = x2 (do h l mt song ỏnh) T ú suy g l mt n ỏnh +) Ta chng minh g ( x ) l ton ỏnh Tht vy vi mi x Ă v h l mt song ỏnh nờn tn ti y Ă cho f ( x ) = h ( y ) = f ( g ( y ) ) x = g ( y ) (do f l n ỏnh) T ú suy g l mt ton ỏnh Vy g ( x ) l mt hm song ỏnh Bi 12 Xột tt c cỏc hm f : Ă U{ 0} Ă tha ng thi hai iu kin sau: + (i) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , vi mi x, y Ă U{ 0} + (ii) S phn t ca hp { x f ( x ) = 0, x Ă U{ 0} } l hu hn Chng minh rng f l mt hm n ỏnh.(25) Li gii Bng phng phỏp quy np ta d dng ch c f ( nx ) = nf ( x ) , n Ơ * , x Ă + U{ 0} (1) Thay x = y = vo phng trỡnh ban u ta c f ( + ) = f ( ) + f ( ) f ( ) = Gi s x1 , x2 Ă U{ 0} cho f ( x1 ) = f ( x2 ) Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s x1 x2 Khi ú theo iu kin (i) ta c: f ( x1 x2 ) + f ( x2 ) = f ( x1 ) f ( x1 x2 ) = (2) * T (1) v (2) ta thu c: f ( n ( x1 x2 ) ) = nf ( x1 x2 ) = , vi mi n Ơ T ú kt hp vi iu kin (ii) ta suy x1 = x2 Vy f l mt hm n ỏnh + Bi 13 (Shortlist IMO 2002) Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă Ă tha iu kin: f ( f ( x ) + y ) = 2x + f ( f ( y ) x ) , vi mi x, y Ă 10 Li gii +) Ta chng minh f l ton ỏnh Tht vy, thay y = f ( x ) vo phng trỡnh ban u ta c: f ( 0) = x + f ( f ( f ( x ) ) x ) f ( f ( f ( x ) ) x ) = f ( 0) 2x , suy f l ton ỏnh +) Do f l ton ỏnh nờn tn ti a Ă cho f ( a ) = +) Thay x = a vo phng trỡnh ban u ta c: f ( y ) = 2a + f ( f ( y ) a ) f ( f ( y ) a ) + a = f ( y ) a (1) +) Do f l ton ỏnh nờn vi mi x Ă tn ti y Ă cho x + a = f ( y ) Do ú t ng thc (1) ta thu c: x = f ( x ) + a f ( x ) = x a, x Ă Th li ta thy tha iu kin Vy f ( x ) = x a Bi 14 Tỡm tt c cỏc hm f : Ă Ă tha iu kin: f ( f ( x) + f ( y) ) = f ( x) + y + f ( y) , vi mi x, y Ă (17) Li gii Vi y1 , y2 Ă cho f ( y1 ) = f ( y2 ) f ( f ( x ) + f ( y1 ) ) = f ( f ( x ) + f ( y2 ) ) suy f ( x ) + y1 + f ( y1 ) = f ( x ) + y2 + f ( y2 ) y1 = y2 Do ú f l mt song ỏnh Thay y = f ( x ) vo phng trỡnh ban u ta c: ( ) f f ( x) + f ( f ( x) ) = f ( f ( x) ) f ( x) + f ( f ( x) ) = f ( x) f ( f ( x ) ) = f ( x ) , x Ă Thay x = f ( y ) vo phng trỡnh ban u ta c: ( ) f f ( f ( y) ) + f ( y) = f ( f ( y) ) + y + f ( y) f ( f ( y ) ) = f ( y ) + y + f ( y ) = y , y Ă Suy f l mt ton ỏnh Do ú vi mi x Ă thỡ tn ti t Ă cho x = f ( t ) T ng thc (1) ta cú: f ( f ( t ) ) = f ( t ) f ( x ) = x, x Ă Vy f ( x ) = x, x Ă Bi 14 Tỡm tt c cỏc hm f : Ă Ă tha ng thi cỏc iu kin sau: (i) f ( f ( x ) + y ) = x + f ( y ) , vi mi x, y Ă (ii) Vi mi x Ă + tn ti y Ă + cho f ( y ) = x (27) Li gii 11 (1) Vi x1 , x2 Ă cho f ( x1 ) = f ( x2 ) nờn t iu kin (i) ta c: f ( f ( x1 ) + y ) = f ( f ( x2 ) + y ) x1 + f ( y ) = x2 + f ( y ) x1 = x2 suy f l n ỏnh Thay x = y = vo phng trỡnh iu kin (i) ta c: f ( f ( ) ) = f ( ) f ( ) = (1) Thay y = vo phng trỡnh iu kin (i) v kt hp vi (1) ta c: f ( f ( x ) ) = x + f ( 0) f ( f ( x ) ) = x Thay x bi f ( x ) phng trỡnh iu kin (i) v kờt hp vi (2) ta c: ( ) f f ( f ( x) ) + y = f ( x) + f ( y ) f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) (2) (3) Vi mi x > , tn ti y > cho x = f ( y ) = f ( f ( x ) ) y = f ( x ) T ú suy vi mi x > thỡ f ( x ) > Ta chng minh f l hm ng bin Tht vy vi x1 , x2 Ă , x1 > x2 v kt hp vi (3) ta cú: f ( x1 ) = f ( x1 x2 + x2 ) = f ( x1 x2 ) + f ( x2 ) > f ( x2 ) suy f l mt hm s ng bin Do hm s f ng bin v ng thc (2) ta thu c: f ( x ) = x, x Ă Vy f ( x ) = x, x Ă Bi 14 (France 1995) Cho hm s f : Ơ * Ơ * l mt song ỏnh Chng minh rng tn ti ba s nguyờn dng a, b, c cho a < b < c v f ( a ) + f ( c ) = f ( b ) Ta s chng minh bi toỏn tng quỏt hn bi toỏn trờn Bi 15 Cho hm s f : Ơ * Ơ * l mt song ỏnh Chng minh rng tn ti bn s nguyờn dng a, b, c, d cho a < b < c < d v f ( a ) + f ( d ) = f ( b ) + f ( c ) Li gii Do f l mt song ỏnh t Ơ * n Ơ * nờn tn ti n cho f (1) < f (n) M = { n Ơ * : f (1) < f (n)} l khỏc rng ca Ơ * nờn tn ti phn t nh nht ca M, kớ hiu l b, b > v f (b) > f (1) Gi c l phn t nh nht ca M \ { b} , kớ hiu l c, < b < c v f (c) > f (1) T f l song ỏnh nờn tn ti d Ơ * cho f ( d ) = f (b) + f (c ) f (1) T ng thc trờn suy f (d ) f (b), f (d ) f (c) d > c > b > Do ú tn ti a, b, c, d Ơ * cho a = < b < c < d v f (a ) + f (d ) = f (b) + f (c ) 12 Bi 16 (THTT Thỏng 1/2011) Vi mi n Ơ * , kớ hiu an l s tt c cỏc song ỏnh f : { 1, 2,3, , n} { 1, 2,3, , n} tha iu kin vi mi k { 1, 2,3, , n} thỡ f ( f ( k) ) = k 1) Chng minh rng an l s chn vi mi n 2) Chng minh rng vi n 10 v nM3 thỡ an an M3 Chng minh Ta cú an bng tng ca s cỏc song ỏnh tha f ( n ) = n v s cỏc song ỏnh tha f ( n ) n Chỳ ý rng vi f ( n ) n thỡ f ( n ) { 1, 2,3, , n 1} nờn f ( n ) cú n cỏch chn Do ú ta cú ng thc sau: an = an + ( n 1) an , n , vi chỳ ý a0 = a1 = 1) Bng quy np ta chng minh c an l s chn vi mi n 2) T ng thc trờn ta chng minh d dng ng thc: an = ( 2n ) an + n ( n 3) an , n an an = ( 2n 3) an + n ( n 3) an an an ( mod 3) nu n ( mod 3) T ú ta suy ra: an an = an an + an an + an an ( mod 3) , n 10 Bi 16 Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă Ă tha iu kin: f ( x + y + f ( xy ) ) = f ( f ( x + y ) ) + xy , vi mi s thc x, y (1) Li gii Trc ht ta chng minh f l mt hm n ỏnh Tht vy, xột hai s a,b bt kỡ Chn s cho s > 4a; s > 4b Khi ú phng trỡnh t st + a = cú hai nghim pbit l t1 , t2 t st + b = cú hai nghim pbit l t3 , t4 Trong (1) ln lt thay (x,y) bng (t1 , t2 );(t3 , t4 ) ta c: f ( s + f ( a ) ) = f ( f ( s ) ) + a f ( s + f ( b ) ) = f ( f ( s ) ) + b T ú nu f (a) = f (b) thỡ a = b suy f n ỏnh Thay y = (1) ta c f ( x + f ( ) ) = f ( f ( x ) ) f ( x ) = x + f (0) Vy f ( x ) = x + a , ú a l mt hng s C PHN BI TP NGH 13 Bi 17 Tỡm tt c cỏc hm f : Ơ * Ơ * tha cỏc iu kin sau: (i) f l ton ỏnh; (ii) m l c ca n v ch f ( m ) l c ca f ( n ) Bi 18 Tỡm tt c cỏc hm f : Ơ * Ơ * tha iu kin: f ( m + f ( n ) ) = n + f ( m + 1) , * vi mi m, n Ơ Bi 19 (CH Sộc 2006) Tỡm tt c cỏc hm f :   tha iu kin: f ( f ( x ) + y ) = x + f ( y + 2006 ) , vi mi x, y  Bi 20 (Rumani 1988) Cho f : Ơ * Ơ * l mt ton ỏnh v g : Ơ * Ơ * l mt n ỏnh cho vi mi s nguyờn dng n ta cú f ( n ) g ( n ) Chng minh rng f = g Bi 21 (IMO Shortlist 1995) Chng minh rng tn ti mt v ch mt hm s f : Ơ * Ơ * cho vi mi s nguyờn dng m, n ta cú: f ( m + f ( n ) ) = n + f ( m + 95 ) 19 Tớnh tng f ( k) k =1 Bi 22 Tỡm tt c cỏc hm f : Ă Ă tha iu kin: f ( x + f ( x) + y) = x + f ( f ( x) ) + f ( y ) , vi mi x, y Ă (9) Bi 23 (Olimpiad o Balan 1997) Chng minh rng khụng tn ti hm s f :   cho vi mi s nguyờn x, y ta cú f ( x + f ( y ) ) = f ( x ) y Bi 24 Xột tt c cỏc hm f : Ă Ă tha iu kin: f ( x + f ( x) + y ) = x + f ( x) + f ( y) , vi mi x, y Ă Chng minh rng f l mt song ỏnh (8) Bi 25 Tỡm tt c cỏc hm f : Ă Ă tha iu kin: f ( f ( x + f ( y) ) ) = x + f ( y) + f ( x + y) , vi mi x, y Ă (13) + + Bi 26 Tỡm tt c cỏc hm f : Ă U{ 0} Ă U{ 0} tha iu kin: ( ) f f ( x + f ( y ) ) = 2x + f ( x + y ) , vi mi x, y Ă (14) Bi 27 Tỡm tt c cỏc hm f : Ă Ă tha iu kin: f ( x + f ( x) + f ( y ) ) = x + f ( x) + y + f ( y ) , vi mi x, y Ă (15) Bi 28 (Olimpic 30-04-2009) Cho hm s f : Ơ * Ơ * tha iu kin: 14 2009 ( m + n) chia ht cho ( f ( m ) + f ( n ) ) , vi mi m, n Ơ * Chng minh rng f ( 1) , f ( ) , f ( 3) , lp thnh mt cp s cng vi cụng sai dng Bi 29 Cú tn ti hay khụng mt song ỏnh tha iu kin: f ( 1) + f ( ) + + f ( n ) Mn , vi mi s nguyờn dng n Bi 30 Tỡm tt c cỏc hm f : Ă Ă tha iu kin: f ( x + f ( x) + y) = x + f ( x) + f ( y) , vi mi x, y Ă Chng minh rng f ( ) = (11) Bi 31 Tỡm tt c cỏc hm f : Ă Ă tha iu kin: f ( x + f ( x) + y) = x + f ( y) + f ( y ) , vi mi x, y Ă (10) Bi 32 Tỡm tt c cỏc hm f : Ă Ă tha iu kin: f ( 2x + f ( y ) ) = x + f ( x) + y + f ( y ) , vi mi x, y Ă (16) Bi 33 Tỡm tt c cỏc hm f : Ă Ă tha iu kin: f ( x + f ( x) + f ( y ) ) = 2x + y + f ( y ) , vi mi x, y Ă (20) Bi 34 Tỡm tt c cỏc hm f : Ă Ă tha iu kin: f ( 2x + f ( y ) ) = x + f ( x) + y , vi mi x, y Ă (22) + + Bi 35 Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă U{ 0} Ă tha iu kin: x + f ( x) f + y ữ= f ( x) + y , vi mi x, y Ă U{ 0} (23) + + Bi 36 Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă U{ 0} Ă U{ 0} tha iu kin: + x + f ( x) f + y ữ= f ( x) + y , vi mi x, y Ă U{ 0} (24) Bi 37 Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă Ă tha iu kin: + ( ) f f ( f ( x) ) + f ( y) + z = x + f ( y) + f ( f ( z ) ) , vi mi x, y, z Ă (29) Bi 38 (Morocco 2011) Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă Ă tha iu kin: ( x ) f ( y ) + f ( y + f ( x ) ) = f ( x + yf ( x ) ) , vi mi x, y Ă 15 + + Bi 39 Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă U{ 0} Ă U{ 0} tha iu kin: f ( x + f ( x) + f ( y ) ) = f ( x) + y + f ( y) , + vi mi x, y Ă U{ 0} (44) Bi 40 (Shortlist IMO 2007) Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă + Ă + tha iu kin: f ( x + f ( y) ) = f ( x + y) + f ( y) , vi mi x, y Ă + Bi 41 (Macedonia NMO 2008) Tỡm tt c cỏc hm n ỏnh f : Ơ * Ơ * tha n + f ( n) , vi mi n Ơ * Bi 42 (Macedonia NMO 2007) Cho n l mt s t nhiờn chia ht cho Xỏc nh s song ỏnh f : { 1, 2, , n} { 1, 2, , n} cho: iu kin: f ( f ( n ) ) f ( j ) + f ( j ) = n + , vi mi j = 1, 2, , n Bi 43 Tỡm tt c cỏc hm s f : Ơ * Ơ * tha iu kin: f ( f ( n ) ) = 2n , vi mi s nguyờn dng n Bi 44 Cho X l mt hu hn, cho cỏc song ỏnh f , g : X X tha iu kin vi mi x X ta cú: f ( f ( x ) ) = g ( g ( x ) ) hoc f ( g ( x ) ) = g ( f ( x ) ) hoc c hai u ỳng Chng minh rng vi mi x X , ta cú f ( f ( f ( x ) ) ) = g ( g ( g ( x ) ) ) nu ( ) ( ) f f ( g ( x) ) = g g ( g ( x) ) Bi 45 (APMO 1989) Cho hm s f tng thc s , nhn giỏ tr thc trờn cỏc s thc Gi s tn ti hm ngc f Tỡm tt c cỏc hm s f nh th cho f ( x ) + f ( x ) = x , vi mi s thc x Bi 46 Cho cỏc hm s f , g :   Chng minh rng hm s f og khụng l mt ton ỏnh Bi 47 Cho ton ỏnh f :   Chng minh rng tn ti hai hm ton ỏnh g , h :   cho f = gh Bi 48 Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă Ă tha iu kin: f ( xf ( x ) + f ( y ) ) = ( f ( x ) ) + y , vi mi x, y Ă Bi 49 Cho m n l hai s nguyờn dng Chng minh rng s cỏc ton ỏnh f : { 1, 2, , m} { 1, 2, , n} bng n ( 1) k =0 k Cnk ( n k ) m 16 Bi 50 (Shortlist 1996) Cho U l mt hp hu hn v cho f , g l cỏc ton ỏnh t U vo U t S = { U : f ( f ( ) ) = g ( g ( ) ) } , T = { U : f ( g ( ) ) = g ( f ( ) ) } , v gi s U = S UT Chng minh rng vi U , f ( ) S v ch g ( ) S Bi 51 (Shortlist 2009) Tỡm tt c cỏc hm s f : Ă Ă tha iu kin: f ( xf ( x + y ) ) = f ( yf ( x ) ) + x , vi mi s thc x v y 17 [...]... ) Bài 45 (APMO 1989) Cho hàm số f tăng thực sự , nhận giá trị thực trên tập các số thực Giả sử tồn tại hàm ngược f −1 Tìm tất cả các hàm số f như thế sao cho f ( x ) + f −1 ( x ) = 2 x , với mọi số thực x Bài 46 Cho các hàm số f , g : ¢ → ¢ Chứng minh rằng hàm số f og không là một toàn ánh Bài 47 Cho toàn ánh f : ¢ → ¢ Chứng minh rằng tồn tại hai hàm toàn ánh g , h : ¢ → ¢ sao cho f = gh Bài. .. (a) = f (b) thì a = b suy ra f đơn ánh Thay y = 0 trong (1) ta được f ( x + f ( 0 ) ) = f ( f ( x ) ) ⇒ f ( x ) = x + f (0) Vậy f ( x ) = x + a , trong đó a là một hằng số C PHẦN BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 13 Bài 17 Tìm tất cả các hàm f : ¥ * → ¥ * thỏa mãn các điều kiện sau: (i) f là toàn ánh; (ii) m là ước của n khi và chỉ khi f ( m ) là ước của f ( n ) Bài 18 Tìm tất cả các hàm f : ¥ * → ¥ * thỏa mãn điều... nguyên dương a, b, c sao cho a < b < c và f ( a ) + f ( c ) = 2 f ( b ) Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát hơn bài toán trên Bài 15 Cho hàm số f : ¥ * → ¥ * là một song ánh Chứng minh rằng tồn tại bốn số nguyên dương a, b, c, d sao cho a < b < c < d và f ( a ) + f ( d ) = f ( b ) + f ( c ) Lời giải Do f là một song ánh từ ¥ * đến ¥ * nên tồn tại n sao cho f (1) < f (n) M = { n ∈ ¥ * : f (1) < f (n)}... , + với mọi x, y ∈ ¡ U{ 0} (44) Bài 40 (Shortlist IMO 2007) Tìm tất cả các hàm số f : ¡ + → ¡ + thỏa mãn điều kiện: f ( x + f ( y) ) = f ( x + y) + f ( y) , với mọi x, y ∈ ¡ + Bài 41 (Macedonia NMO 2008) Tìm tất cả các hàm đơn ánh f : ¥ * → ¥ * thỏa n + f ( n) , với mọi n ∈ ¥ * 2 Bài 42 (Macedonia NMO 2007) Cho n là một số tự nhiên chia hết cho 4 Xác định số song ánh f : { 1, 2, , n} → { 1, 2, ,... f ( f ( x2 ) + y ) ⇒ x1 + f ( y ) = x2 + f ( y ) ⇒ x1 = x2 suy ra f là đơn ánh Thay x = y = 0 vào phương trình ở điều kiện (i) ta được: f ( f ( 0 ) ) = f ( 0 ) ⇒ f ( 0 ) = 0 (1) Thay y = 0 vào phương trình ở điều kiện (i) và kết hợp với (1) ta được: f ( f ( x ) ) = x + f ( 0) ⇒ f ( f ( x ) ) = x Thay x bởi f ( x ) trong phương trình ở điều kiện (i) và kêt hợp với (2) ta được: ( ) f f ( f ( x) ) + y... với mọi m, n ∈ ¥ Bài 19 (CH Séc 2006) Tìm tất cả các hàm f : ¢ → ¢ thỏa mãn điều kiện: f ( f ( x ) + y ) = x + f ( y + 2006 ) , với mọi x, y ∈ ¢ Bài 20 (Rumani 1988) Cho f : ¥ * → ¥ * là một toàn ánh và g : ¥ * → ¥ * là một đơn ánh sao cho với mọi số nguyên dương n ta có f ( n ) ≥ g ( n ) Chứng minh rằng f = g Bài 21 (IMO Shortlist 1995) Chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một hàm số f : ¥ * → ¥... y) , với mọi x, y ∈ ¡ Chứng minh rằng f là một song ánh (8) Bài 25 Tìm tất cả các hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện: f ( f ( x + f ( y) ) ) = x + f ( y) + f ( x + y) , với mọi x, y ∈ ¡ (13) + + Bài 26 Tìm tất cả các hàm f : ¡ U{ 0} → ¡ U{ 0} thỏa mãn điều kiện: ( ) f f ( x + f ( y ) ) = 2x + f ( x + y ) , với mọi x, y ∈ ¡ (14) Bài 27 Tìm tất cả các hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện: f ( x + f ( x)... 3) , ∀n ≥ 10 Bài 16 Tìm tất cả các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện: f ( x + y + f ( xy ) ) = f ( f ( x + y ) ) + xy , với mọi số thực x, y (1) Lời giải Trước hết ta chứng minh f là một hàm đơn ánh Thật vậy, xét hai số a,b bất kì Chọn s sao cho s 2 > 4a; s 2 > 4b Khi đó phương trình t 2 − st + a = 0 có hai nghiệm pbiệt là t1 , t2 t 2 − st + b = 0 có hai nghiệm pbiệt là t3 , t4 Trong (1) lần lượt... minh f là toàn ánh Thật vậy, thay y = − f ( x ) vào phương trình ban đầu ta được: f ( 0) = 2 x + f ( f ( − f ( x ) ) − x ) ⇔ f ( f ( − f ( x ) ) − x ) = f ( 0) − 2x , suy ra f là toàn ánh +) Do f là toàn ánh nên tồn tại a ∈ ¡ sao cho f ( a ) = 0 +) Thay x = a vào phương trình ban đầu ta được: f ( y ) = 2a + f ( f ( y ) − a ) ⇔ f ( f ( y ) − a ) + a = f ( y ) − a (1) +) Do f là toàn ánh nên với mọi... 0 (11) Bài 31 Tìm tất cả các hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện: f ( x + f ( x) + 2 y) = x + f ( y) + 2 f ( y ) , với mọi x, y ∈ ¡ (10) Bài 32 Tìm tất cả các hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện: f ( 2x + 2 f ( y ) ) = x + f ( x) + y + f ( y ) , với mọi x, y ∈ ¡ (16) Bài 33 Tìm tất cả các hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện: f ( x + f ( x) + 2 f ( y ) ) = 2x + y + f ( y ) , với mọi x, y ∈ ¡ (20) Bài 34 Tìm ... nghĩa Ánh xạ f : X → Y gọi toàn ánh với phần tử y ∈ Y tồn phần tử x ∈ X cho y = f ( x ) Như f toàn ánh Y = f ( X ) 2.3 Định nghĩa Ánh xạ f : X → Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Như ánh. .. (do h song ánh) Từ suy g đơn ánh +) Ta chứng minh g ( x ) toàn ánh Thật với x ∈ ¡ h song ánh nên tồn y ∈ ¡ cho f ( x ) = h ( y ) = f ( g ( y ) ) ⇒ x = g ( y ) (do f đơn ánh) Từ suy g toàn ánh Vậy... f đơn ánh ta thu được: ÷÷ ÷ kết hợp với f ( x) f ( x) f ( x) +f ÷= g ÷ Đẳng thức chứng tỏ g toàn ánh 2 Do g song ánh hay f ( x ) + x song ánh x= Bài 11 Xét tất hàm