mô đun artin (khoá luận tốt nghiệp đại học)

Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Trờng đại học s phạm Hà nội Khoa: toán ************** Đỗ thị nga Mô đun ArTin Khoá LuậN tốt NGhiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Hà nội 2009 Trờng đại học s phạm Hà nội Khoa: toán ************** Đỗ thị nga Mô đun ArTin Khoá LuậN tốt NGhiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Ngời hớng dẫn khoa học: Th.S Nguyễn huy hng Hà nội 2009 Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Mc lc Trang Lời nói đầu2 Chơng 1: Những kiến thức bổ trợ4 Bài 1: Lý thuyết vành.4 Bài 2: Mô đun Chơng 2: Mô đun Artin16 Bài 1: Định nghĩa ví dụ 16 Bài 2: Mô đun Artin với tính hữu hạn sinh.23 Bài 3: Độ dài mô đun 35 Kết luận .46 Tài liệu tham khảo47 Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin LI NóI ĐầU Có thể nói ngành toán học đại ngày trình phát triển cần tới cấu trúc đại số tất nhiên hiểu biết sâu sắc cấu trúc Điều dễ hiểu ta biết hai đặc tính toán học tính trừu tợng tính tổng quát, mà hai đặc tính lại biểu cách rõ ràng đại số Khoá luận đợc viết với hai mục tiêu: Mục tiêu khoá luận giúp bạn sinh viên năm cuối khoa toán quan tâm làm quen với cấu trúc đại số mớicấu trúc mô đun, cấu trúc quan trọng đại số Mục tiêu thứ hai giới thiệu chứng minh số kết quan trọng lý thuyết mô đun Artin Do khuôn khổ luận văn nên phần nội dung khoá luận trình bày số khái niệm, định lý, bổ đề để làm rõ tính chất mô đun Artin Để đọc luận văn thuận lợi ngời đọc cần số kiến thức cấu trúc nhóm, vành, trờng Khoá luận gồm chơng: Chơng 1: tóm tắt kiến thức cần nhớ Chơng 2: nội dung khoá luận: trình bày khái niệm mô đun Artin số kết quan trọng Do điều kiện thời gian khả hạn chế thân nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy cô giáo bạn sinh viên nhận xét, đóng góp ý kiến để thân rút kinh nghiệm, có hớng hoàn thiện phát triển luận văn sau Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Huy Hng- giảng viên tổ đại số khoa toán tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khoá luận Hà Nội, tháng 5, năm 2009 Sinh viên Đỗ Thị Hằng Nga Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Chơng 1: Những kiến thức bổ trợ Đ : Lý thuyết vành Các định nghĩa ví dụ 1.1 Định nghĩa tính chất vành 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập tuỳ ý Trên X trang bị hai phép toán hai ký hiệu phép toán cộng (+) phép toán nhân (.) (X, +, ) gọi vành nếu: i) (X, +) nhóm Abel; ii) (X, ): nửa nhóm; iii) Phép nhân phân phối phép cộng Nếu phép nhân có tính chất giao hoán X vành giao hoán Nếu phép nhân có phần tử đơn vị X vành có đơn vị Nếu phép nhân có tính chất giao hoán có phần tử đơn vị X vành giao hoán có đơn vị Phần tử đơn vị vành X thờng ký hiệu Phần tử đơn vị phép cộng thờng ký hiệu 1.1.2 Tính chất Cho X vành ta có tính chất sau: + x.0 = 0.x = + Nếu X có phần tử + ( x ) y = x ( y ) = ( xy ) + ( x y ) z = xz yz; x ( y z ) = xy xz + ( x1 + x2 + + xn ) y = x1 y + x y + + x n y ; x( y1 + y + + y n ) = x y1 + xy + + xy n + ( nx ) y = x ( ny ) = n( xy ) ( n Z) Đỗ Thị Hằng Nga x, y , z X K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin 1.2 Định nghĩa miền nguyên: Miền nguyên vành giao hoán, có đơn vị, có phần tử ớc không 1.3 Định nghĩa trờng: Trờng miền nguyên mà phần tử khác phần tử nghịch đảo Các ví dụ: + Z , , Z n vành giao hoán có đơn vị + Mn( R )là tập ma trận vuông cấp n với phần tử ma trận số thực Mn( R ) phép toán cộng nhân ma trận lập thành vành không giao hoán với n 1.4 Vành con, trờng 1.4.1 Các định nghĩa Cho X vành, tập A ổn định phép toán cộng nhân gọi vành vành X A với phép toán cảm sinh lập thành vành Nếu X trờng vành X đuợc gọi trờng trờng với phép toán X 1.4.2 Điều kiện tơng đơng vành con, trờng + X vành, A X, A A vành vành X x, y A x y A, xy A + X trờng, A X, A A trờng trờng X thoả mãn điều kiện sau: i) x y A x, y A ii) x y A x, y A , y 1.4.3 Iđêan Cho X vành, A vành X, A gọi iđêan X x, y X , a A : ax A, xa A Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Chú ý: Nếu A chứa đơn vị A = X A gọi iđêan X A iđêan sinh phần tử 1.4.4 Đồng cấu vành Định nghĩa Cho X, Y vành, ánh xạ f: X Y đồng cấu vành x, y X ta có: f(x+y) = f(x) + f(y) f(x.y) = f(x) f(y) Tính chất: - Tích hai đồng cấu vành đồng cấu vành - Cho f: X Y đồng cấu vành, A vành X, B vành Y ta có f(A) vành Y, f-1(B) vành X Trờng hợp đặc biệt: cho f: X Y đồng cấu vành ker f = { x X / f ( x) = y } = f (0 y ) Im f = { f ( x) Y / x X } = f ( X ) Thì kerf vành X, Imf vành Y Nhận xét : + f: X Y đơn cấu Kerf = { x } + f: X Y toàn cấu Imf = Y - Cho f: X Y đồng cấu vành A, B tơng ứng iđêan X Y cho f(A) B p A : X X / A, pB : Y Y / B Khi tồn đồng cấu vành f : X / A Y / B cho f p A = pB f hay biểu đồ sau giao hoán: f X Y pB pA X / A Y /B f 1.4.5 Vành giao hoán Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Cho vành giao hoán Định nghĩa: Một iđêan thực A R gọi iđêan nguyên tố xy A x A y A Một iđêan thực A R gọi iđêan cực đại tồn iđêan B R mà A B B = R Nhận xét: - A iđêan nguyên tố R / A miền nguyên - A iđêan cực đại R / A trờng - Trong vành giao hoán R tồn iđêan cực đại - Trong vành giao hoán R iđêan thực nằm iđêan cực đại Đ 2: Mô đun Mô đun, mô đun 1.1 Mô đun Định nghĩa Cho R vành giao hoán có đơn vị Một mô đun trái R nhóm Abel M với ánh xạ R x M M ( , x ) thoả mãn điều kiện sau: + ( ) x = ( x ) + ( x + y ) = x + y ( + ) x = x + x + 1.x = x , R; x, y M Tơng tự định nghĩa R-mô đun phải nhóm cộng Abel M với ánh xạ M x R M Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán x Khoá luận tốt nghiệp ( x, ) Mô đun Artin x thoả mãn điều kiện giống nh tích vô hớng đợc viết bên phải x( ) = ( x ) x M ; , R - Khi R vành giao hoán khái niệm mô đun trái mô đun phải trùng - Ta xét R-mô đun trái gọi R- mô đun - Nếu R trờng R- mô đun không gian véc tơ trờng đó, phần tử không gian véc tơ véc tơ 1.2 Mô đun 1.2.1 Định nghĩa Cho M R- mô đun, N tập M N gọi mô đun M N R- mô đun với phép toán cảm sinh Điều kiện tơng đơng Cho M R- mô đun, N , N M Khi điều kiện sau tơng đơng: i) N R- mô đun M ii) R , x, y N : x + y N , x N iii) , R , x, y N : x + y N , x + y N 1.2.2 Ví dụ - Cho M R- mô đun {0} M mô đun M - Cho R vành có đơn vị R R- mô đun Khi mô đun R iđêan trái R - Nếu R trờng R R- mô đun, mô đun R không gian véc tơ R 1.2.3 Tính chất - Giao họ tuỳ ý mô đun R- mô đun M mô đun M Đỗ Thị Hằng Nga 10 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Giả sử G mô đun vành giao hoán R G bị triệt tiêu tích hữu hạn idean cực đại R(không thiết phải khác nhau) nghĩa tồn n N M1, , Mn idean cực đại R cho M MnG = G R-mô đun Noether G R-mô đun Artin Chứng minh: Ta chứng minh phơng pháp quy nạp + Với n = G bị triệt tiêu idean cực đại M R G mô đun R/ M1 tức R/ M1- không gian (vì R/ M1 trờng) G không gian Noether R/ M1 Noether R Nhng G Noether R/ M1- không gian G Artin R/M1không gian (theo mệnh đề 2.2.1) Từ suy G R- mô đun Noether G R- mô đun Artin Bây ta giả sử điều cần chứng minh với số lớn nhỏ n Ta xét dãy khớp M nG G G / M nG Ta thấy R- mô đun G / M nG bị triệt tiêu idean cực đại Mn R Theo phần chứng minh G / M nG R- mô đun Noether R- mô đun Artin.(1) MnG bị triệt tiêu tích M1 Mn-1 n-1 idêan cực đại R Theo giả thiết quy nạp MnG R- mô đun Noether R- mô đun Artin (2) Từ (1) (2) ta có đpcm Định nghĩa 2.2.9 Giả sử G mô đun vành giao hoán R G đợc gọi mô đun đơn G G có mô đun Ví dụ: + Một không gian véc tơ chiều trờng K + Z2 Z - mô đun đơn Đỗ Thị Hằng Nga 34 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Sau ta có bổ đề: 10 Bổ đề 2.2.10 Giả sử G mô đun vành giao hoán R G mô đun đơn G đẳng cấu với mô đun có dạng R/ M với M iđêan cực đại R Chứng minh: Giả sử M iđêan cực đại R/ M trờng R/ M có idêan có mô đun mô đun đơn Suy G đẳng cấu với R/ M Giả sử G R- mô đun đơn G 0, g G, g Rg G Vì Rg mô đun G mà G mô đun đơn suy Rg = G Vậy G mô đun xyclic Suy G R/ I (với I iđêan R) (ta chứng minh điều tập dới đây) Vì G có mô đun nên vành R/ I có iđêan nên trờng I iđêan cực đại R 11 Bài tập Bài tập 11.1 Giả sử G mô đun vành giao hoán R CMR M mô đun xyclic M đẳng cấu với R/ I với I idean R Chứng minh M mô đun xyclic M = < a > (a M ) = Ra Xét ánh xạ g : R Ra r Dễ thấy g toàn cấu R / ker g Ra Mà kerg = { r R/ = 0} R / ker g M Đặt kerg = I ta có I idean R R/ I M Đỗ Thị Hằng Nga 35 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Bài 11.2 Cho - mô đun có - mô đun Artin không, có mô đun Noether không? + không - mô đun Artin Thật vậy: theo bổ đề 2.2.5 - mô đun Artin - mô đun - mô đun Artin nhng - mô đun - mô đun lại không mô đun Artin Điều mâu thuẫn Vậy không - mô đun Artin + không - mô đun Noether Thật vậy: Giả sử - mô đun Noether mô đun nên ta suy / mô đun Noether Tơng tự nh / mô đun Noether nên mô đun phải mô đun Noether.(1) Ta xét E(p) = Q / Z : = r + Z, r Z, n N mô đun mô n p đun / Ta chứng minh đợc phần trớc E(p) không mô đun Noether Mâu thuẫn với (1) - mô đun Noether Bài sau ta nghiên cứu số tính chất mô đun Artin dựa vào khái niệm độ dài mô đun Đ 3: Độ dài mô đun Định nghĩa 2.3.1 Giả sử G mô đun vành giao hoán R Một dãy tăng nghiêm ngặt gồm hữu hạn mô đun G: G0 G1 G2 Gn Gn thoả mãn G0 = Gn = G Ngời ta gọi độ dài dãy số liên kết dãy (Trong trờng hợp ta có độ dài dãy n) Ta coi mô đun độ dài Đỗ Thị Hằng Nga 36 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Một dãy mô đun G cho bởi: = G0 G1 G2 Gn Gn = G đợc gọi dãy hợp thành G Gi/ Gi-1 R- mô đun đơn i = 1, n Chú ý ta kéo dài dãy cách chèn thêm số hạng làm cho dãy có độ dài n + Vì dãy mô đun M dãy hợp thành dãy cực đại nghiêm ngặt Ví dụ 2.3.1 Cho V không gian véc tơ n chiều có sở là: { e1 , e2 , , en } i) Vn-i không gian sinh { e1 , e2 , , ei } Khi V = V0 V1 Vn = dãy hợp thành V dãy có độ dài n ii) Cho G = < a > nhóm xyclic cấp H nhóm G sinh a2 Khi G H {e} dãy hợp thành G Độ dài dãy iii) Xem vành số nguyên nh mô đun Khi dãy mô đun dãy idean chính: Z = A0 Ak = { 0} Giả sử A k-1 = nZ ta tìm đợc idean nằm A k-1 ví dụ Ak n Z { 0} từ suy Z dãy hợp thành Ta có định lý sau: Định lý 2.3.2 Giả sử G mô đun vành giao hoán R giả sử G có dãy hợp thành có độ dài n thì: Đỗ Thị Hằng Nga 37 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp i) Mô đun Artin Không có dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài lớn n ii) Mọi dãy hợp thành G có độ dài n iii) Mỗi dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài n ' n iv) Mọi dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài n dãy hợp thành G Chứng minh: Giả sử n > 0, với R- mô đun M ta kí hiệu l(M) độ dài tối thiểu dãy hợp thành M M có dãy hợp thành l(M) = M dãy hợp thành Trớc hết ta chứng minh H mô đun thực G l(H) < l(G) Giả sử l(G) = t = G0 G1 G2 Gt Gt = G dãy hợp thành G có độ dài t Với i = 0, t ta giả sử H i = H Gi Theo định lý đẳng cấu mô đun: Gi Gi / Gi Với i = 0, t R- đồng cấu hợp thành: H i = H Gi (ánh xạ đồng cấu, ánh xạ thứ toàn cấu) Xét ánh xạ f : H i = H Gi Gi / Gi Có kerf = { x H Gi / f ( x ) = 0} = { x H Gi / x Gi 1} = { x H Gi Gi 1} = { x H Gi 1} = H i Khi H i / ker f Im f , Im f Gi / Gi hay H i /H i-1 Imf Gi / Gi Ta xét đơn cấu i : H i / H i Gi / Gi Đỗ Thị Hằng Nga 38 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin h + H i a h + Gi Vì H i / H i đẳng cấu với mô đun Gi / Gi mà Gi / Gi mô đun đơn nên H i / H i mô đun không mô đun đơn Vì ta bỏ số hạng lặp dãy : = H H1 H t H t = H Gt = H (ví dụ Hi = Hi-1thì ta bỏ Hi) ta đợc dãy hợp thành H Vì l(H) l(G) Hơn ta phải có l(H) < l(G) giả sử ngợc lại l(H) = l(G) H H1 H t H t dãy hợp thành H H0 = = G0 mà H1/ H0 G1/G0 ( H G1 ) / H G1 / G0 H G1 = G1 H1 = G1 tơng tự nh có H = G2 , , H t = Gt H =G Nhng theo H mô đun thực G (mâu thuẫn) Vậy l(H) < l(G) Cũng từ ta suy đợc mô đun G có dãy hợp thành i) Giả sử G '0 G '1 G '2 G 'r G 'r dãy nghiêm ngặt tuỳ ý mô đun G thoả mãn G '0 = G 'r = G Ta có l(0) = = l (G '0 ) < l (G '1 ) < < l (G 'r ) = l (G ) Do G 'r G suy r l (G ) , lại l(G) tối tiểu nên l(G) n r l (G ) n Mặt khác G có dãy hợp thành có độ dài n dãy hợp thành G đặc biệt dãy nghiêm ngặt mô đun G nên n l (G ) (vì dãy hợp thành dãy nghiêm ngặt cực đại) Do n = l(G) r n nghĩa dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài lớn n Đỗ Thị Hằng Nga 39 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin ii) Giả sử G có dãy hợp thành có độ dài n1 n1 l (G ) = n ( theo phần i), lại có l(G) n1 theo định nghĩa l(G) suy n1 = n Vậy dãy hợp thành G có độ dài n iii, iv) Từ định nghĩa 2.3.1 phần I, ii ta thấy dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài n < n = l(G) dãy hợp thành G theo ii dãy hợp thành có độ dài n kéo dài tới dãy nghiêm ngặt có độ dài n+1 cách thêm phần tử Mặt khác dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài n phải dãy hợp thành G ngợc lại kéo dài tới dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài n+1 mâu thuẫn với phần i Từ điều ta đến định nghĩa sau: Định nghĩa 2.3.3 Giả sử G mô đun vành giao hoán R Ta nói G có độ dài hữu hạn G có dãy hợp thành Độ dài G kí hiệu l(G) lR(G) (khi cần rõ vành nào) đợc định nghĩa độ dài dãy hợp thành G (Ta biết dãy hợp thành G có độ dài) Khi G độ dài hữu hạn tức G dãy hợp thành ta quy ớc l(G) = Ví dụ : Trở lại ví dụ 2.3.1 ta có : i) Độ dài không gian véc tơ n chiều V n ii) l(G) = iii) l( Z ) = Sau ta có mệnh đề: Mệnh đề 2.3.4 Giả sử G mô đun vành giao hoán R G có độ dài hữu hạn G vừa mô đun Noether vừa mô đun Artin hay G thoả mãn dãy điều kiện tăng dãy điều kiện giảm mô đun G Đỗ Thị Hằng Nga 40 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Chứng minh: Giả sử G có độ dài hữu hạn l(G) theo 2.3.3 dãy tăng mô đun G có độ dài lớn l(G) (kể dãy nghiêm ngặt) phải dãy dừng Do G Noether Tơng tự dãy giảm mô đun G phảilà dãy dừng G Artin Giả sử G vừa mô đun Artin vừa mô đun Noether G phải thoả mãn dãy điều kiện tăng dãy điều kiện giảm mô đun G thoả mãn có mô đun cực đại mô đun cực tiểu Ta giả sử G dãy hợp thành tức l(G) = ta phải mâu thuẫn Đặt = {M/ M mô đun G l(M) = } G Vậy theo điều kiện cực tiểu có phần tử cực tiểu, giả sử H H có độ dài hữu hạn Vì G mô đun Noether nên thoả mãn điều kiện cực đại nghĩa tập mô đun thực H có phần tử cực đại, giả sử H Xét dãy H '0 H '1 H '2 H 't H 't dãy hợp thành H' Do H '0 = H 't = H ' t = l(H') Vì H mô đun cực đại H nên H/ H có mô đun nó mô đunđơn Vì H '0 H '1 H '2 H 't H 't H dãy hợp thành H (mâu thuẫn với l(H) = ) Vậy G phải có dãy hợp thành hay G có độ dài hữu hạn Nhận xét : Từ định lý 2.3.2 ta thấy với dãy hợp thành mô đun có độ dài hữu hạn vành giao hoán có độ dài nh Đỗ Thị Hằng Nga 41 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Định nghĩa 2.3.5 Giả sử G mô đun vành giao hoán R G có độ dài hữu hạn Giả sử G0 G1 G2 Gn Gn dãy hợp thành G = G0 Gn = G , l(G) = n ) ta gọi họ R- mô đun đơn (Vì ( Gi / Gi ) i =1 họ thừa số hợp thành dãy hợp thành ( tất nhiên họ n thừa số hợp thành G = 0) Bây giả sử G G '0 G '1 G '2 G 'n G 'n dãy hợp thành thứ G ( ý dãy hợp thành G có độ dài) Ta nói hai dãy hợp thành G đẳng cấu với tồn hoán vị tập {1, 2, ,n} n số nguyên dơng cho i = 1, n ta có Gi / Gi G ' ( i ) / G ' (i ) Ví dụ: Cho V không gian véc tơ n chiều có hai sở { e1 , e2 , en } { e '1 , e '2 , e 'n } Gọi Vn-ivà Vn-i lần lợt không gian sinh { e1 , e2 , ei } { e ' , e ' , e ' } i Khi ta có V = V0 V1 Vn = { 0} (1) V = V '0 V '1 V 'n = { 0} (2) dãy hợp thành V có độ dài n Ta có { Vi / Vi } i =1 { V 'i 1/ V 'i } i =1 họ thừa số hợp thành lần lợt n n hai dãy hợp thành (1) (2) ta có Vi / Vi V 'i 1/ V 'i i = 1, n Do dãy hợp thành (1) (2) V đẳng cấu với Ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.3.6 Giả sử G mô đun vành giao hoán R H, H mô đun G thoả mãn H H ' G/ H G/ H' đơn Đỗ Thị Hằng Nga 42 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin G / H H '/( H H ') G / H ' H /( H H ') Chứng minh: Ta có H H + H' ngợc lại H= H + H' với H H ' H ' H G mâu thuẫn với G/ H' đơn Vậy H H + H' G Do với G/ H đơn nên H + H'= G Theo định lý đẳng cấu có G/ H = (H + H')/ H H '/( H H ') Do vai trò H H nh nên ta có G / H ' H /( H H ') Định lý 2.3.7 (định lý Jordan- Holder) Giả sử G mô đun khác có độ dài hữu hạn vành giao hoán R dãy hợp thành G đẳng cấu với Chứng minh: Vì G đặt l(G) = n Ta chứng minh quy nạp Rõ ràng với n = Giả sử điều cần chứng minh với < k< n Ta giả sử G0 G1 G2 Gn Gn G '0 G '1 G '2 G 'n G 'n hai dãy hợp thành G Vì G0 =G0= Gn = Gn= G Ta xét hai trờng hợp: - Trờng hợp 1: Gn-1 = Gn-1 Gn / Gn = G 'n / G 'n G0 G1 G2 Gn (1) G '0 G '1 G '2 G 'n (2) dãy hợp thành Gn-1 = Gn-1 Vì l(Gn-1)= n-1 theo giả thiết quy nạp ta có (1) (2) đẳng cấu với Gn = Gn nên G0 G1 G2 Gn1 Gn (1) G '0 G '1 G '2 G 'n1 G 'n (2) đẳng cấu với Vậy trờng hợp đợc chứng minh - Trờng hợp 2: Gn-1 Gn-1 Xét H = Gn-1 Gn-1 Theo bổ đề 2.3.6 có Gn / Gn G 'n 1/ H G 'n / G 'n Gn / H Đỗ Thị Hằng Nga 43 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin (nhớ Gn-1 , Gn-1 mô đun Gn = Gn) Vì chúng mô đun đơn + Nếu H = Gn-1 Gn-1là đơn n = Ta có hai dãy Gn Gn (*) G 'n G 'n (**) có Gn / Gn1 G 'n1 G 'n / G 'n Gn mà Gn-1 Gn-1là đơn suy G 'n Gn suy Gn / Gn G 'n / G 'n1 suy dãy (*) đẳng cấu với(**) + Nếu H H Gn Gn dãy nghiêm ngặt mô đun G = Gn Gn / Gn , G 'n / G 'n mô đun đơn (a) Mà ta biết dãy nghiêm ngặt ta thêm số hạng để có đợc dãy hợp thành G, l(G) = n nên l(H) = n-2 Ta lấy dãy H H1 H H n dãy hợp thành H (H0 = Hn-2 = H) Từ ta có H H1 H H n Gn Gn H H1 H H n G 'n G 'n dãy hợp thành G đẳng cấu với (theo giả thiết quy nạp theo (a)) Nhng theo giả thiết quy nạp hai dãy hợp thành Gn-1 ta có hai dãy hợp thành G0 G1 G2 Gn Gn H H1 H H n Gn Gn G đẳng cấu với Tơng tự H H1 H H n G 'n G 'n G '0 G '1 G '2 G 'n G 'n đẳng cấu với Do hai dãy G0 G1 G2 Gn Gn G '0 G '1 G '2 G 'n G 'n đẳng cấu với Nhận xét: Rõ ràng G1 G2 R- đẳng cấu mô đun (R vành giao hoán) G1 có độ dài hữu hạn G2 có độ dài hữu hạn l(G1) = l(G2) Dựa vào nhận xét số kết biết ta chứng minh định lý sau: Định lý 2.3.8 Đỗ Thị Hằng Nga 44 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin f g Giả sử R vành giao hoán L M N dãy khớp ngắn R- mô đun R- đồng cấu: i) R- mô đun M có độ dài hữu hạn L N có độ dài hữu hạn ii) Khi L, M, N có độ dài hữu hạn l(M) = l(L) + l(N) Chứng minh: i) Vì R- mô đun M có độ dài hữu hạn vừa mô đun Noether vừa mô đun Artin L N vừa mô đun Noether vừa mô đun Artin L N có độ dài hữu hạn Do R- mô đun M có độ dài hữu hạn L N có độ dài hữu hạn Để ý L Im f = ker g theo định lý đẳng cấu thứ mô đun ta có M / ker g N ta có kerg M/ kerg có độ dài hữu hạn Điều cho thấy G mô đun M (với M có độ dài hữu hạn ) l(M) = l(G) + l(M/ G) Thật vậy: Kết đợc trực tiếp suy G = G = M Bây ta giả sử G M ta thêm vào dãy mô đun m để đợc dãy hợp thành M M M M M n M n (M0 = 0, Mn = M l(M) = n) Giả sử Mt = G M M M M t M t dãy hợp thành G M t / G M t +1 / G M n / G dãy hợp thành M/ G Vì l(G) + l(M/ G) = t + (n-t) = n = l(M) Nhận xét Giả sử K trờng theo mệnh đề 2.2.1 ta thấy K- mô đun Noether Kmô đun Artin trùng Thật V không gian véc tơ trờng K V không gian véc tơ hữu hạn chiều V vừa K- mô đun Noether vừa K- mô đun Artin Mặt khác V K- không gian hữu hạn chiều V K- mô đun có độ dài hữu hạn ta kiểm tra đợc vdimKV = l(V) nhờ vào mệnh đề sau: Đỗ Thị Hằng Nga 45 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Mệnh đề 2.3.9 Giả sử V không gian véc tơ trờng K V K- không gian hữu hạn chiều K- mô đun hữu hạn chiều trờng hợp ta có vdimKV = l(V) Chứng minh: Ta chứng minh theo quy nạp: Đặt n = vdimKV - Khi n = ta có V = (đúng) - Khi n = V có không gian V V dãy hợp thành K mô đun V l(V) = l(V) = vdimKV n =1 - Giả sử kết với 1< k < n Giả sử v V , v đặt U = Kv không gian chiều V i f Xét dãy khớp ngắn: U V V / U K- không gian K- ánh xạ tuyến tính I ánh xạ bao hàm, f toàn cấu U V/ U không gian có số chiều hữu hạn vdimKV = vdimK(kerf) + vdimK(V/ U) vdimK(V/ U) = vdimKV - vdimK(kerf) mà kerf = Imi = U vdimK(kerf) = vdimK(V/ U) = n-1 Theo giả thiết quy nạp điều cần chứng minh với n-1 ta có l(V/ U) = vdimK(V/ U) = n-1 mà vdimKU = l(U) vdimKV = vdimKU + vdimK(V/ U) = l(U) + l(V/ U) = + n-1 =n (đpcm) Kết luận Đỗ Thị Hằng Nga 46 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Lý thuyết mô đun lý thuyết quan trọng tổng quát đại số đại nói riêng toán học nói chung Việc nghiên cứu lý thuyết mô đun cho ta khung cảnh tổng quát giúp ta nghiên cứu xây dựng nhiều ngành toán học Do thời gian có hạn nên khoá luận đề cập đến số vấn đề lý thuyết mô đun sâu vào mô đun Artin Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Huy Hng hớng dẫn giúp đỡ em để em hoàn thành khoá luận Hà Nội, tháng 5, năm 2009 Sing viên Đỗ Thị Hằng Nga Tài liệu tham khảo Đỗ Thị Hằng Nga 47 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Nguyễn Hữu Việt Hng, Đại số đại cơng, NXB GD 1999; Ngô Thúc Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), NXB GD 1982; Đỗ Thị Hằng Nga 48 K31E- Toán [...]... là - mô đun Artin thì mọi - mô đun con của cũng là - mô đun Artin nhng là - mô đun con của - mô đun lại không là mô đun Artin Điều này mâu thuẫn Vậy không là - mô đun Artin + không là - mô đun Noether Thật vậy: Giả sử là - mô đun Noether thế thì do là mô đun con của nên ta suy ra và / là các mô đun Noether Tơng tự nh thế do / là mô đun Noether nên các mô đun con của nó phải là mô đun Noether.(1)... hệ giữa một mô đun trên một vành giao hoán với mô đun con và mô đun thơng của nó: 3 Bổ đề 2.2.3 Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R, N là mô đun con nào đó của M thế thì: i) M là mô đun Noether N và M / N là các mô đun Noether ii) M là mô đun Artin N và M / N là các mô đun Artin Chứng minh: '' Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R, N là mô đun con nào đó của M + Vì mỗi mô đun con của... một R/I- mô đun Theo đó một tập con của M là một R- mô đun con nó là một R/ I- mô đun con Vì vậy M là R- mô đun Noether (Artin) nó là một R/ I- mô đun Noether (Artin) Đặc biệt nếu J là một iddeal của R thì từ trên ta thấy R/ J là một R- mô đun Noether (Artin) nó là một vành Noether (Artin) 8 Định lý 2.2.8 Đỗ Thị Hằng Nga 33 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Giả sử G là một mô đun trên...Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin - Mô đun sinh bởi một tập: cho M là R- mô đun, S M Giao của tất cả các mô đun con của M chứa S là một mô đun con của M chứa S và gọi là mô đun sinh bởi tập S Kí hiệu là + Nếu < S > = M và S hữu hạn thì M gọi là mô đun hữu hạn sinh + Nếu S là tập chỉ có một phần tử x của X và = M thì M gọi là mô đun xyclic + Nếu S = thì mô đun sinh bởi tập S chính là mô đun. .. là các R- mô đun :M N x ( x ) = 0 là đồng cấu mô đun Ví dụ 2: Cho M là R- mô đun, N là mô đun con của M: i:N M x x Đỗ Thị Hằng Nga là đơn cấu mô đun 12 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Ví dụ 3: Cho M là R- mô đun, N là mô đun con của M thì p:M M / N x x+ N là đồng cấu mô đun, còn là toàn cấu chính tắc Ví dụ 4: Cho M, N là các R- mô đun M ì N = { ( x, y ) / x M , y N } Trên M x N... cả các mô đun con N i , i I của M (suy ra từ định nghĩa mô đun con) 2 Mô đun thơng và đồng cấu mô đun 2.1 Mô đun thơng Định nghĩa: Cho M là R- mô đun, N là mô đun con của M, M / N = { x + N / x M } là nhóm cộng Abel Với phép cộng: ( x + N ) + ( y + N ) = x + y + N x, y M Khi đó M / N là R- mô đun với phép nhân vô hớng xác định: Đỗ Thị Hằng Nga 11 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin ... R- mô đun gọi là tích Đêcac của hai mô đun dM : M M ì N Các quy tắc: x ( x,0) dN : N M ì N y ( 0, y ) kM : M ì N M ( x, y ) phép chiếu xuống mô đun M x kN : M ì N N ( x, y ) y phép chiếu xuống mô đun M là các R- đồng cấu mô đun 2.2.4 Tính chất - Tích của hai đồng cấu mô đun là một đồng cấu mô đun - Cho A là mô đun con của N, B là mô đun con của M thì ta có f(A) là mô đun con của M, f-1(B) là mô. .. Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin 6 Hệ quả 2.2.6 Giả sử R là một vành giao hoán i) Nếu R là một vành Noether thì mọi R -mô đun hữu hạn sinh đều là mô đun Noether ii) Nếu R là một vành Artin thì mọi R -mô đun hữu hạn sinh đều là mô đun Artin Chứng minh: Giả sử M là một R- mô đun hữu hạn sinh thế thì tồ tại R- mô đun tự do F với cơ sở hữu hạn và một R- đẳng cấu f : F M Nếu R là vành Noether (Artin) ... cực đại của R Theo giả thiết quy nạp MnG là R- mô đun Noether nó là một R- mô đun Artin (2) Từ (1) và (2) ta có đpcm 9 Định nghĩa 2.2.9 Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R thì G đợc gọi là mô đun đơn nếu G 0 và G chỉ có 2 mô đun con là 0 và chính nó Ví dụ: + Một không gian véc tơ một chiều trên trờng K + Z2 là Z - mô đun đơn Đỗ Thị Hằng Nga 34 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin. .. Giả sử M là một mô đun Artin trên vành giao hoán R; f : M M là R- đơn cấu Chứng minh rằng f là đẳng cấu Giả sử M là mô đun Artin f : M M là R- đơn cấu Vì M là mô đun con của M nên f ( M ), f 2 ( M ), f n ( M ), là các mô đun Đỗ Thị Hằng Nga 24 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin con của M Xét dãy giảm các mô đun con của M: M f ( M ) f 2 ( M ) f n ( M ) (**) Do M là Artin nên dãy (**) ... Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Bài 11.2 Cho - mô đun có - mô đun Artin không, có mô đun Noether không? + không - mô đun Artin Thật vậy: theo bổ đề 2.2.5 - mô đun Artin - mô đun - mô đun. .. đun Artin nhng - mô đun - mô đun lại không mô đun Artin Điều mâu thuẫn Vậy không - mô đun Artin + không - mô đun Noether Thật vậy: Giả sử - mô đun Noether mô đun nên ta suy / mô đun. .. mô đun vành giao hoán R, N mô đun M thì: i) M mô đun Noether N M / N mô đun Noether ii) M mô đun Artin N M / N mô đun Artin Chứng minh: '' Giả sử M mô đun vành giao hoán R, N mô đun M + Vì mô