mô đun artin (khoá luận tốt nghiệp đại học)

Khoá luận này đợc viết với hai mục tiêu: Mục tiêu đầu tiên của khoá luận này là giúp các bạn sinh viên năm cuối của khoa toán và những ai quan tâm làm quen với một cấu trúc đại số mới- c

Trờng đại học s phạm Hà nội 2

Khoa: toán

**************

Đỗ thị hằng nga

Mô đun ArTin Khoá LuậN tốt NGhiệp đại học

Chuyên ngành: Đại số

Hà nội – 2009

Trờng đại học s phạm Hà nội 2

Hà nội – 2009

Mục lục

Lêi nãi ®Çu………2

Ch¬ng 1: Nh÷ng kiÕn thøc bæ trî………4

Bµi 1: Lý thuyÕt vµnh……….4

Bµi 2: M« ®un……….7

Ch¬ng 2: M« ®un Artin………16

Bµi 1: §Þnh nghÜa vµ vÝ dô……… 16

Bµi 2: M« ®un Artin víi tÝnh h÷u h¹n sinh……….23

Bµi 3: §é dµi m« ®un……… 35

KÕt luËn……… 46

Tµi liÖu tham kh¶o………47

LỜI NóI ĐầU

Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết sâu sắc về các cấu trúc này Điều này cũng dễ hiểu vì ta biết rằng hai đặc tính cơ bản nhất của toán học là tính trừu tợng và tính tổng quát, mà hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số Khoá luận này đợc viết với hai mục tiêu:

Mục tiêu đầu tiên của khoá luận này là giúp các bạn sinh viên năm cuối của khoa toán và những ai quan tâm làm quen với một cấu trúc đại số mới- cấu trúc mô đun, cấu trúc quan trọng nhất của đại số

Mục tiêu thứ hai là giới thiệu và chứng minh một số kết quả quan trọng của lý thuyết ‘mô đun Artin’

Do khuôn khổ luận văn nên trong phần nội dung của khoá luận chỉ trình bày một số khái niệm, các định lý, bổ đề để làm rõ hơn các tính chất của ‘mô

Chơng 2: nội dung chính của khoá luận: trình bày khái niệm ‘mô

đun Artin’ và một số kết quả quan trọng.

Do điều kiện thời gian và khả năng còn hạn chế của bản thân nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các thầy cô giáo và các bạn sinh viên nhận xét, đóng góp ý kiến để bản thân rút kinh nghiệm, có hớng hoàn thiện và phát triển luận văn sau này

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Huy Hng- giảng viên tổ đại số khoa toán đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khoá luận này

Sinh viên

Đỗ Thị Hằng Nga

iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng.

Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì X là vành giao hoán

Nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì X là vành có đơn vị

Nếu phép nhân có tính chất giao hoán và có phần tử đơn vị thì X là vành giao hoán có đơn vị

Phần tử đơn vị của vành X thờng ký hiệu là 1

Phần tử đơn vị của phép cộng thờng ký hiệu là 0

1.2 Định nghĩa miền nguyên: Miền nguyên là vành giao hoán, có đơn vị, có

không giao hoán với n ≥2

1.4 Vành con, trờng con.

1.4.1 Các định nghĩa.

Cho X là một vành, một tập con A ổn định đối với 2 phép toán cộng và nhân gọi là vành con của vành X nếu A cùng với 2 phép toán cảm sinh lập thành một vành

Nếu X là một trờng thì một vành con của X đuợc gọi là một trờng con nếu nó là một trờng với các phép toán trên X

1.4.2 Điều kiện tơng đơng của vành con, trờng con.

- Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành.

- Cho f: X→Y là đồng cấu vành, A là vành con của X, B là vành con của Y thì

ta có f(A) là vành con của Y, f-1(B) là vành con của X

Trờng hợp đặc biệt: cho f: X→Y là đồng cấu vành

+ f: X→Y là toàn cấu ⇔Imf = Y

- Cho f: X→Y là đồng cấu vành A, B tơng ứng là các iđêan của X và Y sao cho f(A)⊂B.

Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f :X A/ →Y B/ sao cho f p A = p f B

hay biểu đồ sau giao hoán:

Cho  là vành giao hoán

- A là iđêan nguyên tố ⇔R A/ là miền nguyên

- A là iđêan cực đại ⇔R A/ là trờng

- Trong vành giao hoán R luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại

- Trong vành giao hoán R mọi iđêan thực sự của nó đều nằm trong một iđêan cực đại

Đ 2: Mô đun

1 Mô đun, mô đun con.

1.1 Mô đun.

 Định nghĩa

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1

Một mô đun trái trên R là một nhóm Abel M cùng với ánh xạ R x M→M ( )α ,x  αx

thoả mãn các điều kiện sau:

+ ( )αβ =x α( )βx

+ ( )

( )x x x

y x y

x

β α β

α

α α

- Ta chỉ xét các R-mô đun trái và gọi là R- mô đun.

- Nếu R là một trờng thì một R- mô đun là một không gian véc tơ trên trờng

Khi đó các điều kiện sau tơng đơng:

i) N là R- mô đun con của M

ii) ∀ α ∈R,x,y∈N:x+ y∈N, αx∈N

iii) ∀α,β ∈R,x,y∈ N:x+ y∈N,αx+βy∈N

1.2.2 Ví dụ

- Cho M là R- mô đun thì {0} và M là các mô đun con của M

- Cho R là vành có đơn vị thì R là R- mô đun Khi đó các mô đun con của R chính là các iđêan trái của R

- Nếu R là trờng thì R là R- mô đun, các mô đun con của R là các không gian véc tơ con của R

1.2.3 Tính chất

- Giao của một họ tuỳ ý các mô đun con của R- mô đun M là một mô đun con của M

- Mô đun sinh bởi một tập: cho M là R- mô đun, S⊂M Giao của tất cả các mô

đun con của M chứa S là một mô đun con của M chứa S và gọi là mô đun sinh bởi tập S Kí hiệu là <S>

+ Nếu < S > = M và S hữu hạn thì M gọi là mô đun hữu hạn sinh

+ Nếu S là tập chỉ có một phần tử x của X và <{x}> = M thì M gọi là mô đun xyclic

+ Nếu S =φ thì mô đun sinh bởi tập S chính là mô đun không

+ Nếu S = M thì mô đun sinh bởi tập S chính là M

i

α

+ Mô đun xyclic M =<{ } {x >= α αx/ ∈R x S, ∈ }

1.2.4 Tổng của một họ mô đun con.

Định nghĩa: Cho M là R- mô đun, ( )N i i∈I là một họ các mô đun con

của M Khi đó 

I i i

N hiển nhiên là R- mô đun con của M, nó là mô đun con bé nhất

của M chứa tất cả các mô đun con Ni , i∈I của M (suy ra từ định nghĩa mô

M N gọi là mô đun thơng của R- mô đun M theo mô đun con N của nó.

Nhận xét: Nếu vành R xem nh là một mô đun trên chính nó thì các mô đun

con của R chính là các iđêan trái A của R, tồn tại mô đun thơng R A/ Đặc biệt nếu A là iđêan của R thì mô đun thơng R A/ chính là vành thơngR A/

R là trờng, M là R- mô đun thế thì M là không gian véc tơ trên trờng R

Nếu N là không gian véc tơ con của M thì suy ra mô đun thơng M N/ là không gian véc tơ thơng

• Ví dụ 3: Cho M là R- mô đun, N là mô đun con của M thì

p M: →M N/

x x+N là đồng cấu mô đun, còn là toàn cấu chính tắc

• Ví dụ 4: Cho M, N là các R- mô đun

- Tích của hai đồng cấu mô đun là một đồng cấu mô đun

- Cho A là mô đun con của N, B là mô đun con của M thì ta có f(A) là mô đun con của M, f-1(B) là mô đun con của N

Trờng hợp đặc biệt: cho f: N→M là đồng cấu mô đun

2.3 Định lý cơ bản.

Cho f: N→M là R- đồng cấu Đặt A=kerf p N: →N A/ là phép

chiếu chính tắc Khi đó tồn tại duy nhất R- đồng cấu f N A: / →M sao cho

Hơn nữa f là đơn cấu và Im f = Imf

• Hệ quả 1: Cho f: N→M là R- đồng cấu Khi đó N/ ker f ≅ Im f

• Hệ quả 2: Cho f: N→M là R- toàn cấu Khi đó N/ ker f ≅M

2.4 Định lý cơ bản của R- đồng cấu tổng quát.

Cho f: N→M là R- đồng cấu A, B tơng ứng là các mô đun con của Nvà M sao cho f(A)⊂B.

p N →N A p M →M Blà các phép chiếu chính tắc.

Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f :N A/ →M B/ sao cho f p A = p f B

hay biểu đồ sau giao hoán:

• Định lý đẳng cấu 1: cho A là R- mô đun con của B, B là R- mô đun

con của C Khi đó ta có C A/ B A/ ≅C B/

• Định lý đẳng cấu 2: Cho B, C là hai mô đun con của R- mô đun A thì

(trong trờng hợp hữu hạn ngời ta có thể viết n

n i

i I

i i I

Khi đó tích { }M i ∈I cùng với hai phép toán cộng và nhân ở trên là một R- mô

đun và gọi là tổng trực tiếp của họ các R- mô đun và kí hiệu i I M i

Tổng quát: Cho M1,M2, ,M n là các mô đun con của M sao cho

M = ⊕ Khi đó ta cũng nói P là mô đun con phụ của N.

Nhận xét: Nếu M là không gian véc tơ hữu hạn chiều thì mọi không gian con

của nó đều có không gian con phụ

đợc gọi là một dãy khớp nếu Im ϕn−1 = ker ϕn∀n

Một dãy khớp với 5 mô đun trong đó mô đun đầu tiên và mô đun cuối cùng là mô đun 0 đợc gọi là một dãy khớp ngắn: 0 →M →M' →M '' → 0

Nhận xét: Một dãy khớp gồm 5 mô đun: 0  →k M  →f M'  →g M ''  →h 0

Là một dãy khớp ngắn khi và chỉ khi nó thoả mãn các điều kiện: f là đơn cấu,

g là toàn cấu, Imf = kerg

R r

0

Cơ sở: Ta nói U là cơ sở của mô đun M nếu U là hệ sinh và độc lập tuyến tính trong M (nói cách khác mỗi phần tử của M đều đợc biểu thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của U)

5.2 Mô đun tự do.

 Định nghĩa

Cho M là R- mô đun, M đợc gọi là mô đun tự do nếu nó có một cơ sở hoặc

nó là mô đun 0 (coi cơ sở của mô đun 0 là tập φ , 0 =< φ >)

i) A là R- mô đun tự do.

ii) A=⊕A i,A i ≅ R,i∈I, với I là tập chỉ số nào đó

5.5 Mệnh đề (Tính chất phổ dụng)

Cho F là R- mô đun tự do với cơ sở U ={ei/ i∈ I}

A là R- mô đun Khi đó mọi ánh xạ f :U → A đều mở rộng một cách duy nhất thành một đồng cấu ϕ :F → A

5.6 Định lý

F là R- mô đun, U⊂F Nếu mọi ánh xạ f:U→Y (Y là R- mô đun) đều

mở rộng thành đồng cấu duy nhất ϕ :F →Y thì F là R- mô đun tự do với cơ sở

i) ∀( )G i i∈N họ các mô đun con của M sao cho:G1 ⊆G2 ⊆ ⊆G i ⊆G i+1 ⊆

đều ∃k∈N sao cho G k =G k+i∀i∈N

(điều kiện dãy tăng các mô đun con của M)

ii) Mọi tập con khác rỗng các mô đun con của M đều chứa phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm)

(điều kiện cực đại các mô đun con của M)

đều ∃k∈N sao cho G k =G k+i∀i∈N

(điều kiện dãy giảm các mô đun con của M)

ii) Mọi tập con khác rỗng các mô đun con của M đều chứa phần tử cực tiểu(theo quan hệ bao hàm)

(điều kiện cực tiểu các mô đun con của M)

 Các ví dụ

Vành số nguyên Z là Z- mô đun, là mô đun Noether nhng không là mô

đun Artin Thật vậy:

+ ∀ ∈a Z,a≠ 0,a≠ ± 1 ta có: aZ⊃a2Z⊃ ⊃ a kZ⊃ dãy này là dãy giảm

i a a a

a a

a

⇒ 2 / 1; 3/ 2; ; +1/

Dãy này phải dừng

Vậy Z là mô đun Noether

- Nếu M là mô đun đơn thì M vừa là mô đun Noether vừa là mô đun Artin

- Cho V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều trên trờng K

Giả sử {e1,e2, ,e n}là một cơ sở của V, dimV= n

Ta có 0 ⊂e1K =<e1 >⊂e1K+e2K =<e1,e2 >⊂ ⊂V

e1K là mô đun con cực đại của e1K + e2K

e1K + e2K là mô đun con cực đại của e1K + e2K + e3K

.

Vậy đối với cơ sở {e1,e2, ,e n} của V chỉ có duy nhất dãy tăng các mô

đun con củaV và có duy nhất dãy giảm các mô đun con của V:

0 ,

⊃< 1 2 >⊃< 1 >⊃

V

Do đó V vừa là mô đun Noether vừa là mô đun Artin

Cho V là không gian véc tơ vô hạn chiều thì V không là mô đun Noether cũng không là Artin

Thật vậy:

Giả sử {u i/i = 1 , 2 , }là các phần tử độc lập tuyến tính trong V

Cả hai dãy sau đều không dừng:

3 2

i i

i K u K u K

u

Dãy này không dừng nên V không là mô đun Artin

+u1K ⊂u1K+u2K ⊂u1K +u2K +u3K ⊂

Dãy này cũng không dừng nên V không là mô đun Noether

Vậy V không là mô đun Artin cũng không là mô đun Noether

Chứng minh:

Tríc hÕt ta chøng minh E(p) lµ mét m« ®un con cñaZ - m« ®un Q/Z

1

2 1 2

p

br ar p Z p

br p

ar b

n n n

=

αVËy E(p) lµ m« ®un con cña Z- m« ®unQ/Z

 Z lµ mét m« ®un con cña

E(p) sinh bëi 1t

α = +Z víi ( , ) 1

Gọi m là số nguyên lớn nhất ta chứng minh Gm= H.

Theo định nghĩa của m ta có G m ⊆H .

α

Ta thấy t2>m vì α2 ∉G m mà theo trên ta đã chứng minh đợc G t2 ⊆H mâu

thuẫn với Gm là lớn nhất Do vậy Gm = H

Điều này cho thấy E(p) không là Z- mô đun Noether

E(p) là Artin vì theo phần ii một dãy giảm tuỳ ý các mô đun con của E(p) tức một dãy giảm tuỳ ý các Gi (i ∈N0) : G n ⊃G n+1 ⊃ (do n∈N0, số mũ của p giảm dần Vì thế dãy này phải dừng)

i) ∀( )i i∈N- họ các iđêan của R mà I1 ⊆I2 ⊆ ⊆I n ⊆I n+1 ⊆ thì luôn ∃k∈N

sao cho Ik = Ik+i ∀i∈N

ii) Mọi tập con khác rỗng các iđêan của R đều chứa phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm)

i a a a

a a

Nhận xét: Trờng vừa là vành Noether vừa là vành Artin.

) 0 ( )

) ( 0 )) ( ( 0 ) ( )

Giả sử a∈ f − 1 ( 0 ) = ker f ta phải chứng minh a = 0

Do f là toàn cấu nên fn là toàn cấu f n :M →M

f : → là R- đơn cấu Chứng minh rằng f là đẳng cấu

Giả sử M là mô đun Artin f :M →M là R- đơn cấu

Vì M là mô đun con của M nên f(M),f 2 (M), f n(M), là các mô đun

con của M Xét dãy giảm các mô đun con của M:

) (

) ( )

Vậy ∀a∈M đều có tạo ảnh hay f là toàn cấu

Kết hợp với giả thiết f là đơn cấu ta đuợc f là đẳng cấu

Nhận xét: Một không gian véc tơ là trờng hợp đặc biệt của các mô đun Vậy

nếu không gian véc tơ đó là một mô đun Noether hay Artin thì có gì đặc biệt Chúng ta sẽ trả lời trong các mệnh đề tới, cụ thể trong bài 2 ta sẽ xem xét trong mối liên quan với tính hữu hạn sinh

Ta đã biết khi K là trờng thì mỗi mô đun V trên trờng K là một không gian véc tơ trên trờng K

Với một không gian véc tơ hữu hạn chiều V trên trờng K ta kí hiệu số chiều của V là vdimV hoặc vdimKV khi muốn chỉ rõ trên trờng nào

1 Mệnh đề 2.2.1

Giả sử K là trờng, V là một không gian véc tơ trên trờng K Những điều sau tơng đơng:

i) V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều

ii) V là K- mô đun Noether

iii) V là K- mô đun Artin

Chứng minh:

+ 'i⇒ii' ',i⇒iii'

Gi¶ sö V lµ mét kh«ng gian vÐc t¬ h÷u h¹n chiÒu, vdimV= n

Gäi L lµ kh«ng gian vÐc t¬ con cña V th× L còng h÷u h¹n chiÒu vµ vdimL ≤ n

Còng gäi M lµ kh«ng gian vÐc t¬ con cña V tho¶ m·n L⊆M th×

Ta đã biết một mô đun M trên vành giao hoán R đợc gọi là hữu hạn sinh nếu nó đợc sinh bởi một tập con hữu hạn của nó và nếu J≠ φ và

J ={j1,j2, j t} thì mỗi một phần tử của M có thể đợc biểu diễn

(không nhất thiết phải duy nhất) dới dạng một tổ hợp tuyến tính các phần tử

của J tức là ∑

=

t i i

i j r

Giả sử g∈ G\ N thì N + Rg là mô đun con hữu hạn sinh của G và

N ⊂ N+Rg mâu thuẫn với N là phần tử cực đại của Γ.

Vậy G là hữu hạn sinh

(tất nhiên ta có thể coi 0 phần tử 0 nằm trong tập sinh của G).

Với mỗi i = t1 , ∃n i ∈N :g i ∈L n i Giả sử k = max {n1, , nt}

⇒ + ∀i∈N

Vậy mọi dãy tăng các mô đun con của M đều dừng do đó M là Noether

Nhận xét: một vành giao hoán R là Noether ⇔mỗi iđêan của R là hữu hạn sinh

Sau đây ta sẽ xem xét bổ đề thể hiện mối liên hệ giữa một mô đun trên một vành giao hoán với mô đun con và mô đun thơng của nó:

3 Bổ đề 2.2.3

Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R, N là mô đun con nào đó của M thế thì:

i) M là mô đun Noether ⇔N và M N/ là các mô đun Noether

ii) M là mô đun Artin ⇔N và M N/ là các mô đun Artin

+ Mỗi mô đun con của M N/ có dạng M N/ với P là mô đun con của M sao cho: N ⊆P⊆M thì M N/ cũng là môđun Noether Thật vậy:

+

⊆

⇒ P i P i (b)

Từ (a) và (b) suy ra đpcm Nh vậy dãy (*) ⇔ P1 ⊆P2 ⊆ ⊆P n ⊆

Do các Pi là các mô đun con của M mà M là Noether nên dãy trên phải

dừng tức ∃n:P n = P n+1 = ⇒P N n / =P n+1/N = do đó (*) dừng VậyM N/ là Noether

'

' ⇐ N vàM N/ là các mô đun Noether ta cần chứng minh M là Noether

Giả sử M1 ⊆M2 ⊆ ⊆M n ⊆ là một dãy tăng các mô đun con của M

M x

M x N

M M

x

i

i i

i i

1 1

1

N M

v M

u x v M

u

M

u∈ i ⇒ ∈ i+ 1 ⇒ = − ∈ i+ 1 ⇒ ∈ i+ 1 ∩ (vì v∈ N)

) (M 1 N M

i

1 1

x u v= + , u∈M i; v∈N ⇒ x∈M i +N

) (

' ⇐ Gi¶ sö NvµM N/ lµ c¸c m« ®un Artin

Gi¶ sö M1 ⊇M2 ⊇ ⊇M n ⊇ lµ mét d·y gi¶m c¸c m« ®un con cña M.ta pcm d·y nµy dõng

Ta cã M1 ∩N ⊇M2 ∩N ⊇ ⊇M n ∩N ⊇ (3)lµ d·y gi¶m c¸c m« ®un con cña

M x

M x N

M M

i i

i i

1 1

) (

) (M 1 N M 1 M N

M v

M

M i = i ∩ i+ + =M i+1 + (M i ∩N) = M i+1+ (M i+1∩N)= Mi+1

n

i≥

∀ Vậy mọi dãy giảm của M đêù dừng Do đó M là mô đun Artin

Nhận xét: Nếu M1, M2 là các R- đẳng cấu mô đun ( R là vành giao hoán) thì

M1 là Noether ⇔ M2 là Noether; M1 là Artin ⇔ M2 là Artin.

Hệ quả sau đây đợc chứng minh nhờ vào nhận xét trên:

4 Hệ quả 2.2.4

Giả sử R là một vành giao hoán và 0 →L →f M  →g N → 0 là dãy khớp ngắn các R- mô đun

i) M là Noether ⇔ L và N là các mô đun Noether.

ii) M là Artin ⇔ L và N là các mô đun Artin.

Chứng minh:

Giả sử 0  →h L →f M  →g N  →k 0 là dãy khớp ngắn các R- mô đun

Ta có Imh = kerf = 0 suy ra f là đơn cấu, mà L/ kerf ≅Imf = kerg⇒ L ≅kerg.

Img = kerk = N suy ra g là toàn cấu, mà M/ kerg≅Img⇒ M/ kerg≅N.