Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 33 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
33
Dung lượng
548,82 KB
Nội dung
CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ VIỆT NAM §ÆNG VIÖT HïNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TRỌNG TÂM GIẢI PT VÀ BẤT PT Khóa luyện thi 2016 – 2017 (Ấn tặng học sinh Online) Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRỌNG TÂM GIẢI PT VÀ BẤT PT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN x4 − x + Bài Giải bất phương trình x2 + x + − ≥ x4 − x + x+2 Lời giải ( x ∈ ℝ) x2 + x + ≠ Điều kiện ⇔ x ∉ {−2;1} x ≠ −2 x − x + x − x + + x − x + + ( x − 1) + ( x − 1) + Nhận xét x − x + = = = > 0, ∀x ∈ ℝ 2 Bất phương trình cho tương đương với 2 1 ≥ ⇔ x + x+2 −2 x+2 ⇔ x + − x2 + x + ( x − 1)( x + ) ( x + − x2 + x + ) x2 + x + − ( x + 2) ≥0⇔ ( ≥0⇔ x + − x2 + x + ≥0 x −1 )( x2 + x + + x + − x2 + x + (x + x − 2) ( x + 2) ) ≥0 (1) Các khả xảy sau x ≥ −4 x ≥ −4 Xét x + ≥ x + x + ⇔ ⇔ ⇔ x ≥ −2 , suy x ≥ −2 x + x + 16 ≥ x + x + (1) ⇔ x − > ⇔ x > Ta có nghiệm thành phần x > x < −4 x < −4 Xét x + ≤ x + x + ⇔ x ≥ −4 ⇔ x ≥ −4 ⇔ x ≤ −2 , suy x ≤ −2 x + x + 16 ≤ x + x + (1) ⇔ x − < ⇔ x < Ta có nghiệm thành phần x ≤ −2 Tổng hợp toàn trình ta thu nghiệm S = ( −∞; −2 ) ∪ (1; +∞ ) Bài Giải bất phương trình x + 3x + 4x +1 ≥ 2 x −x+ x−2 x −x+ x−2 Lời giải ( x ∈ ℝ) Điều kiện x ≥ Nhận xét x − x + x − = x ( x − 1) + x − > 0, ∀x ≥ Bất phương trình cho tương đương với 2 1 1 1 x + 3x + ≥ x + ⇔ x − x + ≥ ⇔ x − x + + x − x + + ≥ ⇔ x − + x − + ≥ 4 2 2 (Hiển nhiên) Vậy bất phương trình cho có nghiệm x ≥ 4 Bài toán Giải bất phương trình x + x3 + x + x x3 + x + 25 x − 33 > 3x − x − 3x − x − ( x ∈ ℝ) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Lời giải Điều kiện x ≥ 2 x − x + x + ( x − 1) + Nhận xét 3x − x − = = > 0, ∀x ≥ 3x + x − 3x + x − Bất phương trình cho tương đương với x + x3 + x + x > x3 + x + 25 x − 33 ⇔ x − 24 x + 33 > ⇔ x − x + + ( x − x + ) > ⇔ ( x − 3) + ( x − ) > 2 [∗] x2 = Dễ thấy [*] hiển nhiên hệ vô nghiệm Vậy bất phương trình cho có nghiệm x ≥ x = Bài Giải phương trình 3x + x + + x + x + = x + x + + x + Lời giải ( x ∈ ℝ) Điều kiện x ∈ ℝ Đặt 3 x + x + = a; x + x + = b; x + x + = c; x + = d Phương trình đề trở thành a + b = c + d = k Để ý a + b3 = c3 + d ⇔ ( a + b ) − 3ab ( a + b ) = ( c + d ) − 3cd ( c + d ) 3 k = ⇒ k − 3ab.k = k − 3cd k ⇔ 3k ( ab − cd ) = ⇔ ab = cd k = ⇔ a = −b ⇔ a = −b3 ⇔ x + x + = x + x + ⇔ x = −2 (Vô nghiệm) ab = cd ⇒ a 3b3 = c3 d ⇔ ( x + x + )( x + x + 3) = ( x + x + 1)( x + ) ⇔ ( x + x − )( x − x + ) = ⇔ ( x − 1)( x + ) ( x − x + ) = ⇔ x ∈ {−2;1} Kết luận phương trình cho có hai nghiệm x = −2; x = Bài Giải phương trình ( x + 1) + x − x + = x3 − x + x + + x − x + x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Phương trình cho viết lại dạng Đặt ( x + 1) ( x + 1) + x − x + − x3 − x + x + = x − x3 + x + = a; x − x + = b; − x − x + x + = c; x − x3 + x + = d thu a + b + c = d Ngoài ra, ý thấy a + b + c = d ⇔ ( a + b + c ) = d ⇔ a + b3 + c + ( a + b )( b + c )( c + a ) = d x2 + 2x + + x4 − 2x + = a + b = ⇒ d + ( a + b )( b + c )( c + a ) = d ⇔ ( a + b )( b + c )( c + a ) = ⇔ b + c = ⇔ x − x + = x3 − x + x + c + a = x + x + = x3 − x2 + x + x4 + x2 + = x2 + x + = − x4 + x − x ∈ {0;1; 2} ⇔ x − x + x − x + = ⇔ ( x − 1) ( x + x − 3) = ⇔ x + x − = x3 − x = x x − = ( ) ( ∗) Vế trái phương trình (*) hàm số f ( x ) = x3 + x đồng biến, suy (*) có nghiệm x = α Kết luận phương trình cho có bốn nghiệm x ∈ {0;1; 2; α} α thỏa mãn α3 + α = Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 4x +1 + x −1 = Bài Giải phương trình x3 + x3 + + x −1 4x + Lời giải Facebook: Lyhung95 ( x ∈ ℝ) x3 + x3 + = − x −1 Điều kiện x > Phương trình cho biến đổi x + − (1) 4x + x −1 Dễ thấy (1) có nghiệm hai vế dấu, nghĩa x + x3 + x + − − x − ≥ ⇔ x + − ( x3 + 1) x3 + − ( x − 1) ≥ x − x + ⇔ ( x3 − x )( x3 − x + ) ≥ ⇔ x ( x − )( x + ) x ( x − 1) + ≥ ( 2) Rõ ràng x ( x − 1) + > 0; x ( x + ) > 0, ∀x > nên ( ) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Khi x3 + x3 + x + x3 + − x + = + x −1 − x −1 4x +1 4x +1 x −1 x −1 ( x + 1) − ( x − 1) x + x3 + ⇔ 3x + = − ⇔ x + = ( x3 + 1) x −1 4x + ( x + 1)( x − 1) (1) ⇔ x + + (x ⇔ 3x + = + 1) ( x + ) x=− 3 x + = ⇔ ⇔ ( x + 1)( x − 1) x − 3x − = x3 + x3 − x + 3x + = x = Ta có ( 3) ⇔ ( x − ) ( x − x − 1) = ⇔ ⇒ x ∈ 2; + 1;1 − ( x − 1) = { ( 3) } { } So sánh với điều kiện x ≥ thử trực tiếp suy tập hợp nghiệm S = 2; + x + x3 + 3x + + Bài Giải phương trình Điều kiện x > Phương trình cho tương đương với ( x + 1) ( x3 + 3) − ⇔ x3 + ( = x3 + + + x x Lời giải x3 + = ) x + −1 = x ( ( x ∈ ℝ) x +1 − x x x +1 = x +1 −1 ⇔ x + x = ) Xét trường hợp • x +1 = ⇔ x +1 = ⇔ x = • x + x = ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 1) ( x3 + x + x + ) = (1) Rõ ràng x3 + x + x + > 0, ∀x > nên (1) có nghiệm x = Kết luận phương trình cho có nghiệm x = 7 + 49 − x ( x + 1) + = x + x x Lời giải Điều kiện x ≠ Phương trình cho tương đương với Bài Giải phương trình x3 + x2 + ( x ∈ ℝ) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x3 + 7 7 x 7x +1 = x + x 7x +1 − − − ⇔ − = x + − ( ) ( ) 2 x x x x x3 − x2 + = x+ =8 x + − x ( x + 1) − = ⇔ ⇔ x x 7 x + x − = 7 x + x = ( x + 1) x + ⇔ ( x − 1) ( x − x − ) = + 77 − 77 ⇔ ⇔ x = 1; x = − ; x = ;x = 2 ( x − 1)( x + ) = + 77 − 77 ;x = Kết luận phương trình cho có nghiệm x = 1; x = − ; x = 2 Bài Giải phương trình x2 + x + + + x2 = 3 ( x2 + x ) + x2 + x Lời giải ( x ∈ ℝ) Điều kiện x ≠ Phương trình cho tương đương với ( x + ) x + ⇔ x+ x ( 2 3 2 − 3x ( x + ) = x + − x x ) x + − 2x = 2x ( x + − 2x ) x + − x x + − 3 x = x x + = 2x x = ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ {−1;1; 2} x + = 3x x = x Kết luận phương trình ban đầu có ba nghiệm kể ⇔ ( ) Bài 10 Giải bất phương trình 2 x − x − x ≤ 3x − x Lời giải Điều kiện x ≤ ∨ x ≥ Xét x = , bất phương trình cho nghiệm Xét x ≥ , bất phương trình ban đầu trở thành ( x ∈ ℝ) 2 x − − x ≤ 3x − ⇔ 2 x − ≤ x + 3x − ⇔ x − ≤ x − + 3x − x ⇔ x − ≤ 3x − x ⇔ x − x + ≤ 3x − x ⇔ x − x + ≤ ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = Xét x < , bất phương trình cho tương đương với 2 − x − − x ≤ − 3x ⇔ − x ≤ − x + − 3x ⇔ − x ≤ − x + 3x − x ⇔ − x ≤ 3x − x ⇔ x − x + ≤ 3x − x ⇔ x − x + ≤ ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = Kết luận bất phương trình cho có nghiệm x = 0; x = Bài 11 Giải phương trình x + x + = 2 x + ( x ∈ ℝ) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Lời giải Điều kiện x ≥ − 2 Nhận xét x + x + = ( x + ) + > 0, ∀x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với x + x + 16 x + 10 ( x + x ) + 25 = ( x + 3) ⇔ x + x + 26 x + 32 x + 13 = ⇔ x ( x + x + 1) + x ( x + x + 1) + 13 ( x + x + 1) = ( x + 1)2 = ⇔ ( x + x + 1)( x + x + 13) = ⇔ ⇒ x = −1 ( x + )2 = −4 Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1 Lời giải Điều kiện x ≥ − Đặt x + = y + 2, ( y ≥ −2 ) suy x + = y + y + ⇔ y + y + = x Phương trình cho trở thành x + x + = ( y + ) ⇔ x + x + = y Vậy ta có hệ phương trình 2 y + y + = x ⇒ y − x2 + y − x = x − y x + x + = y ⇔ ( y − x )( y + x ) = ( x − y ) ⇔ ( x − y )( x + y + ) = Với x = y ⇒ x + x + = x ⇔ ( x + 1) = ⇔ x = −1 Dễ thấy phương trình x + y + = vô nghiệm x + y + > 0, ∀x ≥ − ; ∀y ≥ −2 Kết luận phương trình cho có nghiệm Lời giải 3 Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với x + x + + x + − 2 x + + = ⇔ ( x + 1) + ( ) 2x + −1 = x = −1 x + = ⇔ ⇔ ⇔ x = −1 2 x + = x + − = Thử lại vào phương trình thấy nghiệm đúng, S = {−1} Bài 12 Giải phương trình x + = x − x + 14 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ −1 Phương trình cho biến đổi x − x + 14 − x + = ⇔ x − x + + x + − x + + = x − = x = =0⇔ ⇔ ⇔ x=3 x + = x +1 = Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x = Lời giải Điều kiện x ≥ −1 ⇔ ( x − 3) + ( x +1 − ) 2 31 Nhận xét x − x + 14 = x − + > 0, ∀x ∈ ℝ nên phương trình cho tương đương với 2 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 16 ( x + 1) = x − 10 x3 + 25 x + 28 ( x − x ) + 196 ⇔ x − 10 x3 + 53 x − 156 x + 180 = ⇔ x ( x − x + ) − x ( x − x + ) + 20 ( x − x + ) = ⇔ ( x − x + 20 )( x − x + ) = ( x − ) = −16 2 ⇔ ( x − ) + 16 ( x − 3) = ⇔ ⇔ x=3 x − = Kết luận phương trình cho có nghiệm x = Bài 13 Giải phương trình x + x + = ( x + 3) ( ) ( x ∈ ℝ) x2 + x + − Lời giải 1 Ta có x + x + = x + + > 0, ∀x ∈ ℝ nên điều kiện xác định x ∈ ℝ 2 Phương trình cho tương đương với x + x + = ( x + 3) x + x + − x − ⇔ x + x + − ( x + 3) x + x + = ⇔ x + 16 x + 16 − ( x + 3) x + x + = ⇔ x + 12 x + − ( x + 3) x + x + + ( x + x + ) = ( ⇔ ( x + 3) − ( x + 3) x + x + + ( x + x + ) = ⇔ x + − x + x + 2 x2 + x + = x + 2 x + − x2 + x + = ⇔ ⇔ x + − x + x + = −1 x + x + = x + Xét hai trường hợp x ≥ −1 o (1) ⇔ ⇔ x = x + x + = x + 2x +1 x ≥ −2 x ≥ −2 o ( 2) ⇔ ⇔ ⇔ x=− 3x = −2 x + x + = x + 4x + Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = − ; x = Bài 14 Giải phương trình x + x + = x + ) =1 (1) ( 2) ( x ∈ ℝ) Lời giải 1 Điều kiện x ≥ − Phương trình cho trở thành 4 x2 + x + − x + = ⇔ x2 + x + − x + + = x = x = ⇔ 4x + 4x +1 −1 = ⇔ ⇔ ⇔ x=0 x + = 4 x + = Thử trực tiếp thấy x = nghiệm phương trình cho Lời giải 2 Điều kiện x ≥ − Nhận xét x + x + = x + ( x + 1) > 0, ∀x ∈ ℝ nên phương trình cho trở thành ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( 2x Facebook: Lyhung95 + x + 1) = x + ⇔ x + x + x + ( x + x ) + = x + x2 = ⇔ x + x3 + x = ⇔ x ( x + x + ) = ⇔ ⇒x=0 ( x + 1) = −1 Đối chiếu điều kiện, đến kết luận nghiệm x = Bài 15 Giải phương trình x + x + = x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ −3 Phương trình cho tương đương với x = 3x + − x + ⇔ x − x + = x + − x + + ⇔ ( x − 1) = ( x+3 −2 ) x +1 = x + x −1 = x + − ⇔ ⇔ 3 − x = x + x − = − x + (1) ( 2) Xét hai trường hợp x ≥ −1 x ≥ −1 ⇔ ⇔ x = (1) ⇔ x + 2x + = x + x + x − = x ≤ x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x = ( 2) ⇔ − − = x x x − x + = x + x − x + = ( )( ) Đối chiếu điều kiện thử lại trực tiếp ta có tập nghiệm S = {1} Lời giải Điều kiện x ≥ −3 Phương trình cho tương đương với − x + 3x + ≥ − x + 3x + = x + ⇔ 2 x + x + 36 x + 36 − x ( x + ) = 16 x + 48 − x + x + ≥ − x + x + ≥ ⇔ ⇔ 2 2 x − x − x + 20 x − 12 = x ( x − x + 1) − x ( x − x + 1) − 12 ( x − x + 1) = − x + x + ≥ − x + x + ≥ ⇔ ⇔ ⇒ x =1 2 ( x − 1) ( x − )( x + ) = ( x − x + 1)( x − x − 12 ) = Vậy phương trình cho có nghiệm x = x + x2 + x − x2 = x + ( x ∈ ℝ) Lời giải x ≥ x + x ≥ Điều kiện ⇔ x ≤ −1 ⇔ ≤ x ≤ x − x ≤ 0 ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với Bài 16 Giải phương trình x + x2 + x − x2 = x + ⇔ x + − x + x2 − x − x2 = ⇔ x + x2 − x + x2 + + x − x2 − x − x2 + = x + x = x + x = x + x2 = x − x2 −1 = ⇔ ⇔ ⇔ 2 x = x − x = x + x = x − x Dễ thấy hệ phương trình (*) vô nghiệm nên phương trình ban đầu vô nghiệm ⇔ ( ) ( x + x2 − + ) ( ∗) Lời giải Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x + x ≥ Điều kiện x − x ≤ a+b Áp dụng bất đẳng thức ta có + x + x2 x + x = 1( x + x ) ≤ (1) + x − x2 x − x = 1( x − x ) ≤ ( 2) + x + x2 + + x − x2 x + 2 Từ suy x + x + x − x ≤ = = x +1 2 Phương trình cho có nghiệm (1) (2) đồng thời xảy đẳng thức, nghĩa x + x = x + x = x + x2 = ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅ 2 = x + = − x x x x x − x = Ta có ( a− b ) ≥ ⇔ ab ≤ Kết luận toán vô nghiệm Lời giải x ≥ x + x ≥ Điều kiện ⇔ x ≤ −1 ⇔ ≤ x ≤ x − x ≤ 0 ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với x + x2 + x − x2 + x2 − x4 = x2 + x + ⇔ x2 − x4 = x2 + ⇔ ( x2 − x4 ) = x4 + x2 + ⇔ 5x4 − x2 + = x = ⇔ x + ( x − 1) = ⇔ ⇔ x ∈∅ x = Kết luận phương trình ban đầu vô nghiệm Bài 17 Giải phương trình x − x + = x − Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với ( x ∈ ℝ) Lời giải x2 − 4x + = x − + x − + ⇔ ( x − 2) = ( x − = x −1 +1 x − = x −1 ⇔ ⇔ 1 − x = x − − x = x − + (1) ( 2) ) x −1 + Xét hai trường hợp x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x = (1) ⇔ x − x − = ( )( ) x − x + = x − x − x + 10 = (2) có nghiệm − x ≥ ⇔ x ≤ , kết hợp với điều kiện suy x = Thử lại nghiệm trực tiếp, ta thu hai nghiệm x = 1; x = Bài 18 Giải phương trình 3x − x + = x x + x − Lời giải Điều kiện x + x − ≥ Phương trình cho tương đương với ( x ∈ ℝ) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 3x − x + − x x + x − = ⇔ x2 − x + + x2 + x − − x x2 + x − + x2 = ⇔ ( x − 3) + ( x2 + x − − x ) =0 x = x − = ⇔ ⇔ x + x − = x2 ⇔ x = x ≥ x + x − = x Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 19 Giải phương trình x + x + 14 = x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ −4 Phương trình cho tương đương với x + x + 14 − x + = ⇔ x + x + + x + − x + + = x = −3 x + = ⇔ ⇔ x = −3 x + −1 = ⇔ x + = x + = Thử trực tiếp ta thấy phương trình ban đầu có nghiệm x = −3 Lời giải Điều kiện x ≥ −4 ⇔ ( x + 3) + ( ) 7 Nhận xét x + x + 14 = x + + > 0, ∀x ∈ ℝ nên phương trình cho tương đương với 2 x + 14 x3 + 49 x + 28 ( x + x ) + 196 = x + 16 ⇔ x + 14 x + 77 x + 192 x + 180 = ⇔ x ( x + x + ) + x ( x + x + ) + 20 ( x + x + ) = ⇔ ( x + x + )( x + x + 20 ) = 2 ⇔ ( x + ) ( x + ) + = ⇔ x = −3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = −3 ( x ∈ ℝ) Bài 20 Giải phương trình x − x + = x + Lời giải 1 Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với x − 10 x + = 2 x + ⇔ x − x + = x + + 2 x + + ⇔ ( 2x − 2) = ( 2 x − = x + 2x +1 + ⇔ 1 − x = x + ) (1) ( 2) Xét hai trường hợp xảy o o 3 2 x − ≥ + 17 x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔x= 2 (1) ⇔ 4 x − 12 x + = x + 4 x − 14 x + = 2 x − x + = 1 − x ≥ x ≤ ⇔ ⇔ x=0 ( 2) ⇔ 4 x − x + = x + 4 x − x = Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Bài 45 Giải phương trình ( x + 1) x + + x x = 17 x − 13 x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với ( x + 1) x + − ( x + 1) + x x − x = 17 x − 16 x − ⇔ ( x + 1) ( ) ( x+3 −2 + x ) x − = 17 x − 16 x − ( x + 1)( x − 1) + x ( x − 1) = ( x − 1)(17 x + 1) x+3 +2 x +1 x = ⇔ x +1 x + = 17 x + (1) x +1 x + + x +1 x x + x x + 17 x + Để ý + < + = < , ∀x ≥ ⇒ (1) vô nghiệm 2 x+3 +2 x +1 Kết luận phương trình cho có nghiệm x = ⇔ Bài 46 Giải phương trình x x + + ( x + 1) x + = x + x ( x ∈ ℝ ) Lời giải Điều kiện x ≥ −1 Phương trình cho tương đương với x x + − x + ( x + 1) x + − ( x + 1) = x − x − ⇔x ( ) x + − + ( x + 1) x ( x − 3) ( ) x + − = x2 − x − ( x + 1)( x − 3) = ( x − 3)( x + 1) x +1 + x+6 +3 x = ⇔ x x +1 + = x + (1) x+6 +3 x + + ⇔ + Nhận xét x x +1 x +1 x +1 + = + − x +1 + x+6 +3 x +1 + x+6 +3 x +1 + x +1 x +1 1 < + − = ( x + 1) − < x +1− < x +1 x +1 + x +1 + x +1 + Do phương trình (1) vô nghiệm Kết luận phương trình ban đầu vô nghiệm Bài 47 Giải bất phương trình x + 19 x + 63 x + 76 > 3 x + + ( x + ) x + Lời giải Điều kiện x ≥ −2 Bất phương trình cho tương đương với ( ) ( ) ( x ∈ ℝ) x + − x + + ( x + ) x + − x + + x3 + 17 x + 49 x + 49 ( ) ( ) ⇔ ( x + 5) x + − x + + x + − 3x + + ( x + ) ( x2 + 5x + ) > 2x + ⇔ ( x2 + 5x + ) + + 2x + 7 > x + + x + x + + 3x + (1) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 5 Để ý x + x + = x + + > 0, ∀x ∈ ℝ 2 2x + + + x + > 0, ∀x ≥ −2 nên (1) nghiệm Kết luận x ≥ −2 x + + x + x + + 3x + Bài 48 Giải phương trình x ( x + 1)( x − ) + = − x + x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với x ( x + 1)( x − 3) = − x + x + − ⇔ x ( x + 1)( x − 3) = − x − 6− x x+3 + 1+ x − 3 ⇔ x ( x + 1)( x − 3) = − x − ( − x ) + + x − ( x + 3) − x + 3x − x + 3x ⇔ ( x + 1) ( x − x ) = + − x + − x 1+ x + x + 1 ⇔ ( x − x ) 3 x + + + =0 − x + − x 1+ x + x + 3 Ta có nhận xét (1) − x + − x > 0,3 + x + x + > 0, ∀x ∈ [ −1; 4] 1 + > 0, ∀x ∈ [ −1; 4] − x + − x 1+ x + x + Do (1) ⇔ x ( x − 3) = ⇔ x ∈ {0;3} Đối chiếu điều kiện, kết luận toán có hai nghiệm kể ⇒ ( x + 1) + 10 x + 14 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với 10 10 x + 14 13 1 13 x3 + x − = ⇔ ( x + 1) − x − = ( x + 1) + 3x + 3 3 3 10 x + 14 Đặt x + = u; = v ta thu hệ phương trình 13 u = v u − x − = v 3 ⇒ u − v = (v − u ) ⇔ u + uv + v + = v3 − x − 13 = u 3 Xét hai trường hợp Bài 49 Giải phương trình 3x + x − 10 = 1 u + uv + v + = ⇔ u + v + v = − (Vô nghiệm) 2 10 x + 14 ⇔ ( x3 + 3x + 3x + 1) = 10 x + 14 ⇔ 3x3 + x − x − 11 = −6 + −6 − ⇔ ( x − 1) ( x + 12 x + 11) = ⇔ x ∈ 1; ; 3 Kết luận phương trình cho có ba nghiệm kể u = v ⇔ x +1 = Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 3x + 13 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với 3x − + 14 1 ( 27 x − 27 x + x − 1) − 14 = ⇔ ( 3x − 1) − = ( 3x − 1) + 2 3x + 13 Đặt 3x − = u; = v ta thu hệ phương trình u = v u − = v 3 ⇒ u − v = (v − u ) ⇔ u + uv + v + = v − = u Xét trường hợp sau x + 13 o u = v ⇔ 3x − = ⇔ ( 27 x3 − 27 x + x − 1) = 3x + 13 ⇔ 54 x − 54 x + 15 x − 15 = ⇔ ( x − 1) ( 54 x + 15 ) = ⇔ x = Bài 50 Giải phương trình 54 x − 54 x + 18 x − 16 = 1 o u + uv + v + = ⇔ u + v + v = − (Vô nghiệm) 2 Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm x = 2 13x − 23 Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với Bài 51 Giải phương trình ( x3 − 3x + ) = x3 − 3x + = ( x ∈ ℝ) 13 x − 23 ⇔ x3 − 3x + 3x − − 3x + = ⇔ ( x − 1) − x + = 13 x − 23 7 ( x − 1) + 3x − 13x − 23 = v ta thu hệ phương trình u − x + = v 7 ⇒ u − v3 = ( v − u ) ⇔ ( u − v ) u + uv + v + = 3 v − x + = u Xét trường hợp 13 x − 23 o u = v ⇔ x −1 = ⇔ ( x − 3x + 3x − 1) = 13x − 23 7 ⇔ x3 − x − x + 21 = ⇔ ( x − 3) ( x − ) = ⇔ x ∈ − ; ;3 Đặt x − = u; o u + uv + v + = ⇔ u + v + v = − (Vô nghiệm) Kết luận phương trình cho có ba nghiệm kể 2 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ( x ∈ ℝ) Bài 52 Giải phương trình 52 x + 61x − 107 = 3 x3 − 27 x − 17 x + 51 Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với 54 x − 54 x + 27 x − = ( x3 − 27 x − 17 x + 51) + 3 x − 27 x − 17 x + 51 ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = ( x3 − 27 x − 17 x + 51) + 3 x − 27 x − 17 x + 51 ( ∗) Xét hàm số f ( t ) = 2t + 3t ; t ∈ ℝ ta có f ′ ( t ) = 6t + > 0∀t ∈ ℝ Suy hàm số liên tục đồng biến ℝ ( ∗) ⇔ f ( x − 1) = f ( ) x3 − 27 x − 17 x + 51 ⇔ x − = x3 − 27 x − 17 x + 51 ⇔ 27 x3 − 27 x + x − = x − 27 x − 17 x + 51 ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) = ⇒ x = Thử lại, phương trình cho có nghiệm x = Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Đặt x3 − 27 x − 17 x + 51 = y ⇒ x3 − 27 x − 17 x + 51 = y Ta thu hệ phương trình 52 x + 61x − 107 = y 52 x3 + 61x − 107 = y ⇔ 3 x − 27 x − 17 x + 51 = y 2 x − 54 x − 34 x + 102 = y Thực cộng vế hai phương trình hệ ta có 54 x − 54 x + 27 x − = y + y ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = y + y Đặt x − = t t = y 2t + 3t = y + y ⇔ ( t − y ) + ( t − y ) = ⇔ ( t − y ) ( 2t − 2ty + y + 3) ⇔ 2 2t − 2ty + y + = • t = y ⇔ x − = x3 − 27 x − 17 x + 51 ⇔ x3 + x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) = ⇒ x = • 2t − 2ty + y + = ⇔ t − 2ty + y + t + y + = ⇔ ( t − y ) + t + y = −3 (Vô nghiệm) Thử lại, phương trình cho có nghiệm x = Bài 53 Giải phương trình x + 3x + x − = x + 3x + x + 16 Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với ( x ∈ ℝ) x3 + x + x − 12 = 3 x + x + x + 16 ⇔ x3 + 12 x + x + − ( x3 + x + 13) = 3 ( x + 1) + x3 + x + 13 ⇔ ( x + 1) − ( x + x + 13) = 3 ( x + 1) + x3 + x + 13 Đặt x + = u; x3 + x + x + 16 = v ta thu hệ phương trình u − ( x + x + 13 ) = 3v ⇒ u − v3 = 3v − 3u ⇔ ( u − v ) ( u + uv + v + 3) = 3 v − ( x + x + 13) = 3u u = v ⇔ x + = x3 + 3x + x + 16 ⇔ x + 12 x + x + = x3 + 3x + x + 16 ⇔ x + x − 17 = ⇔ ( x − 1) ( x + 15 x + 17 ) = ⇔ x = u + uv + v + = ⇔ u + v + v = −3 (Vô nghiệm) Kết luận phương trình cho có nghiệm x = Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 − 2x + 4x − = x ( x ∈ ℝ) Lời giải 3 3 Điều kiện ≤ x ≤ Phương trình cho trở thành − + 4 − = x x 3 Đặt − = a; 4 − = b, ( a ≥ 0; b ≥ ) , để ý a + b = 2; a ≥ 0; b ≥ ⇒ a; b ∈ [ 0; 2] ⇒ ab ≤ x x Ta thu hệ phương trình a + 2ab + b = a + b = 2 ⇔ ⇒ ( − 2ab ) − 2a 2b = 4 2 2 a + b = ( a + b ) − 2a b = Bài 54 Giải phương trình ⇔ ( − ab ) − a 2b = ⇔ a 2b − 8ab + = ⇔ ( ab − 1)( ab − ) = Loại trường hợp ab = Với ab = ⇒ ( − x )( x − 3) = x ⇔ x − 18 x + = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 55 Giải phương trình Lời giải Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với + − Đặt − ( x ∈ ℝ) x + x −1 = x +1 = 1+ x x 1 = u; + = v, ( u ≥ 0; v ≥ ) ta thu hệ phương trình sau x x 2 1 + u = v u − 2uv + v = ⇔ 2 ⇒ (1 + 2uv ) − 2u v = 4 2 u + v = ( u + v ) − 2u v = 3 ; uv = −1 − 2 ⇔ 2u v + 4uv − = ⇒ uv = −1 + 3 ⇒x= Với uv = −1 + 2 Loại trường hợp uv = −1 − Bài 56 Giải phương trình 16 16 − − − 1 3x + + 4 x + = x + Kết luận nghiệm ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với Đặt 4 3x + 4 x + + =2⇔ x +1 x +1 2x 3x +1 + +1 = x +1 x +1 2x 3x + = u; + = v, ( u ≥ 0; v ≥ ) ⇒ 3u − 2v = Sử dụng u + v = ta thu hệ phương x +1 x +1 trình v = − u u + v = ⇔ 4 3u − 2v = 3u − ( u − 8u + 24u − 32u + 16 ) = v = − u v = − u ⇔ ⇔ 3 u + 16u − 48u + 64u − 33 = ( u − 1) ( u + 17u − 31u + 33) = ( ∗) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 31 1283 Để ý u + 17u − 31u + 33 = u + 17 u − + > 0, ∀u ≥ nên 34 68 ( ∗) ⇔ u = ⇔ x + = x + ⇔ x = 3 Kết luận phương trình đề có nghiệm x = Bài 57 Giải phương trình x + + 3x − = + x ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với Đặt 4− x + 4 3x − 15 x 15 x + = ⇔ 4− +4 −2 = 6x + 6x +1 6x + 6x + 15 x 15 x = u; − = v, ( ≤ u ≤ 2;0 ≤ v ≤ ) ⇒ u + v = Ta thu hệ 6x + 6x +1 2 u + v = 2 u + 2uv + v = ⇔ 2 ⇒ ( − 2uv ) − 2u v = 4 2 u + v = ( u + v ) − 2u v = ⇔ ( − uv ) − u v = ⇔ u v − 8uv + = ⇔ ( uv − 1)( uv − ) = Rõ ràng u; v ∈ [ 0; 2] ⇒ uv ≤ , loại trường hợp uv = Với x + 4 3x − 2 uv = ⇔ = ⇔ ( x + )( x − ) = ( x + 1) ⇔ x + 18 x + = ⇔ ( x + 1) = ⇔ x = −1 6x +1 6x +1 Đối chiếu thử lại nghiệm, đến đáp số x = −1 Bài 58 Giải phương trình x = + ( x − 1) x − x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với x = + ( x − 1) ( x − 1) x + (1) Đặt x − = t (1) trở thành x = + t xt + Đặt xt + = y ( y ≥ ) thu hệ phương trình • x = + yt x = y ⇒ x − y = yt − xt ⇔ ( x − y )( x + y + t ) = ⇔ x + y + t = y = xt + x ≥ x = y ⇔ x = x2 − x + ⇔ ⇔ x = x = x − x + 1 − 33 x ≤ x ≤ • x + y + t = ⇔ − 2x = x − x + ⇔ ⇔ ⇔x= 2 4 x − x + = x − x + 3 x − x − = − 33 Kết luận nghiệm phương trình S = ;3 Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x − = ( x − 1) Facebook: Lyhung95 ( x − 3) ( x − 1) ≥ ( x − 3) ( x − 1) ≥ x − x+3 ⇔ ⇔ 2 x − x + = ( x − x + 1)( x − x + 3) 3 x − 12 x + x + = ( x − 3) ( x − 1) ≥ ( x − 3) ( x − 1) ≥ − 33 ⇔ ⇔ − 33 + 33 ⇔ x ∈ ;3 ; ;3 ( x − 3) ( x − x − ) = x ∈ − 33 Kết luận nghiệm phương trình S = ;3 Bài 59 Giải phương trình x2 − x + =2 6x − ( x ∈ ℝ) Lời giải Phương trình cho tương đương với Điều kiện x > x − x + = x − ⇔ x − x + = x − ⇔ ( x − 1) + x + = 4 ( x − 1) − ( x + 1) Đặt x − = t ; 6x − = y ( y > 0) ta thu hệ phương trình t = y t + x + = y 2 2 + = + ⇔ − + − = ⇔ − + + = ⇔ ⇒ t t y y t y t y t y t y ( )( ) t + y + = 4t − ( x + 1) = y 1 x ≥ x ≥ 3 • t = y ⇔ 2x −1 = 6x − ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ 1; 2 2 4 x − x + = x − 2 x − x + = • t + y + = ⇔ x + + x − = (Vô nghiệm x > ) 3 So sánh với điều kiện ta có tập nghiệm S = 1; 2 Lời giải Điều kiện x > Nhận xét x − x + > ∀x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với ( 2x − x + 1) = ( x − ) ⇔ x + x + − x ( x + 1) + x = 24 x − 20 ⇔ x − x + x − 26 x + 21 = ⇔ ( x − 1) ( x + x − 21) = 3 ⇔ ( x − 1)( x − 3) ( x + x + ) = ⇒ x ∈ 1; 2 3 So sánh với điều kiện ta có tập nghiệm S = 1; 2 Bài 60 Giải phương trình x − x = ( − x ) 3x − x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x − x + ≥ Phương trình cho tương đương với ( 3x − 1) + x − = ( − x ) ( − x )(1 − 3x ) − ( x − 1) Đặt − 3x = t ; x − x + = y ( y ≥ ) ta thu hệ phương trình Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG • Facebook: Lyhung95 t + x − = ( − x ) y t = y ⇒ t − y = ( − x )( y − t ) ⇔ ( t − y )( t + y + − x ) = ⇔ t + y = x − y + x − = ( − x ) t 1 + 13 x ≤ x ≤ t = y ⇔ − x = 3x − x + ⇔ ⇔ ⇔x=− 3 3 x − x + = x − x + 3 x + x − = x ≥ • t + y = x − ⇔ 3x − x + = x − ⇔ (Hệ vô nghiệm) 13 x − 16 x + = 13 + Vậy phương trình cho có nghiệm x = − Lời giải 2 Điều kiện x − x + ≥ Phương trình cho tương đương với ( x − x ) ( − x ) ≥ ( x − x ) ( − x ) ≥ ⇔ 2 81 x − 90 x + 25 x = x − x + x − x + ( )( ) 39 x + 10 x − 11x − 23 x − = ( x − x ) ( − x ) ≥ ( x − x ) ( − x ) ≥ 13 + ⇔ ⇔ + 13 13 − ⇔ x = − 2 ; ( x + x − 1)(13 x − 16 x + ) = x ∈ − 6 So sánh điều kiện suy phương trình cho có nghiệm x = − 13 + Bài 61 Giải phương trình x + 3x + = ( x + 3) x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với ( x + x + 1) ( x + 3) ≥ 2 2 x + x ( x + 1) + x + x + = ( x + x + )( x + 1) ( x + 3x + 1) ( x + 3) ≥ ( x + 3x + 1) ( x + 3) ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x= 4 2 x + x + 11x + x + = x + x + 10 x + x + x = Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm x = Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Đặt x + = y ( y > ) ⇒ x = y − Phương trình cho tương đương với y − + x + = ( x + 3) y ⇔ y − xy + x − y = x2 = x2 + = ⇔ ( x − y )( − y ) = ⇔ ⇔ x ≥ ⇔ x ∈ − 2; 2 x + = x 0 x = Thử lại nghiệm ta có nghiệm x = { Bài 62 Giải phương trình ( x + 1) x − 3x + = x − x + Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ } ( x ∈ ℝ) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Nhận xét x − x + = ( x − 1) + > 0, ∀x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với x + > 2 2 ( x + x + 1)( x − x + 3) = x + x ( − x ) + x − 12 x + x > −1 x > −1 ⇔ ⇔ 3 2 x − x − x + x + = x − x + 10 x − 12 x + 3 x − 12 x + 15 x − = x > −1 x > −1 ⇔ ⇔ ⇔ x = 1; x = 2 ( x − 1) ( x − ) = ( x − 1) ( x − x + ) = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Đặt x − 3x + = y ( y ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ) ⇒ x = y + 3x − Phương trình cho tương đương với ( x + 1) y = y + 3x − − x + ⇔ y + x = xy + y ⇔ ( x − y )( y − 1) = x ≥ x2 − 3x + = x x = x = y ⇔ ⇔ ⇔ 3 − x = ⇔ ⇔ x ∈ {1; 2} x ∈ 1; { } x − x + = y =1 x − 3x + = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = Bài 63 Giải phương trình ( x + 3) ( − x )(12 + x ) = 28 − x ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện −12 ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với ( x + 3) − x − x + 48 = 28 − x [1] Đặt ( x + 3) − − x − x + 48 = t ⇒ t = x + x + − x − x + 48 − ( x + 3) − x − x + 48 ⇒ ( x + 3) − x − x + 48 = 57 − x − t 2 − x − x + 48 = x + 57 − x − t 2 Khi [1] ⇔ = 28 − x ⇔ t = ⇔ ( x + 3) − − x − x + 48 = ⇔ − x − x + 48 = x + x ≥ −2 ⇔ x = 31 − [ 2] ⇔ x + x − 22 = x ≥ −4 ⇔ x = −4 [3] ⇔ x + x − 16 = Đối chiếu điều kiện thu tập nghiệm S = { [ 2] [3] } 31 − 3; − Bài 64 Giải phương trình ( x + 1) x − x + = x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( x + 1) ( x + 1) ( Facebook: Lyhung95 x − x + − ( x + 1) = x + − ( x + 1) ) x − 2x + − = x − 2x −1 ⇔ ⇔ ( x − x − 1) ( ( x + 1) ( x − x − 1) ) x − 2x + + 2 = x2 − 2x −1 x2 − x + − x − = x2 − x − = x2 − x + = ⇔ ⇔ x ≥ ⇔ x ∈ + 2;1 − x − x + = x − 2 x − x + = x − x + { } Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x = + 2; x = − Bài 65 Giải phương trình x ( 3x + ) 3x + = 3x − x + ( x ∈ ℝ) Lời giải 1 Điều kiện x ≠ − Đặt 3x − x + = t ( t > ) ⇒ 3x = t + x − Phương trình cho trở thành t + x − + x = ( x + 1) t ⇔ t − ( x + 1) t + x − = ⇔ t ( t − x + 1) − ( t − x + 1) = ⇔ ( t − )( t − x + 1) = ⇔ 3 x − x − = 3x − x + = ⇔ x ≥ ⇔ x ∈ − ;1 3x − x + = 3x − 6 x − x − = Đối chiếu điều kiện ta thu hai nghiệm x = − ; x = Bài 66 Giải phương trình 10 x + = ( x + ) x − x ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ( x − 1) ≥ Đặt ( t ≥ ) ⇒ 5x = t + x Phương trình cho trở thành ( t + x ) + = ( x + ) t ⇔ 2t − ( x + ) t + x + = ⇔ 2t ( t − ) − x ( t − ) − ( t − ) = ⇔ ( t − )( 2t − x − 3) = 5x − x = t 5 x − x − = 5x − x = t = ⇔ ⇔ ⇔ x ≥ −3 ⇔ x ∈ − ; − ;1 19 x − x = x + 2t = x + 19 x − 10 x − = Đối chiếu điều kiện thu nghiệm S = − ; − ;1 19 Bài Giải 67phương trình x + x + = + x + x + Lời giải 1 Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với 2x −1 + 2x +1 = ( 4x ( x ∈ ℝ) − x + 1) + ( x + 1) ⇔ x − + x + = ( x − 1) + ( x + 1) (*) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Đặt x − = u; x + = v ( v ≥ ) ta có u + v ≥ u + v ≥ u + 3v ⇔ ⇔ 2 u + 2uv + v = u + 3v v ( v − u ) = Xét hai trường hợp xảy u + v ≥ 2 x − + x + ≥ • (Hệ vô nghiệm) ⇔ 2 x + = v = • Do v ≥ nên 1 u + v ≥ x ≥ x ≥ ⇔ u = v ⇔ 2x −1 = 2x +1 ⇔ ⇔ ⇔x= u = v 4 x − x + = x + x ( x − 3) = ( ∗) ⇔ u + v = 3 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm S = 2 Lời giải Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với 2 x − + x + = x2 + x + ( )( ) 2x +1 −1 2x +1 + ≥ 2 x + + x + − ≥ ⇔ ⇔ 4 x − x + + x + + ( x − 1) x + = x + x + 2 ( x − 1) x + = x + x + ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x= 2 ( x − 1) x + = x + 2 x − = x + 4 x − x + = x + 3 Đối chiếu điều kiện ta thu tập nghiệm S = 2 Bài 68 Giải phương trình x − + x + = ( x − 1) + ( x + 1) ( x ∈ ℝ) Lời giải 1 Điều kiện x ≥ − Đặt x − = a; x + = b ( b ≥ ) phương trình cho trở thành a + b ≥ a + b ≥ a + b ≥ a + b = a + b ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ a = b 2 2 a = b ( a − b ) = a + b + 2ab = 2a + 2b x ≥ x ≥ ⇔ x −1 = 2x +1 ⇔ ⇔ ⇔ x=4 x − x + = x + x ( x − ) = Kết hợp điều kiện ta có nghiệm S = {4} Bài 69 Giải bất phương trình + x + x ≥ (1 + 3x + x ) Điều kiện x ≥ Bất phương trình cho tương đương với ( x ∈ ℝ) Lời giải 1 + x + x ≥ (1 + x + x ) + x ⇔ + x + x ≥ (1 + x ) + x Đặt + x = u; x = v (1) ( u ≥ 1; v ≥ ) (1) trở thành Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 u + v ≥ ( u + v ) ⇔ u + 2uv + v ≥ ( u + v ) ⇔ ( u − v ) ≤ ⇔ (u − v ) = ⇔ u = v ⇔ + x = x ⇔ x2 + x + = x ⇔ x2 + x + = Kết luận bất phương trình cho vô nghiệm Lời giải Điều kiện x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai cặp số dương (1;1) , + x; x ta có (1 + x + x ) ≤ (1 + ) (1 + x ) ( ) + x = (1 + x + x ) ⇒ + x + x ≤ (1 + x + x ) Bất phương trình cho có nghiệm (2) xảy đẳng thức x ≥ x ≥ ⇔ 1 + x 1 (Hệ vô nghiệm) x ⇔ = x − = − 1 Vậy bất phương trình cho vô nghiệm Lời giải Điều kiện x ≥ Nhận xét x = không nghiệm bất phương trình cho 2 2 1 + x +1 ≥ 2 + + x x x Xét x > , bất phương trình ban đầu trở thành Đặt (2) 1 + x = t ( t > ) ⇒ t = + x + ; ta x x t + ≥ ( t + 1) ⇔ t + 2t + ≥ 2t + ⇔ ( t − 1) ≤ ⇔ t = t = ⇔ + x≥2 x Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có + x = (3) x x = Dẫn đến (3) vô nghiệm x Vậy bất phương trình cho vô nghiệm Bài 70 Giải phương trình 3− x + x + ( x − 3x + ) =1 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với − x + x = + ( x − 3x + ) ⇔ − x + x = ( x − 3x + ) ⇔ − x + x = ( x − x + + x ) Đặt − x = u; x = v ( u ≥ ) ta thu u + v ≥ u + v ≥ u + v = (u + v2 ) ⇔ 2 ⇔ 2 u + v + 2uv = ( u + v ) ( u − v ) = ⇔ u = v ⇔ 2− x = x ⇔ ( Kết hợp điều kiện ta có nghiệm x = )( x −1 ) x + = ⇔ x =1⇔ x =1 Lời giải Điều kiện x ≥ Biến đổi − x + x = + ( x − 3x + ) ⇔ − x + x = ( x − 3x + ) Đặt t ≥ x = t ( t ≥ ) ta có − t + t = ( t − 3t + ) ⇔ t − t − ≤ 4 2 t + t + 4t + − 2t ( t + ) = ( t − 3t + ) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 t ≥ 0 ≤ t ≤ ⇔ ( t + 1)( t − ) ≤ ⇔ ( ∗) + + − − = t t t t ( ) 4 t + 2t − 3t − 4t + = Nhận xét t = không nghiệm hệ Do ta có 0 < t ≤ 0 < t ≤ 0 < t ≤ ⇔ ⇔ ( ∗) ⇔ 2 t + t + t − t − = t − t + t − t + = t − t + 1 = 0 < t ≤ 0 < t ≤ 0 < t ≤ ⇔ ⇔ ⇔ t =1⇔ x =1 2 ( t − 1)( t + ) = t − t + = t + t − = So sánh điều kiện, kết luận nghiệm x = Bài 71 Giải phương trình 1− x x3 + = − x3 + x + ( x3 + x + 1) ( x ∈ ℝ) Lời giải x +2 ≥ 0; x + x + ≠ Phương trình cho tương đương với x + x +1 Điều kiện x3 + x3 + x3 + x3 + 1− x 1− x = − ⇔ + + = ⇔ + = x3 + x + x3 + x + x3 + x + x3 + x + x3 + x + x3 + x + x3 + = t , t ≥ ta thu x3 + x + t ≥ x3 + t ≥ ⇔ ⇔ t = ⇔ = ⇔ x + = x3 + x + ⇔ x = 2 t ∈ − 4;1 x + x +1 } { t + 3t = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Đặt Bài 72 Giải phương trình x + = ( x + 3) − x + x ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện − x + x ≥ Phương trình cho tương đương với − x2 + x − x − x2 + x + x2 − − x2 + x + 3x + = ⇔ ( ) ( − x2 + x − x − ) − x2 + x − x + = − x2 + x = x + − x + x − x = t thu t − 3t + = ⇔ ( t − 1)( t − ) = ⇔ t ∈ {1; 2} ⇔ − x2 + x = x + x ≥ −1 x ≥ −1 x ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅ (1) ⇔ 2 2 − x + x = x + x + 2 x − x + = ( x − 1) = − x x + ≥ x ≥ −2 ⇔ ⇔ x ∈∅ ( 2) ⇔ 2 − x + x = x + x + x = −4 Vậy phương trình đề vô nghiệm Đặt (1) ( 2) 25 x + 21 = − x + 17 x + ( x ∈ ℝ) x+4 Lời giải Điều kiện x ≠ −4; − x + 17 x + ≠ Phương trình cho tương đương với Bài 73 Giải phương trình Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 25 x + 21 = ( x + ) − x + 17 x + ⇔ − x + 17 x + − x − x + 17 x + + x − − x + 17 x + + x + 15 = ⇔ ) ( ( − x + 17 x + − x − ) − x + 17 x + − x + 15 = − x + 17 x + − x = t ta thu Đặt − x + 17 x + = x + (1) t − 8t + 15 = ⇔ ( t − 3)( t − ) = ⇔ t ∈ {3;5} ⇔ − x + 17 x + = x + ( 2) 11 + 97 11 − x + ≥ x ≥ −3 ⇔ ⇔ x ∈ ; (1) ⇔ 2 4 − + + = + + − + = x 17 x x x x 11 x x + ≥ x ≥ −5 ⇔ ⇔ x ∈∅ ( 2) ⇔ 2 − x + 17 x + = x + 10 x + 25 2 x − x + 19 = Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm kể 8x + − x2 + x − = ( x ∈ ℝ) 2x + Lời giải Điều kiện ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với Bài 74 Giải phương trình 16 x + 14 = ( x + ) − x + x − ⇔ − x + x − − x − x + x − + x − − x + x − + x + 20 = ⇔ ( ) ( − x2 + x − − x − ) − x + x − − x + 20 = − x + x − − x = t ta thu Đặt −x2 + x − = x + t − 9t + 20 = ⇔ ( t − )( t − ) = ⇔ t ∈ {4;5} ⇔ −x2 + x − = x + Xét hai trường hợp xảy x + ≥ x ≥ −4 • (1) ⇔ ⇔ ⇔ x∈∅ 2 − x + x − = x + x + 16 2 x + x + 22 = x + ≥ x ≥ −5 • ( 2) ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅ − x + x − = x + 10 x + 25 2 x + x + 31 = Vậy phương trình cho vô nghiệm (1) ( 2) Bài 75 Giải phương trình x + x + = x3 + x − ( x ∈ ℝ) Lời giải 2 Điều kiện x + x − ≥ ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) ≥ ⇔ x ≥ Phương trình cho tương đương với x + x + + ( x − 1) = x − x + x + (1) x − = u; x + x + = v ( u ≥ 0; v > ) ta có Đặt u = v v = 2u (1) ⇔ 2u + v = 3uv ⇔ ( u − v )( 2u − v ) = ⇔ • x ≥ u = v ⇔ x −1 = x2 + 5x + ⇔ (Hệ vô nghiệm) x + 4x + = Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x ≥ x ≥ 2u = v ⇔ x − = x + x + ⇔ ⇔ (Hệ vô nghiệm) x + 5x + = x − x + x + = Vậy phương trình cho vô nghiệm • Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! [...]... Lyhung95 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bài 26 Giải phương trình 2 x 2 − x + 23 = 12 x + 3 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ −3 Phương trình đã cho tương đương với ( ) 2 x 2 − x + 23 = 12 x + 3 ⇔ 2 x 2 − 4 x + 2 + 3 x + 3 − 4 x + 3 + 4 = 0 x − 1 = 0 =0⇔ ⇔ x =1 x + 3 = 2 Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 ⇔ 2 ( x − 1) + 3 2 ( x+3 −2 ) 2 ( x ∈ ℝ) Bài 27 Giải phương trình... = 0 5 Phương trình (2) vô nghiệm vì x + 2 + 3 x + 5 > 0, ∀x ≥ − 3 Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ) (1) ( 2) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x + 3 = 7 − x + x 2 − 11x + 32 Lời giải Bài 33 Giải phương trình Facebook: Lyhung95 ( x ∈ ℝ) Điều kiện −3 ≤ x ≤ 7 Phương. .. nghiệm x ≥ −1 2 2 (1) Bài 29 Giải bất phương trình 9 x 2 + 12 x − 7 < 6 2 x − 1 ( x ∈ ℝ ) Lời giải 1 Điều kiện x ≥ Bất phương trình đã cho tương đương với 2 9 x 2 + 12 x − 7 − 6 2 x − 1 < 0 ⇔ 9 ( 2 x − 1) − 6 2 x − 1 + 1 + 9 x 2 − 6 x + 1 < 0 ( ) ⇔ 3 2 x − 1 − 1 + ( 3 x − 1) < 0 2 2 (1) Ta có (1) vô nghiệm nên bất phương trình đã cho vô nghiệm Bài 30 Giải phương trình 2 ( 3x 2 + x + 2 ) = 1 + 8... x + 3 = 0 ( 2 ) x ≥ −2 x ≥ −2 ⇔ ⇔ x∈∅ (1) ⇔ 2 2 x + 1 = x + 4 x + 4 x + 3 x + 3 = 0 Phương trình (2) vô nghiệm do x + 1 + x + 3 ≥ −1 + 3 = 2 > 0, ∀x ≥ −1 Kết luận phương trình đã cho vô nghiệm ( ) 2x2 + 5x + 4 = 3x + 5 + 1 ( x ∈ ℝ) 3 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với Bài 32 Giải phương trình 3 ( 2 x 2 + 5 x + 4 ) = 3 3 x + 5 + 3 ⇔ 3 ( 2 x 2 + 5 x + 4 ) = 27 x + 54 + 18 3 x... + 1 = x 2 { } Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = −2 2; x = 2 2 Bài 24 Giải phương trình 4 x 2 + 3 =2 x 4 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ 0 Phương trình đã cho tương đương với 16 x 2 + 3 = 8 x ⇔ 16 x 2 − 8 x + 1 + 8 x − 8 x + 2 = 0 2 4 x − 1 = 0 1 2 ⇔ ( 4 x − 1) + 2 2 x − 1 = 0 ⇔ ⇔x= 4 2 x − 1 = 0 1 Đối chiếu điều kiện đi đến nghiệm x = 4 ( x −1 + Bài 25 Giải phương trình 7 1 = 4x... ≤ < x+3< + x + 3, ∀x ∈ ; 10 nên (1) vô nghiệm 2 3 x+8 +3 2 3 + 10 − x Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x = 1 ⇔ = Bài 39 Giải phương trình 3 3x + 1 + 2 5 − x 2 + x 2 + x = 12 ( x ∈ ℝ) Lời giải 1 Điều kiện − ≤ x ≤ 5 Phương trình đã cho tương đương với 3 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 –... thấy x + 2 x + 4 > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ 3 x −4 +2 Suy ra (1) vô nghiệm Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 x3 − 8 Bài 42 Giải phương trình 2 x ( 4 x − 3) + 2 x + 3 = x 3 − x 2 + 6 x + 1 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện −3 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 3 Phương trình đã cho tương đương với 4 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG... x+6 +3 x +1 + 2 x +1 x +1 1 5 1 1 < + − = ( x + 1) − < x +1− < x +1 2 3 x +1 + 2 6 x +1 + 2 x +1 + 2 Do đó phương trình (1) vô nghiệm Kết luận phương trình ban đầu vô nghiệm Bài 47 Giải bất phương trình 2 x 3 + 19 x 2 + 63 x + 76 > 3 3 x + 9 + ( 2 x + 5 ) x + 2 Lời giải Điều kiện x ≥ −2 Bất phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( x ∈ ℝ) 3 x + 4 − 3 x + 9 + ( 2 x + 5 ) x + 3 − x + 2 + 2 x3 +... nghiệm) 2 2 4 2 Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 1 2 2 13x − 23 2 Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình đã cho tương đương với Bài 51 Giải phương trình 3 ( x3 − 3x 2 + 7 ) = 7 3 x3 − 3x 2 + 7 = ( x ∈ ℝ) 7 3 13 x − 23 3 2 ⇔ x3 − 3x 2 + 3x − 1 − 3x + 8 = ⇔ ( x − 1) − 3 x + 8 = 3 7 3 13 x − 23 3 2 7 3 7 ( x − 1) + 3x − 8 3 2 13x − 23 = v ta thu được hệ phương trình 2 7 3 u −... 2 2 2 2 a + b = 2 ( a + b ) − 2a b = 2 Bài 54 Giải phương trình 4 ⇔ 2 ( 2 − ab ) − a 2b 2 = 1 ⇔ a 2b 2 − 8ab + 7 = 0 ⇔ ( ab − 1)( ab − 7 ) = 0 2 Loại trường hợp ab = 7 Với ab = 1 ⇒ ( 3 − 2 x )( 4 x − 3) = x 2 ⇔ 9 x 2 − 18 x + 9 = 0 ⇔ x = 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 Bài 55 Giải phương trình 4 Lời giải Điều kiện x ≥ 1 Phương trình đã cho tương đương với 1 + 4 1 − Đặt 4 1 ... Facebook: Lyhung95 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRỌNG TÂM GIẢI PT VÀ BẤT PT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN x4 − x + Bài Giải bất phương trình x2... Kết luận phương trình ban đầu có ba nghiệm kể ⇔ ( ) Bài 10 Giải bất phương trình 2 x − x − x ≤ 3x − x Lời giải Điều kiện x ≤ ∨ x ≥ Xét x = , bất phương trình cho nghiệm Xét x ≥ , bất phương trình... Phương trình (2) vô nghiệm x + + x + ≥ −1 + = > 0, ∀x ≥ −1 Kết luận phương trình cho vô nghiệm ( ) 2x2 + 5x + = 3x + + ( x ∈ ℝ) Lời giải Phương trình cho tương đương với Bài 32 Giải phương