Phần tử hai chiều chịu kéo và nén trong mặt phẳng phần tử

5/30/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Bộ môn Cầu Công trình ngầm Website: http://www.nuce.edu.vn Website: http://bomoncau.tk/ PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: http://phuongphapso.tk/ Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 CHƯƠNG IV Phần tử hai chiều chịu kéo nén mặt phẳng phần tử 202 5/30/2015 Nội dung chương • 4.1. Phần tử dạng tam giác chịu kéo nén mặt phẳng phần tử • 4.2. Phần tử dạng chữ nhật chịu kéo nén mặt phẳng phần tử 203 4.1. Phần tử dạng tam giác • Chọn đa thức xấp xỉ ma trận hàm dạng – Xét phần tử dạng tam giác hình vẽ. Phần tử có nút i, j, k là đỉnh tam giác. Mỗi nút có 2 bậc tự 2 thành phần chuyển vị theo phương x và y i vk = q6 j uk = q6 k v(x,y) vj = q4 u(x,y) vi = q2 (x,y) j y i k ui = q3 ui = q1 x – Véc tơ chuyển vị nút phần tử tập hợp bậc tự do của 3 nút thuộc phần tử: qe  ui vi uj vj uk vk   q1 T q2 q3 q4 q5 q6  T 204 5/30/2015 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Do véc tơ {q}e có 6 thành phần, véc tơ tham số {a} của đa thức xấp xỉ bao gồm 6 thành phần ae  a1 a2 a3 a4 a5 a6  T – Khi theo tam giác Pascal, trường chuyển vị tuyến tính • Véc tơ chuyển vị điểm có tọa độ (x,y) thuộc phần tử gồm 2 thành phần u và v được viết sau: u  x, y   a1  a2 x  a3 y  1    v  x, y  e a4  a5 x  a6 y  0 d e    a1  a   2 x y 0   a3    0 x y   a4   a5     a6  205 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Tam giác Pascal cho toán 2 chiều 206 5/30/2015 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Viết lại {d}e gọn sau: {d}e = [F(x,y)] {a}    P  x, y   đó:  F  x, y       0 (*)  0    P  x, y   với [P(x,y)] là ma trận đơn thức:  P  x, y    1 x y  – Thực đồng chuyển vị nút với giá trị hàm chuyển vị nút. Ví dụ thực đồng nút i như sau: u      F  xi , yi   a v nút i 207 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Tương tự thực đồng cho nút j và k ta sẽ tìm véc tơ chuyển vị nút {q}e sau: qe u      v nút i    F  x , y    i i      u          F  x j , y j    a  v nút j       F  xk , yk    u   v nút k    đó: (xi,yi) ; (xj,yj) và (xk,yk) lần lượt tọa độ nút i,  j và k của phần tử xét 208 5/30/2015 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Viết lại {q}e sau: qe   q1  u   1    q   v    nút i   2   q3  u   1          q4  v nút j   q5    1   u    q6  v nút k     xi yi 0  a1  0 xi yi  a2    x j y j 0  a3    0 x j y j   a4   xk yk 0  a5    0 xk yk  a6  Hoặc viết gọn lại sau: qe   H a 209 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Từ phương trình véc tơ chuyển vị nút {q}e : qe   H a => Có thể tìm véc tơ tham số {a} như sau: a   H  qe 1 Với: [H]‐1 ma trận nghịch đảo ma trận [H] 210 5/30/2015 Phần tử dạng tam giác (t.theo) có : xk yi  xi yk xi y j  x j yi  x j yk  xk y j  yk  yi yi  y j  y j  yk  x x x x x x   k j i k j i 1  H    x j yk  xk y j xk yi  xi yk xi y j  x j yi 0 2A  y j  yk yk  yi yi  y j 0   xk  x j xi  xk x j  xi 0            A là diện tích phần tử (diện tích tam giác có 3  đỉnh i, j, k): 1  A  det 1 1  yi   y j    x j yk  xk y j  xk yi  xi yk  xi y j  x j yi  yk  xi xj xk 211 Phần tử dạng tam giác (t.theo) viết lại [H]‐1 ngắn gọn sau:    y jk  xkj 1  H    2A  0 0  đó: aj ak yki yij xik x ji aj y jk yki xkj xik i x j k      ak   yij  x ji  i y j k  x j yk  xk y j xkj  xk  x j y jk  y j  yk a j  xk yi  xi yk xik  xi  xk yki  yk  yi ak  xi y j  x j yi x ji  x j  xi yij  yi  y j 212 5/30/2015 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Sau tìm véc tơ tham số {a}  => thay {a} vào phương trình (*) để tìm chuyển vị {d}  d e   F  x, y  a   F  x, y   H  qe   N  x, y   qe 1 (**)  N  x, y    đó:                        ma trận hàm dạng  N  x, y     F  x, y    H  1    y jk  1 x y 0   xkj  N  x, y    A 0 0 x y  0  0  0 Với: aj ak yki yij xik x ji aj y jk yki xkj xik 0      ak   yij  x ji  213 Phần tử dạng tam giác (t.theo) Hay: N j  x, y  N k  x, y   N i  x, y    N  x, y      0 N i  x, y  N j  x, y  N k  x, y    đó:   N i  x, y   A  y jk  x  xk   xkj  y  yk      yki  x  xi   xik  y  yi    N j  x, y   A    N k  x, y   A  yij  x  x j   x ji  y  y j    viết gọn nữa:   N i  x, y   A   y jk x  xkj y     a j  yki x  xik y   N j  x, y   A    N k  x, y   A  ak  yij x  x ji y   214 5/30/2015 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Một số nhận xét: – (1) Nhận xét #1 • Hàm dạng Ni(x,y) sẽ có giá trị 1 tại nút i và 0 tại nút j, k tương tự: • Hàm dạng Nj(x,y) sẽ có giá trị 1 tại nút j và 0 tại nút k, i • Hàm dạng Nk(x,y) sẽ có giá trị 1 tại nút k và 0 tại nút i, j 215 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Do chuyển vị điểm phần tử tuyến tính nên đồ thị hàm dạng có dạng mặt phẳng biểu diễn sau: k Nk(x,y) k i j Ni(x,y) k i j i Nj(x,y) j 216 5/30/2015 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Chứng minh hàm dạng Ni(x,y) có giá trị 1 tại nút i và 0 tại nút j, k như sau: N i  xi , yi     y jk xi  xkj yi  2A    x j yk  xk y j    y j  yk  xi   xk  x j  yi   2A   2A  x j yk  xk y j    xi y j  yi x j    yi xk  xi yk     2A 1 2A  Ni  x j , y j     y jk x j  xkj y j  2A    x j yk  xk y j    y j  yk  x j   xk  x j  y j   2A    x j yk  xk y j    x j y j  x j yk    y j xk  y j x j     2A  217 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – (2) Nhận xét #2 • Tổng hàm dạng  N  x , y  N  x , y   N  x , y   N  x , y   i j k • Chứng minh như sau:  N  x, y   A a  y i  jk x  xkj y   1  a j  yki x  xik y    ak  yij x  x ji y  2A  2A    a j  ak    y jk  yki  yij  x   xkj  xik  x ji  y   2A   y jk  yki  yij   y j  yk  yk  yi  yi  y j   Do  xkj  xik  x ji   xk  x j  xi  xk  x j  xi     a j  ak   A nên 2A  N  x, y   A  218 5/30/2015 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – (3) Nhận xét #3 • Từ phương trình (**), các thành phần chuyển vị theo phương x, y của điểm thuộc phần tử biểu diễn q  sau:   d e   N  x, y  qe q2   q3    N k  x, y   q4  q5    q6   N i  x, y  0 N j  x, y  N k  x, y   0 N i  x, y  N j  x, y   hoặc: u  x, y   q1 N i  x, y   q3 N j  x, y   q5 N k  x, y   v  x, y   q2 N i  x, y   q4 N j  x, y   q6 N k  x, y  uk=q5 u k hoặc: u  x, y   ui N i  x, y   u j N j  x, y   uk N k  x, y   v  x, y   vi N i  x, y   v j N j  x, y   vk N k  x, y  ui=q1 i uj=q3 u(x,y) j 219 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Chuyển vị = ma trận hàm dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử d e   N  x, y  qe – Tương tự, Biến dạng = ma trận biến dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử  e   B  x, y   qe Ma trận biến dạng [B] được xác định cách lấy đạo hàm ma trận hàm dạng [N] như sau:  B 3 6     N  x, y   3 2   6 220 10 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Viết lại {q}e sau: qe  u  q1     1 q  v nút i    2    u q3     1    v    q4   nút j      q5  u   1 q6  v    nút k      q   u   1 q     0   v nút l     0 0 0 0 0 a 0 0 a a 0 b 0 0 b a 0 b b ab 0 1  a1   a   2  a3     a4     a5   ab  a6     a7    a8  0 Hoặc viết gọn lại sau: qe   H a 245 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Từ phương trình véc tơ chuyển vị nút {q}e : qe   H a => Có thể tìm véc tơ tham số {a} như sau: a   H  qe Với: [H]‐1 ma trận nghịch đảo ma trận [H] 1  ab  b  a  1 1  H    ab      0 0 ab b a b 0 0 0 1 0 0 b 0 0 1 0 0 0  a 0  1  0 0  0 0 0 a   1 246 23 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Sau tìm véc tơ tham số {a}  => thay {a} vào phương trình (*) để tìm chuyển vị {d}  d e   F  x, y  a   F  x, y    H  qe   N  x, y   qe 1 (**)  N  x, y    đó:                        ma trận hàm dạng  N  x, y     F  x, y    H  1  ab  b   a  1 x y xy 0 0    N  x, y    ab 0 0 x y xy          Với: 0 0 b 1 ab b a 0 0 0  0  0 0  0 a   1 0 0 0 0 a 1 0 b 0 1 0 0 0 0 0 247 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) Hay:  Ni  N  x, y      0 Nj Nk Nl Ni Nj Nk l đó:  y  x   N i  1  a 1  b       x y  N j  1    a b   N  xy  k ab i  y x   N  1 l   b a  k Ni   N l  i l j Nj i l k j k Nk k j l Nl i j 248 24 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) • Một số nhận xét: – (1) Nhận xét #1 • Hàm dạng Ni(x,y) sẽ có giá trị 1 tại nút i và 0 tại nút j, k, l tương tự: • Hàm dạng Nj(x,y) sẽ có giá trị 1 tại nút j và 0 tại nút k, i, l • Hàm dạng Nk(x,y) sẽ có giá trị 1 tại nút k và 0 tại nút i, j, l • Hàm dạng Nl(x,y) sẽ có giá trị 1 tại nút l và 0 tại nút i, j, k 249 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – (2) Nhận xét #2 • Tổng hàm dạng j i k l  N  x, y  N  x, y   N  x, y   N  x, y   N  x, y   i j k l – (3) Nhận xét #3 • Từ phương trình (**), các thành phần chuyển vị theo phương x, y của điểm thuộc phần tử biểu diễn sau: d e   N  x, y  qe q   Ni Nj Nk Nl  Ni Nj Nk d e   q   2  q3      q4    N l   q5   q6     q7     q8  250 25 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) hoặc: u  x, y   q1 N i  x, y   q3 N j  x, y   q5 N k  x, y   q7 N l  x, y   v  x, y   q2 N i  x, y   q4 N j  x, y   q6 N k  x, y   q8 N l  x, y  hoặc: u  x, y   ui N i  x, y   u j N j  x, y   uk N k  x, y   ul N l  x, y   v  x, y   vi N i  x, y   v j N j  x, y   vk N k  x, y   vl N l  x, y  vl=q8 ul=q7 uk=q5 u l vk=q6 v k ui=q1 l k vi=q2 uj=q3 i u(x,y) j vj=q4 i v(x,y) j 251 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Chuyển vị = ma trận hàm dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử d e   N  x, y  qe – Tương tự, Biến dạng = ma trận biến dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử  e   B  x, y   qe Ma trận biến dạng [B] được xác định cách lấy đạo hàm ma trận hàm dạng [N] như sau:  B 3  8     N  x, y        8 252 26 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) Ma trận lấy đạo hàm [∂] có dạng:      x        x      y     y  Thực đạo hàm để lấy ma trận biến dạng [B]  B  b  y  b y    a  x x  ab    a  x   b  y   x b  y y 0 x x y y   a  x a  x  y  253 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng phần tử – Ma trận độ cứng phần tử xác định sau  K e    B   D  B  dV T V Do  B      N  x, y      F  x, y   H  Hoặc:  B    B ' H  1 1 Trong đó:  B '     3  8 3  2    x   F  x, y        8    x      1 x y xy 0 0   y   0 0 x y xy     y  254 27 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) Thực đạo hàm để lấy ma trận [B’] như sau: 0  B '  0  y 0 0 0 0 1 x 0 x  y  – Do vậy, ma trận độ cứng phần tử viết lại sau:  K e    B   D  B  dV    H    B '  D B ' H  1 T T V 1 T dV V – Có thể đưa ma trận [H]‐1 ([H]‐1)T dấu tích phân do các ma trận không chứa biến x và y. Do đó:  K e    B   D  B  dV   H   1 T T V b a  T 1     B '  D  B '  t  dxdy   H  0  255 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Thực phép nhân ma trận dấu tích phân ta được:      T  B '  D  B '  C1       Trong đó:   0 y  x y  x 2 0 0  x 0  Đối xứng     y  C2 y xy    C2    0   y  x  x   y  C2 C2 x  C2 • Các giá trị C1 và C2 là tham số phụ thuộc vào phần tử toán ứng suất phẳng (1) hay bài toán biến dạng phẳng (2) 256 28 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Tiếp tục thực tích phân b a b a  M      B '  D  B '  t  dxdy  t     B '  D  B 'dxdy T T 0 0           M   C1tab           Ta được: 0 b a b2   a 0  0  a  Đối xứng   C2 a  C2   b      C2   C2 b ab    0  b    a   a  b    257 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Thực phép nhân ma trận ta được ma trận độ cứng phần tử tứ giác sau:  K e   H    M  H  1 T k11 k12 k13  k k 22 23   k33  C1t   K e   ab    Đối xứng   1 k14 k15 k16 k17 k18  k24 k25 k26 k27 k28  k34 k35 k36 k37 k38   k44 k45 k46 k47 k48  k55 k56 k57 k58   k66 k67 k68  k77 k78  k88  258 29 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) k11  b2   a k15   k12  ab a  b 2 a  b a  b k26   k22  2    C2  k16  ab    C2  k23  k18 k27  k14 k13  k17   a  2b b  2 a 2 a  2 b  b  2a k28  k24  2 k14  ab k18  ab    C2     C2  k25  k16 k33  k11 k34  k16 k35  k17 k36  k14 k37  k15 k38  k12 k44  k22 k45  k18 k46  k28 k47  k12 k48  k26 k55  k11 k56  k12 k57  k13 k58  k14 k66  k22 k67  k18 k68  k24 k77  k11 k78  k16 k88  k22 259 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Khi vật liệu đẳng hướng có đặc trưng vật liệu là: mô đun đàn hồi E, và hệ số Poatxong v thì tham số C1 C2  tính sau:  • (1) Bài toán ứng suất phẳng C1  E  C2   • (2) Bài toán biến dạng phẳng C1  1   E 1  1  2  C2    260 30 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) • Ví dụ 4.2.  Xét toán ứng suất phẳng gồm 2 phần tử có kích thước hình vẽ. Biết vật liệu phần tử đẳng hướng có mô đun đàn hồi Eo, hệ số Poisson vo ; chiều dày phần tử to y Eo = 200000MPa vo = 0.3    to = 5 mm a = 1800 mm b = 1600 mm w = 400N/mm b 1 a/2 w x a/2 – Tìm chuyển vị nút tác dụng tải trọng phân bố w 261 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) 262 31 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) 263 264 32 5/30/2015 265 266 33 5/30/2015 267 268 34 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) 269 270 35 5/30/2015 271 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) 272 36 5/30/2015 273 274 37 [...]... 5/30/2015 4.2. Phần tử dạng tứ giác • Chọn đa thức xấp xỉ và ma trận hàm dạng j i – Xét phần tử dạng tứ giác trong k y hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.  vl = q8 vk = q6 ul = q7 l k Phần tử có 4 điểm nút i, j, k,  uk = q5 và l là các đỉnh của hình chữ b e vi = q2 vj = q4 nhật. Mỗi nút có 2 bậc tự x do là 2 thành phần chuyển vị i j uj = q3 ui = q1 a theo phương x và y – Véc tơ chuyển vị nút của phần tử là tập hợp... 5/30/2015 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Khi vật liệu là đẳng hướng và có các đặc trưng vật liệu là: mô đun đàn hồi E, và hệ số Poatxong v thì các tham số C1 và C2  được tính như sau:  • (1) Bài toán ứng suất phẳng C1  E 1  2 C2   • (2) Bài toán biến dạng phẳng C1  1   E 1  1  2  C2   1  225 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Ví dụ 4.1.  Xét bài toán ứng suất phẳng gồm 2 phần tử tấm... hằng số 221 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng phần tử – Ma trận độ cứng phần tử được xác định như sau  K e    B   D  B  dV T V Vì độ dày của phần tử là t không đổi, các thành phần của ma trận [B] và [D] cũng là các hằng số do đó:  K e    B   D  B  tdA   B   D  B  t  dA T T A A Vậy:  K e  tA  B   D  B  T 222 11 5/30/2015 Phần tử dạng tam giác... 259 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Khi vật liệu là đẳng hướng và có các đặc trưng vật liệu là: mô đun đàn hồi E, và hệ số Poatxong v thì các tham số C1 và C2  được tính như sau:  • (1) Bài toán ứng suất phẳng C1  E 1  2 C2   • (2) Bài toán biến dạng phẳng C1  1   E 1  1  2  C2   1  260 30 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) • Ví dụ 4.2.  Xét bài toán ứng suất phẳng gồm 2 phần. .. 2 phần tử tấm có kích thước như hình vẽ. Biết vật liệu của các phần tử là đẳng hướng và có mô đun đàn hồi Eo, hệ số Poisson vo ; chiều dày của các tấm phần tử là to y Eo = 200000MPa vo = 0.3    to = 5 mm a = 1800 mm b = 1600 mm w = 400N/mm 5 6 b 1 1 4 2 a/2 w 2 3 x a/2 – Tìm chuyển vị tại các nút dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều w 261 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) 262 31 5/30/2015 Phần tử dạng... các bậc tự do của cả 4 nút thuộc phần tử: qe  ui l vi u j v j uk vk ul vl   q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8  T T 241 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Do véc tơ {q}e có 8 thành phần,  véc tơ tham số {a} của đa thức xấp xỉ cũng bao gồm 8 thành phần ae  a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8  T – Véc tơ chuyển vị của một điểm bất kỳ có tọa độ (x,y) thuộc phần tử sẽ gồm 2 thành phần u và v được viết như sau: u  x,... giá trị C1 và C2 là các tham số phụ thuộc vào tấm phần tử của bài toán ứng suất phẳng (1) hay bài toán biến dạng phẳng (2) – Thực hiện các phép nhân ma trận ta được ma trận độ cứng của phần tử tam giác như sau:  K e Nếu đặt  k11 k12 k13  k22 k23  k33 Ct   1  4A    Đối xứng   1  C2 2 k14 k24 k15 k25 k34 k44 k35 k45 k55 k16  k26  k36   k46  k56   k66  thì các số hạng trong ma trận... phẳng gồm 2 phần tử tấm có kích thước như hình vẽ. Biết vật liệu của các phần tử là đẳng hướng và có mô đun đàn hồi Eo, hệ số Poisson vo ; chiều dày của các tấm phần tử là to Eo = 200000MPa vo = 0.3    to = 5 mm a = 1800 mm b = 1600 mm w = 400N/mm y 4 3 2 b w 1 2 1 x a – Tìm chuyển vị tại các nút và ứng suất trong các tấm khi các tấm chịu tải trọng phân bố đều w 226 13 5/30/2015 227 228 14 5/30/2015 229... 251 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Chuyển vị = ma trận hàm dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử d e   N  x, y  qe – Tương tự, Biến dạng = ma trận biến dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử  e   B  x, y   qe Ma trận biến dạng [B] được xác định bằng cách lấy đạo hàm của ma trận hàm dạng [N] như sau:  B 3  8     N  x, y    3  2   2  8 252 26 5/30/2015 Phần tử dạng...  0 x 0 0  Đối xứng     0 y  C2 y xy    C2    0 0   0 y  1 x  x 2   y 2  0 C2 0 C2 x 1  C2 2 • Các giá trị C1 và C2 là các tham số phụ thuộc vào tấm phần tử của bài toán ứng suất phẳng (1) hay bài toán biến dạng phẳng (2) 256 28 5/30/2015 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Tiếp tục thực hiện tích phân b a b a  M      B '  D  B '  t  dxdy  t     B '  D  B 'dxdy ... 4.1. Phần tử dạng tam giác chịu kéo nén mặt phẳng phần tử • 4.2. Phần tử dạng chữ nhật chịu kéo nén mặt phẳng phần tử 203 4.1. Phần tử dạng tam giác • Chọn đa thức xấp xỉ ma trận hàm dạng – Xét phần. .. Chú ý: các thành phần ma trận [B] là số => biến dạng ứng suất phạm vi phần tử số 221 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng phần tử – Ma trận độ cứng phần tử xác định sau ... Phần tử dạng tam giác (t.theo) Các giá trị C1 và C2 là tham số phụ thuộc vào phần tử toán ứng suất phẳng (1) hay bài toán biến dạng phẳng (2) – Thực phép nhân ma trận ta được ma trận độ cứng phần