Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén

5/30/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Bộ môn Cầu Công trình ngầm Website: http://www.nuce.edu.vn Website: http://bomoncau.tk/ PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: http://phuongphapso.tk/ Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 CHƯƠNG III Tính hệ chịu uốn kéo nén 109 5/30/2015 Nội dung chương • 3.1. Các ký hiệu quy ước • 3.2. Phần tử dầm (Beam) • 3.3. Phần tử khung phẳng (Frame‐2D) • 3.4. Phần tử khung không gian (Frame‐3D) 110 3.1. Các ký hiệu quy ước • Các ký hiệu địa phương – Hệ trục tọa độ địa phương: o123 – Biến số trục 1, 2, và x, y, và z – Các chuyển vị thẳng “Nút i" theo hệ tọa độ địa phương ui1 , ui2 , và ui3 – Các chuyển vị xoay “Nút i" theo hệ tọa độ địa phương ui11 , ui22 , và ui33 – Các lực tác dụng “Nút i” của phần tử theo phương trục 1, 2, và 3 lần lượt là: fi1 , fi2 , và fi3 – Các lực mô men tác dụng “Nút i” của phần tử theo phương trục 1, 2, và 3 lần lượt : fi11 , fi22 , và fi33 111 5/30/2015 Các ký hiệu quy ước (t.theo) – – – – – Ma trận độ cứng phần tử theo hệ tọa độ địa phương: [k] Véc tơ chuyển vị nút “Nút j” của phần tử: {uj} Véc tơ lực nút “Nút j” của phần tử: {fj} Véc tơ chuyển vị nút phần tử: {u} Véc tơ lực nút phần tử: {f} • Các ký hiệu tổng thể – Hệ trục tọa độ tổng thể: OXYZ – Các chuyển vị thẳng “Nút n" theo hệ tọa độ tổng thể bao gồm: UnX , UnY , và UnZ – Các chuyển vị xoay “Nút n" theo hệ tọa độ tổng thể bao gồm: UnXX , UnYY , và UnZZ 112 Các ký hiệu quy ước (t.theo) – Các lực tác dụng “Nút n” theo hệ tọa độ tổng thể gồm: FnX ,  FnY , và FnZ – Các lực mô men tác dụng “Nút n” theo hệ tọa độ tổng thể gồm: FnXX , FnYY , FnZZ – Ma trận độ cứng phần tử theo hệ tọa độ tổng thể: [K] j – – – – Véc tơ chuyển vị nút “Nút n” : {Un} Véc tơ lực nút “Nút n” : {Fn} Véc tơ chuyển vị nút phần tử: {U} Véc tơ lực nút phần tử: {F} Y i O X Z 113 5/30/2015 Các ký hiệu quy ước (t.theo) – Ma trận độ cứng tổng thể hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: [Ks] – Véc tơ chuyển vị nút tổng thể hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: {Us} – Véc tơ lực nút tổng thể hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: {Fs} – Ma trận độ cứng tổng thể hệ kết cấu kể tới điều kiện biên: [Ko] – Véc tơ chuyển vị nút tổng thể hệ kết cấu kể tới điều kiện biên: {Uo} – Véc tơ lực nút tổng thể hệ kết cấu kể tới điều kiện biên: {Fo} 114 3.2. Phần tử dầm • Chọn đa thức xấp xỉ ma trận hàm dạng θj = uj33 – Khi bỏ qua biến dạng dọc trục, mọi điểm phần tử tồn chuyển vị thẳng theo trục 2 và chuyển vị xoay quanh trục song song với trục vj = uj2 θi = ui33 vi  = ui J, E j i L ui33 uj33 u i2 u j2 – Một điểm có tọa độ x (0 ≤ x ≤ L) trên phần tử có chuyển vị thẳng v(x) theo trục 2 và chuyển vị xoay tương ứng quanh trục 3 là θ(x) = dv/dx 115 5/30/2015 Phần tử dầm (t.theo) – Số bậc tự do của phần tử 4, do đó số phần tử véc tơ tham số {a} cũng 4 và đa thức xấp xỉ bậc θj = uj33 vj = uj2 θi = ui33 vi  = ui J, E j i L ui33 – Ta chọn đa thức xấp xỉ uj33 để biểu diễn hàm chuyển u i2 u j2 vị phần tử sau: v(x) = a1 + a2x + a3x2 + a4x3 Góc xoay mặt cắt ngang đạo hàm v(x) θ(x) = 0 + a2 + 2a3x + 3a4x2 116 Phần tử dầm (t.theo) – Thực đồng hàm chuyển vị chuyển vị nút: Tại nút i: u2i  vi  v x 0  a1 ui33 uj33 i i u33  i  Tại nút j: dv dx  a2 u i2 j u j2 x 0 u2j  v j  v x  L  a1  a2 L  a3 L2  a4 L3 u33j   j  dv dx  a2  2a3 L  3a4 L2 xL 117 5/30/2015 Phần tử dầm (t.theo) Nếu đặt: q1  u2i θj = q4 y i q2  u33 q3  u θi = q2 j vi = q1 q4  u33j thì: vj = q3 J, E j i q4 q2 q1  a1 x L q1 q3 q2  a2 q3  a1  a2 L  a3 L2  a4 L3 q4  a2  2a3 L  3a4 L2 118 Phần tử dầm (t.theo) – Hoặc viết dạng ma trận  q1  1 q  0  2     q3  1 q4  0   a1   a2    L L2 L3   a3   L 3L2  a4  0 Trong đó: 1 0  A     0   L L2 L3   L 3L2  0 hay: 1 0  1   A   32 L 2  L3 qe   Aa 0 2 L L2 L2 2 L3 0  1  L  1 L2  119 5/30/2015 Phần tử dầm (t.theo) qe   Aa a   A qe 1  – Hàm chuyển vị v(x) của dầm viết lại sau: v  x    P  x   a   P  x    A 1 qe   N  x   e qe [N(x)]e ma trận hàm dạng phần tử dầm:  N  x   e   P  x    A 1  N  x   e  1 x x2 1 0   3  x   L 2  L3 0 2 L L2 L2 2 L3 0  1    N  L 1 L2  N2 N3 N4  120 Phần tử dầm (t.theo) – Như vậy, hàm chuyển vị v(x) của phần tử dầm chịu uốn là: v  x    N e qe   N i  x   qi i 1 đó: N1   x2 x3  L2 L3 N2  x  x x3  L L2 N3  x2 x3  L2 L3 N4   x x3  L L2 121 5/30/2015 Phần tử dầm (t.theo) – Với giả thiết mặt phẳng dầm phẳng bị xoay góc θ  dv dx do đó, chuyển vị dọc trục u có quan hệ với độ võng v như sau: u   y sin     y dv dx dv dx dv dx v y u  y dv dx 122 Phần tử dầm (t.theo) – Biến dạng dọc trục  du d 2v  y dx dx – Hàm chuyển vị v  x    N e qe , do đó biến dạng viết lại sau:   y d  N e dx qe   B qe đó:  B   y d  N e dx N1   x2 x3 2 L2 L N2  x  x x3  L L2 N3  x2 x3 2 L2 L N4   x2 x3  L L2 123 5/30/2015 Phần tử dầm (t.theo) khai triển ma trận tính biến dạng [B]:  12 x   x   12 x   x                L   L L  L L   L L   L  B    y   – Ứng suất điểm dầm chịu uốn   E  E  B qe – Ma trận độ cứng phần tử dầm xác định sau: k     B T Ve E  B  dV E    B   B  dF  dx T LF 124 Phần tử dầm (t.theo) khai triển ma trận độ cứng phần tử [k] như sau: u i2 i u33 u2j u33j u2i 12 L 12 L   L2 6 L L2  EI  k   33  12 6 L  L  Đối xứng  L2   i u33 u2j u33j ui u i2 33 i u j2 uj33 j I 33   y dF đó:                         là mô men quán tính mặt cắt ngang F lấy trục 3 (là trục z vuông góc với mặt phẳng chứa dầm) 125 5/30/2015 Phần tử dầm (t.theo) – Do hệ tọa độ tổng thể trùng với hệ tọa độ địa phương nên: U Yi i U ZZ U Yj U ZZj 12 L 12 L   L2 6 L L2  EI  K    k   33  12 6 L  L  Đối xứng  L2   U Yi i U ZZ U Yj U ZZj Y Ui UiY ZZ UjY UjZZ j i X 126 Phần tử dầm (t.theo) • Ví dụ 3.1.  Cho kết cấu dầm liên tục hình vẽ: P 1 Lo/2 w Eo, Io Lo/2 2 Eo, 2Io Lo Eo = 200000MPa Io = 20000mm4 Lo = 4000mm P = 15000N w = 4N/mm – Tìm chuyển vị góc xoay gối – Vẽ biểu đồ mô men uốn hệ 127 10 5/30/2015 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B10). Các giá trị nội lực cuối nút phần tử (theo hệ tọa đô tổng thể) là tổng 2 nguyên nhân bằng:  {MV}e = {Fu}e + {Fp}e Các giá trị véc tơ {MV}e thực chất lực ngang, lực đứng mô men tại 2 nút phần tử theo hệ tọa độ tổng thể MV e  FXi   i   FY  F i      ZZj   FX  F j   Y  j  FZZ  166 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B11). Vẽ biểu đồ mô men và lực cắt phần tử Do các giá trị véc tơ {MV}e nội lực nút phần tử hệ tọa độ tổng thể => Để vẽ biểu đồ nội lực cần quy đổi giá trị nội lực hệ tọa độ địa phương phần tử. Tiến hành làm sau: mve i i  N i  l  FX  m  FY  V   i i   i   m  FX  l  FY    M i   F i  ZZ   j j  N  j  l  FX  m  FY  V j   m  F j  l  F j  X Y      M j   FZZj  167 30 5/30/2015 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Hoặc biểu diễn dạng véc tơ sau: mve  T MV e đó, [T] là ma trận chuyển từ hệ tọa độ tổng thể sang hệ tọa độ địa phương:  l m 0 0  m l 0 0     0 0 0 T     m 0  0 l  0 m l 0    0 0 1 l X j  Xi L L X ; m L  X i   Y j  Yi  j Y j  Yi 168 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) w “Nội lực khung” bằng “Nội lực do tải trọng cục tác dụng lên khung bị chốt nút”  cộng với “Nội lực khung do các chuyển vị nút gây ra” 169 31 5/30/2015 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) w • Ví dụ 3.2.  Cho hệ khung phẳng hình vẽ – Phần tử 1 và 2 có chiều dài Lo mô đun đàn hồi Eo – Mô men quán tính phần tử 1 là Io, của phần tử 2 là 2Io Yêu cầu: 1. Tìm chuyển vị nút phản lực nút 2. Vẽ biểu đồ mô men uốn P Lo 1 E  2Io E  Io Lo Eo = 200000MPa Ao = 6000mm2 Io = 500000mm4 Lo = 4000mm P = 15000N w = 3N/mm 170 171 32 5/30/2015 172 173 33 5/30/2015 174 175 34 5/30/2015 Xem giải thích ở  cuối ví dụ ! 176 177 35 5/30/2015 178 179 36 5/30/2015 180 181 37 5/30/2015 182 183 38 5/30/2015 184 Giải thích cách tạo ma trận Kof U Xi U Yi i U ZZ  12I   12I   6I   Al  L2 m   A L2 lm  L  m          12I   6I    Am  l   l L   L     4I  E  K   L       Đối xứng   U Xj U Yj U ZZj 12I    12I   6I    Al2  m2   A lm   m U Xi L L     L  12I   6I   i  12I    A lm  Am2  l2   l  U Y L  L  L     i  6I   6I   l  2I   U ZZ  m  L  L   12I   6I   U Xj  12I   Al  m   A lm  m  L  L     L  j  12I   6I   U Y  Am  l   l  L    L   4I   U ZZj 185 39 5/30/2015 Giải thích cách tạo ma trận Kof d i  d j  1  N / mm N  mm  mm mm  d i  d j  1  N / mm N  mm  mm mm  di  d j  1 33  33 di  d j    N / mm mm  N mm mm   di  d j   33  66 di  d j  33  33  1089 N / mm N  mm  mm mm N / mm mm  N mm mm   N / mm  mm  N  mm mm 186 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Bài tập 3.3.  Cho hệ khung phẳng hình vẽ Yêu cầu: 1. Tìm chuyển vị nút phản lực nút 2. Vẽ biểu đồ mô men uốn Eo Io P w Eo = 200000MPa Ao = 6000mm2 Io = 500000mm4 Lo = 4000mm P = 15000N w = 3N/mm 60o Lo Eo 2Io Eo Io Lo 187 40 5/30/2015 3.4. Phần tử khung không gian 3D‐Frame • Định nghĩa phần tử khung không gian 3D‐Frame – Là phần tử dầm thẳng có tiết diện không đổi mà mặt cắt ngang tồn thành phần nội lực sau: • Lực dọc N1 • Mô men uốn 2 mặt phẳng quán tính M22 và M33 • Mô men xoắn theo trục dầm M11 • Lực cắt theo 2 trục mặt cắt ngang V22 và V33 • Chú ý: Do ảnh hưởng biến dạng cắt tương đối nhỏ nên thường bỏ qua => khi đó, trong ma trận độ cứng phần tử thành phần liên quan đến biến dạng cắt 188 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) – Các thành phần nội lực phần tử khung không gian theo hệ tọa độ địa phương V22 M11 M33 M22 N11 V33 M33 V22 N11 M11 M22 V33  f1i  N11  i  f  V22  f i V  33  i  f11  M 11 fi M 22  22  f 33i  M 33  f1 j  N11  j  f  V22  f j V  33  j  f11  M 11 f j M 22  22  f 33j  M 33 189 41 5/30/2015 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) – Các chuyển vị nút phần tử theo hệ tọa độ địa phương u j2 uj33 u i2 u i1 ui11 ui22 ui33 u i3 uj11 u j1 u1i  q1  i u  q u i  q  3  i  u q  11 u i  q  22 i u33  q6 u j3 uj22 u1j  q7  j u2  q8 u j  q   j u q   11 10 u j  q 11  22 u33j  q12 190 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Véc tơ chuyển vị nút phần tử 3D‐Frame – Mỗi nút thuộc phần tử có 6 bậc tự do => phần tử 3D‐Frame có 12 bậc tự – Véc tơ chuyển vị nút phần tử theo hệ tọa độ địa phương {q}e qe  q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 q10 q11 q12  T đó: • q1 q7: là chuyển vị dọc trục phần tử (trục 1) và gây biến dạng dọc trục • q4 q10: là góc xoắn quanh trục phần tử (trục 11)  gây biến dạng xoắn • q2 q8: là chuyển vị thẳng theo phương trục 2 => gây uốn mặt phẳng o12 191 42 5/30/2015 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • q6 q12: là góc xoay quanh trục 33 => gây uốn mặt phẳng o12 • q3 q9: là chuyển vị thẳng theo phương trục => gây uốn mặt phẳng o13 • q5 q11: là góc xoay quanh trục 22=> gây uốn mặt phẳng o13 – Như vậy, 12 chuyển vị nút gây 4 nhóm biến dạng độc lập • Có thể xét riêng rẽ nhóm biến dạng • Ma trận độ cứng [k]e phần tử 3D‐Frame có kích thước (12x12) sẽ thiết lập từ 4 ma trận con tương ứng với 4  nhóm biến dạng kể 192 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Xây dựng ma trận độ cứng phần tử khung không gian [k]e theo hệ tọa độ địa phương  Ma trận độ cứng toán biến dạng dọc trục: Là ma trận độ cứng phần tử dàn (Truss) trong tọa độ trục: q1 q7  K e  AE  1 L  1   Ma trận độ cứng toán biến dạng xoắn:  Tương tự toán biến dạng dọc trục ta có • Phần tử chịu xoắn có 2 bậc tự do => có thể giả thiết hàm góc xoắn đa thức bậc θx(x) = a1 + a2x 193 43 5/30/2015 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Hàm góc xoắn nội suy theo bậc tự do q4 q10  q4     N qx  q10  x  x   N   đó: [N] = ma trận hàm dạng   N   1   x  L  x     L  • Trên mặt cắt ngang phần tử tồn biến dạng góc γyz ứng suất tiếp τyz  yz  r d x dx (r = khoảng cách từ tâm đến điểm khảo sát)  yz  G   yz 194 44 [...]... (2D‐Frame)  – Là phần tử chịu kéo (nén) và uốn đồng thời; • Mỗi phần tử khung phẳng có 2 nút; • Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do  Trong hệ tọa độ tổng thể OXY  các chuyển vị nút bao gồm: + Chuyển vị ngang UiX + Chuyển vị đứng UiY + Chuyển vị xoay UiZZ = θi  Trong hệ tọa độ địa phương o12 các chuyển vị nút bao gồm: + Chuyển vị dọc trục thanh:  ui1 + Chuyển vị thẳng góc với trục thanh:  ui2 + Chuyển vị... thuộc phần tử có số bậc tự do là 3 => số bậc tự do của phần tử là 6 – Ma trận độ cứng của phần tử dầm có xét biến dạng dọc được kết hợp giữa ma trận độ cứng của phần tử thanh dàn (chỉ chịu nén) và ma trận độ cứng của phần tử dầm (chỉ chịu uốn) K   K  truss  K  beam 148 Phần tử dầm (t.theo) Y K   K  truss  UiY UiZZ K  beam UiX UjY UjZZ j i UjX X U Xi U Xj K  truss  AE  1 1 L  1... độ phẳng – Trong hệ tọa độ địa phương o12, chuyển vị v(x) của phần tử dầm chịu uốn được biểu diễn qua véc tơ chuyển vị nút như sau: v  x    N  x   q trong đó: q  vi i v j  j   q1 T q2 q3 q4  T 151 22 5/30/2015 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Trong hệ tọa độ tổng thể OXY các chuyển vị nút vi và vj có thể được phân tích thành các thành phần theo hai phương X và Y UjY = Q5 UjX... w 2 Eo, 2Io 3 Lo – Tìm các chuyển vị và góc xoay tại các gối – Vẽ biểu đồ mô men uốn trong hệ 146 Phần tử dầm (t.theo) • Bài tập 3.2.  Cho kết cấu dầm liên tục như hình vẽ: P 1 1 Lo/2 w Eo, Io Lo/2 2 2 Eo, 2Io 3 Lo ko Eo = 200000MPa Io = 20000mm4 Lo = 4000mm ko = 10kN/m P = 15000N w = 4N/mm – Tìm các chuyển vị và góc xoay tại các gối – Vẽ biểu đồ mô men uốn trong hệ 147 20 5/30/2015 Phần tử dầm (t.theo)... nút gây ra” 169 31 5/30/2015 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) w • Ví dụ 3.2.  Cho hệ khung phẳng như hình vẽ – Phần tử 1 và 2 có cùng chiều dài Lo và mô đun đàn hồi Eo – Mô men quán tính của phần tử 1 là Io, của phần tử 2 là 2Io Yêu cầu: 1. Tìm các chuyển vị nút và các phản lực tại nút 2. Vẽ biểu đồ mô men uốn P 2 Lo 1 1 2 E  3 2Io E  Io Lo Eo = 200000MPa Ao = 6000mm2 Io = 500000mm4 Lo = 4000mm... phần tử, cụ thể như sau: • Phần tử bị biến dạng dọc trục bởi các chuyển vị dọc trục thanh:   {ui1 , uj1}T (truss) • Phần tử bị biến dạng uốn bởi các chuyển vị thẳng góc với trục thanh và các chuyển vị xoay:  {ui2 , θi , uj2 , θj}T (beam) UjY UjX UiY UiX – Do vậy, ma trận độ cứng phần tử khung phẳng (2D‐Frame)  trong hệ tọa độ tổng thể OXY là [K] được xác định như sau: K   K  truss  K  beam 161... 2D‐Frame (t.theo) • Trình tự giải bài toán khung phẳng – (B1). Tính các ma trận độ cứng phần tử (theo hệ tọa độ tổng thể) cho từng phần tử [K]e – (B2). Xây dựng ma trận chỉ số nút [b] – (B3). Sử dụng ma trận chỉ số nút [b] để thiết lập ma trận độ cứng tổng thể của hệ đã kể tới điều kiện biên [Ko] – (B4). Tính các véc tơ lực nút {F}e cho từng phần tử theo hệ tọa độ tổng thể – (B5). Sử dụng ma trận chỉ số nút... 164 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B6). Giải hệ phương trình:  [Ko] {Uo} = {Fo} để tìm các chuyển vị nút chưa biết {Uo} theo hệ tọa độ tổng thể – (B7). Từ các chuyển vị nút {Uo} và các chuyển vị nút bằng 0 đã biết (theo điều kiện biên của bài toán), thiết lập véc tơ chuyển vị nút của từng phần tử theo hệ tọa độ tổng thể {Q}e – (B8). Tính các giá trị nội lực tại nút của phần tử (do riêng các... 0 1 0 0 0  sin  0 0 0 0 cos  0 0 0  0  1 154 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Tương tự, quan hệ giữa lực nút trong hệ tọa độ địa phương {f}e và lực nút trong hệ tọa độ tổng thể {F}e dưới dạng ma trận: f  4 1 T   F   4  6 6 1  – Xét phương trình cân bằng PT trong hệ tọa độ địa phương:  k q   f    k T Q  T  F   T   k T Q  T  T  F  T T... (trong hệ tọa độ địa phương,  OXY ≡ o12) có xét đến biến dạng dọc trục: U Xi U Yi i U ZZ  EA 0 0  L  12EI 6EI   2  L3 L  EI 4  L  K          Đối xứng   U Xj U Yj EA L 0 0  0 EA L 12EI L3 6EI L2 0 12EI L3 U ZZj  0   6EI  2  L  2EI  L   0   6EI   L2  4EI  L  U Xi U Yi i U ZZ U Xj U Yj U ZZj 150 3.3. Phần tử khung phẳng 2D‐Frame • Xét phần tử dầm chỉ chịu uốn trong hệ ... phương – Hệ trục tọa độ địa phương: o123 – Biến số trục 1, 2, và x, y, và z – Các chuyển vị thẳng “Nút i" theo hệ tọa độ địa phương ui1 , ui2 , và ui3 – Các chuyển vị xoay “Nút i" theo hệ tọa độ... 3.3. Phần tử khung phẳng 2D‐Frame • Xét phần tử dầm chịu uốn hệ tọa độ phẳng – Trong hệ tọa độ địa phương o12, chuyển vị v(x) của phần tử dầm chịu uốn biểu diễn qua véc tơ chuyển vị nút sau: v ... tử khung phẳng (2D‐Frame)  – Là phần tử chịu kéo (nén) và uốn đồng thời; • Mỗi phần tử khung phẳng có 2 nút; • Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự  Trong hệ tọa độ tổng thể OXY  chuyển vị nút bao