70 bài tập toán lớp 9 phần hình học phẳng ôn thi vào lớp 10

Bài tập luyện thi vào lớp 10 Biên soạn : Lưu Văn Chung Biên soạn : Lưu Văn Chung TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 VIE TM ATH S.N Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm A B Vẽ đường kính AC AD (O) (O’) Tia CA cắt đường tròn (O’) F , tia DA cắt đường tròn (O) E Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp Qua A kẻ cát tuyến cắt(O) (O’) M N Chứng MC không đổi đường thẳng MN quay quanh A minh tỉ số NF Tìm quỹ tích trung điểm I MN Gọi K giao điểm NF ME Chứng minh đường thẳng KI qua điểm cố đònh đường thẳng MN quay quanh A Khi MN // EF Chứng minh MN = BE + BF Bài Cho hình vuông ABCD cố đònh E điểm di động cạnh CD (E  C D ) Tia AE cắt đường thẳng BC F Tia Ax vuông góc với AE A cắt đường thẳng DC K   CKF  Chứng minh CAF Chứng minh  KAF vuông cân Chứng minh đường thẳng BD qua trung điểm I KF Gọi M giao điểm BD AE Chứng minh IMCF nội tiếp ID Chứng minh điểm E thay đổi vò trí cạnh CD tỉ số CF không đổi Tính tỉ số đó? Bài Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH  BC H , vẽ MI  AC I   ICM  Chứng minh IHM Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB K.Ch/ minh MK  BK DF cắt EB M, HF cắt EC N.Chứng minh  MIH ~  MAB ET ĐỀ BÀI Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp Suy ME  EF Bài Từ điểm A đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B C hai tiếp điểm ).Vẽ CD  AB D cắt (O) E Vẽ EF  BC F; EH  AC H Chứng minh tứ giác EFCH , EFBD nội tiếp Chứng minh EF2 = ED EH Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp Chứng minh MN  EF Bài Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn Vẽ tiếp tuyến AM cát tuyến ACD ( tia AO nằm hai tia AM AD) Gọi I trung điểm CD Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp đường tròn Xác đònh tâm K Gọi H giao điểm MN OA Chứng minh CHOD nội tiếp Đường tròn đường kính OA cắt (O) N Vẽ dây CB  MO cắt MN F Chứng minh CFIN nội tiếp Tia DF cắt AM K Chứng minh KE  AM Bài Cho OM = 3R , MA , MB hai tiếp tuyến , AD // MB , MD cắt (O) C , BC cắt MA F , AC cắt MB E Chứng minh MAOB nội tiếp Chứng minh EB2 = EC.EA Chứng minh E trung điểm MB Chứng minh BC.BM = MC.AB  Tia CF phân giác MCA Tính S  BAD theo R Bài Cho MA , MB hai tiếp tuyến (O) C điểm thuộc cung nhỏ AB Vẽ CD  AB CE  MA , CF  MB Chứng minh tứ giác sau nội tiếp : DAEC , DBFC Chứng minh CE.CF = CD2 Gv : Lưu Văn Chung Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 ET Chứng minh tứ giác MHEN nội tiếp Tính ON theo a R Tia DE cắt (O) F Chứng minh ABCF hình thang cân Bài 11 Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB C điểm  AB , K trung điểm BC AK cắt (O) M Vẽ CI vuông góc với AM I cắt AB D  Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp Suy số đo góc OID  Chứng minh OI tia phân giác COM ATH S.N VIE TM AC cắt ED H, BC cắt DF K Chứng minh CHDK nội tiếp Chứng minh HK // AB Chứng minh HK tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp  CKF  CEH Gọi I giao điểm thứ hai hai đường tròn (CKF) (CEH) Chứng minh đường thẳng CI qua trung điểm AB Bài Cho đường thẳng d cắt (O;R) C D M điểm di động d (M đường tròn MC < MD ) Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A B hai điểm) , H trung điểm CD Chứng minh MIHF OHEI tứ giác nội tiếp Chứng minh MA2 = MC.MD Chứng minh CIOD nội tiếp Chứng minh 4IF.IE = AB2 Chứng minh M di động đường thẳng AB điểm qua điểm cố đònh Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) ; hai đường cao AD BE cắt H ( D  BC ; E  AC ; AB < AC ) Chứng minh tứ giác AEDB CDHE nội tiếp Chứng minh OC vuông góc với DE CH cắt AB F Chứng minh : AB  AC  BC AH.AD + BH.BE + CH.CF =  Đường phân giác AN BAC cắt BC N , cắt đường tròn (O) K.(K khác A) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp  CAN Chứng minh KO CI cắt điểm thuộc đường tròn (O) Bài 10 Cho (O;R) dây BC = 2a cố đònh M  tia đối tia BC Vẽ đường tròn đường kính MO cắt BC E , cắt (O) A D (A  cung lớn  ) AD cắt MO H , cắt OE N BC Chứng minh MA tiếp tuyến (O) MA2 = MB.MC Gv : Lưu Văn Chung Chứng minh  CIO ~  CMB Tính tỉ số Tính tỉ số IO MB AM Từ tính AM , BM theo R BM Khi M điểm cung BC.Tính diện tích tứ giác ACIO theo R Bài 12   900 ) Gọi I , K trung Cho  ABC (AC > AB BAC điểm AB AC Các đường tròn (I ) đường kính AB (K ) đường kính AC cắt điểm thứ hai D Tia BA cắt (K) E ; tia CA cắt (I) F Chứng minh B,C, D thẳng hàng Chứng minh BFEC nội tiếp Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với với đường tròn ngoại tiếp  AEF So sánh DH DE Bài 13 Cho đường tròn (O) dây AB Trên tia AB lấy điểm C nằm đường tròn Từ điểm E cung lớn AB kẻ đường kính EF cắt dây AB D Tia CE cắt (O) điêm I Các tia AB FI cắt K Chứng minh EDKI nội tiếp Chứng minh CI.CE =CK.CD Chứng minh IC tia phân giác đỉnh I  AIB Cho A , B , C cố đònh Chứng minh đường tròn (O) thay đổi Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 qua A , B đường thẳng FI qua điểm cố đònh Bài 14 Cho  ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm D Vẽ đường tròn (O) đường kính CD.Đường tròn (I ) đường kính BC cắt (O) E AE cắt (O) F Chứng minh ABCE nội tiếp  = ACF  Chứng minh BCA Lấy điểm M đối xứng với D qua A ; N đối xứng với D qua đường thẳng BC Chứng minh BMCN nội tiếp Xác đònh vò trí D để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ Bài 15  C  nhọn đường tròn đường kính AB AC Cho  ABC có B cắt H Một đường thẳng d tùy ý qua A cắt hai đường tròn M N Chứng minh H  BC Tứ giác BCNM hình ? Tại sao? Gọi I K trung điểm BC MN Chứng minh bốn điểm A , H, I , K đường tròn Từ suy quỹ tích I d quay quanh A Xác đònh vò trí d để MN có độ dài lớn Bài 16 Cho hai đường tròn (O) (O’) có bán kính cắt A B Vẽ cát tuyến qua B cắt (O) E , cắt (O’) F Chứng minh AE = AF Vẽ cát tuyến BCD vuông góc với AB (C  (O) ; D  (O’) ), Gọi K giao điểm CE FD Chứng minh AEKF ACKD tứ giác nội tiếp Chứng minh  EKF cân Gọi I trung điểm EF Chứng minh I , A , K thẳng hàng Khi EF quay quanh B I K di chuyển đường nào? Bài 17 Từ điểm A đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB AC với (O) Vẽ dây BD // AC AD cắt (O) K Tia BK cắt AC I Chứng minh IC2 = IK.IB Chứng minh  BAI ~  AKI Chứng minh I trung điểm AC Tìm vò trí điểm A để CK  AB Bài 18 Cho đường tròn (O;R)và điểm A cố đònh với OA = 2R BC đường kính quay quanh O Đường tròn ngoại tiếp  ABC cắt đường thẳng AO I Chứng minh OI.OA = OB.OC Suy I điểm cố đònh Trường hợp AB , AC cắt (O) D E DE cắt OA K a Chứng minh tứ giác KECI nội tiếp b Tính AK theo R c Gọi N giao điểm đường tròn ngoại tiếp  ADE với OA Chứng minh tứ giác BOND nội tiếp Suy N điểm cố đònh Tìm vò trí BC để diện tích  ABC lớn Tìm vò trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC nhỏ Bài 19 Cho đường tròn (O; R) dây AB cố đònh M điểm di chuyển cung lớn  AB Vẽ hình bình hành MABC Vẽ MH  BC H cắt (O) K BK cắt MC F Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp Suy K trực tâm  MBC AMB cắt (O) E cắt tia CB N.Chứng Tia phân giác  minh  MBN cân Suy N thuộc cung tròn cố đònh tâm O’ M di chuyển cung lớn  AB Chứng minh AB tiếp tuyến (O’) Khi AB = R Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R VIE TM ATH S.N ET Bài tập luyện thi vào lớp 10 Gv : Lưu Văn Chung Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 20 Cho đường tròn (O; R) dây AB cố đònh ( AB < 2R ) Một điểm M tùy ý cung lớn AB ( M  A , B ) Gọi I trung điểm dây AB (O’) đường tròn qua M tiếp xúc với AB A Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) giao điểm thứ hai N , P Chứng minh IA2 = IP.IM Chứng minh tứ giác ANBP hình bình hành Chứng minh IB tiếp tuyến đường tròn (MBP) Chứng minh M di chuyển P chạy cung tròn cố đònh Bài 21 Cho  ABC có góc A tù , đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC giao điểm thứ hai H Một đường thẳng d quay quanh A cắt đường tròn (O) (O’) M N cho A nằm M N Chứng minh H  BC tứ giác BCNM hình thang vuông HM Chứng minh tỉ số không đổi HN Gọi I trung điểm MN , K trung điểm BC Chứng minh điểm A , H , I , K thuộc đường tròn I di chuyển cung tròn cố đònh Xác đònh vò trí đường thẳng d để diện tích  MHN lớn Bài 22 Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax By vuông góc với AB Một đường thẳng d thay đổi cắt Ax M , cắt By N cho AM.BN = a2  vuông Chứng minh  AOM ~  BON MON Gọi H hình chiếu O MN Chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn cố đònh H Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp  MON chạy tia cố đònh Tìm vò trí đường thẳng d cho chu vi  AHB đạt giá trò lớn , tính giá trò lớn theo a Bài 23 Cho  ABC có ba góc nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D // BC cắt đường thẳng AH E Chứng minh A , B , C , D , E thuộc đường tròn Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC , chứng minh   OAC  BE = CD BAE Gọi M trung điểm BC , đường thẳng AM cắt OH G Chứng minh G trọng tâm  ABC Bài 24 Cho ba điểm cố đònh A , B , C thẳng hàng ( theo thứ tự ) Một đường tròn (O) thay đổi qua B, C Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn (O) Đường thẳng MN cắt AO AC H K Chứng minh M , N di động đường tròn cố đònh Gọi I trung điểm BC Vẽ dây MD // BC Chứng minh DN qua điểm cố đònh Chứng minh đường tròn (OHI) qua điểm cố đònh Bài 25 Cho  ABC có A  450 , BC = a O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC B’ C’ chân đường cao hạ từ B C xuống cạnh tương ứng Gọi O’ điểm đối xứng O qua đường thẳng B’C’ Chứng minh A , B’ , O’ , C’ thuộc đường tròn tâm I Tính B’C’ theo a Tính bán kính đường tròn (I) theo a Bài 26 Cho đường tròn (O;R) điểm M cho OM = 2R Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA MB với (O) Chứng minh  AMB tính MA theo R Qua điểm C thuộc cung nhỏ  AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA E cắt MB F Chứng minh chu vi  MEF không đổi C chạy cung nhỏ AB VIE TM ATH S.N ET Bài tập luyện thi vào lớp 10 Gv : Lưu Văn Chung 10 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 OF cắt AB K , OE cắt AB H Chứng minh EK  OF  = 900 Tính EF diện tích  OHK theo R Khi sđ BC Bài 27 Cho đường tròn (O;R) dây BC cố đònh Điểm A di chuyển  Các đường cao BD CE cắt H cung lớn BC Chứng minh BEDC nội tiếp đường tròn Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB AC M N Chứng minh MN // ED điểm B, C , M , N thuộc đường tròn Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A qua điểm cố đònh Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H qua điểm cố đònh O’ Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O) Bài 28 Cho đường tròn (O ; R) có dây BC = R Vẽ đường tròn (M) đường kính BC Lấy điểm A (M) (A (O) ) AB , AC cắt (O) D E Đường cao AH  ABC cắt DE I Chứng minh AD.AB = AE.AC Chứng minh I trung điểm DE AM cắt ED K Chứng minh IKMH nội tiếp Bài 30 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc với (O) (O’) C D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O) (O’) M N Các đường thẳng BC BD cắt đường thẳng MN P Q; đường thẳng CM DN cắt E Chứng minh : Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD  EPQ cân Bài 31 Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ) Đường tròn tâm (O’) tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với hai cạnh AB AC I K Gọi E giao điểm thứ hai MK với (O)  Chứng minh ME tia phân giác AMC  cắt IK F Chứng minh tứ giác Tia phân giác Mx BMC FKCM FIBM nội tiếp Chứng minh  BIF ~  FKC Chứng minh FM2 = MB.MC  Chứng minh tia CF phân giác BCA Bài 32 Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB CD vuông góc với I điểm di động bán kính OB ( I  B O ).Tia CI cắt đường tròn E Chứng minh OIED nội tiếp Chứng minh CI.CE = 2R2 DB cắt CE H AE cắt CD K Chứng minh HK // AB Chứng minh diện tích tứ giác ACIK không đổi I di động OB ( I  O B ) Bài 33 Cho đường tròn (O;R) dây cung AB cố đònh Gọi M điểm , cung nhỏ  AB Lấy điểm C tùy ý trên cung nhỏ MB kẻ tia Ax vuông góc với tia CM H , cắt đường thẳng BC K Tính DE tỉ số AH theo R AK VIE TM ATH S.N ET Bài tập luyện thi vào lớp 10 Tìm vò trí điểm A để diện tích  ADE lớn Bài 29 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt P Q Tiếp tuyến chung gần P hai đường tròn tiếp xúc với (O) A tiếp xúc với (O’) B Tiếp tuyến cỏa (O) P cắt (O’) điểm thứ hai D (D  P), đường thẳng AP cắt đường thẳng BD K Chứng minh : Bốn điểm A , B , Q , K thuộc đường tròn  BPK cân Đường tròn ngoại tiếp  PQK tiếp xúc với PB KB 11 Gv : Lưu Văn Chung 12 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Chứng minh CM tia phân giác  ACK Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp  ABK AKB không phụ thuộc vào vò trí điểm C sđ  Tia KM cắt tia AB E cắt đường tròn điểm thứ hai F Chứng minh tích ME.MF không đổi C di động tính   tích theo R MAB Bài 34 Cho đường tròn (O;R) điểm M cho OM = 2R Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA MB với (O) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp MO  AB Chứng minh  AMB tính MA theo R Qua điểm C thuộc cung nhỏ  AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA E cắt MB F OF cắt AB K OE cắt AB H Chứng minh EK  OF Chứng minh EF = 2HK Bài 35 Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ) Đường cao BE tam giác kéo dài cắt đường tròn (O) K Kẻ KD vuông góc với BC D Chứng minh điểm K ; E ; D ; C thuộc đường tròn Xác đònh tâm đường tròn Chứng minh KB phân giác  AKD Tia DE cắt đường thẳng AB I Chứng minh KI  AB Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA , cắt AB H Chứng minh CH // KI Bài 36 Cho hình vuông ABCD cạnh a M , N hai điểm di động AD   450 BM , BN cắt AC E F DC cho MBN Chứng minh NE  BM Gọi H giao điểm ME NF Chứng minh HF.HM =HE.HN Tia BH cắt MN I Tính BI theo a Suy đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố đònh Cho a = 5, AM = Tính EF Bài 37 Cho đường tròn (O;R) điểm A cố đònh đường tròn Một  có số đo không đổi quay quanh A cắt đường tròn B góc nhọn xAy C.Vẽ hình bình hành ABDC Gọi E trực tâm  BDC Chứng minh E thuộc đường tròn (O;R) Gọi H trực tâm  ABC Chứng minh EH , BC AD đồng quy điểm I  quay quanh A cho Ax Ay cắt (O;R) Khi góc xAy H di chuyển đường cố đònh ? Bài 38 Cho hình vuông ABCD cạnh a Một đường thẳng d qua tâm O hình vuông cắt AD BC E F Từ E kẻ đường thẳng song song với BD , từ F kẻ đường thẳng song song với AC , chúng cắt I Chứng minh A , I , B thẳng hàng Kẻ IH  EF H Chứng minh H thuộc đường tròn cố đònh d quay quanh O Đường thẳng IH cắt đường trung trực AB K Chứng minh AKBH nội tiếp Suy K cố đònh Tìm vò trí đường thẳng d để diện tích tứ giác AKHB lớn Bài 39 Cho đường tròn (O;R) dây AB cố đònh I điểm cung lớn  AB M điểm di động cung lớn  AB K trung điểm AB Vẽ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI H cắt đường thẳng MB C Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp Chứng minh  AMC tam giác cân Chứng minh M di động C thuộc đường cố đònh Gọi E điểm đối xứng với A qua I F điểm đối xứng với B qua đường thẳng MI Chứng minh tứ giác AFEB nội tiếp VIE TM ATH S.N ET Bài tập luyện thi vào lớp 10 13 Gv : Lưu Văn Chung 14 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Tìm vò trí M để chu vi  ABM lớn Tìm vò trí M để chu vi  ACM lớn Bài 40 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R C trung điểm AO Vẽ đường thẳng Cx  AB C cắt đường tròn I, K điểm di động đoạn CI ( K  C I), Tia AK cắt (O) M Đường thẳng Cx cắt đường thẳng BM D, cắt tiếp tuyến M (O) N Chứng minh AK.AM = R2 Chứng minh  NMK cân Khi K trung điểm CI Tính diện tích  ABD theo R Chứng minh K di động đoạn CI tâm đường tròn ngoại tiếp  ADK thuộc đường thẳng cố đònh Bài 41 Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB I điểm thuộc AO cho AO = 3IO Qua I vẽ dây CD  AB Trên CD lấy K tùy ý Tia AK cắt (O) M Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp Chứng minh đường thẳng AM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp  MKC Chứng minh tâm P đường tròn ngoại tiếp  CMK thuộc đường cố đònh Tính khoảng cách nhỏ DP Bài 42 Cho  ABC cân A nội tiếp đường tròn (O;R) M điểm thuộc cung nhỏ AC Tia AM cắt tia BC D  Chứng minh  ADC  ACM 2 Chứng minh AC = AM AD Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  MCD Lấy E điểm thuộc tia đối tia MB cho ME = MC Chứng minh ABDE nội tiếp Chứng minh C thuộc cung tròn cố đònh Xác đònh tâm cung tròn Bài 43 Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d không cắt đường tròn Vẽ OH  d H M điểm thuộc d Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA MB với (O) ( A , B tiếp điểm ) Chứng minh tứ giác MAOH nội tiếp Đường thẳng AB cắt OH I Chứng minh IH.IO = IA.IB Chứng minh I cố đònh M chạy đường thẳng d Cho OM = 2R , OH = a Tính diện tích  MAI theo a R Bài 44 Cho đường tròn (O;R) điểm A đường tròn Vẽ đường thẳng d  OA A Lấy điểm M  d Vẽ tiếp tuyến MC với (O) C tiếp điểm ) Chứng minh điểm M , A , O , C thuộc đường tròn AC cắt (O) B, Tiếp tuyến B (O) cắt MC E , cắt đường thẳng d D Chứng minh M, E, O, D thuộc đường tròn Chứng minh A trung điểm MD Chứng minh  EOD ~  COA Cho OM = 2R OA = a Tính DE theo a R Bài 45 Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)( AB < AC ) Kẻ đường cao AH đường kính AD đường tròn (O) Phân giác  cắt (O) E BAC  Chứng minh AE phân giác HAD Chứng minh AB.AC = AH.AD   ABC  Chứng minh HAD ACB EO cắt AC F , BF cắt AH M Chứng minh  AFM cân Cho AB = , AC = , R = Tính BC (lấy chữ số thập phân ) Bài 46  Trên Cho  ABC nội tiếp (O;R) M điểm cung nhỏ BC dây AM lấy điểm E cho ME = MB Chứng minh  MBE VIE TM ATH S.N ET Bài tập luyện thi vào lớp 10 15 Gv : Lưu Văn Chung 16 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Chứng minh  CBM =  ABE Tìm vò trí điểm M cho tổng MA + MB + MC lớn  nhỏ E chạy đường cố đònh Khi M chạy BC Gọi F giao điểm AM BC Chứng minh 1   MF MB MC 2 2 Chứng minh MA  MB  MC  R Bài 47 Cho đường tròn (O;R) dây AB Vẽ đường kính CD vuông góc với  AB ) M điểm thuộc cung nhỏ BC AB K.( D thuộc cung nhỏ  DM cắt AB F Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp Chứng minh DF DM = AD2 Tia CM cắt đường thẳng AB E Tiếp tuyến M (O) cắt AF I Chứng minh IE = IF FB KF Chứng minh  EB KA Hd : d) Chú ý F trực tâm  CDE Suy : KE.KF = KC.KD Bài 48 Cho  ABC vuông A ( AB < AC ) Tia phân giác  ABC cắt AC M Đường tròn (O) đường kính MC cắt tia BM H, cắt BC N Chứng minh tứ giác BAHC nội tiếp Chứng minh HC2 = HM.HB HO cắt BC K Chứng minh K trung điểm NC Cho AB = cm , HC = cm Tính độ dài cạnh BC Bài 49 Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB CD vuông góc với  nhỏ AE cắt DC N , CE cắt AB M E điểm thuộc DB Chứng minh tứ giác NOBE nội tiếp Chứng minh AN AE = 2R2 Chứng minh  ANC ~  MAC Tìm vò trí E để diện tích  NEN lớn Biết AM = 3BM Tính DN EB theo R Bài 50 Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) với AB < AC  cắt BC E cắt (O) D Tia OD cắt BC Phân giác BAC K.Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC M Chứng minh tứ giác MAOK nội tiếp Chứng minh MA2 = MB.MC Chứng minh MA = ME Kẻ tiếp tuyến MF (O) ( F tiếp điểm ) Chứng minh tia FE v đường thẳng DO cắt điểm thuộc (O) Biết BE = a EC = b Tính AM theo a b Bài 51 Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Phân giác  cắt BC D cắt đường tròn E góc BAC Vẽ DK  AB DM  AC K M Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp KM  AE Chứng minh AD.AE = AB.AC  Chứng minh MK = AD sin BAC So sánh diện tích tứ giác AKEM diện tích  ABC Bài 52 Cho điểm A  đoạn BC cho AB = 2AC Vẽ đường tròn (O;R) đường kính AB đường tròn (O’) đường kính AC Chứng minh (O) (O’) tiếp xúc Lấy điểm H  đoạn OB cho OH = OB Vẽ tia Hx vuông góc AB cắt (O) D Tia DA cắt (O’) M Vẽ đường kính MN (O’) OD cắt BN K Chứng minh OD // MN tính OK theo R Chứng minh BN tiếp tuyến (O’) DA cắt BN E Tính diện tích  BEA theo R VIE TM ATH S.N ET Bài tập luyện thi vào lớp 10 17 Gv : Lưu Văn Chung 18 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 ET CM DN cắt E Ch minh tứ giác AMEN nội tiếp Chứng minh điểm E thuộc đường cố đònh M thay đổi Chứng minh  AMB ~  AED Bài 57 Cho  ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB AC E D Chứng minh AD.AC = AE.AB Gọi H giao điểm BD CE , K giao điểm AH  BC Chứng minh BHK AED Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với (O) với M , N tiếp  điểm Chứng minh KA phân giác NKM Chứng minh ba điểm M, N , H thẳng hàng Bài 58 Cho (O;R) điểm P đường tròn Từ P vẽ hai tia Px , Py cắt  góc nhọn đường tròn A B cho xPy Vẽ hình bình hành APBM Gọi K trực tâm  ABM Chứng minh K thuộc đường tròn (O) Gọi H trực tâm  APB , I trung điểm AB Chứng minh H , I , K thẳng hàng Khi hai tia Px Py quay quanh P cho Px Py cắt  không đổi H chạy đường cố đònh đường tròn xPy Bài 59 Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Điểm M di  Từ M kẻ MH  AB MK  AC động trên cung nhỏ BC Chứng minh  MBC ~  MHK Gọi D giao điểm HK BC Chứng minh MD  BC Tìm vò trí M để độ dài đoạn HK lớn Bài 60 Cho hai điểm A B thuộc đường tròn (O) ( AB không qua O ) có hai điểm C D lưu động cung lớn AB cho AD // BC ( C VIE TM ATH S.N Bài 53 AOB  900 ) Trên cạnh AB lấy điểm M , vẽ Cho  AOB cân O (  MC // OB MD // OA Vẽ đường tròn (C;CM) đường tròn (D;DM) cắt điểm thứ hai N Chứng minh A  (C ; CM) B  (D;DM) Chứng minh  ANB ~  CMD Chứng minh N thuộc đường cố đònh M chạy AB Chứng minh  ONM vuông Bài 54 Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Vẽ đường cao AH  ABC , đường kính AD Gọi E F hình chiếu C B lên AD M trung điểm BC Chứng minh tứ giác ABHF BFOM nội tiếp Chứng minh HE // BD AB AC BC Chứng minh S  ABC = 4R Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp  EFH Bài 55 Cho đường tròn (O;R) dây BC cố đònh , A điểm di chuyển  Vẽ đường cao BE CF  ABC cắt H cung lớn BC Chứng minh  AFE   ACB  ) AN cắt Vẽ bán kính ON  BC M ( N  cung nhỏ BC BC D Chứng minh AB.NC = AN.BD AH cắt (O) K Chứng minh : BC AK = AB.CK + AC.BK Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp  ADC  thuộc đường cố đònh A di chuyển cung lớn BC Bài 56 Cho hai đường tròn (O;R) (O’: r) (R > r) cắt Avà B Vẽ đường kính AC (O) đường kính AD (O’) M điểm thuộc cung nhỏ BC MB cắt (O’) N AN Chứng minh C , B , D thẳng hàng Tính tỉ số theo R r AM 19 Gv : Lưu Văn Chung 20 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Gọi E tâm đường tròn (ADK) ta có EN // AB (  CD ) FN // AK ( FN đường trung bình  DAK EF // BK (  AD ) CB2 = BI.BA = Vẽ DH  CB H  DH không đổi Ta có : DF nhỏ  DF = DH Ta chứng minh DH.CB = BI.CD ET EN FN 1    EN = AB  R Suy  ENF ~  BAK  AB AK 2 Bài 42   Chứng minh ADC = ACM  ( góc  BMD ) AMB   ADC  MBC Ta có :  A  (  Mà  AMB  ABC AB   AC )  AMB   ABM  MBC   ADC   ABM   ACM   Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp  CMK Vẽ đường kính CE đường tròn (F) ngoại tiếp  CMK Ta có :  AD   AC ( đường kính AB  dây CD ) C M E K B A  AC tiếp xúc với (F) C Chứng minh F thuộc đường thẳng cố đònh H I D O   MAB  ( đv ) Ta có KE // AB (  DC )  MKE  (F) )   MKE  ( chắn ME Mà MCE  (O) )   MCB  ( chắn MB MAB   MCB   C, B , E thẳng hàng  MCE  F  đường thẳng CB cố đònh Tính khoảng cách nhỏ đoạn DF Ta có : CI = 57 CO  IO  R  R2 2R 4R   CD = 3 Gv : Lưu Văn Chung E M 2 Chứng minh AC = AM.AD Chứng minh  AMC ~  ACD ( g-g)  AC2 = AM.AD F VIE TM   CMK ACD   ( chắn CK  ) Mà CMK  CEK    ACD  CEK  Mà CEK KCE  900 (  CKE vuông )   900  AC  CE ACD  KCE   4R 4R BI CD  8R  8R   DH = CB 2R 6 ATH S.N Do E thuộc đường thẳng d song song với đường thẳng CD cố đònh cách đường thẳng khoảng R.Vậy E thuộc đường thẳng cố đònh Bài 41 4R 8R 2R R   CB = 3 O K I B C D Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  MCD Gọi I tâm đường tròn (MCD) Vẽ đường kính CK đường tròn (I) Chứng minh CK  AC ( tương tự câu 41 ) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp Suy E D thuộc cung tròn cố đònh    ABC   CMD  ( hs tự chứng minh ) Ta có EMD AMB  ACB    AME =  AMC   AME  AMC AEB   ACM   ADB    tứ giác ABDE nội tiếp Chứng minh E thuộc cung tròn cố đònh Xác đònh tâm cung tròn Chứng minh AE = AB = AC  E  cung tròn tâm A , bán kính AB 58 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 AI MD R(a  R  a ) R R 3(a  R  a ) =  2a 8a S  IMA = Chứng minh MAOH nội tiếp ( hs tự chứng minh ) Chứng minh IH.IO =IA.IB Chứng minh AMBO nội tiếp A O Chứng minh M , C , O , A thuộc đường tròn ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh M , E , O , D thuộc đường tròn D I B d M H Chứng minh I điểm cố đònhkhi M chạy đường thẳng d Gọi D giao điểm OM AB Ta chứng minh DMHI nội tiếp VIE TM R2 không đổi Suy OI.OH = OD.OM = OA2 = R2  OI = OH Mà O cố đònh I  OH cố đònh  I điểm cố đònh Cho OH = a, OM = 2R Tính diện tích  IAM theo a R R Khi OM = 2R ta tính : MA = AB = R  AD = 2 3R 3R Và MD = MA2  AD  3R   OM  OH  R  a DI OI Ta có :  ODI ~  OHM   MH OM R2 4R2  a OI MH R 4R2  a2 a    DI = OM 2R 2a 2 R R 4R  a R(a  R  a )    AI = AD + DI = 2a 2a Ta có : MH = 59 Bài 44 ATH S.N   OMA   OBA   OMA  ( AMHO nội tiếp ) Mà OHA   OBA   OHA   AIH ~  OIB (g-g)  IO.IH = IA.IB ET Bài 43 Gv : Lưu Văn Chung   BEO  Chứng minh BCO   OMD   BEO   OMD  Mà BCO  MDOE nội tiếp Chứng minh A trung điểm MD Ta có :   DOA  ( BOAD nội tiếp ) DBA   ECB  ( EB = EC ) DBA   ACM  ( đđ) ECB B O E C  ACM   AOM ( ACOM nội tiếp ) A D M    OA phân giác củ a  DOM  DOA  MOA Mà OA đường cao   DOM cân A  A trung điểm DM Chứng minh  EOD ~  COA ( Học sinh tự chứng minh ) Cho OM = 2R OA = a Tính DE theo a R OB OE OB.OM 2R   OE   OA OM OA a 4R R OE  OB   R2   a2 a a Chứng minh  OBE ~  OAM   OBE vuông  EB =  OBD vuông  DB = OD  OB  R  R  R Suy ED = BD – BE = R  60 R R(a   a )  a2  a a Gv : Lưu Văn Chung d Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 45 Bài 46 Chứng minh AE phân giác  AHD Ta có : OE  BC ( dk – dc ) F O   EBM   EBC   60  EBC  Ta có : MBC C H = Chứng minh HAD ABC -  ACB D E   DAC  (  AHB ~  ACD ) Ta có :  ABC   ADC ; BAH   ABC  900  BAH    900  ( HAD   DAC ) ACB  900  HAC VIE TM   (900  BAH  )  900  ( HAD   DAC  ) = HAD    ABC  ACB Chứng minh  AFM cân   FMA  ( slt )   HAC  ( đ v ) MFE EFC   CFE  ( F  trung trực BC ) Mà BFE   AMF    AMF cân F Suy : FAM Cho AB = , AC = ; R = Tính BC (lấy chữ số thập phân) Ta có AH = AB AC 4.5 10   AD 2.3 HC = 125 5  10  AC  AH  52       3 100 11  11 5 (2 11  5) = 5,  =  BC = BH + HC = 3 BH = 61 AB  AH  16  Gv : Lưu Văn Chung    EBC   600  EBC  ABE  ABC   ABE  Do : MBC ATH S.N M B A  Mà BME AB ) ACB  600 ( chắn    MBE tam giác Chứng minh  CBM =  ABE ET  AEO  EAH  OE // AH    (  AEO cân ) Mà  AEO  DAE   EAD   HAE AHD  AE phân giác  Chứng minh AB.AC = AH.AD Chứng minh  AHB ~  ACD ( g – g ) Chứng minh  MBE Ta có MB = ME (gt)   MBE cân A O E B D F C M Từ chứng minh :  ABE =  CBM ( c-g-c ) Tìm vò trí M để tổng MA + MB + MC lớn Từ  ABE =  CBM  AE = MC ME = MB Suy : MA + MB + MC = MA + ME + EA = MA + MA = 2MA Vậy tổng MA + MB + MC lớn  MA lớn   AM đường kính  M điểm cung nhỏ BC  E chạy đường cố đònh ? Khi M chạy cung nhỏ BC   120  E thuộc cung chứa góc 1200 dựng đoạn Tính BEA AC cố đònh Chứng minh 1 MF = MB + MC MF MF  1 MB MC MF MB MC MF FC FC Ta chứng minh : (  MFC ~  MBA )   MB AB BC MF BF BF   (  MFC ~  BFA ) MC AB BC MF MF FB FC BC Suy :       đpcm MB MC BC BC BC Ta có : = +  Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 Trên tia đối tia MC lấy điểm D cho MD = MB  MA = CD 62 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10   600 Ta chứng minh  BMD  BDM  (KB + BE )KF = KC.KD  KF.EB = KB2 – KF.KB FB KF   KF EB = KB.(KB – KF)  KF.EB = KA BF  EB KA MB  MC  MA2 Ta có (MB + MC )2 = MA2  – MB MC = Bài 48 p dụng đònh lý hàm số cosin  BDC ta có :  BC = BD + DC – 2DB.DC.cos BDC 2 ET  3R2 = BM2 + AM2 – 2BM.MA.cos600  3R2 = BM2 + AM2 – 2BM.MA  3R2 = BM2 + AM2 – BM.AM  3R2 = BM2 + AM2 – BM(BM + MC)  3R2 = BM2 + AM2 – BM2 – BM.MC MB  MC  MA2 2 3R = AM +   6R2 = 2AM2 + MB2 + MC2 – MA2  MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 ATH S.N Bài 47   DCM   DMI  A Ta có : MFI   MIF cân I  MI = FI C M O K F B I D   IMF   EMF   900 Ta có IME   MEI   900 (  FME vuông M ) MFI   MFI  ( cmt )  IME   IEM    MIE cân I Mà : IMF  IE = IM Vậy IF = IE Chứng minh FB = KF EB KA Ta có : F trực tâm  CDE  KE.KF = KC.KD = KB2 63 Gv : Lưu Văn Chung B N K  )   MBC  ( = MBA Ta có : MCH   KHC  (  HOC cân ) Mà : MCH A M O   KHC   MBC   BCH   900 (  BHC vuông ) H Do : MBC   BCH   900   HKC vuông K  HK  NC  KHC  K trung điểm NC ( tính chất đường kính – dây cung ) Cho AB = cm , HC = cm Tính độ dài cạnh BC Chứng minh BN = AB = cm (  BAM =  BNM ) VIE TM Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh DF.DM = AD2 Chứng minh DF.DM = DK.DC DK.DC = AD2 Suy : DF.DM = AD2 Chứng minh IE = IF Chứng minh tứ giác BAHC nội tiếp ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh HC2 = HM.HB Chm  HMC ~  HCB ( g-g ) Chứng minh K trung điểm NC E Ta có BN.BC = BM BH ( hs tự chứng minh ) 5.BC = (BH – MH ).BH  5BC = BH2 – BH.MH  5BC = BH2 – HC2  5BC = BC2 – HC2 – HC2  5BC = BC2 – 2HC2  BC2 – 5BC – 36 = ( HC = ) Giải ta : BC = cm Bài 49 Chứng minh  NOBE nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh AN.AE = 2R2 Chứng minh AN.AE = AO.AB = R.2R = 2R2 Chứng minh  ANC ~  MCA 64 Gv : Lưu Văn Chung C Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Chứng minh đường thẳng FE đường thẳng DO cắt điểm thuộc đường tròn (O)  + sđ BC  + sđ   = (sđ EB  )  Ta có : EAC AMC = (sđ EB AC )   ANC ~ MCA ( g  g ) Do : R 3R AM = D 2R 2R 4R   R MA R 2R  DN = 2R –  3  NC =  lớn cắt điểm cung BC N A O M Bài 50 Chứng minh tứ giác MAKO nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh MA2 = MB.MC ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh MA = ME VIE TM O B R2 3R R C   MC = OC  OM  R  4 R R MB.MC 2 R   Ta có :  MBE ~  MCA  EB = AC R 2 I A Vậy đường thẳng FE đường thẳng DO E ATH S.N Ta có : NC.MA = AC2 = 2R2 ( cmt )   BFM  ( chắn BF  ) BCF   MEF   BCF  ( góc  EFC ) Mà : EFC   EFM   BFM  Do : EFC   EFB  EFB   Tia FE phân giác BFC  lớn  Tia FE qua điểm BC  nhỏ Mặt khác : D điểm BC  lớn  tia DO qua điểm BC  S  ENM lớn  S  EAC lớn  E điểm DB Biết AM = 3BM Tính DN EB theo R Từ AM = 3BM AM + BM = 2R  AM = MB    MFE  Ta có :  EMF cân M  MEF ET    AMC Mà : AC  BC  EAC     ) Ta lại có : ACD  BAC ( AD  BC  AM.NC = AC2 = 2R2  SANMC = R2 S  ENM = S  EAC – SANMC = S  EAC – R2   MAE    AME cân M  MA = ME Chứng minh : MEA E B M C K Cho BE = a EC = b Tính AM theo a b D F Đặt MA = x  ME = x MB = ME – EB = x – a MC = ME + EC = x + b Ta có : MA2 = MB.MC  x2 = (x – a)(x + b)  x2 = x2 + (b – a)x – ab  x= ab ab ( AB < AC  a < b ) Vậy MA = ba ba Bài 51 A Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp KM  AE ( học sinh tự chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp )  Ta có AD phân giác BAC Mà DK  AB DM  AC   AKD =  AMD  DK = DM AK = AM F O M K B C D E 65 Gv : Lưu Văn Chung 66 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 40 R BD 4R 2R  25    BE = BK 2R 6 4R Ta có DK = BH = ( hs tự chứng minh ) 1 R 4R R S  BDE = BE.DK   2 15 1 2R 2R S  BDA = AB.DH  R  2 5 2R 4R2 2R2   S  BAE = S  BDA – S  BDE = 15 15  AD trung trực KM  AE  KM 2 Chứng minh AD.AE = AB.AC Chứng minh  ABD ~  AEC ( g-g ) ET  Chứng minh MK = AD sin BAC Vẽ KF  AC F Chứng minh  KFM ~  AKD (g-g) KF KM KF  = AD sin BAC   MK = AD AK AD AK So sánh diện tích tứ giác AKEM diện tích  ABC  ( hs tự chứng minh ) Ta có : 2S  ABC = AB.AC.sin BAC  ( MK = AD.sin BAC  ) 2SAKEM = AE.MK = AE.AD.sin BAC  = 2S  ABC Mà AE.AD = AB.AC (cmt)  2SAKEM = AB.AC.sin BAC Vậy SAKEM = S  ABC Bài 52 Chứng minh (O) (O’) tiếp xúc ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh OD // MN tính OK theo R   OAD   MAO '  AMO ' Chứng minh ODA  OD // MN H O B Chứng minh BN tiếp tuyến (O’) Chứng minh  BOK =  DOH ( c- g- c ) VIE TM OK BO  O ' N BO ' BO.O ' N R.0,5 R R    OK = O'B 2,5 R Ta có : OK // O’N  M A O' C K E N D   900  BN  O’N  BN tiếp tuyến (O’)  OKB Tính diện tích  BEA theo R 2R R 10 Tính BK = DH = BD = 5 Ta có :  ADB vuông D  DB2 = BK.BE 67 ATH S.N  Gv : Lưu Văn Chung Bài 53 Chứng minh A  (C) B  (D) Chứng minh  ACM  BDM cân  CA = CM  A  (C) DB = DM  B  (D) Chứng minh  ANB ~  CMD  Chứng minh DC phân giác NDM   CDM   NBM   DCM  Tương tự : NAM   ANB ~  CMD ( g-g ) O N D C B A M Chứng minh M di động AB N chạy đường cố đònh  Ta có : CMD AOB ( hình bình hành )  CMD ANB (  ANB ~  CMD ) ANB   AOB không đổi , mà A , B cố đònh nên   68 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10  N  cung chứa góc  AOB dựng đoạn AB cố đònh Chứng minh  ONM vuông   NBA   MDC   OCD   ON // CD Chứng minh : NOC Mà CD  MN  ON  MN   ONM vuông N   BAO  ( tứ giác ABHF nội tiếp ) Do : MHF   BAO   BAO   MFH   BAO  Và  AOB cân  BOD   MHF    MHF cân M   BAO   MFH  MFH  MH = MF (2) ET Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài 54 Chứng minh ABHF BMFO nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh HE // BD Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp   CAD   CHE   CBD  ( chắn CD  ) Mà CAD   CBD   CHE O F M B  HE // DB ( góc đồng vò nhau) Chứng minh S  ABC = C H E D AB.AC.BC 4R AB AC AD 1 AB AC AB AC BC Ta có : S  ABC = AH.BC = BC = 4R AD Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp  EFH Ta cần chứng minh ME = MF = MH Ta có tứ giác OM  BC ( M trung điểm BC ) VIE TM Ta chứng minh :  ABH ~  ADC ( g-g )  AH = Bài 55 A ATH S.N A Chứng minh  AFE =  ACB E Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Chứng minh AB.NC = AN.BD Chứng minh  ABD ~  ANC ( g-g ) O Chứng minh BC.AK = AB.CK + AC.BK F H Vẽ đường kính AI (O) Chứng minh BKIC hình thang cân B D M S = S BI = CK ; BK = CI   BKC  BCI K Mà SABKC = S  ABC +  BKC N SABIC = S  ABC +  BCI  SABKC = SABIC 2SABKC = 2SABI + 2SACI T  AK.BC = AB.BI + AC.CI G A  AK.BC = AB.KC + AC.BK đpcm Chứng minh tâm Q đường tròn ngoại tiếp  ADC thuộc đường cố đònh A  di chuyển cung lớn BC   OCB   OBC   OMEC nội tiếp ( hs tự chứng minh )  OEM   MFE   MFE   OEM  Mà BOFM nội tiếp ( cmt )  OBC   EMF cân M  ME = MF (1)   MFH   MHF  ( góc  MFH ) Ta lại có FMC   BOD  ( tứ giác BOFM nội tiếp ) Mà FMC   MFH   MHF   BOD  N   DTC  NGC  ( chắn DC  (Q) ) DTC  DAC Mà    NAC   tứ giác NAGC nội tiếp  G  (O)  NGC Gv : Lưu Văn Chung 70 I Q O Gọi Q tâm đường tròn (ADC ) F Vẽ đường kính CT (Q) cắt tia NO G B Ta có : TD  DC mà NO  DC  NG // DT 69 C H D C M K Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10  (O)  G cố Mà NG  BC  G điểm cung lớn BC đònh, Do Q  đường thẳng CG cố đònh A chạy cung lớn  Chứng minh AOKN nội tiếp   AON  AKN     Do KA phân giác MKN  Mà  AOM  AON AKN  AKM  BC Chứng minh M , N , H thẳng hàng Chứng minh KHDC nội tiếp  AD.AC = AH.AK Chứng minh AM2 = AD.AC  AM2 = AH.AK Chứng minh  ABC   ABD  900  C , D , B thẳng hàng Chứng minh  ACM ~  AND AN AD r    AM AC R AN AM A O O' D B Chứng minh K thuộc đường tròn (O)  AMB Chứng minh EKFM nội tiếp  FKB VIE TM D M E H N B K    AED   AHD = BHK  Chứng minh KA phân giác NKM C O Chứng minh AKOM nội tiếp   AKM   AOM 71    Gv : Lưu Văn Chung   APB  FKB A APBK nội tiếp K  đường tròn (APB ) Hay K  (O) E A Bài 57 Chứng minh  BHK =  AED Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp x Mà :  AMB   APB ( PAMB hình bình hành )   BCM   EAD  Chứng minh MAB Chứng minh AD.AC = AE.AB Chứng minh  ABD ~  ACE Bài 58 N Chứng minh AMEN nội tiếp C ( hs tự chứng minh ) Chứng minh điểm E thuộc đường cố đònh M Chứng minh tứ giác ACED nội tiếp  E  đường tròn ngoại tiếp  ACD cố đònh Chứng minh  AMB ~  AED   AMB  ACD AED Từ   AMB ~  AED AKM   AMH   AHM ~  AMK ( c-g-c )   1     Mà  AKM   AOM  MON AMH  MON 2 1 AMN  MON   AMH   AMN Mặt khác :   M , H , N thẳng hàng theo R r ATH S.N Chứng minh C , B , D thẳng hàng Tính tỉ số ET Bài 56 E M K I O F H P B y Chứng minh H , I , K , thẳng hàng Ta có BH  AP ( H trực tâm  APB ) AK  BM ( K trực tâm  AMB ) Mà : AP // BM  BH // AK Ta chứng minh : AH // BK (  Ay ) Suy : AKBH hình bình hành Mà I trung điểm AB  I trung điểm HK  K , H , I thẳng hàng Chứng minh H thuộc đường cố đònh Ta có BK  PB  PK đường kính (O)  O trung điểm PK 72 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Mà I trung điểm KH  OI đường trung bình  KPH  PH = 2OI Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp  DMC không đổi APB không đổi  AB không đổi  OI không đổi  PH không đổi Do  Vậy H chạy đường tròn tâm P cố đònh có bán kính PH không đổi   DOA  DCM   DOA  Ta có : DOI 2    DOI  DCM  DOMC nội tiếp ET Gọi K tâm đường tròn (DCM) Bài 59 Chứng minh  BMC ~  HMK Chứng minh AKMH nội tiếp  K tâm đường tròn (DOC) Vẽ KH  OD H  H trung điểm OD R Ta có DO = R  HO = I   O B K  D C H H  C  (K) không đổi sđ CD  = sđ CD  không đổi sđ DO  không đổi HKO HO không đổi KO =  sin HKO O M A B E Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp  DCM không đổi Tìm vò trí M để KH lớn M 900   ACM  900  AM đường kính (O) Bài 60 VIE TM HK HM   HK = BC.sin HBM  Ta có :  = sin HBM BC BM  lớn  HBM  = Do BC cố đònh  HK lớn  sin HBM Chứng minh I , O , M thẳng hàng Tứ giác ABCD hình thang nội tiếp (O)  ABCD thẳng hàng cân M giao điểm hai đường chéo  MA = MD Mà IA = ID ( hai tiếp tuyến cắt ) Và OA = OD ( bán kính )  M , O , I thuộc đường trung trực AD  M , I , O thẳng hàng 73 K Lại có CD = AB không đổi   HAM  KHM   KAM   HKM   BCM  KAM   CBM  Mà : HAM   CBM  HKM   BCM   KHM Do  BCM ~  HKM (g-g ) Chứng minh MD  BC Học sinh tự chứng minh ATH S.N A D Gv : Lưu Văn Chung Bài 61  Chứng minh IP phân giác EIM   PMN  Tứ giác MPIN nội tiếp  EIP   PIM  ( PM   PN  ) Mà PMN   PIM   EIP   IP phân giác EIM K P I H Chứng minh E thuộc cung tròn O cố đònh Chứng minh PI = PM = PM F D M  E thuộc cung tròn tâm P có N L bán kính PM G Chứng minh PM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  MFG   PGM  Chứng minh PMF 74 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Vẽ đường kính ML đường tròn (MFG) Chứng minh PM  ML  PM tiếp tuyến đường tròn (MFG)  5x2 – 8Rx + 3R2 =  x = R ( loại ) x = Bài 63 ET  Tính tích PF.PG theo R  = PMN Chứng minh  PMF ~  PGM (g-g )  PF.PG = PM2   PNM     PH = OP.sin  = R.sin  Vẽ OH  PM  POH  PM = 2R.sin   PF.PG = 4R2.sin2  Chứng minh QBOA nội tiếp OQ  AB ( Học sinh tự chứng minh ) Tìm quỹ tích E Q di chuyển tia Ax Gọi I trung điểm OA B R Ta có IE // Ax ( đường trung bình ) O H y E I x R VIE TM A Q K Vậy E chạy tia Ay // Ax cố đònh cách tia Ax đoạn Tìm quỹ tích H Chứng minh AH // OB BH // OA  BOAH hình bình hành Mà OA = OB  BOAH hình thoi  AH = OA = R Vậy H di chuiyển đường tròn tâm A cố đònh có bán kính R Cho AQ = 2R Tính KH theo R  OAQ có KH // OA  KQ AQ R     KQ = 2HK HK AO R A Chứng minh MK // BC DH = DK Chứng minh MK BC vuông góc với AK  MK // BC E Chứng minh CB tia phân giác  HCK O   HCK cân C F H  CB trung trực HK I  DH = DK B D Chứng minh HM qua trung điểm I BC Chứng minh BHCM hình bình hành K  HM BC cắt trung điểm I BC HD HE HF + + =1 Chứng minh AD BE CF 2S  BHC = HD.BC ; 2S  AHC = HE.AC ; 2S  AHB = HF.AB ; 2S  ABC = AD.BC = BE.AC = CF.AB Từ ta có : 2S  BHC + 2S  AHC + 2S  AHB = 2S  ABC ATH S.N Bài 62  I cố đònh IA =  Gv : Lưu Văn Chung C M 2SBHC 2SAHC 2SAHB HD HE HF   1    1 2SABC 2SABC 2SABC AD BE CF Chứng minh AD + BE + CF  HD HE HF Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : 1 1     ( với x ; y ; z  ) x y z Thật theo BĐT Cauchy ta có : x + y + z  3 xyz (x + y + z)  Đặt : HK = x ( < x < R HK < AH = R)  QK = 2x  AK = 2(R – x)  AHK vuông K  AH2 = HK2 + AK2  R2 = x2 + 4(R – x)2 75 3R 3R Vậy HK = 5 Và : 76 1 1    33 x y z xyz Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10   FBC   FCB  ( góc  FBC )  MFB   600 Do MFB 1 1     x y z  HD HE HF   AD BE CF    + + p dụng ta có :      AD BE CF   HD HE HF  HD HE HF AD BE CF Mà : + + 9   1  HD HE HF AD BE CF Nhân hai BĐT theo vế ta có : (x + y + z)     MEB   600 Ta có MEB ACB  600 ( BEAC nội tiếp )  MFB  tứ giác BMEF nội tiếp Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố đònh ET   BMF   FBK  EKB  góc chung Ta có : BEK   EBK ~  BFK  KB = KF.KE ( ) N   MBE   ECB   Tương tự ta có :  FKC  EFM EKC góc chung   FKC ~  CKE  CK = CF.CE ( ) Từ (1) (2)  KC = KB  K trung điểm BC Vậy đường thẳng EF qua trung điểm K BC cố đònh ATH S.N Bài 64 d A E M Bài 65 Chứng minh tứ giác EMNF nội tiếp   BFA  Chứng minh BMN Chứng minh IMNA hình thang vuông Tìm độ dài EF theo R để B IMNA hình chữ nhật O F K B   KNF   900 Chứng minh BNM C   ACN  (  Ta có : MBA AB   AC ) VIE TM Chứng minh  MBA ~  ACN   600  AB // CN  MAB  Ta có :  ANC ( đv ) ACN  BAC Do :  MBA ~  ACN ( g-g ) Chứng minh tích MB.CN không đổi Từ  MBA ~  ACN  MB AC MB BC    AB CN BC CN  MB.CN = BC2 không đổi Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp   BCN   1200 Ta chứng minh : MBC MB BC  ( cmt ) BC CN   900  KN  NM  MNK Tương tự : IM  MN  IMNA hình thang vuông N O M  Để IMNA hình chữ nhật I E A IK = MN K  EF = 2MN  EF = 4R D Chứng minh tích AI.AK không đổi MN thay đổi Chứng minh KO // BF IO // BE  IO  OK   IOK vuông Mà OA đường cao  AI.AK = OA2 = R2 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp  IBK qua điểm cố đònh khác B Gọi D giao điểm đường tròn (BIK) đường thẳng BA ( D  B ) Ta chứng minh AB.AD = AI.AK = R2  AD = R   FMB    MBC ~  BCN  FBC   FMB   180  MBC   600  FBC   FCB   600 Mà FCB Vậy D điểm cố đònh ( D  đường thẳng AB cố đònh AD = 77 78 Gv : Lưu Văn Chung R ) Gv : Lưu Văn Chung F Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10   HND   FND   HND  ( góc nội tiếp góc tâm đường tròn (N) ) Mà DAH   DAH   FND  Ta lại có : DAH AEH ( chắn cung AH (O) )   Và : AEH  HDM ( tứ giác EMHD nội tiếp )    FND  HDM   FDN   900  HDM   FDN   900  MDN   900 Mà FND Bài 66 Chứng minh DE tiếp tuyến (O) ( hs tự chứng minh ) ET Chứng minh EC phân giác  AED ( hs tự chứng minh ) Chứng minh MH  AH Ta có M trung điểm AE ; I trung điểm AK  IM // BE   BEA   IMA ATH S.N   AHI  ( chắn    IMA  Mà BEA AB )  IHA Suy tứ giác IMHA nội tiếp Ta lại có : IM  AK ( IM // BE AK  BE )  AH  MH N Chứng minh tứ giác EMHD nội tiếp Suy : BD  ND D  BD tiếp tuyến đường tròn ( AHD ) Khi M trung điểm OC Tính diện tích  MHC theo R Khi M trung điểm OC Chứng minh  ABE cạnh R  ( tứ giác IMHA nội tiếp ) Ta có :  AMH   AIH  BIK Chứng minh AK qua O KE = BK =   BIK   90 (  BIK vuông K ) Do : HBE    HBE  Và : HMC AMH  900  HMC H I C O M K E F VIE TM A B 3R 3R  IK = 2 R 3R R 21   BI = IK  BK  16 4 Chứng minh  BIM ~  BMH (g – g ) IM BI IM BM 3R   MH    MH BM BI Chứng minh  AHM ~  MGH ( HG đường cao  MHD ) 9R MH  MH2 = GH.AM  HG = = AM 14 Ta lại có : AK = BM =  )   HBE  ( chắn HE mà HEC   HEC  suy : HMC  tứ giác EMHC nội tiếp F D C 9R2 Vậy diện tích  MHD = GH MD  56 Chứng minh đường thẳng BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  AHD Gọi N tâm đường tròn (AHD)   NHD cân N Bài 67  Vẽ đường cao NF  NHD  NF phân giác HND 79 R R  IM = Gv : Lưu Văn Chung 80 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10  Chứng minh tứ giác KMEC nội tiếp  KCE  BNE Chứng minh điểm O , B , A , E , K thuộc đường tròn đường Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Xác đònh tâm I (học sinh tự chứng minh ) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC K Chứng minh KF.KE = KB.KC ( Học sinh tự chứng minh ) AK cắt đường tròn (O) M Chứng minh MFEA nội tiếp Chứng minh KM.KA = KB KC  KM KA = KF KE   CBA  kính OA  CKE   CBA  Mà ME // AB (  OB )  CME ET   CME   tứ giác CKME nội tiếp  CKE  = BFE   DEF  ( góc tam giác FEN ) Ta có BNE   MCK  ( BCE   BFE  DEF   MCK  ) = BCE  = KCE ATH S.N Chứng minh tứ giác EHOF nội tiếp AE AO  AH AF  góc chung   AEH ~  AOF  EHA  Với EAH AFO Chứng minh AE.AF = AH.AO = AB2  Suy tứ giác EHOF nội tiếp ( góc góc đối diện góc ) Chứng minh tia FM qua trung điểm AB   ( cmt ) KCE  BNE   KCE  ( tứ giác KMEC nội tiếp )  DMK   BNE  Mà DMK Ta có Suy : KM // FB  FEN có K trung điểm EF KM // FN  M trung điểm EN F B N M K E O H C VIE TM D   MEF  Chứng minh  KFA ~  KME ( c-g-c)  MAF Suy tứ giác AMFE nội tiếp Chứng minh M , H , I thẳng hàng Chứng minh điểm A , M , F , H , E thuộc đường tròn đường kính AH  HM  AM ( ) Vẽ đường kính AN (O)  NM  AM ( ) Từ (1) (2)  N , H , M thẳng hàng (3) Chứng minh BHCN hình bình hành  H , I , N thẳng hàng (4) Từ (3) (4)  M , H , I thẳng hàng E M O F H A D K B C I N Bài 69 Bài 68 81 A Gv : Lưu Văn Chung 82 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10   IKF   IKC   OKH  Ta có KI phân giác CKF   FQH  Chứng minh HKIQ nội tiếp  OKH   FQH   tứ giác OKFQ nội tiếp Từ  OKH a Chứng minh Vẽ tiếp tuyến chung xy hai đường tròn Ta có : y I F K A Bài 70 83 E O ET VIE TM D Q H   BDx B   BAD ' Dy  DA 'B'  AB // A’B’ A' D B ' D   AD BD A ' D  AD B ' D  BD   AD BD AA ' BB '   AD BD AA ' CC ' AA ' BB ' CC '    Tương tự ta chứng minh :  AD CD AD BD CD b Chứng minh AD.BC = AC.BD + AB.CD Hay Q thuộc đường tròn ngoại tiếp  OKF (2) Từ (1) (2)  Q giao điểm đường thẳng DE đường tròn x ngoại tiếp  OKF C B  Trên BC lấy điểm M cho BMD ACD Ta chứng minh :  BMD ~  ACD (g-g)  BM.AD = AC.BC (1)  ACD   ABD  1800 ( ABDC nội tiếp )    DMC ABD ( BMD ACD )   DMC ~  DBA ( g-g)  MC.AD = AB.DC (2) O M C B Cộng (1) (2) theo vế ta có : AD.BC = AC.BD + AB.CD D c Chứng minh : AA1.BC = BB1.AC = CC1.AB Ta chứng minh : AA12 = AD AA’ ; BB12 = BD.BB’ ; CC12 = CD.CC’ A Gv : Lưu Văn Chung A   DMC   1800 ( kề bù ) Ta lại có : BMD Từ : O AA ' BB ' CC '   AD BD CD ATH S.N Chứng minh CH = DE ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh CA.CD = CB.CE ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh ABED nội tiếp ( học sinh tự chứng minh ) CF cắt AB Q Hỏi K điểm đặc biệt  OCQ Ta có (O) (K) cắt hai điểm C F  OK  CF trung điểm I CF ( tính chất hai đường tròn cắt )  OI AH hai đường cao  OCQ  K trực tâm  OCQ Chứng tỏ Q giao điểm DE đường tròn (OKF) Ta cần chứng minh Q , D , E thẳng hàng tứ giác OKFQ nội tiếp Vẽ tiếp tuyến xy (O) C , ta chứng minh xy // DE  DE  OC mà OK  OC nên Q , D , E thẳng hàng ( ý K  DE ) Hay Q thuộc đường thẳng DE (1) 84 AA ' BB ' CC '   AD BD CD  AA ' AD BB '.BD CC '.CD   AD BD CD Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 ET AA BB CC12 AA1 BB1 CC1  12     AD BD CD AD BD CD AA1.BC BB1 AC CC1 AB BB1.AC  CC1 AB     AD.BC BD AC CD AB BD AC  CD AB  2 VIE TM ATH S.N Mà : AD.BC = AC.BD + AB.CD  AA1.BC = BB1.AC = CC1.AB 85 Gv : Lưu Văn Chung [...]... là tâm đøng tròn ngoại tiếp tứ giác AICB VIE TM ATH S.N ET Bài tập luyện thi vào lớp 10 23 Gv : Lưu Văn Chung 24 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 HƯỚNG DẪN GIẢI ET Bài 1 1 Chứng minh EFO’O nội tiếp E   FO  EOA 'A MC không đổi 2 Chứng minh NF M cm  MCE ~  NFD và  CEA ~  DFA MC EC AC    không đổi C NF DF AD K F cm VIE TM giác của góc BAC cắt BC tại... ( Học sinh tự chứng minh ) 5 Cho OM = 2R và OA = a Tính DE theo a và R OB OE OB.OM 2R 2   OE   OA OM OA a 2 4R R OE 2  OB 2   R2  4  a2 2 a a Chứng minh  OBE ~  OAM   OBE vuông  EB =  OBD vuông  DB = OD 2  OB 2  4 R 2  R 2  R 3 Suy ra ED = BD – BE = R 3  60 R R(a 3  4  a 2 ) 4  a2  a a Gv : Lưu Văn Chung d Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 45 Bài. .. AO  ED ( học sinh tự chứng minh )  OA  MN Hay đường thẳng qua A vuông góc với MN đi qua O cố đònh 4 Chứng minh đường thẳng kẻ từ H , vuông góc với M đi qua điểm cố đònh Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua BC Ta chứng minh AOO’H là hình bình hành  HO’  MN Suy ra điều phải chứng minh B 45 Gv : Lưu Văn Chung 46 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 5 Tìm độ... ACB   BAC   KMC   ABC và  Ta có : KFC AKF  90 0  2 2       90 0  BAC  ABC  BCA AKF  KFC Suy ra : KCF 2 2 2  Vậy CF là phân giác của ACB 50 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 =a 3 Chứng minh tích ME.MF không đổi Tính tích đó theo R và MAB 2 Chứng minh  MEB ~  MBF ( g-g )  ME.MF = MB = MA2 Bài 32 1 Vẽ đường cao ON của  AOM ta có  AOM )... của hình thang BCNM  IK  MN Suy ra tứ giác AIKH nội tiếp 41 1 ( BN  AM ) ( OI là đường trung bình hình thang ABNM ) 2 Ta có OI = VIE TM O M HM không đổi 2 Chứng minh tỉ số HN Chứng minh  MHN ~  BAC B MH AB   không đổi NH AC ATH S.N M O' Bài 22 ET Do AB cố đònh  P  cung chưá góc  dựng trên đoạn AB cố đònh 42 O B A O B Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp. .. đường cố đònh  Ta có : CMD AOB ( hình bình hành )  CMD ANB (  ANB ~  CMD ) ANB   AOB không đổi , mà A , B cố đònh nên   68 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10  N  cung chứa góc  AOB dựng trên đoạn AB cố đònh 4 Chứng minh  ONM vuông   NBA   MDC   OCD   ON // CD Chứng minh : NOC Mà CD  MN  ON  MN   ONM vuông tại N   BAO  ( tứ giác ABHF... O cùng thuộc đường tròn (K) đường kính BC '  450  AC’C vuông tại C’ có CAC  ' CC '  450  B I O B' C' O' B a K C   B ' C ' nhỏ của (K) có số đo 90 0  ' C ' lớn là 270 0  số đo B     ' OB '  1350  C ' O ' B '  1350  C 'O ' B '  C ' AB '  1800  C 44 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10  tứ giác AC’O’B’ nội tiếp đường tròn có tâm là I 2 Tính... D Bài 13 E x 1 Chứng minh EDKI nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) 2 Chứng minh CI.CE = CK.CD Chứng minh  CIK ~  CDE (g-g)  3 Chứng minh IC là tia phân giác xIB   EIA  (đ đ ) xIC   EAB  ( EIBA nội tiếp ) CIB 34 I O A D K B F Gv : Lưu Văn Chung C Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10   EAB  ( EA   EB  ) EIA   CIB   xIC 1 Chứng minh H  BC Chứng minh  AHB  90 0... di chuyển trên đường nào ? 36 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10  AIB vuông tại I  I  đường tròn đường kính AB ACKD nội tiếp  K  đường tròn ngoại tiếp  ACD cố đònh  OI = mà I  đường thẳng OA và OI không đổi suy ra I cố đònh 2 a Chứng minh KECI nội tiếp B E F I C D K O A D B I AI = AO + OI = 2R + E C K Bài 17 R 5R  2 2 Chứng minh : AK.AI = AE.AD = OA2... trực của BC  OF  BC hay OQ  BC 38 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10  OA  BC Vậy để bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC nhỏ   1 BOE  ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung) BMN 2   BO   ( do hai tam giác cân có hai Suy ra : BOE 'E   EBO '  OEB nhất thì BC phải vuông góc với AO Bài 19 góc ở đỉnh bằng nhau ) Suy ra : OE // O’B Mà OE  AB ... AICB VIE TM ATH S.N ET Bài tập luyện thi vào lớp 10 23 Gv : Lưu Văn Chung 24 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 HƯỚNG DẪN GIẢI ET Bài 1 Chứng minh EFO’O...  BEA theo R VIE TM ATH S.N ET Bài tập luyện thi vào lớp 10 17 Gv : Lưu Văn Chung 18 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 ET CM DN cắt E Ch minh tứ giác... B D Bài 25 Gv : Lưu Văn Chung 26 Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10   CKF  Chứng minh CAF Chứng minh AKFC nội tiếp Chứng minh  KAF vuông cân Bài