Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập, giáo án, giáo trình, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc.
Trang 1BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Bài 1:
Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình Tìm xác suất để:
a) Một Học sinh bắt một đề gặp được đề trung bình
b) Một Học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình
Giải
a) Gọi A là biến cố Học sinh bắt được đề trung bình:
1 20 1 30
P(A)
b) Gọi B là biến cố học sinh bắt được 1 đề trung bình và một đề khó
Gọi C là biến cố học sinh bắt được 2 đề trung bình
Gọi D là biến cố học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình
Khi đó:
2 30
Bài 2:
Có hai lớp 10A và 10 B mỗi lớp có 45 học sinh, số học sinh giỏi văn và số học sinh giỏi toán được cho trong bảng sau Có một đoàn thanh tra Hiệu trưởng nên mời vào lớp nào để khả năng gặp được một em giỏi ít nhất một môn là cao nhất?
Giỏi
Giải
Gọi V là biến cố học sinh giỏi Văn, T là biến cố học sinh giỏi Toán
Ta có: Lớp 10A
P(V T) P(V) P(T) P(VT)
45 45 45 9
Lớp 10B:
25 30 10
45 45 45
Vậy nên chọn lớp 10B
Bài 3:
Lớp có 100 Sinh viên, trong đó có 50 SV giỏi Anh Văn, 45 SV giỏi Pháp Văn, 10
SV giỏi cả hai ngoại ngữ Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp Tính xác suất:
a) Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ
b) Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết
Lớp
Trang 2c) Sinh viên này chỉ giỏi đúng một ngoại ngữ.
d) Sinh viên này chỉ giỏi duy nhất môn Anh Văn
Giải
a) Gọi A là biến cố Sinh viên giỏi Anh Văn
Gọi B là biến cố Sinh viên giỏi Pháp Văn
Gọi C là biến cố Sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ
100 100 100
b) Gọi D là biến cố Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết
P(D) 1 P(C) 1 0,85 0,15= − = − =
100 100
Bài 4:
Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ba bóng để dùng Tính xác suất để:
a) Cả ba bóng đều hỏng
b) Cả ba bóng đều không hỏng?
c) Có ít nhất một bóng không hỏng?
d) Chỉ có bóng thứ hai hỏng?
Giải
Gọi F là biến cố mà xác suất cần tìm và Ai là biến cố bóng thứ i hỏng
a) ( 1 2 3) ( ) (1 2 1) ( 3 1 2)
12 11 10 220
b) ( 1 2 3) ( ) (1 2 1) ( 3 1 2)
12 11 10 55
c) ( 1 2 3)
Bài 5:
Một sọt Cam có 10 trái trong đó có 4 trái hư Lấy ngẫu nhiên ra ba trái
a) Tính xác suất lấy được 3 trái hư
b) Tính xác suất lấy được 1 trái hư
c) Tính xác suất lấy được ít nhất một trái hư
d) Tính xác suất lấy được nhiều nhất 2 trái hư
Giải
Gọi X là số trái hư trong ba trái lấy ra X H 10,4,3: ( )
Trang 3a)
3 4 3 10
b)
1 2
4 6 3 10
c)
3 6 3 10
C
C
≥ = − < = − =
d) P(X 2) P(X 0) P(X 1) P(X 2) 0,97≤ = = + = + = =
Bài 6:
Một gia đình có 10 người con Giả sử xác suất sinh con trai, con gái như nhau Tính xác suất:
a) Không có con trai
b) Có 5 con trai và 5 con gái
c) Số trai từ 5 đến 7
Giải
Gọi X là số con trai trong 10 người con Ta có: X B 10,1
2
:
a)
0 10
P(X 0) C
= = ÷ ÷ =
b)
5 10
= = ÷ ÷ = =
c)
≤ ≤ = ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷
582
0,6 1024
Bài 7: Trọng lượng của 1 gói đường (đóng bằng máy tự động) có phân phối chuẩn Trong
1000 gói đường có 70 gói có trọng lượng lớn hơn 1015 g Hãy ước lượng xem có bao
Trang 4nhiêu gói đường có trọng lượng ít hơn 1008 g Biết rằng trọng lượng trung bình của 1000
gói đường là 1012 g
Giải
Gọi X là trọng lượng trung bình của 1 gói đường (g)
X N 1012g,: σ
1015 1012
− φ σ ÷
3 2,0325 1,48
⇒ σ = =
2,0325
−
= 0,5 0,4756 0,0244 2,44%− = =
Do đó trong 1000 gói đường sẽ có khoảng 1000x0,0244 24,4= gói đường có trọng lượng
ít hơn 1008 g
Bài 8: Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án năm 2000 được coi như là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có xác suất 0,1587, và lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228 Vậy khả năng đầu tư mà không bị thua lỗ là bao nhiêu?
Giải
Gọi X là lãi suất đầu tư vào dự án
X N ,: µ σ , µ σ, 2 chưa biết
20
25
> = − φ − µ=
> = − φ ÷=
Trang 5
( ) ( )
15
φ − µ= = φ − µ
=
− µ
5
−
> = − φ ÷= + φ = + =
Bài 9: Nhà máy sản xuất 100.000 sản phẩm trong đó có 30.000 sản phẩm loại 2, còn lại là sản phẩm loại 1 KCS đến kiểm tra và lấy ra 500 sản phẩm để thử
Trong 2 trường hợp chọn lặp và chọn không lặp Hãy tính xác suất để số sản phẩm loại 2
mà KCS phát hiện ra:
Giải
Trường hợp chọn lặp:
Gọi X là số sản phẩm loại 2 có trong 500 sản phẩm đem kiểm tra
Ta có: X B(500;0,3):
Do n = 500 khá lớn, p = 0,3 ( không quá 0 và 1)
Nên ta xấp xỉ theo chuẩn: X N(150;105):
=φ(4,87) (+ φ 4,87) =0,5 0,5 1+ =
Trường hợp chọn lặp:
X H(100.000;30.000;500): X có phân phối siêu bội
Do N = 100.000 >> n = 500 nên ta xấp xỉ theo nhị thức
Trang 6X B(500;0,3): với p 30.000 0,3
100.000
Kết quả giống như trên
Bài 10:
Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100 giờ
1) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là
1000 giờ Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí nghiệp sản xuất với độ tin cậy 95%
2) Với độ chính xác là 15 giờ Hãy xác định độ tin cậy
3) Với độ chính xác là 25 giờ và độ tin cậy là 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng?
Giải
Áp dụng trường hợp: n 30,≥ σ2 đã biết
1) n = 100, x 1000,= γ = − α =1 95%,σ =100
2 (t) 1φ = − α =95% 0,95= ⇔ φ =(t) 0,475 nên tα =1,96
1
2
100
100
α
α
σ
σ
Vậy với độ tin cậy là 95% thì tuổi thọ trung bình của bóng đèn mà xí nghiệp sản xuất ở vào khoảng (980,4 ; 1019,6) giờ
2) ε =15,n 100=
( ) ( )
15 100
100
Vậy độ tin cậy γ = − α = φ1 2 t( )α =0,8664 86,64%=
3) ε =25,γ =95%,σ =100
Trang 7Do γ =95% nên tα =1,96
25
σ
ε
Bài 11:
Trọng lượng các bao bột mì tại một cửa hàng lương thực là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Kiểm tra 20 bao, thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao bột
mì là: 48 kg, và phương sai mẫu điều chỉnh là 2 ( )2
s = 0,5kg
1) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng
2) Với độ chính xác 0,26 kg, xác định độ tin cậy
3) Với độ chính xác 160 g, độ tin cậy là 95% Tính cở mẫu n?
Giải
1) Áp dụng trường hợp: n 30,< σ2 chưa biết
n = 20, x 48,= γ =95%,s 0,5=
19
n 1 1
n 1 2
α
α
−
−
Vậy với độ tin cậy là 95%, trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng (47,766; 48,234) kg
2) ε =0,26,n 20=
n 1 0,26 20
0,5
α
Tra bảng H ⇒ γ =97%
Vậy với độ chính xác 0,26 kg thì độ tin cậy là 97%
Trang 83) ε =0,16kg,γ =95%⇒ =tα 1,96
Do γ =95% nên tα =1,96
2 2
2 2
0,16
ε
Bài 12:
Để ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên
100 hộp thấy có 11 hộp xấu
1) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%
2) Với sai số cho phép ε =3%, hãy xác định độ tin cậy
Giải
Ta có: n = 100, f 11 0,11
100
1) Áp dụng công thức ước lượng tỷ lệ:
1
2
0,11 1 0,11
100 0,11 1 0,11
100
−
−
Với độ tin cậy 94%, tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp vào khoảng (0,051; 0,169) 5,1% p 16,9%
⇒ < <
2) ε =3% 0,03=
f (1 f ) 0,11 1 0,11 α
ε
(0,96) 0,3315 2 t( )α 2.0,3315 0,663 66,3%
Bài 13:
Trang 9Giám đốc một xí nghiệp cho biết lương trung bình của một công nhân thuộc xí nghiệp là 380 nghìn đồng/ tháng Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân thấy lương trung bình là
350 nghìn đồng/ tháng, với độ lệch chuẩn σ = 40 nghìn Lời báo cáo của giám đốc có tin cậy được không, với mức ý nghĩa là 5%
Giải
Giả thiết: H0: a = 380; H : a 3801 ≠
A là tiền lương trung bình thực sự của công nhân
a0 = 380: là tiền lương trung bình của công nhân theo lời giám đốc
x 350,n 36 30,= = > σ =40,α =5%
Do α =5%⇒ γ = − α =1 0,95⇒ =tα 1,96
40
Kết luận: với mức ý nghĩa là 5% không tin vào lời giám đốc Lương trung bình thực sự của công nhân nhỏ hơn 380 nghìn đồng/ tháng
Bài 14:
Một cửa hàng thực phẩm nhận thấy thời gian vừa qua trung bình một khách hàng mua 25 nghìn đồng thực phẩm trong ngày Nay cửa hàng chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng thấy trung bình một khách hàng mua 24 nghìn đồng trong ngày và phương sai mẫu điều chỉnh là s2 = (2 nghìn đồng)2 Với mức ý nghĩa là 5% , thử xem có phải sức mua của khách hàng hiện nay thực sự giảm sút
Giải
Giả thiết: H0: a=25
a là sức mua của khách hàng hiện nay
a0 = 25 là sức mua của khách hàng trước đây
n 15, x 24,s 2,= = = α =5%
Do α =5%⇒ γ =0,95⇒tαn 1− =t140,05 =2,1448 ( tra bảng H)
− α
Trang 10Vậy ta chấp nhận H0
Kết luận: Với mức ý nghĩa là 5%, sức mua của khách hàng hiện nay không giảm sút
Bài 15:
Theo một nguồn tin thì tỉ lệ hộ dân thích xem dân ca trên tivi là 80% Thăm dò 36
hộ dân thấy có 25 hộ thích xem dân ca
Với mức ý nghĩa là 5%, kiểm định xem nguồn tin này có đáng tin cậy không?
Giải
Giả thiết H0: p = 0,8, H1: p 0,8≠
p là tỷ lệ hộ dân thực sự thích xem dân ca
p0 = 0,8 là tỷ lệ hộ dân thích xem dân ca theo nguồn tin
25
36
α = ⇒ γ = ⇒ =
0
0 0
Chấp nhận H0
Kết luận: Với mức ý nghĩa là 5%, nguồn tin này là đáng tin cậy
Trang 11ĐỀ THI MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ
A PHẦN LỰA CHỌN: a, b, c, d
1 Cho X ∈ B(25;09) Tính Mod(X) = ?
Trang 12(a) 22 (b) 24 (c) 23 (d) 25
2 Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất 10 lần liên tiếp Xác suất sao cho có đúng 6 lần xúc xắc xuất
hiện mặt có số chấm lớn hơn 2 là:
3 Một máy sản xuất 3 sản phẩm Gọi A i là biến cố sản phẩm thứ i là sản phẩm tốt Khi đó A i là biến
cố sản phẩm thứ i là phế phẩm Biến cố có 1 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do máy sản xuất là:
(c) A=A1+A2+A3 (d)A=A1A2A3 +A1A2A3 +A1A2A3
4 Cho X ∈ B(10; 0.7) Chọn câu đúng trong các câu sau:
5 Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất:
>
≤
≤
−
<
=
3 , 1
3 0 ), 2 9 ( 12 1 0 , 0 )
x
x x x
x x F
Tìm hàm mật độ xác suất của X.
[ ]
[ ]
∈
−
∉
=
3
; 0 ), 2 9 ( 12
1
3
; 0 ,
0
)
(
)
x x x
x x
f
a
[ ]
[ ]
∉
−
∈
=
3
; 0 ), 2 9 ( 12 1 3
; 0 , 0 ) ( )
x x x
x x f b
[ ] [ ]
∈
−
∉
=
3
; 0 , 12 3 9
3
; 0 ,
0
)
(
)
x x x
x x
f
c
[ ] [ ]
∈
−
∉
=
3
; 0 , 12 6 18
3
; 0 , 0 ) ( )
x x x
x x f d
6 Tung đồng thời 2 con xúc xắc cân đối, đồng chất Gọi A là biến cố có tổng số chấm xuất hiện trên mặt trên các
xúc xắc bằng 10 Tính P(A) = ?
(a) P(A) =186 (b) P(A) =13 (c) P(A) =121 (d) P(A) =361
7 Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và có hàm phân phối xác suất F(x) Chọn câu đúng:
F(a)
F(a)
8 Một nhà máy có hai phân xưởng I và II với tỉ lệ phế phẩm lần lượt là 2% và 5% Sản lượng của phân xưởng I
gấp đôi sản lượng của phân xưởng II Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy để kiểm tra thì thấy đó là phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm đó do phân xưởng I sản xuất.
9 Cho X ∈ N(25; 3 2 ) Câu nào sau đây là sai:
10 Cho X là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối Poisson với a = 4 Chọn câu đúng nhất.
11 Có 10 sinh viên đi thi XSTK Xác suất để thi đậu của mỗi sinh viên là như nhau và bằng 0.8 Xác suất để có ½
số lượng sinh viên trên thi đậu là:
12 Một hộp chứa các viên bi với kích cỡ giống nhau trong đó có: 5 bi đỏ, 4 bi xanh, 3 bi vàng và 2 bi trắng Từ
hộp lấy ngẫu nhiên 3 bi, xác suất để lấy được 3 bi cùng màu là:
13 Có 5 mẫu hóa chất, trong đó có 2 mẫu hóa chất xấu Kiểm tra lần lượt từng mẫu cho đến khi phát hiện được
mẫu hóa chất xấu thì dừng lại Xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần thứ 3 là:
14 Có 9 chữ số từ 1 đến 9 được viết lên 9 mãnh bìa giống nhau Chọn ngẫu nhiên lần lượt 2 mãnh bìa rồi ghép lại
theo thứ tự từ trái qua phải Xác suất để ghép được số chẵn là:
Trang 13(a) 0.444 (b) 0.889 (c) 0.5 (d) 0.056
15 Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:
Khi đó, E(-3X + 1) có giá trị:
16 Chọn ngẫu nhiên một thẻ sinh viên có 7 chữ số Gọi A là biến cố chọn được thẻ có số 1 và số 2; A1 là biến cố chọn được thẻ có số 1; A 2 là biến cố chọn được thẻ có số 2 chọn câu đúng trong các câu sau:
17 Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ, công thức nào sau đây đúng:
(c) P(A.B) = P(A).P P(B(B) /A) (d) P(A.B) = P(A).P(A/B)
18 Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt Hai người khách hàng lần lượt đến mua mỗi người
một sản phẩm Gọi P 1 và P 2 lần lượt là khả năng mua được sản phẩm tốt của người thứ nhất và người thứ hai Chọn kết luận đúng:
19 Một hộp có 20 viên bi, trong đó có 12 viên bi màu đỏ Rút ngẫu nhiên 8 bi Gọi X là số bi màu đỏ lấy được
trong 8 bi rút ra Hãy cho biết X tuân theo quy luật phân phối nào?
20 Cho đại lượng ngẫu nhiên lien tục X có hàm phân phối xác suất:
>
≤
≤
−
<
=
4 , 1
4 2 , 1 2
2 , 0 ) (
x x x
x x F
Xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn 3 là:
21 Cho đại lượng X phân phối theo quy luật chuẩn với hàm mật độ:
2
9 3
2 2
1 ) (
+
−
=
x x
e x
f
π
Khi đó Var(X), Mod(X) có giá trị:
22 Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:
Khi đó P(0 < X ≤ 2) = ?
23 Trung bình tại một bưu điện có khoảng 10 người đến gọi điện trong 1 giờ Xác suất để trong 1 giờ mà ta xét có
từ 10 đến 11 người đến gọi điện là:
24 Cho P(A) = 0.2; P(B) = 0.7; P(A+B) = 0.9 Vậy:
(a) A và B là hai biến cố tùy ý (b) A và B là hai biến cố độc lập
(c) A và B là hai biến cố độc lập toàn phần (d) A và b là hai biến cố xung khắc
25 Cho X ∈ N(20;16) Tính P(20 ≤ X ≤ 28) = ?
Trang 14(a) 0.9772 (b) 0.1629 (c) 0.5 (d) 0.4772
26 Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập nhau với X ∈ P(5), Y ∈ H(10;5;2) Đặt Z = XY Đại lượng Z có
kỳ vọng là:
Cho: φ(0) = 0, φ(2) = 0.4772
B PHẦN ƯỚC LƯỢNG:
I Cân thử trọng lượng của một số sản phẩm loại A, người ta thu được các số liệu sau:
Với mức ý nghĩa 5%, hãy dùng mẫu số liệu trên để ước lượng trọng lượng trung bình các sản phẩm loại A.
27 Tính độ chính xác ε của ước lượng. 28 Tìm khoảng ước lượng.
29 Với độ chính xác là 1,8 và độ tin cậy là 98% thì ta cần cân bao nhiêu sản phẩm loại A?
II Kiểm tra về kết quả học tập của 1000 sinh viên của một trường ĐH, người ta thấy có 100 sinh viên học yếu Với độ tin cậy 99% hãy ước lượng tỉ lệ sinh viên có kết quả học tập yếu.
30 Tính độ chính xác ε của ước lượng. 31 Tìm khoảng ước lượng.
32 Với độ tin cậy 99% nếu muốn sai số của ước lượng không quá 2% thì cần kiểm tra tối thiểu bao nhiêu sinh
viên?
C PHẦN KIỂM ĐỊNH:
I Tỷ lệ phế phẩm của nhà máy A là 6% Nhà máy quyết định áp dụng biện pháp cải tiến kỹ thuật mới Sau khi cải tiến người ta kiểm tra 600 sản phẩm thì có 15 phế phẩm Với mức ý nghĩa 1%, bạn hãy cho biết kết luận của biện pháp cải tiến trên.
33 Chọn giả thiết, đối thiết 34 Tìm miền bác bỏ của kiểm định.
35 Tính giá trị quan sát của kiểm định 36 Kết luận: Có hiệu qủa hay không?
II Kiểm tra cân nặng của sinh viên Nam ở 2 lớp A và B người ta có số liệu sau:
Có một kết luận cho rằng: Cân nặng của sinh viên lớp Y thấp hơn lớp X Theo bạn kết luận đó đúng hay sai ? (Với mức ý nghĩa 1%)
37 Chọn giả thiết, đối thiết 38 Tìm miền bác bỏ của kiểm định.
39 Tính giá trị quan sát của kiểm định 40 Kết luận: Đúng hay sai?
Cho: u 0.975 = 1.96; u 0.99 = 2.326; u 0.995 = 2.576
-Hết -Khoảng trọng lượng (g) [50;55) [55;60) [60;65) [65;70)
Số sản phẩm loại A 7 18 13 12
Lớp Số sinh viên Nam Cân nặng trung bình (Kg) Độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh
Trang 15ĐÁP ÁN
A PHẦN LỰA CHỌN: a, b, c, d (đánh dấu X vào ô bạn chọn)
B PHẦN ƯỚC LƯỢNG:
27 ε =1.4
28 (x1 ;x 2) = (59.1; 61.9)
29 n = 43
30 ε =0.024
31 (x1 ;x 2) = (0.076; 0.124)
32 n = 1494
C PHẦN KIỂM ĐỊNH:
33 Giả thiết H: p = 0.06; Đối thiết H : p < 0.06
34 Wα =(- ∞; - 2.326)
35 u0 =- 0.148
36 Không
a b c d
8 X
9 X
13 X
a b c d
14 X
16 X
17 X
19 X
23 X