Chuyên đề về tổ hợp xác suất chương trình toán học THPT từ cơ bản đến nâng cao lớp 12, được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng câu, từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, ôn luyện cho học sinh, học sinh tham khảo tài liệu này rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về tổ hợp xác suất lớp 11, 12 và để ôn thi TN THPQG và ôn thi đại học.
CHỦ ĐỀ: TỔ HỢP – XÁC SUẤT Lí thuyết – tập – lời giải TỔ HỢP Vấn đề Quy tắc đếm Phương pháp Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét công việc H Giả sử H có k phương án H 1,H , ,H k thực cơng việc H Nếu có m1 cách thực phương án H , có m2 cách thực phương án H , , có mk cách thực phương án H k cách thực phương án H i không trùng với cách thực phương án H j ( i �j;i,j � 1,2, ,k ) có m1 m2 mk cách thực công việc H b) Công thức quy tắc cộng Nếu tập A 1,A , ,A n đôi rời Khi đó: A �A � �A n A A A n Quy tắc nhân a) Định nghĩa: Giả sử công việc H bao gồm k công đoạn H 1,H , ,H k Công đoạn H có m1 cách thực hiện, cơng đoạn H có m2 cách thực hiện,…, cơng đoạn H k có mk cách thực Khi cơng việc H thực theo m1.m2 mk cách b) Cơng thức quy tắc nhân Nếu tập A 1,A , ,A n đơi rời Khi đó: A �A � �A n A A A n Phương pháp đếm toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng Để đếm số cách thực công việc H theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem cơng việc H có phương án thực hiện? Mỗi phương án có cách chọn? Phương pháp đếm toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân 51 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Để đếm số cách thực công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích cơng việc H chia làm giai đoạn H 1,H , ,H n đếm số cách thực giai đoạn H i ( i 1,2, ,n ) Nhận xét: Ta thường gặp toán đếm số phương án thực hành động H thỏa mãn tính chất T Để giải toán ta thường giải theo hai cách sau Cách 1: Đếm trực tiếp �Nhận xét đề để phân chia trường hợp xảy toán cần đếm �Đếm số phương án thực trường hợp �Kết toán tổng số phương án đếm cách trường hợp Chú ý: * Để đếm số phương án thực trường hợp ta phải chia hành động trường hợp thành phương án hành động nhỏ liên tiếp Và sử dụng quy tắc nhân, khái niệm hốn ví, chỉnh hợp tổ hợp để đếm số phương án thực hành hành động nhỏ * Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng hoán vị n phần tử là: +) Tất n phần tử phải có mặt +) Mỗi phần tử xuất lần +) Có thứ tự phần tử * Ta sử dụng khái niệm chỉnh hợp +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) k phần tử cho xếp thứ tự * Ta sử dụng khái niệm tổ hợp +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) Không quan tâm đến thứ tự k phần tử chọn Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù toán sau: �Đếm số phương án thực hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay khơng) ta a phương án �Đếm số phương án thực hành động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: a b Ta thường gặp ba toán đếm Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Khi lập số tự nhiên x a1 an ta cần lưu ý: * � 0,1,2, ,9 a1 �0 * x số chẵn � an số chẵn * x số lẻ � an số lẻ 52 * x chia hết cho � a1 a2 an chia hết cho * x chia hết cho � an1an chia hết cho * x chia hết cho � an � 0,5 * x chia hết cho � x số chẵn chia hết cho * x chia hết cho � an2an1an chia hết cho * x chia hết cho � a1 a2 an chia hết cho * x chia hết cho 11 � tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 * x chia hết cho 25 � hai chữ số tận 00,25,50,75 Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Bài tốn 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học Các ví dụ Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường Có cách từ thành phố A đến thành phố C, biết phải qua thành phố B Lời giải Để từ thành phố A đến thành phố B ta có đường để Với cách từ thành phố A đến thành phố B ta có cách từ thành phố B đến thành phố C Vậy có 6.7 42 cách từ thành phố A đến B Ví dụ Từ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số 3? Lời giải Đặt y 23 , xét số x abcde a,b,c,d,e đơi khác thuộc tập 0,1,y,4,5 Có P5 P4 96 số Khi ta hoán vị 2,3 y ta hai số khác Nên có 96.2 192 số thỏa u cầu tốn Ví dụ Có học sinh nữ hs nam Ta muốn xếp vào bàn dài có ghế ngồi Hỏi có cách xếp để : học sinh nữ ngồi kề 2 học sinh nam ngồi kề Lời giải Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 3!.3! 36 Số cách xếp thỏa yêu cầu tốn: 2!.4! 48 Ví dụ Xếp người A, B, C, D, E, F vào ghế dài Hỏi có cách xếp cho: A F ngồi hai đầu ghế A F ngồi cạnh A F không ngồi cạnh Lời giải 53 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Số cách xếp A, F: 2! Số cách xếp B,C,D,E : 4! 24 Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 2.24 48 Xem AF phần tử X , ta có: 5! 120 số cách xếp X,B,C,D,E Khi hốn vị A ,F ta có thêm cách xếp Vậy có 240 cách xếp thỏa yêu cầu toán Số cách xếp thỏa yêu cầu tốn: 6! 240 480 cách Ví dụ Có chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 Lời giải Lời giải Gọi x abcd; a,b,c,d � 0,1,2,4,5,6,8 Cách 1: Tính trực tiếp Vì x số chẵn nên d � 0,2,4,6,8 TH 1: d � có cách chọn d Với cách chọn d ta có cách chọn a � 1,2,4,5,6,8 Với cách chọn a,d ta có cách chọn b � 1,2,4,5,6,8 \ a Với cách chọn a,b,d ta có cách chọn c � 1,2,4,5,6,8 \ a,b Suy trường hợp có 1.6.5.4 120 số TH 2: d �0 � d � 2,4,6,8 � có cách chọn d Với cách chọn d , a �0 nên ta có cách chọn a � 1,2,4,5,6,8 \ d Với cách chọn a,d ta có cách chọn b � 1,2,4,5,6,8 \ a Với cách chọn a,b,d ta có cách chọn c � 1,2,4,5,6,8 \ a,b Suy trường hợp có 4.5.5.4 400 số Vậy có tất 120 400 520 số cần lập Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù) Gọi A { số số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 } B { số số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 } C { số số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 } Ta có: C A B Dễ dàng tính được: A 6.6.5.4 720 Ta tính B ? x abcd số lẻ � d � 1,5 � d có cách chọn 54 Với cách chọn d ta có cách chọn a (vì a �0,a �d ) Với cách chọn a,d ta có cách chọn b Với cách chọn a,b,d ta có cách chọn c Suy B 2.5.5.4 200 Vậy C 520 Ví dụ Cho tập A 1,2,3,4,5,6,7,8 Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác số lẻ không chia hết cho Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ Lời giải Gọi x a1 a8 số cần tìm Vì x lẻ không chia hết d � 1,3,7 � d có cách chọn Số chọn chữ số lại là: 7.6.5.4.3.2.1 Vậy 15120 số thỏa u cầu tốn Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a1 có cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên a8 có cách chọn Các số cịn lại có 6.5.4.3.2.1 cách chọn Vậy có 42.6.5.4.3.2.1 11520 số thỏa u cầu tốn Ví dụ Cho tập A 0,1,2,3,4,5,6 Từ tập A ta lập số tự nhiên lẻ gồm chữ số đôi khác Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho Lời giải Gọi số cần lập x abcd , a,b,c,d 0,1,2,3,4,5,6 ;a Chọn a: có cách; chọn b,c,d có 6.5.4 Vậy có 720 số Gọi x abcde số cần lập, e 0,5 ,a �e � e có cách chọn, cách chọn a,b,c,d : 6.5.4.3 Trường hợp có 360 số e � e có cách chọn, số cách chọn a,b,c,d : 5.5.4.3 300 Trường hợp có 300 số Vậy có 660 số thỏa u cầu tốn Ví dụ Cho tập hợp số : A 0,1,2,3,4,5,6 Hỏi thành lập số có chữ số khác chia hết cho Lời giải 55 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Trong tập A có tập chữ số chia hết cho {0,1,2,3}, {0,1,2,6}, {0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, 1,3,5,6 Vậy số số cần lập là: 4(4! 3!) 3.4! 144 số Ví dụ Từ số tập A 0,1,2,3,4,5,6 lập số chẵn gồm chữ số đôi khác có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh Lời giải Vì có số lẻ 1,3,5, nên ta tạo cặp số kép: 13,31,15,51,35,53 Gọi A tập số gồm chữ số lập từ X 0,13,2,4,6 Gọi A 1,A ,A tương ứng số số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác lập từ chữ số tập X 0,13,2,4,6 13 đứng vị trí thứ nhất, thứ hai thứ ba Ta có: A A 43 24; A A 3.3.2 18 nên A 24 2.18 60 Vậy số số cần lập là: 6.60 360 số Ví dụ 10 Từ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên ,mỗi số có chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng số sau đơn vị Lời giải Cách 1: Gọi x a1a2 a6 , � 1,2,3,4,5,6 số cần lập Theo ta có: a1 a2 a3 a4 a5 a6 (1) Mà a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 � 1,2,3,4,5,6 đôi khác nên a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 21 (2) Từ (1), (2) suy ra: a1 a2 a3 10 Phương trình có nghiệm là: (a1,a2 ,a3) (1,3,6); (1,4,5); (2,3,5) Với ta có 3!.3! 36 số Vậy có thảy 3.36 108 số cần lập Cách 2: Gọi x abcdef số cần lập � a b c d e f 1 21 Ta có: � a b c d e f � � a b c 11 Do a,b,c � 1,2,3,4,5,6 Suy ta có cặp sau: (a,b,c) (1,4,6); (2,3,6); (2,4,5) Với ta có 3! cách chọn a,b,c 3! cách chọn d,e,f Do có: 3.3!.3! 108 số thỏa u cầu tốn 56 Ví dụ 11.Từ số 1,2,3 lập bao nhiều số tự nhiên gôm chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau Trong số, chữ số có mặt lần Trong số, hai chữ số giống không đứng cạnh Lời giải Đặt A {1,2,3} Gọi S tập số thỏa yêu cầu thứ toán 6! 90 (vì 23 số có dạng aabbcc hốn vị hai số a,a ta số khơng đổi) Gọi S1,S2 ,S3 tập số thuộc S mà có 1,2,3 cặp chữ số giống đứng cạnh �Số phần tử S3 số hốn vị cặp 11,22,33 nên Ta có số số thỏa điều kiện thứ toán S3 �Số phần tử S2 số hốn vị phần tử có dạng 4! a,a,bb,cc a,a không đứng cạnh Nên S2 phần tử �Số phần tử S1 số hốn vị phần tử có dạng a,a,b,b,cc a,a b,b khơng đứng cạnh nên 5! S1 12 12 Vậy số số thỏa yêu cầu toán là: 90 (6 12) 76 Ví dụ 12 Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số 2011 chữ số có hai chữ số Lời giải Đặt X số tự nhiên thỏa yêu cầu toán A { số tự nhiên không vượt 2011 chữ số chia hết cho 9} Với số thuộc A có m chữ số (m �2008) ta bổ sung thêm 2011 m số vào phía trước số có khơng đổi chia cho Do ta xét số thuộc A có dạng a1a2 a2011; � 0,1,2,3, ,9 A a �A | mà a khơng có chữ số 9} 57 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả A a�A | mà a có chữ số 9} 2011 �Ta thấy tập A có 1 9 1 phần tử �Tính số phần tử A Với x �A � x a1 a2011;ai � 0,1,2, ,8 i 1,2010 a2011 r với r ��� 1;9�,r � 2010 �ai Từ ta suy i 1 A có 92010 phần tử �Tính số phần tử A Để lập số thuộc tập A ta thực liên tiếp hai bước sau Bước 1: Lập dãy gồm 2010 chữ số thuộc tập 0,1,2 ,8 tổng chữ số chia hết cho Số dãy 92009 Bước 2: Với dãy vừa lập trên, ta bổ sung số vào vị trí dãy trên, ta có 2010 bổ sung số Do A có 2010.92009 phần tử Vậy số số cần lập là: 1 92011 2010 92011 2019.92010 9 2010.92009 9 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Bạn cần mua áo sơ mi cỡ 30 32 Áo cỡ 30 có màu khác nhau, áo cỡ 32 có màu khác Hỏi bạn có cách lựa chọn ? Có 10 sách Tốn khác nhau, 11 sách Văn khác sách anh văn khác Một học sinh chọn sách sách Hỏi có cách lựa chọn Có cách xếp sách Toán, sách Lý sách Hóa lên kệ sách cho sách mơn học xếp cạnh nhau, biết sách đôi khác Bài Có cách xếp người A,B,C,D lên toa tàu, biết toa chứa người Trong giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vịng trịn Cứ hai đội gặp lần Hỏi có tất trận đấu xảy Từ thành phố A có 10 đường đến thành phố B, từ thành phố A có đường đến thành phố C, từ B đến D có đường, từ C đến D có 11 đường khơng có đường nối B với C Hỏi có cách từ A đến D 58 Hội đồng quản trị công ty X gồm 10 người Hỏi có cách bầu ba người vào ba vị trí chủ tịch, phó chủ tịch thư kí, biết khả người Bài Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D không ngồi kề ? Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau : a) Bất kì học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường b) Bất kì học sinh ngồi đối diện khác trường Bài Cho chữ số 1, 2, 3, , Từ số lập số a) Có chữ số đơi khác b) Số chẵn gồm chữ số khác khơng vượt q 2011 Có 100000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác Tính tổng chữ số gồm chữ số lập từ số 1, 2, 3, 4, 5? Bài Từ số 1,2,3,4,5,6,7 lập số tự nhiên gồm chữ số khác là: Số chẵn Số lẻ Số chia hết cho Tổng hai chữ số đầu tổng hai chữ số cuối Bài Cho tập A 1,2,3,4,5,6,7,8 Có tập A chứa số mà không chứa số Tức chữ số thuộc tập A, lập số tự nhiên lẻ gồm chữ số không bắt đầu 123 Vấn đề Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp Phương pháp Giai thừa a) Định nghĩa: Với số tự nhiên dương n , tích 1.2.3 n gọi n - giai thừa kí hiệu n! Vậy n! 1.2.3 n Ta quy ước 0! b) Tính chất: 59 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả * n! n(n - 1)! * n! n(n 1)(n 2) (n k 1).k! Hoán vị a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử ( n �1 ) Khi xếp n phần tử theo thứ tự ta hoán vị phần tử tập A Kí hiệu số hốn vị n phần tử Pn b) Số hoán vị tập n phần tử: Định lí: Ta có Pn n! Chỉnh hợp a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử số nguyên k với �k �n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A b) Số chỉnh hợp Kí hiệu A kn số chỉnh hợp chập k n phần tử k Định lí: Ta có A n n! (n k)! Tổ hợp a) Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử số nguyên k với �k �n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A b) Số tổ hợp Kí hiệu C kn số tổ hợp chập k n phần tử n! (n k)!k! Bài toán 01: Giải phương trình – Bất phương trình Phương pháp: Dựa vào cơng thức tổ hợp, chỉnh hợp hốn vị để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Các ví dụ Ví dụ k Định lí: Ta có: C n Cho C nn 1140 Tính A Tính B Tính M Lời giải 60 A2 A3 A 4n1 3A n3 n 1 ! An A 6n A 5n A 4n , biết C n Cn Cn n n Cn n1 Cn 45 , biết C 2n1 2C 2n 2C n2 C n2 149 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 1 k ta có điều phải chứng minh C k2n1 C 2n 2n1 Ta có: �0 1 n� n 5n � C n Cn C n C Cn 5n1C1n 5n2C n2 Cnn n n� 5 � � 1 6n n Ta có: 2n C0n 2n1.71C1n 2.7n1Cnn1 7n Cnn (2 7)n 9n Ta có: VT 3n C0n 3n1.301C1n 3n2.302C 2n 30n C nn 33n Ta có: k n! Cn C k1 k1 (k 1).k!(n k)! n n1 Nên VT n 1 n 1 k k 1 ( 1) C (1)k1C kn1 � � n k n 2(n 1) k0 2(n 1) 1 (1 1)n1 2(n 1) 2(n 1) 2(n 1) Ta có: k Cn C k 1 k1 n n 1 Nên VT n � 2n1 1 �n1 k C kn11 ��C n1 1� � � 3(n 1) 3(n 1) k0 3(n 1) � k 0 � � Ta có: k k n! k Ck C k 1 k n k 1k!(n k)! n n1 Suy ra: VT n � n �n kC kn11 ��(k 1)C nk11 �C nk11 � � � � n k 1 n 1� k 1 k 1 � k Mà: kC n1 k Do đó: Suy ra: n n � �n ��kC kn1 �C nk11 � � n 1� k 1 k 1 � � (n 1)! n! (n 1) (n 1)C nk 1 k!(n 1 k)! (k 1)!(n k 1)! n n n k 1 n k 1 k 0 �kCkn1 (n 1) �C nk1 (n 1) �C kn (n 1)2n �kCkn1 (n 1)2n (n 1) k 1 n 1 �Ckn11 �Ckn1 (C0n1 C1n1) 2n1 n k 1 k0 Vậy VT � (n 1)2n (n 1)2n n 1 2n1 n 2� � n 1� n1 136 Bài Ta có: 2m C0m C1m Cm m n Xét đa thức P(y) C y1 C y1 C y1 Số hạng bậc cao P(y) 2C ny1 thức bậc n Ta có: P(x) f(x) với x 1,2,3, ,n Suy ra: f(x) P(x) x 2(y 1) (y n) đa n! � f(n 2) C0n1 C1n1 C nn1 2n2 Giả sử p ước nguyên tố C n2n , gọi m số mũ p phân tích tiêu chuẩn thừa số nguyên tố C n2n Ta chứng minh pm �2n phản chứng �2n � m Giả sử p 2n � � m � � p � � � � �2n � � n �� �� � �� 2n � � n� 2n � �n �� m �� � 2� � �� � 2� �� � � � 2� �� � �p � �� � � � p� p2 � p2 � � pm1 � pm1 � �� � � � �� � � � �� � � � � �� � x ������ 2x � 2x� � 2x �� x Do x �� ta có: 2�� �� � 2�� Dẫn tới: m �m vơ lí Do đó: pm �2n � k1 k � n � n k Từ ta có được: C 2n 2n � � n C 2n 2n � BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Vấn đề Xác định không gian mẫu biến cố Bài : Không gian mẫu gồm (i;j) , i,j � 1,2,3,4,5,6 i nhận giá trị, j nhận giá trị nên có 6.6 36 (i;j) Vậy (i,j)| i,j 1,2,3,4,5,6 n() 36 Ta có: A (1,1);(2,2);(3,3),(4;4),(5;5),(6;6) , n(A ) 137 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Xét cặp (i,j) với i,j � 1,2,3,4,5,6 mà i jM3 Ta có cặp có tổng chia hết cho (1,2);(1,5);(2,4),(3,3),(3,6),(4,5) Hơn cặp (trừ cặp (3,3)) hoán vị ta cặp thỏa yêu cầu toán Vậy n(B) 11 Số cặp (i,j);i j (2,1);(3,1);(3,2);(4,1);(4,2);(4,3);(5,1) (5,2);(5,3);(5,4),(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5) Vậy n(C) 15 Bài 2: Kết lần gieo dãy abcde với a,b,c,d,e nhận hai giá trị N S Do số phần tử khơng gian mẫu: n() 2.2.2.2.2 32 Lần xuất mặt sấp nên a nhận giá trị S; b,c,d,e nhận S N nên n(A ) 1.2.2.2.2 16 Kết lần gieo mà khơng có lần xuất mặt sấp Vậy n(B) 32 31 Kết lần gieo mà mặt N xuất lần: C15 Kết lần gieo mà mặt N xuất hai lần: C 25 Số kết lần gieo mà số lần mặt S xuất nhiều số lần mặt N là: n(C) 32 C 25 C15 17 Bài 3: Ta có n() C100 Trong 100 thẻ có 50 ghi số chẵn, n(A ) C 550 Từ đến 100 có 33 số chia hết cho Do đó, số cách chọn thẻ mà khơng có thẻ ghi số chia hết cho là: C67 Vậy n(B) C100 C567 Vấn đề Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Bài Xem việc tung súc sắc phép thử ngẫu nhiên Số lần thực phép thử: N 100 Số lần xuất biến cố A: 12 12 Suy : P(A ) 100 25 Số lần xuất biến cố B: 18 18 Suy P(B) 100 50 138 Số lần xuất biến cố C: 14 30 14 58 58 29 Suy P(C) 100 50 Bài Ta có khơng gian mẫu SS,SN ,NN ,NS � n() Gọi biến cố: A: “ hai lần tung mặt sấp” B: “ hai lần tung có S N” Suy A SS � n(A ) 1; B SN ,NS � n(B) Ta có: P(A ) n(A ) n() Ta có: P(B) n(B) n() Bài 3 Ta có: n() C16 560 560 143 n(B) C13 286 � P(B) 280 n(A ) C 33 1� P(A ) n(C) C17C16C13 126 � P(C) 40 Ta có : n() C16 1820 21 65 27 n(Y) C72.C92 756 � P(Y) 65 n(X) C17.C93 588 � P(X) Ta có: n() C10 16 8008 n(D) C75.C63.C 32 1260 � P(D) 45 286 Bài Ta có: SSS,SSN ,SNS,SNN ,NSN ,NSS,NNS,NNN Ta có: A SSS,SSN ,SNS,SNN ,NSN ,NSS,NNS B NNS,NSN ,SNN ,NNN C SSS,SSN ,NSS,NSN Bài Ta có: n() C625 177100 139 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 245 � P(A ) Ta có: n(A ) C76 C 68 C10 5060 447 460 Ta có: Số cách lấy viên bi màu: 245 cách Số cách lấy viên bi gồm hai màu: 6 Ta có: n(B) C15 � n(B) C625 C15 172095 � P(B) 6 6 C15 C68 C76 C17 C10 C67 C18 C10 C68 35455 202 253 Bài Gọi A biến cố cách chọn thỏa yêu cầu toán Suy n(C) 177100 35455 245 141400 Vậy P(C) Chọn hai có C13 cách, có C 24 cách có C13 C 24.C 24 cách có 11 cách chọn Mỗi cách chọn có cách chọn có C13 C 24.C 24.11.4 n(A ) ; n() C 552 Vậy P(A ) 198 4165 Bài Ta có n() C 552 Có 10 thỏa mãn tốn Mỗi có 4.4.4.4.4=1024 n(A ) 10240 � P(A ) 128 32487 Bài P A C62 C95 P B C13C64 C95 P C C65 C95 Bài Ta có: 12 1 1 1 1 3 P A P B C11 Bài 10 Đáp số P A C16C 25 C63C05 C15C14C13 C12 Bài 11 Chọn câu làm đề C100 Chọn n(A ) C 80C 20 � P A Bài 12 C80 C 20 C100 Số cách lên toa người là: 77 Tính P(A ) ? Ta tìm số khả thuận lợi A sau �Chọn toa có người lên: A 73 140 C11 �Với toa có người lên ta có: C74 cách chọn �Với toa có người lên ta có: C 23 cách chọn �Người cuối cho vào toa lại nên có cách Theo quy tắc nhân ta có: A A 73.C74.C 32 A Do đó: P(A ) 450 16807 Tính P(B) ? Mỗi cách lên toa thỏa yêu cầu tốn hốn vị phần từ nên ta có: B 7! Do đó: P(B) B 7! 77 Bài 13 Số cách bỏ thư vào bì thư là: 4! 24 Kí hiệu thư là: L 1,L ,L ,L L 1,L ,L ,L hóa vị số 1,2,3,4 L i i (i 1,4 ) thư L i bỏ địa Ta xét khả sau �có thư bỏ địa chỉ: (1,2,3,4) nên có cách bỏ �có thư bỏ địa chỉ: +) số cách bỏ thư địa là: C 24 +) có cách bỏ hai thư cịn lại Nên trường hợp có: C 24 cách bỏ �Có thư bỏ địa chỉ: Số cách chọn thư bỏ địa chỉ: cách Số cách chọn bỏ ba thư lại: 2.1 cách Nên trường hợp có: 4.2 cách bỏ Do đó: A 1 15 Vậy P(A ) A 15 24 Bài 14 Ta có khả xảy là: 6.6.6 216 Gọi dãy (x1,x2 ,x3) kết theo thứ tự ba lần gieo với x1,x2 ,x3 � 1,2,3,4,5,6 Phương trình x1 x2 x3 10 có nghiệm (chưa tính hốn vị) là: (1,3,6) ; (1,4,5) ; (2,2,6) ; (2,3,5) ; (2,4,4) ; (3,4,3) 141 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Với nghiệm ba số phân biệt cho ta 3! khả xảy ra, nghiệm (2,2,6) ; (2,4,4) (3,4,3) có ba khả xảy Do A 6.3 3.3 27 nên P(A ) A Khả xuất mặt lẻ lần gieo là: Suy khả ba lần gieo xuất mặt lẻ là: 33 27 B 189 Do B 216 27 189 nên P(B) 216 Vấn đề Các quy tắt tính xác suất Bài Ta có: n() C10 Gọi biến cố: D: “lấy viên đỏ” ; X: “lấy viên xanh” ; V: “lấy viên vàng” Ta có D, X, V biến cố đôi xung khắc C D �X �V P C P D P X P V 2 C 10 45 15 45 Bài Ta có n() 105 Gọi A: “lấy vé khơng có chữ số 2” B: “lấy vé số khơng có chữ số 7” Suy n(A ) n(B) 95 � P A P B 0,9 Số vé số khơng có chữ số là: 85 , suy n(A �B) 85 � P(A �B) (0,8)5 Do X A �B � P(X) P A �B P A P B P A �B 0,8533 A Gọi i biến cố lấy hai bút màu xanh hộp thứ i, i 1,2,3 Bài 3: Gọi Xi biến cố rút hộp thứ i , i 1,2,3 � P Xi Ta có: P A 1 P A C72 ,P A � 1� 0� Vậy P A � � 63 3� C � � Gọi Bi biến cố rút hai bút hộp thứ i khơng có màu đen P B1 142 C 25 C72 ,P B2 C 24 C72 ,P B3 C62 C72 2 1�C C C � 31 � Vậy có P B � � 63 3� C72 � � Bài 4: Gọi A biến cố “ Người thứ bắn trúng bia” A biến cố “ Người thứ hai bắn trúng bia” Gọi A biến cố “cả hai người bắng trúng”, suy A A �A Vì A 1,A độc lập nên P(A ) P(A 1)P(A 2) 0,8.0,7 0,56 Gọi B biến cố "Cả hai người bắn không trúng bia" Ta thấy B A 1A Hai biến cố A A hai biến cố độc lập nên P(B) P A P A � 1 P(A 1)� 1 P(A 2)� � �� � � 0,06 Gọi C biến cố "Có người bắn trúng bia", biến cố đối B biến cố C Do P(C) 1 P(D) 1 0,06 0,94 Bài Gọi A biến cố "Động I chạy tốt", B biến cố "Động II chạy tốt" C biến cố "Cả hai động chạy tốt".Ta thấy A, B hai biến cố độc lập với C A B Ta có P(C) P(AB) P(A )P(B) 0,56 Gọi D biến cố "Cả hai động chạy không tốt".Ta thấy D A B Hai biến cố A B độc lập với nên P(D) 1 P(A ) 1 P(B) 0,06 Gọi K biến cố "Có động chạy tốt",khi biến cố đối K biến cố D Do P(K ) 1 P(D) 0,94 Bài Gọi Bi biến cố “Xạ thủ chọn lọa i ,i=1,2 A biến cố viên đạn trúng đích Ta có : P Bi & P A / B1 0,9P A / B2 0,8 , P B2 10 10 8 Nên P A P B1 P A / B1 P B2 P A / B2 0,82 10 10 10 10 Bài 7Tính xác suất mục tiêu khơng bị bắn trúng: 1 P H 105 104 Vậy xác suất trúng đích P D 1 105 105 Bài C10 ; A biến cố câu a, B biến cố câu b, C biến cố câu c 143 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả n(A ) C 24 � P A C 24 C10 1 n(B) C 4.C2 � P B C14.C12 C10 45 Đ biến cố viên đỏ ,X biến cố viên xanh ,V biến cố viên vàng Đ , X, V biến cố đôi xung khắc 2 C 10 45 15 45 Bài Gọi A biến cố số lớn hay bẳng chấm lần gieo A xảy ,con xúc xắc xuất mặt ,chấm chấm ta có P A Trong lần gieo xác suất để biến cố A xảy lần P C P D P X P V �1 � P A.A.A.A.A.A � � �3 � Xác suất để lần xuất A lần không xuất A �1 � theo thứ tự � � �3 � �1 � 12 Vì có cách để biến cố xuất : 6.� � �3 � 729 Vậy xác xuất để A xuất lần 12 �1 � 13 � � 729 �3 � 729 Bài 10 Gọi A i biến cố trúng đích lần thứ H biến cố bắn lần thứ ngừng H A �A �A �A P H 0,4.0,4.0,4.0,6 0,0384 Bài 11 Ta có 105 Gọi A: “lấy vé khơng có chữ số 1” B: “lấy vé số khơng có chữ số 2” Suy A B 95 � P A P B 0,9 Số vé số khơng có chữ số là: 85 , suy A �B 85 Nên ta có: P(A �B) (0,8)5 Do X A �B Vậy P(X) P A �B P A P B P A �B 0,8533 Bài 12 Gọi A biến cố: “Máy bay bay an toàn” 144 Khi A biến cố: “Máy bay bay khơng an tồn” Ta có máy bay bay khơng an toàn xảy trường hợp sau TH 1: Cả động bị hỏng Ta có xác suất để xảy trường hợp là: 0,09 0,04 TH 2: Có động cánh phải hoạt động động lại bị hỏng Xác suất để xảy trường hợp là: 3. 0,09 0,91.(0,04)2 TH 3: Có động bên cánh trái hoạt động, động lại bị hỏng Xác suất xảy trường hợp là: 2.0,04.0,96.(0,09)3 P A 0,09 0,04 3. 0,09 0,91.(0,04)2 2.0,04.0,96.(0,09)3 2 0,925344.104 Vậy P(A ) 1 P A 0,9999074656 Bài 13 Gọi A i biến cố “người thứ i ghi bàn” với i 1,2,3 Ta có A i độc lập với P A 1 x, P A y, P A 0,6 Gọi A biến cố: “ Có ba cầu thủ ghi bàn” B: “ Cả ba cầu thủ ghi bàn” C: “Có hai cầu thủ ghi bàn” Ta có: A A 1.A 2.A � P A P A P A P A 0,4(1 x)(1 y) Nên P(A ) 1 P A 1 0,4(1 x)(1 y) 0,976 47 � xy x y (1) 50 50 Tương tự: B A 1.A 2.A , suy ra: Suy (1 x)(1 y) P B P A 1 P A P A 0,6xy 0,336 xy 14 (2) 25 � 14 xy � � 25 , giải hệ kết hợp với x y ta tìm Từ (1) (2) ta có hệ: � � x y � x 0,8 y 0,7 Ta có: C A 1A 2A A 1A 2A A 1A A Nên P(C) (1 x)y.0,6 x(1 y).0,6 xy.0,4 0,452 145 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Bài 14 xác suất Ta có xác suất để học sinh trả lời câu Gọi x số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai 10 x Số điểm học sinh đạt : 4x 2(10 x) 6x 20 21 Nên học sinh nhận điểm 6x 20 � x x x Mà nguyên nên nhận giá trị: 0,1,2,3 A i 0,1,2,3 Gọi i ( ) biến cố: “Học sinh trả lời i câu” A biến cố: “ Học sinh nhận điểm 1” Suy ra: A A �A �A �A P(A ) P(A 0) P(A 1) P(A 2) P(A 3) trả lời câu sai i 10i ��3 � i � Mà: P(A i ) C10 � �� � �4 ��4 � i 10i ��3 � i � nên P(A ) �C10 � �� � �4 ��4 � i 0 0,7759 Vấn đề Biến cố ngẫu nhiên Bài 1 Trong phép thử gieo đồng tiền lần, không gian mẫu gồm 23 = phần tử SSS, SSN , SNS, NSS, SNN , NSN , NNS, NNN X nhận giá trị 0, 1, 2, Chẳng hạn: “X nhận giá trị 1”: xảy kết SNN , NSN , NNS , nghĩa là: X 1 SNN , NSN , NNS Vì X 0 NNN nên P X 0 Tương tự X 1 NNS, SNN , NSN X 2 SSN , SNS, NSS X 3 SSS nên P X 1 nên P X 2 nên P X 3 8 Từ ta có bảng phân phối sau: X P Bài X có tập giá trị 0,1,2,3 146 8 8 Ta có: P X k C k3C64 k , k 0,1,2,3 C94 Từ ta có bảng phân phối sau: X 15 60 45 P 126 126 126 126 Kí hiệu X �a biến cố “X nhận giá trị lớn a ” Ta tính P X �1 Vì X �1 biến cố đối biến cố X 0 nên: 111 126 126 P X �1 1 P X 0 1 Vì số bi đỏ lấy là 4 X X nên P X �2 P X 2 P X 3 51 126 15 60 45 126 126 126 126 15 60 45 V(X) 02 12 22 32 (E(X))2 126 126 126 126 Ta có: E(X) (X) V(X) Bài Bảng phân bố xác suất X P 10 42 21 37 Kì vọng X: E(X) 42 Phương sai X là: V(X) �0,75 15 42 21 Độ lệch chuẩn X: (X) V(X) �0,87 Bài Bảng phân bố xác suất X X P 1 1 36 18 12 211 Kì vọng X: E(X) 18 36 9 10 12 11 18 12 36 147 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Phương sai X: V(X) �37,75 ; độ lêch chuẩn: (X) �6,14 Bài Gọi D bi đen, T bi trắng ta có trường hợp sau D, TD, TTD, TTTD, TTTTD Khi X nhận giá trị: 5,10,15,20,25 Bảng phân bố xác suất 5 10 15 20 X P 18 12 7 35 35 25 Kì vọng X: E(X) Bình quân ván A thua USD nên chơi 150 ván số tiền 150 �128,6 USD Bài Ta có giá trị X nhận là: 3,4,5,6,7 Bảng phân bố xác suất X P 1 1 6 6 E(X) Do đó, kì vọng X là: Bài Ta có giá trị X nhận là: 2,3,4,5 Bảng phân bố xác suất X P 1 10 10 E(X) Do đó, kì vọng X là: Bài Gọi A i biến cố “ Lần thứ i lấy bóng tốt” A i biến cố: “ lần thứ i lấy bóng hỏng” Ta có X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị tập 2,3,4,5,6,7 A thua là: Ta tính P(X 2) ? Ta có: P(X 2) P A P A Xác suất chọn bóng hỏng lần thứ là: Xác suất chọn bóng hỏng lần thứ hai là: 1 Nên P(X 2) 21 148 Tương tự: P(X 3) P(A 1)P A P A P(A 1)P A P A 2 7 21 5 1 P A P A P A P A 7 7 P(X 5) P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P(X 4) P A 1 P A P A P A P A P A P A P A 4 4 5 5 5 5 4 7 7 21 P(X 6) 21 P(X 7) 1 �P(X i) i2 Bảng phân bố xác suất X P 21 21 21 21 21 21 104 21 21 21 21 21 21 Vậy trung bình cần lần thử Ta có: E(X) Bài Gọi T biến cố: “lấy ngẫu nhiên môt khối lập phương nhỏ hình lập phương” A “Khối có mặt bị bơi đen” B “Khối có hai mặt bị bơi đen” C “Khối có ba mặt bị bơi đen” D “Khối khơng có mặt bị bơi đen” Dựa vào quan sát hình vẽ, ta có: 729, A 302, B 158, C 12, D 257 149 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 302 158 , P(B) , 729 729 257 P(C) , P(D)= 243 729 Do đó: P(A ) Bài 10 Ta có: C83 56 Gọi A biến cố “tổng trọng lượng cân lấy không vượt kg” Để ý rằng: 1+2+3=6 ; 1+2+4=7; 1+2+5=8; 1+2+6=9; 1+3+4=8; 1+3+5=9; 2+3+4=9 Vậy có cách chọn cân cho tổng chúng không vượt 9kg nên A � P(A ) 56 Bài 11 Gọi A biến cố “khơng có xe màu đỗ cạnh nhau” Ta có: 6! 720 Tính khả biến cố A Đánh số thứ tự xe từ đến 6, số thứ tự vị trì từ I đến VI TH1: Xe đỏ thứ vị trí I, xe đỏ thứ hai vị trí III, xe đỏ thứ ba vi trí V số cách đỗ xe là: 3!.3! 36 TH2: Xe đỏ thứ vị trí I, xe đỏ thứ hai vị trí IV, xe đỏ thứ ba vi trí VI số cách đỗ xe là: 3!.2.2 24 TH3: Xe đỏ thứ vị trí II, xe đỏ thứ hai vị trí IV, xe đỏ thứ ba vi trí VI số cách đỗ xe là: 3!.3! 36 TH4: Xe đỏ thứ vị trí I, xe đỏ thứ hai vị trí III, xe đỏ thứ ba vi trí VI số cách đỗ xe là: 3!.2.2 24 Vậy A 120 � P(A ) Bài 12 Gọi A : “ Có động cánh trái hoạt động” A : “ Có động cánh phải hoạt động” 1 P A 1 (0,09) Ta có: P A 1 1 P A 1 (0,04) �0,9999 P A2 2 0,9919 Gọi A biến cố : “Máy bay thực chuyến bay an toàn” A A 1.A � P(A ) P A 1 P A 0,9918 150 ... Một lớp có 33 học sinh, có nữ Cần chia lớp thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia vậy? Lời giải Số cách chia lớp thành tổ thỏa... cầu có trường hợp * TH1: Tổ có nữ, nam có C73C726 cách chọn Tổ có nữ, nam có C 24C19 cách chọn Tổ có nữ, 10 nam có C 22C10 10 cách chọn Vậy có C73C726 C 24C19 cách chia thành tổ TH * TH2: Tổ có. .. lập thành tổ công tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ phó nam có nữ Hỏi có cách lập tổ công tác Lời giải �Chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A 15 cách �Chọn tổ viên, có nữ +) chọn nữ nam có 5.C13