Tính xác suất để người đó a Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp.. Lấy lôgarít hai vế của bất phương trình trên, ta được Vậy, cần phải bắn ít nhất 2 phát đạn để xác suất có ít nhất 1 lần tr
Trang 1B `AI T ˆA.P X´AC SUˆA´T
Cˆau 1: C´o 3 lˆo sa’n phˆa’m, mˆo˜i lˆo c´o 10 sa’n phˆa’m Lˆo th´u i c´o i sa’n phˆa’m xˆa´u
(i = 1,2,3) Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen o.’ mˆo˜i lˆo ra mˆo.t sa’n phˆa’m T´ınh c´ac x´ac xuˆa´t sau:
a) Ca’ 3 sa’n phˆa’m d¯ˆe ` u tˆo´t
b) C´o d¯´ung hai sa’n phˆa’m tˆo´t.
a) T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o ho.n 1 linh kiˆe.n loa.i A ho’ng.
b) T`ım x´ac xuˆa´t d¯ˆe’ m´ay t´ınh ngu.ng hoa.t d¯ˆo.ng.
a) D - ´ung 60 con d¯e’ tr´u.ng trong 1 ng`ay.
b) Khˆong ´ıt ho.n 60 con d¯e’ tr´u.ng trong 1 ng`ay.
Gia’i:
Trang 25% sa’n phˆa’m khˆong c´o chˆa´t lu.o ng la.i d¯u.o c cˆong nhˆa.n l`a c´o chˆa´t lu.o ng cao H˜ay t`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ sau khi kiˆe’m tra mˆo.t sa’n phˆa’m d¯u.o c cˆong nhˆa.n c´o chˆa´t lu.o ng cao d¯´ung l`a sa’n phˆa’m c´o chˆa´t lu.o ng cao.
a) Sa’n phˆa’m d¯´o l`a phˆe´ phˆa’m.
b) Sa’n phˆa’m d¯´o thuˆo.c nh`a m´ay th´u nhˆa´t khi n´o l`a phˆe´ phˆa’m.
Trang 3Cˆau 6: Mˆo.t xa thu’ b˘a´n v`ao mˆo.t c´ai bia X´ac suˆa´t tr´ung d¯´ıch l`a 0,7 Anh ta c´o 4 viˆen d¯a.n; anh ta b˘a´n v`ao bia cho d¯ˆe´n khi tr´ung d¯´ıch ho˘a.c hˆe´t d¯a.n m´o.i thˆoi.
a) Lˆa.p d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n d¯˜a b˘a´n.
b) T´ınh k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o.
Gia’i:
b) K`y vo.ng
E(X) =
4X
Go.i H = { sinh viˆen thuˆo.c d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng }.
A i = { sinh viˆen thuˆo.c n˘am th´u i } i=1,2,3.
Vˆa.y sinh viˆen c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am th´u 2 nhiˆe ` u nhˆa´t.
Cˆau 8: C´o 5 sinh viˆen nhu.ng chı’ c´o 2 v´e b´ong d¯´a Ho viˆe´t 5 c´ai phiˆe´u trˆen d¯´o
2 phiˆe´u ghi “c´o” v`a 3 phiˆe´u ghi “khˆong” Mˆo˜i ngu.`o.i lˆa ` n lu.o t r´ut mˆo.t phiˆe´u nˆe´u ai d¯u.o c phiˆe´u “c´o” th`ı d¯u.o c d¯i xem Ho’i c´ach r´ut phiˆe´u nhu vˆa.y c´o cˆong b˘a`ng hay khˆong?
Gia’i:
Go.i A = { r´ut d¯u.o c phiˆe´u ghi ”c´o” } .
Sˆo´ kˆe´t qua’ thuˆa.n lo i cho biˆe´n cˆo´ A l`a m = 2 × C3
5; sˆo´ kˆe´t qua’ d¯ˆo `ng kha’ n˘ang n = 5!.
5.
Cˆau 9: Trong k`y thi triˆe´t d¯ˆe ` cu.o.ng gˆo `m 10 cˆau ho’i Sˆo´ sinh viˆen trong l´o.p chuˆa’n bi b`ai theo tı’ lˆe sau : 50% ho.c ca’ 10 cˆau ; 30% ho.c 7 cˆau v`a sˆo´ c`on la.i chı’ ho.c 5 cˆau Trˆen mˆo˜i phiˆe´u ho’i thi c´o 2 cˆau ho’i T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ 1 sinh viˆen tra’ l`o.i d¯u.o c ca’ 2 cˆau ho’i.
Gia’i:
Go.i A k = { sv thuˆo.c nh´om th´u.k } k = 1, 2, 3.
v`a H = { sv tra’ l`o.i ca’ 2 cˆau ho’i } .
´
Ap du.ng cˆong th´u.c x´ac suˆa´t to`an phˆa`n
Trang 4P (H) = 1/2.1 + 3/10.7/15 + 1/5.2/9 = 0, 68.
Cˆau 10: Trong d¯ˆo.i b´ong d¯´a cu’a khoa c´o 5 sinh viˆen n˘am th´u 1; 6 sinh viˆen n˘am th´u 2; 4 sinh viˆen n˘am th´u 3 X´ac suˆa´t tham gia d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng tu.o.ng ´u.ng l`a 0,7 ; 0,9 v`a 0,8 G˘a.p mˆo.t sinh viˆen trong d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng Ho’i sinh viˆen n`ay c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am n`ao nhiˆe ` u nhˆa´t?
So s´anh kˆe´t qua’ ta thˆa´y sv n`ay c´o nhiˆe ` u kha’ n˘ang thuˆo.c v`ao n˘am 2.
Cˆau 11: Trong mˆo.t hˆo.p d¯u ng 30 qua’ cˆa`u gˆo`m : 7 cˆa`u d¯o’, 5 cˆa`u xanh , 18 cˆa ` u v`ang Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 3 qua’ cˆa ` u t´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ :
a) C´o 3 qua’ c`ung m`au.
b) C´o ´ıt nhˆa´t 2 qua’ kh´ac m`au.
Gia’i:
a) Go.i A = { biˆe´n cˆo´ 3 qu’a c`ung m`au }.
X´ac suˆa´t cu’a A l`a
´y T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’:
a) Sinh viˆen d¯´o thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi tˆo´t.
b) Sinh viˆen d¯´o thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi k´em.
Trang 5T`ım x´ac d¯ˆe’ viˆen ke.o d¯´o l`a ke.o cam.
Gia’i:
Go.i A k = { viˆen ke.o lˆa´y ra thuˆo.c hˆo.p th´u k } k=1,2,3; k´ı hiˆe.u
B = {viˆen ke.o lˆa´y ra l`a ke.o cam }.
a) D - ˆe’ ´ıt nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
b) D - ˆe’ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
Gia’i:
a) Go.i A i la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u i b˘a´n tru ´ng d¯ı´ch i = 1, 2, 3.
Va` A biˆe´n cˆo´ co ´ ı´t nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru´ng d¯ı´ch Khi d¯o´ A la` biˆe´n cˆo´ khˆong co ´ ngu.`o.i na`o b˘a´n tru ´ng d¯ı´ch.
a) Cho.n khˆong hoa`n la.i;
b) Cho.n hoa`n la.i.
Gia’i:
Trang 6a) Trong tru.`o.ng ho p cho.n khˆong hoa`n la.i Ta go.i A-D , A V , A X , A lˆa `n lu.o t la` ca ´c biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯ˆe’ 3 bi cu`ng ma`u d¯o’, cu`ng ma`u va`ng, cu`ng ma`u xanh, cu`ng ma`u Khi d¯o ´ theo cˆong th´u.c cˆo.ng ta d¯u.o c
P (A) = P (A-D ) + P (A V ) + P (A X)
= C
3 7
C3 30+ C
3 11
C3 30+ C
3 12
C3 30
= 0, 1034.
b) Trong tru.`o.ng ho p cho.n hoa`n la.i Ta go.i B-D , B V , B X , B lˆa `n lu.o t la` ca´c biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯ˆe’ 3 bi cu`ng ma`u d¯o’, cu`ng ma`u va`ng, cu`ng ma`u xanh, cu`ng ma`u Khi d¯o ´ theo cˆong th´u.c cˆo.ng ta d¯u.o c
= 0, 126.
Cˆau 16: Ba xa thu’ b˘a´n v`ao mˆo.t mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯ˆo.c lˆa.p nhau X´ac suˆa´t b˘a´n tr´ung d¯´ıch lˆa `n lu.o t cu’a t`u.ng ngu.`o.i la`: ngu.`o.i th´u nhˆa´t 0,8, ngu.`o.i th´u hai 0,75, ngu.`o.i th´u ba 0,7 T`ım x´ac suˆa´t:
a) D - ˆe’ ca’ 3 xa thu’ b˘a´n tr´ung.
b) D - ˆe’ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
Gia’i:
a) Go.i A i la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u i b˘a´n tru ´ng d¯ı´ch i = 1, 2, 3.
Va` A biˆe´n cˆo´ ca’ 3 ngu.`o.i b˘a´n tru ´ng d¯ı´ch Khi d¯o ´
Ta co ´ P (A) = P (A1).P (A2).P (A3) = 0, 8.0, 75.0, 7.
Vˆa.y P (A) = 0, 985.
b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co ´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru´ng d¯ı´ch Khi d¯o´
P (B) = P (A1).P (A2).P (A3) + P (A1).P (A2).P (A3) + P (A1).P (A2).P (A3)
= 0, 8.0, 25.0, 3 + 0, 2.0, 75.0, 3 + 0, 2.0, 25.0, 7.
Cˆau 17: Tung 2 con x´uc x˘a´c d¯ˆo `ng chˆa´t trˆen nˆe ` n c´u.ng ph˘a’ng.
a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o.’ m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a
2 con x´uc x˘a´c l`a 8.
b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho 2.
Trang 7Cˆau 18: Ba xa thu’ b˘a´n v`ao mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯ˆo.c lˆa.p nhau X´ac suˆa´t b˘a´n tr´ung d¯´ıch cu’a ngu.`o.i th´u nhˆa´t b˘a`ng 0,8; cu’a ngu.`o.i th´u hai b˘a`ng 0,75; cu’a ngu.`o.i th´u ba b˘a`ng 0,7 T`ım x´ac suˆa´t:
a) D - ˆe’ ca’ 3 xa thu’ b˘a´n tru.o t.
b) D - ˆe’ ı´t nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
Gia’i:
a) Go.i A i la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u i b˘a´n tru.o t i = 1, 2, 3.
Va` A biˆe´n cˆo´ ca’ 3 ngu.`o.i b˘a´n tru.o t Khi d¯o´
Ta co ´ P (A) = P (A1).P (A2).P (A3) = 0, 2.0, 25.0, 3.
Gia’i:
Go.i A ={ sa’n phˆa’m khˆong d¯´ung qui c´ach}.
Khi d¯´o: A ={ sa’n phˆa’m d¯´ung qui c´ach}.
Cˆau 20: Tung 2 con x´uc x˘a´c d¯ˆo `ng chˆa´t trˆen nˆe ` n c´u.ng ph˘a’ng.
a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o.’ m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a
2 con x´uc x˘a´c l`a 8.
b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho 2.
Gia’i:
a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o.’ m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a
2 con x´uc x˘a´c l`a 8.
b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho 2.
Cˆau 21: Trong mˆo.t l´o.p ho.c co´ 6 bo´ng d¯e`n, mˆo˜i bo´ng co´ xa´c suˆa´t cha´y la` 14 L´o.p ho.c d¯u’ a´nh sa´ng nˆe´u co´ ı´t nhˆa´t 4 bo´ng d¯e`n sa´ng Tı´nh xa´c suˆa´t d¯ˆe’ l´o.p ho.c khˆong d¯u’ a´nh sa´ng.
Gia’i:
Mˆo˜i bo ´ng co ´ xa ´c suˆa´t cha ´y la` 1
4 Suy ra xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ 1 bo ´ng sa ´ng la` 3
4.
Co ´ ı´t nhˆa´t 4 bo ´ng sa ´ng Go.i P la` xa´c suˆa´t d¯ˆe’ l´o.p ho.c d¯u’ a´nh sa´ng.
Trang 8Vˆa.y xa´c xuˆa´t d¯ˆe’ l´o.p ho.c khˆong d¯u’ a´nh sa´ng la`: 1 − P = 0, 1695.
Cˆau 22: Mˆo.t ba`i thi tr˘a´c nghiˆe.m gˆo`m 12 cˆau ho’i, mˆo˜i cˆau ho’i cho 5 cˆau tra’ l`o.i, trong d¯o ´ chı’ co ´ mˆo.t cˆau d¯u´ng Gia’ su.’ mˆo.t cˆau tra’ l`o.i d¯u´ng d¯u.o c 4 d¯iˆe’m Mˆo.t ho.c sinh ke´m la`m ba`i b˘a`ng ca´ch cho.n hu´ hoa mˆo.t cˆau tra’ l`o.i Tı´nh xa´c suˆa´t d¯ˆe’:
a) Anh ta d¯u.o c 13 d¯iˆe’m.
b) Anh ta d¯u.o c d¯iˆe’m ˆam.
Gia’i:
a)Anh ta d¯u.o c 13 d¯iˆe’m trong tru.`o.ng ho p tra’ l`o.i d¯u´ng 5 cˆau va` tra’ l`o.i sai
7 cˆau Xa ´c xuˆa´t tra’ l`o.i d¯u ´ng cˆau ho’i 1
5.Xa ´c xuˆa´t tra’ l`o.i sai cˆau ho’i 4
Vˆa.y xa´c suˆa´t d¯ˆe’ th˘a´ng ı´t nhˆa´t 3 va´n la`:
Cˆau 24: Mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n 3 viˆen d¯a.n Xa´c suˆa´t d¯ˆe’ ca’ 3 viˆen tru´ng vo`ng 10 la`
0, 0008, xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ 1 viˆen tru ´ng vo`ng 8 la` 0, 15, va` xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ 1 viˆen tru ´ng vo`ng du.´o.i 8 la` 0, 4 Tı´nh xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ xa thu’ d¯a.t ı´t nhˆa´t 28 d¯iˆe’m.
Gia’i:
T`u d¯iˆe `u kiˆe.n ba`i toa´n suy ra xa´c xuˆa´t b˘a´n tru´ng vo`ng 10 la` 0,2; tru´ng vo`ng 9 la` 0,25 Xa thu’ d¯a.t ı´t nhˆa´t 28 d¯iˆe’m trong ca´c tru.`o.ng ho p sau:
a) 1 viˆen 10 va` 2 viˆen 9.Xa ´c xuˆa´t la`: 3.(0, 2).(0, 25)2 = 0, 0375
b) 2 viˆen 10 va` 1 viˆen 9.Xa ´c xuˆa´t la`: 3.(0, 2)2.(0, 25) = 0, 03
c) 2 viˆen 10 va` 1 viˆen 8.Xa ´c xuˆa´t la`: 3.(0, 2)2.(0, 15) = 0, 018
d) Ca’ 3 viˆen 10.Xa ´c xuˆa´t la` 0,008 Vˆa.y P la` xa´c xuˆa´t d¯ˆe’ d¯a.t ı´t nhˆa´t 28 d¯iˆe’m: P = 0, 0375 + 0, 03 + 0, 018 + 0, 008 = 0, 0935
Cˆau 25: Mˆo.t ma´y bay co´ 5 d¯ˆo.ng co., trong d¯o´ co´ 3 d¯ˆo.ng co o.’ ca´nh pha’i va`
2 d¯ˆo.ng co o.’ ca´nh tra´i Mˆo˜i d¯ˆo.ng co o.’ ca´nh pha’i co´ xa´c suˆa´t bi ho’ng la` 0, 1, co`n mˆo˜i d¯ˆo.ng co o.’ ca´nh tra´i co´ xa´c suˆa´t bi ho’ng la` 0, 05 Ca ´c d¯ˆo.ng co hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p Tı´nh xa´c suˆa´t d¯ˆe’ ma´y bay thu c hiˆe.n chuyˆe´n bay an toa`n trong
ca ´c tru.`o.ng ho p sau:
Trang 9a) Ma ´y bay chı’ bay d¯u.o c nˆe´u co´ ı´t nhˆa´t hai d¯ˆo.ng co la`m viˆe.c.
b) Ma ´y bay chı’ bay d¯u.o c khi trˆen mˆo˜i ca´nh cu’a no´ co´ ı´t nhˆa´t mˆo.t d¯ˆo.ng
co la`m viˆe.c.
B la` xa ´c xuˆa´t d¯ˆe’ ma ´y bay bay an toa`n = 1 − 0, 00016 = 0, 99984
b) P- Ca ´nh pha’i co ´ ı´t nhˆa´t 1 d¯ˆo.ng co la`m viˆe.c = 1 − (0, 1)2 = 0, 99
Q-Ca ´nh tra ´i co ´ ı´t nhˆa´t mˆo.t d¯ˆo.ng co la`m viˆe.c = (1 − (), 05)2 = 0, 9975
Vˆa.y A-Xa´c suˆa´t d¯ˆe’ ma´y bay bay an toa`n la` = (0, 99).(0, 9975) = (0, 9875)
Cˆau 26: Mˆo.t ngu.`o.i say ru.o u bu.´o.c 8 bu.´o.c Mˆo˜i bu.´o.c anh ta tiˆe´n lˆen phı´a tru.´o.c mˆo.t me´t ho˘a.c lu`i la.i phı´a sau mˆo.t me´t v´o.i xa´c suˆa´t nhu nhau Tı´nh
xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ sau 8 bu.´o.c:
a) Anh ta tro.’ la.i d¯iˆe’m xuˆa´t pha´t.
b) Anh ta ca ´ch d¯iˆe’m xuˆa´t pha ´t ho.n 4m.
b)Anh ta ca ´ch d¯iˆe’m xuˆa´t pha ´t ho.n 4m nˆe´u sˆo´ bu.´o.c tiˆe´n la` 8,7,0,1 Vˆa.y: P = C88.(1
Cˆau 27: Gieo 3 con xu ´c s˘a´c cˆan x´u.ng d¯ˆo.c lˆa.p Tı´nh xa´c suˆa´t d¯ˆe’:
a) Tˆo’ng sˆo´ nˆo´t xuˆa´t hiˆe.n la` 8 nˆe´u biˆe´t r˘a`ng ı´t nhˆa´t co´ mˆo.t con ra nˆo´t 1.
b) Co ´ ı´t nhˆa´t mˆo.t con ra lu.c nˆe´u biˆe´t r˘a`ng sˆo´ nˆo´t trˆen 3 con la` kha´c nhau.
Gia’i:
a)Go.i A la` biˆe´n cˆo´ :”Tˆo’ng sˆo´ nˆo´t la` 8” va` B la` biˆe´n cˆo´:”Co´ ı´t nhˆa´t mˆo.t con ra nˆo´t 1”.
Ca ´c tru.`o.ng hˆo co´ tˆo’ng b˘a`ng 8 la`:(2,3,3);(2,2,4);(1,1,6);(1,2,5);(1,3,4) va`
ca ´c hoa ´n vi cu’a chu´ng.
T`u d¯o ´ sˆo´ tru.`o.ng ho p co´ thˆe’ la` 3 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6 = 21
Dˆe˜ thˆa´y
Trang 10P (B) = 1 − (5
6)
3 = 91216
Vˆa.y P (A/B) = 15
91 b)Go.i A: ”Co ´ ı´t nhˆa´t mˆo.t con ra lu.c”
B: ”Sˆo´ nˆo´t trˆen 3 con kha ´c nhau”.
Vˆa.y P (A/B) = 1
3
Cˆau 29: Mˆo.t cuˆo.c thi co´ 3 vo`ng Vo`ng 1 lˆa´y 90% thı´ sinh Vo`ng 2 lˆa´y 80%
thı´ sinh cu’a vo`ng 1 va` vo`ng 3 lˆa´y 90% thı´ sinh cu’a vo`ng 2.
a) Tı´nh xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t thı´ sinh lo.t qua 3 vo`ng thi.
b) Tı´nh xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t thı´ sinh bi loa.i o.’ vo`ng 2 nˆe´u biˆe´t r˘a`ng thı´ sinh d¯o ´ bi loa.i.
Cˆau 30: Mˆo.t c˘a.p tre’ sinh d¯ˆoico´ thˆe’ do cu`ng mˆo.t tr´u.ng (sinh d¯ˆoi thˆa.t), hay
do hai tr´u.ng kha ´c nhau sinh ra 9sinh d¯ˆoi gia’) Ca ´c c˘a.p sinh d¯ˆoi thˆa.t luˆon co´ cu`ng gi´o.i tı´nh D - ˆo´i v´o.i c˘a.p sinh d¯ˆoi gia’ thı` gi´o.i tı´nh cu’a mˆo˜i d¯´u.a d¯ˆo.c lˆa.p v´o.i nhau va` co ´ xa ´c suˆa´t 0, 5 la` con trai Thˆo´ng kˆe cho thˆa´y 34% c˘a.p sinh d¯ˆoi d¯ˆe `u la` trai, 30% c˘a.p d¯ˆe `u la` ga´i, va` 36% c˘a.p sinh d¯ˆoi co´ gi´o.i tı´nh kha´c nhau.
a) Tı`m tı’ lˆe c˘a.p sinh d¯ˆoi thˆa.t.
b) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t c˘a.p sinh d¯ˆoi thı` d¯u.o c mˆo.t c˘a.p co´ gi´o.i tı´nh Tı´nh
xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ d¯o ´ la` c˘a.p sinh d¯ˆoi thˆa.t.
Theo cˆong th´u.c xa ´c xuˆa´t d¯ˆa `y d¯u’.
P (A) = P (B1)P (A/B1) + P (B2)P (A/B2)
=⇒ 0, 64 = x + 1 − x =⇒ x = 0, 28
Trang 11Go.i E1: ”T`u chuˆo `ng 2 b˘a´t d¯u.o c tho’ tr˘a´ng”,
E2: ”T`u chuˆo `ng 2 b˘a´t d¯u.o c tho’ d¯en”
A: ”B˘a´t d¯u.o c tho’ tr˘a´ng o.’ lˆa`n b˘a´t sau”
B: ”B˘a´t d¯u.o c tho’ tr˘a´ng cu’a chuˆo`ng 1 o.’ lˆa`n b˘a´t sau”
Ta co ´ P (A) = P (E1)P (A/E1) + P (E2)P (A/E2) =
Vˆa.y P (B/A) = P (AB)
P (A) =
P (B)
P (A) =
100103
Cˆau 32: Mˆo.t chuˆo`ng ga` co´ 9 con ma´i va` 1 con trˆo´ng Chuˆo`ng kia co´ 1 con
ma ´i va` 5 con trˆo´ng T`u mˆo˜i chuˆo `ng ta b˘a´t ra ngˆa˜u nhiˆen 1 con la`m thi.t Ca´c con ga` co`n la.i d¯u.o c dˆo`n va`o chuˆo`ng th´u ba T`u chuˆo`ng nˆa`y ta la.i b˘a´t ngˆa˜u nhiˆen 1 con Tı´nh xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ b˘a´t d¯u.o c ga` trˆo´ng.
Gia’i:
Go.iE1: ”B˘a´t d¯u.o c hai ga` trˆo´ng”
E2: ”B˘a´t d¯u.o c hai ga` ma´i”
E3: ”B˘a´t d¯u.o c mˆo.t ga` trˆo´ng va` mˆo.t ga` ma´i”. E1, E2, E3 la` hˆe d¯ˆa`y d¯u’ v´o.i
P (E2) = 109 .16 = 609
P (E3) = 1 − 605 − 609 = 4660
Go.i A: ”B˘a´t d¯u.o c ga` trˆo´ng t`u chuˆo`ng th´u ba”
Khi d¯o ´: P (A) = P (E1)P (A/E1) + P (E2)P (A/E2) + P (E3)P (A/E3) =
5
60.144 + 609 .146 + 4660.145 = 304840 = 0, 3619
Cˆau 33: Mˆo.t chiˆe´c ma´y bay co´ thˆe’ xuˆa´t hiˆe.n o.’ vi trı´ A v´o.i xa ´c suˆa´t 2
3 va` o.’
vi trı´ B v´o.i xa ´c suˆa´t 1
3 Co ´ ba phu.o.ng a ´n bˆo´ trı´ 4 khˆa’u pha ´o b˘a´n ma ´y bay nhu sau:
Phu.o.ng a ´n 1: 3 khˆa’u d¯˘a.t ta.i A, 1 khˆa’u d¯˘a.t ta.i B.
Phu.o.ng a ´n 2: 2 khˆa’u d¯˘a.t ta.i A, 2 khˆa’u d¯˘a.t ta.i B.
Phu.o.ng a ´n 3: 1 khˆa’u d¯˘a.t ta.i A, 3 khˆa’u d¯˘a.t ta.i B.
Biˆe´t r˘a`ng xa ´c suˆa´t b˘a´n tru ´ng ma ´y bay cu’a mˆo˜i khˆa’u pha ´o la` 0, 7 va` ca ´c khˆa’u pha ´o hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p v´o.i nhau, ha˜y cho.n phu.o.ng a´n tˆo´t nhˆa´t.
Gia’i:
Xe ´t phu.o.ng a ´n 1 Nˆe´u ma ´y bay xuˆa´t hiˆe.n o.’ A thı` xa´c xuˆa´t b˘a´n ha la`
1 − (0, 3)3 = 0, 973.
Trang 12Nˆe´u ma ´y bay xuˆa´t hiˆe.n o.’ B thı` xa´c suˆa´t b˘a´n ha la` 0, 7.
Vˆa.y theo cˆong th´u.c xa´c suˆa´t d¯ˆa`y d¯u’, xa´c suˆa´t b˘a´n ha ma´y bay theo phu.o.ng a ´n 1 la`:
Vˆa.y theo phu.o.ng a´n 2 la` tˆo´t nhˆa´t
Cˆau 34: Mˆo.t nha` ma´y sa’n xuˆa´t bo´ng d¯e`n co´ tı’ lˆe bo´ng d¯a.t tiˆeu chuˆa’n la`
80% Tru.´o.c khi xuˆa´t xu.o.’ng ra thi tru.`o.ng mˆo˜i bo´ng d¯e`n d¯ˆe `u d¯u.o c qua kiˆe’m tra chˆa´t lu.o ng Vı` su kiˆe’m tra khˆong thˆe’ tuyˆe.t d¯ˆo´i hoa`n ha’o, nˆen mˆo.t bo´ng d¯e`n tˆo´t co ´ xa ´c suˆa´t 0, 9 d¯u.o c cˆong nhˆa.n la` tˆo´t, va` mˆo.t bo´ng d¯e`n ho’ng co´
xa ´c suˆa´t 0, 95 bi loa.i bo’ Ha˜y tı´nh tı’ lˆe bo´ng d¯a.t tiˆeu chuˆa’n sau khi qua khˆau kiˆe’m tra chˆa´t lu.o ng sa’n phˆa’m.
ba, th´u tu theo th´u tu la` 0, 8; 0, 7; 0, 6; 0, 5 Cho.n ngˆa˜u nhiˆen 1 xa thu’ va` xa thu’ nˆa `y b˘a´n tru.o t Ha˜y xa´c d¯i.nh xem xa thu’ nˆa`y co´ kha’ n˘ang o.’ trong nho´m na`o nhˆa´t.
Gia’i:
Go.i E1: ”Xa thu’ thuˆo.c nho´m 1”; go.i E2: ”Xa thu’ thuˆo.c nho´m 2”; E3: ”Xa thu’ thuˆo.c nho´m 3”; E4: ”Xa thu’ thuˆo.c nho´m 4”; A: ”Xa thu’ b˘a´n tru.o t” Theo d¯ˆa `u ba`i ta co´:
= 1057 Vˆa.y xa thu’ co´ kha’ n˘ang o.’ nho´m hai nhˆa´t.
Cˆau 36: Trong sˆo´ bˆe.nh nhˆan o.’ 1 bˆe.nh viˆe.n co´ 50% d¯iˆe `u tri bˆe.nh A; 30% d¯iˆe `u tri bˆe.nh B; va` 20% d¯iˆe `u tri bˆe.nh C Xa´c suˆa´t d¯ˆe’ ch˜u.a kho’i ca´c bˆe.nh A, B, C
trong bˆe.nh viˆe.n nˆa`y tu.o.ng ´u.ng la` 0, 7; 0, 8; 0, 9 Ha ˜y tı´nh tı’ lˆe bˆe.nh nhˆan ch˜u.a kho’i bˆe.nh trong tˆo’ng sˆo´ bˆe.nh nhˆan d¯a˜ d¯u.o c ch˜u.a kho’i bˆe.nh.
Trang 13Gia’i:
Go.i A: ”Bˆe.nh nhˆan d¯iˆe `u tri bˆe.nh A”; B: ”Bˆe.nh nhˆan d¯iˆe `u tri bˆe.nh B”;
C: ”Bˆe.nh nhˆan d¯iˆe `u tri bˆe.nh C”; H: ”Bˆe.nh nhˆan d¯u.o c ch˜u.a kho’i bˆe.nh ”
xa ´c suˆa´t d¯oa ´n d¯u ´ng la` 75% Co ´ 4 ngu.`o.i kˆe´t luˆa.n chai ru.o u loa.i A va` 1 ngu.`o.i kˆe´t luˆa.n chai ru.o u loa.i B Ho’i khi d¯o ´ xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ chai ru.o u d¯u.o c cho.n thuˆo.c loa.i A la` bao nhiˆeu?
Gia’i:
Go.i A la` biˆe´n cˆo´: ”Chai ru.o u thuˆo.c loa.i A”; B la` biˆe´n cˆo´: ”Chai ru.o u thuˆo.c loa.i B” va` H la` biˆe´n cˆo´: ”Co ´ 4 ngu.`o.i kˆe´t luˆa.n ru.o u loa.i A,1 ngu.`o.i kˆe´t luˆa.n ru.o u loa.i B”.
Ta cˆa `n tı´nh P (A/H) a ´p du.ng cˆong th´u.c Baye´s
Thay va`o ta thu d¯u.o c:
xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ su truyˆe `n ma´u d¯u.o c thu c hiˆe.n.
b) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t ngu.`o.i cˆa`n tiˆe´p ma´u va` hai ngu.`o.i hiˆe´n ma´u Tı´nh
xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ su truyˆe `n ma´u d¯u.o c thu c hiˆe.n.
Gia’i:
a) Kı´ hiˆe.u O, A, B, AB tu.o.ng ´u.ng la` ca ´c biˆe´n cˆo´: ”Ngu.`o.i cˆa `n tiˆe´p ma´u
co ´ nho ´m ma ´u la` O,A,B,AB”.
Go.i H la` biˆe´n cˆo´: ”Su truyˆe `n ma´u thu c hiˆe.n d¯u.o c” Theo cˆong th´u.c xa´c suˆa´t d¯ˆa `y d¯u’ ta co´:
P (H) = P (O) + P (A)P (H/A) + P (B)P (H/B) + P (AB)P (H/AB)
Theo gia’ thiˆe´t:
P (O) = 0, 337; P (A) = 0, 375; P (B) = 0, 209; P (AB) = 0, 079; P (H/O) =
P (O) = 0, 337;
Trang 14P (H/A) = P (O) + P (A) = 0, 712; P (H/B) = P (O) + P (B) = 0, 546; P (H/AB) = 1.
Thay va`o ta d¯u.o c: P (H) = 0, 5737
b) Go.i E la` biˆe´n cˆo´: ”Su truyˆe `n ma´u khˆong thu c hiˆe.n d¯u.o c”
Ta co ´: P (E/O) = [1 − P (O)]2 = 0, 6632.
P (E/A) = [1 − P (O) − P (A)]2 = 0, 2882 P (E/B) = [1 − P (O) − P (B)]2 = 0, 4542
P (E/AB) = 0;´p du.ng cˆong th´u.c xa´c suˆa´t d¯ˆa`y d¯u’ ta d¯u.o c a P (E) = 0, 2223 Vˆa.y xa´c suˆa´t d¯ˆe’ truyˆe `n ma´u d¯u.o c la`: 1 − P (E) = 0, 7777
Cˆau 39: Mˆo.t bˆe.nh nhˆan bi nghi la` co´ thˆe’ m˘a´c mˆo.t trong 3 bˆe.nh A, B, C v´o.i
ca ´c xa ´c suˆa´t tu.o.ng ´u.ng la` 0, 3; 0, 4; 0, 3 Ngu.`o.i d¯o ´ d¯ˆe´n kha ´m bˆe.nh o.’ 4 ba´c sı˜ mˆo.t ca´ch d¯ˆo.c lˆa.p Ba´c sı˜ th´u nhˆa´t chˆa’n d¯oa´n bˆe.nh A, Ba ´c sı˜ th´u hai chˆa’n d¯oa ´n bˆe.nh B, Ba ´c sı˜ th´u ba chˆa’n d¯oa ´n bˆe.nh C, Ba ´c sı˜ th´u tu chˆa’n d¯oa ´n bˆe.nh A Ho’i sau khi kha ´m bˆe.nh xong, ngu.`o.i bˆe.nh cˆa`n d¯a´nh gia´ la.i xa´c suˆa´t m˘a´c bˆe.nh A, B, C cu’a mı`nh la` bao nhiˆeu Biˆe´t r˘a`ng xa ´c suˆa´t chˆa’n d¯oa ´n d¯u ´ng cu’a mˆo˜i ba ´c sı˜ la` 0, 6; va` chˆa’n d¯oa ´n nhˆa `m sang hai bˆe.nh co`n la.i la` 0, 2; 0, 2 Gia’i:
Kı´ hiˆe.u H la` biˆe´n cˆo´ d¯a ˜ xa’y ra.
Ta co ´:
P (H/A) = (0, 6)(0, 2)(0, 2)(0, 6) = 0, 0144; P (H/B) = (0, 2)(0, 6)(0, 2)(0, 2) =
0, 0048
P (H/C) = (0, 2)(0, 2)(0, 6)(0, 2) = 0, 0048.
Vˆa.y Xa´c suˆa´t m˘a´c bˆe.nh A la`:
P (H/A) = P (A)P (H/A)
ba o.’ khoa’ng ca ´ch 50 me ´t Tı`m xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ ngu.`o.i tho s˘an b˘a´n d¯u.o c tho’ trong cuˆo.c d¯i s˘an nˆa`y.
Gia’i:
Ba`i toa ´n d¯a ˜ cho 3 biˆe´n cˆo´:
T i: ”tho s˘an b˘a´n tru´ng tho’ o.’ lˆa`n b˘a´n th´u. i”, i = 1, 2, 3 Ba biˆe´n cˆo´ nˆa `y khˆong d¯ˆo.c lˆa.p Theo gia’ thiˆe´t ta co´: P (T1) = k
20 = 0, 5 Suy ra h˘a`ng sˆo´ tı’ lˆe.
Cˆau 41: Co ´ mˆo.t bˆe.nh nhˆan ma` ba´c sı˜ chˆa’n d¯oa´n m˘a´c bˆe.nh A v´o.i xa ´c suˆa´t
0, 7, m˘a´c bˆe.nh B v´o.i xa ´c suˆa´t 0, 3 D - ˆe’ co´ thˆem thˆong tin chˆa’n d¯oa´n ba´c sı˜ d¯a˜
Trang 15Nˆen chˆa’n d¯oa ´n m˘a´c bˆe.nh A thı` kha’ n˘ang d¯u ´ng cao ho.n.
Cˆau 42: Co ´ hai lˆo sa’n phˆa’m Lˆo I gˆo `m 90% chı´nh phˆa’m Lˆo II co tı’ lˆe phˆe´ phˆa’m / chı´nh phˆa’m la` 1
4 lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen ra mˆo.t lˆo, rˆo`i t`u d¯o´ lˆa´y 1 sa’n phˆa’m
ta d¯u.o c chı´nh phˆa’m Tra’ sa’n phˆa’m na`y tro.’ la.i lˆo cu’a no´ t`u lˆo nˆa`y ta la.i lˆa´y
ra 1 sa’n phˆa’m Tı`m xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ lˆa´y pha’i phˆe´ phˆa’m.
Gia’i:
Go.i B: ”lˆa´y ra lˆo 1”, P (B) = 0, 5.
A: ”lˆa´y d¯u.o c chı´nh phˆa’m”. P (A/B) = 0, 9; P (A/B) = 0, 8 =⇒ P (A) = 0.5.0.9 + 0.5.0, 8 = 0, 85
a) Tı`m kha’ n˘ang con m˘a´t d¯en biˆe´t r˘a`ng cha m˘a´t d¯en.
b) Tı`m kha’ n˘ang con m˘a´t xanh biˆe´t r˘a`ng cha m˘a´t xanh.
Gia’i:
a) Ca ´c xa ´c suˆa´t cˆa `n tı`m d¯ˆe `u la` xa´c suˆa´t co´ d¯iˆe `u kiˆe.n.
P(con m˘a´t d¯en/ cha m˘a´t d¯en)= P(con m˘a´t d¯en va` cha m˘a´t d¯en)/P(cha m˘a´t d¯en)= 0, 072/(0, 782 + 0, 079) = 0, 9082.
(vı` P(cha m˘a´t d¯en)= P(cha m˘a´t d¯en va` con m˘a´t d¯en)+P (cha m˘a´t d¯en va` con m˘a´t xanh)= 0, 782 + 0, 079 = 0, 861).
Tu.o.ng tu P(con m˘a´t xanh/cha m˘a´t xanh)= P(con m˘a´t xanh va` cha m˘a´t xanh)/P(cha m˘a´t xanh)= 0, 05/(1 − 0, 861) = 0, 3597
Cˆau 45: Ta xe ´t ca ´c gia d¯ı`nh co ´ 2 con kha’ n˘ang sinh con ga ´i trong mˆo˜i lˆa `n sinh la` 0, 51; ca ´c lˆa `n sinh la` d¯ˆo.c lˆa.p Tı`m xa´c suˆa´t d¯ˆe’ khi cho.n ngˆa˜u nhiˆen 1 gia d¯ı`nh trong sˆo´ ca ´c gia d¯ı`nh co ´ 2 con ta d¯u.o c:
a) Gia d¯ı`nh co ´ con ga ´i d¯ˆa `u, con trai th´u hai.
b) Gia d¯ı`nh co ´ con th´u hai la` trai, biˆe´t r˘a`ng d¯´u.a thu ´ nhˆa´t la` ga ´i.
c) Gia d¯ı`nh co ´ con th´u hai la` trai, biˆe´t r˘a`ng ho co´ ı´t nhˆa´t mˆo.t con ga´i Gia’i: Go.i T i: ”d¯´u.a con th´u. i la` trai”, i = 1, 2
Trang 16a) A = T1T2 =⇒ P (A) = 0, 51.0, 49 = 0, 2499
b) P (T2/T1) = P (T1T2)/P (T1) = P (A)/P (T1) = 0, 2499/0, 51 = 0, 49
c) Ta cˆa `n tı´nh P (T2/B).
P (B) = 1 − P (B) = 1 − P (khˆong co ´ con ga ´i na`o) =
= 1 − P (ca’ hai con d¯ˆe `u trai) = 1 − 0, 49.0, 49 = 0, 7599.
P (T2/B) = P (T2B)/P (B) = P (T2T1)/P (B) = P (A)/P (B)+
= 0, 2499/0, 7599 = 0, 3289.
Cˆau 46: Ba khˆa’u su ´ng cu`ng b˘a´n va`o mˆo.t mu.c tiˆeu Co´ hai viˆen d¯a.n tru´ng d¯ı´ch Tı`m xa ´c suˆa´t d¯ˆe’ cho viˆen d¯a.n do ngu.`o.i th´u nhˆa´t b˘a´n la` tru´ng d¯ı´ch, biˆe´t r˘a`ng xa ´c suˆa´t tru ´ng d¯ı´ch cu’a t`u.ng ngu.`o.i tu.o.ng ´u.ng la` 0, 6; 0, 8; 0, 9 Gia’i:
Go.i T i: ”ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru ´ng d¯ı´ch”, i = 1, 2, 3
A: ”co ´ hai ngu.`o.i b˘a´n tru ´ng d¯ı´ch”
´y T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’:
a) Sinh viˆen d¯´o thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi tˆo´t.
b) Sinh viˆen d¯´o thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi k´em.
Gia’i: Tru`ng v´o.i ba`i 12.
Cˆau 48: Mˆo.t xa thu’ b˘a´n v`ao mˆo.t c´ai bia X´ac suˆa´t tr´ung d¯´ıch l`a 0,7 Anh ta c´o 4 viˆen d¯a.n; anh ta b˘a´n v`ao bia cho d¯ˆe´n khi tr´ung d¯´ıch ho˘a.c hˆe´t d¯a.n m´o.i thˆoi.
a) Lˆa.p d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n d¯˜a b˘a´n.
b) T´ınh k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o.
Gia’i: Tru`ng ba`i 6.
Cˆau 49: Ba xa thu’ b˘a´n v`ao mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯ˆo.c lˆa.p nhau X´ac suˆa´t b˘a´n tr´ung d¯´ıch cu’a ngu.`o.i th´u nhˆa´t b˘a`ng 0,8; cu’a ngu.`o.i th´u hai b˘a`ng 0,75; cu’a ngu.`o.i th´u ba b˘a`ng 0,7 T`ım x´ac suˆa´t:
a) D - ˆe’ ca’ 3 xa thu’ b˘a´n tru.o t.
b) D - ˆe’ ı´t nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
Gia’i: Tru`ng ba`i 18.
Cˆau 50: Hai bı`nh d¯u ng bi giˆo´ng nhau, mˆo˜i bı`nh d¯u ng 5 bi tr˘a´ng va` 7 bi d¯o’ Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen mˆo˜i bı`nh mˆo.t bi, rˆo`i t`u hai bi nˆa`y cho.n mˆo.t bi Tı´nh xa´c suˆa´t d¯ˆe’ bi cho.n ra sau cu`ng la` bi tr˘a´ng.
Gia’i: Go.i T i: ”Bi lˆa´y ra t`u bı`nh th´u. i la` tr˘a´ng”, i = 1, 2, 3
: ” hai bi lˆa´y ra co ´ d¯u ´ng bi tr˘a´ng”
Trang 17F: ”bi lˆa´y ra sau cu`ng la` tr˘a´ng”
{T i , T i }; {A o , A1, A2} la` nh˜u.ng hˆe d¯ˆa`y d¯u’, {T1, T2} d¯ˆo.c lˆa.p.
A1 = T1 T2+ T1T2 =⇒ P (A1) = 5
12
712
712
5
12 =
70144
AT1: ”ngu.`o.i th´u nhˆa´t b˘a´n tru ´ng va` hai ngu.`o.i kia co ´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru.o t”
Vˆa.y P (F ) = P (A o )P (F/A o ) + P (A1)P (F/A1) + P (A2)P (F/A2) = 5
12
Trang 18B `AI T ˆA.P D- A.I LU.O NG NG ˆ. A˜U NHIˆEN
Cˆau 1: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co´ ba’ng phˆan phˆo´i xa´c suˆa´t sau:
a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i F (x) cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) Tı´nh ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
Cˆau 2: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t x´ac d¯i.nh nhu sau:
p(x) =
½
0 nˆe´u x 6 1
a lnx x2 nˆe´u x > 1
a) X´ac d¯i.nh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i
b) T`ım k`y vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X
Cˆau 3: Cho d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t sau:
a) T`ım h`am phˆan phˆo´i cu’a X
b) T`ım k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X
Cˆau 4: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t x´ac d¯i.nh nhu sau:
p(x) =
½
e −x nˆe´u x > 0
0 nˆe´u x < 0
a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X
b) Tı`m ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X
Cˆau 5: D- u.`o.ng k´ınh cu’a mˆo.t loa.i tru.c m´ay do m´ay tiˆe.n ra l`a mˆo.t d¯a.i lu.o ng ngˆa˜u nhiˆen
c´o phˆan phˆo´i chuˆa’n v´o.i trung b`ınh l`a 25mm v`a phu.o.ng sai l`a 1, 44mm2 Tru.c n`ayd¯u.o c go.i l`a d¯a.t tiˆeu chuˆa’n k˜y thuˆa.t nˆe´u d¯u.`o.ng k´ınh n˘a`m trong khoa’ng t`u 23,44mmd¯ˆe´n 26,56mm
a) T´ınh sˆo´ tru.c d¯a.t tiˆeu chuˆa’n khi sa’n xuˆa´t 200 tru.c
b) Pha’i sa’n xuˆa´t ´ıt nhˆa´t bao nhiˆeu tru.c d¯ˆe’ x´ac suˆa´t c´o ´ıt nhˆa´t 1 tru.c d¯a.t tiˆeu
chuˆa’n k˜y thuˆa.t khˆong du.´o.i 99, 73%.
Cˆau 6: Mˆo.t kho ha.t giˆo´ng c´o tı’ lˆe nˆa’y mˆa`m l`a 99, 9% Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 10000 ha.t d¯em
gieo T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ trong d¯´o c´o d¯´ung 100 ha.t khˆong nˆa’y mˆa`m
Cˆau 7: Hai xa thu’ lˆa`n lu.o t b˘a´n v`ao 1 c´ai bia X´ac suˆa´t tr´ung d¯´ıch tu.o.ng ´u.ng l`a 0,6v`a 0,4 Mˆo˜i ngu.`o.i d¯ˆe` u c´o 5 viˆen d¯a.n Nˆe´u c`on d¯a.n v`a bia chu.a bi b˘a´n tr´ung th`ı ho c`onb˘a´n
a) T`ım luˆa.t phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n 2 ngu.`o.i d¯˜a b˘a´n
b) T´ınh k`y vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o
Cˆau 8: Gieo 200 lˆa` n mˆo.t d¯ˆo`ng tiˆe`n Sˆo´ lˆa`n l´o.n nhˆa´t c´o thˆe’ xuˆa´t hiˆe.n m˘a.t ng˜u.a l`a baonhiˆeu? H˜ay t´ınh gˆa` n d¯´ung x´ac suˆa´t d¯´o
Trang 19b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < 1k).
c) T`ım k`y vo.ng cu’a X
Cˆau 10: Gieo 400 lˆa` n mˆo.t d¯ˆo`ng xu T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ m˘a.t sˆa´p xuˆa´t hiˆe.n :
a) 260 lˆa` n
b) Khˆong ´ıt ho.n 196 lˆa` n v`a khˆong nhiˆe` u ho.n 204 lˆa` n
Cˆau 11: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t x´ac d¯i.nh nhu sau:
a) X´ac d¯i.nh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i F (x).
b) T´ınh k`y vo.ng v`a P (−2 6 X 6 1).
Cˆau 14: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t cho bo.’i:
Cˆau 16: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co´ ha`m mˆa.t d¯ˆo
a) X´ac d¯i.nh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i
b) T`ım k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a d¯a.i lu.o ng ngˆa˜u nhiˆen X.
Cˆau 17: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t nhu sau:
½
ax2 nˆe´u 0 6 x 6 2
Trang 20a) X´ac d¯i.nh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i F (x).
b) T´ınh k`y vo.ng v`a P (−2 6 X 6 1).
Cˆau 18: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t x´ac d¯i.nh nhu sau:
a) Xa´c d¯i.nh h˘a`ng sˆo´ a T`ım h`am phˆan phˆo´i F (x).
b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < 1) va` ky` vo.ng E(X).
Cˆau 20: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co´ ba’ng phˆan phˆo´i xa´c suˆa´t sau:
a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i F (x) cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) Tı´nh ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
Cˆau 21: Trong mˆo.t phˆan xu.o.’ng co´ ba cˆo’ ma´y hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p nhau Xa´c suˆa´t d¯ˆe’
ca´c ma´y bi ho’ng trong mˆo.t ca sa’n xuˆa´t tu.o.ng ´u.ng la` 0, 1; 0, 2; 0, 3 Xa´c d¯i.nh qui luˆa.t
phˆan bˆo´ xa´c suˆa´t cu’a sˆo´ ma´y ho’ng trong mˆo.t ca sa’n xuˆa´t Ho’i trung bı`nh trong mˆo.t
ca co´ bao nhiˆeu ma´y tˆo´t
Cˆau 22: Trong mˆo.t cuˆo.c thi, co´ hai hı`nh th´u.c thi nhu sau; hı`nh th´u.c I: mˆo˜i ngu.`o.ipha’i tra’ l`o.i 2 cˆau ho’i, mˆo˜i cˆau tra’ l`o.i d¯u´ng thı` d¯u.o c 5 d¯iˆe’m hı`nh th´u.c II: tra’ l`o.id¯u´ng cˆau th´u nhˆa´t m´o.i d¯u.o c tra’ l`o.i cˆau th´u hai; cˆau th´u nhˆa´t d¯u´ng 5 d¯iˆe’m; cˆau th´u.hai d¯u´ng d¯u.o c 10 d¯iˆe’m Trong ca’ hai hı`nh th´u.c, ca´c cˆau tra’ l`o.i sai d¯ˆe`u khˆong d¯u.o cd¯iˆe’m Gia’ su.’ xa´c suˆa´t tra’ l`o.i d¯u´ng mˆo˜i cˆau d¯ˆe`u la` 0, 75 va` viˆe.c tra’ l`o.i d¯u´ng mˆo˜i cˆau la`
d¯ˆo.c lˆa.p v´o.i nhau Theo ba.n, nˆen cho.n hı`nh th´u.c na`o d¯ˆe’ sˆo´ d¯iˆe’m trung bı`nh d¯a.t d¯u.o cnhiˆe`u ho.n
Cˆau 23: Mˆo.t ˆo tˆo kha´ch kho.’i ha`nh t`u A d¯i d¯ˆe´n B va` khoa’ng ca´ch t`u A d¯ˆe´n B la` L.
Trˆen d¯u.`o.ng ˆo tˆo se˜ d`u.ng bˆa´t ky` chˆo˜ na`o khi kha´ch yˆeu cˆa`u
Gia’ thiˆe´t r˘a`ng, vi trı´ (d¯o b˘a`ng km, tı´nh t`u A) cu’a mˆo.t ngu.`o.i kha´ch lˆen xe, sau
d¯o´ xuˆo´ng xe trˆen qua˜ng d¯u.`o.ng trˆen la` 2 biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X va` Y nˆe´u cho r˘a`ng ha`m mˆa.t d¯ˆo phˆan bˆo´ xa´c suˆa´t cu’a X ty’ lˆe v´o.i gia´ tri.: x.(L − x)2, (0 ≤ x ≤ L) va` cu’a Y ty’ lˆe v´o.i gia´ tri (y − x) h , (h ≥ 0) thı` ha˜y tı`m xa´c suˆa´t:
a) Co´ mˆo.t kha´ch lˆen xe tru.´o.c d¯iˆe’m l(0 ≤ l ≤ L).
b) Kha´ch lˆen xe o.’ d¯iˆe’m x se ˜ xuˆo´ng xe sau d¯iˆe’m l.
Cˆau 24: Cho D- D- LNN liˆen tu.c X c´o h`am mˆa.t d¯ˆo.:
f (x) =
½
cx2(1 − x) v´o.i x ∈ [0, 1]
0 v´o.i x / ∈ [0, 1]
Trang 21b) T´ınh P (0, 4 < X < 0, 6)
Cˆau 25: Cho D- D- LNN X c´o phˆan bˆo´ d¯ˆe ` u trˆen [1, 2] T`ım P (2 < X2 < 5).
Cˆau 26: Cho D- D- LNN X c´o phˆan bˆo´ d¯ˆe ` u trˆen [−1, 3] T`ım P (X2 < 2).
Cˆau 27: Cho D- D- LNN X c´o h`am mˆa.t d¯ˆo f(x) =
½
kx2 ; 0 ≤ x ≤ 3
0 ; x < 0 ∨ x > 3 a) T´ınh k.
b) T´ınh P (X > 2).
c) X´ac d¯i.nh a d¯ˆe’ P (X < a) = 34.
Cˆau 28: Cho D- D- LNN X c´o h`am mˆa.t d¯ˆo.:
0 nˆe´u tr´ai la.i
a) X´ac d¯i.nh k, v˜e d¯ˆo` thi cu’a f(x).
b) T´ınh k`y vo.ng, phu.o.ng sai cu’a X.
c) T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ cˆon tr`ung chˆe´t tru.´o.c khi n´o d¯u.o c 1 th´ang tuˆo’i
Cˆau 30: Hai xa thu’ A v`a B tˆa.p b˘a´n, mˆo˜i ngu.`o.i b˘a´n 2 ph´at X´ac suˆa´t b˘a´n tr´ung d¯´ıch cu’a A trong mˆo˜i ph´at l`a 0, 4 v`a cu’a B l`a 0, 5.
a) Go.i X l`a sˆo´ ph´at tr´ung cu’a A tr`u sˆo´ ph´at tr´ung cu’a B T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a X.
b) T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a Y = |X|
Cˆau 31: Ta.i mˆo.t tra.m kiˆe’m so´at giao thˆong, trung b`ınh mˆo.t ph´ut c´o hai xe ˆotˆo d¯i qua.a) T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o d¯´ung 6 xe d¯i qua trong v`ong 3 ph´ut
b) T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ trong khoa’ng th`o.i gian t ph´ut c´o ´ıt nhˆa´t 1 xe ˆotˆo d¯i qua X´ac
d¯i.nh t d¯ˆe’ x´ac suˆa´t n`ay b˘a`ng 0, 99.
Cˆau 32: Mˆo.t tra.m cho thuˆe xˆe taxi c´o 3 chiˆe´c xe H`ang ng`ay tra.m pha’i nˆo.p thuˆe´ 8USD cho 1 chiˆe´c xe (d`u xe d¯´o c´o d¯u.o c thuˆe hay khˆong) Mˆo˜i chiˆe´c xe d¯u.o c cho thuˆev´o.i gi´a 20USD
Gia’ su.’ sˆo´ yˆeu cˆa` u cu’a tra.m trong 1 ng`ay l`a D- D- LNN X c´o phˆan phˆo´i Poisson v´o.i tham sˆo´ λ = 2, 8.
a) Go.i Y l`a sˆo´ tiˆe` n thu d¯u.o c trong 1 ng`ay cu’a tra.m (nˆe´u khˆong c´o ai thuˆe th`ı sˆo´tiˆe` n thu d¯u.o c l`a −24USD).
T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a Y T`u d¯´o t´ınh sˆo´ tiˆe` n trung b`ınh thu d¯u.o c cu’a tra.mtrong 1 ng`ay
b) Gia’i b`ai to´an trˆen trong tru.`o.ng ho p tra.m c´o 4 xe
c) Tra.m nˆen c´o 3 hay 4 xe?
Cˆau 33: Tro.ng lu.o ng cu’a mˆo.t con g`a 6 th´ang tuˆo’i l`a mˆo.t D- D- LNN X (kg) c´o h`am mˆa.t
Trang 22T`ım tro.ng lu.o ng trung b`ınh cu’a con g`a 6 th´ang tuˆo’i v`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n
Cˆau 34: Mˆo.t d¯oa.n thˆa’ng AB d`ai 10 cm bi g˜ay ngˆa˜u nhiˆen o.’ mˆo.t d¯iˆe’m P Hai d¯oa.n
g˜ay AP v`a BP d¯u.o c su.’ du.ng d¯ˆe’ l`am hai ca.nh cu’a mˆo.t h`ınh ch˜u nhˆa.t T`ım k`y vo.ng v`ad¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cu’a diˆe.n t´ıch h`ınh ch˜u nhˆa.t
Cˆau 35: Tro.ng lu.o ng cu’a mˆo.t con b`o l`a mˆo.t D- LNN phˆan bˆo´ chuˆa’n v´o.i k`y vo.ng l`a 250
kg v`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n 40 kg
T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t con b`o c´o tro.ng lu.o ng:
a) N˘a.ng ho.n 300 kg
b) Nhe ho.n 175 kg
c) Trong khoa’ng 260 kg d¯ˆe´n 270 kg
Cˆau 36: Th`o.i gian d¯i t`u nh`a d¯ˆe´n tru.`o.ng cu’a sinh viˆen A l`a mˆo.t D- D- LNN X c´o phˆanphˆo´i chuˆa’n Biˆe´t r˘a`ng 65% sˆo´ ng`ay A d¯ˆe´n tru.`o.ng mˆa´t ho.n 20 ph´ut c`on 8% sˆo´ ng`aymˆa´t ho.n 30 ph´ut
a) T`ım th`o.i gian trung b`ınh v`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cu’a th`o.i gian d¯ˆe´n tru.`o.ng.b) Nˆe´u A xuˆa´t ph´at t`u nh`a tru.´o.c gi`o v`ao ho.c 25 ph´ut th`ı x´ac suˆa´t d¯ˆe´ A muˆo.n ho.cl`a bao nhiˆeu ?
c) A cˆa` n pha’i xuˆa´t ph´at tru.´o.c gi`o v`ao ho.c bao nhiˆeu ph´ut d¯ˆe’ kha’ n˘ang muˆo.n ho.c
l`a b´e ho.n 0, 02.
Cˆau 37: Chiˆe` u d`ai cu’a mˆo.t loa.i cˆay l`a mˆo.t D- D- LNN c´o phˆan bˆo´ chuˆa’n Trong mˆo.tmˆa˜u gˆo`m 640 cˆay c´o 25 cˆay thˆa´p ho.n 18m v`a 110 cˆay cao ho.n 24m.
a) T`ım k`y vo.ng v`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cu’a chiˆe` u cao cˆay
b) U.´o.c lu.o ng sˆo´ cˆay c´o d¯ˆo cao trong khoa’ng t`u 16m d¯ˆe´n 20m trong mˆa˜u trˆen.
Cˆau 38: Cho X l`a D- D- LNN c´o phˆan bˆo´ m˜u v´o.i λ = 2 T`ım k`y vo.ng v`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cu’a e −X
Cˆau 39: Cho X l`a D- D- LNN c´o phˆan bˆo´ m˜u v´o.i λ = 1 v`a Y = 2X2
b) T´ınh k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X v`a Y.
c) T´ınh hˆe sˆo´ tu.o.ng quan cu’a X v`a Y.
Cˆau 41: Gia’ su.’ X, Y l`a hai D- D- LNN c´o phˆan phˆo´i d¯ˆe` u trˆen khoa’ng (−1, 1) v`a (0, 2)
tu.o.ng ´u.ng T`ım h`am mˆa.t d¯ˆo d¯ˆo`ng th`o.i v`a h`am phˆan phˆo´i d¯ˆo`ng th`o.i cu’a hai D- D- LNN
X, Y.
Trang 23Bài tập
Trang 24Chương 1
ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
A BÀI TẬP MẪU
Bài 1 Cho A, B, C là ba biến cố Chứng minh
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC)
Trang 25( ) ( ) 5
P AB P(B) P AB
12
Bài 3 Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc
cả hai bệnh là 7% Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng Tính xác suất để người đó
a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp
b) Không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp
c) Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp
d) Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp
e) Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp
Giải
Xét các biến cố A : “nhận được người mắc bệnh tim”,
B : “nhận được người mắc bệnh huyết áp”,
Ta có P(A) 0.09= ; P(B) 0.12= ; P(AB) 0.07=
a) Biến cố “nhận được người bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp” là A+B, với
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
Bài 4 Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng Có 10 người lần lượt rút thăm
Tính xác suất nhận được phần thưởng của mỗi người
Trang 26điểm Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các câu trả lời Tìm xác suất để
a) thí sinh được 13 điểm,
b) thí sinh bị điểm âm
Xét sự tương quan giữa số câu trả lời đúng và số điểm nhận được tương ứng, ta có
Số câu đúng (X) Số điểm
5 5 12 5 12
5 7
P X 5 C (0.2) (1 0.2)
5! 12 5 !0.0532
Bài 6 Theo dõi dự báo thời tiết
trên đài truyền hình (nắng, sương mù, mưa) và so sánh với thời tiết thực tế xảy ra, ta có bảng thống kê sau
Trang 27Dự báo Thực tế
Nắng Sương mù Mưa
a) Tính xác suất dự báo trời nắng của đài truyền hình
b) Tính xác suất dự báo của đài truyền hình là đúng thực tế
c) Được tin dự báo là trời nắng Tính xác suất để thực tế thì trời mưa ? trời sương mù ? trời nắng ?
Giải
Xét các biến cố A : “Đài truyền hình dự báo trời nắng”, A : “Thực tế trời nắng” 1
B : “Đài truyền hình dự báo trời sương mù”, B : “Thực tế trời sương mù” 1
C : “Đài truyền hình dự báo trời mưa”, C : “Thực tế trời mưa” 1
a) Do trong 100 lần theo dõi dự báo đài truyền hình, ta thấy có 30 4 10+ + lần dự báo trời nắng nên xác suất dự báo trời nắng của đài truyền hình là
1 1 1
30
444
4410
1 1 2 1 2 3
A A= +A A +A A A với
Trang 28Bài 8. Một người bắn bia với xác suất bắn trúng là p 0.7=
a) Bắn liên tiếp 3 phát Tính xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia
b) Hỏi phải bắn ít nhất mấy lần để có xác suất ít nhất một lần trúng bia ≥0.9
Giải
Gọi X là số viên đạn trúng bia trong 3 phát Ta có X B n; p∼ ( ), với n 3= và p 0.7=
a) Xác xuất có ít nhất một lần trúng bia khi bắn liên tiếp 3 phát là
0 0 3 0 3
b) Gọi n là số lần bắn để xác suất ít nhất một lần trúng bia ≥ 0.9 Do X B n; p∼ ( ) với
p 0.7= , nên xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia trong n phát là
0 0 n 0 n
n
1 (0.3)− ≥0.9, hay tương đương
n
(0.3) ≤0.1 Lấy lôgarít hai vế của bất phương trình trên, ta được
Vậy, cần phải bắn ít nhất 2 phát đạn để xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia ≥0.9
Bài 9. Có hai hộp đựng bi :
- Hộp H đựng 20 bi trong đó có 5 bi đỏ và 15 bi trắng, 1
- Hộp H đựng 15 bi trong đó có 6 bi đỏ và 9 bi trắng 2
Trang 29Lấy một bi ở hộp H , bỏ vào hộp 1 H , trộn đều rồi lấy ra một bi Tính xác suất nhận được 2
bi đỏ ? bi trắng ?
Giải
Xét các biến cố
A : “Bi nhận được từ hộp H là bi đỏ”, 2
B : “Bi từ hộp H bỏ sang hộp 1 H là bi đỏ” 2
Do giả thuyết, ta có
64
Bài 10 Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả) Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là 0.5 Thống kê cho thấy 34% cặp
sinh đôi là trai; 30% cặp sinh đôi là gái và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau
a) Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật
b) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính
Giải
Xét các biến cố
A : “nhận được cặp sinh đôi thật”,
B : “nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên
P B A =1, với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0.5 nên
( ) ( )
P B A =P B A =0.5, và do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì
( )
P B =0.3 0.34 0.64+ = và P B( )= 0.36 a) Do công thức xác suất toàn phần,
Trang 30suất
a) phép kiểm định là dương tính,
b) phép kiểm định cho kết quả đúng
Giải
Xét các biến cố
A : “nhận được người có bệnh”,
B : “nhận được người có kiểm định dương tính”
Do giả thiết, ta có
ngừng hoạt động trong ngày
Trang 31B : “thiết bị không ngừng hoạt động”
Do giả thiết, ta có
Bài 13 Một phân xưởng có 5 máy Xác suất để trong một ca, mỗi máy bị hỏng là 0.1 Tìm xác
suất để trong một ca, có đúng 2 máy bị hỏng
Bài 15 Tỷ lệ phế phẩm của một lô hàng (lớn) là 1% Từ lô hàng này, lấy ra n sản phẩm Hỏi n
ít nhất phải là bao nhiêu để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm lớn hơn 0.95
P X 1≥ >0.95, ta giải bất phương trình
n
1 (0.99)− >0.95 Từ đó, suy ra n 298.073> Vậy cần phải lấy ra ít nhất 299 sản phẩm để xác suất trong đó có ít nhất một sản phẩm hỏng lớn hơn 0.95
Trang 32Bài 16 Một người viết n lá thư và bỏ ngẫu nhiên n lá thư này vào trong n phong bì đã viết sẵn
địa chỉ Tìm xác suất sao cho có ít nhất một lá thư được bỏ vào đúng phong bì
Giải
Gọi A là biến cố “lá thư thứ j đến đúng người nhận”, j 1, nj = và gọi A là biến cố “có ít nhất một lá thư đến đúng người nhận” Ta có
n j
khi n đủ lớn
Bài 17 Một dây chuyền lắp ráp nhận các chi tiết từ hai nhà máy khác nhau Tỷ lệ chi tiết do nhà máy thứ nhất cung cấp là 60%, của nhà máy thứ hai là 40% Tỷ lệ chính phẩm của nhà máy thứ nhất là 90%, của nhà máy thứ hai là 85% Lấy ngẫu nhiên một chi tiết trên dây chuyền và
thấy rằng nó tốt Tìm xác suất để chi tiết đó do nhà máy thứ nhất sản xuất
Giải
Xét các biến cố
A : “nhận được sản phẩm tốt”,
Trang 33Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất để người đó hút thuốc lá là bao nhiêu
Giải
Khám ngẫu nhiên một người trong vùng dân cư, xét các biến cố
A : “nhận được người hút thuốc lá”,
B : “nhận được người bị viêm họng”
Giả thiết cho
Bài 19 a) Cho A, B là hai biến cố độc lập Chứng minh rằng A, B ; A, B và A, B cũng là các cặp
biến cố độc lập
b) Cho A , A , , A là n biến cố độc lập Chứng minh rằng 1 2 n A , A , , A cũng là n biến cố độc 1 2 n
lập Suy ra rằng nếu xét n biến cố B , B , , B , với 1 2 n Bi = Ai hay Bi = Ai, thì B , B , , B , cũng 1 2 nlà n biến cố độc lập
Trang 34Do đó, A, B và A, B cũng là các cặp biến cố độc lập
b) Để chứng minh rằng họ các biến cố A , A , , A là độc lập, ta lấy một họ con bất kỳ 1 2 n
gồm k biến cố khác nhau của nó Nếu họ con này không chứa biến cố A , ta có thể viết nó dưới 1dạng A , i1 A , …, i2 A , với ik 2 i≤ 1 < i2 < i< k ≤ n, và do đó nó là họ con của họ các biến cố độc lập A , A , , A Suy ra 1 2 n
Tóm lại họ các biến cố A , A , , A là độc lập 1 2 n
Để chứng minh rằng họ các biến cố B , B , , B , với 1 2 n Bi = Ai hay Bi =Ai, cũng là n biến cố độc lập, ta dùng quy nạp trên số k các biến cố Bi =Ai, với k n≤
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử Bi = Ai với i thay đổi từ 1 đến k và Bi = Ai khi
i k>
Trường hợp k 1= đã được khảo sát trong phần đầu câu b)
Giả sử họ B , B , , B , với 1 2 n Bi =Ai trong đó i thay đổi từ 1 đến k là họ các biến cố độc lập
Xét họ C , C , , C các biến cố với 1 2 n Ci =Ai khi i thay đổi từ 1 đến k 1+ , và Ci = Ai với
i k 1> + Do Ci =Bi với i k 1≠ + , hai họ C , C , , C và 1 2 n B , B , , B chỉ khác nhau đúng một 1 2 nphần tử là Ck 1+ = Ai ≠Bk 1+ = Ai, và do đó, như trong trường hợp k 1= , C , C , , C cũng là họ 1 2 ncác biến cố độc lập
Trang 35Do đó, ta kết luận rằng họ các biến cố B , B , , B , với 1 2 n Bi =Ai hay Bi = Ai cũng là n biến cố độc lập
Bài 20 Hai nhà máy X, Y cùng sản xuất một loại sản phẩm Xác suất nhận được sản phẩm hỏng ở nhà máy X là pX =0.03 và ở nhà máy Y là pY =0.05
a) Một người mua 3 sản phẩm ở nhà máy X Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng b) Nếu mua 3 sản phẩm ở nhà máy X và 2 sản phẩm ở nhà máy Y Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng
Giải
Xét các biến cố
A : “nhận được sản phẩm hỏng của nhà máy X”,
B : “nhận được sản phẩm hỏng của nhà máy Y”
Dựa theo giả thiết, ta có
( )
P A =0.03 và P B( )=0.05 a) Gọi X là số sản phẩm hỏng trong 3 sản phẩm lấy ra từ nhà máy X Ta có
Y B n; p∼ với n 2= , p P B= ( )=0.05
Do “số sản phẩm hỏng nhận được từ nhà máy X” và “số sản phẩm hỏng nhận được từ nhà máy Y” là các biến cố độc lập và biến cố “nhận được ít nhất một sản phẩm hỏng trong 5 sản phẩm, 3 sản phẩm từ nhà máy X và 2 sản phẩm từ nhà máy Y”, X Y 1+ ≥ , có biến cố đối lập là biến cố “ X 0= và Y 0= ” nên xác suất để nhận ít nhất 1 sản phẩm hỏng khi mua 3 sản phẩm của nhà máy X và 2 sản phẩm của nhà máy Y là
Bài 21 Trong một lô thuốc (rất nhiều) với xác suất nhận được thuốc hỏng là p 0.1= Lấy ngẫu
nhiên 3 lọ để kiểm tra Tính xác suất để
a) cả 3 lọ đều hỏng,
b) có 2 lọ hỏng và 1 lọ tốt,
c) có 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt,
d) cả 3 lọ đều tốt
Trang 36Bài toán về biểu diễn các biến cố
Bài 1. Kiểm tra 3 sản phẩm Gọi A là biến cố sản phẩm thứ k tốt Hãy trình bày các cách biểu kdiễn qua A và qua giản đồ Venn các biến cố sau đây : k
A : tất cả đều xấu,
B : có ít nhất một sản phẩm xấu,
C : có ít nhất một sản phẩm tốt,
D : không phải tất cả sản phẩm đều tốt,
E : có đúng một sản phẩm xấu,
F : có ít nhất 2 sản phẩm tốt
Bài 2. Ba người, mỗi người bắn một phát Gọi A là biến cố người thứ i bắn trúng Hãy biểu diễn iqua A các biến cố sau : i
A : chỉ có người thứ nhất bắn trúng,
B : người thứ nhất bắn trúng còn người thứ hai bắn trật,
C : có ít nhất 1 người bắn trúng,
D : cả 3 người đều bắn trúng,
E : có ít nhất 2 người bắn trúng,
F : chỉ có 2 người bắn trúng,
G : không ai bắn trúng,
H : không có hơn 2 người bắn trúng,
I : người thứ nhất bắn trúng, hoặc người thứ hai và người thứ ba cùng bắn trúng,
K : người thứ nhất bắn trúng hay người thứ hai bắn trúng
Bài 3. Quan sát 4 sinh viên làm bài thi Kí hiệu B (j 1, 2, 3, 4)j = là biến cố sinh viên j làm bài thi đạt yêu cầu Hãy biểu diễn các biến cố sau đây
a) có đúng một sinh viên đạt yêu cầu,
Trang 37b) có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu,
c) có ít nhất 1 sinh viên đạt yêu cầu,
d) không có sinh viên nào đạt yêu cầu
Xác suất bằng định nghĩa
Bài 4. Một hộp có 7 bi đỏ và 3 bi đen
a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp ra để kiểm tra, tính xác suất nhận được bi đen
b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi Tính xác suất để lấy được 2 bi đen
c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi từ hộp Tính xác suất để lấy được 2 bi đen
Đáp số : a) 0.3
b) 0.09 c) 0.067
Bài 5. Một công ty liên doanh cần tuyển một kế toán trưởng, một trưởng phòng tiếp thị, có 40 người dự tuyển trong đó có 15 nữ Tính xác suất trong 2 người được tuyển có:
Bài 6. Mỗi sinh viên được thi tối đa 2 lần một môn thi Xác suất để một sinh viên đậu môn xác suất thống kê ở lần thi thứ 1 là P1, lần thi thứ 2 là P2 Tính xác suất để sinh viên này vượt qua được môn xác suất thống kê
Bài 8. Trước cổng trường đại học có 3 quán cơn bình dân chất lượng ngang nhau Ba sinh viên
A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán cơm để ăn trưa Tính xác suất để
a) 3 sinh viên vào cùng một quán
b) 2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quán khác
Trang 38b) ít nhất một viên bi đỏ,
c) viên thứ 2 đỏ
Đáp số : a) 0.133
b) 0.867 c) 0.867
Bài 11. Chọn lần lượt không hoàn lại 2 con domino từ bộ 28 con Tính xác suất chọn được 2 con domino có thể sắp nối tiếp nhau
Đáp số : 0.238
Bài 12. Rút ngẫu nhiên từ bộ bài (gồm 52 lá) ra 9 quân bài Tính xác suất sao cho trong 9 quần bài rút ra có
a) 3 con Át, 2 con 10, 2 con 2, 1 con K, 1 con J,
b) 3 con cơ, 1 con rô, 2 con bích, 3 con chuồn,
c) 5 con màu đỏ, 4 con màu đen,
d) 4 con chủ bài (4 con đồng chất nào đó; chất đó đã được xác định trước, chẳng hạn 4 con cơ)
Đáp số : a) 6.262 10 × − 7
b) 0.02254 c) 0.2673 d) 0.448
Công thức cộng – nhân – xác suất có điều kiện
Bài 13. Trong 100 người phỏng vấn có 40 người thích dùng nước hoa A, 28 người thích dùng nước hoa B, 10 người thích dùng cả 2 loại A, B Chọn ngẫu nhiên 1 người trong số 100 người trên Tính xác suất người này :
a) thích dùng ít nhất 1 loại nước hoa trên,
b) không dùng loại nào cả
Đáp số : a) 0.58
b) 0.42
Bài 14. Một cơ quan có 210 người, trong đó có 100 người ở gần cơ quan, 60 người trong 100 người là nữ, biết rằng số nữ chiếm gấp đôi số nam trong cơ quan
Chọn ngẫu nhiên 1 người trong cơ quan Tính xác suất :
a) người này là nam,
b) người này ở gần cơ quan,
c) người này phải trực đêm (người trực đêm phải ở gần cơ quan hoặc là nam)
Đáp số : a) 1
3
b) 0.4762 c) 0.619
Bài 15. Có 3 loại súng bề ngoài hoàn toàn giống nhau, với xác suất bắn trúng bia tương ứng là 0.6, 0.7, 0.8 Loại thứ I có 5 khẩu, loại thứ II có 3 khẩu, loại thứ III có 2 khẩu Chọn ngẫu nhiên
1 khẩu và bắn vào bia Tính xác suất bắn trúng bia
Đáp số : 0.67
Trang 39Bài 16. Cho 3 biến cố A, B, C sao cho
P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(C) = 0,6;
P(AB) = 0,3; P(BC) = 0,4; P(AC) = 0,2
và P(ABC) = 0,1
a) Tìm xác suất để cả 3 biến cố A, B, C đều không xảy ra
b) Tìm xác suất để có đúng 2 trong 3 biến cố đó xảy ra
c) Tìm xác suất để chỉ có đúng 1 biến cố trong 3 biến cố đó xảy ra
Đáp số :a) 0
b) 0.6 c) 0.3
Bài 17. Cho A và B là 2 biến cố sao cho P(A) = 1
2, P(B) = 13, P(AB) = 16 Hãy tính : 1) ∪P(A B) , 8) P(A B) ,
b) đội tuyển thắng 2 trận,
c) C thua, biết rằng đội tuyển thắng 2 trận
Đáp số : a) 0.994
b) 0.398 c) 0.0621
Bài 19. Trong 1 khu phố, tỷ lệ người mắc bệnh tim là 6%; mắc bệnh phổi là 8% và mắc cả hai bệnh là 5% Chọn ngẫu nhiên 1 người trong khu phố đó Tính xác suất để người đó không mắc cả 2 bệnh tim và bệnh phổi
Đáp số : 0.91
Trang 40Bài 20 Một người có 5 con gà mái, 2 con gà trống nhốt chung trong một cái lồng Một người
đến mua, người bán gà bắt ngẫu nhiên 1 con Người mua chấp nhận con đó
a) Tính xác suất để người đó mua được con gà mái
Người thứ hai lại đến mua, người bán gà lại bắt ngẫu nhiên ra 1 con
b) Tìm xác suất để người thứ hai mua được con gà trống
c) Xác suất này sẽ bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho người thứ nhất là gà trống hay gà mái
Đáp số : a) 0.7143
b) =1 0.33
c) =2 0.28577
Bài 21. Hai công ty A, B cùng kinh doanh một mặt hàng Xác suất để công ty A thua lỗ là 0,2; xác suất để công ty B thua lỗ là 0,4 Tuy nhiên trên thực tế, khả năng cả 2 công ty cùng thua lỗ là 0,1 Tìm xác suất để
a) có ít nhất một công ty làm ăn không thua lỗ,
b) chỉ có một công ty thua lỗ
Đáp số : a) 0.9
b) 0.4
Bài 22. Một thủ quỹ có một chùm chìa khóa gồm 12 chiếc bề ngoài giống hệt nhau, trong đó có
4 chiếc mở được cửa chính của thư viện Cô ta thử từng chìa một một cách ngẫu nhiên, chìa nào không trúng thì bỏ ra Tìm xác suất để cô ta mở được cửa chính của thư viện ở lần mở thứ 5
Đáp số : 0.0707
Bài 23. Một chàng trai viết 4 lá thư cho 4 cô gái; nhưng vì đãng trí nên anh ta bỏ 4 lá thư vào 4 phong bì một cách ngẫu nhiên, dán kín rồi mới ghi địa chỉ gửi,
a) tính xác suất để không có cô nào nhận đúng thư viết cho mình,
b) tính xác suất để có ít nhất 1 cô nhận đúng thư của mình,
c) tổng quát hóa với n cô gái Tính xác suất có ít nhất 1 cô nhận đúng thư Xấp xỉ giá trị xác suất này khi cho n → ∞
Bài 24. Trong 1 lô hàng 10 sản phẩm có 2 sản phẩm xấu, chọn không hoàn lại để phát hiện ra
2 sản phẩm xấu, khi nào chọn được sản phẩm xấu thứ 2 thì dừng lại
a) Tính xác suất dừng lại ở lần chọn thứ 4
b) Biết rằng đã chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ nhất, tính xác suất dừng lại ở lần chọn thứ 4
c) Nếu việc kiểm tra dừng lại ở lần chọn thứ 3, tính xác suất lần chọn đầu được sản phẩm xấu
Đáp số : a) 0.067 b) =1 0.143
c) 0.044
Bài 25. Đội tuyển bóng bàn Thành phố có 4 vận động viên A, B, C, D Mỗi vận động viên thi đấu 1 trận, với xác suất thắng trận lần lượt la ø: 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 Tính