Trường THPT Chuyên Lê Hồng PhongĐỀ KIỂM TRA TẬP TRUNG LẦN 1 MÔN TOÁN lớp 12 Thời gian làm bài: 90 phút Học sinh phải ghi lớp vào phần phách và ghi “Ban A, B” hay “Ban D” vào phần bài làm
Trang 1Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
ĐỀ KIỂM TRA TẬP TRUNG LẦN 1
MÔN TOÁN lớp 12 Thời gian làm bài: 90 phút
Học sinh phải ghi lớp vào phần phách và ghi “Ban A, B” hay “Ban D” vào phần bài làm Ban A, B làm các câu 1, 2, 3, 4, 5 Điểm các câu theo thứ tự là: 3,5; 1,5; 3; 1; 1.
Ban D làm các câu 1, 2, 3ab, 4, 5 Điểm các câu theo thứ tự là: 4; 1,5; 2,5; 1; 1.
Câu 1: Cho hàm số y = 2
1
x x
−
− có đồ thị là (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): y = x + 3
c) Đường thẳng (d) qua điểm A(–1; –3) và có hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm của (d) và (C)
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
y = f(x) = 2 2
2
x x
+ + trên đoạn [–1; 2].
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, ∆ SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Gọi H là trung điểm AB
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và HC
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
Câu 4: Giải hệ phương trình sau:
3
Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AB // CD, CD = 2AB,
D(–7; 3), trung điểm của BC là E(4; 5), đỉnh A thuộc đường thẳng (d): x + 4y – 1 = 0
và diện tích hình thang là 30 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết A có tọa độ nguyên
– Hết –
Trang 2ĐÁP ÁN
Ban D 1
Cho hàm số y = 2
1
x x
−
* Tập xác định: D = R\{1}
* limx→±∞y=1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị. 0,25
1 1
lim lim
x x
y y
+
−
→
→
= −∞
= +∞
* y' = 2
1 (x−1) > 0, ∀ x ∈ D
⇒ Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định
0, 5
* Bảng biến thiên:
0,5
* Đồ thị:
Đồ thị nhận I(1; 1) làm tâm đối xứng
0,5
b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song
Tiếp tuyến (D) // (∆) ⇒ (D) có hệ số góc k = 1 0,25
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của (D) và (C)
⇒ y'(x0) = k = 1 ⇔ 2
0
1 1 (x 1) =
− ⇔
0 0
0 2
x x
=
=
0,25
Với x0 = 0 ⇒ y0 = 2 ⇒ (D): y = 1(x – 0) + 2 = x + 2 0,25
Với x0 = 2 ⇒ y0 = 0 ⇒ (D): y = 1(x – 2) + 0 = x – 2 0,25
c Đường thẳng (d) qua điểm A(–1; –3) và có hệ số góc m Biện
Trang 3(d) qua A và có hệ số góc m ⇒ (d): y = m(x + 1) – 3 0,25
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là
2
3 1
x
mx m
x− = + −
⇔ x – 2 = (mx + m – 3)(x – 1)
(Vì x = 1 không là nghiệm của phương trình)
⇔ mx2 – 4x – m + 5= 0 (1)
0,25
* m = 0: (1) ⇔ x = 5
* m ≠ 0: ∆' = m2 – 5m + 4
+ 1 < m < 4: (1) VN ⇒ (d) và (C) không có giao điểm
+ m = 1 hay m = 4: (d) và (C) có 1 giao điểm \
+ m < 1 hay m > 4: (d) và (C) có 2 giao điểm phân biệt
0,25
2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
y = f(x) = 2 2
2
x x
+ + trên đoạn [–1; 2].
Σ = 1,5
y' = 2 22 3
x x
−
Ta có f(–1) = 1
3 ; f(1) = 3 ; f(2) = 2 6
Vậy Max f x[−1;2] ( )= 3 ;
[ 1;2 ]
3 ( ) 3
Min f x
3
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a,
∆SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD)
Gọi H là trung điểm AB
Σ = 2,5
(SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ∩ (ABCD) = AB, SH ⊥ AB
Ta có: SABCD = a2; SH = 3 3
Trang 4Do đó VSABCD = 1
=
3 2
b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và HC Σ = 1,5
Gọi E là trung điểm CD ⇒ AE // HC ⇒ HC // (SAE)
Dựng HK ⊥ AE tại K; HI ⊥ SK tại I
Ta có AE ⊥ SH; AE ⊥ HK ⇒ AE ⊥ (SHK) ⇒ HI ⊥ AE
Do đó HI ⊥ (SAE) ⇒ d(H; SAE) = HI
0,5
HK = HA +HE =a +a =a
HI = HK + HS = a + a = a
⇒ HI = 57
19
a
0, 5
Vậy d(HC, SA) = HI = 57
19
c Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
Dựng HM ⊥ BD tại M, HN ⊥ SM tại N
Ta có BD ⊥ SH, BD ⊥ HM ⇒ BD ⊥ (SHM)
⇒ HN ⊥ BD mà HN ⊥ SM ⇒ HN ⊥ (SBD)
⇒ d(H; SBD) = HN
Ta có ∆ BMH vuông cân tại M ⇒ MH = 2 2
BH =a
HN = HM +HS = 82 42 282
a + a = a ⇒ HN = 21
14
a
Vì H là trung điểm AB ⇒ d(A; SBD) = 2d(H; SBD) = 21
7
a
Xét f(t) = cost + 2t có f'(t) = –sint + 2 > 0 ∀ t
Thay vào (2) ta được:
3
4x + − +x (x 1) 2x+ =1 0 ⇔ (2 ) 2x3+ =x ( 2 1)x+ 2+ 2 1x+ (3)
Xét g(t) = t3 + t có g'(t) = 3t2 + 1 > 0, ∀ t
⇒ g(t) đồng biến trên R
Do đó (3) ⇔ f(2x) = f( 2x+1 ) ⇔ 2x+1 = 2x
0,25
Trang 5⇔ 2
x
≥
− + =
4
5
Cho hình thang ABCD có AB // CD, CD = 2AB, D(–7; 3),
trung điểm của BC là E(4; 5), đỉnh A thuộc đường thẳng
(d): x + 4y – 1 = 0 và diện tích hình thang là 30 Tìm tọa độ
các đỉnh A, B, C biết A có tọa độ nguyên
Σ = 1
Ta có A ∈ (d)
⇒ A(1 – 4a; a)
Gọi F là giao điểm của
AE và DC
⇒ E là trung điểm AF
⇒∆ ABE = ∆ FCE
⇒ SABCD = SADF
= 2SADE⇒ SADE = 15
Ta có DEuuur=(11; 2) là vtcp của DE
x− = y−
⇒ DE: 2x – 11y + 47 = 0
d(A; DE) = 2(1 4 ) 112 2 47 19 49
125
2 11
= +
Do đó: 1 ( ; ) 15
2DE d A DE = ⇔ 125 19 49 30
125
a
− +
=
a a
− + = −
1 79 19
a b
=
=
Vậy A(–3; 1)
0.5
E là trung điểm AF ⇒ F(11; 9) ⇒ DFuuur = (18; 6) = 6(3; 1)
x+ = y−
⇒ DF: x – 3y + 16 = 0 ⇒ C(3c – 16; c)
Ta có ABuuur = (27 – 3c; 9 – c)
DC
uuur
= (3c – 9; c – 3) = 2 ABuuur
⇔ − = −3c c− =3 18 29 54 6−c c ⇔ c = 7 Vậy C(5; 7)
0,25