SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI KSCL CÁC MÔN THI TRƯỜNG THPT LÊ LỢI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015 -2016 Môn: Toán – lớp 12 Đề thức (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể giao đề) Đề thi có 01 trang Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) = x3 + 3x − π Câu (1,0 điểm) Cho tan α = (α ∈ (0; )) Tính giá trị biểu thức 2 α α 2sin + 3cos 2+ P= α α sin + 2cos 2 x log ( xy ) − 2log y = ( x, y ∈ R ) 0 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình xy x+ y − 2 − 62 = 2x + dx Câu (1,0 điểm) Tìm họ nguyên hàm ∫ 2 x − x −1 Câu (1,0 điểm) Gọi M tập hợp số có chữ số đôi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Lấy từ tập M số Tính xác suất để lấy số có tổng chữ số số lẻ ? Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 1; 0); B(1; 0; 2); C(2;0; 1), D(-1; 0; -3) Chứng minh A, B, C, D đỉnh hình chóp viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A, BC = 2a, Góc ·ACB = 600 Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC), tam giác SAB cân S, tam giác SBC vuông S Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC Đường phân giác góc B có phương trình d1 : x + y − = , đường trung tuyến kẻ từ B có phương trình d2 :4 x + y − = Đường thẳng chứa cạnh AB qua điểm M (2; ) , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC R = Tìm tọa độ đỉnh A Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sau tập số thực x + 25 x + 19 − x − x − 35 = x + Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực thuộc đoạn 0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2( x3 + y3 + z ) − ( x y + y z + z x) Hết Họ tên số báo danh ( Cán coi thi không giải thích thêm) SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ LỢI ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL CÁC MÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015 -2016 Môn: Toán – lớp 12 (Đáp án có:04 trang) Câu Đáp án Câu (1,0đ) a/ TXĐ:R b/ Sự biến thiên = +∞; limy = −∞ +Giới hạn limy x →+∞ x →−∞ ' +Bảng biến thiên: y = 3x + x ; x = y = ⇔ 3x + x = ⇔ −∞ x = −2 ' x ' y y −∞ + -2 - 0 + +∞ +∞ Điế m 0,5 -4 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; − 2) (0; + ∞) , nghịch biến khoảng (−2;0) Hàm số đạt cực tiểu x = 0; yCT = −4 , đạt cực đại x = -2; yCĐ = c/ Đồ thị : y '' = x + = ⇔ x = −1 Điểm uốn I(-1; -2) Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Câu (1,0đ) Câu (1,0đ) α tan π = ⇔ tan α + tan α − = Vì tan α = ( α ∈ (0; )) nên α 2 2 − tan 2 α α α Suy tan = −2 + tan = −2 − (l ) Do tan > 2 α tan + −1 + = + =2 Thay vào ta có P = α 5 tan + 2 x > ĐKXĐ Biến đổi phương trình hệ ta có y > x log ( xy ) − log = ⇔ log x + log y − 2(log x − log y ) = y ⇔ log x + log y − log 22 x + log 22 y = ⇔ log x + log y − log x + log y = ⇔ 3log y = ⇔ y = Thay y = vào phương trình thứ hai suy x + − x − 62 = 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (1,0đ) Câu (1,0đ) x ⇔ 16.22 x − x − 62 = Đặt = t (t > 0) ta có phương trình 31 16t − t − 62 = ⇔ t = t = − Do t > nên lấy t = suy x = 16 Đs: Hệ có nghiệm ( x; y ) = (1; 2) 2x + 2x + dx = ∫ dx = ∫ − + dx Ta có: ∫ 2x − x −1 (2 x + 1)( x − 1) x + x − =− ∫ dx + ∫ dx 2x +1 x −1 d (2 x + 1) d ( x − 1) =− ∫ + ∫ 2x +1 x −1 = − ln x + + ln x − + C 3 Gọi A biến cố " Số chọn số có chữ số đôi khác tổng chữ số số lẻ" Số số có chữ số đôi khác lập từ chữ số cho A74 = 840 (số), suy ra: Ω = 840 Gọi số chữ số đôi khác tổng chữ số số lẻ có dạng abcd Do tổng a + b + c + d số lẻ nên số chữ số lẻ lẻ Trường hợp : có chữ số lẻ , chữ số chẵn : có C41 C33 = số Trường hợp : có chữ số lẻ , chữ số chẵn : có C43 C31 = 12 số Từ số ta lập P4 = 24 số Tất có 16.24= 384 số , suy ra: Ω A = 384 Ω 384 uuur uuuur uuuur Ta có AB = (0; − 1; 2); AC = (1; − 1;1); AD = (−2; − 1; − 3) uuur uuuur uuur uuuur uuuur AB , AC = ( 1; 2;1) ; AB , AC AD = −7 uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur Do AB , AC AD = −7 ≠ , nên véc tơ AB , AC , AD không đồng phẳng suy A, B, C, D đỉnh hình chóp Gọi phương trình mặt cầu có dạng x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( với a + b + c − d > ) 2a + 2b + d = −2 a + 4c + d = − Do mặt cầu qua điểm A, B, C, D nên ta có hệ a + 2c + d = − −2a − 6c + d = −10 31 50 Giải hệ suy a = ; b = ; c = ; d = − 14 14 14 31 50 Vậy phương trình mc là: x + y + z + x + y + z − = 7 7 Câu (1,0đ) a) Gọi H trung điểm cạnh AB, từ gt có SH ⊥ ( ABC ) VS ABC = S ABC SH Tam giác ABC vuông A có: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 48 A Vậy P( A) = Ω = 840 = 105 Câu (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 AB = 2a sin 600 = 3a; AC = 2acos600 = a Nên S ABC = AB AC = a 0,25 Gọi K trung điểm cạnh BC 1 BC = a; HK = AC = a cos 600 = a 2 SH = SK − KH = a 3 ⇒ SH = a Suy VS ABC = a SK = a 3a a 2 2 HC = AC + AH = a + = 4 2 3a a 10 SC = SH + HC = + = a 4 1 10 15 S SBC = SB.SC = a a= a 2 2 3 a 3VS ABC d ( A ;( SBC )) = = = a Vậy S SBC 15 15 a S 0,25 b) Ta có SB = SH + HB = Câu (1,0đ) A 600 H B C K 0,25 0,25 Tọa độ B nghiệm hệ x + y − = x = ⇔ 4 x + y − = y =1 0,25 Gọi M' điểm đối xứng với M qua d1 , B M ' ( ;0) Do AB qua B M nên có pt: x + y − = BC qua M' B nên có pt: 2x + y – = Gọi α góc đường thẳng AB BC suy cosα = 2.1 + 1.2 5 = ⇒ sin α = 5 Từ định lý sin tam giác ABC 2R = AC ⇒ AC = sin ·ABC 3− a ); C (c;3 − 2c ) , trung a + c − a − 4c ; ) điểm AC N ( a − 4c + = N ∈ d2 a = 5; c = 2 ⇒ ⇔ a − c + AC = (c − a) + ÷ = a = − 3, c = M M ' C 0,25 N A d2 d1 A ∈ AB, C ∈ BC ⇒ A(a; 0,25 Khi a = ta A(5; -1) Khi a = -3 ta A(-3; 3) Đs: A (5; -1), A (-3; 3) Câu (1,0đ) 0,25 Điều kiện x ≥ Phương trình tương đương x + 25 x + 19 = x + + x − x − 35 Bình phương vế suy ra: 3x − 11x − 22 = ( x + 2)( x + 5)( x − 7) 3( x − x − 14) + 4( x + 5) = ( x + 5)( x − x − 14) 0,25 Đặt a = x − x − 14; b = x + ( a ,b ≥ 0) Khi ta có phương trình a = b 3a + 4b = ab ⇔ 3a − ab + 4b = ⇔ 3a = 4b 0,25 Với a = b suy x = + (t / m); x = − (l ) 0,25 61 + 11137 61 − 11137 Với 3a = 4b suy x = (t / m); x = (l ) 18 18 61 + 11137 Đs: x = + ; x = 18 Câu 10 (1,0đ) 0,25 Đặt f ( x) = x3 − yx − z x + 2( y + z ) − y z Ta có: 6 Nhận xét: x1 ∉ ( 0;1) , lập bảng biến thiên ta thấy x2 ∈ ( 0;1) hay x2 ∉ ( 0;1) Max f ( x) = Max { f (0); f (1)} f ' ( x) = x − yx − z ; f ' ( x) = ⇔ x = x1 = ( y − y + z ); x = x2 = ( y + y + z ) x∈[ 0;1] Mà f (0) = 2( y + z ) − y z ≤ 2( y + z ) − y z + (2 − y − z ) = f (1) ⇒ f ( x) ≤ f (1) = y − zy -y + z − z + (1) Lại đặt g ( y) = y − zy - y + z − z + , 0,25 g ' ( y) = y − zy − 1; g ' ( y) = ⇔ y = y1 = ( z − z + 6); y = y2 = ( z + z + 6) ax g ( y) = Max { g (0); g (1)} Nhận xét tương tự suy yM ∈ 0;1 Lại có g (0) = z + − z ≤ z + − z + (1 − z ) = g (1) Suy g ( y) ≤ g (1) = z + − z + (1 − z ) = z − z − z + Cuối đặt h( z ) = z − z − z + với z ∈ [ 0;1] , h' ( z ) = z − z − (2) 1− 1+ ; z2 = Lập bảng biến thiên suy ra: 6 Max h( z ) = h(1) = h' ( z ) = ⇔ z1 = z∈0;1 0,25 (3) Dấu xảy (1), (2), (3) x = y = z = 1.Vậy giá trị lớn P đạt x = y = z = 0,25 0,25