Tổng hợp phương pháp giải toán bằng máy tính casio

Ý nghĩa các nút bấm: Trên máy casio, có nút nổi, ta bấm trực tiếp, nút chìm có hai loại: màu vàng như STO, SOLVE,…., để bấm nút này, ta cần bấm nút SHIFT trước.. Muốn tìm nghiệm còn lại,

KHÓA HỌC CASIO – ĐÔ-RÊ-MON

Buổi 1: Sử dụng cơ bản

1 Ý nghĩa các nút bấm: Trên máy casio, có nút nổi, ta bấm trực tiếp, nút chìm có hai loại: màu

vàng như STO, SOLVE,…., để bấm nút này, ta cần bấm nút SHIFT trước Loại màu đỏ, như các

biến nhớ A,B,C,X,Y…ta bấm nút ALPHA trước nhé !

2 Một số nút chức năng cơ bản:

-CALC: Tính giá trị biểu thức chứa biến X, hoặc Y, hoặc cả X và Y.Soạn biểu thức chứa x,y xong,

ta bấm CALC, máy sẻ hỏi X? ta nhập 1 số cho X và nhấn dấu =, máy hỏi Y? ta nhập 1 số cho Y,=,

máy cho giá trị biểu thức tương tứng của x,y mà ta đưa vào VD: Soạn X2+2XY+3,CACL,2,=,1= máy

cho KQ 11

-SOLVE: chức năng giải pt một ẩn X hoặc hai ẩn X,Y ( cho Y tìm X tương ứng ):

VD: Soạn biểu thức X2-3X+2,SOLVE, máy hỏi X? (cho X giá trị khởi đầu ), ta nhập 6 chẳng hạn,

máy cho kết quả X=2,R=0 (R là độ sai số ) , như vậy TH này máy cho nghiệm đúng luôn Muốn tìm

nghiệm còn lại, ta bấm nút⊲⊳để sửa biểu thức (khi con trỏ ở cuối dòng bấm⊳nó nhảy về đầu

dòng, và nếu nó đầu dòng, bấm nút⊲nó sẽ về cuối dòng cho nhanh nhé ), ta thêm () vào đầu và

cuối dòng, để con trỏ cuối dòng, ấn nút phân số, sẽ được phân số, thêm mẫu số là X-2, bấm

SOLVE, =, ta được nghiệm thứ 2 là X=1 Vậy pt X2-3X+2 có hai nghiệm X=2,X=1

3 Phím nhớ:

-Phím Ans, biến nhớ tức thời, nó lưu kết quả vừa tính xong VD bấm 1+2=3( bây giờ ans là 3), sau

bấm Ans2sẽ ra 9( bây giờ ans là 9), bấm = tiếp sẽ ra 81…

-A,B,C,X,Y là biến nhớ tạm thời, do ta gán vào bằng cách bấm STO A( gán kết quả vừa tình vào A),

đặc biệt tiện dụng khi kết quả tìm là số lẻ dài loằng ngoằng mà ghi ra giấy phát ốm

4 Giải phương trình bậc 4, hay phân tích thành nhân tử pt bậc 4:

Ví dụ 1: Pt bậc 4 có nghiệm đẹp( nguyên, hữu tỉ )6x4 5x3 3x2 3x  2  0

Soạn biểu thức :6x4 5x3 3x2 3x  2và bấm = ( để lưu bt )

-Bấm SOLVE,1,= máy cho nghiệm x=0,666666666667, R=0, như vậy nghiệm đẹp , đúng rồi, như

đó là phân số nào Bấm AC ( xóa màn hình hiện thời ), bấm Ans ra 2/3, hihi, tuyệt vời, pt có

nghiệm x  2   3x  2  .A  0

3

Ta phân tích pt thành tích thôi ( chia đa thức hoặc nhóm nhé )3x2 2x33x23x10,

xong

Ví dụ 2: PT bậc 4 nghiệm ko đẹp ( nó sẽ dạng tích hai tam thức bậc 2)

x4 6x3 5x2 4x  1  0

Soạn biểu thức VT và bấm dấu = ( để lưu bt sử dụng lâu dài )

-SOLVE,1,= ra nghiệm lẻ, bấm (SHIFT) STO A

-Bấm AC, và bấm để trở lại màn hình có biểu thức VT đã soạn

4  6x3  5x2  4x  1

x A

-Bấm SOLVE,= để tìm nghiệm thức 2, máy cho nghiệm rất lẻ, bấm STO B ( lưu nghiệm vào B)

-Bấm A+B cho ra -5, bấm AB ra -1

Vậy theo định lý Viet đảo A,B là nghiệm pt bậc hai: x2  5x  1

Do đó ta phân tích ( bằng cách chia đa thức cho đa thức ) ta đươc:

x46x35x24x10x25x1x2x1

Để nhanh các bạn nên dùng pp nhẩm x46x35x24 x1x25x1ax2bxc

a ,c ta biết ngay nhờ hệ số đầu cuối ( đầu =đâu.đầu, cuối =cuối.cuối ) ta có a=1,c=1

còn b ta dựa vào hệ số bậc 3 hai vế:61.b5.ab 1

Ví dụ 3: Giải pt: 2x4 5x3 4x2  10x  3  0

-Soạn bt VT và bấm = ( đừng quên bấm =, ko sau gõ lại ốm ra )

-SOLVE với x=1, ra nghiệm lưu vào A

-Sủa bt thành: VT

x A, SOLVE ,=, ra nghiệm lẻ, lưu vào B

-Thử AB đẹp ko ?( đẹp thì may mắn cho bạn , ta viet đảo ) lẻ thì A, và B ko phải là hai nghiệm anh

em một nhà

-Sửa bt thành VT

 x  A  x  B  , SolVE,=, ra nghiệm lẻ lưu vào C -Tính A.C đẹp ko, đẹp thì tính A+C, vi et ra pt bậc hai có nghiệm là A,C Không đẹp thì tính B.C

Mình bấm may mắn ra: A.C=-1/2,A+C=-3/2 vậy phân tích ra x2  3 x  1  2x2  3x  1

Giải pt trên: 2x4 5x34x2 10x302x23x1x2x30

Chú ý: PP này áp dụng cho pt bậc cao hơn cả 4 nhé, cứ mạnh dạn

5 Thực hành: Giải các phương trìnhsau:

1)x4  6x3  12x2  48x  32  0

2)x6  x5  2x4  x3  2x  x  3  0

3)x2  x  2  x2 1  3x  2  0

4) 3x  1  5x  4  2x  3

5)  x  1  3x  1  5 2x  1  6x2 x  1  5x  5

6) x3  8  3x2  8x  8

-Buổi 2: Giải PT và BPT vô tỷ

Vd5:23 3x  2  3 6  5x  8  0

-Bấm SOLVE ra được x=-2, ta nhóm như sau:

2

3

2 6

2 33x  2  2   3  6  5x  4   0

6  x  2  15  2  x 



3

6  5x  2

3x  2  2 3x  2  4



3

3x  2  23

3x  2  4 6  5x  2 

6

Do x  biểu thức [] luôn âm Vậy pt có nghiệm duy nhất x=-2

5

Cách khác: Đặt 3 3x  2  a

2a  3b  8  0

 

5a3  3b2  8

6  5x  b 



5

6  t2 Cách khác nữa: Đặt 6  5x  t  0  x 

3 3

Pt trở thành: 2 3

5



6 t 5

 18  3t

 2  8  3t  8  

  2   8  3t , pt bậc 3

VD6: 3x  1  6  x  3x2 14x  8  0

-SOLVE ra nghiệm x=5, liên hợp : 3x  1  4    1  6  x    3x2  14x  5   0

3  x  5  x  5

    x  5  3x  1   0

3x  1  4 1  6  x

  x  5    3  1   3x  1     0

3x  1  4 1  6  x

Với đk:  1  x  3     0 Vậy pt có nghiệm duy nhất x=5

3

VD7: x  2  x2  x  2  3x  2

-SOLVE ra nghiệm x=2, thay x=2 vào thấy hai căn = nhau, nên nhóm 2 căn với nhau liên hợp

 2 Cuối cùng được:  x  2    x   x  1    0

2  3x  2

Đặt: f  x    2  x  1, x  2

x  2  3x  2 3 Soạn bt f(x) cho các giá trị x=2/3 đến số rất lớn 1000 cho giá trị dương, nên ta cần chứng

minh f(x) luôn dương ( nếu SHIFT SOLVE thì CAN’T SOLVE  vô nghiệm)

3

x  2  3x  2   2  0  ( bấm 2 : 3  2 ) Suy ra:

2 3 6 2

  2  

x  2  3x  2 2 6 ( bấm AC, -2:Ans=)

Suy ra: f  x    2  x  1  0, 441  0 (bấm +2/3+1=)

x  2  3x  2

2 Vậy bpt có nghiệm  x  2

3

VD8: 13  4x  2x  3   4x  3  5  2x  2  8 16x  4x2  15

Bấm SOLVE bt 16x  4x2  15xem có n đẹp hay ko ? để phân tích nhân tử , ra x=1,5

Vậy 16x  4x2  15   2x  3  5  2x 

Đặt: a 2x3, b 52x , pt trở thành hệ:

2b23a2a23b28ab



a2 b2 2

( hệ đx)

VD9:  x  2   x2  4x  7  1   x  x2  3  1   0

Nhìn là biết dạng xét hàm, để tìm quan hệ hàm, ta thay x ở số hạng thức 2 thành y, soạn bt

 x  2   x2  4x  7  1   y  y2  3  1 

SOLVE, máy hỏi Y? nhập 100=,máy hỏi solve for x, bấm = để xác nhận, ra x=-102 Đoán

x=-y-2 hay x+x=-y-2=-y

Đặt: a  x  2,b   y

Ta có: a  a2  3  1   b  b2  3  1   0, phân tích ra a=b hoặc xét hàm

VD10: x3  3x2  3x  2  x  1 3  0

Dùng tru bò chút, chuyển vế bp mất căn: x3 3x2 3x 2

 4  x  1 3  0 Soạn bt VT, nhớ bấm dấu = để lưu

SOLVE,với x=1 cho ra nghiệm x=1,6180… STO A

Sửa bt thành VT

x A, solve tiếp ra x=-0,8284… STO B

Sửa bt thành VT

 x  A  x  B solve tiếp ( chú ý bấm dấu = liên tục đến khi máy hết hỏi nhé )

ra nghiệm-0,61803….STO C

Bấm AC=-1.A+C=1 nên có nhân tử x2  x  1

Vậy yên tâm khai triển phân tích nhé, kết quả là đây: x2 4x  4  x2 x  1 2

 0 Cách IQ: Nhận dạng pt đẳng cấp, chú ý có  x  1 3

, ta biểu bt ngoài căn về chứa (x+1)

PT x3  x  x  1   2  x  1 3  0

3

b

Đặt, hoặc chia ta có: x  a, x  1  b  a3  ab2  2b3  0    b a    a  2  0

 

Vd11: x2 10 x  1  2  x  4  3x  2  14  0

Cái này bp khó nhằn, liên hợp thôi Chú y đk x 1

SOLVE với x=1 được x=2

Sửa thành VT

X  1, SOLVE = tiếp ta x=2, vậy bt liên hợp có nghiệm kép x=2

Vậy ta phải liên hợp cho rax22 x24x4=A

Muốn tìm bt liên cho x1axb x1axb2  x24x4

2

 a   1



 a2  1  2ab  b2 1  

 a2x2   1  2ab  x  b2 1 ∼x2 4x  4

2

, hay  x  1  1

x ( do x=2 là nghiệm nên

thay vào có 2a+b+1=0, thế tìm a.b)

2 1

a  1



2  a 0 b 0

21



f 20

f '20

1 2

 x  4  3x  2  cx  d     4  2c  d  0    c  

 3.2  2   2  4  3  c  0

2 3.2  2



 d  5

 2 Hay x  4  3x  2  x  5

Vậy PT tương đương: x2 4x  4   5  x  1  x    2  x  4  3x  2  x  10   0

5

x  1  x 2  x  4 

 x  4x  4  1 

 3x  2  x  10 

Cách khác:

Nhóm thành các bình phương nhận x=2 làm nghiệm:

2

x 1 x 1  a

Do x =2 là nghiệm , nên có ngay a  1 , 2 2b c 0 ….tựnhóm nhé !

VD12:

a)  x2  2x  2  3x  1  x3 2x2  x  2  0

b)  2x2 4x  6  x  1  x3 x2 9x  20  0

c)x3  3x  2  x  1  7x  2  0

d ) x2  5x  20  3x2  16x  60   5x2  5x  100

e)7x2   3x  4  5x2  6  3x  1  0

f )  x  7  2  x   x  3  2  x  4  x2  5x  14

g)16x3 6x   6x  13  3x  5

u)

h) 2x  3 4

x2  1  x  4  x  6  2x 4  x

VD13:

a) x2 12  x2  5  3x  5

b) 3 x2  1  x  x3  2

c)x2 x  1   x  2  x2  2x  2

d ) 2  x  4  x  2x  5  2x2 5x

e) x  2  5x  6  2 8x  9  4x2

f )2 x  1  5x  1  x2 1

g)4 x  2  22  3x  x2  8

h)  x  1  x  2   x  6  x  7  x2  7x  12

t)x3  3x  1  8  3x2

2  x  1  5x  4   1

3x  1 x  3  1 6

Buổi 4: Kĩ thuật tìm nghiệm kép của pt Vô Tỷ ( bí quết của MON)

ĐK: Nếu f  a   f '  a   0 thì x=a là nghiệm kép của pt, và pt sẽ phân tích được dạng xa2

B1: Soạn bt f(x), solve, ra được nghiệm đẹp x=a

Tính f’(x) và kiểm tra f’(a)=0 suy ra nghiệm kép là x=a

B2: Trình bày bài giải: Biến đổi về dạngxa2

.A0, có thể khử căn bằng bp hoặc liên hợp, Tìm bt thức liên hợp với căn g  x  dạng g  x   mx  n, m,n thỏa mãn

 g  a   ma  n  0





 n 

ti  le  he  so 

 x  mx  n ∼ x a

VD: f  x   6x4  47x2   2x  4  5x  6  9x  106  0

f '  x   24x3 94x  2

5  2x  4 

2 5x  6 -F(x) SOLVE x=2,

-Bấm bt f’(Ans) trên với x là Ans, bấm =, ra kết quả 0 Vậy x=2 là nghiệm kép

-Tìm bt liên hợp với

8 11 4

 4  2a  b  0  a   5

 5x  6  ax  b  0

5x  6  ax  b  x  2

4

5x  6  ax  b  0 ∼ 

Vậy bt liên hợp là: 5x 6 x

Giải: Ta có

2

8

32

f  x   6x4  47x2   2x  4  5x  6  9x  106  0

  6x  47x  9x  106  2x  4  8  4   2x  4   5x  6  5x  11 4     0

 x  2   4 24x  96x  95  25      0  x  2

Bài luyện: a)7x2 2  x  2  5x2  4  2x  9  0 b)

16x5  64x4  36x3  44x2  18x  4 2x  3  19  0

Buổi 5: Phân tích nhân tử pt hai ẩn x và y ( để giải hệ ) ( nguồn bài tập từ ĐVH)

Máy tính giải được pt một ẩn, nên với pt nhiều(n) ẩn, máy đòi nhập (n-1)ẩn, và tìm ẩn còn lại Sự ưu

tiên cac bạn tự tìm hiểu ( vd x và y thì máy yêu cầu cho y, tìm x)

Đối với bt hai ẩn: f(x,y) ,ta thay một giá trị Y, và máy sẽ tìm ra giá trị X tương ứng Từ mối quan hệ này ta

có thể dự đoán mối quan hệ giữa X và Y

Chú ý khi cho Y , và giá trị khởi đầu X, phải thuộc đk xác định ( nếu ko máy báo lỗi )

B1: Soạn bt f(x;y)

B2: SOLVE, máy hỏi Y? ta nhập Y một giá trị, rồi nhấn dấu =, máy hỏi tiếp giá trị đầu của X, ta nhập 1 giá

trị rồi bấm dấu =

Máy sẽ tìm ra X ( nếu có )

B3: Từ mối quan hệ X, Y ta đi chứng minh quan hệ đó ( phân tích nhân tử, liên hợp, hàm số …)

 x2  x2  xy  y2  2xy  xy  y2

Vd1:

 x2  2 y x  2  2x  3 y

( Đặng Việt Hùng )

B1: Soạn bt Vt PT1

B2: Solve, Cho y 1000, bấm = ,(máy thông báo solve forx ) , nhập 2000, bấm =

(vì khi y=1000, thì đk x2  1000x , 1000x  10002 , nên phải gán x>1000)

Máy cho đáp số 1000 Vậy ta đoán x=y

B3: Phân tích nhân tử ( trình bày bài giải )

Thay x=y vào các căn ta thấy x2  xy0, xy y2 0, vậy ta liên hợp hai căn này cho nhau:

x2 x2  xy  y2  2 xy  xy  y  x  y   0

x2  xy  xy  y2

  x  y 2 1  1   0  x  y

 x2  xy  xy  y2

 DVH 

y

x  2 y  y2  x  2 y  4  y  2





2 VD2:

 x2  16 y  4  y x 



B1-Soạn bt: x2 y y2  x2 y4( y2)

B2-Solve: y=100, gán x= 10000, máy chạy ra x=200 ( vì sao cho x lớn thế ? IQ tí nhé ).Vậy x=2y

B3- Phân tích: Thay x=2y vào ta có căn thức nhất =y, căn thứ hai =2, vậy ta ghép

x  2 y  y2  x  2 y  4  ( y  2)  0   x  2 y  y2  y    x  2 y  4  2   0

x  2 y x  2 y

x  2 y  4  2

x  2 y  y2  y  x  2 y  y2  y x  2y  4  2 

 x  y

 x2 y  3 y  2 x2  1  y2

y  2 y  1 Vd3:



xy  4x  4 y  2   4x  6  4x  1



B1: Soạn bt VT-VP pt một, Solve, cho y=101 ( biết vì sao ko ? để căn (y-1) đẹp) , máy giải ra x lẻ

Đảo ngược ẩn: soạn lại bt trên ( với x đổi cho y và ngược lại )

Solve: ch y=100, gán x=2>1, máy cho x=10002, vậy đoán: x  y2  2

Vậy pt đầu có: y  x2  2

Lại nhận thấy với y-2=0 hay y=2 thì mẫu số =0, vậy chúng có nhân tử chung

B2: Biến đổi về tích:

 y  2 2

x2 y  3 y  2 x2  1  y2  x2 y  2 y  y2  2 x2  1  2 y  1  0

y  2 y  1 Thử thay y  x2  2 vào hai căn thấy chúng = nhau, nên chúng “nên duyên “ liên hợp :

y  x  2  y   0  x  2  y   0  y  x  2

x2 1  y  1



 y 

 x2  1  y 1 

Luyện :

2

x



3x  y  4x  4  2 y  2

x  1



vd3

 3y  12x  3   y  2  x  4  1



2

x  3y  4y  1

 2y  x  y  1    x  y  2 

x  2 y  6  x  3  2x  y  x

Vd4:



x  3y  1  3x 2x  y  2

 x 1  2 y   2x  2 y  1 

Vd5:

 3 x2  3  2 x  x2  4 y  3

Buổi 6: CASIO với phương pháp hàm số

Mục đích vẫn là tìm quan hệ x,y trong một pt của hệ, từ đó xấy dựng hàm đặc trưng f  a   f  b , f

đơn điệu trong khoảng chứa a,b, suy ra a=b

2

3

 3y  5  x  2  1



VD1:

x  y2  5   2x  3  2x  5

  x  y2  3 

B1: Soạn bt VT-VP của pt hai, solve với y=100-x=10000, suy ra x=y2 hay 2x=x+y2

Vậy hàm số đặc trưng là: f  t    t  3  t  5 , pt có dạng f x y2 f 2x

 x  y2  2x  x  y2

Thay vào pt1: 3 3x  5  x  2  1

 DVH 

 x6  3x2

y2  x3

y3  3xy3

2 y  1  3x3 6x  2 y3  y  7

VD2:



B1: Khai thác pt một bằng casio: y=100-x=100, vậy dự đoán x=y

B2: -Phân tích thành nhân tử ( lớp 10)

x6  3x2

y2  x3

y3  3xy3   x6  x3

y3   3  x2

y2  xy2   0  x3  x3  y3   3xy2  x  y   0

 x y

 x  y  x x  xy  y  3xy   0  x x  y  x x  xy  y  3 y   0  

x  0

 3

y

 3  x  3x  f  f x   x 

y



3

2

7  x y  4   9x  9  0



VD3:

 4 x  1  xy y2  4  0



(ĐVH)

4

B1: Khai thác pt1 bằng casio: y=1=>x=-0,8   ( khó đoán hì )

5

4 Cho y= 12 ( tự biết vì sao nhé ) cho ra x=-0,25, đoán x  

y2  4 B2: Ta biến đổi pt hai:

2

2

x  y  4   4  0

 16  x  1   x y y  4  0   x y  4  4  xy  16 x  1  4xy  0

 x y2  4  4 xy2  4 xy2  4x  4  0  

 xy2  4  0 Cách khác: Xét pt bậc hai ẩn x:

( các bạn biết chỗ màu đỏ ấy từ đâu rồi chứ )

x2

y4  4x2

y2  16x  16  0

 '  4x4 x2 16x  16   4x2 x  2 2 ( đẹp ) Cách Thầy HÙng đưa về hàm số quá phức tạp: …

  x  3y  1  y2  1  3x  4

 9 y  2 3 7x  2 y  2  2 y  3



x 1 y

B1: Casio pt1: cho y=100x=9999, vậy x  y2 1

Đặt a  x  1  x  a2 1

2

1 3a  1

a  a   3a  y   3 y  f a  f y  a  y

Pt1 trở thành: a  3y  y  

y

Luyện:

 2x  3 2x  y  y  4





x y 1  y2 1  x2  1  x   1

 

 x  x  4   1  y  3x  y

4)

 6x  2 y  10x2  16x  4  0

2)

 2x  1 x2  x 1





y2  3

12x  8

 2 y



 y  3  2 x  y  3 



2

x  2  1  4 y  1  2 x2  4  2

2x y x  x2  1  2x2

y 4 y2 1



 5)





3

 2x  2y  3  3



 2 y2 3x  2 y  1  2

 6x  5



 x  4 x  2 y  1  2  y2  2 y  15

 6)

 y  10x  11  x 5x  6  0 -Còn

Buổi 7: Phân tích nhân tử biểu thức chứa căn

Mục đích phân tích là nhằm đưa pt phức tạp về tích các phương trình đơn giản hơn Một pp rất

cơ bản mà mọi loại phương trình đều có

VD1: Giải bất pt: x2  5x   x  2  x2  3

Để giải pt này ta có thể bp hai vế, rồi phân tích nhân tử như đã học Tuy nhiên bây giờ ta sẽ ép

tích ph này

Dùng máy, dễ dàng cho ra nghiệm x=1

Thay x=1 vào x2  3  2 , tìm nghiệm khác 1 thì thấy ko có nghiệm đẹp nữa Vậy chứng tỏ có

x2 3  x  a  0, x  1  a   1 một nhân tử tạo ra pt bậc nhất Ta nghĩ ngay dạng

Vậy ta nhóm:

x2 5x   x  2  x2  3  x  3  x  5x  x  3  x  1   x  1 

x  2

x  5x

x  2

2x  2

x  2

 x2  3  x  1    x2  3  x  1 x  2  x2  3  x  1  0

x  2 Khi giải ta chỉ cần trình bày:

 x2 3  x  1  x  1

 1    x2 3  x  1  2x  3  x2  3   0    

x2  3   2x  3  x   2  2



2x  1  2

Quan sát ta thấy có tham gia vào pt là : 2x , 2x1, và tích của chúng

Ta giảm căn bằng cách đặt t  2  x  x  2  t2

Pt trở thành:   2t 2  2t  6  3  2t2  t3  4t 2  9

1

Solve ra được hai nghiệm đẹp x 1; x  Thay vào biểu thức dạng :

3

2

a

 a   1

 a  b  1

3  2t2  at  b   5  

  b  b  3

Nhân tử sẽ là: 2 3  2t 2  t  3

Ta biến đổi:

  2t 2  2t  6  3  2t2  t3  4t2  9

  t2 t  3   2 3  2t2  t  3   t3  4t2  9   t2  t  3   t  3 

  t2 t  3   2 3  2t2  t  3   0  OK

Bài tập:

1)  x  7  2  x   x  7  3x  1  9x  3  3 2  5x  3x2  0

2)   x  2  x2  1  x x2 1  x4  1  x2  2x  3