Trình bày một định lý điểm bất động của Krasnosel’

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Trương Kim Hồng Phước Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hồn Hóa, thầy tận tình hướng dẫn cho tơi q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy tận tâm giảng dạy cho tơi nhiều kiến thức q báu q trình tơi học cao học Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy anh chị làm cơng tác quản lý phòng sau đại học giúp đỡ cho tơi hồn thành khóa học Người viết Trương Kim Hồng Phước MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn áp dụng định lý điểm bất động Krasnosel’skii vào phương trình tích phân nhiều tác giả nghiên cứu ví dụ [1][4],[6],]7] Trong [2], tác giả áp dụng định lý điểm bất động Krasnosel’skii khơng gian Fréchet để chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân Trong [6] Hoa, Schmitt trình bày định lý điểm bất động Krasnosel’skii khơng gian lồi địa phương Trên sở ý tưởng kỹ thuật [2,6] luận văn trình bày định lý điểm bất động krasnosel’skii Mục đích nghiên cứu Ap dụng định lý điểm bất động để chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến Đối tượng nội dung nghiên cứu Với giả thiết thích hợp ánh xạ U C, ta chứng minh tồn nghiệm tốn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Định lý điểm bất động cơng cụ mạnh nhiều nhà tốn học sử dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân Luận văn trình bày kết đẹp cho tốn Cấu trúc luận văn Luận văn chia làm chương sau: Mở đầu : Nêu lý chọn đề tài Chương : Giới thiệu Trong chương giới thiệu hai định lý điểm bất động krasnosel’skii Chương : Trình bày định lý điểm bất động Krasnosel’ Skii Chương 3: Sự tồn nghiệm, gồm định lý bổ đề Chương 4: Nghiệm tiệm cận ổn định Chương : Trường hợp tổng qt, gồm định lý Chương : GIỚI THIỆU MỘT ĐỊNH LÝ RẤT PHỔ BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA KRASNOSEL’SKII 1.1 Định lý 1.1 Cho M tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng khơng gian Banach ( X , ) Giả sử U : M  X ánh xạ co C : M  X ánh xạ hồn tồn liên tục cho: U ( x)  C ( y )  M , x, y  M Khi U  C có điểm bất động M Định lý Kranosel’skii mở rộng nhiều tác giả ,ví dụ tham khảo [1],[2],[3],[4],[6],[7] kiểm tra Trong tài liệu đưa định lý điểm bất động Krasnosel’skii ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến t t 0 x(t )  q (t )  f (t , x(t ))   v(t , s, x( s)) ds   G (t , s, x( s))ds , t  Trong E khơng gian Banach với chuẩn , f:  E  E;   (t , s )    G,V :   E  E    ,  [0, ) , q : giả sử liên (1.1)   E, tục, , s  t Trong trường hợp E  d hàm V (t , s, x) tuyến tính theo biến thứ ba, phương trình (1.1) nghiên cứu C Avramescu C.Vladimirescu [2] Các tác giả chứng minh tồn nghiệm tiệm cận ổn định phương trình tích phân sau: t t x(t )  q (t )   V (t , s ) x( s )ds   G (t , s, x( s )) ds, t  0  , (1.2) Trong : q : d   d , f:   giả sử liên tục,   (t , s )  d    d  , V :   Md ( ) , G :   d  , s  t M d ( ) tập hợp ma trận thực cấp hai Trường hợp làm sử dụng định lý điểm bất động sau Krasnosel’skii 1.2 Định lý 1.2 Cho ( X , n ) khơng gian Fréchet cho C , D : X  X hai ánh xạ Giả sử giả thiết sau thỏa: a) C ánh xạ compact b) D ánh xạ co với liên quan n tương đương với n x c) Tập hợp {x  X , x   D    Cx,   (0,1)} bị chặn  Khi C + D có điểm bất động Trong [6] Hoa, Schmitt trình bày vài định lí điểm bất động Krasnosel’skiii ánh xạ U+C tập hợp lồi, đóng, bị chặn, lồi khơng gian lồi địa phương, C hồn tồn liên tục U n thỏa mãn điều kiện co (Định lý nêu phần phụ lục) Hơn đa ứng dụng vào phương trình tích phân khơng gian Banach Trên sở ý tưởng kỹ thuật [2,6] xét phương trình (1.1) Tài liệu bao gồm phần Trong phần chứng minh định lý điểm bất động Krasnosel’skii Kết trình bày phần 3,4 Ở tồn nghiệm nghiệm tiệm cận ổn định (1.1) thiết lập điều kiện đưa thỏa Cuối phần 5, trường hợp chung đưa Chúng ta trình bày tồn nghiệm phương trình dạng: t x(t )  q (t )  f (t , x(t ), x( (t ))   v(t , s, x( s ), x( ( s ))) ds t   G (t , s, x( s ), x(  ( s )))ds, t   (1.3) trường hợp  (t )  t Nghiệm tiệm cận ổn định (1.3) xét Kết đạt phần chung [2], tương ứng phương trình (1.2) Chương : MỘT ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA KRASNOSEL’SKII Trên sở định lý 1.2 ([1]) ([6] định lí 3), có định lý sau: 2.1 Định lý 2.1 Cho ( X , n ) khơng gian Fréchet cho C ,U : X  X hai ánh xạ Giả sử i) U ánh xạ k - co, k  [0,1) ( đơc lập n )Với họ chuẩn n tương đương với n ; ii) iii) C hồn tồn liên tục lim Cx n x  xn  0, n  * Khi U + C có điểm bất động Chứng minh định lí 2.1 Trước hết thấy từ giả thiết i) suy tồn liên tục ánh xạ ( I  U ) 1 Và từ n tương đương với n Tồn K1n , K n  cho K1n x n  x n  K n x n , n  * Điều suy a) Tập hợp x n  , x  A bị chặn x n  , x  A bị chặn, A  X , n  * ; b)Với dãy ( xm ) X, n  * Từ lim xm  x n   lim xm  x n  Dãy (xm) hội tụ tới x với chuẩn n m m (xm) hội tụ tới x với chuẩn n Do điều kiện ii) thoả mãn với n Mặt khác, K1n Cx n K1n Cx  K2n x n xn n  ta Cx n xn  K2n Cx n xn có K n Cx n , x  X , n  K1n x n  * Do vậy, lim x n  Cx n xn   lim Cx x n  x n  0, n Bây chứng minh U  C có điểm bất động Với a  X , định nghĩa ánh xạ U a : X  X U a ( x)  U ( x)  a Dể thấy U a ánh xạ k - co a  X , U a có điểm bất động đặt  (a ) Khi U a ( (a ))   (a )  U ( (a))  a   (a )   (a )  ( I  U ) 1 (a ) Đặt u0 làm điểm bất động U Với x  X Xét U Cm( x ) (u0 ), m  * , U Cm( x ) ( y )  U C ( x ) (U Cm(x1) ( y ))  U (U Cm(x1) ( y ))  C ( x), y  X Chúng ta ý n  U Cm( x ) (u0 )  u0 n cố định , m  *  U C ( x ) (U Cm(x1) (u0 ))  U (u0 )  U C ( x ) (U Cm(x1) (u0 ))  U (U Cm(x1) (u0 )) n n m 1 C ( x)  (1  k   k m1 ) C ( x) n   C ( x) n  U (U Bằng quy nạp, m  U Cm( x ) (u0 )  u0   * n * m 1 C ( x) (u0 )  U (u0 )  C ( x) n  k (U (u0 )  u0 n , có: (2.1)  Do điều kiện iii) thỏa mãn với n Với 1 k  0, M  (ta chọn M  u0 n ) cho 4 x n  M  Cx n  x 4 n n Chọn số dương r1n  M  u0 n , x  X Như x  X , ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: x  u0 Từ x n  u0 n n  x  u0  r1n n  r1n  M  u0 n  x n  M , có C ( x) n  1 1  x  u0 n  x  u0 n    x  u0  u0   xn x  u0 4 4 4 2 (2.2) Trường hợp 2: x  u0 n  r1n Do ii) thoả mãn với n , tồn số dương  cho C ( x) n   (2.3) Chọn r2n   Đặt Dn   x  X : x n  r2 n  , D  D n n * Khi u0  D D lồi, đóng,bị chặn X Với x  D n  ta xét hai trường hợp: + Nếu x  u0 n  r1n , (2,1) , (2,3)  U Cm( x ) (u0 )  u0   C ( x) n    r2 n + Nếu r1n  x  u0 n (2.4)  r2n , (2.1), (2.2)  U Cm( x ) (u0 )  u0 n   C ( x) n   Chúng ta có U Cm( x ) (u0 )  D, x  D r2 n  r2 n 2 (2.5) * n Với t  [0,  n ] với  n  (0, n),  n  ˆ n   (t ), t  [0, n] chọn sau cùng, Ta có: Uy (t )  Uy (t )  L L y (t )  y (t )  y ( (t ))  y ( (t )) 2 t   w1 (t , s )  y ( s )  y ( s )  y ( ( s ))  y ( ( s )) ds    L  w 1n  n y  y  n Điều suy   Uy  Uy   L  w 1n  n y  y  n (5.4) n Với t  [ n , n] , tương tự ta có Uy (t )  Uy (t )  L L y (t )  y (t )  y ( (t ))  y ( (t )) 2 n  w 1n   y ( s )  y ( s )  y ( ( s ))  y ( ( s )) ds t  w 1n   y ( s )  y ( s )  y ( ( s ))  y ( ( s ))  ds n Do bất đẳng thức  e hn (t  n )  e hn ( ( t ) n )  1, t  [ n , n],  e hn (t  n )  e hn ( ( t ) n )  1, t  [ n , n], Ở hn chọn sau cùng, ta có (5.5) Uy (t )  Uy (t ) e  hn (t  n )  L L y (t )  y (t ) e  hn ( t  n )  y ( (t ))  y ( (t )) e  hn ( ( t ) n )  w 1n n y  y  n 2 t  w 1n   y ( s )  y ( s )  y ( ( s ))  y ( ( s ))e  hn (t  n ) ds n  L y  y h  w 1n n y  y  n t n    w 1n  y ( s )  y ( s ) e  hn ( s  n )  y ( ( s ))  y ( ( s )) e  hn ( ( s ) n ) e hn ( s t ) ds n  L y  y h  w 1n n y  y   w 1n y  y h n n n t e  hn ( s t ) ds n  L y  y h  w 1n n y  y   n Ở n w 1n y  y h , n hn w1n  sup w1n (t , s) : (t , s)   n ;  n  (t , s )  [0, n]  [0, n], s  t Ta có:  2w  Uy  Uy h   L  1n  y  y h  w1n n y  y  n n n hn   (5.6) Kết hợp (5.4) – (5.6) ta  w  Uy  Uy n   L  4 n w 1n  y  y    L  1n  y  y h n n hn    kn y  y n , (5.7)  w  Ở đây, kn  max  L  4 n w 1n , L  1n  Chọn hn   1  L  w   n   , n, n  ; hn  1n , 1 L  w 1n  Khi ta có kn  1, (5.7), U ánh xạ kn - co với họ nửa chuẩn n c ) C : X  X hồn tồn liên tục Trước hết ta chứng minh C  ym  m liên tục Với y0  X , cho dãy X cho lim ym  y0 m Cho n  * cố định Đặt K1   ym    ( s ) : s  [0, n], m  , K   ym    (  ( s )) : s  [0, n], m  , Khi K1 , K compact E Với   Từ G liên tục tập [0, n]  [0, n]  K1  K , compact Tồn  0 cho ui  K1 , vi  K , i  1,2,  ui  vi    G (t , s, u1 , v1 )  G (t , s, u2 , v2 )  , s, t  [0, n] n Từ lim ym  y0  m0 : m  m0 , m  ym    ( s)   y0    (s)  Và ym ( s )  y0 ( s )   , s  [0, n],  ym    (  ( s))   y0    (  ( s))  ym (  ( s ))  y0 (  ( s))   , s  [0, n] Điều suy t  [0, n], m  m0 , t Cym (t )  Cy0 (t )   G (t , s,( ym   )( s ),( ym   )(  ( s ))) G (t , s,( y0   )( s),( y0   )(  ( s ))) ds   , Do Cym  Cy0 n   , m  m0 liên tục C chứng minh Phần lại chứng minh C tập ánh xạ bị chặn tập compact tương đối Bây , đặt  tập bị chặn X, ta phải chứng minh n  *  ,(C) n , đẳng liên tục X n t  [0, n] tập  (C) n (t )  Cy [0,n ] (t ) : y   compact địa phương E Đặt S1  ( y   )( s ) : y  , s  [0, n] , S  ( y   )(  ( s )) : y  , s  [0, n] Khi S1 , S2 bị chặn E Do G hồn tồn liên tục, tập G ([0, n]2  S1  S ) compact địa phương E G ([0, n]2  S1  S ) bị chặn Suy tồn M n  cho G (t , s,( y   )( s ), ( y   )(  ( s ))  M n , t , s  [0, n], y   Với bất y  , t1 , t2  [0, n] kỳ t1 t2 0 (5.8) Cy (t1 )  Cy (t2 )   G (t1 , s,( y   )( s))ds   G (t2 , s,( y   )( s ))ds t1 t2 t1   G (t1 , s,( y   )( s ))  G (t2 , s,( y   )( s )) ds   G (t2 , s,( y   )( s ))ds Do giả thiết A3 (3.7) bất đẳng thức (C) n đẳng liên tục X n t  [0.n], tập (C) n (t )  {C y [0, n ] (t ) : y  } compact tương đối E Và t Cy (t )   G (t , s,( y   )( s ))ds Suy (C) n (t )  tconvG ([0, n]2  S1  S2 ) (5.9) Ap dụng bổ đề 3.3, (C) compact địa phương X Hơn C hồn tồn liên tục d ) Cuối ta có n  N * , lim Cy n y n  yn  Với   cho trước, giả thiết ( I ), ( I ) suy tồn   cho t , s  [0, n], u , v  E , ta có G (t , s, u , v)    w n   8n  u  v , (5.10) Ở w n  w2 (t , s ) : (t , s )   n  ;  n  (t , s )  [0, n]  [0, n]; s  t Điều suy với t  [0, n], t Cy (t )   G (t , s,( y   )( s ),( y   )(  ( s )) ds  n  nw n   n  (5.11) y n  4n 4nw n  Dẫn đến, ta chọn  n  max  , ,  n  với y n  n , ta     có Cy n yn   , nghĩa lim y n  Cy n yn  (5.12) Ap dụng định lý 2.1, ánh xạ U + C có điểm bất động y X Khi phương trình (5.1) có nghiệm x  y   (0, ) Suy điều phải chứng minh Bây ta xét nghiệm tiệm cận ổn định (5.1) định nghĩa phần Ở đây, ta giả sử ( I1 )  ( I ) thỏa giả sử thêm ( I )  (t )  t , t   , ( I ) V (t , s,0,0)  0, (t , s)  ; ( I8 ) tồn hai hàm liên tục w3 , w4 :    cho G (t , s, x, u )  w3 (t , s)  w4 (t , s )  x  u  , (t , s )  ; x, u  E Khi áp dụng định lý 5.1, phương trình (5.1) có nghiệm [0, ) Mặt khác, x nghiệm (5.1) y  x   thỏa mãn phương trình (5.3) Ta ý thêm với giả thiết ( I1 ),( I ) , hàm f:   E  E , thỏa ( A1 ) Do với t   fˆ trang bị , t y (t )  L y (t )   w1 (t , s )  y ( s)   ( s)  y ( ( s ))   ( ( s ))  ds t    w3 (t , s )  w4 (t , s )  y ( s )   ( s )  y (  ( s ))   (  ( s ))  ds (5.13) Từ (5.13), suy với t   , t y (t )   w1 (t , s)  w4 (t , s)   y ( s)  y ( ( s))  y(  ( s))  ds  L 0 t   w1 (t , s)  w4 (t , s)    ( s)   ( ( s))   (  ( s))  ds  L 0 t  w3 (t , s )ds  L 0 (5.14) Do  1 L  (t ) y ( (t ))    w ( (t ), s)  w ( (t ), s)   y(s)  y( (s))  y(  (s))  ds  1 L  (t )  1 L  (t )   w ( (t ), s)  w ( (t ), s)    (s)   ( ( s))   (  ( s))  ds  w3 ( (t ), s )ds t   w1 ( (t ), s)  w4 ( (t ), s)   y ( s)  y ( ( s))  y(  ( s))  L 0  ds (5.15) t   w1 ( (t ), s)  w4 ( (t ), s)    ( s)   ( ( s))   (  ( s))  ds  L 0 t  w3 ( (t ), s )ds,  L 0 Và tương tự cho y (  (t )) d (t )  y (t )  y ( (t ))  y (  (t )) kết hợp điều này, Đặt t   , ta có t dt   ( (t , s )d ( s ))ds  e(t ), (5.16) Ở  (t , s )  ( w1 (t , s )  w4 (t , s )  w1 ( (t ), s )  1 L  w4 ( (t ), s )  w1 (  (t ), s )  w4 (  (t ), s ), (5.17) t e(t )    (t , s )   ( s )   ( ( s )   (  ( s )) ds t   w3 (t , s)ds  w3 ( (t ), s)  w3 (  (t ), s)ds  L 0 (5.18) Ap dụng bất đẳng thức (a  b)  2(a  b ) , ta t t d (t )    (t , s)ds  d ( s )ds  2e (t ), 2 0 (5.19) t Đặt z (t )  d (t ), p (t )    (t , s )ds, (5.19) viết lại sau t z (t )  p (t )  z ( s )ds  2e (t ) (5.20) Từ (5.20), dựa vào so sánh cổ điển ta có t s  p ( s ) ds t  2e d (t )  z (t )  2e (t )  p (t )e   p ( u ) du e2 ( s)ds, t   (5.21) Khi ta có định lý sau nghiệm tiệm cận ổn định 5.2 Định lý 5.2 Cho ( I1 )  ( I8 ) thỏa Giả sử t  lim 2e (t )  p (t )e t  s p ( s ) ds t  2e   p ( u ) du e ( s)ds  0, (5.22) Ở t p (t )   w1 (t , s)  w4 (t , s)  w1 ( (t ), s)  w4 ( (t ), s) (1  L) 0  w1 (  (t ), s )  w4 (  (t ), s )  ds , t Và e(t )    (t , s )   ( s )   ( ( s )   (  ( s )) ds t   w3 (t , s)ds  w3 ( (t ), s)  w3 (  (t ), s)ds  L 0 Khi với nghiệm x (5.1) nghiệm tiệm cận ổn định Hơn nữa, lim x(t )   (t )  t  KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày nội dung sau đây: - Chương 1: Giới thiệu định lý điểm bất động Krasnosel’skii, gồm định lý 1.1 1.2 - Chương 2: Trình bày định lý 2.1 điểm bất động Krasnosel’skii - Chương 3: Trình bày tồn nghiệm, gồm định lý 3.1, bổ đề 3.2,bổ đề 3.3 - Chương 4: Trình bày định lý 4.1 nghiệm tiệm cận ổn định - Chương 5: Trình bày trường hợp tổng qt, gồm định lý 5.1 định lý 5.2 Thơng qua luận văn,tơi thực bắt đầu làm quen với việc đọc tài liệu khoa học cách có hệ thống Tơi học phương pháp chứng minh vấn đề mở rộng vấn đề theo nhiều góc độ khác Tuy nhiên, với hiểu biết hạn chế mình, tơi mong đóng góp, dạy Q Thầy, hội đòng TÀI LIỆU THAM KHẢO C.Avramescu (2003), Some remarks on a fixed point theorem of Krasnosel’skii, Electronic J Qualitative Theory of Equat 5, 1-15 C Avramescu (2005), C Vladimirescu, Asymptotic stability results for certain integral equations, Electronic J Diff Equat 126 , 1-10 T.A.Burton (1998), A fixed – point theorem of Krasnosel’skii, Appl Math Letters, 11 (1), 85 – 88 T.A Burton, C Kirk (1998), A fixed – point theorm of Krasnosonel’skii type, Math Nach 189, 23 – 31 J Dieudonné (1969, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, New York L H Hoa, K Schmitt (1994), Fixed – point Theorem of Krasnosel’skii type in locally convex spaces and applications to intergral equations, Results in Math 25, 290 – 314 L H Hoa,K Schmitt (1995), Periodic solutions of functional differential equations ofretarded and neutral types in Banach spaces, Boundary value Problems for Funtional Differential Equations, Editor Johnny Henderson, Morld Scientific, 177 – 185 M.A Krasnosel’skii P.P Zabreiko (1964), Topological Methods in the Theory of Nonlinear Integral Equations, Cambridge University Press, New York E Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Springer – Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo, Part I PHỤ LỤC Chứng minh bổ đề 3.3 Giả sử với n  * , An đẳng liên tục X n với mổi s  [0, n] , Tập An ( s )   x( s ) : x  An  compact tương đối E Cho ( xk ) k dãy A Chúng ta chứng minh tồn dãy hội tụ ( xk ) k Trong khơng gian Banach X n  C  0, n  , E  , An đẳng liên tục với s  [0, n] , An ( s )   x( s ) : x  An  compact tương đối E, áp dụng định lý Ascoli – Arzela ( [5] ), An compact tương đối X n A1 compact tương đối khơng gian Với n = 1, Banach X  C  0,1 , E  , tồn dãy ( xk ) k , biểu diển ( xk(1) ) k sau: x (1) k [0,1] Với n = 2,  k  x1 X , k   A2 compact tương đối khơng gian Banach X  C  0,2 , E  , tồn dãy ( xk(1) ) k , biểu diển ( xk(2) ) k sau: x (2) k [0,2]  k  x X , k   Do tính giới hạn, ta dễ thấy x [0,1]  x1 Như vậy, Tồn dãy ( xk(2) ) k ( xk ) k , cho x x (2) k [0,1] (2) k [0,2] x2 [0,1]  x  x k k  x1 X k   , X , k  , Như vậy, với n  * , phép qui nạp, ta thiết lập dãy ( xk( n1) ) k ( xk ) k cho x x ( n 1) k [0 , m ]  x  x ( n 1) k [0,n 1] x n1 [0,m ] m k X m , k  , m  1, n , n 1 k X n1 k   ,  x m , m  1, n Đặt yk  xk( k ) Như ( yk ) k dãy ( xk ) k ( yk ) k hội tụ tới x X, x định nghĩa x(t )  x n (t ) , t  [0, n], n  * Sự hội tụ hiển nhiên bổ đề chứng minh Định lý điểm bất động Krasnosel’skii [6] L H Hoa, K Schmitt Điều kiện (A): Cho X khơng gian vectơ tơpơ lồi địa phương P họ chuẩn X cho D tập X Cho U : D  X , Với a thuộc X, định nghĩa U a : D  X U a ( x)  U ( x)  a Anh xạ U : D  K gọi thoả mản điều kiện (A) tập  X (A.1) Với a ,U a ( D)  D (A.2) Với a     0, r  ,   : x, y  D với p  P , k a   với tính chất:  ap ( x, y )      ap (U ar ( x),U ar ( y ))   , Ở  1,2,3,  ;  ap ( x, y )  max  p (U ( x)  U aj ( y )), i, j  0,1,2, , ka    ;  0 Định lý: Cho X dãy khơng gian đầy đủ, lồi địa phương với họ tách nửa chuẩn P Cho U C là tốn tử X cho: (i) U thỏa mản điều kiện (A) X (ii) Với mổi p thuộc P, tồn k > (độc lập p) cho p (U ( x)  U ( y ))  kp ( x  y ), x, y  X (iii) Tồn x0  X với tính chất: Với mổi p thuộc P, tồn r   [0,1) ( r  độc lập p) cho p (U xr0 ( x)  U xr0 ( y ))   p ( x  y ) (iv) C hồn tồn liên tục p (C ( A))   p ( A)   , với A  X (v) lim p ( x ) p (C ( x))  0, x  X p( x) Khi U + C có điểm bất động Chứng minh: Do U thỏa mãn điều kiện (A) X, ( I – U ) đồng phơi X Điều suy tồn tập D lồi, đóng , bị chặn X cho với x D tồn điểm bất động U C ( x ) diễn D Với x  X p  P , ta có U Cr ( x ) ( y )  U xr0 ( y )  U (U Cr (1x ) ( y )  U (U xr01 ( y ))  (C ( x)  x0 ) , y  X Do (ii) – (iii), suy p (U Crn( x ) ( x0 )  z0 )  p (U Cr ( x )U Cr ((nx)1) ( z0 )  U xr0U Cr ((nx)1) ( z0 ))  p (U xr0U Cr ((nx)1) ( z0 )  U xr0 ( z0 ))  kp (U Cr (1x )U Cr ((nx)1) ( z0 )  U xr01U Cr ((nx)1) ( z0 ))  p (C ( x)  x0 )   ( p (U Cr ((nx)1) ( z0 )  z0 )) Tương tự, ta có p (U Crn( x ) ( z0 )  z0 )  (1  k   k r 1 ) p (C ( x)  x0 )   p (U Cr ((nx)1) ( z0 )) Bằng phương pháp qui nạp, n  , ta có  r 1  n1  p (U Crn( x ) ( z0 )  z0 )    k i    i  p (C ( x)  x0 )  i 0   i 0   r 1 i     k  /(1   )[ pC ( x)  p ( x0 )]  i 0    p (C ( x))   p ( x0 ),  r 1  Ở     k i  /(1   )  i 0  Từ điều kiện (V), ta có lim p ( x  x0 ) p (C ( x)) / p ( x  z0 )  Do tồn R1 p  cho p (C ( x))  (1/  ) p( x  z0 ) p ( x  z0 )  R1 p Từ (IV), tồn R2 p  cho với x p ( x  z0 )  R1 p Suy p (C ( x))  R2 p Cho R3 p   p ( x0 )   R2 p Đặt D p   x  X : p ( x  z0 )  R3 p  Và D   pP D p Khi z0  D D đóng bị chặn lồi Với mổi x  D p  P Ta xét hai trường hợp:  Nếu p ( x  z0 )  R1 p , Khi (*) p (U Crn( x ) ( z0 )  ( z0 ))   p ( x0 )   R2 p  R3 p Ta U Crn( x ) ( z0 )  D p (*)  Nếu R1 p  p ( x  z0 )  R3 p , (*) p (U Crn( x ) ( z0 )  ( z0 ))   p ( x0 )  1/ 2( p ( x  z0 )   p ( x0 )  (1/ 2) R3 p Ta U Crn( x ) ( z0 )  D p Điều suy U Crn( x ) ( z0 )  D, x  D Do D đóng dãy (U Crn( x ) ( z0 )) n hội tụ tới điểm bất động  (C ( x)) U C ( x ) ,  (C ( x))  D, x  D Vậy ( I  U ) 1 C ( D)  D Do tính chất hồn tồn liên tục C, Tập ( I  U ) 1 C ( D)  ( I  U ) 1 C ( D) compact tương đối Khi đó,theo định lý điểm bất động SchauderTychonoff suy ( I  U ) 1 C có điểm bất động D điểm bất động U  C D [...]... (3.14) Ap dụng định lý 2.1, ánh xạ U + C có một điểm bất động y trong X Khi đó phương trình (1.1) có nghiệm x  y   trên [0, ] Định lý 3.1 đã được chứng minh Chương 4 : NGHIỆM TIỆM CẬN ỔN ĐỊNH Bây giờ ta xét nghiệm tiệm cận ổn định của phương trình (1.1) định nghĩa như sau: 4.1 Định nghĩa Một hàm x được gọi là nghiệm tiệm cận của ổn định của phương trình (1.1) nếu với bất kì nghiệm x của (1.1) lim...Mặt khác, do U C ( x ) là ánh xạ co nên dãy U Cm( x ) (u0 ) hoi tụ về điểm bất động duy nhất  (C ( x)) của UC ( x) khi m   Suy ra 1  (C ( x))  D, x  D Như vậy ( I  U ) C ( D )  D Áp dụng định lí điểm bất động Schauder suy ra ánh xạ ( I  U ) 1 C có một điểm bất động trong D đó cũng là điểm bất động của U + C trong D Chương 3 : SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Đặt X  C (  , E ) là không gian... cầu bị chặn bất kỳ, với bất kỳ tập bị chặn I  [0, ) và bất kì tập bị chặn J  E ; A4 > Tồn tại hàm liên tục 2 :    sao cho lim x  G (t , s, x)  2 (t , s )  0, x đều trong (t,s) là tập con bị chặn bất kỳ của  3.1 Định lý 3.1 Cho A1  A4 thỏa mãn, khi đó phương trình (1.1) có nghiệm trên [0, ) Chứng minh định lý 3.1 Phần chứng minh gồm 4 bước: Bước 1: trong X, ta xét phương trình x(t ) ... khi đó với y n  n , ta     có Cy n yn   , nghĩa là lim y n  Cy n yn  0 (5.12) Ap dụng định lý 2.1, ánh xạ U + C có một điểm bất động y trong X Khi đó phương trình (5.1) có một nghiệm x  y   trên (0, ) Suy ra điều phải chứng minh Bây giờ ta cũng xét nghiệm tiệm cận ổn định đối với (5.1) đã định nghĩa trong phần 4 Ở đây, ta giả sử ( I1 )  ( I 5 ) thỏa và giả sử thêm ( I 6 )  (t )  t... chặn bất kỳ, với bất kỳ tập con bị chặn I  [0, ) và bất kỳ tập con bị chặn J1 , J 2  E ( I 4 ) Tồn tại hàm liên tục w2 :   lim x  u   sao cho G (t , s, x, u )  w2 (t , s )  0, xu đều trong (t,s) trong tập con bị chặn của  ( I 5 )  (t )  t , o   (t )  t ,  (t )  t , t   5.1 Định lý 5.1 Cho ( I1 )  ( I 5 ) thỏa Khi đó phương trình (5.1) có một nghiệm trên (0, ) Chứng minh định. .. )Tồn tại hai hàm liên tục 3 , 4 :    sao cho G (t , s, x)  w3 (t , s )  w4 (t , s ) x , (t , s )   Khi đó theo định lí 3.1 phương trình (1.1) có nghiệm trên (0, ) Mặt khác nếu x là nghiệm của (1.1), khi đó như bước 1 của chứng minh định lý 3.1 y  x   thỏa mãn phương trình (3.2) Suy ra t  y (t )  Ay (t )  By (t )  Cy (t ) Ở đó Ay (t )  q (t )  f (t , y (t )   (t ))   (t ),... : 3.2 Bổ đề 3.2 Cho A1 thỏa, phương trình (3.1) có nghiệm duy nhất Chứng minh: Do giả thiết A1 , ánh xạ  : X  X : được định nghĩa: x(t )  q(t )  f (t , x(t )), x  X , t   là ánh xạ L- co trên không gian Fréchet ( X , x n ) Ap dụng không gian Banach  có duy nhất điểm bất động   X Bổ đề đã được chứng minh Bằng cách thay x  y   ta có thể viết phương trình (1.1) ở dạng y (t )  Ay (t )... 0 Khi đó ta có định lý về nghiệm tiệm cận ổn định sau:  (4.6) 4.2 Định lý 4.1 Cho (A 1 ) – (A 6 ) thỏa mãn Nếu t  lim 2a 2 (t )  b(t )e 0 s b ( s ) ds t  2e t    b ( u ) du 0 a 2 ( s )ds  0 (4.7) 0 Ở đó t t 1 1 a (t )  w3 (t , s )ds, [ w1 (t , s )  w4 (t , s )]  ( s ) ds   1 L 0 1  L 0 t 2 b(t )  [ w1 (t , s )  w4 (t , s )]2 ds, 2  (1  L) 0 Khi đó mọi nghiệm x của (1.1) là nghiệm... tại hai hàm liên tục w3 , w4 :    sao cho G (t , s, x, u )  w3 (t , s)  w4 (t , s )  x  u  , (t , s )  ; x, u  E Khi đó áp dụng định lý 5.1, phương trình (5.1) có một nghiệm trên [0, ) Mặt khác, nếu x là nghiệm của (5.1) thì y  x   thỏa mãn phương trình (5.3) Ta chú ý thêm với giả thiết ( I1 ),( I 6 ) , hàm f:   E  E , thỏa ( A1 ) Do đó với mọi t   fˆ trang bị , t y (t )  L y...  X , t  [0, n], x(t )  y (t )   L  x(t )  y(t )  x (t )  y (t )  2   L x  y n  x  y n  L x  y n 2 (5.2) Do đó x  y n  L x  y n Như vậy  có một điểm bất động  trong X Bằng cách thay thế x  y   , phương trình (5,1) được viết lại như sau y (t )  Ay (t )  By (t )  Cy (t ), t   (5.3) Ay (t )  q (t )  fˆ (t , y (t )   (t ), y ( (t ))   ( (t )))   (t ), A0  ... toàn liên tục nên   cho u , u   (3.10) G (t , s, u )   , t , s  [0, n] (3 .11) Kết hợp (3.10) , (3 .11) , t , s [0, n], u  E , ta có G (t , s, u )    w n   4n (3.12) u Suy t... g (t )  h ( s )ds  g (t )  h4 ( s )ds  0, t   2 (4 .11) t w2 (t , s )ds  0, t   Suy b(t )   (1  L) (4.12) Ngoài ra, từ (4 .11) , (H ) (iii) suy   b(s)ds   (4.13) Mặt khác, t t... [0, n], t Cy (t )   G (t , s,( y   )( s ),( y   )(  ( s )) ds  n  nw n   n  (5 .11) y n  4n 4nw n  Dẫn đến, ta chọn  n  max  , ,  n  với y n  n , ta     có Cy n