Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Lý thuyết trường lượng tử và vấn đề khử phân kỳ trong các bổ chính vòng. Chương 2: Bổ chính một vòng trong QCD và QCD. Chương 3: Bổ chính hai vòng trong QED
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp nỗ lực thân, nhận nhiều quan tâm giúp đỡ nhiệt tình tập thể, cá nhân trường Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới thầy, cô giáo khoa Vật Lý-Trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến TS Phạm Thúc Tuyền,người thầy tận tình hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Cuối cùng, xin dành biết ơn sâu sắc đến gia đình người thân bạn bè động viên, cổ vũ, giúp hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 10 năm 2014 MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH LỜI CẢM ƠN Hình 1.1 Các hệ vật chất Hình 1.2 Giản đồ Feynman (không vòng, có vòng) Hình 2.1 Giản đồ lượng riêng electron .11 Hình 2.2 Giản đồ lượng riêng của photon 13 Hình 2.3 Giản đồ lượng riêng của quark 17 Hình 2.4 Giản đồ biểu diễn Sự đóng góp của gluon loop vào phân cực chân không QCD 19 Hình 2.5 Giản đồ biểu diễn đóng góp Ghost loop vào phân cực chân không QCD 25 Hình 2.6 Giản đồ biểu diễn đóng góp quark loop vào phân cực chân không QCD 28 Hình 3.1 Giản đồ biểu diễn hàm truyền hạt không khối lượng 34 Sẽ định nghĩa thông qua hàm hai điểm không thứ nguyên : 34 Hình 3.2 Giản đồ lượng riêng photon 34 Hình 3.2a Giản đồ lượng riêng photon .35 Theo quy tắc Feynman, ta có biểu thức sau đây: 35 Hình 3.2c Giản đồ lượng riêng photon .35 Hình 3.3 Giản đồ lượng riêng của electron .36 Hình 3.3a Giản đồ lượng riêng của electron .37 Hình 3.3b Giản đồ lượng riêng của electron .38 Giản đồ chứa giản đồ vòng lượng riêng electron Khi đó, theo quy tắc Feynman ta có: 38 Hình 3.3c Giản đồ lượng riêng của electron 38 MỞ ĐẦU Mục tiêu Vật lý hạt nghiên cứu hạt sơ cấp tương tác chúng Ở mức độ cổ điển, hạt sơ cấp bao gồm lepton, quark hạt Higgs, tương tác hạt sơ cấp bao gồm: hấp dẫn, điện từ, yếu mạnh Tương tác hấp dẫn điện từ có bán kính tương tác vô hạn, tương tác mạnh yếu diễn phạm vi hạt nhân Tương tác hấp dẫn không nằm phạm vi quan tâm luận văn Các tương tác điện - yếu mạnh hạt sơ cấp mô tả Mô hình tiêu chuẩn1 Trong lý thuyết trường lượng tử, hạt trường mô tả trường lượng tử Trường cho hạt tự thỏa mãn phương trình Dirac Trường truyền tương tác tự do, gọi trường chuẩn, thỏa mãn phương trình kiểu phương trình Maxwell tự Các trường lượng tử toán tử, chúng tác dụng lên trạng thái chân không sinh trạng thái hạt, tác dụng lên trạng thái hạt sinh trạng thái hai hạt, chân không Như vậy, trường lượng tử bao gồm phần toán tử sinh phần toán tử hủy hạt Hạt sinh lượng tử trường Lượng tử trường chất lepton quark, lượng tử trường chuẩn truyền tương tác điện yếu photon boson W ± , Z , cho tương tác mạnh gluon Khi trường hạt tương tác với nhau, ta có hệ nhiều trường Để nghiên cứu hệ trường tương tác, người ta dùng phương pháp lượng tử hóa tích phân phiếm hàm Các đại lượng vật lý diễn tả thông qua tích phân phiếm hàm Hamiltonian tương tác biểu diễn tương tác Khi khai Chữ tiêu chuẩn dùng để dịch thuật ngữ “Standard”, chữ chuẩn dùng để dịch chữ gauge (gauge invariance – bất biến chuẩn) chữ norm (renormalization – tái chuẩn hóa) tiếng Anh triển tích phân phiếm hàm theo hệ số tương tác, coi phần tương tác nhiễu loạn, ta thu tích phân tương ứng với giản đồ Feynman gần khác Ở gần bậc phấp theo tham số tương tác, giản đồ Feynman không chứa vòng kín, gọi giản đồ Tích phân tương ứng với giản đồ cho ta giá trị đại lượng vật lý Các giản đồ Feynman có nhiều vòng gần bậc cho ta bổ Việc tính đến bổ vòng bổ sung vào kết thu từ giản đồ Việc làm giúp giải thích mômen từ dị thường electron dịch chuyển Lamb quang phổ nguyên tử Việc tính bổ vòng gặp nhiều khó khăn tính phân kỳ tích phân Để thu kết hữu hạn, người ta tìm cách tách phần phân kỳ với phần hữu hạn Việc làm gọi điều chỉnh hóa Sau đó, cách tái định nghĩa tham số thực nghiệm, phần vô hạn loại bỏ Việc làm gọi tái chuẩn hóa Như vậy, sau tái chuẩn hóa, kết thu hữu hạn chúng coi giá trị lý thuyết Có ba cách điều chỉnh thường dùng, tùy theo trường hợp cụ thể, phương pháp Pauli-Villars, phương pháp cắt xung lượng lớn phương pháp thứ nguyên Trong luận văn dùng cách điều chỉnh thứ nguyên, theo đó, không-thời gian chiều mà D < chiều Khi tích phân hội tụ Nếu đặt D = − ε , tích phân tách thành hai phần, phần chứa ε phần không chứa ε Khi ε → , phần không chứa ε phần hữu hạn, phần chứa ε tiến tới ∞ , tức phần phân kỳ Bằng cách tái chuẩn khối lượng, hệ số tương tác (kiểu điện tích), hàm sóng, phần vô hạn bị khử Ở gần vòng ta cần tái chuẩn hóa khối lượng hệ số tương tác Sang gần hai vòng ta cần tái chuẩn hóa tất tham số như: hàm sóng electron, photon, khối lượng, điện tích hệ số tương tác trần Trong phạm vi luận văn nghiên cứu bổ hai vòng QED QCD khuôn khổ mô hình tiêu chuẩn, sử dụng chuẩn Feynman Còn lý làm chọn đề tài tính bổ hai vòng Đó là, tháng 7/2012 phòng thí nghiệm ATLAS CMS máy Va chạm Hadron Lớn (Large Hadron Collider - LHC) công bố khám phá tồn hạt Higgs Để biết có hạt Higgs không, họ chọn phân rã Higgs → Muon Đây phân rã gặp hơn, cho nên, đồ thị độ rộng phân rã không phân biệt với sai số phép đo Vì vậy, cho rằng, tính bổ tiếp theo, tức bổ hai vòng, kết thu góp phần làm đồ thị khác với đồ thị sai số Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục, luận văn gồm chương: Chương 1: Lý thuyết trường lượng tử vấn đề khử phân kỳ bổ vòng Chương 2: Bổ vòng QCD QCD Chương 3: Bổ hai vòng QED CHƯƠNG I LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ VÀ VẤN ĐỀ KHỬ PHÂN KỲ TRONG CÁC BỔ CHÍNH VÒNG Lý thuyết hạt 1.1 Mô hình tiêu chuẩn cổ điển lượng tử Ở mức cổ điển, hạt coi cấu kiện (building block) nhỏ bé cuối tạo nên giới chất Thông qua trường tương tác, chúng tạo nên tổ hợp phức tạp hadron, meson, hạt nhân, nguyên tử, phân tử vật thể lớn mà ta gặp hàng ngày Như vậy, giới vật chất bao gồm hai hình thái tồn tại, hạt chất trường tương tác Cho đến nay, ta tạm vừa lòng với quan điểm cho có tương tác: hấp dẫn, điện tử, yếu mạnh Tương tác hấp dẫn mô tả tính chất hình học không thời gian bốn chiều (Lý thuyết tương đối rộng) Ba tương tác lại mô tả lý thuyết chuẩn (gauge theory) Hạt chất bao gồm ba loại Lepton, e− , µ − , τ − neutrino tương ứng, hạt không tham gia tương tác mạnh Quark, u, d , c, s, t , b , hạt tham gia đủ bốn loại tương tác Hạt Higgs, nảy sinh từ chế sinh khối tất hạt có khối lượng Mô hình tiêu chuẩn (Standard Model – SM) lý thuyết hạt tương tác chúng Theo mô hình này, hạt chất tách thành hai phần, gọi phần thuận tay trái (left-handed part) thuận tay phải (right-handed part) tham gia tương tác yếu Chỉ có phần thuận trái tham gia phần thuận phải không tham gia Như vậy, có loại tích yếu gây nên tương tác yếu phần thuận phải hạt trung hòa Phần thuận trái với neutrino làm thành hạt Hạt mô tả hàm có hai thành phần giống hạt có spin 1/2 nên gọi lưỡng tuyến isospin Như vậy, tương tác yếu có hạt có isospin Hạt lepton thuận phải isoscalar (iso đơn tuyến) Cho đến nay, chưa có chứng tồn neutrino thuận phải Vì vậy, nội dung hạt SM gồm lưỡng tuyến đơn tuyến sau đây: ν e ν µ ν τ − − − e − ÷ , µ − ÷ , τ − ÷ , eR , µ R , τ R L L L u c t d ÷ , s ÷ , b ÷ , u R , d R , cR , sR , t R , bR L L L 1.1 Các hạt chia làm ba hệ giống hệt nhau, khác khối lượng Hình 1.1 Các hệ vật chất Các trường truyền tương tác diễn tả trường chuẩn tương ứng với ba nhóm chuẩn U ( 1) , SU ( ) , SU ( 3) ; Khi đó, trường chuẩn Aµ , tensơ cường độ trường là: Fµνψ = Dµ , Dν ψ ; Dµ = ∂ µ − igAµ 1.2 Trong ψ trường vật chất Với nhóm chuẩn nói trên, ta có: Fµν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ Fµνi = ∂ µWνi − ∂ν Wµi − ig Wε iklWµkWνl ; i, k , l = 1, 2,3 Fµνa = ∂ µ Gνa − ∂ν Gµa − ig S f abcGµb Gνc ; a, b, c = 1, 2,K ,8 1.3 Trong mô hình SM lượng tử, tất trường hạt mô tả trường lượng tử Trường vật chất trường spinơ, trường tương tác trường chuẩn vectơ Phương trình trường vật chất tự phương trình Dirac Phương trình trường cho trường chuẩn tự phương trình dạng Maxwell chân không Trạng thái gọi chân không trường Khi toán tử trường tác động lên chân không cho trạng thái hạt Khi toán tử trường tác động lên trạng thái hạt sinh trạng thái hai hạt chân không Ta nói trường lượng tử gồm hai phần, phần sinh hạt phần hủy hạt Lượng tử trường Dirac hạt chất, lượng tử trường chất hạt lực Hạt lực truyền tương tác điện tử photon γ , truyền tương tác yếu boson W Z , truyền tương tác mạnh hạt keo “gluon” g Trong lý thuyết bất biến chuẩn, tất thành phần trường chuẩn bậc tự độc lập Vì vậy, ta phải khử bớt bậc tự thừa cách đưa thêm vào Lagrangean số hạng cố định chuẩn Có số cách chọn số hạng Trong luận văn, chuẩn chọn chuẩn Feynman: (∂ δL = − µ Aµ ) 2ξ (∂ =− µ Aµ ) 2ξ 1.4 Ta dùng phương pháp lượng tử hóa tích phân phiếm hàm, cho nên, bên cạnh số hạng cố định chuẩn ta phải thêm vào số hạng FaddeevPopov Số hạng gắng liền với giả định tồn trường ma (ghost field) Trường ma trường vô hướng phản giao hoán Tương tác trường vật chất trường chuẩn mô tả số hạng tương tác Khi tính biên độ chuyển dời hai trạng thái ta dùng phương pháp nhiễu loạn Khi đó, giản đồ Feynman có loại không có vòng Ví dụ: D = − ( −1) i ∈ ∈ Γ ÷∫ dx x ( − x ) ( pµ pυ − p g µυ ) − x ( − x ) ( pµ pυ − p g µυ ) × 8π −∈ D −m2 + p x ( − x ) i 2 1 × − γ + { ∈} ( pµ pυ − p g µυ ) = − ( −1) 2 4πµ 8π ∈ 6 −∈ D −m2 + p x ( − x ) ∈ i 2 − x ( − x ) ( pµ pυ − p g µυ ) − γ + { ∈} × = − ( −1) 2 4πµ 8π ∈ −∈ 2 − m + p x − x ( ) ∈ 1 2 × ( pµ pυ − p g µυ ) − ∫ dx x ( − x ) ( pµ pυ − p g µυ ) × ln 20 4πµ 6 Khi D → , ta có: I3 = − i γ p p − p g µυ ) + ( pµ pυ − p g µυ ) + ( µ υ 24π ε 8π + ∫ d x ( − x ) ( −m + p x ( − x ) pµ pυ − p g µυ ) × ln 4πµ 2 −∈ 2.76 Ta có: Sp ( T aT b ) = 1 Sp ( λ a λ b ) = δ ab 2.77 nF ab δ 2.78 Tổng quát: Sp ( T aT b ) = nF : số quark vị Thay (2.73), (2.76) vào (2.64), ta có: Π ab µυ ( 3) = n g2 p p − p g µυ ) F δ ab ( µ υ 6π ε γ ( pµ pυ − p g µυ ) nF ab g2 + 2 δ −∈ 2 2π 2 − m + p x − x ( ) + ∫ dx x ( − x ) ( pµ pυ − p g µυ ) × ln 4πµ g n ⇔ Π ab pµ pυ − p g µυ ) F δ ab + finite ( 3) ( µυ ( 3) = 6π ∈ Trong đó: 31 2.79a 2.79b g finite ( 3) = 2π γ ( pµ pυ − p g µυ ) + ∫ dx x ( − x ) ( pµ pυ − p g µυ ) × −∈ −m2 + p x ( − x ) × ln 4πµ ab nF δ 2.80 Như vậy, từ (2.47), (2.62) (2.79b) ta có: ab ab ab Π ab µυ = Π µυ ( 1) + Π µυ ( ) + Π µυ ( ) 2n g2 ⇔ Π = ( g µυ p − pµ pυ ) − F ÷δ ab + finite 8π ε Ở đây: finite = finite ( 1) + finite ( ) + finite ( 3) ab µυ 32 2.81 CHƯƠNG III BỔ CHÍNH HAI VÒNG TRONG QED Hàm hai điểm Khác với bổ vòng, bổ vòng QCD phức tạp Vì vậy, chương này, ta xét đến bổ hai vòng QED Việc tính toán tiến hành bổ vòng, biểu thức thu phức tạp, ta dừng lại biểu thức chứa hàm hàm Euler với tham số điều chỉnh ε Để tìm phần hữu hạn ta sử dụng công thức khai triển sau hàm Euler, tổng quát công thức (2.8): 1 π2 γπ Γ( z) = −γ + γ + + 2ζ ( 3) ÷z + O ( z ) 3.1a ÷z − γ + z 2 6 Trong đó, ζ ( x ) hàm zeta Riemann, hội tụ biến số x > Thay cho công thức Feynman (2.3), ta phải sử dụng công thức Feynman tổng quát hơn: Γ ( n1 + n2 + L + nk ) = × nk a a L ak Γ ( n1 ) Γ ( n2 ) L Γ ( nk ) n1 ×∫ n1 δ ( x1 + x2 + L + xk − 1) x1n1 −1 x2n2 −1 K xknk −1dx1dx2 L dxk [ a1 x1 + a2 x2 + L + ak xk ] 3.1b n1 + n2 +L+ nk Ví dụ, với k = , ta có: Γ ( n1 + n2 ) = a1n1 a2n1 Γ ( n1 ) Γ ( n2 ) x n1 −1dx ∞ ∫ [a x+a ] n1 + n2 3.1c Khi n1 = n2 = , ta có công thức (2.3) Cũng trường hợp bổ vòng, ta dừng lại bổ vòng cho lượng riêng photon electron Hàm truyền hạt không khối lượng tương ứng với giản đồ dạng: 33 Hình 3.1 Giản đồ biểu diễn hàm truyền hạt không khối lượng Sẽ định nghĩa thông qua hàm hai điểm không thứ nguyên G ( n1 , n2 ) : D d Dk D /2 2 − n1 − n2 G ( n1 , n2 ) , a1 = − ( k + p ) , a2 = −k ∫ a1n1 a2n2 = iπ ( − p ) 3.1c Trong đó, hàm G ( n1 , n2 ) có dạng tổng quát: D D D Γ − + n1 + n2 ÷Γ − − n1 ÷Γ − n2 ÷ 2 G ( n1 , n2 ) = Γ ( n1 ) Γ ( n2 ) Γ ( D − n1 − n2 ) 3.1d Với D = − ε n1 = n2 = , ta có: ε ε ε Γ ÷Γ − ÷ Γ3 ÷ −2 2 2 ε ε ε G1 = G ( 1;1) = = − ÷ − ÷ − ÷ Γ( ε ) Γ ( ε ) Bổ chính hai vòng điện động lực học lượng tử (QED) 2.1 Giản đồ lượng riêng photon 2.1.1 Giản đồ: Có ba giản đồ hai vòng cho lượng riêng photon a b c Hình 3.2 Giản đồ lượng riêng photon Do đường tương ứng với hạt không tích điện nên chúng bất biến chuẩn Ta chọn chuẩn tùy ý Trong tính toán sau đây, ta chọn chuẩn Feynman với a0 = Trong ba giản đồ hai giản đồ đầu cho kết 34 nhau, ta tính Trong giản đồ có chứa giản đồ lượng riêng electron −i ∑ ( p ) , cho công thức (2.1) Chương II 2.1.2 Biểu thức Với giản đồ: Hình 3.2a Giản đồ lượng riêng photon Theo quy tắc Feynman, ta có biểu thức sau đây: iΠ µ 1µ = −∫ d Dk pˆ + kˆ ( 2π ) ( k + p) Spieγ µ i D ieγ µ i ˆ kˆ ˆΣ ( k ) i k − i k ( ) V k2 k2 Thay kết (2.1)vào (3.2) ta có: ( ) Spγ µ pˆ + kˆ γ µ kˆ D − d Dk Π = −i G1 D /2 ∫ ( 2π ) D − ( k + p ) −k 1+∈ ( 4π ) D 2k ( k + p ) e d k =i G1 ( D − ) ∫ D /2 D 1+ε ( 4π ) ( 2π ) ( k + p ) k e4 µ 1µ 3.2 3.3 Tính toán tương tự chương II, ta có: Π µ 1µ =− e4 ( − p2 ) ( 4π ) 1−ε D ( D − 2) G2 D−4 3.4a Trong đó: D G2 = G1G 1; − + ÷ Với giản đồ: Hình 3.2c Giản đồ lượng riêng photon Theo quy tắc Feynman, ta có: 35 3.4b iΠ µµ = − ∫ d D k1 d D k2 ( 2π ) ( 2π ) D Spieγ µ i D pˆ + kˆ2 ( k2 + p ) ieγ ν i pˆ + kˆ1 ( k1 + p ) ieγ µ i ˆ kˆ1 −i ν k2 ie γ i 2 k1 k2 ( k1 − k ) 3.5a Hoặc viết dạng: Π µµ = −e ∫ d D k1 d D k2 ( 2π ) ( 2π ) D D ( ) ( ) A , A = Spγ µ pˆ + kˆ2 γν pˆ + kˆ1 γ µ kˆ1γ ν kˆ2 a1a2 a3 a4 a5 3.5b Chú ý rằng, để đơn giản, ta đặt m = , đó: p = −1, k12 = a3 , k 22 = a3 p.k1 = 1 ( − a3 + a1 ) , p.k1 = ( − a4 + a2 ) , k1.k2 = ( −a5 + a3 + a1 ) 2 Khi đó: A = ( D − ) − ( D − ) ( a1a4 + a2 a3 ) + ( a1 + a2 + a3 + a4 ) − 2a52 + ( D − ) a5 − 3.6 Kết là: Π µ 2µ = e4 ( − p ) ( 4π ) 1−ε D D−2 D − D + 20 D − 32 D − D + 16 G − G2 ( ) D − D−4 3.7 Cộng với đóng góp hai giản đồ đầu tiên, ta thu bổ hai vòng cho lượng riêng photon: Π2 ( p ) =− 2Π1µµ + Π µµ ( D − 4) ( − p ) × − ( D − D + 16 ) G12 + = e4 ( − p ) −2ε D−2 × ( D − 1) ( D − ) ( 4π ) ( D − 3) ( D − D + ) D D−4 3.8 G2 2.2 Giản đồ lượng riêng của electron 2.2.1 Giản đồ Năng lượng riêng eletron bao gồm giản đồ sau đây: a b c Hình 3.3 Giản đồ lượng riêng của electron Những giản đồ này diễn tả sự tương tác của photon với chân không của trường electron-positron (giản đồ lượng riêng của photon) 36 Xét giản đồ thứ Giản đồ có chứa giản đồ lượng riêng 2 photon i ( k g µν − kµ kν ) Π ( k ) Hình 3.3a Giản đồ lượng riêng của electron 2.2.2 Biểu thức Theo quy tắc Feynman, ta có: pˆ + kˆ −i −iΣV pˆ = ∫ ieγ i ieγ ÷ i ( k g µν − k µ kν ) Π ( k ) D k ( 2π ) ( k + p) d Dk µ ν 3.9 Để đơn giản, ta đặt m = , đó, p = −1 Nhân hai vế với pˆ lấy vết hai vế, ta có: ΣV = i e4 ( 4π ) D /2 ( ) D−2 d Dk A G1 ∫ , A = Sppˆ γ µ kˆ + pˆ γ ν ( k g µν − k µ kν ) D +ε D −1 ( 2π ) a1a2 3.10 Chú ý rằng, để đơn giản, ta đặt m = , đó: p = −1, k = −a2 , p.k1 = ( − a3 + a1 ) Ta thu được: A = ( D − ) a22 + ( D − 3) a2 − ΣV = e4 ( 4π ) D D−2 ε ε ε G1 G 1, + ÷+ ( D − 3) G 1,1 + ÷− ( D − ) G 1, ÷ D −1 2 2 3.11 Với p bất kỳ, ta có: ΣV = e4 ( − p ) ( 4π ) D −ε ( D − 2) G2 D−6 đây, G2 cho (3.4b) Giản đồ thứ 2: 37 3.12 Hình 3.3b Giản đồ lượng riêng của electron Giản đồ chứa giản đồ vòng lượng riêng electron −iΣV ( ( k + p ) ) ( pˆ + kˆ ) Khi đó, theo quy tắc Feynman ta có: −iΣV pˆ = ∫ d Dk ( 2π ) D ieγ µ i pˆ + kˆ ( k + p) −i ) ΣV ( ( k + p ) ( ˆ ) ( pˆ + kˆ ) i ( kpˆ++pk) ieγ µ −i k2 3.13 Nhân hai với pˆ lấy vết hai vế, ta được: ΣV = −i e4 ( 4π ) D /2 ( ) D−2 d Dk A G1 ∫ ; A = Sppˆ γ µ kˆ + pˆ γ µ D 1+ε ( 2π ) a1 a2 3.14 Tính toán tương tự, ta có: e4 ( − p ) ΣV = ( 4π ) −ε D ( D − ) ( D − 3) G2 3.15 D−4 Tương ứng với giản đồ Feynman thứ ba, ta có hệ thức: −iΣV pˆ = ∫ d D k1 d D k2 ( 2π ) ( 2π ) D D ieγ µ i −kˆ2 ν kˆ1 − kˆ2 kˆ1 + pˆ −i −i ie γ i ie γ i ieγ ν µ 2 k2 k1 ( k2 + p ) ( k1 − k2 ) ( k1 + p ) 3.16a Hình 3.3c Giản đồ lượng riêng của electron Hoặc: ΣV = e ∫ d D k1 d D k2 ( 2π ) ( 2π ) D D ( ) ( ) A ; A = Sppˆ γ µ kˆ2γ ν kˆ1 − kˆ1 γ µ kˆ1 + pˆ γ ν a1a2 a3 a4 a5 Tính toán tương ứng, ta có: 38 3.16b A= D−2 ( d − ) a1a2 − ( d − ) a2 a3 + ( a1 − a2 − a3 + a4 ) + ( a22 + a32 ) + ( D − ) a5 3.17 Thay vào (3.16b), ta thu được: ΣV = e4 ( − p ) ( 4π ) D −ε D−2 D−3 G2 ( D − ) G12 + D − 3.18 Gộp kết (3.12), (3.15), (3.18), ta thu bổ hai vòng cho lượng riêng electron: Σ 2V ( p )= e4 ( − p ) ( 4π ) D −ε D − ( D − 3) ( D − ) + ÷G2 − ( D − ) G1 D−4 D − ( D − ) 3.19 Kết luận Các kết (3.8) (3.19) bổ chình hai vòng cho lượng riêng photon electron Chúng phụ thuộc vào hàm hai điểm G ( n1 , n2 ) Khai triển hàm theo tham số điều chỉnh ε hàm gamma Euler Hàm gamma chứa số hạng hữu hạn γ hàm zeta Riemann Tuy nhiên, chứa số hạng / ε , tiến tới vô hạn ε → Tích hàm gamma hàm hai điểm G1 , G2 chứa số hạng hữu hạn Đó thực bổ hai vòng Kết thu trùng với kết Grozin cho chuẩn ξ (chuẩn Feynman) Tất nhiên, kết thu không phụ thuộc vào chuẩn Việc chọn chuẩn Feynman trường hợp tính bổ lượng riêng làm tính toán đơn giản nhiều 39 KẾT LUẬN Trong Luận văn ta dùng chuẩn Feynman Chuẩn không bất biến chuẩn giảm nhẹ nhiều dùng để tính bổ lượng riêng cho trường chất trường truyền tương tác Kết thu không khác so với chuẩn hiệp biến mà tác giả Grozin dùng Chuẩn hiệp biến tiện lợi tính bổ đỉnh Phương pháp điều chỉnh dùng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Phương pháp tỏ thích hợp tính giản đồ vòng Các kết có dạng compact với hàm điểm Phương pháp điều chỉnh cách cắt xung lượng lớn có vể tiện lợi tính bổ đỉnh Chương I, ta tính bổ vòng cho lượng riêng electron photon cách chi tiết, với mục tiêu giảm nhẹ cho phần bổ vòng Ở bổ vòng, ta không khai triển hàm gamma Euler để tìm phần hữu hạn (finite) Chương II, ta giới hạn việc tính bổ hai vòng QED Bổ QCD khác đôi chút có mặt số hương quark Tác giả so sánh kết thu với kết dùng chuẩn hiệp biến (Grozin) dùng phương pháp điều chỉnh cách cắt xung lương lớn (Aitchison) Các kết tương hợp với 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Thúc Tuyền, Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG HN (2011) Phạm Thúc Tuyền, Lý thuyết hạt bản, NXB ĐHQG HN (2012) Nguyễn Xuân Hãn, Lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG HN (1996) Hà Huy Bằng, Bổ vòng Lý thuyết trường Lượng tử, NXB ĐHQG HN (2005) A Grozin, Lectures on Multiloop Calculations International Journal of Modern Physics A, Vol 19, No (2004) 473, World Scientic Publishing Company M.E Peskin, D.V Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books (1995) G M Fihtengolts, Toán Cao Câp, Tập 41 PHẦN PHỤ LỤC Phụ lục A Các ma trận Dirac Các ma trận Dirac, ký hiệu γ µ ( µ = 0,1, 2,3) ma trận × thỏa mãn hệ thức sau: { γ µ , γ υ } = 2g µυ (A.1) Và có tính chất: γ 0+ = γ (A.2) + γ k = −γ k (A.3) + γ 0γ µ γ = γ µ (A.4) Ma trận γ = iγ 0γ 1γ 2γ có tính chất: {γ ,γ µ} = γ 5+ = γ (A.5) (A.6) Một số hệ thức với ma trận Dirac D chiều: δ µµ = D (A.7) γ µγ µ = D (A.8) γ µγ υγ µ = ( − D ) γ υ (A.9) γ µ γ ρ γ σ γ µ = 4δ ρσ + ( D − ) γ ρ γ σ (A.10) γ µ γ ρ γ σ γ υ γ µ = −2γ υ γ σ γ ρ + ( − D ) γ ρ γ σ γ υ (A.11) Sp (một số lẻ ma trận γ ) = (A.12) SpI = D (A.13) Sp ( γ µ γ υ ) = Dg µυ (A.14) Sp ( γ µ γ ρ γ υ γ σ ) = D ( g µρ gυσ − g µυ g ρσ + g µσ gυρ ) (A.15) Phụ lục B Các phép tính tích phân D chiều Các phép biến đổi tham số Feynman: 1 = ∫ dx ab ax + b ( − x ) (B.1) 1− x 1 = ∫ dx ∫ dy abc a ( − x − y ) + bx + cy 0 (B.2) Các công thức tính tích phân vòng: ∫d D (p ppµ ∫( p + pq − m ) α = ( −1) D d p = ( −1) + pq − m ) ∫d ( p D D D Γ α − ÷ 2 iΠ × Γ(α ) D D Γ α − ÷ 2 iΠ × Γ(α ) + pq − m ( −q − m D ) α− D ( −q −m (B.4) (B.3) D α− ) D pµ pυ D qµ ) = ( −1) D iΠ Γ(α ) ( −q − m ) α− D D g D × qµ qυ Γ α − ÷+ µυ − q − m Γ α − − ÷ 2 2 ( ) (B.5) D D p2 iΠ D d p = − × ( ) ∫ Γ(α ) p + pq − m ( ) ( −q − m ) α− D (B.6) D D D × qµ qυ Γ α − ÷+ −q − m Γ α − − ÷ 2 2 ( ) Hàm gamma định nghĩa: (B.7) Γ ( x ) = ∫ e − t t x −1dt Hàm gamma có tính chất: (B.8) Γ ( x ) = ∫ e − t t x −1dt (B.9) 1 Γ ÷ = Π ; Γ ( 1) = Γ ( ) = 2 ∂Γ ε Γ ÷= − γ + o ( ε ) ;γ = − / x =1 ≈ 0.57 ∂x 2 ε (B.10) Hàm Passarino-Veltman: *Hàm điểm: A( m) = 1 d Dq = m −∆ − + ln m 2 ∫ iπ q +m ( ) đây: ∆= *Hàm hai điểm: + γ − ln π , γ = −0,57 4− D (B.11) B0 ; Bµ ; Bµυ ( p, m1 , m2 ) = 1; qµ ; qµ qυ d Dq × ∫ iπ q + m12 ( q + p ) + m22 ( ) Bµ ( p, m1 , m2 ) = Pµ B1 ( p1 , m1 , m2 ) Bµυ ( p, m1 , m2 ) = pµ pυ B21 ( p, m1 , m2 ) + δ µυ B22 ( p , m1 , m2 ) p B21 ( p, m1 , m2 ) + DB22 ( p, m1 , m2 ) = A ( m2 ) − m12 B0 ( p , m1 , m2 ) p B1 = 1 A ( m1 ) − A ( m2 ) − ( p − m12 + m22 ) B0 ( p , m1 , m2 ) 2 ( B.12) (B.13) (B.14) (B.15) (B.16) [...]... Giản đồ Feynman (không vòng, có vòng) Việc nghiên cứu các bổ chính bậc cao hơn trong lý thuyết nhiễu loạn bằng việc tính đến các giản đồ Feynman có chứa các vòng thường dẫn đến những kết quả phân kỳ Trong phạm vi chương này, chúng tôi chỉ giới hạn xem xét những phân kỳ tử ngoại, loại phân kỳ có ý nghĩa quan trọng về mặt vật lý Những phân kỳ tử ngoại cho thấy rằng các đại lượng tính toán trong lý thuyết... lớn) Bằng cách tách riêng phần phân kỳ trong bổ chính vòng (được gọi là quá trình điều chỉnh các phân kỳ), và sau đó tái chuẩn hóa lại các tham số khối lượng, hằng số tương tác cũng như hàm sóng trong lý thuyết ban đầu, những bổ chính vòng này sẽ cho ta những đóng góp hữu hạn vào các kết quả vật lý 2 Các phương pháp tách phân kỳ Mục đích của việc điều chỉnh là tính toán các tích phân phân kỳ: ∞ I = ∫ d... ci ∆ ( M i ) i 1.10 Khi M hữu hạn, tích phân bổ chính vòng là hội tụ Và khi chuyển giới hạn M → ∞, tích phân này trở về với giá trị thực của nó và được tách làm hai phần: phân kỳ và hữu hạn 3 Tái chuẩn hóa Các kỹ thuật điều chỉnh lại tích phân cho chúng ta cách thức để "tham số hóa các phần vô hạn", qua đó thể hiện dáng điệu phân kỳ của tích phân Việc bổ chính bậc cao hơn trong lý thuyết nhiễu loạn... đang xem xét, mà giá trị vật lý 0 của nó là D = 4 Sau khi tính tích phân trong không - thời gian D chiều, chúng ta thay thế D → 4 − ε , và giới hạn của tham số này là ε → 0 Kết quả nhận được thường là hàm số gamma Euler Γ ( ε ) Khai triển hàm này theo ε , ta thu được: 1 ID = A( ε ) + B + C ÷ ε 1.7 Bỏ qua số hạng A trong giới hạn vật lý, hai số hạng còn lại tương ứng với các phần hữu hạn và phân... trong lý thuyết nhiễu loạn cho kết quả phân kỳ (lớn hơn rất nhiều so với gần đúng mức cây) tỏ ra không hợp lý Do đó, các phần vô hạn này cần phải được xử lý một các thích hợp sao cho đóng góp của bổ chính vòng trở nên hữu hạn Việc loại bỏ các phần vô hạn này được thực hiện nhờ tái chuẩn hóa lại lý thuyết 9 Gọi regulator được sử dụng là L Biểu thức tích phân mà ta đang xem xét được viết lại dưới dạng:... lượng cắt hầu như luôn dẫn đến sự vi phạm một đối xứng quan trọng của lý thuyết - đối xứng chuẩn - mà nó đảm bảo một số đại lượng tự triệt tiêu nhau một cách chính xác Do đó, chúng ta thường chỉ dùng phương pháp này khi muốn phân tích một cách định tính các giản đồ 2.3 Phương pháp Pauli-Villars Phương pháp này dựa trên giả thuyết rằng tồn tại vật lý khác ngoài những gì ta thấy Ở đây, bên cạnh các trường... hạn (do các tham số đã tái chuẩn hóa mR , α R là hữu hạn và được xác định từ thực nghiệm) * Trong chương sau, chúng ta sẽ minh họa các phương pháp tách phân kỳ nêu trên bằng việc thực hiện tính toán với một số giản đồ vòng trong điện động lực học và sắc động lực học lượng tử 10 CHƯƠNG II BỔ CHÍNH MỘT VÒNG TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 1 Bổ chính một vòng trong điện động lực học lượng... ra: ab iΠνυ ( 1) = • Tính I1: 1 2 acd bcd g f f { I1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 } 2 21 2.36b ( 1) Eµυ µ 4− D 1 D I1 = dx d k D 2 ( 2π ) ∫0 ∫ k 2 + p 2 x ( 1 − x ) 2D − 3 p k + p k ( )( µ υ υ µ) µ 4− D 1 D = dx ∫ d k D ∫ k 2 + p2 x ( 1 − x ) 2 ( 2π ) 0 + • 2.37 − ( 4 D − 6 ) ( kυ pµ + k µ pυ ) x + 2 g µυ pk ( 1 − 2 x ) ⇔ I1 = 0 2 2 2 k + p x ( 1 − x ) Tính I2: ( 2) Eµυ µ... 2 x ( 1 − x ) 2 Tính I3: I3 = ( 3) Eµυ µ 4− D 1 dx ∫ d D k D ∫ 2 ( 2π ) 0 k 2 + p 2 x ( 1 − x ) µ 4− D 1 1 = −5ig µυ dx ∫ d D k 2 D ∫ 2 k + p x ( 1− x) ( 2π ) 0 2.39a Áp dụng công thức (B-3) vào (2.39), ta có: D I 3 = −5ig µυ ( −1) 2 Đặt: ε = 4 − D , khi đó: µ 4− D D ( 4π ) 2 1 1 D Γ 1 − ÷∫ dx D 1− 2 0 p 2 x ( 1 − x ) 2 D → 4 ⇒ I 2 + I3 → 0 22 2.39b 2.40 • Tính I4: ( 4) Eµυ µ... x 2 ) ×∫ dx ∫ d k × 2 k 2 + p 2 x ( 1 − x ) 0 = g 2 f acd f bcd ( I1 + I 2 + I 3 ) 1 2.53 D • • Tính I1 : ( 1 − x ) pµ kυ − kµ pυ x µ 4− D 1 I1 = dx ∫ d D k ⇔ I1 = 0 D ∫ 2 ( 2π ) 0 k 2 + p 2 x ( 1 − x ) 2.54 k µ kυ µ 4− D 1 D I2 = dx d k D 2 ( 2π ) ∫0 ∫ k 2 + p 2 x ( 1 − x ) 2.55 Tính I2: Áp dụng công thức (B-5) vào (2.55),ta có: µ D 2 I 2 = ( −1) i = ( −1) D 2 4− D D ( 4π ) 2