tài liệu ôn thi cao học phần đại số cơ sở

Theo chương trình Đại số đại cương ta có ba định nghĩa nhóm, tương đương với nhau nhưsau : 1 Định nghĩa 1 Nhóm là một tập hợp X 6= ∅, trên đó đã xác định được một phép toán hai ngôi thỏa

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

TS Trần Huyên Ngày 11 tháng 10 năm 2004

Mở Đầu

Độc giả thân mến, các bạn đang tham gia chuyên đề "Đại số cơ sở" của Khoa Toán Tin ĐHSP Tp HCM Chuyên đề của chúng tôi xây dựng, trước hết nhằm trợ giúp các ứngviên Thạc sĩ tương lai về chuyên ngành đại số hệ thống lại các kiến thức cơ sở, các kỹ thuật

-cơ bản, rèn luyện kỹ năng giải toán để có thể vững vàng vượt qua kỳ thi tuyển sinh cao họccủa ĐHSP Tp HCM, trở thành học viên Cao học ngành Đại số của trường Chuyên đề bámsát các nội dung đề ra trong chương trình tuyển sinh, không chỉ giúp các học viên có thể vữngtâm đối diện với kỳ thi tuyển mà còn giúp cho học viên một khả năng, phương pháp tự học,

tự đào tạo mình Để học viên dễ theo dõi, tiếp thu các nội dung sẽ được biên soạn dưới dạngcác bài giảng với ngôn ngữ đơn giản và dễ hiểu nhất, mỗi bài giảng độ hai tiết cho mỗi tuần.Chuyên đề đề sẽ được dàn dựng với thời lượng chừng 40 tiết, liên tục được cập nhật cho tớingày các bạn có thể tham gia đợt ôn tập tập trung trước khi bước vào kỳ thi tuyển, dịp tháng

05 − 2005 Để chuyên đề càng ngày càng được triển khai một cách hữu ích, hiệu quả hơn, chúngtôi luôn luôn sẳn sàng đón nhận các góp ý, yêu cầu của các bạn Chúng tôi cũng sẳn sàng traođổi, giải đáp các thắc mắc của các bạn, hầu mong chuyên đề sẽ là người bạn tâm giao của độcgiả trong hành trình phấn đấu khoa học của mình

Các bài tập kiểm tra nhóm

Nhóm là một khái niệm cơ bản của Đại số, và là một trong những nội dung không thể vắngbóng trong các đề thi tuyển sinh chuyên ngành Đại số cơ sở Vì vậy bạn phải nắm vững kỹnăng kiểm tra một tập X cho trước với một phép toán nào đó trên X lập thành một nhóm Dĩnhiên bạn phải năm vững khái niệm nhóm để theo đó mà từng bước kiểm tra tập X đã cho vàphép toán đã cho có thỏa mãn tất cả các điều kiện cần có cho một nhóm hay không?

Theo chương trình Đại số đại cương ta có ba định nghĩa nhóm, tương đương với nhau nhưsau :

1 Định nghĩa 1

Nhóm là một tập hợp X 6= ∅, trên đó đã xác định được một phép toán hai ngôi thỏa cácđiều kiện :

1 N1 : (Điều kiện kết hợp) : ∀x, y, z ∈ X thì (xy)z = x(yz)

2 N2 : (Điều kiện đơn vị ) : ∃e ∈ X, ∀x ∈ X thì  ex = x

xe = x

VIETMATHS.NET

3 N3 : (Điều kiện khả nghịch ) ∀x ∈ X, ∃x−1 ∈ X sao cho  x−1x = e

xx−1 = e

2 Định nghĩa 2

Nhóm là nửa nhóm X, có đơn vị trái e và mọi x ∈ X đều có nghịch đảo trái x0 (tức x0x = e)Như vậy so với định nghĩa 1, thì định nghĩa 2 tiết kiệm hơn; ở điều kiện N2 chỉ cần kiểmtra ex = x và ở điều kiện N3 chỉ phải kiểm tra x−1x = e

Một dạng đối ngẫu của định nghĩa 2 và có thể xem như là định nghĩa 2’ là : Nhóm là nửanhóm X, có đơn vị phải e và ∀x ∈ X đều có nghịch đảo phải x0 (tức xx0 = e)

3 Định nghĩa 3

Nhóm là nửa nhóm X mà các phương trình ax = b và xa = b là giải được (tức có nghiệm)trong X với mọi a, b ∈ X

Để kiểm tra một tập cho trước X và một phép toán cho trên X là nhóm, tùy trường hợp

cụ thể mà ta lựa chọn định nghĩa nào trong các định nghĩa nêu trên để áp dụng cho phù hợp

4 Ví dụ

Cho tập hợp X = Z × Z = {(k1, k2) : k1, k2 ∈ Z} xác định trên X phép toán sau :

(k1, k2).(l1, l2) = (k1+ l1, k2+ (−1)k1l2)Chứng minh rằng X với phép toán trên là nhóm Giải :

1 Cách 1 : (Nếu sử dụng định nghĩa 1, ta lần lượt kiểm tra từng bước như sau:)

• X = Z × Z 6= ∅ vì Z 6= ∅

• Dễ dàng thấy là nếu (k1, k2), (l1, l2) là cặp số nguyên thì (k1+ l1, k2+ (−1)k 1l2) cũng

là một cặp số nguyên nên phép toán trên X là phép toán hai ngôi

• ∀(k1, k2), (l1, l2), (t1, t2) ∈ X ta có :[(k1, k2)(l1, l2)](t1, t2)

= (k1+ l1, k2+ (−1)k1l2)(t1, t2) = (k1+ l1+ t1, k2+ (−1)k1l2+ (−1)k1 +l 1t2) (1)Mặt khác : (k1, k2)[(l1, l2)(t1, t2)]

= (k1, k2)(l1+ t1, l2+ (−1)l1t2) = (k1+ l1+ t1, k2+ (−1)k1l2+ (−1)k1 +l 1t2 (2)

So sánh ( 1) vào ( 2) ta có điều kiện kết hợp

• Tồn tại (0, 0) ∈ X mà với mọi (k1, k2) ∈ X thì

(0, 0)(k1, k2) = (0 + k1, 0 + (−1)0k2) = (k1, k2)và

(k1, k2)(0, 0) = (k1+ 0, k2+ (−1)k1.0) = (k1, k2)Vậy (0, 0) là đơn vị trong X

• ∀(k1, k2) ∈ X, ∃(−k1, (−1)k1 +1k2) ∈ X mà

(−k1, (−1)k1 +1

k2)(k1, k2) = (−k1+ k1, (−1)k1 +1

k2 + (−1)−k1k2) = (0, 0)(k1, k2)(−k1, (−1)k1 +1

k2) = (k1− k1, k2+ (−1)2k1 +1

k2) = (0, 0)tức

(k1, k2)−1 = (−k1, (−1)k1 +1k2)Vậy X là một nhóm

• Nhận xét : Như vậy để kiểm tra một nhóm theo định nghĩa 1, ta đã làm theo đúngcác yêu cầu của định nghĩa là kiểm tra tập X 6= ∅, kiểm tra phép toán cho trên Xthật sự là phép toán hai ngôi (hai phần tử bất kỳ của tập hợp X phải có tích là mộtphần tử thuộc X!) và ba tiên đề N1, N2, N3 Dĩ nhiên, trong các bước đó, nếu cóbước nào mà các đòi hỏi đuợc thỏa mãn một cách hiển nhiên thì ta có thể bỏ qua.Chẳng hạn ở ví dụ trên nếu xem bước 1, bước 2 là hiển nhiên thỏa mãn thì vẫn cóthể chấp nhận được Tuy nhiên trong một số trường hợp cần kiểm tra một cách cẩntrọng, tránh sự sai sót

2 Cách 2 : Nếu sử dụng định nghĩa 2 thì trong lời giải trên chỉ cần bỏ đi hai đẳng thứckiểm tra đơn vị phải, kiểm tra nghịch đảo phải (hoặc bỏ đi hai đẳng thức kiểm tra đơn

vị trái, kiểm tra nghịch đảo trái)

3 Cách 3 : (Nếu sử dụng định nghĩa 3 ) Trước hết hết ta kiểm tra X 6= ∅, phép toán trên

X thật sự là phép toán hai ngôi, kiểm tra điều kiện kết hợp của phép toán (Điều này lànhư cách 1) Tiếp theo ta kiểm tra các phương trình ax = b và xa = b là có nghiệm trong

Vậy tập X với phép toán đã cho lập thành nhóm

• Nhận xét : Để tìm được phần tử đơn vị (0, 0) hay nghịch đảo (k1, k2)−1= (−k1, (−1)k1 +1k2)

ở cách 1, ta sử dụng việc giải các phương trình đưa ra ở cách 3 với b = a khi tìmđơn vị e hay với b = e = (0, 0) khi tìm a−1

Cho X = a b

0 c

: ac 6= 0

Chứng minh rằng X là nhóm đối với phép nhân ma trận

Giải :

VIETMATHS.NET

• Theo đại số tuyến tính, phép nhân các ma trận có tính chất kết hợp.

ma trận, đơn vị hay nghịch đảo của một ma trận không suy biến ở ví dụ trên Tuynhiên trong trường hợp đơn vị hay nghịch đảo, cần phải chỉ ra, phần tử đang nói tớiphải thuộc tập X đã cho

• Tương tự chứng minh phương trình xa = b có nghiệm Vậy X là nhóm.

• Nhận xét : Thật ra cách 2 này khá dài dòng, chúng tôi đưa ra nhằm để các bạnlàm quen nhiều hơn với định nghĩa 3, và muốn khẳng định điều rằng, mỗi bài toánđều có thể có nhiều lời giải khác nhau nếu ta ta biết huy động và vận dụng kiếnthức đã biết một cách hợp lý, năng động

1 -1 1Kết quả của một tích bất kỳ hai phần tử của M lại thuộc M nên phép nhân các sốtrên M là phép toán 2 ngôi

• Phép nhân các số (nói riêng trên M ) có tính kết hợp

• ∀x, y ∈ M thì |x| = |y| = 1 nên |xy| = |x|.|y| = 1, do đó xy ∈ M , tức phép nhân các

số trên M là phép toán hai ngôi

VIETMATHS.NET

• Nhận xét : Mỗi tập hợp có thể được biểu diễn dưới các dạng khác nhau Và vớimỗi cách biểu diễn, chúng ta có thể có những cách xử lý khác nhau để có được cáclời giải không giống nhau Ví dụ này muốn các bạn khi nhìn nhận một vấn đề phảibiết xem xét ở những góc độ khác nhau để thấy được các cách tiếp cận khác nhaugiải quyết vấn đề đó.

xi = xj) nên |aX| = |X| suy ra aX = X Một cách tương tự có thể chứng minh Xa = X.Vậy X là nhóm

2 Cách 2 : Các bạn có thể sử dụng định nghĩa 1 (hay định nghĩa 2 với chú ý rằng do

X 6= ∅ nên ∃a ∈ X và do X hữu hạn nên có m > n > 0 và am = an Đơn vị của X khi

đó là e = am−n (hãy tự chứng minh) Với mọi x ∈ X, ắt tồn tại k > l > 0 mà xk = xl và

x−1 = xk−l−1 (hãy tự chứng minh) Lưu ý trong chứng minh luôn luôn có ý thức sử dụngluật giản ước

• Nhận xét : Đây là một ví dụ tương đối khó Việc sử dụng dạng tương đương cho

sự tồn tại nghiệm các phương trình ax = b, xa = b là hoàn toàn có quyền chấp nhận,không cần phải chứng minh Thật ra đó là dạng phát biểu khác của các điều kiệntrên theo ngôn ngữ tập hợp

Cách thứ 2 chúng tôi chỉ đưa ra các cách tìm đơn vị và nghịch đảo, việc hoàn thiện chứngminh dành cho độc giả để tự khám phá lấy chính mình, thử khơi dậy bản năng khéo léocủa mình

BÀI TẬP LÀM THÊM

1 Cho X = Z × Z = {(k1, k2) : k1, k2 ∈ Z} Trên X xác định phép toán sau :

(k1, k2)(l1, l2) = (k1+ (−1)k2l1, k2+ l2)Chứng minh X với phép toán trên là nhóm

2 Cho X =  a 0

b c

: ac 6= 0

 Chứng minh X với phép nhân ma trận lập thành mộtnhóm Nhóm X có giao hoán không?

3 Cho tập các số phức D = {1, i, −1, −i} Chứng minh rằng D là nhóm với phép nhânthông thường các số

4 Cho tập X 6= ∅ và Φ(X) là tập các song ánh của X lên X Chứng minh Φ(X) là nhómđối với phép nhân ánh xạ

5 Cho Mn∗ là tập hợp các ma trận cấp n không suy biến Chứng minh Mn∗ là nhóm vớiphép nhân ma trận.

6 Ta gọi ma trận vuông A = (aij) cấp n có dạng tam giác nếu aij = 0 khi i > j Chứngminh rằng tập các ma trận vuông cấp n không suy biến có dạng tam giác lập thành nhómvới phép nhân ma trận

VIETMATHS.NET

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên Ngày 28 tháng 10 năm 2004

Các bài tập kiểm tra nhóm con

Một dạng khác của kỹ năng kiểm tra nhóm là kỹ năng kiểm tra nhóm con Muốn kiểm tranhóm con ta cần nắm vững ba tiêu chuẩn thông thường về nhóm con như sau

Bài giải: Ta chứng minh Mn1 ⊂n Mn∗ theo tiêu chuẩn 1 Trước hết hiển nhiên Mn1 6= ∅, đồngthời ta có

n thỏa cả ba điều kiện của tiêu chuẩn 1 nên M1

n ⊂n Mn∗

2 Tiêu chuẩn 2

Được suy ra từ tiêu chuẩn 1 nhưng bỏ đi đòi hỏi e ∈ A (vì đòi hỏi này chỉ là hệ quả củahai đòi hỏi còn lại) Như vậy, nếu áp dụng tiêu chuẩn 2 để xử lí Ví dụ 1 thì trong lời giải taloại bỏ đòi hỏi E ∈ M1

n

Ví dụ 2: Cho trước số nguyên m Chứng minh rằng

mZ = {mz : z ∈ Z} ⊂n (Z, +)Bài giải: Ta kiểm tra mZ ⊂n (Z, +) theo tiêu chuẩn 2 Trước hết, hiển nhiên mZ 6= ∅ và ta có:

• ∀ mz1, mz2 ∈ mZ : mz1+ mz2 = m(z1+ z2) ∈ mZ

• ∀ mz ∈ mZ : −(mz) = m(−z) ∈ mZ

Vậy mZ thỏa cả hai đòi hỏi của tiêu chuẩn 2 nên mZ ⊂n (Z, +)

Nhận xét: Thông thường trong lý thuyết ta ngầm định phép toán trong nhóm là nhân và kýhiệu phần tử nghịch đảo là (·)−1 Tuy nhiên khi phép toán trong nhóm là cộng thì tất cả cácdấu nhân trong các biểu thức đều đổi sang dấu cộng và phần tử nghịch đảo đổi thành phần tửđối và viết là −(·)

cả Tuy nhiên nếu trong lời giải bắt buộc phải tính phần tử nghịch đảo thì để tránh sự rườm rà

ta nên dùng tiêu chuẩn 2 vì thực chất việc dùng tiêu chuẩn 3 lúc đó các bước tính toán cũngdài ngang với dùng tiêu chuẩn 2

Ví dụ 3: Cho tập hợp các ma trận cấp hai

K = a b

0 1

: a 6= 0



Chứng minh K ⊂n M2∗ (M2∗ là nhóm nhân các ma trận cấp hai không suy biến)

Bài giải: (Vì nếu dùng tiêu chuẩn 3, ta cũng phải tính trước các phần tử nghịch đảo, do vậy

ta dùng tiêu chuẩn 2) Trước hết K 6= ∅ (hiển nhiên) Và đồng thời:

VIETMATHS.NET

Vậy theo tiêu chuẩn 2: K ⊂n M2∗

Đến đây, chúng tôi đã cùng độc giả ôn lại ba tiêu chuẩn thông dụng để kiểm tra một tậphợp A 6= ∅ trong nhóm X cho trước có là nhóm con của nhóm X không? Tùy theo từng bàitập cụ thể mà chúng ta lựa chọn hợp lý một trong các tiêu chuẩn đó để áp dụng giải quyết bàitập đã cho

Khi đặt vấn đề ở đầu mục chúng tôi có nói rằng kỹ năng kiểm tra nhóm con là một dạngkhác của kiểm tra nhóm Nguyên do phần lớn các bài tập về kiểm tra nhóm, tập A đã cho cùngvới phép toán chỉ là bộ phận của một trong những nhóm khá quen biết và do vậy thay vì kiểmtra nhóm theo định nghĩa ta chỉ cần kiểm tra theo tiêu chuẩn nhóm con đương nhiên là đơngiản hơn

Ví dụ 4: Cho X là tập hợp tất cả các căn phức bậc n của đơn vị Chứng minh rằng X cùngvới phép nhân thông thường các số phức lập thành nhóm

Bài giải: Hiển nhiên X 6= ∅ cùng với phép toán nhân trên nó chỉ là một bộ phận của nhómnhân C∗ các số phức khác 0 Vậy để chứng minh X là nhóm ta cần kiểm tra rằng X ⊂n (C∗, )

zn 2

= 1

1 = 1

⇒ z1.z2−1∈ XVậy X ⊂n (C∗), tức là X là nhóm

Nhận xét: Mỗi tập hợp X cho trước có thể có một số cách biểu diễn khác nhau, tương đươngnhau và do vậy có thể cho chúng ta những lời giải khác nhau Chẳng hạn trong Ví dụ 4, ta còn

z1z−12 = cos2(k1− k2)π

n + i sin

2(k1− k2)π

n ∈ X(Dĩ nhiên nếu độc giả có biết dạng Ơle của một số phức thì lời giải trên đây sẽ còn được viếtngắn gọn hơn!)

Ví dụ 5: Cho tập hợp các số phức Z(√−3) = {a + b√−3 : a, b ∈ Z} Chứng minh rằngZ(

√

−3) là một nhóm với phép cộng thông thường các số phức

Bài giải: Hiển nhiên Z(√−3) 6= ∅ và cùng với phép cộng nói trên là một bộ phận của nhómcộng C các số phức Vậy ta chỉ cần kiểm tra Z(√−3) ⊂n (C, +) theo tiêu chuẩn 3: với mọi

a1+ b1√

−3, a2+ b2√

−3 ∈ Z(√−3) thì(a1+ b1√

−3) − (a2+ b2√

−3) = (a1− a2) + (b1 − b2)√

−3 ∈ Z(√−3)Đến đây hiển nhiên một câu hỏi đặt ra là những nhóm như thế nào được gọi là quen biết

Đó chính là những nhóm được ngiên cứu trong những chuyên ngành trước đây một cách khá kỹlưỡngvà gần như trở thành thông dụng Chẳng hạn đó là các nhóm (C, +); (C∗, ) các số phức;các nhóm (Mm×n, +) các ma trận cấp m × n với phép công ma trận; (Mn∗, ) các ma trận vuôngcấp n không suy biến; nhóm nhân các song ánh S(X) từ tập X 6= ∅ vào chính nó; nhóm côngcác đa thức hệ số thực Khi tiếp cận một bài toán kiểm tra nhóm, điều đầu tiên phải xem xét

là tập hợp cho trước cùng phép toán có là bộ phận của một nhóm quen biết nào không, từ đó

mà lựa chọn hợp lý phương thức kiểm tra: theo định nghĩa hay theo tiêu chuẩn nhóm con



và K1 = 1 a

0 1

: a ∈ R



Chứng minh rằng các tập hợp trên đều là nhóm với phép nhân ma trận

2 Chứng minh rằng tập hợp Mn±1 gồm các ma trận vuông cấp n có định thức bằng 1 hay

VIETMATHS.NET

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên Ngày 19 tháng 11 năm 2004

Bài 3 Các Dạng Toán Kiểm Tra Nhóm Cyclic Và Cấp Một Phần Tử Trong

Ví dụ 1 Cho X là nhóm cyclic, X = hai Chứng minh rằng mọi nhóm con A ⊂n X đều lànhóm cyclic

Bài giải Trường hợp A = {e} thì A = hei

Trường hợp A 6= {e}, do A ⊂n X = {an : n ∈ Z}, ắt tồn tại một lũy thừa ak6= e mà ak ∈ A,

và khi đó a−k ∈ A do A là nhóm con Tức tồn tại một lũy thừa nguyên dương của a thuộc vào

A (hoặc ak, hoặc a−k)

Đặt m = min{k > 0 : ak ∈ A}, ta chứng minh A = hami Thật vậy, với mọi x ∈ A thì

x = akvới k = q.m+r(0 ≤ r < m), và từ ak = aq.m+r = (am)q.arta suy ra: ar = ak (am)−q ∈ A

do ak, am ∈ A Bởi điều kiện 0 ≤ r < m và m là một số nguyên dương bé nhất để am ∈ A,buộc r = 0 Tức là k = q.m hay x = ak = (am)q Vậy A là nhóm cyclic

Nhận xét Để dự đoán được phần tử sinh của A là lũy thừa nguyên dương bé nhất am ∈ A, tacăn cứ vào tính chất của phần tử sinh: nếu am là phần tử sinh của A thì mọi phần tử ak ∈ Atất phải có ak = (am)q, tức k = m.q từ đó có thể thấy m phải là số bé nhất bởi nó là ước củamọi số k mà ak∈ A

Ví dụ 2 Cho A là tập các căn phức bậc n của đơn vị 1 Chứng minh A với phép nhân thôngthường các số phức là một nhón cyclic.

Phân tích ban đầu: Vì A ⊂ (C∗, ·) nên ta chứng minh A là nhóm con cyclic của (C∗, ·)bằng cách tìm một phần tử a ∈ C∗ mà A = hai, và từ đó có kết luận A là nhóm cyclic

Bài giải Ta biểu diễn A =

cos2kπ

n + i sin

2πn

tử của A dưới dạng cụ thể, để từ đó có thể nhận ra được phần tử sinh của A

Liên quan đến các nhóm cyclic là khái niệm cấp của phần tử trong nhóm

Định nghĩa 2 Cho nhóm X và a ∈ X Cấp của phần tử a là cấp của nhóm con cyclic sinhbởi phần tử a

(cấp của nhóm con là số phần tử của nhóm đó, khi nhóm là hữu hạn; còn nếu nhóm con có

Ví dụ 3 Cho X là nhóm và a ∈ X với cấp a = n Chứng minh rằng ak= e khi và chỉ khi k .n.Bài giải – Hiển nhiên khi k .n thì k = l.n, do đó ak= al.n = (an)l = el = e

– Nếu ak = e và k = q.n + r với 0 ≤ r < n thì từ ak = aqn+r = (an)q.ar = eq.ar = ar Suy

ra ar = e với 0 ≤ r < n Vì n là số nguyên dương bé nhất mà an = e nên các điều kiện

ar = e và 0 ≤ r < n, buộc r = 0

Vậy: k = q.n hay k .n.

Nhận xét Ví dụ này cho thấy khái niệm bé nhất của cấp a còn có thể được hiểu theo quan

hệ thứ tự chia hết: "Cấp a là số tự nhiên n thỏa an = e và là ước số của mọi số nguyên k mà

Bài giải Trước hết ta có: bnd = ak
nd



= 1)

Vậy: cấp b = n

d.Nhận xét Bài toán sẽ khó hơn chút ít nếu yêu cầu tìm cấp b (thay cho chứng minh cấp b = n

d)Nếu vậy bạn có thể xử lý được không?

Đến đây ta quay lại vấn đề nhóm cyclic Để chứng minh nhóm cyclic, như ta đã lưu ý ởtrên là thông thường dùng định nghĩa, tuy nhiên trong trường hợp nhóm cho trước X là hữuhạn, tức cấp X = n thì có thể chứng minh X là cyclic bằng cách chỉ ra trong X có tồn tại mộtphần tử a ∈ X mà cấp a = n = cấp X

Ví dụ 5 Cho X và Y là các nhóm cyclic và cấp X = m, cấp Y = n Chứng minh rằng nếu(m, n) = 1 thì nhóm tích X × Y là cyclic (Ta nhắc rằng X × Y = {(x, y), x ∈ X, y ∈ Y } vàphép nhân được xác định như sau:

(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2, y1y2) biến X × Y trở thành nhóm)

Bài giải Ta chỉ cần chỉ ra nếu X = haim và Y = hbin thì phần tử (a, b) ∈ X × Y có cấp làm.n = cấp X × Y

• Hiển nhiên là (a, b)mn = (amn, bmn) = (e, e) - là đơn vị của X × Y

• Và nếu (a, b)k= (e, e) thì ak, bk
= (e, e)

Suy ra: X × Y = h(a, b)imn

Bài tập

1 Cho A ⊂n (Z; +) Chứng minh rằng tồn tại số m sao cho A = m.Z

2 Chứng minh rằng nhóm thương của nhóm cyclic là nhóm cyclic

3 Cho X là nhóm và các phần tử a, b ∈ X Chứng minh rằng cấp (ab) = cấp (ba)

4 Cho nhóm X và 2 phần tử a, b ∈ X thỏa ab = ba Chứng tỏ rằng cấp a.b = [m, n], trong

7 Cho X là nhóm con đơn, tức X chỉ có duy nhất hai nhóm con là {e} và X Chứng minh

X là nhóm cyclic hữu hạn và cấp X = p là số nguyên tố

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS Trần Huyên Ngày 23 tháng 11 năm 2004

Bài 4 Các Bài Toán Kiểm Tra Nhóm

Vậy : AC X nếu A ⊂n X và A thỏa điều kiện chuẩn tắc

Và để kiểm tra AC X thì ta phải kiểm tra :

• A là nhóm con của X và sau đó tiếp tục

• Kiểm tra A thỏa điều kiện chuẩn tắc

Ví dụ 1 Cho nhóm

X = a b

0 c

: ac 6= 0



và A = 1 b

0 c

: c 6= 0

Theo tiêu chuẩn 2 về nhóm con ta có A ⊂n X

Tiếp tục kiểm tra điều kiện chuẩn tắc:

Chứng minh rằng nhóm con A sinh bởi phần tử a = (0, 1) là nhóm con chuẩn tắc của X.Phân tích ban đầu: Trong bài toán này giả thiết đã cho A là nhóm con < a > Vì vậy chỉ cònphải kiểm tra A thoả điều kiện chuẩn tắc Tuy nhiên muốn làm điều đó thì phải biết được dạngtổng quát phần tử của A, tức trước hết phải mô tả tường minh các phần tử của A