Giáo trình hàm suy rộng

Mục lục Một số kiến thức mở đầu 1.1 Các ký hiệu định nghĩa 1.2 Đạo hàm suy rộng (Đạo hàm yếu, đạo hàm theo nghĩa Sôbôlep) 1.3 Phân hoạch đơn vị Các 2.1 2.2 2.3 2.4 không gian hàm hàm suy rộng Không gian D(Ω) Không gian ℑ(Rn ) hay ℑ (không gian Schwarz) Hàm suy rộng không gian D(Ω) ℑ Chuyển qua giới hạn không gian hàm suy rộng 8 10 12 Đạo hàm hàm suy rộng 14 3.1 Đạo hàm hàm suy rộng R 14 3.2 Đạo hàm hàm suy rộng nhiều biến 16 Vấn đề tồn nguyên hàm hàm suy rộng 21 Tích chập hàm suy rộng 24 Phép biến đổi Fourier 28 n 6.1 Biến đổi Fourier ℑ(R ) 28 6.2 Biến đổi Fourier không gian ℑ′ (Rn ) 34 Không gian Sobolev 7.1 Mở đầu 7.2 Không gian H s (Rn ) 7.3 Không gian H s (Rn+ ) 7.4 Không gian Sobolev đa tạp 7.4.1 Đa tạp khả vi không biên 7.4.2 Đa tạp có biên 7.4.3 Hàm số đa tạp 7.4.4 Dãy Sobolev đa tạp khả vi 36 36 38 45 45 45 46 47 47 Chương Một số kiến thức mở đầu 1.1 Các ký hiệu định nghĩa • Rn := {x = (x1 , x2 , , xn ) : xk ∈ R} • Rn+ := {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : xn > 0} • Rn+ := {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : xn ≥ 0} Tập mở U ∈ Rn , U : tập đóng nhỏ chứa U f : U → R Nếu f (x) có tất đạo hàm riêng liên tục U ta nói f (x) hàm trơn U ta nói f (x) hàm trơn U viết f ∈ C ∞ (U ) Cho véc tơ α = (α1 , α2 , , αn ), α1 , α2 , , αn số nguyên không âm ký hiệu |α| = α1 + α2 + · · · + αn ,khi véc tơ α gọi đa số cấp |α| D|α| f Nếu f (x) ∈ C ∞ (U ) ta ký hiệu Dα f = ∂xα1 ∂x α2 n Nếu k ∈ N ta ···∂xα n ký hiệu Dk f = {Dα f : |α| = k} Nếu f (x) hàm liên tục Rn , f ∈ C(Rn ), ta ký hiệu A = {x ∈ Rn : f (x) = 0} Khi bao đóng A gọi giá hàm f ký hiệu suppf Nếu suppf compact hàm f (x) gọi có giá compact • C(U ) : tập hàm liên tục U • C k (U ) : tập hàm liên tục có đạo hàm riêng liên tục cấp k U • C ∞ (U ) : tập hàm khả vi vô hạn U • C0k (U ) : tập hàm khả vi liên tục đến cấp k có giá nằm U • C0∞ (U ) : tập hàm khả vi vô hạn có giá nằm U Chương Một số kiến thức mở đầu • Lp (U ) : tập hợp hàm f đo theo nghĩa Lơbe U cho: f p |f (x)|p dx) p < ∞ =( U • Lloc (U ) tập hợp hàm U cho với tập V compact U f khả tích V 1.2 Đạo hàm suy rộng (Đạo hàm yếu, đạo hàm theo nghĩa Sôbôlep) a) Khái niệm đạo hàm theo nghĩa cổ điển chưa đủ để xây dựng lý thuyết chung phương trình vi phân đạo hàm riêng: Ví dụ Xét hai phương trình Rn : ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y∂x = 0, = Về mặt phương trình đạo hàm riêng đòi hỏi hai phương trình tương đương thực tế có nhiều hàm số nghiệm phương trình nghiệm phương trình Vấn đè đặt ra: mở rộng vấn đề đạo hàm để cho hai phương trình cho tương đương Nói cách khác phải mở rộng miền xác định toán tử vi phân cho đạo hàm theo nghĩa cổ điển trường hợp riêng đạo hàm theo nghĩa suy rộng b) Nhận xét: f khả tích địa phương R, f, f ′ ∈ LR loc , ϕ ∈ ∞ C0 (R), suppϕ ∈ [a, b] áp dụng công thức tích phân phần ta có +∞ +∞ f (x)ϕ′ (x)dx = − −∞ f (x)′ ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (R) −∞ Tương tự, ∀f ∈ C k (R) ta có +∞ +∞ f (x)k ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (R) f (x)ϕk (x)dx = (−1)k −∞ −∞ Tổng quát hơn, f ∈ C k (R), U ∈ Rn mở, ϕ ∈ C0k (R), suppϕ ∈ U Chọn V ⊂ V ⊂ U, cho biên ∂V đủ trơn cho suppϕ ⊂ V ⊂ V Chương Một số kiến thức mở đầu Ta thấy f (x) U ∂ϕ dx = ∂x1 [ V = V ∂ ∂f (f ϕ) − ϕ ]dx ∂x1 ∂x1 ∂ (f ϕ)dx − ∂x1 ϕ V ∂f dx ∂x1 f ϕ cos(x, x1 )ds − = ϕ V ∂V =− U ∂f dx ∂x1 ∂f ϕ(x)dx ∂x1 Tương tự với đa số α : |α| = k ta có: f (x)D|α| ϕ(x)dx = (−1)| α| U Dk f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (U ) U Từ ta đưa định nghĩa hàm suy rộng sau Định nghĩa 1.2.1 Cho tập mở U ⊂ Rn , f ∈ Lloc (Rn ), tồn hàm g(x) U đa số α cho f (x)Dα ϕ(x)dx = (−1)|α| U g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (U ), U ta ký hiệu g(x) = Dα f (x), hàm g(x) gọi đạo hàm suy rộng cấp α hàm f (x) U Nhận xét: Nếu hàm f (x) ∈ C |α| (U ) đạo hàm suy rộng cấp α đạo hàm theo nghĩa cổ điẻn, nguợc lại không Nếu hàm f (x) có đạo hàm suy rộng cấp α chưa có đạo hàm cấp bé Ví dụ Xét tập mở U ⊂ R2 , f (x) = f1 (x)+f2 (x), f1 , f2 hàm khả tích địa phương không khả vi Chương Một số kiến thức mở đầu Lấy ϕ ∈ C0∞ (U ) Ta thấy b ∂ 2ϕ dxdy = f1 (x) ∂x∂y f1 (x)[ ∂ϕ y=β(x) dx = 0, ] ∂x y=α(x) f2 (x)[ ∂ϕ y=β(x) dx = ] ∂x y=α(x) a U suppϕ ⊂ U Tương tự b ∂ 2ϕ f2 (x) dxdy = ∂x∂y a U Hơn ∂ 2ϕ f1 (x) dxdy + ∂x∂y ∂ 2ϕ dxdy = f (x) ∂x∂y U U U Theo định nghĩa, tồn đạo hàm suy rộng tự 1.3 ∂2f ∂y∂x ∂ 2ϕ f (x) dxdy = ∂x∂y ∂2f ∂x∂y ≡ U Tương ≡0 Phân hoạch đơn vị Định lí 1.3.1 Cho tập mở Ω ⊂ Rn , tập compact K ⊂ Ω, tồn hàm h(x) ∈ C0∞ (Ω) cho: ≤ h(x) ≤ 1, ∀x ∈ Ω h(x) = 1, ∀x ∈ K h(x) = 0, ∀x ∈ / Ω e t t < 0, Chứng minh Đặt f (t) = f (t) ∈ C ∞ (R) Ta xây dựng t ≥ 0, ∞ n hàm ϕ ∈ C0 (R ), suppϕ ⊂ B(0, 1) sau : ϕ(x) = f (|x|2 − 1) f (| xε |2 − 1)dx Với ε > bất kì, đặt ϕε (x) = cε f (| xε |2 − 1), c−1 ε = Rn Rõ ràng, ϕε (x) ∈ C0∞ (Rn ), suppϕε = B(0, ε), ϕε (x)dx = Rn B(x, ε) ⊂ K2ε ⊂ Ω Đặt Chọn ε > đủ bé cho Kε = x∈K h(x) = ϕε (x − y)dy Kε Chương Một số kiến thức mở đầu • Nếu x ∈ K, h(x) = ϕε (x − y)dy = B(x,ε) • Nế|u x ∈ / Ω h(x) = (do |x − y| > ε) • Nếu y ∈ Kε , x ∈ Ω ≤ h(x) ≤ ϕε (x − y)dy = B(x,ε) Tương tự ta thấy h(x) = x ∈ / K2ε Từ chỗ K2ε compact, dẫn ∞ n tới h(x) ∈ C0 (R ) Hệ 1.3.2 Cho tập mở Ω ∈ Rn , tập compact K ⊂ Ω, hàm f : Ω −→ mathbbR Khi tồn hàm h(x) cho ϕ(x) ∈ C0∞ (Rn ) ϕ(x) = f (x) x ∈ K, x∈ / Ω, ϕ(x) = h(x)f (x) Định nghĩa 1.3.3 Cho tập mở Ω ⊂ Rn , họ tập mở {Ωi }∞ i=1 gọi phủ mở Ω Ω ⊂ ∞ Ωi i=1 • Nếu họ {Ωi } hữu hạn phủ {Ωi } gọi phủ hữu hạn • Nếu Ωi tập compact phủ {Ωi } gọi phủ compact • Đặc biệt, Ω tập compact Rn tồn phủ hữu hạn Ω Định nghĩa 1.3.4 Cho Ω ⊂ Rn {Ωi } phủ mở hũư hạn Ω Khi họ hàm {ei (x)} gọi phân hoạch đơn vị Ω ứng với phủ mở {Ωi } thỏa mãn điều kiện sau : ei (x) ∈ C0∞ (Ωi ), suppei ⊂ Ωi ≤ ei (x) ≤ 1, ∀x ∈ Ωi ei (x) = 1, ∀x ∈ Ω Định lí 1.3.5 Cho tập compact K ∈ Rn , {Ωi } phủ mở K, tồn phân hoạch đơn vị {ei (x)} K Bổ đề 1.3.6 Cho tập compact K ∈ Rn , {Ωi }m i=1 phủ mở K Khi với i, tồn tập compact Ki ⊂ Ωi cho K ⊂ m Ki i=1 Chương Một số kiến thức mở đầu Chứng minh (Bổ đề) Đặt F1 = K\ Ωk Do F1 ⊂ Ωi tập compact, tồn k=i tập mở bị chặn V1 cho F1 ⊂ V1 ⊂ V1 ⊂ Ω1 Chọn K1 = V1 Rõ ràng K1 compact, {V1 , Ω2 , , Ωm } phủ mở K Tương tự với phủ ta chọn tập mở V2 , , Vm tập compact K2 , Km cho K⊂ Vi ⊂ Vi = Ki Chứng minh (Chứng minh định lí) Theo bổ đề, i = 1, 2, , m, tồn tập compact Ki ⊂ Ωi : K ⊂ Ki Khi đó, ứng với i, tồn hàm hi (x) ∈ C0∞ (Ωi ) thỏa mãn điều kiện ≤ hi (x) ≤ ∀x ∈ Ωi , hi (x) = ∀x ∈ Ki Họ {ei (x) = hi (x) hi (x) , ∀x ∈ K} thỏa mãn định lí Chương Các không gian hàm hàm suy rộng 2.1 Không gian D(Ω) Cho tập mở Ω ⊂ Rn Với phép cộng hàm số phép nhân hàm số với số C0k (Ω) không gian tuyến tính, ký hiệu Dk (Ω) ∞ Dk (Ω) D(Ω) = k=1 Dk (Ω) không gian tuyến tính hàm khả vi vô hạn, có giá compact Ω Mọi hàm ϕ ∈ Dk (Ω) gọi hàm thử Đặc biệt, Dk (Rn ) := D Trong D ta đưa khái niệm tôpô sau: Định nghĩa 2.1.1 Ta nói dãy hàm {ϕm }∞ m=1 ⊂ D(Ω) hội tụ đến hàm ϕ(x) m → +∞ Tồn tập compact K ⊂ Ω cho suppϕm ⊂ K, ∀k suppϕ ⊂ K Với α, dãy {Dα ϕm } hội tụ tập K Ví dụ (???????????) ϕ(x) = exp( |x|21−1 ) |x| < 1, |x| ≥ Hàm ϕ(x) ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ B(0, 1) Lập dãy {ϕm (x) = m1 ϕ(x)} ⊂ D, suppϕm ⊂ B(0, 1) = K Định lí 2.1.2 D(Ω) không gian đủ Chương Các không gian hàm hàm suy rộng Không gian ℑ(Rn) hay ℑ (không gian Schwarz) 2.2 Ta gọi ℑ(Rn ) tập hợp hàm f (x) ∈ C ∞ (Rn ) cho với đa số α β : sup |xα Dβ f (x)| < +∞ x Ví dụ (Các hàm không gian ℑ(Rn )) a) f (x) ∈ C0∞ (Rn ) b) f (x) = exp(−a|x|2 ), a > c) f (x) = exp(−|x|2 ) aα x α |α|≤k Định nghĩa 2.2.1 Ta nói dãy hàm {ϕm } ⊂ ℑ(Rn ) hội tụ lim sup |xα Dβ ϕm (x)| = 0, ∀αβ m→∞ x Định lí 2.2.2 Không gian ℑ(Rn ) không gian đủ Chứng minh Cho {ϕm } dãy ℑ • α = β = : lim sup |ϕm+p − ϕm | = Từ tồn m,p→∞ x ϕ(x) = lim ϕm (x), ∀x ∈ Rn m→∞ • α = : lim sup |Dβ ϕm+p − Dβ ϕm | = Dãy {Dβ ϕm } hội tụ dẫn m,p→∞ tới x lim Dβ ϕm = Dβ ϕ Nói cách khác ϕ(x) ∈ C ∞ (Rn ) • Do sup |xα Dβ ϕm (x)| < ∞ lim sup |xα Dβ (ϕm (x) − ϕ(x))| = 0, ta có x m→∞ x ϕ ∈ ℑ(Rn ) Chương Các không gian hàm hàm suy rộng 2.3 10 Hàm suy rộng không gian D(Ω) ℑ Định nghĩa 2.3.1 Một phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian gọi hàm suy rộng không gian Như vậy: f phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Ω) (hoặc ℑ ) ∀ϕ ∈ D(Ω), ϕ −→ (f, ϕ) ∈ R Tập hàm suy rộng D(Ω) ℑ ký hiệu D′ (Ω), ℑ′ Ta có ℑ′ ⊂ D′ , ( hàm suy rộng f hiểu theo nghĩa giới hạn không gian) Ví dụ (Các ví dụ) Cho f hàm khả tích địa phương Ω, với ϕ ∈ D(Ω) ta xác định phiếm hàm (f, ϕ) = f (x)ϕ(x)dx Ω (f bị chặn tập compact K ∈ Ω ??????) Không có nhầm lẫn ta ký hiệu f hàm suy rộng hay f ∈ D′ (Ω) (Hàm suy rộng đều) Hàm δ− Dirac: (δ, ϕ) = ϕ(0) Hàm δ− dịch chuyển (δ, ϕ(x − a)) = ϕ(a) Nhận xét: Hàm δ phiếm hàm suy rộng Chứng minh Giả sử ngược lại +∞ ∀ϕ ∈ D(R) : (δ, ϕ) = δ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0) −∞ Chọn exp( |x|2ε−ε2 ) |x| < ε, |x| ≥ ε ϕε (x) = Khi +∞ δ(x)ϕε (x)dx = ϕε (0) = e (δ, ϕε ) = −∞ Cho ε → ta có +∞ δ(x)ϕε (x)dx → = −∞ e mâu thuẫn Từ tính chất trên, hàm δ gọi hàm suy rộng kì dị Chương Các không gian hàm hàm suy rộng 11 Xét f (x) đa thức R f (x) = a0 + a1 x + · · · + ak xk , ∈ R Xác định phiếm hàm f :ℑ(R) −→ R k ϕ −→ (f, ϕ) = i=1 R xi ϕ(x)dx f (x)ϕ(x)dx = Tương tự với trường hợp tổng quát, (f, ϕ) = R xα ϕ(x)dx ak |α|≤k Rn Hàm suy rộng đơn vị hàm suy rộng không ký hiệu (1, ϕ) = ϕdx Ω Định nghĩa 2.3.2 (Các phép toán hàm suy rộng) (a) Phép cộng hàm suy rộng: Cho f, g hai hàm suy rộng Ta gọi tổng hai hàm suy rộng f, g hàm suy rộng ký hiệu f + g xác định theo qiu tắc (f + g, ϕ) = (f, ϕ) + (g, ϕ) (b)Phép nhân hàm suy rộng với số: (kf, ϕ) = k(f, ϕ) (c) Cho f ∈ D′ (Ω), α(x) ∈ C ∞ (Ω) Khi αf hàm suy rộng D′ (Ω) xác định sau: (αf, ϕ) = (f, αϕ) Định nghĩa 2.3.3 Cho hai hàm suy rộng f, g ∈ D′ (Ω) ta nói f ≡ g (f, ϕ) = (g, ϕ), ∀ϕ ∈ D(Ω) Định lí 2.3.4 Cho f g hai hàm suy rộng không gian D′ (Ω) với x ∈ Ω tồn lân cận Ωx ⊂ Ω cho f = g Ωx Khi đó, f = g Ω Chương Các không gian hàm hàm suy rộng 12 Chứng minh Lấy ϕ hàm tùy ý D(Ω), tập compact K = suppϕ ⊂ Ω Tồn phủ mở hữu hạn {Ωx : x ∈ K} K Gọi {ei (x)} phân hoạch đơn vị tập K ứng với phủ mở {Ωx } Ta víêt hàm m ϕ(x) = ei (x)ϕ(x) i=1 Ta có m (f, ϕ) = m (f, ei (x)ϕ) = i=1 (g, ei (x)ϕ) i=1 m ei (x)ϕ) = (g, ϕ) = (g, i=1 Định nghĩa 2.3.5 Cho hàm f ∈ D′ (Ω), ký hiệu A tập hợp điểm x ∈ Ω cho không tồn lân cận Ωx mà f ≡ Ta gọi bao đóng A giá hàm suy rộng f ký hiệu suppf Chú ý: Nếu hàm f liên tục Ω, xác định hâm suy rộng D (Ω), giá f theo nghĩa thông thường theo nghĩa suy rộng trùng Giả sử tập mở U ⊂ Ω, ta nói hàm suy rộng f thuộc lớp C ∞ (U ) tồn hàm g ∈ C ∞ (U ) cho (f, ϕ) = (g, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞ (U ) ′ Định nghĩa 2.3.6 Ta ký hiệu B tập hơp điểm x ∈ Ω cho không tồn lân cận Ωx mà f ∈ C ∞ (Ωx ) Bao đóng B ký hiệu síngsuppf gọi giá kì dị hàm suy rộng f 2.4 Chuyển qua giới hạn không gian hàm suy rộng Cho dãy hàm suy rộng D′ (Ω) (hay ℑ) f1 , f2 , · · · Ta nói dãy hàm suy rộng {fm } hội tụ tới hàm suy rộng f lim (fm , ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ D(Ω) m→∞ Cho dãy hàm suy rộng u1 , u2 , · · · , ta lập tổng fm = ta có dãy hàm suy rộng {fm } ký hiệu hình thức ∞ ui , lim fm = m→∞ i=1 m i=1 ui Chương Các không gian hàm hàm suy rộng 13 (gọi chuỗi hàm suy rộng) Tương tự ta có khái niệm hội tụ phân kì chuỗi số Nếu dãy hàm suy rộng {fm } hội tụ có giới hạn Nếu dãy hàm số {fm } {gm } hội tụ lim (αfm + βgm ) = α lim (fm ) + β lim (gm ), ∀α, β ∈ R m→∞ m→∞ m→∞ Ví dụ Cho f (x) = x1 hàm khả tích địa phương không xác định hàm suy rộng thuộc D′ Vì ta xây dựng hàm kỳ dị sau: Lấy ε > nhỏ tuỳ ý, ϕ ∈ D(R) ϕ(x) dx + x (f, ϕ) = ε ϕ(x) − ϕ(0) dx x −ε |x|≥ε Vậy f hàm kì dị Ứng với ε > 0, ta xác định hàm fε (x) = x |x| ≥ ε |x| < ε Hàm fε (x) khả tích địa phương xác định hàm suy rộng D′ Khi ε → ta có lim(fε , ϕ) = (fε , ϕ), ∀ϕ ∈ D(Ω) ε→0 Chương Đạo hàm hàm suy rộng Trước hết ta xét đạo hàm D′ , sau xét đạo hàm ℑ 3.1 Đạo hàm hàm suy rộng R Nhận xét: Nếu f (x) ∈ C ∞ (R) f xác định hàm suy rộng f ∈ D′ (R) : ∞ (f, ϕ) = f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(R) −∞ Hơn nữa, đạo hàm f ′ (x) ∈ C ∞ (R) hàm suy rộng (f ′ , ϕ) = −(f, ϕ′ ), (tích phân phần) Tương tự, (f (k) , ϕ) = (−1)k (f, ϕ(k) ) Định nghĩa 3.1.1 Cho f hàm suy rộng D′ (R, ta gọi đạo hàm hàm suy rộng f phiếm hàm D(R), kí hiệu f ′ xác định theo qiu tắc (f ′ , ϕ) = −(f, ϕ′ ) Rõ ràng f ′ ∈ D′ (R) Tổng quát: đạo hàm cấp k hàm suy rộng f ∈ D′ (R) hàm suy rộng kí hiệu f (k) xác định theo qiu tắc (f (k) , ϕ) = (−1)k (f, ϕ(k) ) Nhận xét: 14 Chương Đạo hàm hàm suy rộng 15 Nếu f (x) hàm khả tích địa phương R có đạo hàm sôbôlep cấp k đạo hàm suy rộng cấp k trùng với đạo hàm sôbôlep cấp k hàm f Nếu f ∈ D′ (R), α(x) ∈ C ∞ (R) ((αf )′ , ϕ) = (−αf, ϕ′ ) = (f, −αϕ′ ) = (f, −(αϕ)′ + α′ ϕ) = (f ′ , αϕ) + (f, α′ ϕ) = (αf ′ + α′ f, ϕ) Xác định hàm θ(x) sau x > 0, x ≤ 0, θ(x) = (Hàm Heauside) Hàm θ(x) khả tích địa phương xác định hàm suy rộng θ(x) ∈ D′ Ta thấy ∞ (θ′ , ϕ) = − θ(x)ϕ′ (x)dx −∞ ∞ ϕ′ (x)dx = ϕ(0) =− Do θ = δ Tương tự, θ (x − a) = δ(x − a) ′ ′ Tính đạo hàm δ(x)? (δ ′ , ϕ) = −(δ, ϕ′ ) = −ϕ′ (0) Hàm f (x), có đạo hàm f ′ (x) với x = x0 , x0 , hàm f (x)có bước nhảy h = f (x0 + 0) − f (x0 − 0) Tìm đạo hàm suy rộng f (x)? Ta thấy −∞ x0 (f ′ , ϕ) = −(f, ϕ′ ) = − f (x)ϕ′ dx − −∞ f (x)ϕ′ dx x0 ∞ = [f (x0 + 0) − f (x0 − 0)]ϕ(x0 ) + −∞ ′ = hϕ(x0 ) + (f , ϕ) = h(δ(x − x0 ), ϕ) + (f ′ , ϕ) = (hδ(x − x0 ) + f ′ , ϕ) f ′ (x)ϕdx Chương Đạo hàm hàm suy rộng 16 Tương tự, f có bước nhảy h1 , h2 , , hm điểm x1 , x2 , , xm , tồn f ′ x = xi f xác định hàm suy rộng có đạo hàm suy rộng k ′ fsr ′ hi δ(x − xi ) =f + i=1 3.2 Đạo hàm hàm suy rộng nhiều biến Định nghĩa 3.2.1 Cho tập mở Ω ⊂ Rn , f ∈ D′ (Ω) Khi đạo hàm cấp α hàm suy rộng f miền Ω phiếm hàm g xác định theo qiu tắc (f, ∂ αϕ ) = (−1)|α| (g, ϕ) ∂xα1 · · · ∂xαnn Ký hiệu g= ∂ αf ∂xα1 · · · ∂xαnn Rõ ràng, g ∈ D′ (Ω) Nhận xét: Hàm suy rộng f ∈ D′ có đạo hàm cấp ∀f ∈ D′ ta có ∂ 2f ∂ 2f = ∂x∂y ∂y∂x Nếu f hàm khả tích địa phương trongΩ, có đạo hàm Sobolev Dα f, đạo hàm suy rộng trung vớí đạo hàm Sobolev Ví dụ Hàm Heuaside θ(x) = Tính đạo hàm suy rộng x1 > 0, , xn > 0, ∃xi ≤ ∂ nθ ∂x1 · · · ∂xn Chương Đạo hàm hàm suy rộng 17 ∂ nθ ∂ nϕ n ( , ϕ) = (−1) (θ, ) ∂x1 · · · ∂xn ∂x1 · · · ∂xn ∂ nϕ = (−1)n θ(x) dx ∂x1 · · · ∂xn Rn ∞ = (−1)n ∞ dx1 ∞ dx2 · · · 0 ∂ nϕ dxn ∂x1 · · · ∂xn = ϕ(0) = (δ, ϕ) Ví dụ Nghiệm toán tử Laplace Rn : ∆ = Nếu hàm f ∈ C (Rn ) ∆f = n k=1 n k=1 ∂ f ∂x2k ∂2 ∂x2k Phương trình ∆f = gọi phương trình Laplace Nếu hàm f ∈ C (Rn ) ∆f = f gọi hàm điều hòa Ký hiệu: r = x21 + x22 + · · · + x2n Xét hàm f (x) = f (r) Ta thấy n−1 ′ ∆f = f ′′ (r) + f (r) r Hàm f (x) khả tích địa phương Ω gọi thỏa mãn phương trình ∆f = g ∈ D′ (Ω) (∆, ϕ) = (g, ϕ), ∀ϕ ∈ D(Ω) r Hàm f (x) = R3 miền Ω không chứa gốc toạ độ hàm điều hoà Với ε > 0, gọi Sε mặt cầu tâm O bán kính ε Chọn R > đủ lớn cho mặt cầu SR chứa suppϕ Đặt S = Sε ∪ SR G miền giới hạn S Áp dụng công thức Green với u, v ∈ C (G) ta có ∂v ∂u (u∆v − v∆u)dx = (u − v )dS, ∂n ∂n G S n tiếp tuyến mặt mặt S Áp dụng cho miền G chọn u = 1r , v = ϕ ta có ∆ϕdx = r ∆ϕdx r G ε≤|x|≤R ϕ∆ dx + r = G Sε ∪SR [ ∂ 1 ∂ϕ − ϕ ( )]dS r ∂n ∂n r Chương Đạo hàm hàm suy rộng 18 Trên SR : n = r, Sε : n = −r Vì suppϕ ∈ G nên SR ϕ = ∂ϕ ∂n = ∂ϕ ∂ [ − ϕ ( )]dS = r ∂n ∂n r SR Miền G không chứa gốc toạ độ nên ∆ 1r = G ϕ∆( )dx = r G Cuối ∆ϕdx = r ∆ϕdx = r [ G ε≤|x|≤R ∂ 1 ∂ϕ − ϕ ( )]dS, r ∂n ∂n r Sε đó, Sε ∂ϕ dS = r ∂n ε Sε Hàm ∂ϕ ∂r − ∂ϕ ∂ϕ(P1 ) dS = − 4πε2 , P1 ∈ Sε ∂r ε∂r Sε bị chặn Sε ∂ϕ dS = r ∂n lim ε→0 Sε Ngoài ra, − ϕ ∂ ( )dS = ∂n r ϕ ∂ ( )dS ∂r r Sε Sε =− ϕ dS r2 Sε =− ε2 ϕdS Sε ϕ(P2 )4πε2 ε = −4πϕ(P2 ); P2 ∈ Sε , =− ϕ lim − ε→0 Sε ∂ ( ) = −4πϕ(0) ∂n r Chương Đạo hàm hàm suy rộng 19 Như vậy, ∀ϕ ∈ D(R3 ), ∆ϕdx = −4πϕ(0) = −4π(δ, ϕ) r (∆ , ϕ) = lim ε→0 r Gε Hay là, ∆ 1r = −4πδ ⇔ −∆( 4πε ) = δ Hàm ω(x) = − 4πr gọi nghiệm toán tử Laplace R3 Tính toán tương tự, 1 ln , 2π r 1 n ≥ : ω(x) = − , (n − 2)Ωn rn−2 n = : ω(x) = Ωn diện tích mặt cầu đơn vị Rn Tổng quát: Ký hiệu toán tử vi phân Rn biểu thức co dạng aα (x)Dα , P (D) = |α|≤k k số nguyên dương, aα hàm thuộc lớp C ∞ Định nghĩa 3.2.2 Hàm ω(x) gọi nghiệm toán tử vi phân P (D) nghiệm phương trình P (D)ω = δ Ví dụ Trong R, θ(x) nghiệm toan tử dx Chú ý: Đạo hàm không gian ℑ.′ Như ta biết ℑ′ ⊂ D′ , đạo hàm hàm f ∈ ℑ′ xác định theo qiu tắc thông thường (Dα f, ϕ) = (−1)|α| (f, Dα ϕ), đó, đạo hàm Dα hàm suy rộng ℑ′ Nếu fm dãy hàm suy rộng hội tụ đến hàm suy rộng f ta có (k) fm hội tụ đến hàm f (k) Ví dụ 10 Xét dãy hàm  fm (x) = m1 sin(mx), fm ⇉ 0,  ′ fm (x) = cos(mx), không hội tụ theo nghĩa thông thường Chương Đạo hàm hàm suy rộng 20 Vì hàm fm (x) hàm khả tích địa phương nên tồn hàm suy rộng fm ∈ D′ Ta thấy ∞ ′ (fm , ϕ) = cos(mx)ϕdx = − m −∞ ′ Nói cách khác, lim fm = m→∞ ∞ ϕ′ (x)sin(mx)dx → 0, ∀ϕ −∞ Chương Vấn đề tồn nguyên hàm hàm suy rộng Định lí 4.0.3 Với hàm suy rộng f ∈ D′ (R) tồn hàm suy rộng g ∈ D′ cho (g ′ , ϕ) = (g, ϕ)∀ϕ Hàm suy rộng g xác định sai khác số cộng Trước hết, ta chứng minh vàì kết phụ sau Ký hiệu ∞ H = {α ∈ D(R) : α(x)dx = 0} ∞ Xét ϕ0 ∈ D′ (R) hàm cố định cho ∞ ϕ0 (x)dx = −∞ Bổ đề 4.0.4 Mọi ϕ ∈ D′ (R) viết dạng ϕ(x) = α(x) + λϕ0 (x), α ∈ H, λ = ∞ ϕ(x)dx −∞ Bổ đề 4.0.5 Với α ∈ H, tồn ϕ1 (x) ∈ D cho ϕ′1 (x) = α(x) Chứng minh Giả sử suppα ∈ [a, b] Xét hàm ϕ1 (x) = x α(t)dt Rõ ràng −∞ ϕ1 ∈ D Hơn thế, ϕ1 Thật vậy, giả sử tồn hai hàm ϕ1 ϕ2 thỏa mãn, ϕ1 (x) − ϕ2 (x) = const ∈ D Do đó, const ≡ (Đpcm) 21 Chương Vấn đề tồn nguyên hàm hàm suy rộng 22 Chứng minh (Chứng minh định lí) Ta xác định phiếm hàm g D(R) theo qiu tắc sau (g, ϕ) = −(f, ϕ1 ) + λc0 , ∞ ∞ c0 số, ϕ = α + λϕ0 , α ∈ H, λ = ϕ0 dx = ϕ(x)dx, −∞ −∞ Rõ ràng, g phiếm hàm tuyến tính • Ta chứng minh g phiếm hàm tuyến tính liên tục Xét dãy {ϕm } hội tụ ϕ Vói m tồn αm ∈ H cho ϕm = αm + λm ϕ0 Do ϕm ⇉ ϕ K compact ta có ∞ λm = ∞ ϕm dx → −∞ ϕdx = λ −∞ Chọn tập compact K cho Suppϕ0 ⊂ K Khi đó, hàm αm = ϕm − λm ϕ0 có giá thuộc K, ∀m Hơn thế, dãy hàm {αm } hội tụ D(R) ta có lim αm = ϕ − λϕ0 = α ∈ H m→∞ Với m tồn ϕ1m ∈ D : ϕ′1m = αm Dãy {ϕ1m } hội tụ D tới ϕ1 ∈ D ϕ′1 = α Như ta có: lim (g, ϕm ) = lim (f, ϕ1m ) + lim λm c0 = (g, ϕ) m→∞ m→∞ m→∞ Vậy g ∈ D′ (R) • Ta phải chứng minh (g ′ , ϕ) = (f, ϕ) Ta có ∞ (g ′ , ϕ) = −(g, ϕ′ ) = (f, ϕ1 ) − ϕ′ dxc0 = (f, ϕ1 ), −∞ ϕ′ = α + λϕ0 = α, ϕ′1 = α Do tính ϕ1 ta có ϕ = ϕ1 (Đpcm) • Ta chứng minh g1 , g2 ∈ D′ nguyên hàm f g1 − g2 = const Chương Vấn đề tồn nguyên hàm hàm suy rộng 23 Thật vậy, ∀ϕ : (g1′ − g2′ , ϕ) = (f − f, ϕ) = = (g1 − g2 , ϕ′ ) Với α ∈ H tồn ϕ ∈ D : ϕ′ = α ta có (g1 −g2 , α) = (g1 −g2 , ϕ′ ) = Lấy ϕ D : ϕ = α + λϕ0 Ta thấy (g1 − g2 , ϕ) = (g1 − g2 , α) + λ(g1 − g2 , ϕ0 ) = λ(g1 − g2 , ϕ0 ) = λc Khi đó, (g1 − g2 , ϕ) = cλ = (c, ϕ) Nói cách khác, g1 − g2 = c Tổng quát: với hàm suy rộng f ∈ D′ , k ∈ N tồn hàm suy rộng g cho (g (k) ) = f Định lí 4.0.6 Giả sử f hàm suy rộng D′ cho (f ′ , ϕ) = 0, ∀ϕ f = const Tổng quát ta chứng minh, f ∈ D(Ω), tập Ω mở Rn cho ∂f = 0, ∀i = 1, 2, , n ∂xi f = const Chương Tích chập hàm suy rộng Định nghĩa 5.0.7 Cho f (x) g(x) hàm số xác định Rn Ký hiệu f (x − y)g(y)dy, x ∈ Rn (f ∗ g)(x) = Rny Nếu tích phân vế phải tồn (f ∗ g)(x) hàm xác định tren Rn gọi tích chập hai hàm f (x) g(x) Chú ý: (f ∗ g) = (g ∗ f ) có tính giao hoán Định lí 5.0.8 Nếu f, g ∈ L1 (Rn ) f ∗ g tồn f ∗ g ∈ L1 (Rn ), đồng thời ta có bất đẳng thức f ∗g ≤ f g Dấu xảy f, g ≥ 0, ∀x ∈ Rn Chứng minh • Trước hết ta giả sử f, g ≥ Đặt f (x − y)g(y)dy, x ∈ Rn h(x) = (f ∗ g)(x) = Rny Ta thấy: h = |f ∗ g(x)|dx Rn = ( f (x − y)g(y)dy)dx Rnx Rny = (g(y) Rny f (x − y)dx)dy Rnx = f g 24 [...]... (a) Phép cộng hàm suy rộng: Cho f, g là hai hàm suy rộng Ta gọi tổng của hai hàm suy rộng f, g là một hàm suy rộng được ký hiệu là f + g được xác định theo qiu tắc (f + g, ϕ) = (f, ϕ) + (g, ϕ) (b)Phép nhân hàm suy rộng với hằng số: (kf, ϕ) = k(f, ϕ) (c) Cho f ∈ D′ (Ω), α(x) ∈ C ∞ (Ω) Khi đó αf là hàm suy rộng của D′ (Ω) xác định như sau: (αf, ϕ) = (f, αϕ) Định nghĩa 2.3.3 Cho hai hàm suy rộng f, g ∈... hội tụ đều tới hàm suy rộng f nếu lim (fm , ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ D(Ω) m→∞ Cho một dãy các hàm suy rộng u1 , u2 , · · · , ta lập các tổng fm = vậy ta có dãy hàm suy rộng {fm } và ký hiệu hình thức ∞ ui , lim fm = m→∞ i=1 m i=1 ui như Chương 2 Các không gian hàm cơ bản và hàm suy rộng 13 (gọi là chuỗi hàm suy rộng) Tương tự ta có khái niệm hội tụ và phân kì của chuỗi số 1 Nếu dãy hàm suy rộng {fm } hội... (x)ϕdx Chương 3 Đạo hàm của hàm suy rộng 16 Tương tự, nếu f có các bước nhảy h1 , h2 , , hm tại các điểm x1 , x2 , , xm , tồn tại f ′ tại x = xi thì f xác định một hàm suy rộng và có đạo hàm suy rộng k ′ fsr ′ hi δ(x − xi ) =f + i=1 3.2 Đạo hàm của hàm suy rộng nhiều biến Định nghĩa 3.2.1 Cho tập mở Ω ⊂ Rn , f ∈ D′ (Ω) Khi đó đạo hàm cấp α của hàm suy rộng f trong miền Ω là một phiếm hàm g xác định... (R) cũng là một hàm suy rộng và (f ′ , ϕ) = −(f, ϕ′ ), (tích phân từng phần) Tương tự, (f (k) , ϕ) = (−1)k (f, ϕ(k) ) Định nghĩa 3.1.1 Cho f là một hàm suy rộng trong D′ (R, ta gọi đạo hàm của hàm suy rộng f là một phiếm hàm trong D(R), được kí hiệu là f ′ xác định theo qiu tắc (f ′ , ϕ) = −(f, ϕ′ ) Rõ ràng f ′ ∈ D′ (R) Tổng quát: đạo hàm cấp k của hàm suy rộng f ∈ D′ (R) là một hàm suy rộng được kí hiệu... |x| < ε Hàm fε (x) khả tích địa phương và xác định một hàm suy rộng trong D′ Khi ε → 0 ta có lim(fε , ϕ) = (fε , ϕ), ∀ϕ ∈ D(Ω) ε→0 Chương 3 Đạo hàm của hàm suy rộng Trước hết ta xét đạo hàm trong D′ , sau đó xét đạo hàm trong ℑ 3.1 Đạo hàm của hàm suy rộng trong R Nhận xét: Nếu f (x) ∈ C ∞ (R) thì khi đó f xác định một hàm suy rộng f ∈ D′ (R) : ∞ (f, ϕ) = f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(R) −∞ Hơn nữa, đạo hàm f... · ∂xαnn Rõ ràng, g ∈ D′ (Ω) Nhận xét: 1 Hàm suy rộng f ∈ D′ có đạo hàm mọi cấp 2 ∀f ∈ D′ ta có ∂ 2f ∂ 2f = ∂x∂y ∂y∂x 3 Nếu f là hàm khả tích địa phương trongΩ, có đạo hàm Sobolev Dα f, đạo hàm suy rộng trung vớí đạo hàm Sobolev Ví dụ 7 Hàm Heuaside θ(x) = Tính đạo hàm suy rộng 1 x1 > 0, , xn > 0, 0 ∃xi ≤ 0 ∂ nθ ∂x1 · · · ∂xn Chương 3 Đạo hàm của hàm suy rộng 17 ∂ nθ ∂ nϕ n ( , ϕ) = (−1) (θ, )... hàm Dα là một hàm suy rộng trong ℑ′ 2 Nếu fm là dãy hàm suy rộng hội tụ đến hàm suy rộng f thì ta cũng có (k) fm hội tụ đến hàm f (k) Ví dụ 10 Xét dãy hàm  fm (x) = m1 sin(mx), fm ⇉ 0,  ′ fm (x) = cos(mx), không hội tụ theo nghĩa thông thường Chương 3 Đạo hàm của hàm suy rộng 20 Vì hàm fm (x) là hàm khả tích địa phương nên tồn tại hàm suy rộng fm ∈ D′ Ta thấy ∞ ′ (fm , ϕ) = 1 cos(mx)ϕdx = −... Chương 3 Đạo hàm của hàm suy rộng 15 1 Nếu f (x) là hàm khả tích địa phương trong R và có đạo hàm sôbôlep cấp k thì đạo hàm suy rộng cấp k cũng trùng với đạo hàm sôbôlep cấp k của hàm f 2 Nếu f ∈ D′ (R), α(x) ∈ C ∞ (R) thì ((αf )′ , ϕ) = (−αf, ϕ′ ) = (f, −αϕ′ ) = (f, −(αϕ)′ + α′ ϕ) = (f ′ , αϕ) + (f, α′ ϕ) = (αf ′ + α′ f, ϕ) 3 Xác định hàm θ(x) như sau 1 x > 0, 0 x ≤ 0, θ(x) = (Hàm Heauside) Hàm θ(x) khả... gian hàm cơ bản và hàm suy rộng 11 3 Xét f (x) là một đa thức trong R f (x) = a0 + a1 x + · · · + ak xk , ai ∈ R Xác định một phiếm hàm f :ℑ(R) −→ R k ϕ −→ (f, ϕ) = i=1 R xi ϕ(x)dx ai f (x)ϕ(x)dx = Tương tự với trường hợp tổng quát, (f, ϕ) = R xα ϕ(x)dx ak |α|≤k Rn 4 Hàm suy rộng đơn vị và hàm suy rộng không được ký hiệu lần lượt là 1 và 0 (1, ϕ) = ϕdx Ω Định nghĩa 2.3.2 (Các phép toán về hàm suy rộng) ... ϕ′ (x)sin(mx)dx → 0, ∀ϕ −∞ Chương 4 Vấn đề tồn tại nguyên hàm của hàm suy rộng Định lí 4.0.3 Với hàm suy rộng f ∈ D′ (R) luôn tồn tại hàm suy rộng g ∈ D′ sao cho (g ′ , ϕ) = (g, ϕ)∀ϕ Hàm suy rộng g được xác định sai khác một hằng số cộng Trước hết, ta chứng minh một vàì kết quả phụ sau Ký hiệu ∞ H = {α ∈ D(R) : α(x)dx = 0} ∞ Xét ϕ0 ∈ D′ (R) là hàm cố định sao cho ∞ ϕ0 (x)dx = 1 −∞ Bổ đề 4.0.4 Mọi ϕ ∈ ... Rn Hàm suy rộng đơn vị hàm suy rộng không ký hiệu (1, ϕ) = ϕdx Ω Định nghĩa 2.3.2 (Các phép toán hàm suy rộng) (a) Phép cộng hàm suy rộng: Cho f, g hai hàm suy rộng Ta gọi tổng hai hàm suy rộng. .. gọi giá kì dị hàm suy rộng f 2.4 Chuyển qua giới hạn không gian hàm suy rộng Cho dãy hàm suy rộng D′ (Ω) (hay ℑ) f1 , f2 , · · · Ta nói dãy hàm suy rộng {fm } hội tụ tới hàm suy rộng f lim (fm... đạo hàm suy rộng cấp α hàm f (x) U Nhận xét: Nếu hàm f (x) ∈ C |α| (U ) đạo hàm suy rộng cấp α đạo hàm theo nghĩa cổ điẻn, nguợc lại không Nếu hàm f (x) có đạo hàm suy rộng cấp α chưa có đạo hàm