Nguyên lý xuống thang

Nguyên lý xuống thang

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN – TIN

CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN LÝ XUỐNG THANG

Giảng viên : Thầy Nguyễn Quang Lộc

Nhóm 13 :

Mục lục

2.1 Nguyên lí xuống thang với phương trình nghiệm nguyên

2.2 Nguyên lí xuống thang trong hình học

2.3 Một số bài tập

3 Bài tập tự giải

Tài liệu tham khảo :

- Giáo trình đại số sơ cấp (T/g : Dương Quốc Việt – Đàm Văn Nhỉ)

- Bài tập đại số sơ cấp(T/g : Dương Quốc Việt – Lê Văn Đính)

1 Mở đầu về nguyên lí xuống thang

1.1 Lịch sử

Nguyên lí xuống thang có lịch sử từ thời P Fermat (1602 – 1655) Một bài toán vĩ đại đãlàm hao mòn biết bao trí óc của các nhà toán học suốt mấy thế kỉ nay, đó là bài toán Fermat lớn: Với n≥3 không tồn tại bộ số nguyên nào thỏa mãn phương trình

x +y =z

,mặc dù Fermat đã quả quyết rằng ông đã tìm ra cách chứng minh định lí này nhưng ông không viết ra vì không đủ chỗ

Ông đã viết rằng : Do những phương pháp bình thường đã có trong các sách không đủ

để chứng minh những mệnh đề khó và qua trọng, vì thế tôi đã hoàn thiện một cách đặc bệt để giải quyết những bài toán này Tôi gọi cách chứng minh đặc biệt này là xuống thang không xác định hoặc là xuống thang đến vô cùng

Ban đầu ông chỉ dùng phương pháp này để chứng minh những mệnh đề phủ định Ví dụ:chứng minh rằng “ Không tồn tại một tam giác vuông có số đo các cạnh là các số tự nhiên, mà số đo diện tích của nó là một số chính phương” Để chứng minh mệnh đề nàyông dùng phương pháp sau : Nếu tồn tại một tam giác vuông có số đo các cạnh là các số

tự nhiên mà diện tích của nó là một số chính phương, thì tồn tại một tam giác khác có nhỏ hơn tam giác và cũng có tính chất đó Nếu tam giác thứ hai nhỏ hơn tam giác ban đầu và có cùng tính chất thì lập luận tương tự, tồn tại tam giác thứ ba nhỏ hơn tam giác thứ hai và có cùng tính chất Tiếp tục qua trình này, ta nhận được tam giác thứ 4, thứ 5, và giảm đến vô cùng Số đo một cạnh của tam giác vuông xuất phát là một số tự nhiên, sau mỗi bước thực hiện trên, số đo cạnh này giảm thành một số tự nhiên nhỏ hơn

Do đó, tạo ra một dãy giảm các số tự nhiên Tuy nhiên, dãy số tự nhiên giảm thực sự không thể giảm vô hạn lần Từ đó suy ra không tồn tại tam giác vuông có số đo các cạnh

là các số tự nhiên mà số đo diện tích của nó là một số chính phương

Sau đó, Fermat có nói rằng đã có thể ứng dụng phương pháp này vào chứng minh nhữngmệnh đề khẳng định Ví dụ như “ Mọi số nguyên tố dạng 4n+1 đều biểu diễn thành tổng của hai số chính phương” Nhưng để ứng dụng phương pháp này vào việc chứng minh mệnh đề khác như “ Mọi số có thể biểu diễn thành tổng của không quá bốn số chính phương”, thì ông không để lại chi tiết ứng dụng phương pháp này như thế nào Hơn nữa,hàng loạt các định lí của ông được chứng minh bằng phương pháp này cũng không để lạitính toán, chứng minh chi tiết Trong số đó có định lí lớn Fermat cho tường hợp n=3 Sau này, Euler đã áp dụng có kết quả phương pháp này vào bài toán giải phương trình vôdịnh và từ đó việc chứng minh định lí lớn Fermat cho n=3 được phục hồi Fermat khẳng đinh phương pháp này là của mình đưa ra lần đầu tiên và trước đó không có ai biết đến phương pháp này Tuy nhiên, những cố gắng chứng minh rằng “ lập phương của một số nguyên không thể phân tích thành tổng lập phương của hai số nguyên” được nghiên cứu khoảng năm 1000 ở phương Đông với các nhà toán học Ả Rập đã có nói tới phương pháp này.

Phương pháp xuống thang thời hiện đại giữ một vai trò quan trọng trong giải tích

Diophant với những công trình của J.H.Poncaré và A.Baile Ngày nay, phương pháp nàyvẫn còn được ứng dụng trong lí thuyết số của toán học

1.2 Nguyên lí xuống thang

Giả sử C là một tập các cấu hình, ta giả định C ≠ ∅

.Trên C ta trang bị một quan hệ thứ

tự, do đó ta có thể lấy ra được một phần tử cực tiểu a C∈

Bằng phương pháp xuống thang, chúng ta chỉ ra được b C∈

2.1 Nguyên lí xuống thang với phương trình nghiệm nguyên ( phương trình

Dễ thấy phương trình (*) có một nghiệm tầm thường (0, 0, 0,0)

.Ta chứng minh (*) không còn nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường

Giả sử (*) có nghiệm nguyên ( , , , ) (0,0,0, 0)a b c d ≠

thì d ≠0

(Vì nếu d=0 thì a=b=c=0) Nhận xét: Nếu ( , , , )a b c d là nghiệm của (*) thì ( , , ,a b c d− );( , ,a b c d− −, )

cũng là nghiệm của (*), nên không mất tính tổng quát, ta xét (a,b,c,d) với a,b,c,d>0

Trong số các nghiệm ( , , , )a b c d , ta chọn ( , , , )m n p q với q=mind

Tương tự như vậy, ta suy ra (v r s t, , , )

là nghiệm của (*) với

+ Ta thấy: phương trình (1) có nghiệm (0,0,0,0).Ta sẽ chứng tỏ rằng (1) không có

nghiệm nguyên (x y z, , ) ≠ (0,0, 0)

Sau đây chúng ta chỉ xét nghiệm khác tầm thường

Nhận xét :Nếu (x y z, , )

là nghiệm của (1) thì (x,y,-z);(x,-y,-z)…cũng là nghiệm của (1)

nên chúng ta xét với ( , , )x y z với x>0;y>0;z>0, minz

+ Trước hết ta xét x,y lẻ chẵn khác nhau.Thật vậy,

Ta thấy: VT không chia hết cho 2 còn VP chia hết cho 2 ⟹ Vô lí

Vậy x, y khác tính chẵn lẻ Không mất tính tổng quát, ta giả sử x lẻ, y chẵn

+ Sau đó ta xét x,y,z đôi một nguyên tố cùng nhau.Thật vậy :

⇒ (s,t,r) là nghiệm của phương trình (1) với r < d

⇒ Mâu thuẫn Vậy x,y nguyên tố cùng nhau

Do

2 2

( , , )x y z

là bộ ba Pytago nguyên thủy và x lẻ, y chẵn nên tồn tại a,b nguyên tố cùng

nhau, khác tính chẵn lẻ sao cho

là bộ ba Pytago nguyên thủy ⇒ Tồn tại m,n nguyên tố

cùng nhau, khác tính chẵn lẻ sao cho

1

và

z a= + ⇒ ≥b z a ⇒ z ≥ a

nên mâu thuẫn

2.2 Nguyên lí xuống thang trong hình học

Ví dụ 1: Biết rằng trong tất cả các đa giác n cạnh nội tiếp cùng một đường tròn, luôn tồn tại một đa giác có diện tích lớn nhất.Chứng minh rằng đa giác có diện tích lớn nhất đó phải là đa giác đều.

Giải

Giả sử tồn tại 1 đa giác nội tiếp n cạnh không

đều S và có diện tích lớn nhất trong đường

Thay B bằng B’ sẽ được 1 đa giác S’ có

⇒ − + − + − + − − +

không chia hết cho

1

2k−

Dễ thấy ∆A BC'

và ∆ABC

có cùng diện tích nhưng chu vi tam giác A’BC nhỏ hơn chu

đều

Bài 3:Chứng minh rằng không tồn tại tập hợp M khác rỗng những số tự nhiên có

tính chất sau :Với mọi x thuộc M, tồn tại y thuộc M sao cho



Giải:

Nhận xét: hệ phương trình có nghiệm (0,0, 0,0)

.Giả sử ngược lại hệ có

Trong số các nghiệm này ta chọn được (x y z t0 , , , 0 0 0)

M M

Thay vào (1) ta được:

Vậy hệ phương trình có duy nhất 1 nghiệm tầm thường

Bài tập 5 : Giải hệ phương trình nghiệm nguyên dương sau :

2 2 2 2

2.

(*) ( , ) ( , ) 1

nên mâu thuẫn.

Vậy hệ chỉ có nghiệm tầm thường

Bài 6:Cho2n+2 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng tồn tại 2 điểm mà đường thẳng nối chúng chia mặt phẳng thành

2 miền sao cho mỗi miền chứa đúng n điểm

Giải

Giả sử không tồn tại 2 điểm trong 2n+2 điểm sao cho đường thẳng nối chúng chia mặt phẳng thành 2 miền mà mỗi miền chứa n điểm

(1+1+ +1=2009 chữ số)Muốn S B( ) 2009<

u v

Lấy hai điểm được đánh cùng số tùy ý.Giả sử là 0 1

+ Bước 2: Chứng minh :Với mọi x>0 tồn tại y S∈

sao cho y<x

2.

3

x x

<

.Và làm tương tự như trên ta thấy mâu thuẫn

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 10: Cho biết với giá trị nào của n thì tồn tại n- giác đều với các đỉnh nguyên trong không gian.

Giải:

Trước hết ta chứng minh rằng khi n=3,4,6 thì sẽ tồn tại n-giác đều với các đỉnh

Sau đó ta chứng minh rằng khi n≠3, 4,6

thì sẽ không tồn tại n-giác đều như thế với các đỉnh nguyên.Thật vậy giả sử tồn tại một đa giác đều như thế với số đỉnh n≠3, 4,6

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 11: Cho đa giác lồi A nằm trong đa giác lồi B.Chứng minh rằng chu vi của đa giác A bé hơn chu vi của đa giác B.

Giải

chia đa giác B thành 2 phần.Một trong

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

t t2 Dư khi chia cho 7

Định lí Fermat nhỏ : Giả sử p là số nguyên tố và a là số nguyên nguyên tố cùng nhau

với p (a không là bội của p ) thì

0(mod ) 1(mod )

p p

Trước hết ta nhận xét rằng phương trình có nghiệm tầm thường.Ta sẽ chứng minh

phương trình không có nghiệm nào khác ngoài tầm thường.Ta sẽ chứng minh rằng

phương trình không có nghiệm khác tầm thường

Giả sử phương trình có nghiệm (x y z t0 , , , 0 0 0)

Vậy ta được điều phải chứng minh

Bài 14: Chứng minh rằng phương trình :

không có nghiệm trong tập số hữu tỉ.

Nhận xét: Một số chính phương khi cho 4 sẽ có số dư là 0 hoặc 1

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.

Bài 16: (Bài toán của Euler) Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm