Tính toán và mô phỏng uốn tấm nanocomposite nền polymer cốt graphene

Trong quá trình phát triển, con người luôn có những phát minh phục vụ cuộc sống của mình.

LỜI CẢM ƠN

Chúng em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong viện cơ khí – TrườngĐại học Bách Khoa Hà Nội đã tận tình chỉ dạy chúng em trong suốt 5 năm qua.Chúng em cũng xin cảm ơn các thầy cô trong bộ môn Cơ học vật liệu đã giúp đỡchúng em trong thời gian hoàn thành đồ án tốt nghiệp Đặc biệt chúng em tỏlòng cảm ơn đến thầy Lê Minh Quý đã trực tiếp tận tình hướng dẫn chỉ bảochúng em hoàn thành đồ án này

LỜI NÓI ĐẦU

Trong quá trình phát triển, con người luôn có những phát minh phục vụcuộc sống của mình Việc tìm ra vật liệu mới thay thế vật liệu truyền thống làmột bước tiến của khoa học mà công nghệ na nô được nhắc tới như là một điểnhình Tất cả các máy, kết cấu và dụng cụ có thể được thiết kế từ kích thướcnguyên tử Những tấm graphene có độ bền phá kỷ lục có thể là ý tưởng để thiết

kế những dụng cụ có cấu trúc na nô và kết cấu na nô-composite

Kể từ khi “chất liệu nghi vấn” graphene – các tấm carbon chỉ dày mộtnguyên tử - được khám phá ra vào năm 2004 do hai nhà khoa học người Nga làKonstantin Novoselov và Andre Geim Nó đã tỏ ra là một chất dẫn điện cực kìtốt; một chất bán dẫn có thể dùng để chế tạo transistor; và là một vật liệu rất bền.James Hone, Jeffrey Kysar, Changgu Lee và Xiaoding Wei ở trường đại họcColumbia đã chứng minh cho thấy nó là chất liệu bền nhất từ trước đến nay[1]

Do khó khăn trong nghiên cứu thực nghiệm, mô phỏng số được coi làcông cụ đắc lực mô hình hóa và xác định đặc trưng cơ học của Graphene vàComposite từ nó

Với đề tài: “Tính toán và mô phỏng uốn tấm nanocomposite nền polymer cốt graphene” Đồ án sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và phần mềm Marc

để mô hình hóa và xác định đặc trưng cơ học của graphene và tính toán bài toánuốn tấm nanocomposite nền polymer cốt graphene

Nội dung chính của đồ án được trình bày như sau:

Chương 1 :trình bày về lịch sử phát triển và ứng dụng, cấu trúc và các đặctính của graphene Cơ sở lựa chọn loaị vật liệu composite của graphene đểnghiên cứu

Chương 2 :mô hình hóa tấm graphene bằng phương pháp phần tử hữu hạn

và tính mô đun đàn hồi của tấm graphene

Chương 3 : Mô hình phần tử hữu hạn của bài toán

Chương 4 : Kết quả cho bài toán uốn

Chương 5 : Kết Luận

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Kí hiệu sử dụng trong đồ án 7

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG 9

1.1 Định nghĩa 9

1.2 Lịch sử phát triển và ứng dụng của Graphene 10

1.3 Cấu trúc của Graphene 11

1.4 Các đặc tính của Graphene 12

1.4.1 Đặc tính về cơ học 12

1.4.2 Đặc tính về điện 13

1.4.3 Đặc tính về nhiệt 13

1.5 Cơ sở lựa chọn đề tài 14

CHƯƠNG 2:MÔ HÌNH PTHH VÀ MODUN ĐÀN HỒI CỦA GRAPHENE .16 2.1 Mô hình phần tử hữu hạn cho tấm Graphene 16

2.2 Mô đun đàn hồi của phần tử dầm 17

2.2.1 Hàm thế năng 17

2.2.2 Quan hệ giữa các thông số của mặt cắt ngang và lực 18

2.3 Sơ lược về phương pháp cơ học kết cấu đối với hệ khung không gian 21

2.3.1 Bài toán kéo – nén 22

2.3.2 Bài toán uốn 23

2.3.3 Bài toán xoắn 25

2.3.4 Bài toán kéo, uốn, xoắn đồng thời 26

2.4 Tính toán cơ tính của tấm graphene 27

2.4.1 Kéo theo phương armchair 27

2.4.2 Kéo theo phương zigzac 28

CHƯƠNG 3 : MÔ HÌNH PTHH CỦA BÀI TOÁN 29

3.1 Đặc trưng vật liêu 29

3.2 Mô tả bài toán 29

3.3 Xây dựng mô hình 29

CHƯƠNG 4 : KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 32

4.1 Lý thuyết tấm Kirchoff 32

4.2 Kết quả bài toán theo phương pháp giải tích 34

4.3 Kết quả bài toán theo phần mềm Marc 35

4.3.1 Mô hình 100% nhựa Epoxy 36

4.3.2 Mô hình Vs=2.5% 37

4.3.3 Mô hình Vs= 5% 38

4.3.4 Mô hình Vs= 10% 39

4.3.5 Mô hình Vs= 15% 40

4.3.6 Mô hình Vs= 20% 41

4.4 Sự phụ thuộc độ võng tấm vào số lớp Graphene trên nền Epoxy 42

CHƯƠNG 5 : KẾT LUẬN 44

Tài liệu tham khảo 45

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Kí hiệu sử dụng trong đồ án

E Mô đun đàn hồi

E d Mô đun đàn hồi của phần tử dầm

Vs % thể tích graphene trong composite

G d Mô đun trượt của phần tử dầm

L Chiều dài của phần tử dầm

d Đường kính của phần tử dầm

A 0 Diện tích mặt cắt ngang của phần tử dầm

L 0 Chiều dài ban đầu của Graphene

h Chiều dày tấm Composite

b Chiều rộng của tấm Composite

P Lực phân bố đều tác dụng lên Composite

J x Mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm theo trục x

J y Mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm theo trục y

J Mô men quán tính độc cực mặt cắt ngang của dầm

J 0 Mô men quán tính độc cực mặt cắt ngang của ống na nô các bon

k r Hệ số dãn dài trong hàm thế năng

k θ Hệ số uốn trong hàm thế năng

k τ Hệ số chống xoắn trong hàm thế năng

D Độ cứng uốn của Tấm Composite

M x Mô men uốn

M z Mô men xoắn

N z Lực dọc trục

F Lực kéo tác dụng lên tấm Graphene

P tl Giá tri lớn nhất của lực kéo trong giai đoạn đàn hồi của mẫu thử

A Diện tích mặt cắt ngang của Graphene

Kí hiệu sử dụng trong đồ án (tiếp)

U r Năng lượng liên kết khi kéo trong hàm thế năng

U θ Năng lượng liên kết khi uốn trong hàm thế năng

U Ф Năng lượng liên kết khi xoắn trong hàm thế năng

U ω Năng lượng liên kết khi xoắn không cùng mặt phẳng

U vdw Năng lượng tương tác do lực Van der Waals

W Độ võng của tấm Composite

ΔLL Biến dạng dài của tấm

ΔLr Độ giãn dài trong hàm thế năng

ΔLθ Góc uốn trong hàm thế năng

ΔLФ Góc xoắn trong hàm thế năng

β Góc xoắn của điểm cuối dầm

γ Góc trượt (Độ trượt tương đối)

φ Góc xoay của mặt cắt ngang

1.1 Định nghĩa

Graphene là một dạng thù hình của các bon với kết cấu na nô.Graphene là tấm phẳng dày bằng một lớp nguyên tử của các nguyên tửcácbon với liên kết sp2 tạo thành dàn tinh thể hình tổ ong Tên gọi của nó đượcghép từ "graphit" (than chì) và hậu tố "-en" (tiếng Anh là "-ene"); trong đó chínhthan chì là do nhiều tấm graphen ghép lại [1]

Hình 1.1 Tấm Graphene

1.2 Lịch sử phát triển và ứng dụng của Graphene

Graphene – các tấm carbon chỉ dày một nguyên tử - được khám phá ra vào năm 2004 do hai nhà khoa học người Nga là Konstantin Novoselov và Andre Geim Với sự khám phá đó năm 2010 giải Nobel Vật Lý đã được trao cho hai nhà khoa học này[2]

Graphen có nhiều tính chất chưa từng gặp ở các vật liệu khác, và các số

đo tính năng của nó gây chấn động trong giới vật lý, hóa học và đặc biệt, điện tửhọc

Về tính chất vật lý, graphen là loại vật liệu rất cứng, cứng hơn cả kimcương, độ bền cao hơn thép trên 200 lần, những ở dạng đơn lớp lại dẻo như mộtmiếng nhựa, có thể bẻ cong, gấp hoặc cuộn lại thành ống Nó trong suốt chophép tối thiểu 90% ánh sáng đi qua, điện trở thấp hơn chất dẫn điện trong suốttiêu chuẩn là indi-thiếc oxit nên mở ra một ứng dụng rộng rãi trong việc sản xuất

màn hình cảm ứng chất lượng cao, pin mặt trời, thiết bị lưu trữ năng lượng vàdần dần có thể thay thế silicon trong lĩnh vực sản xuất chip máy tính tốc độcao[2].

Nó dẫn điện tử nhanh hơn bất cứ vật liệu nào đã biết, giống như chuyểnđộng của một hạt không trọng lượng của thuyết tương đối (massless relativisticparticle) là photon Từ đó nó trở thành vật liệu để thực hiện trong phòng thínghiệm nhằm kiểm tra lại những dự đoán của cơ học lượng tử tương đối tính màtrước đây người ta cho rằng chỉ có thể quan sát thấy trong các máy gia tốc hạt Trong lĩnh vực sản xuất các thiết bị vi điện tử, nhờ tính chất độc đáo củamình, các transistor graphen đã tạo ra những linh kiện rất đa dạng và ưu việt,đáp ứng nhu cầu của nhiều thiết bị mà nếu không phải nhà chuyên môn, người takhó hình dung Những mạch tích hợp (IC) dùng graphen đã thu nhỏ được kíchthước đến tối đa mà vẫn bảo đảm (và nâng cao) tính năng các thiết bị vi điện tử -một hướng tiểu hình hóa (micronisation) thiết bị đang diễn ra

Ngành Sinh học gần đây cũng “nhòm ngó” đến graphen Người ta đang

thiết kế những thiết bị điện tử trên cơ sở những linh kiện chế tạo từ graphen đểphân tích ADN và bộ gen người và các động thực vật với hy vọng sẽ có năngsuất cao hơn và chính xác hơn Viện Hàn lâm khoa học Trung quốc cũng pháthiện những tấm ôxit graphene có tính sát khuẩn cao và có khả năng dùng làmdụng cụ đựng thực phẩm có tác dụng bảo quản lâu dài

Chính những thành công trong nghiên cứu ứng dụng, người ta triển khairất nhanh chóng các kết quả vào thực tế Ngành công nghiệp graphene đã khaithác các phương pháp tổng hợp vật liệu này trên quy mô công nghiệp (ở đây,phương pháp hóa học có vai trò quan trọng) và giá thành sản xuất ngày cànggiảm [2]

1.3 Cấu trúc của Graphene.

Về cơ bản graphene là tấm phẳng dày bằng một lớp nguyên tử của

các nguyên tử cácbon (0.147nm) với liên kết sp2 tạo thành dàn tinh thể hình tổong (lục giác đều), độ dài liên kết 0.142nm Graphene có hai phương chính làphương zigzag và phương zrmchair[3]

Hình 1.2 Cấu trúc của graphene Phương y ( phương zigzag); Phương x (phương armchair)

1.4 Các đặc tính của Graphene.

1.4.1 Đặc tính về cơ học.

Graphen là chất cực kỳ cứng, hơn cả kim cương, độ bền cao hơn thép trên

200 lần, những ở dạng đơn lớp lại dẻo như một miếng nhựa, có thể bẻ cong, gấphoặc cuộn lại thành ống Mô đun kéo và độ bền của Graphene nằm trong khoảng2.3-2.6 TPa và 11-200 GPa [3] Trong hình 1.4, graphene thể hiện tính vượt trội

về độ bền so với sợi các bon, thép

y

x

Graphene Sợi Thủy Tinh Thép Epoxy 0

kỹ thuật tản nhiệt chip Chỉ 1 lớp nguyên tử C rất khó quan sát Song nhờ kỹthuật quan sát dựa trên đầu dò (tip) của kính hiển vi lực nguyên tử (atomic forcemicroscope – AFM), họ ghi nhận được mức biến thiên nhiệt ở độ phân giải nhỏđến từng nguyên tử Và theo quan sát thì graphene có mức tản nhiệt cao hơnmức sinh nhiệt [4]

1.5 Cơ sở lựa chọn đề tài

Kể từ khi ra đời graphene, nó đã tỏ ra là một chất dẫn điện cực kì tốt, mộtchất bán dẫn có thể dùng để chế tạo transistor, và là một vật liệu rất bền Với cácđặc tính về điện tử, nhiệt điện đã và đang được các nhà khoa học trên thế giớinghiên cứu để chế tạo ra những thiết bị bán dẫn mới, chíp điện tử siêu nhỏ…Việc ứng dụng các đặc tính cơ học của graphene để tạo ra những vật kiệu siêubền cơ vẫn là một bài toán khó đối với các nhà khoa học bởi lẽ hai lý dosau : Việc chế tạo graphene phẳng đã rất khó khăn chưa nói đến việc phải địnhhình chúng để tạo ra các kết cấu cơ học, việc chế tạo các tâm kích thướcnanomet trở thành những kết cấu lớn là một điều không tưởng và giá thành của

nó rất cao so với những vật liêu truyền thống Thế nhưng với sự phát triển củakhoa học gần đây các nhà nghiên cứu trên thế giới đã phát hiện ra việc chế tạographene không phải là một điều khó khăn và sắp tới sẽ phát triển ngành côngnghiệp chế tạo graphene

‘‘Các nhà nghiên cứu ở Mĩ vừa nhận thấy việc chiếu một camera flash vàographite oxide đủ để tạo ra graphene – những tấm carbon dày một nguyên tử lầnđầu tiên được khám phá ra vào năm 2004 có những tính chất cơ và điện độc nhất

vô nhị Quá trình mới này còn có thể sử dụng để những khuôn graphene phứctạp có thể tích hợp vào các mạch điện tử gốc carbon nhanh và linh hoạt’’

Mới đây Các nhà khoa học công nghệ Sydney (UTS) cho hay, họ tạo rađược vật liệu hỗn hợp từ than chì mỏng như một tờ giấy nhưng bền gấp 10 lầnthép Công trình này được công bố trên tờ Journal of Applied Physics GSGuoxiu Wang, thành viên trong nhóm nghiên cứu giới thiệu về mẫu cấu trúcnano của giấy graphene, một vật liệu có thể làm thay đổi ngành công nghiệp chếtạo ô tô, ngành hàng không và công nghiệp điện cũng như quang học

Giấy graphene là một vật liệu được xử lý, định dạng và tái cấu trúc từtrạng thái nguyên thủy của than chì Các nhà khoa học ở UTS đã thành công khinghiền than chì thô, tinh lọc bằng hóa chất để định dạng và tái cấu trúc của nóthành cấu trúc nano và như thế có thể dàn mỏng thành giấy

Kim cương và graphene đều là những vật liệu hình thành từ carbon Sự khácnhau duy nhất giữa chúng là, kim cương bao gồm những tinh thể ba chiều, còngraphene gồm những tinh thể hai chiều

Hinh 1.4 : Giấy graphene

Qua hàng loạt quy trình xử lý, các nhà khoa học thu được một vật liệu mà nếu sovới thép, chúng nhẹ hơn 6 lần, tỉ trọng thấp hơn 5-6 lần, cứng hơn gấp 2 lần và

độ co dãn tốt hơn 10 lần, khả năng chịu uốn gấp 13 lần

Ali Reza Ranjbartoreh, người đứng đầu nhóm nghiên cứu cho rằng:Việc tạo ragiấy graphene sẽ mang lại lợi ích lâu dài cho ngành công nghiệp xe hơi và hàngkhông, cho phép các nhà sản xuất tạo ra những chiếc xe ô tô và máy bay nhẹhơn, độ bền cao, tiêu thụ ít nhiên liệu, ít ô nhiễm, chi phí vận hành rẻ và gópphần giữ gìn môi trường sinh thái [4]

Với những nghiên cứu đột phá của các nhà khoa học trên thế giới chúng

ta thấy việc nghiên cứu các đặc tính cơ học của vật liệu nanocomposite với cốt

là các tấm graphene là điều sớm muộn Với sự hỗ trợ của máy tính và phầmmềm Marc bọn em đã lựa chọn đề tài nghiên cứu các đặc trưng cơ học củagraphene và nanocomposite của nó với polymer Đồ án trình bày bài toán uốntấm nanocomposite và sự phụ thuộc của độ võng tấm khi chịu uốn vào tỉ lệgraphene có trong tấm nanocoposite từ đó đưa ra các nhận định về loại vật liệumới này

CHƯƠNG 2

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ TÍNH MODUN ĐÀN HỒI CỦA TÂM GRAPHENE

2.1 Mô hình phần tử hữu hạn cho tấm Graphene

Như đã nói ở trên, các nguyên tử các bon của graphene liên kết với nhautheo mối liên kết đồng hóa trị tạo thành lưới lục giác Các liên kết này có đặctrưng liên kết là chiều dài liên kết và góc liên kết trong không gian Chuyển vịcủa mỗi nguyên tử riêng biệt dưới tác dụng của ngoại lực bị ràng buộc bởi cácliên kết Do đó, tổng biến dạng của graphene là kết quả tương tác giữa các liênkết Bằng cách coi các liên kết như phần tử liên kết mang tải trọng, và nguyên tửnhư khớp của phần tử liên kết, Graphene có thể được mô phỏng như kết cấukhung không gian

Với việc coi Graphene như kết cấu khung không gian, các ứng xử cơ học

có thể được phân tích sử dụng phương pháp cơ học kết cấu cổ điển Trong đồ ánnày, mô hình phần tử hữu hạn 3 chiều được đưa ra để xác định các đặc tính cơhọc của Graphen Mô hình phần tử hữu hạn 3 chiều được xây dựng bởi phầnmềm MARC và phần tử được sử dụng để thay cho liên kết là phần tử dầm 52.Mỗi phần tử có 6 bậc tự do tại mỗi nút: tịnh tiến dọc trục Ox, Oy, Oz; quayquanh trục Ox, Oy, Oz, với Oxyz là hệ tọa độ đặt tại nút Phần tử được sử dụng

là phần tử 2 nút

Hình 2.1 miêu tả các lục giác, là thể liên tục của phần tử của kết cấu na

nô, được mô phỏng như phần tử kết cấu của khung không gian Nói cách khác,toàn bộ lưới Graphen được mô phỏng Mô hình cần có sự tương ứng giữa chiềudài liên kết c c với chiều dài phần tử L cũng như bề dày tấm t với độ dày phần

tử Bằng cách thừa nhận diện tích mặt cắt ngang của phần tử thì t tương ứng vớiđường kính d của phần tử

Đặc điểm về hình học và mô đun của các phần tử dầm sử dụng để thay thế chocác liên kết sẽ được tính toán qua mối liên kết giữa các nguyên tử và phươngpháp cơ học môi trường liên tục

Hình 2.1 Mô hình tấm Graphene trong kết cấu không gian

2.2 Mô đun đàn hồi của phần tử dầm

Dưới quan điểm của cơ học phân tử, Graphen được coi như phân tử lớnchứa các nguyên tử các bon Nhân nguyên tử được coi như chất điểm và chuyểnđộng của chúng được quy định bởi trường lực tạo bởi tương tác electron – nhân,nhân – nhân Trường lực được biểu diễn dưới dạng thế năng trong không gian,

và chỉ phụ thuộc duy nhất vào vị trí tương đối của các nguyên tử cấu thành nênphân tử Tổng thế năng không gian, khi bỏ qua tương tác tĩnh điện, sẽ là tổngnăng lượng để liên kết hay là tương tác giữa các liên kết và tương tác giữa cácliên kết - không liên kết Theo [5]

w

U U U U U U (2.1)

Trong đó: U r, U, U, U, U vdw lần lượt là năng lượng liên kết khi kéo, nănglượng liên kết uốn, năng lượng liên kết xoắn trong góc nhị diện, năng lượng liênkết xoắn không cùng mặt phẳng, năng lượng tương tác do lực Van der Waals

Trong một hệ liên kết đồng hóa trị, tổng năng lượng liên kết trong khônggian chủ yếu phụ thuộc vào 4 thành phần đầu Với giả định biến dạng nhỏ, việcxấp xỉ điều hòa có thể được dùng để biểu diễn liên kết Để cho bài toán đơn giản

và tiện lợi, ta chấp nhận dạng dao động điều hòa đơn giản nhất và kết hợp gócxoắn nhị diện và xoắn lệch trong một phương trình tương đương đơn giản [5]:

 2

2 0

 r, , là dộ giãn dài, sự thay đổi góc uốn và góc xoắn

2.2.2 Quan hệ giữa các thông số của mặt cắt ngang và lực

Trong Graphene, các nguyên tử các bon liên kết với nhau bằng mối liênkết đồng hóa trị dưới dạng lưới hexa trên tấm Graphene Mỗi liên kết này có đặcđiểm liên kết là chiều dài liên kết và góc liên kết trong không gian 3 chiều KhiGraphene chịu tác dụng của ngoại lực, chuyển vị của mỗi nguyên tử riêng biệt bịràng buộc bởi những liên kết này Tổng biến dạng của Graphene là của tương

tác giữa các liên kết Bằng việc coi mỗi liên kết đồng hóa trị như một phần tửliên kết giữa các nguyên tử các bon, Graphene có thể được mô hình hóa như mộtkết cấu khung không gian Mỗi nguyên tử các bon được coi như một khớp củaphần tử liên kết.

Hình 2.3 Kéo (a), uốn (b) và xoắn (c) thuần túy phần tử

Dưới đây chúng ta thiết lập quan hệ giữa các thông số của mặt cắt ngangtrong cơ học kết cấu và lực trong cơ học phân tử Để đơn giản, mặt cắt của cácliên kết coi như đồng nhất và giống nhau Theo đó có thể thừa nhận Jx = Jy và chỉ

có 3 thông số độ cứng EdA, EdJx, GdJ cần xác định

Vì biến dạng của khung không gian là kết quả của sự thay đổi năng lượngbiến dạng, nên 3 thông số độ cứng được xác định trên cơ sở các năng lượngtương đương Chú ý rằng mỗi hàm năng lượng trong cơ học phân tử được biểudiễn trong một tương tác riêng biệt và không có sự sự liên quan nào giữa cácliên kết, năng lượng biến dạng của phần tử cần được xem xét dưới dạng các lựcriêng biệt

Theo lý thuyết cơ học kết cấu cổ điển, năng lượng biến dạng của dầm cóchiều dài L chịu kéo thuần túy dọc trục với lực độ lớn Nz là (công thức (13),[6]):

 

2 0

Năng lượng biến dạng của dầm khi chịu uốn thuần túy với mô men Mx là [5]:

 

2

2 2

Năng lượng biến dạng của dầm khi chịu xoắn thuần túy với mô men Mz là [5]:

 

2 0

So sánh hai phương trình tương ứng từ (2.1) đến (2.7) ta thấy: cả Ur và UA

đều biểu diễn năng lượng kéo, cả U và U M đều biểu diễn năng lượng uốn, và cả

U và U T đều biểu diễn năng lượng xoắn Như vậy là hoàn toàn hợp lí khi thừanhận rằng góc quay 2α tương ứng với tổng sự thay đổi của góc liên kết   ,

L

 tương ứng r, và   tương ứng   Bằng việc so sánh hai phương trìnhtương ứng (2.2) – (2.7) và (2.3) – (2.6), ta suy ra liên hệ giữa các thông số kếtcấu cơ học EA, EJx, GJ và các thông số cơ học phân tử k k k r, ,  như sau (côngthức (16)[6],

Coi dầm có đường kính d, và với A d2/ 4, J x d4/ 64 và J  d4/ 32,thay vào phương trình (2.8) ta được:

2 2

2

r r

và L = aC-C = 0,1421 nm Từ phương trình (2.9) suy ra: d = 0,147 nm, Ed = 5,49 TPa, Gd = 0,871 TPa.

Hình 2.4 Mô hình khung không gian của Graphene.

2.3 Sơ lược về phương pháp cơ học kết cấu đối với hệ khung không gian

Phân tích kết cấu cơ học có thể là sự xác định chuyển vị, biến dạng, ứngsuất của kết cấu dưới điều kiện tải trọng đặt Trong đó, phương pháp ma trận độcứng thường hay được sử dụng Phương pháp này có thể dễ dàng áp dụng chophân tích kết cấu của bất kì mô hình hình học nào và có thể giải các bài toán đànhồi tuyến tính tĩnh

Hình 2.3 Phần tử dầm trong kết cấu khung không gian

Dưới đây trình bày phương pháp ma trận độ cứng cho mô hình khungkhông gian đàn hồi tuyến tính

Đối với một phần tử trong khung không gian như hình 2.3, phương trình cânbằng phần tử có thể được viết như sau [5]:

[K]{u}={f }

 u  u u u x1 , y1 , z1 , x1 , y1 , z1 ,u u x2 , y2 ,u z2 , x2 , y2 , z2  

 f   f x1 ,f y1 ,f m m m z1 , x1 , y1 , z1 ,f x2 ,f y2 ,f z2 ,m m x2 , y2 ,m z2  

ux1, uy1, uz1 lần lượt là chuyển vị theo phương Ox, Oy, Oz của nút 1

ux2, uy2, uz2 lần lượt là chuyển vị theo phương Ox, Oy, Oz của nút 2

θx1, θy1, θz1 lần lượt là góc xoay của mặt cắt ngang của thanh tại nút 1 quanh trục

Ox, Oy, Oz

θx2, θy2, θz2 lần lượt là góc xoay của mặt cắt ngang của thanh tại nút 2 quanh trục

Ox, Oy, Oz

fx1, fy1, fz1 lần lượt là lực tác dụng lên nút 1 theo phương Ox, Oy, Oz

fx2, fy2, fz2 lần lượt là lực tác dụng lên nút 2 theo phương Ox, Oy, Oz

mx1, my1, mz1 lần lượt là mô men đối với trục Ox, Oy, Oz tại nút 1

mx2, my2, mz2 lần lượt là mô men đối với trục Ox, Oy, Oz tại nút 2

Vì kết cấu làm việc trong miền đàn hồi và biến dạng bé, nên áp dụngnguyên lý độc lập tác dụng của lực, lời giải của bài toán sẽ là tổ hợp của lời giảibài toán thanh chịu kéo nén, thanh chịu uốn và thanh chịu xoắn

2.3.1 Bài toán kéo – nén

Quan hệ lực nút - chuyển vị nút trong bài toán kéo nén thuần túy được viết dưới dạng ma trận như sau:

kéo nén có thể biểu diễn bằng ma trân 12x12, hệ (2.10) được viết lại dưới dạng:

2.3.2 Bài toán uốn

a) Uốn trong mặt phẳng Oxz

Quan hệ lực nút – chuyển vị nút trong bài toán uốn thuần túy trong mặt phẳng Oxz được viết dưới dạng:

b) Uốn trong mặt phẳng Oyz

Quan hệ lực nút – chuyển vị nút trong bài toán uồn thuần túy trong mặt

phẳng Oyz được viết dưới dạng:

Tại mỗi nút của phần tử khung có 6 bậc tự do, nên cả 2 nút của phần tử

khung có tất cả 12 bậc tự do, ma trận độ cứng của phần tử khung trong bài toán

uốn thuần túy có thể biểu diễn bằng ma trân 12x12, hệ (2.10) được viết lại dưới

dạng: