Ứng dụng phương pháp ma trận mật độ trong làm lạnh nguyên tử bằng Laser

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ XUÂN HẢI ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC MÃ SỐ: 60.44.01.09 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học TS ĐINH PHAN KHÔI VINH, 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Vật lý công nghệ thầy giáo, cô giáo thuộc chuyên ngành Quang học nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Đinh Phan Khôi hướng dẫn thực luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Huy Công PGS.TS Vũ Ngọc Sáu đọc góp ý chỉnh sửa luận văn Tôi xin cảm ơn bạn học viên chuyên ngành Quang học khóa 21 giúp đỡ suốt trình học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu tập thể giáo viên Trường THPT Quỳ Hợp người thân gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Vinh, tháng năm 2015 Tác giả Lê Xuân Hải MỤC LỤC Lời cảm ơn ……………………………………………………………………………………………………… Mục lục ……………………………………………………………………………………………………………… MỞ ĐẦU ………………………………………………………………………………………………………… NỘI DUNG Chương MA TRẬN MẬT ĐỘ 1.1 Tương tác nguyên tử hai mức với trường laser …………………………… 1.2 Ma trận mật độ …………………………………………………………………………………… …… 1.2.1 Khái niệm ma trận mật độ ………………………………………………………………….… 1.2.2 Phương trình ma trận mật độ ……………………………………………………………… 1.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử ………………………………………………………… 1.3.1 Quang lực ……………………………………………………………………………………………… 1.3.2 Quang lực tác dụng lên nguyên tử đứng yên ……………………………………… 1.3.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử chuyển động ……………………………… Chương ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ Trang 7 10 10 12 15 TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER 2.1 Các kỹ thuật hãm chuyển động nguyên tử ……………………………………… 2.1.1 Dùng chirp tần số laser ………………………………………………………………………… 2.1.2 Thay đổi tần số dịch chuyển nguyên tử từ trường …………………… 21 24 25 2.1.3 Thay đổi tần số dịch chuyển nguyên tử điện trường ……………… 26 2.1.4 Thay đổi độ dịch Doppler ánh sáng khuếch tán ……………………… 2.2 Làm lạnh Doppler ……………………………………………………………………………………… 2.2.1 Nguyên lý ……………………………………………………………………………………………… 27 29 29 2.2.2 Giới hạn làm lạnh Doppler …………………………………………………………………… 31 KẾT LUẬN …………………………………………………………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………………………………… 35 36 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, Quang học lượng tử có nhiều ứng dụng lĩnh vực khoa học, kĩ thuật đời sống, đặc biệt lĩnh vực liên quan đến Vật lý laser Cơ học lượng tử Vật lý thống kê tảng để nghiên cứu Quang học lượng tử Trong Cơ học lượng tử, trạng thái lượng tử mô tả hàm sóng trạng thái khiết Tuy nhiên hệ lượng tử trạng thái mô tả hàm sóng Các trạng thái trạng thái trộn lẫn Trong Cơ học cổ điển, cách mô tả thống kê sử dụng thông tin đầy đủ hệ Đối với hệ lượng tử, có thông tin đầy đủ hệ, hệ nằm trạng thái trộn lẫn Để mô tả hệ trạng thái trộn lẫn, sử dụng khái niệm ma trận mật độ thay cho hàm sóng Trong khuôn khổ luận văn cao học “ Ứng dụng phương pháp ma trận mật độ làm lạnh nguyên tử laser”, trước tiên, trình bày tổng quan tương tác hệ nguyên tử trường laser, phương pháp dùng ma trận mật độ để mô tả hệ nguyên tử trạng thái trộn lẫn Tiếp theo, khảo sát ứng dụng cụ thể quang học lượng tử làm lạnh nguyên tử laser Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu phương pháp ma trận mật độ, làm lạnh nguyên tử laser Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn tương tác nguyên tử hai mức với trường laser, phương pháp ma trận mật độ, làm lạnh nguyên tử laser Phương pháp nghiên cứu Luận văn áp dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết bao gồm: Phương pháp giải tích Cơ học ma trận NỘI DUNG Chương MA TRẬN MẬT ĐỘ 1.1 Tương tác nguyên tử hai mức với trường laser Xét hệ nguyên tử có hai trạng thái ứng với lượng riêng hω1 hω2 đặt trường laser có tần số ω ≈ ω − ω1 hình 1.1[3]: Hình 1.1 Sơ đồ nguyên tử hai mức tương tác với trường laser Vì giả thiết nguyên tử có hai mức lượng, theo nguyên lý chồng chất trạng thái, hàm sóng hệ lượng tử hai mức tương tác với trường viết dạng : ψ (t ) = c1 (t ) + c2 (t ) , (1.1) hệ số c1(t), c2(t) phụ thuộc vào thời gian Phương trình Schrodinger mô tả tiến triển theo thời gian hệ là: d ψ (t ) i , = Hψ (t ) dt h (1.2) với H = H0 + HI (1.3) Trong biểu thức (1.3), H0 HI tương ứng thành phần Hamilton nguyên tử tự Hamilton tương tác nguyên tử trường Trong gần lưỡng cực điện, thành phần Hamilton có dạng : H = hω1 1 + hω2 2 , r r H I = − d E = −(d12 + d 21 ) E , (1.4) (1.5) ∗ với d12 = d 21 = d phần tử ma trận mômen lưỡng cực điện dịch chuyển hai trạng thái ; E độ lớn vectơ cường độ điện trường sóng ánh sáng lấy trung bình phạm vi kích thước nguyên tử Giả thiết cường độ trường ánh sáng biểu diễn dạng phức: E = E0 cos ωt = E0 iωt (e + e −iωt ) , (1.6) với E0 biên độ dao động vectơ cường độ điện trường Lúc đó, phương trình mô tả thay đổi hệ số c1 c2 viết thành: , c& = −iω1 c1 + iΩc2 cos ωt (1.7) c&2 = −iω2 c2 + iΩc1 cos ω t (1.8) đó: Ω= d 21 E0 , h (1.9) gọi tần số Rabi cộng hưởng Vì trường kích thích có tần số cao nên hệ số c 1(t) c2(t) đại lượng biến thiên nhanh theo thời gian Do việc giải toán dừng chúng không áp dụng Để sử dụng nghiệm dừng, đặt : c1 = C1eiω1t , (1.10) c2 = C2 eiω2t (1.11) C1 = C1(t); C2 = C2(t) biên độ biến thiên chậm theo thời gian Thay vào phương trình (1.7) (1.8) ta được: Ω C&1 = i  ei (ω21 −ω ) t + ei (ω21 +ω )t  C2 , (1.12) Ω C&2 = i e −i (ω21 −ω )t + e −i (ω21 +ω )t  C1 (1.13) Khi tần số trường laser ω tiến gần tới tần số dịch chuyển nguyên tử ω21 = ω2 − ω1 , số hạng chứa e ± i (ω21 +ω )t dao động nhanh (cỡ 1015 Hz) so với số hạng chứa e ± i (ω21 −ω )t Lúc đó, số hạng biến thiên nhanh (1.12) (1.13) loại bỏ (gọi phép gần sóng quay) Kết ta được: Ω C&1 ≈ i C2 ei (ω21 −ω )t , (1.14) Ω C&2 ≈ i C1e − i (ω21 −ω )t (1.15) Giải hệ phương trình ta thu nghiệm C1 C2 là: C1 (t ) = ( a1eiΩ′t /2 + a2 e − iΩ′t /2 ) e ( i δ / 2) t C2 (t ) = ( b1eiΩ′t / + b2 e −iΩ′t / ) e , − i ( δ / 2) t (1.16) , (1.17) đó, δ = ω21 − ω gọi độ lệch tần số, Ω ′ xác định: Ω′ = Ω2 + δ , (1.18) gọi tần số Rabi suy rộng Các hệ số tích phân a1, a2, b1 b2 xác định từ điều kiện ban đầu: a1 = [ (Ω ′ − δ )C1 (0) + ΩC2 (0)] , 2Ω ′ (1.19) a2 = [ (Ω ′ + δ )C1 (0) − ΩC2 (0)] , 2Ω ′ (1.20) b1 = [ (Ω ′ + δ )C2 (0) + ΩC1 (0)] , 2Ω ′ (1.21) b2 = [ (Ω′ − δ )C2 (0) − ΩC1 (0)] 2Ω ′ (1.22) Khi đó, ta có:    Ω ′t  iδ Ω  Ω ′t    Ω ′t   i ( δ /2) t , C1 (t ) = C1 (0) cos  ÷ − ′ sin  ÷ + i ′ C2 (0) sin  ÷ e   Ω      Ω     Ω′t  iδ Ω  Ω′t    Ω ′t   − i( δ /2 ) t C2 (t ) = C2 (0) cos  ÷+ ′ sin  ÷ + i ′ C1 (0)sin  ÷ e   Ω      Ω  (1.23) (1.24) Các nghiệm thoả mãn điều kiện chuẩn hoá: C1 (t ) + C2 (t ) = 2 (1.25) 2 Nếu giả thiết ban đầu hệ lượng tử trạng thái C1 (0) = C2 (0) = Với điều kiện ràng buộc này, phương trình (1.23) (1.24) viết lại là:   Ω′t  iδ  Ω′t  i( δ /2 ) t , C1 (t ) = cos  ÷− ′ sin  ÷ e      Ω  Ω  Ω′t   −i( δ / 2) t C2 (t ) = i sin  ÷ e    Ω′ (1.26) (1.27) 1.2 Ma trận mật độ 1.2.1 Khái niệm ma trận mật độ Trong mục 1.1, dẫn phương trình cho tiến triển theo thời gian biên độ xác suất hệ nguyên tử hai mức lượng trường laser Tuy nhiên, tác dụng trình dịch chuyển hấp thụ, phát xạ tự phát phát xạ cưỡng tạo nên trạng thái pha trộn nguyên tử so với trạng thái khiết ban đầu Lúc đó, dùng phương trình Schrodinger để mô tả trạng thái trộn lẫn hệ nguyên tử mà phải dùng ma trận mật độ Xét khai triển hàm sóng toàn phần ψ hệ nguyên tử theo hệ hàm riêng khiết { φn } ứng với hệ số khai triển ci, ta có [3]: n ψ = ∑ ciφi (1.28) i =1 Phần tử ma trận mật độ định nghĩa là: ρij = φi ρ φ j = φi ψ ψ φ j = ci c∗j , (1.29) hay dạng toán tử: ρ= ψψ (1.30) Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta rút điều kiện chuẩn hóa cho ma trận mật độ: Tr ( ρ ) = ψ ψ = (1.31) Các phần tử nằm đường chéo ρ ii = ci đặc trưng cho độ cư trú ∗ nguyên tử trạng thái i ; phần tử nằm đường chéo ρij = ci c j đặc trưng cho độ kết hợp trạng thái i j Với định nghĩa ma trận mật độ, giá trị kỳ vọng toán tử A viết: A = 〈 ∑ ciφi | A | ∑ c jφ j 〉 = ∑ ρ ji Aij = ∑ ( ρ A) jj = Tr ( ρ A) i j i, j (1.32) j đây, Tr ký hiệu vết ma trận tổng tất số hạng nằm đường chéo ma trận ρ A 1.2.2 Phương trình ma trận mật độ Để thiết lập phương trình ma trận mật độ, xuất phát từ phương trình Schrodinger cho hàm sóng: d ψ (t ) i = Hψ (t ) dt h (1.33) Nhân trái hai vế phương trình với ψ đồng thời sử dụng biểu thức định nghĩa (1.29) (1.30) biến đổi đưa [3]: dρ i = − [ H, ρ] dt h (1.34) Phương trình (1.34) gọi phương trình ma trận mật độ Liouville hay phương trình Von Neumann Phương trình (1.34) chưa bao hàm phân rã trạng thái phát xạ tự phát Khi cần mô tả hệ kèm theo ảnh hưởng phân rã tự phát ta đưa vào khái niệm ma trận tích thoát Γ có phần tử xác định: Γ nm = n Γ m = γ nδ nm , (1.35) với γn δmn tương ứng biểu diễn tốc độ phân rã trạng thái n hàm delta kronecker Khi đó, phương trình chuyển động ma trận mật độ trở thành [3]: dρ i = − [ H , ρ ] − { Γ, ρ } , dt h (1.36) { Γ , ρ } = Γ ρ + ρΓ (1.37) đó: Xét trường hợp đơn giản nhất, nguyên tử hai mức đặt trường laser, ma trận mật độ có dạng: ρ12  ρ ρ =  11   ρ 21 ρ 22  10 (1.38) chúng Dĩ nhiên, nguyên tử trạng thái kích thích hấp thụ ánh sáng từ chùm laser kích thích, lần hấp thụ chúng phải trở trạng thái phân rã tự phát, kèm theo phát xạ ánh sáng huỳnh quang Sự phát xạ ánh sáng huỳnh quang dẫn tới thay đổi xung lượng nguyên tử đối xứng không gian trình phát xạ nên trung bình thay đổi xung lượng không sau nhiều lần phát xạ huỳnh quang Bởi vậy, nguyên tử bị làm chậm theo hướng chùm tia laser làm chậm cực đại bị giới hạn tốc độ phát xạ huỳnh quang tự phát Hình 2.1 Sơ đồ bố trí thiết bị làm chậm chùm nguyên tử Một từ trường giảm dần tạo lớp có chiều dài khác Solenoit Quá trình làm chậm nguyên tử đạt tới cực đại cường độ ánh sáng lớn bị giới hạn nguyên tử phải phân chia khoảng thời gian sống đồng trạng thái trạng thái kích thích Ánh sáng cường độ cao làm cho hấp thụ nhanh làm cho phát xạ kích thích nhanh hơn, song kết hợp lại không mang lại làm chậm làm lạnh truyền xung lượng tới nguyên tử trình phát xạ ngược chiều với chiều nguyên tử hấp thụ Do vậy, trình làm chậm đạt bão hòa giá trị [3]: r r amax = hk γ 2M , 24 (2.1) đó, γ độ rộng tự nhiên trạng thái kích thích hệ số xuất nguyên tử tồn trạng thái nửa thời gian sống Do độ dịch Doppler nên tần số laser hệ quy chiếu gắn với nguyên tử chuyển động trùng với tần số dịch chuyển nguyên tử dẫn đến hấp thụ ánh sáng cực đại tốc độ tán xạ lớn γ tx Tốc độ có dạng Lorentz sau [3]: γ tx = s0 γ + s0 +  ( δ + ω D ) γ  , (2.2) đó, s0 = I / Ibh tỷ số cường độ ánh sáng I với cường độ bão hòa Ibh có giá trị vài mW/cm2 ứng với dịch chuyển nguyên tử điển hình δ = ω − ω0 độ lệch tần số ánh sáng laser ω so với tần số cộng hưởng r r nguyên tử ω Độ dịch Doppler chuyển động nguyên tử ω D = − k ×v (chú ý,  r k ngược chiều với v độ dịch Doppler dương ngược lại) Sự làm chậm đạt cực đại (ωD + δ ) [...]... DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER 2.1 Các kỹ thuật hãm chuyển động nguyên tử Hiện nay, sử dụng quang lực tác dụng lên các nguyên tử trung hoà đang là hướng nghiên cứu được quan tâm trong làm lạnh nguyên tử bằng laser [3] Nguồn gốc của các quang lực tác dụng lên nguyên tử đã được đề cập trong chương 1, bây giờ, chúng ta sẽ xét đến một số ứng dụng điển hình Lực được gây... lượng tử ứng với sự thay đổi động lượng ∆p = ħk (hiện tượng giật lùi) Hệ quả là nhiệt độ thấp nhất có thể đạt được trong cơ chế làm lạnh Doppler sẽ ứng với giá trị vận tốc trung bình của các nguyên tử tại đó động lượng của nguyên tử bằng ħk Giới hạn nhiệt độ trong cơ chế làm lạnh này được gọi là giới hạn làm lạnh Doppler và sẽ được trình bày chi tiết ở chương 2 Chương 2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT... quang lực tác dụng lên nguyên tử trong trường hợp tổng quát nên có thể được sử dụng để tìm quang lực cho bất kỳ trường hợp riêng nào miễn là tìm được nghiệm của phần tử ma trận mật độ ρ 21 1.3.2 Quang lực tác dụng lên nguyên tử ứng yên Để dẫn ra biểu thức quang lực tác dụng lên các nguyên tử ứng yên trong trường laser, trước hết chúng ta xét trường laser có dạng sóng chạy với cường độ điện trường... thiết cho quá trình làm lạnh nguyên tử bằng bức xạ Phương pháp làm chậm và làm lạnh nguyên tử bằng bức xạ đơn giản nhất là hướng một chùm laser ngược chiều với chùm nguyên tử như mô tả ở hình 2.1 [3] Trong trường hợp này, mỗi nguyên tử có thể hấp thụ ánh sáng nhiều lần dọc theo đường đi 23 của chúng Dĩ nhiên, các nguyên tử ở trạng thái kích thích không thể hấp thụ ánh sáng từ chùm laser kích thích, như... Giống như phương pháp bù trừ Zeeman, một chùm laser làm chậm được chiếu ngược với vận tốc nguyên tử Tuy nhiên, khác với phương pháp Zeeman, ở đây, dạng hình học mở cho phép dễ dàng làm lạnh ngang hoặc trực chuẩn theo một hướng [3] 2.1.4 Thay đổi độ dịch Doppler bằng ánh sáng khuếch tán Chúng ta cũng có thể bù trừ sự thay đổi độ dịch Doppler của các nguyên tử chuyển động chậm dần bằng cách lợi dụng sự... không trong trường của hai sóng ánh sáng lan truyền ngược nhau Nhiệt độ thấp nhất của quá trình làm lạnh nguyên tử hai mức bằng laser bị chi phối bởi sự cạnh tranh giữa cơ chế làm lạnh nguyên tử và cơ chế tăng nhiệt Sự cạnh tranh giữa sự tăng nhiệt này với lực giảm tốc ở phương trình (2.15) dẫn đến động năng không bằng không trong trạng thái dừng Tại trạng thái dừng, các tốc độ làm nóng và làm rr lạnh. .. chuyển động cùng chiều với chùm thứ nhất sẽ bị tán xạ nhiều hơn bởi chùm sáng thứ hai Vì vậy, nếu sử dụng hai sóng chạy lan truyền ngược chiều nhau (để tạo sóng ứng) thì ta có thể hãm chuyển động của các nguyên tử theo phương của hai chùm sáng này Cơ chế hãm chuyển động hay làm lạnh các nguyên tử bằng sóng ứng như vậy được gọi là làm lạnh Doppler một chiều[3] Từ đây, ta có thể suy ra cách làm lạnh nguyên. .. sóng ứng có tần số dịch về phía sóng dài được sử dụng trong làm lạnh nguyên tử Theo đó, do hiệu ứng Doppler nên khi các nguyên tử chuyển động ngược chiều với một chùm sáng tới sẽ hấp thụ nhiều hơn đáng kể các photon so với khi các nguyên tử chuyển động cùng chiều với chùm sáng (nên tốc độ tán xạ γp tăng) Tuy nhiên, nếu đặt thêm một chùm sáng thứ hai chuyển động theo chiều ngược lại thì các nguyên tử. .. thể thực hiện được bằng thay đổi ω D hoặc δ thông qua tần số laser ω hoặc tần số dịch chuyển nguyên tử ω 0 Hai phương pháp thông thường để giải quyết bài toán này là thay đổi tần số laser ω để luôn giữ cộng hưởng với dịch chuyển nguyên tử làm chậm hoặc làm xê dịch tần số cộng hưởng của nguyên tử bằng cách tác dụng một từ trường một chiều không đồng nhất để giữ cho các nguyên tử làm chậm luôn cộng... này là tạo ra các nguyên tử chậm phụ thuộc vào cấu trúc thời gian Các nguyên tử phải đi vào các xung laser được cách nhau bởi vài lần tmin 2.1.2 Thay đổi tần số dịch chuyển nguyên tử bằng từ trường Sử dụng từ trường biến thiên theo không gian để điều chỉnh các mức nguyên tử dọc theo đường đi chùm tia là phương pháp đầu tiên thực hiện thành công trong việc làm chậm nguyên tử [3] Việc làm chậm được thực ... lên nguyên tử ứng yên ……………………………………… 1.3.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử chuyển động ……………………………… Chương ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ Trang 7 10 10 12 15 TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG... tương tác nguyên tử hai mức với trường laser, phương pháp ma trận mật độ, làm lạnh nguyên tử laser Phương pháp nghiên cứu Luận văn áp dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết bao gồm: Phương pháp giải... dụng phương pháp ma trận mật độ làm lạnh nguyên tử laser , trước tiên, trình bày tổng quan tương tác hệ nguyên tử trường laser, phương pháp dùng ma trận mật độ để mô tả hệ nguyên tử trạng thái trộn