Ứng dụng phương pháp ma trận mật độ trong làm lạnh nguyên tử bằng Laser

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHLÊ XUÂN HẢI ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC MÃ SỐ: 60.44.01.09 LUẬN VĂN THẠC SĨ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ XUÂN HẢI

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER

CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC

MÃ SỐ: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học

TS ĐINH PHAN KHÔI

VINH, 2015

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh, Phòng Đàotạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Vật lý và công nghệ cùng các thầy giáo, côgiáo thuộc chuyên ngành Quang học đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Đinh Phan Khôi đã hướng dẫn tôi thực

hiện luận văn tốt nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Huy Công và PGS.TS Vũ Ngọc Sáu đã đọc và góp ý chỉnh sửa luận văn.

Tôi xin cảm ơn các bạn học viên chuyên ngành Quang học khóa 21 đã giúp đỡtôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên Trường THPTQuỳ Hợp 3 cùng những người thân trong gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Vinh, tháng 5 năm 2015

Tác giả

Lê Xuân Hải

MỤC LỤC

Lời cảm ơn ………. 1

Mục lục ……… 2

MỞ ĐẦU ……… 3

NỘI DUNG Chương 1 MA TRẬN MẬT ĐỘ 1.1 Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường laser ……… 4

1.2 Ma trận mật độ ……… …… 7

1.2.1 Khái niệm ma trận mật độ ……….…. 7

1.2.2 Phương trình ma trận mật độ ……… 8

1.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử ……… 10

1.3.1 Quang lực ……… 10

1.3.2 Quang lực tác dụng lên nguyên tử đứng yên ……… 12

1.3.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử chuyển động ……… 15

Chương 2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER. 2.1 Các kỹ thuật hãm chuyển động của nguyên tử ……… 21

2.1.1 Dùng chirp tần số laser ………. 24

2.1.2 Thay đổi tần số dịch chuyển nguyên tử bằng từ trường ……… 25

2.1.3 Thay đổi tần số dịch chuyển nguyên tử bằng điện trường ……… 26

2.1.4 Thay đổi độ dịch Doppler bằng ánh sáng khuếch tán ……… 27

2.2 Làm lạnh Doppler ……… 29

2.2.1 Nguyên lý ……… 29

2.2.2 Giới hạn làm lạnh Doppler ……… 31

KẾT LUẬN ……… 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 36

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, Quang học lượng tử có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học, kĩ thuật và đời sống, đặc biệt là các lĩnh vực liên quan đến Vật lý laser

Cơ học lượng tử và Vật lý thống kê là nền tảng để nghiên cứu Quang học lượng tử Trong Cơ học lượng tử, các trạng thái lượng tử được mô tả bởi các hàm sóng là các trạng thái thuần khiết Tuy nhiên các hệ lượng tử có thể ở trong các trạng thái không thể mô tả được bởi các hàm sóng Các trạng thái đó là các trạng

thái trộn lẫn Trong Cơ học cổ điển, cách mô tả thống kê được sử dụng khi chúng takhông có thông tin đầy đủ về hệ Đối với các hệ lượng tử, ngay cả khi chúng ta cóthông tin đầy đủ về hệ, thì hệ vẫn có thể nằm ở trạng thái trộn lẫn.

Để mô tả hệ ở trạng thái trộn lẫn, chúng ta sử dụng khái niệm ma trận mật độthay cho hàm sóng

Trong khuôn khổ luận văn cao học “ Ứng dụng phương pháp ma trận mật

độ trong làm lạnh nguyên tử bằng laser”, trước tiên, chúng tôi trình bày tổng quan

về tương tác giữa hệ nguyên tử và trường laser, phương pháp dùng ma trận mật độ

để mô tả hệ nguyên tử trong trạng thái trộn lẫn Tiếp theo, chúng tôi khảo sát ứngdụng cụ thể trong quang học lượng tử đó là sự làm lạnh nguyên tử bằng laser

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm hiểu phương pháp ma trận mật

độ, sự làm lạnh nguyên tử bằng laser

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn này là tương tác giữa nguyên tử hai mứcvới trường laser, phương pháp ma trận mật độ, sự làm lạnh nguyên tử bằng laser

4 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn áp dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết bao gồm: Phươngpháp giải tích và Cơ học ma trận

NỘI DUNG Chương 1

MA TRẬN MẬT ĐỘ 1.1 Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường laser

Xét hệ nguyên tử có hai trạng thái 1 và 2 ứng với các năng lượng riêng hω1 và2

ω

h được đặt trong trường laser có tần số ω ω ω≈ 2− 1 như trên hình 1.1[3]:

Hình 1.1 Sơ đồ nguyên tử hai mức tương tác với trường laser.

Vì chúng ta giả thiết rằng nguyên tử chỉ có hai mức năng lượng, theo nguyên lýchồng chất trạng thái, hàm sóng của hệ lượng tử hai mức tương tác với trường cóthể được viết dưới dạng :

( ) ( ) 1 ( ) 2

ψ t =c t +c t , (1.1)

ở đây các hệ số c1(t), c2(t) phụ thuộc vào thời gian Phương trình Schrodinger mô tả

sự tiến triển theo thời gian của hệ là:

( )

( )

H t dt

ψ

ψ

=h

, (1.2)

với

H = H0 + H I (1.3)

Trong biểu thức (1.3), H0 và H I tương ứng là thành phần Hamilton của nguyên tử tự

do và Hamilton tương tác giữa nguyên tử và trường

Trong gần đúng lưỡng cực điện, các thành phần Hamilton này có dạng :

ánh sáng được lấy trung bình trong phạm vi kích thước nguyên tử

Giả thiết cường độ trường ánh sáng được biểu diễn dưới dạng phức:

với E0 là biên độ dao động của vectơ cường độ điện trường Lúc đó, các phương trình

mô tả sự thay đổi của các hệ số c1 và c2 được viết thành:

21 0

d E

Ω =

h, (1.9)

được gọi là tần số Rabi cộng hưởng.

Vì trường kích thích có tần số cao nên các hệ số c1(t) và c2(t) là các đại lượng biếnthiên nhanh theo thời gian Do đó việc giải bài toán dừng đối với chúng sẽ không ápdụng được Để sử dụng được nghiệm dừng, chúng ta đặt :

1

1 = 1 i tω

c C e , (1.10)

i t

c =C eω (1.11)

ở đây C1 = C1(t); C2 = C2(t) là những biên độ biến thiên chậm theo thời gian

Thay vào các phương trình (1.7) và (1.8) ta được:

loại bỏ (gọi là phép gần đúng sóng quay) Kết quả ta được:

2 δ2

′

được gọi là tần số Rabi suy rộng

Các hệ số tích phân a1, a2, b1 và b2 được xác định từ điều kiện ban đầu:

a C C (1.19)

thuần khiết ban đầu Lúc đó, không thể dùng phương trình Schrodinger để mô tảtrạng thái trộn lẫn của hệ nguyên tử mà phải dùng ma trận mật độ Xét sự khai triểncủa hàm sóng toàn phần ψ của hệ nguyên tử theo hệ các hàm riêng thuần khiết { }φn ứng với hệ số khai triển c i, ta có [3]:

1

n

i i i

ρ ψ ψ= (1.30)

Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta rút ra điều kiện chuẩn hóa cho ma trận mật độ:

Tr ρ = ψ ψ = (1.31)Các phần tử nằm trên đường chéo chính ρii = c i 2 đặc trưng cho độ cư trú của nguyên tử ở trạng thái i ; các phần tử nằm ngoài đường chéo ρij =c c i j∗ đặc trưng

cho độ kết hợp giữa trạng thái i và j

Với định nghĩa ma trận mật độ, giá trị kỳ vọng của một toán tử A được viết:

ψ

=

h (1.33)Nhân trái hai vế của phương trình trên với ψ đồng thời sử dụng các biểu thức định

nghĩa (1.29) và (1.30) chúng ta biến đổi đưa về được [3]:

[ , ]

H dt

ρ = − ρ − Γ ρh

, (1.36)

trong đó:

{Γ,ρ} = Γ + Γρ ρ . (1.37)Xét trường hợp đơn giản nhất, nguyên tử hai mức đặt trong trường laser, ma trậnmật độ có dạng:

Thay (1.38) vào (1.36) ta được phương trình tiến triển theo thời gian cho phần tử

d dt

d dt

Trong sự tương tác giữa nguyên tử với trường laser, do mỗi photon có động lượng

và spin xác định nên sự hấp thụ, phát xạ sẽ dẫn đến động lượng và mômen góc củanguyên tử bị thay đổi Trong trường hợp tán xạ/khúc xạ cũng hoàn toàn tương tự.Dưới tác dụng của quá trình tán xạ/khúc xạ, photon tới (tác dụng lên hệ nguyêntử/vi hạt) khác photon tán xạ/khúc xạ nên phần chênh lệch động lượng đó đượctruyền cho nguyên tử/vi hạt Xét dưới góc độ động lực học, điều này dẫn đến

nguyên tử sẽ chịu tác dụng của một quang lực Về mặt hình thức, chúng ta có thể biểu diễn quang lực F tác dụng lên nguyên tử theo giá trị kỳ vọng của toán tử lực Fˆ

theo cơ học lượng tử [3]:

dt

= = (1.43)Mặt khác, sự tiến triển theo thời gian của giá trị kỳ vọng của toán tử Fˆ được cho bởi

hệ thức giao hoán:

d F i H Fˆ ˆ,

h (1.44)Xét trong trường hợp một chiều, ta có thể thay toán tử ˆp bởi − ∂ ∂ih( / z) nên hệ thứcgiao hoán giữa Hˆ và ˆp bên vế trái của (1.44) được biến đổi thành:

bỏ các số hạng dao động với tần số laser Chúng ta cũng thấy rằng, quang lực phụ

thuộc vào các trạng thái riêng của nguyên tử (phụ thuộc vào độ kết hợp quang học21

ρ giữa trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích) Để thấy rõ điều này, chúng taphân tích ∂Ω ∂/ z thành các phần thực và phần ảo [3]:

∂Ω = + Ω

z , (1.50)

với i là số thuần ảo, q r và q i tương ứng là phần thực và phần ảo của đạo hàm logarit

cơ số e của Ω Khi trường có dạng E z( )=E z0( ) exp[i zφ( )]+cc thì phần thực của đạo

hàm logarit tương ứng với gradient của biên độ E z0( ) và phần ảo tương ứng vớigradient của pha φ ( )z Lúc đó, biểu thức của quang lực trở thành [3]:

( 21 21) ( 21 21)

F= hq Ωρ∗ + Ω ∗ρ +i qh Ωρ∗ − Ω ∗ρ (1.51)Phương trình (1.51) biểu diễn quang lực tác dụng lên nguyên tử trong trường hợptổng quát nên có thể được sử dụng để tìm quang lực cho bất kỳ trường hợp riêngnào miễn là tìm được nghiệm của phần tử ma trận mật độ ρ21

1.3.2 Quang lực tác dụng lên nguyên tử đứng yên

Để dẫn ra biểu thức quang lực tác dụng lên các nguyên tử đứng yên trong trường

laser, trước hết chúng ta xét trường laser có dạng sóng chạy với cường độ điện

trường được xác định bởi [3]:

dương của E(z) bị triệt tiêu Do đó gradient của tần số Rabi trở nên tỷ lệ với

gradient của thành phần tần số âm còn lại, vì vậy q r =0 và q i =k Đối với một sóngchạy như vậy thì biên độ là một hằng số nhưng pha luôn thay đổi, do đó dẫn tới q i

khác không

Trong trường hợp nguyên tử nằm trong trường sóng đứng thì ta có thể xem đây là tổ

hợp của hai sóng chạy (1.52) lan truyền ngược chiều nhau Lúc đó, điện trường tổnghợp bằng hai lần và được cho bởi [3]:

( ) ( )0

E z =E kz e−ω +cc (1.53)

Trong phép gần đúng sóng quay, tính toán chi tiết tần số Rabi Ω rồi thay vào biểuthức (1.50) ta được q r = −ktg( z)k và q i =0 Trong trường hợp này cũng chỉ có thànhphần tần số âm được giữ lại sau khi sử dụng phép gần đúng sóng quay, tuy nhiêngradient lại không phụ thuộc vào thành phần này Vì vậy, một sóng đứng thì cógradient biên độ nhưng không có gradient pha

Sử dụng tần số Rabi để giải hệ các phương trình ma trận mật độ (1.39)-(1.42) ở điềukiện dừng, ta thu được nghiệm ρ21 rồi thay vào (1.51) ta thu được biểu thức quanglực [3]:

Từ biểu thức (1.54) ta thấy, số hạng thứ nhất tỷ lệ với độ lệch tần số δ, số hạng thứ

hai tỷ lệ với tốc độ phân rã γ

Ta xét ý nghĩa của số hạng thứ hai trong (1.54) bằng cách giả thiết trường lasercộng hưởng với dịch chuyển nguyên tử Lúc đó, độ lệch tần số bằng không, số hạngthứ nhất sẽ triệt tiêu nên biểu thức quang lực trở thành:

0

0

s k F

Sự hấp thụ photon dẫn tới nguyên tử tích lũy thêm động lượng theo hướng củaphoton tới và nhảy lên trạng thái kích thích Sau đó, nguyên tử phân rã về trạng thái

cơ bản nên bị giật lùi theo hướng ngược với chiều photon phát xạ tự phát Tuynhiên, do sự phát xạ tự phát là đẳng hướng nên khi lấy trung bình thì phát xạ tự phátkhông làm thay đổi động lượng nguyên tử Bởi vậy, quang lực tác dụng lên nguyên

tử sau nhiều chu trình hấp thụ/phát xạ tự phát được gọi là quang lực tán xạ cộng

hưởng (ký hiệu bởi F tp) và được viết thành:

/ 2

tp

ks F

s

γ

δ γ

= + +

h

(1.57)

Như vậy, quang lực tán xạ cộng hưởng hướng theo chiều lan truyền của các photontới, nó đạt giá trị bão hòa hkγ 2 khi s0 rất lớn Khi đó, nếu tiếp tục tăng cường độchiếu sáng thì cũng không làm tăng quang lực

Để xét ý nghĩa của số hạng thứ nhất trong (1.54) ta để ý rằng, số hạng nàyđược sinh ra do sự xê dịch mức năng lượng của các trạng thái cơ bản và kích thích

Độ dịch mức năng lượng phụ thuộc vào cường độ điện trường của chùm laser Với

sóng đứng được tạo bởi hai chùm laser lan truyền ngược chiều sẽ tạo thành gradient

biên độ Độ dịch năng lượng của nguyên tử biến thiên theo không gian sinh ra

quang lực khác với lực ở (1.56) nên được gọi là quang lực gradient hay quang lực

lưỡng cực (kí hiệu là F lc) Lực này tỷ lệ với gradient của độ dịch năng lượng, tronggiới hạn cường độ sáng yếu thì quang lực lưỡng cực tác dụng lên nguyên tử đượccho bởi:

( 1)

2

lc

E F

phần thứ nhất trong biểu thức (1.54) Vì vậy, biểu thức quang lực trong số hạng thứnhất của (1.54) trở thành:

0

2 2

trong đó, s0là tham số bão hòa của một trong hai chùm tia tạo nên sóng đứng Nhìn

vào biểu thức (1.59) ta thấy quang lực F lc phụ thuộc vào độ lệch tần số δ, tức là phụthuộc vào tần số của chùm laser Khi δ < 0, quang lực hướng theo chiều tới vị trí cócường độ trường cực đại, còn khi δ > 0 quang lực hướng theo chiều tới vị trí cócường độ trường cực tiểu Đặc biệt, khi tần số trường laser cộng hưởng với dịchchuyển nguyên tử (δ = 0) thì quang lực lưỡng cực bằng không

Do quang lực lưỡng cực được xác định theo biểu thức (1.59) có tính chất của lực

bảo toàn nên ta có thể biểu diễn quang lực này dưới dạng gradient của thế năng U lc

được cho bởi:

2 2

0

2

1 log

δ γ << s thì độ sâu của thế năng 0 U lc

tỉ lệ với δ chứa trong thừa số thứ nhất Tuy nhiên, khi ( )2

Về mặt hình thức, biểu thức quang lực (1.60) có dạng tương tự lực điện tác dụng lênlưỡng cực điện đặt trong điện trường không đồng nhất, vì vậy F lc được gọi là quang

lực lưỡng cực hoặc quang lực gradient

1.3.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử chuyển động

Làm lạnh nguyên tử thực chất là làm giảm chuyển động nhiệt bằng laser nên đòi hỏiquang lực phải phụ thuộc vào vận tốc của các nguyên tử Thực tế, chúng ta có thểxem vận tốc của nguyên tử là một nhiễu loạn nhỏ nên đạo hàm của tần số Rabi cóthể được viết:

= +

s = Ω γ và Ω là số phức phụ thuộc vào z nên ∂ ∂ =s0/ z 2q s r 0 Trong (1.63a,b),

vì w và ρ21 được xét ở trạng thái dừng nên ∂ ∂w t/ và ∂ρ21/∂t triệt tiêu Tuy nhiên,

việc tìm nghiệm giải tích của các phương trình (1.63a,b) vẫn rất khó trong trườnghợp tổng quát Vì vậy, chúng ta chỉ giới hạn xét hai trường hợp đặc biệt là sóng đứng vàsóng chạy dưới đây

1.3.3.1 Trường hợp sóng chạy

Với sóng chạy thì q r = 0 và q i = k nên từ các phương trình (1.63a,b) chúng ta tìm được nghiệm dừng cho w và ρ21, từ đó thay vào (1.51) ta thu được quang lực:

Trong biểu thức (1.64), số hạng thứ nhất biểu thị thành phần lực không phụ thuộc

vào vận tốc của nguyên tử (ký hiệu là F0), số hạng thứ hai phụ thuộc tuyến tính vào

vận tốc nên đóng vai trò lực hãm ứng với hệ số tắt dần β (hoặc có thể gọi là hệ số

2 2 0

δ γ .

(1.67)

Từ biểu thức (1.65) và (1.67) ta thấy, để quang lực đóng vai trò là lực hãm (ngược

chiều với vận tốc) thì hệ số β phải dương Điều này được thỏa mãn khi độ lệch tần

số δ phải âm, nghĩa là tần số laser phải bé hơn tần số cộng hưởng của nguyên tử

đứng yên Dưới tác dụng của quang lực hãm, hàm phân bố vận tốc Boltzmann sẽ bị nén hẹp lại [3]

Maxwell-Hình 1.2 Sự thay đổi của hệ số tắt dần β theo δ tại một số giá trị của tham số s 0

Với trị số của độ lệch tần số nhỏ (│δ│ << γ) và cường độ yếu (s0 << 1) thì hệ số

hãm β tỉ lệ thuận với s0 và δ Tuy nhiên, đối với độ lệch tần số lớn hơn nhiều so với

γ và cường độ sáng lớn hơn nhiều so với I bh thì hệ số hãm β đạt tới giá trị cực đại

nào đó rồi giảm dần do quy luật tăng δ2 trong mẫu số của (1.67) Hình 1.2 minh họa

cho sự thay đổi của hệ số tắt dần β theo độ lệch tần số tại một số giá trị của tham số

bão hòa [3]

Giá trị cực đại của β đạt được khi δ = - γ/2 và s0 = 2 là:

2 max k 4

β = h (1.68)

Ta định nghĩa tốc độ hãm ϒ bằng hệ số hãm chia cho khối lượng nguyên tử ϒ =β/m.

Lúc đó, từ biểu thức (1.68) suy ra giá trị cực đại của tốc độ hãm:

2 2 ax

trong đó ω r = 2ħ2k2m là tần số giật lùi (sau một lần phát xạ/hấp thụ một photon).

Đối với kim loại kiềm, tốc độ hãm ϒmax cỡ 104 − 105s-1 Kết quả này cho thấy, phân

bố vận tốc của nguyên tử kim loại kiềm có thể nén được trong phạm vi cỡ10-100μs Hơn nữa, do quang lực được xác định theo phương trình (1.65) luôn có