Về hệ hàm lặp tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN VĂN CƯỜNG VỀ HỆ HÀM LẶP TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN VĂN CƯỜNG VỀ HỆ HÀM LẶP TÔPÔ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ THỊ HỒNG THANH Nghệ An - 2015 Mục lục KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số khái niệm tôpô mêtric Hausdorff 1.2 Hệ hàm lặp 1.3 Không gian dịch chuyển 4 10 12 HỆ HÀM LẶP TÔPÔ 2.1 Hệ hàm lặp tôpô tồn tập bất biến 2.2 Mối liên hệ hệ hàm lặp hệ hàm lặp tôpô 2.3 Một số ví dụ tập bất biến hệ hàm lặp tôpô 2.4 Tính chất tôpô tập bất biến qua hệ hàm lặp tôpô Tài liệu tham khảo 18 18 26 29 37 41 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết hệ hàm lặp (Theory for iterated function system) tập bất biến đóng vai trò quan trọng nghiên cứu hình học Fractal Nó nghiên cứu cách sâu rộng phạm vi ứng dụng hướng mở rộng từ kết khởi đầu suốt 40 năm qua Người đặt móng cho lý thuyết hình học Fractal Hutchinson dựa nguyên lí ánh xạ co Banach Khởi đầu nghiên cứu hình học Fractal người ta xét hàm tập R n , tìm thấy nhiều ứng dụng Tuy nhiên, để mở rộng phạm vi ứng dụng theo phát triển tự nhiên lý thuyết điểm bất động, người ta mở rộng nghiên cứu hàm tập lên không gian mêtric hay tổng quát không gian tôpô Năm 2012, ([9]), A Mihail đưa khái niệm hệ hàm lặp tôpô (Topologically Iterated Function System - TIFS), nghiên cứu tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp này, mối quan hệ TIFS IFS Bên cạnh việc mở rộng không gian người ta mở rộng việc nghiên cứu chiều độ đo Hausdorff sang nghiên cứu tính chất tôpô tập bất biến Các hướng nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Vì thế, để tập duyệt với NCKH tìm hiểu vấn đề này, chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Về hệ hàm lặp tôpô” Mục đích luận văn thông qua tài liệu tìm hiểu trình bày cách có hệ thống kết hệ hàm lặp tôpô, tập bất biến qua hệ hàm lặp đó, mối liên hệ với hệ hàm lặp không gian mêtric tìm hiểu tính chất tôpô tập bất biến qua hệ hàm lặp tôpô Với mục đích nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Một số kiến thức sở Trong chương trình bày kiến thức sở cần dùng toàn luận văn như: Các loại ánh xạ, hệ hàm lặp, tập bất biến qua hệ hàm lặp, mêtric, mêtric Hausdorff, tôpô, phép chiếu, phép dịch chuyển, không gian dịch chuyển, Chương Hệ hàm lặp tôpô Trong chương này, trình bày khái niệm hệ hàm lặp tôpô, trình bày chứng minh tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp này, mối liên hệ hệ hàm lặp với hệ hàm lặp không gian mêtric, nghiên cứu số tính chất tôpô tập bất biến ví dụ minh họa Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình chu đáo nghiêm khắc cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô, người bảo cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, quý Thầy giáo - Cô giáo tổ Giải tích khoa SP Toán học trường Đại Học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn bè lớp Cao học 21- chuyên nghành Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô bạn bè trao đổi, góp ý để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 10 năm 2015 Tác giả Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương trình bày kiến thức sở cần dùng toàn luận văn như: hệ hàm lặp, tập bất biến qua hệ hàm lặp, mêtric Hausdorff, tôpô, phép chiếu, phép dịch chuyển, không gian dịch chuyển, 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TÔPÔ VÀ MÊTRIC HAUSDORFF Mục trình bày số khái niệm tôpô, mêtric Hausdorff số kiến thức liên quan đến chương hai 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X, họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện sau i) ∅, X ∈ τ; ii) Nếu Gi ∈ τ với i ∈ I (I tập bất kì) ∪ Gi ∈ τ; i∈ I iii) Nếu Gi ∈ τ với i = 1, 2, , n ∈ τ Tập hợp X với tôpô τ gọi không gian tôpô Kí hiệu ( X, τ ) Các tập G ∈ τ gọi tập mở X \G gọi tập đóng ∩in=1 Gi 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi không gian Hausdorff (còn gọi T2 − không gian) với x, y ∈ X, x = y, tồn lân cận U x lân cận V y cho V ∩ U = ∅ 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi không liên thông tồn hai tập A, B = ∅ mà A ∩ B = ∅, A ∪ B = X Ngược lại, ta nói X không gian liên thông 1.1.4 Định lý ([1]) Tập A ⊂ X liên thông tồn hai tập mở M, N ⊂ X cho A ⊂ M ∪ N, M ∩ A = ∅, N ∩ A = ∅ M ∩ N ∩ A = ∅ 1.1.5 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi liên thông đường với hai điểm a, b ∈ X tồn hàm liên tục S : [0, 1] → X, cho S(0) = a, S(1) = b 1.1.6 Mệnh đề ([1]) Giả sử f ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Khi i) Nếu A tập liên thông X f ( A) tập liên thông Y ii) Nếu A tập liên thông đường X f ( A) tập liên thông đường Y 1.1.7 Mệnh đề ([1]) Cho { Aα }α∈ I họ tập không gian tôpô X ∩ Aα = ∅ Khi i) Nếu Aα liên thông với α ∈ I A = ∪ Aα liên thông α∈ I α∈ I ii) Nếu Aα liên thông đường với α ∈ I A = ∪ Aα liên thông đường α∈ I 1.1.8 Ví dụ ([1]) Đoạn [ a, b ] ⊂ R liên thông liên thông đường 1.1.9 Mệnh đề ([1]) Không gian liên thông đường không gian liên thông 1.1.10 Nhận xét ([1]) Điều ngược lại Mệnh đề 1.1.9 không Chẳng hạn đặt Y = {(0, y) ∈ R2 }, Z = {( x, sin1/x ) : < x ≤ 1} Khi đó, X = Y ∪ Z liên thông không liên thông đường 1.1.11 Định nghĩa ([1]) Cho không gian tôpô X, A ⊂ X Tập U ⊂ X gọi lân cận tập A tồn tập mở V ⊂ X cho A ⊂ V ⊂ U 1.1.12 Định nghĩa ([7]) Cho ( X, d) không gian mêtric ( Ai )i∈ I họ tập khác rỗng X Khi đó, họ ( Ai )i∈ I gọi liên thông với i, j ∈ I, i = j tồn (ik )k=1,n ⊂ I cho i1 = i, in = j Aik ∩ Aik+1 = ∅, với k ∈ {1, , n − 1} 1.1.13 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi chuẩn tắc cặp tập đóng A, B X mà A ∩ B = ∅, tồn lân cận U A lân cận V B cho U ∩ V = ∅ 1.1.14 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi liên thông địa phương điểm x ∈ X có sở lân cận gồm tập liên thông 1.1.15 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi compact phủ mở X chứa phủ hữu hạn 1.1.16 Định nghĩa ([5]) Không gian tôpô X liên thông địa phương, liên thông compact gọi không gian Peano 1.1.17 Định lý ([5]) Cho K không gian Peano Khi đó, tồn hàm f : [0, 1] → K liên tục toàn ánh 1.1.18 Định nghĩa ([7]) Cho ( X, d) không gian mêtric A ⊂ X Khi đó, d( x, A) = inf d( x, a) gọi khoảng cách từ điểm x đến tập A a∈ A Cho ( X, d) không gian mêtric, kí hiệu K ∗ ( X ) tập tất tập compact khác rỗng X; P ∗ ( X ) tập tất tập khác rỗng X Đặt d( A, B) = supd( x, B) với A, B ⊂ X, ta có mệnh đề sau x∈ A 1.1.19 Mệnh đề ([2]) Cho (X, d) không gian mêtric i) Ánh xạ h : K ∗ ( X ) × K ∗ ( X ) −→ [0, +∞) xác định h( A, B) = max{d( A, B), d( B, A )} mêtric ii) Ánh xạ h : P ∗ ( X ) × P ∗ ( X ) −→ [0, ∞) xác định h( A, B) = max{d( A, B), d( B, A)} tựa mêtric 1.1.20 Định nghĩa ([2]) i) Ánh xạ h xác định Mệnh đề 1.1.19 (i) gọi mêtric Hausdorff ii) Ánh xạ h xác định Mệnh đề 1.1.19 (ii) gọi tựa mêtric Hausdorff 1.1.21 Định nghĩa ([5]) i) Giả sử ( X, d) không gian mêtric f : X −→ X Khi đó, d( f ( x), f ( y)) Lip( f ) = sup d( x, y) x,y∈ X;x =y gọi số Lipschitz f ii) Nếu Lip( f ) < ∞ f gọi Lipschitz iii) Nếu Lip( f ) < f gọi co 1.1.22 Mệnh đề ([2]) Cho h tựa mêtric Hausdorff Khi đó, h có tính chất sau i) Nếu H K hai tập khác rỗng X h( H, K ) = h( H, K ); ii) Nếu ( Hi )i∈ I (Ki )i∈ I hai họ tập khác rỗng X h( ∪ Hi , ∪ Ki ) = h( ∪ Hi , ∪ Ki ) ≤ suph( Hi , Ki ); i∈ I i∈ I i∈ I i∈ I i∈ I iii) Nếu H K hai tập khác rỗng X f : X −→ Y hàm, hY ( f (K ), f ( H )) ≤ Lip( f ).hX (K, H ) 1.1.23 Bổ đề ([2]) Cho ( X, d) không gian mêtric A, B ∈ K ∗ ( X ) Khi đó, với ǫ > 0, h( A, B) < ǫ A ⊂ B + ǫ B ⊂ A + ǫ Chứng minh Thật vậy, với A, B ∈ K ∗ ( X ) ǫ > Ta có, h( A, B) < ǫ d( A, B) < ǫ d( a, B) < ǫ với a ∈ A dẫn đến , d( B, A) < ǫ d(b, A) < ǫ với b ∈ B a ∈ B + ǫ với a ∈ A Khi b ∈ A + ǫ với b ∈ B A ⊂ B+ǫ B ⊂ A+ǫ Ta có bổ đề 1.1.24 Bổ đề ([2]) Cho ( X, d) không gian mêtric, { An : n = 1, 2, } dãy Cauchy (K ∗ ( X ), h) {nn j }∞ j=1 dãy vô hạn số nguyên với < n1 < n2 < Giả sử ta có dãy Cauchy { xn j ∈ An j : j = 1, 2, } ( X, d) Khi đó, có dãy Cauchy { xn ∈ An : n = 1, 2, } thỏa mãn xn j = xn j với j = 1, 2, Chứng minh Ta xây dựng dãy { xn ∈ An : n = 1, 2, } sau Với n ∈ {1, 2, , n1 } chọn xn ∈ { x ∈ An : d( x, xn1 ) = d( xn1 , An )} Khi đó, xn điểm An cho khoảng cách từ đến xn1 nhỏ điểm tồn An compact Tương tự, với j ∈ {2, 3, } n ∈ {n j + 1, , n j+1 } chọn xn ∈ { x ∈ An : d( x, xn1 ) = d( xn j , An )} Bây ta chứng minh { xn } thỏa mãn điều kiện bổ đề Thật vậy, dễ thấy xn ∈ An , xn j = xn j với ǫ > tồn N1 cho với nk , n j ≥ N1 ta có d( xnk , xn j ) < ǫ/3, tồn N2 cho với m, n ≥ N2 ta có h( Am , An ) < ǫ/3 Đặt N = max{ N1 , N2 } với m, n > N, ta có d( xn , xm ) ≤ d( xn , xn j ) + d( xn j , xnk ) + d( xnk , xm ) m ∈ {nk + 1, nk + 2, , nk }, n ∈ {n j + 1, n j + 2, , n j } Do đó, ta có h( Am , An j ) < ǫ/3 tồn y ∈ Am ∩ ({ xn j } + ǫ/3) suy d( xm , xn j ) < ǫ/3 Tương tự d( xn , xnk ) < ǫ/3 Vậy, d( xm , xn ) < ǫ Hay { xn ∈ An } dãy Cauchy ( X, d) Ta có mệnh đề sau 1.1.25 Mệnh đề ([4]) Nếu ( X, d) không gian mêtric đầy đủ (K ∗ ( X ), h) không gian mêtric đầy đủ Chứng minh Để chứng minh (K ∗ ( X ), h) không gian mêtric đầy đủ ta cần chứng minh rằng, dãy Cauchy (K ∗ ( X ), h) hội tụ ∗ (K ∗ (X ), h) Thật vậy, giả sử { An }∞ n=1 dãy Cauchy (K ( X ), h) Khi đó, ta tìm dãy số nguyên dương N1 < N2 < thỏa mãn h ( Am , An ) < với m, n > Ni 2i Vì (Kn )n≥0 hội tụ A nên (∪in≥0 Ki )n≥0 hội tụ HK Thật vậy, ta có h(∪in≥0 Ki , HK ) = h(∪in≥0 Ki , A ∪ (∪i≥0 Ki )) = h(Kn ∪ (∪in=0 Ki ) ∪ (∪i≥n+1 Kn ), A ∪ (∪in=0 Ki ) ∪ (∪i≥n+1 Ki )) n ≤ max{h(Kn , A), max h(ki , ki ), sup h(Kn , Ki )} i =0 i >n ≤ sup{h(Kn , A), h(K1 , K1 ), , h(Kn , Kn ), h(Kn , Kn+1 ), } = sup{h(Kn , A), h(Kn , Kn+1 ), h(Kn , k n+2 ), } −→ n −→ ∞ Vì ( X, d) đầy đủ nên theo Mệnh đề 1.1.25 (K ∗ ( X ), h) đầy đủ Do đó, HK ∈ K ∗ ( X ) Vì vậy, K ∈ K ∗ ( X ) tồn HK = A ∪ (∪n≥0 Kn ) ∈ K ∗ ( X ) Kn = FS (Kn−1 ), K0 = K, thỏa mãn i, K ⊂ HK ; ii, FS ( HK ) ⊂ HK Bây ta chứng minh với (αl )l ≥1 , αl ∈ {1, 2, , n} K ∈ K ∗ ( X ) thỏa mãn FS (K ) ⊂ K tập ∩ f [α]l (K ) có nhiều phần tử l ≥1 Thật vậy, ta có FS (K ) ⊂ K tương đương với ∪nk=1 (K ) ⊂ K nên f k (K ) ⊂ K với k = 1, n Suy ra, với l ≥ αl ∈ {1, 2, , n} f [α]l+1 (K ) ⊂ f [α]l (K ) Mặt khác, K tập compact f [α]l liên tục với l ≥ 1, αl ∈ {1, 2, , n} nên f [α]l (K ) tập compact Do đó, ∩ f [α]l (K ) có nhiều phần tử l ≥1 Vậy, S∗ = (( X, τd ), ( f k )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô (TIFS) Như vậy, hệ hàm lặp không gian mêtric đầy đủ ( X, d) hệ hàm lặp tôpô không gian tôpô ( X, τd ) Vì ánh xạ liên tục chưa co, ta không đặt vấn đề toán ngược Mệnh đề 2.2.1 Tiếp theo ta nghiên cứu điều kiện để từ hệ hàm lặp tôpô sinh hệ hàm lặp tôpô khác 2.2.2 Mệnh đề ([8]) Cho ( X, τ ), (Y, τ , ) hai không gian tôpô Hausdorff, gk : Y −→ Y, với k = 1, n họ hàm liên tục, S = (( X, τ ), ( f k )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô X thỏa mãn, tồn đồng phôi φ : X −→ Y với tính chất gk ◦ φ = φ ◦ f k với k ∈ {1, 2, , n} Khi đó, S, = ((Y, τ , ), ( gk )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô 27 Chứng minh Ta chứng minh S, = ((Y, τ , ), ( gk )k=1,n ) thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 2.1.1 Thật vậy, ta có φ phép đồng phôi nên φ−1 liên tục Do đó, với K ∈ K ∗ (Y ) φ−1 (K ) ∈ K ∗ ( X ) Ta lại có S = (( X, τ ), ( f k )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô nên với φ−1 (K ) ∈ K ∗ ( X ) tồn HK ∈ K ∗ ( X ) cho φ−1 (K ) ⊂ HK FS ( HK ) ⊂ HK Vì FS ( HK ) ⊂ HK , nên ta có φ( FS ( HK )) ⊂ φ( HK ) hay φ(∪nk=1 f k ( HK )) ⊂ φ( HK ) ∪nk=1 (φ ◦ f k ( HK )) ⊂ φ( HK ) Theo giả thiết, ta suy ∪nk=1 ( gk ◦ φ( HK )) ⊂ φ( HK ) hay ∪nk=1 gk (φ( HK )) ⊂ φ( HK ) tương đương với FS, (φ( HK )) ⊂ φ( HK ) Ta có φ−1 (K ) ⊂ HK ∈ K ∗ ( X ) nên φ(φ−1 (K )) ⊂ φ( HK ) hay K ⊂ φ( HK ) Vậy, với K ∈ K ∗ (Y ) tồn φ( HK ) ∈ K ∗ (Y ) thỏa mãn: i, K ⊂ φ( HK ); ii, FS, (φ( HK )) ⊂ φ( HK ) Ta có (αl )l ≥1 , αl ∈ {1, 2, , n}, H ∈ K ∗ (Y ) thỏa mãn FS, ( H ) ⊂ H suy ∪nk=1 gk ( H ) ⊂ H Ta cần chứng minh ∩ g[α]l ( H ) có nhiều phần tử Thật vậy, ta có ∪nk=1 gk ( H ) ⊂ H nên l ≥1 φ−1 (∪nk=1 gk ( H )) ⊂ φ−1 ( H ) hay ∪nk=1 φ−1 ◦ gk ( H )) ⊂ φ−1 ( H ) Vì gk ◦ φ = φ ◦ f k nên φ−1 ◦ gk = f k ◦ φ−1 Do đó, ta có ∪nk=1 f k (φ−1 ( H )) ⊂ φ−1 ( H ) hay FS (φ−1 ( H )) ⊂ φ−1 ( H ) 28 Vì (( X, τ ), ( f k )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô nên với φ−1 ( H ) ∈ K ∗ ( X ) thỏa mãn FS (φ−1 ( H )) ⊂ φ−1 ( H ) Do đó, tập ∩ f [α]l (φ−1 ( H )) có nhiều phần tử với αl ∈ {1, 2, n} Lại l ≥1 gk ◦ φ = φ ◦ f k nên gk = φ ◦ f k ◦ φ−1 Dẫn đến g[α]l = φ ◦ f [α]l ◦ φ−1 với l ≥ Suy ∩ g[α]l ( H ) = ∩ φ ◦ f [α]l ◦ φ−1 ( H ) = φ( ∩ f [α]l (φ−1 ( H ))) l ≥1 l ≥1 l ≥1 có nhiều phần tử Vậy, S, = ((Y, τ , ), ( gk )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô Y Từ Mệnh đề 2.2.1 Mệnh đề 2.2.2 ta có hệ sau 2.2.3 Hệ ([8]) Cho ( X, d) không gian mêtric đầy đủ S = (( X, d), ( f k )k=1,n ) hệ hàm lặp Nếu (Y, τ ) không gian tôpô Hausdorff ( gk )k=1,n họ hàm liên tục Y thỏa mãn tồn đồng phôi φ : X −→ Y với tính chất gk ◦ φ = φ ◦ f k với k ∈ {1, 2, , n}, S, = ((Y, τ ), ( gk )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô Chứng minh Vì ( X, d) không gian mêtric đầy đủ S = (( X, d), ( f k )k=1,n ) IFS nên theo Mệnh đề 2.2.1 (( X, τd ), ( f k )k=1,n ) TIFS Từ đó, áp dụng Mệnh đề 2.2.2 ta có S, = ((Y, τ ), ( gk )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô 2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ TẬP BẤT BIẾN CỦA HỆ HÀM LẶP TÔPÔ Phần trình bày số ví dụ TIFS tập bất biến qua TIFS, đồng thời trình bày ví dụ tồn tập tập bất biến qua TIFS không tập bất biến qua IFS Điều cho thấy mở rộng TIFS lí thuyết hình học Fractal Ví dụ 2.3.1 Xét ( X, τ ) = (R, τd ) với d mêtric Euclid R f , g : R → R xác định f ( x) = x ; g( x ) = x +1 Khi đó, S = (( X, τ ), { f , g}) TIFS 29 [0, 1] tập bất biến qua TIFS Ví dụ 2.3.2 ([8]) Cho ( X, τ ) không gian tôpô Hausdorff t : [0, 1] −→ X hàm liên tục K = t([0, 1]) không gian Peano Xét f : [0, 1] −→ X liên tục đơn ánh Khi đó, H = K ∪ f ([0, 1]) tập bất biến hệ hàm lặp tôpô xác định ba hàm, K ∩ f ([0, 1]) = { f (0)}, giả sử t (0 ) = f (0 ) Chứng minh Dễ kiểm tra [0, 1] tập bất biến hệ hàm lặp S = ([0, 1], { f , f }) với f ( x) = x2 , f ( x) = x +1 ,x ∈ [0, 1] Xét p : H −→ f ([0, 1]) xác định p( x ) = f (0) x ∈ K x x ∈ f ([0, 1]) Fi : H −→ f ([0, 1]) ⊂ H xác định Fi ( x) = ( f ◦ f i ◦ f −1 ◦ p)( x) với x ∈ H i ∈ {1, 2} Khi đó, ta có F1 ( f ([0, 1])) = f ( f ( f −1 ( p( f ([0, 1]))))) = f ( f ( f −1 ( f ([0, 1])))) = f ( f ([0, 1])) = f ([0, ]) F2 ( f ([0, 1])) = f ( f ( f −1 ( p( f ([0, 1]))))) = f ( f ( f −1 ( f ([0, 1])))) = f ( f ([0, 1])) = f ([ , 1]) Do F1 ( f ([0, 1])) ∪ F2 ( f ([0, 1])) = f ([0, 1]) Mặt khác, K không gian Peano nên tồn g : [0, 1] −→ K liên tục toàn ánh Ta xác định hàm thứ ba F3 : H −→ H sau 30 f (0 ) x ∈ K ( g ◦ f −1 )(x) x ∈ f ([0, 1]) F3 ( x) = Từ cách xác định hàm F1 , F2 , F3 ta có F1 ( H ) = F1 (K ) ∪ F1 ( f ([0, 1])) = f ( f ( f −1 ( p(K )))) ∪ f ([0, ]) 1 = f (0) ∪ f ([0, ]) = f ([0, ]), 2 F2 ( H ) = F2 (K ) ∪ F2 ( f ([0, 1])) = f ( f ( f −1 ( p(K )))) ∪ f ([ , 1]) 1 = f ( ) ∪ f ([ , 1]) = f ([ , 1]), 2 F3 ( H ) = F3 (K ) ∪ F3 ( f ([0, 1])) = f (0) ∪ ( g ◦ f −1 )( f ([0, 1])) = f (0) ∪ g([0, 1]) = f (0) ∪ K = K Đặt S1 = ( H, { F1 , F2 , F3 }) F1 , F2 , F3 xác định Bây ta cần chứng minh S1 hệ hàm lặp tôpô H tập bất biến S1 Ta có, H compact 1 F1 ( H ) ∪ F2 ( H ) ∪ F3 ( H ) = f ([0, ]) ∪ f ([ , 1]) ∪ K 2 = f ([0, 1]) ∪ K = H Vậy, H tập bất biến S1 Để chứng minh S1 hệ hàm lặp tôpô ta cần chứng minh S1 thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 2.1.1 Thật vậy, dễ thấy Fk : H → H, với k = 1, hàm liên tục 1) Với K ∈ K ∗ ( H ) H ∈ K ∗ ( H ) ta có i, K ⊂ H; ii, ∪3k=1 Fk ( H ) = H ⊂ H 2) Ta ∩n≥1 Fj1 j2 jn ( H ) có nhiều phần tử với j1 , j2 , , jn ∈ {1, 2, 3}, Fj1 j2 jn = Fj1 ◦ Fj2 ◦ ◦ Fjn Thật vậy, ta có F33 ( H ) = F3 ( F3 ( H )) = F3 ( f (0) ∪ K ) = F3 (K ) = f (0) 31 Với j ∈ {1, 2} F13j ( H ) = F1 ( F3 ( Fj ( H ))) ⊂ F1 ( F3 ( f ([0, 1]))) ⊂ F1 (K ) = f (0) Do đó, F13j ( H ) = { f (0)} F23j ( H ) = F2 ( F3 ( Fj ( H ))) ⊂ F2 ( F3 ( f ([0, 1]))) ⊂ F2 (K ) = f ( ) Do đó, F23j ( H ) = { f ( 12 )} Bây ta xét hai trường hợp Trường hợp một: ∈ { j2 , j3 , , jn , } Giả sử jn = Ta có a, ∈ { jn−1 , jn+1 } Khi đó, jn−1 = 3, ta có Fjn−1 jn ( H ) = F33 ( H ) = f (0) jn+1 = 3, ta có Fjn jn+1 ( H ) = F33 ( H ) = f (0) Do đó, Fjn−1 jn jn+1 ( H ) có phần tử b, ∈ / { jn−1 , jn+1 } Khi Fjn−1 jn jn+1 ( H ) = Fjn−1 3jn+1 ( H ) = f (0) jn−1 = f ( 12 ) jn−1 = Do đó, Fj1 j2 jn+1 ( H ) có phần tử Suy trường hợp ∩n≥1 Fj1 j2 jn ( H ) có phần tử Trường hợp hai: ∈ / { j2 , j3 , , jn , } a, Nếu j1 = Khi đó, Fj1 j2 jn jn+1 ( H ) = ( Fj1 j2 jn ◦ Fjn+1 )( H ) ⊂ Fj1 j2 jn ( f ([0, 1])) = ( f ◦ f j1 j2 jn )([0, 1]) Do ∩n≥1 Fj1 j2 jn ( H ) = ∩n≥2 Fj1 j2 jn ( H ) ⊂ ∩n≥2 ( f ◦ f j1 j2 jn )([0, 1]) = f (∩n≤2 f j1 j2 jn ([0, 1])) = f (a), 32 a = ∩n≥2 f j1 j2 jn ([0, 1]) Rõ ràng a tồn [0, 1] tập bất biến S = ([0, 1], { f ( x) = x2 , f ( x) = x+2 }) b, Nếu j1 = Khi đó, ∩n≥1 Fj1 j2 jn ( H ) = ∩n≥2 Fj1 j2 jn ( H ) = F3 (∩n≥2 Fj2 j3 jn ( H )) = b Như trường hợp hai, ý a) Vậy, S1 = ( H, { F1 , F2 , F3 }) hệ hàm lặp tôpô H tập bất biến Để tồn tập tập bất biến TIFS không tập bất biến IFS ta có ví dụ sau Ví dụ 2.3.3 ([5]) Kí hiệu l2 = { x = ( xn )n≥1 : ∑ x2n ≤ ∞} Khi đó, l2 không n ≥1 gian Hilbert với chuẩn || x|| = ( ∑ n ≥1 x2n )1/2 Xét hàm i : R → l2, π : l2 → R, f : R → R f : R → R xác định sau i( x) = ( x, 0, 0, , 0, ); π (( xn )n≥1 ) = x1 ; f1 (x) = f2 (x) =   2 x +2 x ≤ ≤ x ≤ x ≥   3 x ≤ ≤ x ≤ x ≥     x +4 Kí hiệu C = ( Xn )n≥1 = {[0, 2n1−1 ]}n≥1 ⊂ l2 kí hiệu A = C ∪ i([1, 4]) Đặt f , f : A → A hàm xác định f = i ◦ f ◦ π | A f = i ◦ f ◦ π | A Ta thấy C không gian Peano ảnh qua hàm liên tục tập đóng A không gian Peano hợp hai không gian 33 Peano C i([1, 4]) Do tồn hàm φ : [0, 1] → C liên tục toàn ánh, thỏa mãn φ(0) = i(1) Xét hàm f : A → A xác định   x ∈ C ∪ i([1, 2])  i (2 ) f3 (x) = i(−π ( x ) + 4) x ∈ i([2, 3])   φ(π ( x) − 3) x ∈ i([3, 4]) Rõ ràng A có chiều tôpô vô hạn nên có chiều Hausdorff vô hạn Nhưng với IFS S chiều Hausdorff tập bất biến sinh từ S hữu hạn Do A tập bất biến IFS S không gian mêtric Bây giờ, xét không gian mêtric ( A, d) S = (( A, τd ), ( f , f , f )) hệ hàm lặp tôpô Tập bất biến TIFS A Ta thấy tập bất biến IFS có chiều tôpô hữu hạn Nhưng tập A có chiều vô hạn Do đó, không gian ( A, τd ) tập bất biến TIFS không tập bất biến IFS với mêtric sinh tôpô Thật vậy, ta cần S = ( A, ( f , f , f )) hệ hàm lặp tôpô A tập bất biến TIFS S Đầu tiên ta ý rằng, A tập compact nên điều kiện định nghĩa TIFS thỏa mãn Cụ thể với K ∈ K ∗ ( A), tồn A ∈ K ∗ ( A) cho i) K ⊂ A; ii) ∪3k=1 f k ( A) ⊂ A Bây ta kiểm tra điều kiện thứ hai định nghĩa Ta có f ( A) = i([2, 3]), f ( A) = i([3, 4]), f (C ∪ i([1, 2])) = i(2) f (i([2, 4])) = f ( A) = C ∪ i([1, 2]) Do A ⊂ f ( A) ∪ f ( A) f ( A) ⊂ A Vì A = f ( A ) ∪ f ( A ) ∪ f ( A ) Ta ý f 33 ( A) = f ◦ f ( A) = f (C ∪ i([1, 2])) = i(2) 34 f α3β ( A) = f α ◦ f ◦ f β ( A) ⊂ f α ◦ f (i([2, 4])) = f α (C ∪ i([1; 2])) với α, β ∈ {1, 2} Do đó, f 13β ( A) = i(2) f 23β = i(3) Ta muốn ω ∈ ∧ = ∧({1, 2, 3}) K ∈ K ∗ ( A), thỏa mãn FS (K ) = ∪3k=1 f k (K ) ⊂ K, tập ∩n≥1 f [ω ]n (K ) có nhiều phần tử Vì A tập compact nên ∩n≥1 f [ω ]n (K ) có nhiều phần tử với ω ∈ ∧ Xét ω = i1 i2 in ∈ ∧ = ∧({1, 2, 3}) Ta có hai trường hợp: 1) ∈ {i2 , i3 , , in } 2) ∈ / {i2 , i3 , , in } Trong trường hợp đầu giả sử n số tự nhiên mà in = Khi đó, có hai khả Khả 1: ∈ {in−1 , in+1 } Khả 2: ∈ / {i n −1 , i n +1 } Trong khả 1, ta có f in−1 in ( A) = {i(2)} hay f in in+1 ( A) = {i(2)} f in−1 in in+1 ( A) có phần tử Tương tự khả 2, ta có f in−1 in in+1 ( A) {i(2)} hay {i(3)} Do đó, f i1 i2 in−1 in in+1 ( A) có nhiều phần tử Vì vậy, ∩n≥1 f [ω ]n ( A) có nhiều phần tử Trong trường hợp hai, xét khả = i1 Khi đó, f i1 i2 in−1 in in+1 ( A) = f i1 i2 in−1in ◦ f in+1 ( A) ⊂ f i1 i2 in−1 in (i([2, 4])) = i( f i1 i2 in−1in ([2, 4])) Vì ∩n≥1 f [ω ]n ( A) = ∩n≥2 f [ω ]n ( A) = ∩n≥2 i( f i1 i2 in−1in ([2, 4])) = i(∩n≥2 f i1 i2 in−1in ([2, 4])) Nhưng ∩n≥2 f i1 i2 in−1in ([2, 4]) phần tử IFS S = (([2, 4]), { f , f }) hệ hàm lặp Trong trường hợp = i1 ta có ∩n≥1 f [ω ]n ( A) = ∩n≥2 f i1 i2 in−1 in ( A) = f (∩n≥2 f i2 i3 in−1in ( A)) Vì ∩n≥1 f [ω ]n ( A) có phần tử ∩n≥2 f i2 i3 in−1 in ( A) có phần tử Do A tập compact A = f ( A) ∪ f ( A) ∪ f ( A) ta suy A tập bất biến TIFS S = (( A, τd ), ( f , f , f )) 35 Ví dụ 2.3.4 Cho ( X, τ ) không gian tôpô có hai phần tử a = b Xét ánh xạ fa : X → X x →a fb : X → X x → b Khi đó, ta có 1, (( X, τ ), ( f a , f b )) TIFS 2, { a, b } tập bất biến qua TIFS Chứng minh 1, Hiển nhiên f a , f b liên tục Với K ∈ K ∗ ( X ) ta có K ∪ { a} ∪ {b } ∈ K ∗ ( X ) thỏa mãn i, K ⊂ K ∪ { a} ∪ {b } ii, f a (K ∪ { a} ∪ {b }) ∪ f b (K ∪ { a} ∪ {b }) = a ∪ b ∈ { a} ∪ {b } ⊂ K ∪ { a} ∪ { b } Ta chứng minh với dãy (αl )l ≥1 , αl ∈ { a, b } K ∈ K ∗ ( X ) thỏa mãn FS (K ) ⊂ K tập ∩ f [α]l (K ) có nhiều phần tử Thật vậy, α1 = a l ≥1 ∩ f [α]l (K ) = f a ( ∩ f [α]l (K )) = a l ≥1 l ≥2 Nếu α1 = b ∩ f [α]l (K ) = f b ( ∩ f [α]l (K )) = b l ≥1 l ≥2 Vậy S = (( X, τ ), ( f a , f b )) hệ hàm lặp tôpô 2, Bây ta chứng minh { a, b } tập bất biến S Thật vậy, ta có { a, b } ∈ K ∗ (X ) f a ({a, b}) ∪ f b ({a, b}) = a ∪ b = {a, b} Vậy, { a, b } tập bất biến S Ta có ví dụ Ví dụ 2.3.5 ([8]) a, Xét tam giác Sierpinsky T ⊂ R2 H = T ∪ [( a, b ), (c, d)] với T ∩ [( a, b ), (c, d)] = ∅; ( a, b ), (c, d) ∈ R2 [( a, b ), (c, d)] đường 36 thẳng nối điểm ( a, b ) (c, d) Ta có, T tập bất biến hệ hàm lặp T compact, liên thông liên thông địa phương nên T không gian Peano Do đó, theo Ví dụ 2.3.2 H tập bất biến hệ hàm lặp tôpô xác định ba hàm b, Trong R2 xét K = ([0, 1] × 0) ∪ ( ∪ Fn ), n ≥1 , ) + F ( a n , k n ), 2n ia 2n F( an , k n ) = ∪ik=−01 ({ } × [0, a]), an = 2n −2 k 22n k n = với n ≥ Khi đó, K không tập bất biến hệ hàm lặp hữu hạn không gian mêtric Nhưng K compact, liên thông liên thông địa phương R2 Do K không gian Peano.Vì vậy, theo Ví Fn = ( dụ 2.3.2 H = K ∪ [( a, b ), (c, d)] K ∩ [( a, b ), (c, d)] = ∅ tập bất biến hệ hàm lặp xác định ba hàm 2.4 TÍNH CHẤT TÔPÔ CỦA TẬP BẤT BIẾN QUA HỆ HÀM LẶP TÔPÔ Đối với hệ hàm lặp không gian mêtric người ta thu số kết tính chất tôpô tập bất biến Trong phần này, đưa số tính chất tôpô tập bất biến qua hệ hàm lặp tôpô tính liên thông, liên thông đường, họ liên thông 2.4.1 Mệnh đề Cho ( X, τ ) không gian tôpô, S = (( X, τ ), ( f k )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô A tập bất biến S Khi i) Nếu A liên thông Ak = f k ( A) liên thông với k = 1, n ii) Nếu A liên thông đường Ak = f k ( A) liên thông đường với k = 1, n Chứng minh i) Vì A liên thông f k : X → X liên tục với k = 1, n nên theo Mệnh đề 1.1.6(i) Ak = f k ( A) liên thông với k = 1, n ii) Vì A liên thông đường f k : X → X liên tục với k = 1, n nên theo Mệnh đề 1.1.6(ii) Ak = f k ( A) liên thông đường với k = 1, n 37 Ta có mệnh đề sau 2.4.2 Mệnh đề Cho ( X, τ ) không gian tôpô, S = (( X, τ ), ( f k )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô, A tập bất biến S ∩nk=1 Ak = ∅ Ak = f k ( A) với k = 1, n Khi i) Nếu Ak = f k ( A) liên thông với k = 1, n A liên thông ii) Nếu Ak = f k ( A) liên thông đường với k = 1, n A liên thông đường Chứng minh i) Vì Ak = f k ( A) liên thông với k = 1, n ∩nk=1 Ak = ∅ nên theo Mệnh đề 1.1.7(i) A = ∪nk=1 Ak liên thông ii) Vì Ak = f k ( A) liên thông đường với k = 1, n ∩nk=1 Ak = ∅ nên theo Mệnh đề 1.1.7(ii) A = ∪nk=1 Ak liên thông đường Ta có mệnh đề 2.4.3 Mệnh đề Cho ( X, τ ) không gian tôpô, S = (( X, τ ), ( f k )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô A tập bất biến S Nếu A liên thông liên thông địa phương A liên thông đường Chứng minh Vì A tập compact, liên thông liên thông địa phương nên A không gian Peano Theo Định lí 1.1.17, tồn hàm f : [0, 1] → A liên tục toàn ánh Khi đó, a, b ∈ A tồn x, y ∈ [0, 1] thỏa mãn f ( x) = a, f (y) = b Đặt f ( x − zx) với z ∈ [0, 12 ] g (z) = f (2zy − y) với z ∈ [ 21 , 1] với z ∈ [0, 1] Vậy, với a, b ∈ A tồn hàm g : [0, 1] → A liên tục với g(0) = f ( x) = a, g(1) = f (y) = b Ta suy ra, A liên thông đường Ta có mệnh đề sau 2.4.4 Mệnh đề Cho ( X, τ ) không gian tôpô, S = (( X, τ ), ( f k )k=1,n ) hệ hàm lặp tôpô, A tập bất biến S Ak = f k ( A) với k = 1, n Khi đó, ta có i) Tập Ak liên thông đường với k ∈ {1, , n} tập Aω liên thông đường với ω ∈ ∧m m ∈ N ∗ ii) Tập Ak liên thông với k ∈ {1, , n} tập Aω liên thông với ω ∈ ∧m m ∈ N ∗ 38 Chứng minh i) Điều kiện cần Giả sử tập Ak liên thông đường với k ∈ {1, , n} ta cần chứng minh tập Aω liên thông đường với ω ∈ ∧m m ∈ N ∗ Thật vậy, ta có ω ∈ ∧m tức ω : N ∗m → N ∗n , ω = ω1 ω2 ωm ω j ∈ {1, 2, , n}, j ∈ {1, 2, , m} Khi đó, Ai liên thông đường với i ∈ {1, , n} nên Aω j liên thông đường với ω j ∈ {1, 2, , n} Nếu m = Aω = Aω1 liên thông đường Nếu m ≥ Khi Aω = f ω ( A) = f ω1 ω2 ωm−1 ( f ωm ( A)) = f ω1 ω2 ωm−1 ( Aωm ) Vì Aωm liên thông đường f ω1 ω2 ωm−1 liên tục nên Aω liên thông đường với ω ∈ ∧m m ∈ N ∗ Điều kiện đủ hiển nhiên m = ii) Lập luận tương tự trường hợp i) ta có điều cần chứng minh 39 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau Trình bày khái niệm hệ hàm lặp tôpô Chứng minh tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp (Định nghĩa 2.1.1, Định lý 2.1.2) Trình bày ví dụ minh họa hệ hàm lặp tôpô tập bất biến, ví dụ hệ hàm lặp tôpô mở rộng thực hệ hàm lặp từ không gian mêtric lên không gian tôpô (Ví dụ 2.3.1, Ví dụ 2.3.2, Ví dụ 2.3.3, Ví dụ 2.3.4 Ví dụ 2.3.5) Trình bày chứng minh chi tiết mối quan hệ hệ hàm lặp hệ hàm lặp tôpô (Mệnh đề 2.2.1) Đưa chứng minh số tính chất tôpô tập bất biến qua hệ hàm lặp tôpô (các kết Mục 2.4) 40 Tài liệu tham khảo [1] Hồ Thuần, Hà Huy Khoái, Đinh Mạnh Tường(1973), Tôpô đại cương, nhà xuất Đại học trung học Chuyên Nghiệp [2] MF Barnsley (1993), Fractals everywhere, Academic Press Professional, Boston [3] D.Dumitru, A Mihail (2009), A sufficient condition for the connectedness of the attractors of infinite iterated function systems, An St Un Al I Cuza Iasi Mat (N S), Suppl 1, 87- 94 [4] D Dumitru (2011), Topological properties of the attractors of iterated function systems, An St Univ, Ovidius Constanta, Seria Matematical, Vol 19(3), 117- 126 [5] D Dumitru (2012), Attractors of Topological Iterated Function Systems , Analele Univ Spiru Haret Bucharest, Anul VIII, nr 11-16 [6] J.Hutchinson (1981), Fractals and self- semilarity, Indiana Univ [7] A Mihail (2010), On the connectivity of attractors of iterated function systems, Rocky Mountain Journal of Mathermatics, Volum 40, Number 6, 19491964 [8] A Mihail (2012), Topological Version of Iterated Funtion Systems, An.Stiint Univ Al I Cuza, Iasi,( S.N.), Matematical, Tom LVIII, f.1, 105-120 [9] A Mihail (2012), Topological iterated function systems, An St Un Al I.Cuza, Iasi (S.N.), Tomul LVIII, f.1, doi: 10.2478/v10157-011-0044-x, 105121 41 [...]... biến của hệ hàm lặp S = (∧(N ∗n ), ( Fk )k=1,n ) 17 Chương 2 HỆ HÀM LẶP TÔPÔ Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm hệ hàm lặp tôpô, trình bày chứng minh sự tồn tại tập bất biến qua hệ hàm lặp này, mối liên hệ giữa hệ hàm lặp tôpô và hệ hàm lặp, trình bày các ví dụ, tính chất tôpô của tập bất biến 2.1 HỆ HÀM LẶP TÔPÔ VÀ SỰ TỒN TẠI TẬP BẤT BIẾN Phần này trình bày khái niệm về hệ hàm lặp tôpô, ... là hệ hàm lặp tôpô (TIFS) Như vậy, một hệ hàm lặp trên không gian mêtric đầy đủ ( X, d) cũng là một hệ hàm lặp tôpô trên không gian tôpô ( X, τd ) Vì ánh xạ liên tục chưa chắc đã co, do đó ta không đặt vấn đề về bài toán ngược của Mệnh đề 2.2.1 Tiếp theo ta nghiên cứu điều kiện để từ một hệ hàm lặp tôpô sinh ra một hệ hàm lặp tôpô khác 2.2.2 Mệnh đề ([8]) Cho ( X, τ ), (Y, τ , ) là hai không gian tôpô. .. TÔPÔ Phần này trình bày mối liên hệ giữa hệ hàm lặp trên không gian mêtric và hệ hàm lặp tôpô 2.2.1 Mệnh đề ([8]) Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ và hệ hàm lặp (IFS) S = ( X, ( f k )k=1,n ) Khi đó, S∗ = (( X, τd ), ( f k )k=1,n ) là hệ hàm lặp tôpô (TIFS) với τd là tôpô sinh bởi mêtric d trên X Chứng minh Để chứng minh S∗ = (( X, τd ), ( f k )k=1,n ) là hệ hàm lặp tôpô ta cần chứng minh nó thỏa... ) thì ta có Fω = Fω1 ◦ Fω2 ◦ ◦ Fωm và ∧ω (N ∗n ) = Fω (∧(N ∗n )) Cho hệ hàm lặp tôpô S = (( X, τ ), ( f k )k=1,n ) Khi đó, tương tự như trường hợp hệ hàm lặp ta xác định hàm FS : K ∗ ( X ) → K ∗ ( X ) B → FS ( B) = ∪nk=1 f k ( B) 2.1.2 Định lí ([8]) Giả sử ( X, τ ) là không gian tôpô và S = (( X, τ ), ( f k )k=1,n ) là hệ hàm lặp tôpô trong X Khi đó, 1) Với mỗi ω ∈ ∧(N ∗n ) và mỗi K ∈ K ∗ ( X ) thỏa... thì S, = ((Y, τ ), ( gk )k=1,n ) là hệ hàm lặp tôpô Chứng minh Vì ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ và S = (( X, d), ( f k )k=1,n ) là IFS nên theo Mệnh đề 2.2.1 (( X, τd ), ( f k )k=1,n ) là TIFS Từ đó, áp dụng Mệnh đề 2.2.2 ta có S, = ((Y, τ ), ( gk )k=1,n ) là hệ hàm lặp tôpô 2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ TẬP BẤT BIẾN CỦA HỆ HÀM LẶP TÔPÔ Phần này trình bày một số ví dụ về TIFS và tập bất biến qua TIFS, đồng... hệ hàm lặp tôpô trong Y Từ Mệnh đề 2.2.1 và Mệnh đề 2.2.2 ta có hệ quả sau 2.2.3 Hệ quả ([8]) Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ và S = (( X, d), ( f k )k=1,n ) là hệ hàm lặp Nếu (Y, τ ) là không gian tôpô Hausdorff và ( gk )k=1,n là họ các hàm liên tục trong Y thỏa mãn tồn tại đồng phôi φ : X −→ Y với tính chất gk ◦ φ = φ ◦ f k với mỗi k ∈ {1, 2, , n}, thì S, = ((Y, τ ), ( gk )k=1,n ) là hệ. .. ∗ (X ), h) là không gian mêtric đầy đủ n→ ∞ 1.2 HỆ HÀM LẶP Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày khái niệm hệ hàm lặp trên không gian mêtric, chứng minh sự tồn tại tập bất biến của hệ hàm lặp và ví dụ minh họa 1.2.1 Định nghĩa ([4]) Cho ( X, d) là một không gian mêtric, f k : X → X, k = 1, n là các ánh xạ co Khi đó, họ ( f k )k=1,n được gọi là hệ hàm lặp (Interated Function Systems - IFS) trên không... không gian mêtric và S = ( X, ( f k )k=1,n ) là hệ hàm lặp Khi đó, tập A ∈ K ∗ ( X ) trong Định lý 1.2.4 được gọi là tập bất biến (tập hút, tập Fractal) của hệ hàm lặp S = ( X, ( f k )k=1,n ) 1.2.6 Ví dụ Trên R với khoảng cách trị tuyệt đối, xét hàm f 1 , f 2 : R → R xác định như sau x 1 x ; f2 (x) = + 2 2 2 Khi đó, S = (R, { f 1 , f 2 }) là hệ hàm lặp và tập bất biến là A = [0, 1] Thật vậy f1 (x)... không gian tôpô Hausdorff và TIFS S = (( X, τ ), ( f k )k=1,n ) Tập A được xác định như trong Định lí 2.1.2 gọi là 25 tập bất biến của TIFS S 2.1.4 Định nghĩa ([8]) Cho không gian mêtric (∧(N ∗n ), dS ) Hàm π : ∧(N ∗n ) → A được gọi là phép chiếu chính tắc giữa không gian dịch chuyển của TIFS S = (( X, τ ), ( f k )k=1,n ) vào tập bất biến của TIFS S 2.2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA HỆ HÀM LẶP VÀ HỆ HÀM LẶP TÔPÔ Phần... Cho ( X, τ ) là không gian tôpô Hausdorff và t : [0, 1] −→ X là hàm liên tục cho nên K = t([0, 1]) là không gian Peano Xét f : [0, 1] −→ X là liên tục và đơn ánh Khi đó, H = K ∪ f ([0, 1]) là tập bất biến của hệ hàm lặp tôpô xác định bởi ba hàm, trong đó K ∩ f ([0, 1]) = { f (0)}, và giả sử rằng t (0 ) = f (0 ) Chứng minh Dễ kiểm tra được [0, 1] là tập bất biến của hệ hàm lặp S = ([0, 1], { f 1 , f ... MỐI LIÊN HỆ GIỮA HỆ HÀM LẶP VÀ HỆ HÀM LẶP TÔPÔ Phần trình bày mối liên hệ hệ hàm lặp không gian mêtric hệ hàm lặp tôpô 2.2.1 Mệnh đề ([8]) Cho ( X, d) không gian mêtric đầy đủ hệ hàm lặp (IFS)... Hệ hàm lặp tôpô tồn tập bất biến 2.2 Mối liên hệ hệ hàm lặp hệ hàm lặp tôpô 2.3 Một số ví dụ tập bất biến hệ hàm lặp tôpô 2.4 Tính chất tôpô tập bất biến qua hệ hàm lặp tôpô Tài liệu... hệ hàm lặp tôpô Chứng minh tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp (Định nghĩa 2.1.1, Định lý 2.1.2) Trình bày ví dụ minh họa hệ hàm lặp tôpô tập bất biến, ví dụ hệ hàm lặp tôpô mở rộng thực hệ hàm lặp