Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống

Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu hạn các phép biến đổi affine cho phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình ảnh của các đối tượng trong tự nhiên.. Ngoài các công trình có tính c

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CHO SINH ẢNH FRACTAL 4

CHƯƠNG 2 : CÁC THUẬT TOÁN DỰA VÀO HỆ HÀM LẶP 32

CHƯƠNG 3: SINH ẢNH DỰA VÀO HỆ THỐNG ĐỘNG(CHAOS) 36

CHƯƠNG 4: MÔ TẢ CHƯƠNG TRÌNH 54

CHƯƠNG 5: ỨNG DỤNG FRACTAL 57

LỜI CẢM ƠN 60

KẾT LUẬN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

LỜI NÓI ĐẦU

Có thể nhiều người khi lần đầu nghe tới khái niệm Fractal thì đều không khỏi cảm thấy bỡ ngỡ đặc biệt là đối với những người không thuộc chuyên ngành Tuy nhiên nếu đi vào tìm hiểu sơ qua thôi chúng ta sẽ thấy trong thực tế của cuộc sống, hầu như tất cả mọi lĩnh vực của cuộc sống đều có những ứng dụng từ khái niệm này Từ các lĩnh vực yêu cầu cập nhật thông tin liên tục như thị trường chính khoán cho đến các lĩnh vực của cuộc sống thường nhật như y tế, thời trang , nghệ thuật… Ngay trong một chương trình

mà chúng ta đều sử dụng hàng ngày đó là chương trình Windows Media Player thì Fractal cũng được áp dụng Điều đó cho thấy phạm vi ứng dụng của phương pháp Fractal là dường như không giới hạn

Fractal là tên gọi của thuật toán đồ họa Nói một cách dễ hiểu thì thuật

toán này xây dựng nên những hình ảnh từ những đối tượng giống nhau (tương

tự như thuật toán đệ quy, khi một đối tượng được định nghĩa bằng chính nó).

Khi xem những hình ảnh được xây dựng bằng thuật toán Fractal, người dùng có thể nhận ra những đối tượng xuất hiện nhiều lần trong hình ảnh, nhưng chính điều này sẽ tạo nên tính chất trừu tượng và vẻ đẹp cho hình ảnh đó

Sinh ảnh bằng phương pháp Fractal là một trong 3 ứng dụng lớn của lý thuyết hình học Fractal hiện nay: ứng dụng sinh ảnh Fractal, ứng dụng nén ảnh Fractal, ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản Cùng với sự phát triển vượt bậc của máy tính cá nhân trong những năm gần đây, công nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vực như trò chơi, anmation video…nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó Công nghệ này đòi hỏi sự mô tả các hình ảnh của thế giới thực trên máy PC với sự phong phú về chi tiết và màu sắc với sự tốn kém rất lớn về thời gian và công sức Gánh nặng đó hiện nay đã được giảm nhẹ đáng kể nhờ các mô tả đơn giản nhưng đầy đủ của lý thuyết fractal về các đối tượng tự nhiên Với hình học fractal khoa học máy tính có trong tay một công cụ mô tả tự nhiên vô cùng mạnh mẽ Ngoài các ứng dụng trong lĩnh vực giải trí, hình học fractal còn có mặt trong các ứng dụng tạo ra các hệ đồ họa trên máy tính

Các hệ này cho phép người sử dụng tạo lập và chỉnh sửa hình ảnh, đồng thời cho phép tạo các hiệu ứng vẽ rất tự nhiên, hết sức hoàn hảo và phong phú,

ví dụ hệ phần mềm thương mại Fractal Design Painter của công ty Fractal Design Hệ này cho phép xem các hình ảnh dưới dạng hình họa vectơ cũng như sử dụng các ảnh bitmap như các đối tượng Như đã biết, các ảnh bitmap được hiển thị hết sức nhanh chóng, thích hợp cho các ứng dụng mang tính tốc

độ, các ảnh vector mất nhiều thời gian hơn để trình bày trên màn hình(vì phải được tạo ra bằng cách vẽ lại) nhưng đòi hỏi rất ít vùng nhớ làm việc Do đó ý tưởng kết hợp ưu điểm của hai loại đối tượng này sẽ giúp tiết kiệm nhiều thời gian cho người sữ dụng các hệ mềm này trong việc tạo và hiển thị các ảnh có

độ phức tạp cao

Chính vì phạm vi rộng lớn của Fractal và vì thời gian nghiên cứu không cho phép nên trong tài liệu này, chúng em chỉ xin đi vào những khái niệm căn bản của bộ môn này Mặc dù vậy chúng em cũng hy vọng rằng tài liệu sẽ giúp người đọc hiểu hơn và thấy được nhiều điều thú vị ở phương pháp sinh ảnh Fractal nói riêng cũng như là bộ môn này nói chung Tài liệu này gồm có các

chương như sau:

Bạn có thể tham khảo thêm những hình ảnh sau đây :

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

CHO SINH ẢNH FRACTAL

1.1 Các kiến thức toán học cơ bản cho sinh ảnh Fractal:

1.1.1 Giới thiệu:

1.1.1.1 Sự ra đời của Fractal:

Từ hơn 2000 năm nay, con người đã quen với việc dùng hình học Ơcơlit (Euclid) để mô tả hình dạng sự vật hiện tượng Nhưng công việc đó chỉ thực

sự có ích cho việc mô tả những hình dạng đặc biệt còn đối với rất nhiều hiện tượng sự vật xảy ra trong tự nhiên nếu chỉ dùng hình học Ơcơlit thì không thể được mô tả hữu hiệu Chính vì vậy mà một loại hình học mới ra đời đó là hình học Fractal “hình học của tự nhiên” Tuy mới hình thành khoảng cuối thế kỷ

19 đầu thể kỷ 20 nhưng nó đã đem lại một số ứng dụng và cách nhìn nhận mới trong lĩnh vực toán học

Sự ra đời của lý thuyết hình học fractal là kết quả của nhiều thập kỷ nỗ lực giải quyết cácvấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học chính xác, đặc biệt là vật lý và toán học Một cách cụ thể, lý thuyết hình học fractal được xây dựng dựa trên 2 vấn đề lớn được quan tâmở những thập niên đầu thế kỷ 20 Các vấn đề đó bao gồm:

- Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên

- Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Euclide cổ điển

Năm 1979, nhà toán học Benoit Mandelbrot áp dụng tập Mandelbrot đầy

kì ảo lên máy tính Ông đã khám phá ra một lãnh vực hình học mới đầy thú vị cho phép phản ánh thế giới thực một cách tự nhiên hơn so với hình học Euclid Tất cả những hình ảnh mà ta thường gặp trong tự nhiên như : núi, mây, sông, nước… nay máy tính đã có khả năng mô tả được bằng phương pháp fractal

Để thấy rõ hơn sức mạnh của fractal trong mô tả tự nhiên bạn có thể xem thêm

bộ sưu tập ảnh fractal kèm theo

Trong giai đoạn này B Mandelbrot và các nhà toán hoc khác như

A.Douady và J.Hubbard đã đặt nền móng và phát triển lí thuyết cho hình học

trúc fractal cơ sở như tập Maldenbrot và tập Julia Ngoài ra các ngiên cứu khác cũng cố gắng tìm kiếm mối quan hệ giữa các cấu trúc này, ví dụ như mối quan hệ giữa Maldenbrot và Julia.

Dựa trên các công trình của Maldenbrot (trong những năm 1976, 1979, 1982) và Hutchinson(1981), vào các năm 1986,1988 Michael F.Barnsley và M.Begger đã phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa trên cơ

sở lý thuyết về các hệ hàm lặp IFS

Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu hạn các phép biến đổi affine cho phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình ảnh của các đối tượng trong tự nhiên Theo lý thuyết này hình học Euclide cổ điển rất có hiệu lực trong việc biểu diển các đối tượng nhân tạo như một tòa nhà, một cổ máy nhưng lại hoàn toàn không thích hợp cho việc biểu diễn các đối tượng của thế giới thực vì đòi hỏi một lượng quá lớn các đặc tả cần có Nếu như trong hình học Euclide các yếu tố cơ sở là đường thẳng, đường tròn, hình vuông…thì lý thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với các yếu tố cơ sở mới là vô số thuật toán để vẽ nên các fractal của tự nhiên

Ngoài các công trình có tính chất lý thuyết, hình học fractal còn được

bổ sung bởi nhiều nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào khoa học máy tính và các khoa học chính xác khác, ví dụ như dựa trên lý thuyết IFS, Barnsley đã phát triển lý thuyết biến đổi fractal áp dụng vào công nghệ nén ảnh tự động trên máy tính, là một lĩnh vực đòi hỏi những kỹ thuật tiên tiến nhất của tin học hiện đại

Hiện nay nhiều vấn đề, về lý thuyết fractal vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài toán về các độ đo đa Fractal(multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng các khái niệm số chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời cũng liên quan đến việc áp dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự nhiên

Bắt đầu là Georg Cantor, nhà toán học Đức (1845 - 1918) đã đưa ra tập Cantor vào năm 1883 bằng cách đưa ra đoạn [0,1] rồi bỏ khoảng giữa (1/3,2/3)

và lặp lại quá trình này với từng đoạn con Sau đó là Giuseppe Peano (1890), David Hilbert (1891), Helge von Koch (1904), Waclaw Sierpinski (1916)…đã đưa ra một loạt các đường cong “lạ” có đặc điểm là tự đồng dạng (mỗi đoạn nhỏ của đường cong giống như đoạn lớn) Số chiều khác với hình học truyền

thống Khi mới xuất hiện nó không được các nhà toán học truyền thống đón nhận và công cụ máy tính chưa phát triển Nên cho mãi đến giữa thế kỷ 20 Edward Lorenz (trường đại học công nghệ Massachussetts) trong quá trình xem xét việc dự báo thời tiết ông đã tìm ra các phương trình vi phân mà kết quả của các phương trình này không ổn định hoặc tuần hoàn, nhận tập giá trị

có thể đoán được và liên tục tới vô cùng nhưng không bao giờ giống nhau Đường cong nổi tiếng là tập hút Lorenz Tiếp theo vào những năm 70 Robert May đã tìm ra phương trình phát triển dân số:

xn-rxn-1(1-xn-1)

Khi thí nghiệm với giá trị khác nhau của r, May đã tìm ra nguồn chaos

Cùng với sự phát triển ngày càng tăng của tốc độ máy tính ngày nay ta có thể thấy được các hình ảnh fractal bằng việc ứng dụng các phương pháp sinh ảnh fractal như: sinh ảnh bằng hệ hàm lặp (Michel Barnley những năm 80), bằng

hệ thống động hỗn độn (chaos), bằng phương pháp nội suy fractal

Đặc trưng của fractal:

- Số chiều không nguyên

khác Tập Cantor có vai trò trong nhiều lĩnh vực như trong toán học, trong thực tế, có ý nghĩa sâu sắc trong hệ thống hỗn độn và là cơ sở cho nhiều fractal khác.

Tập Cantor là tập vô hạn các điểm trong khoảng [0,1] Bắt đầu từ [0,1] loại bỏ khoảng mở (1/3,2/3) ở giữa có độ dài bằng 1/3 đoạn gốc thì còn lại hai đoạn [0,1/3], [2/3,1] Thực hiện quá trình loại bỏ tiếp tục như vậy sau n bước thì còn lại 2n khoảng với độ dài 1/3n Như vậy tập Cantor là tập các điểm còn lại nếu ta loại bỏ khoảng giữa sau vô hạn bước Một điểm được gọi là thuộc tập Cantor nếu trong quá trình loại bỏ nó không bị mất đi Không thể đánh số các điểm thuộc tập Cantor vì không thể xác định được đâu là điểm kết Tập Cantor là tập không đếm được Tập Cantor có đặc tính tương tự: cấu trúc của một khoảng nhỏ giống như cấu trúc của cả tập

Còn được gọi là miếng đệm Sierpinski được giới thiệu bởi Waclaw Sierpinski vào năm 1916 Bắt đầu từ một tam giác trong mặt phẳng bỏ đi phần tam giác ở giữa Bằng cách nối các điểm giữa của 3 cạnh nhưng không bỏ đi điểm đó Phần còn lại là 3 tam giác có kích thước bằng 1/3 tam giác trước Thực hiện tương tự với 3 tam giác đó Lặp lại vô hạn quá trình này ta thu được tam giác Sierpinski Tam giác Sierpinski có đặc tính tương tự: phóng to một phần nhỏ lên ta được chính tam giác Sierpinski

• Đường cong Von Koch

Helge Von Koch đã giới thiệu đường cong Koch vào năm 1904 Cách đơn giản để xây dựng đường cong Koch bắt đầu từ một đoạn thẳng chia làm 3 phần bằng nhau Sau đó thay thế đoạn thẳng ở giữa bằng tam giác đều và bỏ đi chính đoạn vừa thay thế Ta thu được một hình gồm 4 đoạn thẳng Lặp lại quá

trình trên với 4 đoạn thẳng đó vô hạn lần thu được đường cong Koch có đặc tính tương tự được tạo ra do quá trìh xây dựng.

• Bông tuyết Koch:

Bông tuyết Koch được xây dựng tương tự như trên nhưng khởi đầu là một tam giác đều, mỗi cạnh sẽ là một đường cong Koch

• Tập Julia:

Xét đa thức x2+c trong không gian phức C Ta xác lập c và chọn giá trị

của x thì tính được x2+c Sau đó thay thế giá trị vừa có cho x và lại tính x2+c,

cứ tiếp tục như vậy sẽ sinh ra một dãy số phức:

x→ x2+c→ (x2+c)2+c→((x2+c)2+c)2+c→…

Dãy này có một trong hai đặc tính sau:

- Dãy không có đường biên: các phần tử của dãy thoát khỏi vòng tròn gốc

- Hoặc dãy có đường biên cố định: dãy không thoát khỏi vòng tròn gốc.

Tập các điểm có đặc tính đầu gọi là tập thoát của c, còn tập các điểm có đặc tính thứ hai gọi là tập bị chặn của c Cả hai tập đều không rỗng Ví dụ: cho

c với x đủ lớn thì x2+c lớn hơn x Như vậy, tập thoát bao gồm những điểm x rất lớn Ngược lại, nếu chọn x sao cho x= x2+c thì việc lặp còn lại là không đổi Cả hai tập này phủ lên những phần của không gian phức Biên của tập bị chặn đồng thời là biên của tập thoát Biên đó chính là tập Julia của c (hoặc

x2+c) Tập Julia có cấu trúc lặp với tỷ lệ khác nhau, nó được phủ bằng cách tự sao lại chính nó nhưng những bản sao này đạt được bởi một biến đổi không tuyến tính Đặc tính tự đồng dạng của tập Julia có bản chất khác với tam giác Sierpinski

Định nghĩa: Cho f: c→c là đa thức bậc lớn hơn một, Ff là tập các điểm

trên không gian phức C, quĩ đạo của nó không hội tụ tới điểm vô hạn Có

nghĩa là tập Ff được gọi là tập phủ tập Julia kết hợp với đa thức f Biên của Ff

được gọi là tập Julia của f và kí hiệu là Jf

1.1.2 Một số khái niệm cơ bản:

1.1.2.1 Không gian Metric:

• Không gian:

Định nghĩa 1:

Không gian X là một tập mà các điểm của không gian là các phần tử của tập đó

Định nghĩa 3:

Hai metric d1 và d2 được gọi là tương đương trên X nếu tồn tại các hằng

số 0<c1, c2 sao cho: c1d1(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ c2d1(x,y) ∀(x,y) ∈ X×X

Định nghĩa 4:

Hai không gian Metric (X1,d1) và (X2,d2) là tương đương nếu tồn tại hàm h: X1→X2 là song ánh sao cho metric d1 trên X1 được định nghĩa bởi công thức:

d1 (x,y) = d2(h(x),h(y)) ∀ (x, y)∈X1

là tương đương với d1.

Định nghĩa 5:

Hàm f: X1→X2 từ không gian metric (X1, d1) và không gian metric (X2,

d2) là hàm liên tục nếu với mỗi ε >0 và x∈X1 ∃δ>0 sao cho:

d1(x, y) < δ ⇒ d2(f(x), f(y)) < ε

• Dãy Cauchy, hội tụ, tập đóng, không gian metric đầy đủ :

Định nghĩa 6:

Dãy {xn}n ∞=1 các điểm trên không gian metric (X,d) được gọi là dãy Cauchy

ví dụ: Các không gian sau là không gian metric đầy đủ:

(R, d) (R2, d) với d là metric Ơclit

S= S ∪{các điểm giới hạn của S}

S là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó : S=

Ví dụ : S = {x=1/n; n=1, 2, } là tập đóng trên ([0, 1], d), d là metric Ơcơlit

• Tập compact, tập giới nội, tập mở:

d(x, yi) < ε víi y∈{ y1, y2, , yn}

Định lý:

(X, d) là không gian metric đầy đủ S⊂X S là tập compact và đầy đủ nếu

nó đóng và giới nội toàn phần

Định nghĩa 14:

S⊂X là tập con của không gian metric (X, d) S được gọi là tập mở nếu với mỗi s∈S ∃ε>0 sao cho B(x, ε)={y∈X:d(x, y)≤ε}⊂S

1.1.2.2 Không gian Hausdorff (H(x), h):

Phần này trình bày một số khái niệm về không gian Hausdorff là cơ sở

Định nghĩa 17:

(X, d) là không gian metric đầy đủ A, B∈H(X) khi đó khoảng cách từ tập

A tới tập B được xác định như sau:

d(A, B)=Max{d(x, B):x∈A}

+) h(A, B) = d(A, B) ) ∨ d(B, A) = d(B, A) ∨ d(A, B) = h(B, A)

+) A≠B ∈H(X) ⇒ có thể tìm được a∈A, a∉B :

d (a, B) > 0 ⇒ h (A, B) ≥ d(a,B) > 0

+) h (A, A) = d(A, A)∨d(A, A) = d(A, A) = Max{d(a, A):a∈A} = 0+) d (a, B) = min{d(a, b) : b∈B}, a ∈ A

≤ min{d(a, c)+d(c, b):b∈ B} ∀c∈C = d(a, C)+min{d(c, b):b ∈ B} ∀c∈C ≤d(a, C)+max{min{d(c, b):b∈B}:c∈C}

≤d(a, C)+d(c, B)d(A, B) = max{d(a, B): a∈A}≤d(a, C)+d(C, B)

≤d(A, C)+d(C, B)

Tương tự có d(B, A) ≤d(B, C)+d(C, A)

h(A, B) = d(A, B) ∨d(B, A)

≤ (d(A, C)+d(C, B))∨(d(B, C)+d(C, A)) ≤ d(A, C)∨d(C, A)+d(C, B)∨d(B, C)

Định lý: (Về tính đầy đủ của không gian fractal)

(X, d) là không gian metric đầy đủ thì (H(X), h) cũng là không gian metric đầy đủ Hơn nữa nếu {An∈H(X)}n ∞=1 là dãy Cauchy thì A= limn →∞An

∈H(X)

Có thể mô tả giới hạn của dãy như sau:

A= {x∈X : {xn ∈ An } là dãy Cauchy hội tụ đến x}

Biến đổi f: X→ X trên không gian metric (X, d) được gọi là co hay ánh

xạ co nếu tồn tại hằng số 0 ≤ s < 1 sao cho:

∀x, y∈X

khi đó s được gọi là hệ số co của f.

W(B) = w (B)1 ∪ w (B) w (B) =2 ∪ n N w (B)n

=

n 1

U

Với mỗi B∈ H(X) thì w là ánh xạ co với hệ số co s= Max{sn:n=1, 2, , N}.

1.1.3.2 Hệ hàm lặp IFS (Interated Function System):

Định nghĩa 21:

Một hệ hàm lặp bao gồm không gian metric đầy đủ (X, d) cùng với tập hữu hạn các ánh xạ co wn:X→X với hệ số co tương ứng sn, 0≤sn<1, với n=1, 2, , N

Ký hiệu: {X;wn, n=1, 2, , N} và hệ số co của nó s= Max{sn:n=1, 2, , N}

Định lý IFS:

Xét một IFS {X;wn, n=1, 2, , N} là hệ hàm lặp (hyberbol) với hệ số co

s, 0≤sn<1 Thì biến đổi W:H(X)→H(X) được xác định như sau:

) (

= W(B) N

1

= n

Cho (X, d) là không gian metric, biến đổi w0:H(X)→H(X) được xác định

w0(B)= C với mọi B∈H(X) Thì w0 được gọi là biến đổi cô đọng và C được gọi

là tập cô đọng

Định nghĩa 24:

Cho {X;wn, n=1, 2, , N} là hệ hàm lặp hyperbol với hệ số co 0≤s<1 Nếu w0:H(X)→H(X) là một biến đổi cô đọng thì {X;wn, n=0, 1, 2, , N} là hệ hàm lặp hyperbol cô đọng với hệ số co s

Định lý:

Cho {X;wn, n=0, 1, 2, , N} là hệ hàm lặp hyperbol cô đọng với hệ số co

s thì biến đổi W:H(X)→H(X) được xác định như sau:

∀B∈H(X)

là ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ (H(X), h(d)) với hệ số co s Khi đó:

h(W(B), W(C)) ≤ s.h(B, C) ∀B, C ∈H(X)điểm cố định duy nhất A ∈H(X) thỏa mãn:

với h(d) là metric Hausdorff thì h(L, A) ≤ε/(1- s) với A l à tập hút của IFSA=limn →∞wn(L)

A=L∪w(L) ∪w2(L) ∪ =wn(L)Tức là :

∀L∈H(X)

Tập A và A0 cho trước A, A0 ∈H(X), hệ w0, w1, , wn tạo thành hệ IFS hyperbol thì: h(A, w(A0)∪w2(A0)∪ ∪ )≤ ε/(1-s) Nếu đầu tiên tập xuất A0

phát khác tập cho trước A là ε thì sau lần lặp sẽ khác là ε/(1-s) Ý nghĩa của định lý cắt dán nhằm đánh giá sự hội tụ của thuật toán lặp

1.2 Số chiều Fractal:

Fractal "to" bao nhiêu? Khi nào hai fractal tương tự nhau theo một nghĩa nào đó? Làm thế nào để có thể nói liệu hai fractal khác nhau có tương đương

về mặt metric hay không? v v và v v

Có nhiều đại lượng khác nhau liên quan đến fractal mà chúng ta có thể dùng để so sánh các fractal với nhau Các đại lượng này gọi chung là các chiều fractal Chúng dùng để đánh giá về việc fractal trù mật ra sao trong không gian metric mà nó trú ngụ Như vậy số chiều fractal là cách để so sánh các fractal với nhau

Số chiều fractal là quan trọng, bởi lẽ chúng có thể được định nghĩa với

dữ liệu thực, chúng cũng có thể được đo một cách gần đúng bằng thực nghiệm Chẳng hạn, chúng ta có thể đo "số chiều fractal" của bờ biển Việt nam Về nguyên tắc, những thứ sau đều có số chiều fractal: mây, cây cối, bờ biển, hệ thống nơ ron thần kinh trong cơ thể người, bụi bẩn trong không khí tại một thời điểm nhất định, quần áo chúng ta đang mặc trên người, phân bố của tần số ánh sáng phản chiếu bởi bông hoa, v v Những con số này cho phép chúng ta so sánh các tập hợp trong thế giới thực với fractal trong nghiên cứu khoa học, chẳng hạn như các điểm hút của IFS

Chúng ta giới hạn sự chú ý đến các tập compact trong các không gian metric mà thôi Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ Cho A∈ H(X) là tập compact không rỗng củaa X Với ε >0 ta kí hiệu B(X, ε) là hình cầu đồng tâm x∈X bán kính ε Chúng ta sẽ định nghĩa N(A, ε) là số nhỏ nhất cần có các hình cầu với bán kính ε để phủ được tập A, nghĩa là

N (A, ε) = số nguyên nhỏ nhất M sao cho A⊂

n

M

= 1

 B(xn, ε), trong đó{xn; n=1, 2, , M}⊂ X là tập các điểm phân biệt của X

Sự tồn tại của số N(A, ε) được đảm bảo bởi tính compact của tập A Thật vậy, với mỗi điểm x ∈X ta có thể dựng được hình cầu mở tâm x bán kính ε Khi đó, cho x chạy khắp X chúng ta sẽ nhận được một họ các hình cầu mở mà phủ toàn bộ tập A, họ này được gọi là một phủ mở của tập A Do A là compact nên từ phủ mở này có thể lấy ra được một phủ mở hữu hạn, tức là phủ mở gồm một số hữu hạn, chẳng hạn, gồm M hình cầu mở Lấy bao đóng mỗi một hình cầu mở trong số này, chúng ta thu được một phủ của tập A gồm

M hình cầu đóng Kí hiệu C là tập các phủ của A mà gồm nhiều nhất là M hình cầu đóng bán kính ε Khi đó tập C có ít nhất một phần tử Giả sử f:C→{1, 2, , M} được xác định bởi qui tắc: f(c)=số lượng các hình cầu trong phủ c∈C Thế thì {f(c); c∈C} là một tập hữu hạn các số nguyên dương, và do

đó tập này chứa số nguyên nhỏ nhất N(A, ε)

Về mặt cảm tính thì số chiều fractal có thể hiểu như sau: tập A có chiều fractal là D nếu như:

N(A, ε) ≡Cε -D,

Với hằng số C nào đó Trong diễn giải trên chúng ta cần hiểu kí hiệu ≡ theo nghĩa sau: với f(ε) và g(ε) là các hàm số thực của biến dương ε, thì f(ε) ≡ g(ε) có nghĩa là

.Nếu chúng ta muốn tìm D từ công thức trên thì sẽ có kết qủa

tồn tại, thì D được gọi là chiều fractal của tập A Trong những trường hợp cần thiết, chúng ta cũng sẽ sử dụng kí hiệu D thay cho D(A) để chỉ rõ rằng "tập A

có số chiều fractal là D"

Ví dụ

Xét không gian metric (R2, metric Ơcơlit) Giả sử a∈X và A={a} Khi

đó tập A chỉ gồm một phần tử của không gian Chúng ta dễ dàng thấy rằng với mỗi ε >0 luôn có N(Aε)=1 Như thế thì D(A)=0

Ví dụ

Không gian metric(R2, metric Manhattan) Giả sử A là đoạn thẳng [0, 1] Với mỗi ε >0 ta dễ dàng kiểm tra được rằng N(Aε)=-[-1/ε], ở đó [x] kí hiệu phần nguyên của số thực x Khi đó ∀ε∈(0, 1)

Cả hai vế đều tiến tới 1 khi ε→0 Vì thế, đại lượng ở giữa cũng tiến tới 1, tức là

.Vậy, số chiều fractal của đọan thẳng là 1 Có thể chứng minh rằng kết qủa không thay đổi, nếu chúng ta thay metric Manhattan bằng metric Ơcơlit

Ví dụ

Giả sử (X, d) là không gian metric Với a, b, c∈X chúng ta kí hiệu A={a,

b, c} Khi đó D(A)=0

Hai kết qủa dưới đây thể hiện sự đơn giản hóa qúa trình tính số chiều fractal Chúng cho phép chúng ta thay thế biến liên tục ε bằng biến rời rạc.

1 , thì A có số

chiều fractal bằng D

Định lý (Đếm hộp)

Cho A∈H(Rm), trong đó sử dụng metric Ơcơlit Phủ Rm bằng các hộp

kề nhau cạnh 1/2n Giả sử Nn(A) là số các hộp có giao không rỗng với điểm

Xét A={(x1, x2); 0≤ x1≤ 1, 0≤x2≤ 1}⊂R2 Dễ dàng thấy rằng N1(A)=4,

N2(A)=16, N3(A)=64, N 4(A)=256, , N n(A)=4n

Một câu hỏi xuất hiện: điều gì sẽ xảy ra với số chiều fractal nếu như chúng ta làm biến dạng tập hợp đi Kết qủa dưới đây cho chúng ta thấy rằng các tập hợp tương đương về metric sẽ có cùng số chiều fractal.

Định lý

Cho (X1, d1) và (X2, d2) là hai không gian metric tương đương Giả sử θ:

X1→X2 là phép biến đổi tạo nên sự tương đương giữa hai không gian Nếu như tập A1∈ H(X1) có số chiều fractal bằng D, thì tập A2=θ (A1) cũng có số chiều fractal bằng D, tức là

D(A1)=D(θ(A1))

Ví dụ

Xét tập Cantor C nhận được từ đọan [0, 1] với việc vứt bỏ "đọan một

phần ba ở giữa" Kí hiệu C∼là tập Cantor "sống" trong đọan [0, 3] bằng cách

bỏ đi "đọan một phần ba ở giữa" Khi đó, từ định lý trên suy ra hai tập này có cùng số chiều fractal Có thể kiểm tra điều này bằng cách sử dụng phương pháp đếm hộp

Ví dụ

Xét A là tập compact không rỗng của R2 Giả sử A có số chiều fractal là

D1 nếu tính theo metric Ơcơlit và có số chiều fractal D2 nếu tính theo metric Manhattan Khi đó D1=D2

1.2.1 Xác định trên lý thuyết số chiều Fractal:

Định nghĩa sau đây là sự mở rộng của định nghĩa ở mục trước Nó cho phép xác định số chiều fractal đối với lớp rộng hơn các tập hợp

Định nghĩa:

Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ Giả sử A∈H(X) và kí hiệu N(ε)

là số nhỏ nhất các hình cầu bán kính ε cần thiết để phủ A Nếu

tồn tại, thì D được gọi là số chiều fractal của tập A Chúng ta cũng sẽ sử dụng

kí hiệu D=D(A) và nói rằng tập A có số chiều fractal bằng D

Lưu ý rằng với mỗi hàm f(ε) với 0<ε <1 chúng ta viết

Dễ dàng chứng minh rằng nếu một tập hợp có số chiều fractal bằng D theo định nghĩa trước thì tập đó cũng có số chiều fractal bằng D theo định nghĩa sau Hơn thế nữa, mọi định lý nêu ra trong tài liệu này đều đúng cho bất

kì định nghĩa nào Rõ ràng là định nghĩa sau cho phép chúng ta tìm số chiều fractal trong một số trường hợp mà định nghĩa đầu không khẳng định được

Giả sử D(A) và D(A∪B) là số chiều fractal của tập A và tập A∪B Giả thiết rằng D(B)≤ D(A) Khi đó D(A∪B)=D(A)

Sau đây là một định lý rất tuyệt vời cho phép chúng ta thu được số chiều fractal của điểm hút của một lớp các hệ hàm lặp IFS quan trọng

Định lý:

Cho {Rm; w1, ., wN} là hệ hàm lặp IFS hypecbolic và kí hiệu A là điểm hút của IFS này Giả sử rằng wn có hệ số co là sn, với mọi n=1, , N Nếu như

IFS là không liên thông toàn phần thì điểm hút sẽ có số chiều fractal D(A) được tính theo công thức: là nghiệm duy nhất của bài toán

Nếu như IFS là lặp thì D≥D(A), trong đó Dlà nghiệm duy nhất của bài toán

1.2.2 Xác định trong thực nghiệm số chiều Fratal:

Trong mục này chúng ta sẽ xem xét cách xác định về mặt thực nghiệm số chiều fractal của các tập hợp trong thế giới vật lý Chúng ta mô hình hóa chúng một cách tốt nhất, điều đó có nghĩa là coi chúng như các tập trong không gian R2 hay R3 với metric Ơcơlit Khi đó, trên cơ sở định nghĩa về số chiều fractal, cũng như các định lý liên quan, chẳng hạn như Định lý đếm hộp, chúng ta sẽ phân tích mô hình để có được số chiều fractal đối với các tập trong thế giới thực

Trong phần này trình bày một số định nghĩa liên quan đến phương pháp tính kích thước fractal Hình học fractal là công cụ toán học đề cập tới hệ thống phức tạp mà nó không có đặc trưng chiều dài Hình dạng của bờ biển là một ví dụ nổi tiếng Khi chúng ta xem hai hình ảnh bờ biển ở hai tỉ lệ khác nhau với 1cm tương ứng với 0.1 km và 10 km, chúng ta không thể nói bức tranh ở tỉ lệ nào vì chúng rất giống nhau Điều đó có nghĩa rằng bất biến với tỉ

lệ hay không có tỉ lệ đặc trưng cho độ dài Một ví dụ khác: các con sông, khe nứt, núi và mây Các hệ thống bất biến tỉ lệ thường đặc trưng bởi số số chiều không nguyên ("fractal") Ký hiệu số chiều không nguyên và các tính chất cơ bản của các đối tượng fractal đã được nghiên cứu vào thế kỷ trước bởi Georg Cantor, Giuseppe Peano và David Hilber, và đầu thế kỷ này bởi Helge von Koch, Vaclaw Siepinski, Gaston Julia và Felix Hausdorff Thậm chí nhắc lại khái niệm này trước đây có thể tìm thấy lượng giác của Fedrich Gauss khoảng

200 năm trước trong công trình nghệ thuật của Albrecht Dur, Mandelbrot đã

chỉ ra sự liên quan giữa fractal tới nhiều hệ thống và đã trình bày nhiều tính chất quan trọng của fractal

Khi nói về số chiều fractal chúng ta hãy nhắc lại khái niệm số chiều trong các hệ thống chính qui Rõ ràng là trong các hệ thống chính qui (phân bố đều) như các đĩa kim loại lớn hay các hình lập phương đặc (filled) lớn đặc trưng khối lượng thay đổi với kích thước L như thế nào Nếu chúng ta xét một phần nhỏ của hệ có kích thước bL (b<1), thì M(bL) giảm đi bởi tỉ lệ với bd, tức là

M(bL)= bd M(L) (1.3)Lời giải phương trình hàm (3.1) đơn giản M(L)=ALd

Đối với thanh kim loại dài thì khối lượng thay đổi theo chiều dài tỉ lệ với

b, tức là d=1 Đối với các bản kim loại mỏng ta nhận được d=2 và đối với hình lập phương thì d=3

Tiếp theo chúng ta xét các đối tượng fractal Ở đây chúng ta phân biệt giữa fractal xác định và fractal ngẫu nhiên Fractal xác định đựoc tạo ra bằng cách lặp theo một cách thức xác định, trong khi fractal ngẫu nhiên được tạo ra bằng cách sử dụng qúa trình nghiên cứu fractal xác định mà ở đó các tính chất fractal có thể được xác định chính xác Bằng cách nghiên cứu fractal tiền định người ta lại có thể tìm ra tính chất của fractal ngẫu nhiên

1.2.3 Các Fractal xác định:

Chúng ta mô tả một số ví dụ về fractal xác định và sử dụng chúng để giới thiệu các khái niệm fractal như fractal và số chiều lý hóa, sự tự đồng dạng, rẽ nhánh và các cấu trúc con (đường đi tối thiểu, đường kính mở rộng, xương, và mối liên kết)

• Đường cong Von Koch

Một trong những fractal xác định phổ biến nhất là đường cong Koch Chia đường thẳng ra n phần (thông thường n=3 ), phép lặp đầu tiên của đường cong fractal Đối với mỗi phép lọc độ dài đường cong tăng lên 4/3 lần Fractal tóan học là giới hạn của các phép lặp khi n→∞, ở đây độ dài tổng thể của đường cong tiến tới ∞

Số chiều của đường cong có thể nhận được như các đường cong đều Chú ý rằng nếu giảm số chiều theo tỉ lệ b=1/3 thì độ dài tổng của đường cong giảm đi 1/4 lần, tức là

M(1/3L)=1/4M(L) (1.4)Đặc tính này rất khác với các đường cong đều ở chỗ độ dài của đối tượng giảm theo tỉ lệ tuyến tính Để cho (3.1) và (3.2) thỏa mãn chúng ta sẽ đề cập tới số chiều không nguyên thỏa mãn 1/4=1/3d, tức là d=log4/log3 Trong trường hợp này Mandelbrot gọi là "số chiều của fractal" và các đối tượng được mô tả bởi số chiều fractal được gọi là fractal Như vậy để diễn tả cấu trúc fractal thì (3.1) được tổng quát hoá bởi

M(bL) = bdfM(L) (1.5)

và

M(L)=ALdf (1.6)

ở đây df là số chiều fractal

Đối với phép lặp đầu tiên, số chiều fractal của đường Koch là

df=log4/log3 Khi tạo ra đường cong Koch và tính df, chúng ta quan sát tính chất của fractal là tự đồng dạng Nếu chúng ta khảo sát đường cong Koch chúng ta thấy rằng đối tượng giống như người tuyết có hai người con bên trái

và phải Đối với bên trái và phải của người tuyết trung tâm có hai người tuyết khác mà mỗi người lại tái tạo lại giống hệt và chỉ ban đầu Mỗi người tuyết nhỏ lại có bản sao chép bằng 1/3 chính nó ở bên phải, v v Chúng ta lấy một phần ba tùy ý của người tuyết (gồm 1/3m đối với m nào đó) và phân nhánh của

nó là 3m, chúng ta lại nhận được chính Koch ban đầu Tính chất tự đồng dạng này hoặc tỉ lệ bất biến là đặc trưng fractal xác định và ngẫu nhiên: Nếu chúng

ta lấy một phần của fractal và cùng tỉ lệ phân nhánh theo tất cả các hướng thì hình ảnh phân nhánh giống fractal gốc

Đối với đường Koch cũng như đối với fractal xác định được tạo ra một cách lặp lại (3.3) và (3.4) bao gồm một quá trình đúng đắn chỉ đối với tỉ lệ độ dài L bên dưới kích thước L0 của đường cong

Nếu số phép lặp n hữu hạn thì (3.3) và (3.4) là đúng chỉ trên lát cắt độ chiều dài thấp Lmin, Lmin=L0/3n đối với đường cong Koch Nên đối với số

phép lặp hữu hạn, tồn tại hai tỉ lệ cắt theo chiều dài cận trên Lmax = L0 biểu diễn độ dài của tòan bộ fractal và Lmin là lát cắt thấp Đặc trưng này có hai độ dài đặc trưng được chia bởi tất cả các fractal trong tự nhiên.

Khoảng cách hoá học l là quãng đường ngắn nhất trên fractal giữa hai vị

trí của fractal Tương tự đối với số chiều df mà nó đặc trưng cho khối lượng của tỉ lệ fractal với khoảng cách L chúng ta đưa vào khoảng cách hoá học dl để

đặc trưng tỉ lệ khối lượng với khoảng cách hóa học l

M(bl)=bdlM(l) hoÆc M(l)=Bldl (1.7)

Ta thấy rằng nếu rút gọn l bằng một hệ số 5 lần thì khối lượng fractal sẽ rút gọn đi 7 lần , như vậy M(1/5l) = 1/7M(l), nói cách khác dl= log7/log5=1.209 Điều đáng chú ý là khoảng cách hóa học nhỏ hơn khoảng cách fractal df=log7/log4=1.404 Biểu thức này được rút ra từ

M(1/4)= 1/7M(L)

Cấu trúc của quãng đường ngắn nhất giữa hai vị trí biểu diễn một fractal bằng chính nó Theo định nghĩa độ dài của quãng đường là khoảng cách hoá

học l, và số chiều fractal của con đường ngắn nhất, dmin thể hiện tỉ lệ l với

khoảng cách L như thế nào Khi sử dụng (3.4) và (3.5) chúng ta nhận được

l = Ldf/dl (1.8)Suy ra dmin=df/dl Đối với ví dụ, ta thấy rằng dmin=log5/log4 =1.161 Đối

với đường cong Koch cũng như đối với fractal tuyến tính chỉ có l=1, do đó

dmin=df Theo định nghĩa dmin≥ 1, suy ra dl ≤df đối với tất cả fractal

• Miếng đệm, cái mũ và bọt Sierpinski

Sau đây chúng ta thảo luận về họ fractal Sierpinski như:"Miếng gasket", "cái mũ- carpet" và "bọt"

đệm- Miếng đệm Sierpinski

Miếng đệm Sierpinski được tạo ra bằng cách chia tam giác thành 4 phần nhỏ và xóa đi phần giữa Thủ tục được lặp lại bằng cách chia mỗi một tam giác trong các tam giác còn lại thành 4 tam giác nhỏ và xóa đi các tam giác trung tâm Để nhận được số chiều fractal hãy xét khối lượng của miếng đệm

tuyến tính với kích thước L và so sánh với khối lượng bên trong 1/2L Vì M(1/2)=1/3 M(L), nên df=log3/log2=1.585 Dễ dàng thấy rằng dl=df và dmin=1.

 Chiếc mũ Sierpinski

Thủ tục tạo ra mũ Sierpinski hoàn toàn tương tự như miếng đệm Sierpinski, chỉ khác là tam giác ban đầu được thay bằng mét hình vuông và chia hình vuông thành n2 hình vuông bằng nhau Từ các hình vuông này xóa đi

k hình vuông Bước tiếp theo là chia mỗi hình vuông nhỏ thành n2 hình vuông

nhỏ hơn và xóa đi k hình vuông nhỏ theo cùng vị trí như phép lặp đầu tiên Rõ

ràng là hình vuông có thể được chọn theo nhiều cách và các cấu trúc fractal tự nhiên vì M(1/nL) =1/(n2-1) M(L) kéo theo df=log(n2-k)/logn, không tương ứng của cách chọn k hình vuông Tương tự đối với mũ Sierpinski thì dl=df do

đó dmin=1

Ngược lại đường kính mở rộng "bao tôpô" của chiếc mũ và fractal dh

phụ thuộc vào cách chọn các hình vuông Bao lồi gồm các vị trí của l mà nó kề

với phía rỗng được nối với vô cực thông qua các vị trí rỗng Bao lồi là fractal với số chiều dh=log9/log5=1.365 Mặt khác, nếu miếng đệm Sierpinski được

xây dựng với k=9 hình vuông được chọn từ tâm, đường kính mở rộng trên và

 Bọt Sierpinski

Bọt Sierpinski được xây dựng từ một hình lập phương bằng cách chia nhỏ nó thành 3×3× 3=27 hình lập phương nhỏ rồi lấy hình cầu ở tâm và 6 hình

cầu tiếp xúc hình lập phương nhỏ này Mỗi một trong 20 hình lập phương còn lại được xử lý theo tương tự Sau mỗi phép lặp thể tích bọt được rút gọn thành 20/27, nhưng diện tích mặt tăng lên Giới hạn của diện tích bề mặt sẽ tiến tới

vô cùng nhưng thể tích bị biến mất Vì M(1/3L)=1/20M(L), nên số chiều fractal là df=log20/log3=2 727

Biến dạng của bọt Sierpinski tương tự như biến dạng của mũ Sierpinski có thể dẫn đến fractal có số chiều của bao dh khác với df

Cách đây năm trăm năm họa sĩ Albrecht Durer đã thiết kế fractal dựa trên hình ngũ giác đều, ở đây mỗi phép lặp các ngũ giác được chia thành sáu hình ngũ giác nhỏ và năm tam giác rồi xóa các hình tam giác đi Trong mỗi

tam giác các cạnh lớn và cạnh nhỏ có tỉ số nổi tiếng tỉ số devina hoặc tỉ số vàng g= 1/(2\cos 75) =(1+ 5)/2

Do đó trong mỗi phép lặp các cạnh của ngũ giác giảm đi 1+g Vì M(L/(1+g))=1/6M(L) nên số chiều fractal của hình ngũ giác Durer df=log 6/log(1+g)

Một biến dạng tuyệt vời của ngũ giác Durer là một fractal dựa trên hình lục giác đều Trong mỗi phép lặp hình lục giác được chia thành sáu hình lục giác, sáu tam giác đều và hình sao David tại tâm, và xóa các tam giác và hình sao David Có thể chỉ ra rằng df=log6/log3 và dh =log4/log3

• Tập Cantor

Tập Cantor là các ví dụ về fractal không liên thông bụi fractal Tập hợp

đơn giản nhất là tập Cantor bộ ba mà chúng ta đã nhắc đến ở trên trong phần

"Các kiến thức toán học cơ bản" Xin nhắc lại là chúng ta chia khoảng đóng đơn vị [0, 1] thành ba khoảng bằng nhau rồi xoá khoảng ở giữa đi Trong bước lặp tiếp theo mọi khoảng còn lại được xử lý theo cách ở trên Khi số bước lặp n=∞ ta nhận được một tập điểm Vì M(1/3) =1/2M(L), nên df=log2/log3

=0.631 nhỏ hơn 1

Trong các hệ hỗn độn có sức hút fractal lạ Sức hút lạ đơn giản nhất là tập Cantor Chẳng hạn sức hút lạ xuất hiện khi chúng ta xét ánh xạ

xi+1 = λ xt(1-xt) (1.9)Chỉ số t = 0, 1, 2, biểu diễn thời gian rời rạc Với 0 ≤λ≤4 và x0 nằm giữa 0 và 1, qũy đạo xt bị chặn giữa 0 và 1 Dáng điệu động của xt đối với t →

∞ phụ thuộc vào tham số λ Dưới đây λ1=1 chỉ tồn tại một điểm bất động mà chính xt lại là điểm hút Tại λ1 điểm bất động này bắt đầu không bền vững và phân thành hai điểm bất động bền mới Tại nhiều thời điểm lớn qũy đạo di chuyển loại trừ nhau giữa hai điểm cố định và chu kì sự di chuyển hoàn thành

là 2 Tại λ2=1+ 6=3.449 mỗi một trong điểm phân nhánh thành hai điểm cố định mới và sự chuyển động trở nên có chu kỳ λ tăng nên việc phân nhánh điểm λ xảy ra với chu kì 2n giữa λn và λn-1

Đối với n lớn sự khác nhau giữa λn+1 và λn ngày càng nhỏ ứng với quy luật λn+1-λn =(λn-λn-1 )/δ Đây là hằng số Feigenbaun Hằng số này là "phổ biến" vì nó áp dụng cho ánh xạ tuyến tính "single-hump"

Với λ∞≈ 3.569945 chu kì vô hạn diễn ra tại qũi đạo xt di chuyển trong hệ thống động giữa các điểm hút vô cực, điểm hút này xác định sức hút lạ mà nó hình thành tập Cantor với số chiều fractal df ≈ 0.538

• Fractal Mandelbrot

Fractal này đã được gợi ý như một mô hình cho lát cắt và cấu trúc con của nó (xem phần trên) Tại mỗi lần tạo sinh mỗi đọan thẳng có độ dài A được thay thế bởi 8 đọan thẳng có độ dài a/3 Một cách tương ứng độ dài fractal là

df = log8/log3 =1.893 rất gần với df=91/46=1.896 thấm qua hai chiều Dễ dàng kiểm chứng dl=df và do đó dmin=1 Cấu trúc chứa các vòng lặp, các thông

số của tất cả các tỉ lệ dài

Hình ảnh áp dụng hiệu điện thế giữa hai phía trên vị trí đối diện của fractal Mandelbrot kim loại: Xương sống của fractal gồm các gai mang điện Phần đuôi là các phần lát cắt không mang điện và được nối với xương sống bởi mối nối đơn duy nhất Mối nối đỏ (hoặc mối nối đơn) là các mối nối chạy qua dòng điện toàn thể Cuối cùng các giọt nước là một phần của xương sống còn lại sau các mối nối đỏ đã bị xóa

• Tập Julia và tập Mandelbrot

Phiên bản phức tạp của bản đồ lôgic (3.7) là

zt+1= z2

t+1+c (1.10)

ở đây các qũi đạo zt và hằng số c là số phức, phương trình trên thể hiện: nếu

cho trước giá trị chẳng hạn c=-1.5652-1.03225 i, giá trị ban đầu z0 là các qũi đạo zt bị chặn? Tập hợp các giá trị này hình thành tập Julia và các điểm cận của nó hình thành tập Julia

Để làm rõ định nghĩa này hãy xét trường hợp đơn giản c=0 Đối với |z0|

≤1, zt tiến tới 0 Một cách tương ứng tập hợp Julia là tập tất cả các điểm |z0| = 1

Nói chung các điểm trên tập Julia hình thành sự chuyển động hỗn độn trên tập hợp, khi các điểm bên ngoài tập Julia chuyển động đi khỏi tập hợp Trong thực hành để tạo ra tập Julia hãy sử dụng hàm ngược

zt = zt+1 -c (1.11)Xuất phát từ giá trị lớn tùy ý t+1 và quay lui theo thời gian Bằng cách quay lui theo thời gian thậm chí các điểm xa tập Julia được hút bởi tập Julia

Để nhận được tập Julia đối với giá trị của c giá trị zt+1 tùy ý, chẳng hạn zt+1=2

Để nhận được giá trị zt chúng ta sử dụng (1.11) và xác định dấu ngẫu nhiên Thủ tục này được tiếp tục thực hiện để nhận được zt-1zt-2, v v Bằng cách lờ đi các điểm ban đầu tức là 1000 điểm đầu tiên người ta nhận được xấp xỉ khá tốt của tập Julia

Tập Julia có thể liên thông hoặc không liên thông Dễ dàng thấy sự tự đồng dạng của bức ảnh Tập giá trị c tạo nên tập Julia liên thong hình thành tập Mandelbrot nổi tiếng Điều này được chỉ ra bởi Douady và Hub mà tập Mandelbrot giống tập các giá trị c mà đối với nó tập zt hội tụ với z0=0