TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP SINH ẢNH FRACTAL BẰNG HỆ HÀM LẶP

TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP SINH ẢNH FRACTAL BẰNG HỆ HÀM LẶP

Bộ giáo dục và đào tạo Tr-ờng đại học dân lập hải phòng -------o0o------- Tìm hiểu ph-ơng pháp sinh ảnh Fractal BằNG Hệ HàM LặP (IFS) Và Hệ ThốNG L-SYSTEM đồ án tốt nghiệp đại học hệ chính quy Ngành: Công Nghệ Thông Tin Sinh viên thực hiện : Nguyễn Tam Hùng Giáo viên h-ớng dẫn : PGS.TS Ngô Quc To Mã số sinh viên : 101430 Hải Phòng - 2010 Bộ giáo dục và đào tạo Tr-ờng đại học dân lập hải phòng -------o0o------- đồ án tốt nghiệp Ngành công nghệ thông tin Hải Phòng 2010 3 bộ giáo dục và đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam tr-ờng đại học dân lập hải phòng Độc lập - Tự do - Hạnh phúc -------o0o------- nhiệm vụ thiết kế tốt nghiệp Sinh viên : Nguyễn Tam Hùng Mã số: 101430 Lớp : CT1001 Ngành: Công nghệ Thông tin Tên đề tài: Tìm hiểu ph-ơng pháp sinh ảnh Fractal bằng hệ hàm lặp (IFS) và hệ thống L-System 4 nhiệm vụ đề tài 1. Nội dung và các yêu cầu cần giải quyết trong nhiệm vụ đề tài tốt nghiệp a. Nội dung: b. Các yêu cầu cần giải quyết 2. Các số liệu cần thiết để thiết kế, tính toán 3. Địa điểm thực tập 5 Phần nhận xét đánh giá của cán bộ chấm phản biện đề tài tốt nghiệp 1. Đánh giá chất l-ợng đề tài tốt nghiệp (về các mặt nh- cơ sở lý luận, thuyết minh ch-ơng trình, giá trị thực tế, .) 2. Cho điểm của cán bộ phản biện ( Điểm ghi bằng số và chữ ) Ngày .tháng .năm 2010 Cán bộ chấm phản biện ( Ký, ghi rõ họ tên ) 6 LỜI CẢM ƠN Trƣớc hết, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Ngô Quốc Tạo đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ dạy giúp đỡ tận tình và tạo mọi điều thuận lợi để em hoàn thành báo cáo tốt nghiệp của mình. Em cũng xin chân thành cảm ơn trung tâm nghiên cứu và phát triển công nghệ phần mêm, nơi đã tạo điều kiện tốt trong suốt thời gian thực tập. Em cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa công nghệ thông tin trƣờng đại học dân lập Hải Phòng đã tận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em những kiến thức cần thiết trong suốt quá trình học tập. Và em cũng xin gởi lòng biết ơn đến gia đình, cha, mẹ,bạn bè đã ủng hộ, giúp đỡ và động viên em trong những lúc khó khăn. Đề tài đƣợc thực hiện trong một thời gian tƣơng đối ngắn, nên dù đã hết sức cố gắng hoàn thành đề tài nhƣng chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận đƣợc sự thông cảm và đóng góp những ý kiến vô cùng quý báu của các thầy cô, bạn bè, nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho việc phát triển đề tài trong tƣơng lai. Hải Phòng, tháng 07 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Tam Hùng 7 LỜI NÓI ĐẦU Tại sao môn hình học đƣợc xem là "khô cứng" và "lạnh lẽo"? Một trong lý do cơ bản nhất là vì nó không thể mô tả đƣợc thế giới tự nhiên xung quanh chúng ta. Những đám mây trôi lơ lững không phải là những quả cầu, những ngọn núi nhấp nhô không phải là những chóp nón, những bờ biển thơ mộng không phải là những đƣờng tròn. Từ cảm nhận trực quan này, năm 1982, nhà toán học thiên tài Mandelbrot nảy sinh ra ý tƣởng về sự tồn tại của một môn "Hình học của tự nhiên", Fractal Geometry. Từ đây, tôi và bạn có thể mô tả một đám mây một cách chính xác nhƣ một kiến trúc sƣ thiết kế căn nhà của họ. Trong những năm gần đây, toán học và khoa học tự nhiên đã bƣớc lên một bậc thềm mới, sự mở rộng và sáng tạo trong khoa học trở thà . Với một ngƣời quan sát tình cờ màu sắc của các cấu trúc Fractal cơ sở và vẽ đẹp của chúng tạo nên một sự lôi cuốn hình thức hơn nhiều lần so với các đối tƣợng toán học đã từng đƣợc biết đến. Những nguyên nhân của sự lôi cuốn do hình học Fractal tạo ra là nó đã chỉnh sửa đƣợc khái niệm lỗi thời về thế giới thực thông qua tập hợp các bức tranh mạnh mẽ và duy nhất của nó. Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình học tự nhiên này mở ra nhiều hƣớng mới cho khoa học cơ bản và ứng dụng. Trong đề tài này chỉ mới thực hiện nghiên cứu một phần rất nhỏ về hình học phân hình và ứng dụng của nó. Nội dung của đề tài gồm có ba chƣơng đƣợc trình bày nhƣ sau: 8 . 6 CHƯƠNG I. TÌM HIỂU VỀ FRACTAL . 9 9 1.2. Các ứng dụng tổng quát của hình học Fractal . 10 1.3. Các kiến thức toán học cơ bản 14 1.4. Số chiều Fractal 19 CHƯƠNG II. PHƯƠNG PHÁP SINH ẢNH BẰNG FRACTAL . 22 II.1. Họ đƣờng Vonkock . 22 II.2. Họ đƣờng peano 38 II .3. Đƣờng sierpinski 64 II.4. Cây fractal 68 II.5. Phong cảnh fractal . 71 II.6. Hệ thống hàm lặp (IFS) . 78 II.7. Tập Mandelbrot . 82 II.8. Tập Julia 88 II.9. Họ các đƣờng cong Phonenix . 91 KẾT LUẬN CHƢƠNG 95 . 96 9 CHƯƠNG I TÌM HIỂU VỀ FRACTAL 1.1. VÀ PHÁT TRIỂN CỦA FRACTAL “Khoa học hiện đại” vốn đƣợc phát triển từ kỷ nguyên Khai sáng (Enlightenment) ở thế kỷ 17, khởi đầu bởi những phát minh của Kepler, Galilei và Newton về các định luật của vận động vật chất và bởi sự thúc đẩy mạnh mẽ của cuộc cách mạng công nghiệp. Với những phát minh đó, lần đầu tiên con ngƣời tìm đƣợc một cách nhận thức thế giới bằng “phƣơng pháp khoa học” mà không cần dựa vào một sức mạnh thần thánh nào hay phải viện đến những liên cảm huyền bí nào giữa trí tuệ con ngƣời với một tinh thần hay linh hồn của tự nhiên. Và cũng do đó, “khoa học” đã đƣợc phát triển trƣớc hết và mạnh mẽ ở các lĩnh vực nghiên cứu tự nhiên nhƣ cơ học, vật lý học, thiên văn học, v.v . “tự nhiên không đến với ta sạch sẽ nhƣ ta nghĩ về nó”, và khoa học, trong tinh thần qui giản của cơ giới luận, với việc làm sạch tự nhiên đó đã “hất đổ cả đứa bé cùng với chậu nƣớc tắm” . Ta trở lại đối mặt với một tự nhiên và cuộc đời nhƣ nó vốn có, đầy cát bụi trần gian, lô nhô khúc khuỷu, gãy vỡ quanh co, chứ đâu có thẳng băng, tròn trịa nhƣ các hình vẽ của khoa học hình thức. Ta nhận ra điều đó cả từ trong chính bản thân phần cốt lõi tri thức của khoa học, cả từ những lĩnh vực ứng dụng khoa học đang có nhiều hứa hẹn thành công. Nền tảng đầu tiên của Fractal đã đƣợc nhà toán học và vật lí học Leibniz đƣa ra cùng khoảng thời gian đó là self-similarity (tính tự tƣơng tự) 10 mặc dù chƣa hoàn chỉnh nhƣng đã mở ra bƣớc tiến đầu tiên. Nhƣng nó chỉ đƣợc biết đến với cái tên hình học Fractal đầu tiên vào năm 1872 khi Karl Weierstrass đƣa ra một ví dụ với chức năng không trực quan của thuộc tính hiện thân khắp nơi liên tục mà không phụ thuộc vào không gian. Vào 1904, volt Helge Koch không hài lòng với kết luận của Weierstrass, đƣa ra một định nghĩa hình học cao hơn về chức năng tƣơng tự, mà bây giờ đƣợc gọi là đường cong Koch. Dựa trên thành quả đó , Waclaw Sierpinski đã xây dựng với tam giác vào năm 1915 mà sau nay gọi là tam giác Sierpinski. Ban đầu các Fractal hình học đã đƣợc mô tả nhƣ là những đƣờng cong hơn là hình 2D mà ta đƣợc biết đến nhƣ là trong các công trình hiện đại ngày nay. Vào 1918, Bertrand Russell đã đoán nhận về một " vẻ đẹp tối cao " bên trong nẩy sinh trong toán học Fractal.Ý tƣởng của các đƣờng đồng dạng đƣợc cầm xa hơn nữa bởi Pierre Lévy Paul, ngƣời mà, trong 1938 đã đƣa ra kiến giả về một đƣờng cong fractal mới, đường cong C Lévy. Georg Cantor cũng đã cung cấp các ví dụ về các tập con cảu thuộc tính bất thƣờng thực sự phù hợp – tập Cantor bây giờ cũng đƣợc công nhận là fractals. Những hàm lặp trong mặt phẳng phức đƣợc điều tra vào cuối thế kỉ 19 - đầu thế kỉ 20 bởi Henry Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou và Gaston Julian. Tuy nhiên, không có sự giúp đỡ của đồ họa máy tính hiện đại, họ thiếu những phƣơng tiện để làm cho trực quan vẻ đẹp của nhiều đối tƣợng mà họ khám phá. Vào những năm 1960, Benoit Mandelbrot bắt đầu điều tra self-similarity (tính tự tƣơng tự), mà trƣớc đó đƣợc xây dựng trên công việc của Lewis Fry Richardson. Cuối cùng, vào 1975 Mandelbrot đƣa ra từ "Fractal" để biểu thị một đối tƣợng mà có miền Hausdorff- Besicovitch là lớn hơn so với các miền trƣớc đây. Ông ta minh họa định nghĩa toán học này bởi máy tính những trực quan hóa. Những ảnh này bắt đầu trở lên nổi tiếng dựa vào phép đệ quy, dẫn tới hình thành thuật ngữ "Fractal" ngày nay. 1.2. CÁC ỨNG DỤNG TỔNG QUÁT CỦA HÌNH HỌC FRACTAL Hiện nay có 3 hƣớng ứng dụng lớn của lý thuyết hình học phân hình, bao gồm: ▪ Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính. ▪ Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh. ▪ Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản. □ ỨNG DỤNG TRONG VẤN ĐỀ TẠO ẢNH TRÊN MÁY TÍNH: Cùng với sự phát triển vƣợt bậc của máy tính cá nhân trong những năm gần đây, công nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vực nhƣ trò chơi, anmation video… nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó. Công nghệ này đòi hỏi sự mô tả các hình ảnh của máy PC với sự phong phú về chi tiết và màu sắc với sự tốn kém rất lớn về thời gian và công sức. Gánh nặng đó hiện nay đã đƣợc giảm nhẹ đáng kể nhờ các mô tả đơn giản nhƣng đầy đủ của lý thuyết fractal về các đối tƣợng tự nhiên. Với hình học phân hình khoa học máy tính có trong tay một công cụ mô tả tự nhiên vô cùng mạnh mẽ. [...]... xn=wi(xn-1 i {xn; n=0, 1, } 21 CHNG II: MT S K THUT CI T HèNH HC PHN HèNH II.1 H NG VONKOCK: Trong phn ny chỳng ta s cựng nhau tho lun cỏc fractal c phỏt sinh bng cỏch s dng qui initiator / generator vi kt qu l cỏc hỡnh t ng dng hon ton Cỏc hỡnh ny cú s chiu t ng dng, s chiu fractal v s chiu Hausdorff-Besicovitch bng nhau S chiu c tớnh theo cụng thc sau: log( N ) D 1 log R Trong ú: N: L s on thng R: L s chiu... cỏc ng dng to ra cỏc h ho trờn mỏy tớnh Cỏc h ny cho phộp ngi s dng to lp v chnh sa hỡnh nh, ng thi cho phộp to cỏc hiu ng v rt t nhiờn ht sc hon ho v phong phỳ, vớ d h phn mm thng mi Fractal Design Painter ca cụng ty Fractal Design H ny cho phộp xem cỏc hỡnh nh di dng hỡnh ho vộct cng nh s dng cỏc nh bitmap nh cỏc i tng Nh ó bit, cỏc nh bitmap hin th ht sc nhanh chúng, thớch hp cho cỏc ng mang tớnh... vy s chiu fractal ca ng hoa tuyt l: D log( N ) 1 log R log 4 1,2618 log 3 Mt s hỡnh nh ca ng (Bc 2) (Bc 3) Lu thut toỏn 23 Mi lỳc chỳng ta thay th on thng bi generator, chỳng ta dựng 2 mng XPoints, YPoints to mng cỏc v trớ to v sau ú v on thng t cp ta th nht n th hai, t th hai n th ba, v.v cho n khi chỳng ta cn v ht s on cn v NumLines (trong trng hp ng hoa tuyt thỡ NumLines = 4) phỏt sinh ra cỏc... tớnh s chiu fractal ca ng Gosper trc ht ta tớnh chiu di mi on ca generator Gi s chiu di t u mỳt ca generator n u mỳt khỏc l 1 t: AC = R => AE = 3AC = 3R AB2 = AE2 + EB2 2AE.EB.Cos(600) Ta cú: M AB = 1, AE = 3R, EB = AC = R 1 9R 2 R EB 2 R2 7R 2 2 3R R / 2 1 7 AE 2 AB 2 AB 2 cos 2 AEAB cos AE 2 EB 2 2 AEAB 1 9R 2 R 2 2 3R 1 1 8R 2 6R 1 8 6 1 7 1 5 7 14 7 0 94491 1901' Vỡ N = 3 nờn s chiu fractal ca... ta mt generator: tớnh s chiu fractal ca ng ny trc ht ta tớnh s chiu ca mi on ca generator Gi s chiu di t u mỳt ca generator n u mỳt khỏc l 1: Ta cú: t AC = R AB2 = AE2 + EB2 M AB = 1, AE = 2AC = 2R, EB = R => 1 = 4R2 + R2 R 1 5 EB2 = EA2 + AB2 2EA.AB.cos EA 2 cos AB 2 EA 2 2 EAAB 4R 2 1 R 2 2.2 R.1 1 3R 2 4R 1 3 4 1 5 1 2 5 5 0.894427 5 0 25 56' 27 Vỡ N = 3 nờn s chiu fractal l: D log 3 log 5 1.3652... ny c chốn vo gia im 4 v 9, sau ú hai on thng bng nhau c thờm vo hon tt generator Do cú hai di khỏc nhau c s dng, chỳng ta s dng biu thc sau xỏc nh s chiu fractal: Ta cú: R.M D 1 Trong ú: M: L on thng R: L chiu di ca mi on thng D: L s chiu ca mi fractal Gi s chiu di t u mỳt ca generator n u mỳt khỏc l 1, thỡ chiu di ca cỏc on u bng nhau l R = 1/3 i vi cỏc on nh hn thỡ chiu di l: 33 3 R 9 Tht vy: Ta... nh c Sau õy l mt s ng Von Kock quan trng: NG HOA TUYT VON KOCK-NOWFLAKE: ng hoa tuyt c xõy dng bi nh toỏn hc Helge Von Kock vo nm 1904 õy chỳng ta bt u vi initiator l mt on thng Cũn generator c phỏt sinh nh sau: 22 Generator ca ng von kock Chỳng ta chia on thng thnh ba phn bng nhau Sau ú thay th mt phn ba on gia bng tam giỏc u v b i cnh ỏy ca nú Sau ú chỳng ta lp li quỏ trỡnh ny cho mi on thng mi... Microsoft Encarta c a ra vo thỏng 12/1992 B bỏch khoa ny bao gm hn 7 gi õm thanh, 100 hot cnh, 800 bn mu cựng vi 7000 nh chp cõy ci, hoa qu, con ngi, phong cnh, ng vt, Tt c c mó hoỏ di dng cỏc d liu fractal v ch chim xp x 600Mb trờn mt a compact Ngoi phng phỏp nộn phõn hỡnh ca Barnsley, cũn cú mt phng phỏp khỏc cng ang c phỏt trin Phng phỏp ú do F.H.Preston, A.F.Lehar, R.J.Stevens a ra da trờn tớnh... thuyt hn n S kho sỏt cỏc bi toỏn phi tuyn ũi hi rt nhiu cụng sc trong vic tớnh toỏn v th hin cỏc quan sỏt mt cỏch trc quan, do ú s phỏt trin ca lý thuyt ny b hn ch rt nhiu Ch gn õy vi s ra i ca lý thuyt fractal v s h tr t lc ca mỏy tỡnh, cỏc nghiờn cu chi tit v s hn n mi c y mnh Vai 12 trũ ca hỡnh hc phõn hỡnh trong lnh vc ny th hin mt cỏch trc quan cỏc c x k d ca cỏc tin trỡnh c kho sỏt, qua ú tỡm ra... 0 s . Tìm hiểu ph-ơng pháp sinh ảnh Fractal BằNG Hệ HàM LặP (IFS) Và Hệ ThốNG L-SYSTEM đồ án tốt nghiệp đại học hệ chính quy . Ngành: Công nghệ Thông tin Tên đề tài: Tìm hiểu ph-ơng pháp sinh ảnh Fractal bằng hệ hàm lặp (IFS) và hệ thống L-System