Kẻ AH vuông góc với BC tại H.. Gọi I và K thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC.. c Xác định vị trí điểm A trên nửa dường tròn để tích HA.HB có giá trị lớn nhất.
Trang 1PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016
Câu 1 (2,0 điểm):
b) Phân tích đa thức B = xyz + x y - x z - y + yz - xz2 2 3 2 2 thành nhân tử
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d):
y= (2m-1)x + 3 + 2m có giá trị lớn nhất
b) Giải phương trình: x - 4 + 6 - x + 10x = x + 272
Câu 3 (2,0 điểm):
a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: 2016xy = x + y
b) Tìm các số tự nhiên x; y; z thỏa mãn đồng thời
(x -1) + y - 2z3 3 3 0 và x + y + z – 1 là số nguyên tố.
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho nửa đường tròn (O;R), BC là đường kính Điểm A di động trên nửa đường tròn (A khác B và C) Kẻ AH vuông góc với BC tại H Gọi I và K thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC
a) Chứng minh: BI = AB33
b) Chứng minh 4 điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn
c) Xác định vị trí điểm A trên nửa dường tròn để tích HA.HB có giá trị lớn nhất
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho các số dương x,y thỏa mãn: 2x (2xy - 1) = 2xy + 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2x + 1
y - Hết -SBD: Họ và tên thí sinh: Giám thị 1: Giám thị 2:
Trang 2PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 04 trang)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016
Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 Ta có :
A
x x
1 3
x x
0,25 0,25 0,25 0,25
1,0
b
Ta có B = xyz + x y - x z - y + yz - xz2 2 3 2 2
2
= ( x y - x z) + ( xyz - xz ) - (y - yz )
y z x y x y z
0,25 0,25 0,25 0,25
1,0
2 a Xét đường thẳng (d): y= (2m-1)x + 3 + 2m
- Tìm được điểm cố định là A( -1;4)
- Lập được phương trình đường thẳng OA là: y = -4x
- Khẳng định:
Khoảng cách từ O đến (d) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi (d)
vuông góc với OA
- Khi đó (2m – 1).(-4) = -1 m = 5
8
và giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến (d) là 17
0,25 0,25 0,25
1,0
Trang 3b
Xét phương trình: x - 4 + 6 - x + 10x = x + 272
x - 4 + 6 - x = x - 10x + 27 2
ĐKXĐ: 4 x 6 Chứng minh được vế trái x - 4 + 6 - x 2
Dấu “=” xảy ra x = 5 Chứng minh được vế phải 2
x - 10x + 27 2 Dấu “=” xảy ra x = 5
Khẳng định phương trình có nghiệm duy nhất x = 5
0,25 0,25
0,25 0,25
1,0
Từ 2016xy = x + y => 20162 xy – 2016x – 2016 y = 0
( 2016 x – 1) ( 2016 y – 1) = 1
Do x và y là các số nguyên nên giải phương trình trên ta suy ra được
Cặp số nguyên ( x; y) = (0;0)
0,25 0,25 0,50
1,0
b
Ta có
3
( do (x -1) + y = 2z3 3 3 )
=> ( x -1 + y + z) chia hết cho 3
Vì x 1 y z nguyên tố nên x 1 y z 3
Vai trò x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử :
x z y x y z x x 1 1 x 1 1;0
Với x1 0 y3 2z3 và y z 3, suy ra không tồn tại y, z là các số
tự nhiên thỏa mãn
Với x1 1 1 y3 2z3 và y z 2 Tìm được y z 1
Đáp số x2;y z 1
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
Trang 4N
M
K I
H
C A
a
Vì Anửa đường tròn tâm O, đường kính BC ( gt) => BAC ˆ 900
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
AB BH BC AB BH BC
AC CH BC AC CH BC
Lại có
BH BI BA CH CK CA
AB BI BA BC AB BI
AC CK CA BC AC CK
0,25
0,25 0,25 0,25
1,0
b
Chứng minh tứ giác AKHI là hình chữ nhật Gọi M là giao điểm của AH và IK, N là giao điểm các đường trung trực của
IK và BC Chứng minh được AO vuông góc với IK, từ đó suy ra tứ giác AMNO là hình
bình hành
Do đó MA = ON = MK Chứng minh được hai tam giác BON và NMI bằng nhau Suy ra NI = NB = NK =NC
Vậy 4 điểm B, I ,K, C cùng thuộc một đường tròn
0,25 0,25 0,25 0,25
1,0
c
+ Dễ dàng chứng minh được : abcd
4
a b c d 4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d + Đặt HB = x , 0 < x < 2R => HC = 2R - x
Chứng minh được : HA x.(2R x)
Ta có: HA.HB x x(2R x) (2R x)x 3
HA.HB có giá trị lớn nhất (2R x)x 3 có giá trị lớn nhất
x.x.x(2R – x) có giá trị lớn nhất
0,25
0,25
1,0
Trang 5 x x x (2R x)
3 3 3 có giá trị lớn nhất
Áp dụng (*) với a = b = c = x
3
Ta có :
4
Do đó tích HA.HB có giá trị lớn nhất x (2R x)
3
2
Và khi đó xác định được vị trí điểm A trên nửa đường tròn là AC = R
0,25
0,25
5
Do x, y dương
nên từ 2x (2xy - 1) = 2xy + 1
x
y y y
Có 2x(2x 1) 2x 1
y y y ta suy ra 2x > 1y > 0
và 2y x.(2x 1y)2 (2x1y)2 (1)
Đặt a =2x +1y ; b = 2x 1y (a, b > 0; a2 4 )b
Ta có: (1) b(a2 4b) a2 a2(b 1 ) 4b2
Suy ra : b - 1 > 0 và 4 1
2 2
b
b a
1
1 ).
1 ( 2 2 1
1 ) 1 ( 1
1 1 1
2
b b
(theo bđt Cô si)
Do đó: a2 16 Mà a > 0 nên a 4 2x1y 4
1
1
b
b
( do b> 0 ) Khi đó:
2 1
2
y
y
Vậy giá trị nhỏ nhất của biếu thức 2x + 1y là 4 khi và chỉ khi
2
x y
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.