Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 thành phố vinh năm học 2016 2017(có đáp án)

PHÕNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ VINH DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP NĂM HỌC: 2016 – 2017 Đề thức Đề thi gồm có: 01 trang Môn: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26 tháng 11 năm 2016 ĐỀ BÀI Bài (4,0 điểm) 1) Cho a +b + c = a, b,c khác Rút gọn biểu thức: ab bc ca A=   2 2 a b c b c a c  a  b2 2) Tính giá trị biểu thức: P= x  x  5x   x  2x  7x  3 x =   Bài (4,0 điểm)  x  xy  y  1) Giải hệ phương trình:   x  y  xy  2) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x ( 2x + 5y + 1)(  x  x + y ) = 105 Bài (4,0 điểm) 1) Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn (20142014 +1) chia hết cho n3 + 2012n 2) Cho x, y số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y Chứng minh x – y; 2x +2y +1 3x + 3y +1 số phương Bài ( 6,0 điểm) Cho đường tròn (O,R) đường thẳng d điểm chung với đường tròn Trên d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến (O) C cắt AB E a) Chứng minh BCM đồng dạng với BEO b) Chứng minh CM vuông góc với OE c) Tìm giá trị nhỏ dây AB diện tích tứ giác MAOB Bài (2,0 điểm) 1 Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn a, b, c  o a  b  c     a b c Chứng minh rằng: a6  b6  c6  abc a3  b3  c3 (Hết) Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi: PHÕNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ VINH DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP NĂM HỌC: 2016 – 2017 Bài Câu 1) 2,0đ (4,0 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán - Lớp Tóm tắt cách giải Từ a + b + c = suy a + b = - c Bình phương hai vế ta a2 + b2 + 2ab = c2 nên a2 + b2 - c2 = - 2ab Tương tự : b2 + c2 - a2 = - 2bc c2 + a2 - b2 = - 2ac ab bc ca 1 Do đó: A =       2ab 2bc 2ca 2 2 Vậy A =  Điểm 0,75 0,5 0,75 Ta có: x (  1)  (   4)(  1)    Suy x = x +  2x  (x 1)3 hay x3 = 3x2 + 3x + Do P  2) 2,0đ  3x  3x   x  5x   3x  3x   2x  7x  4(x  1)2  (x  2)  x 1  x2   0,75 x  8x   x  4x  2(x  1)  2x   2 x2 x2 (vì x =   > 2) 0,5 0,5 0,25 Vậy P =2 x =    x  xy  y  Ta có:  x  y  xy   Đặt a = x –y , b = xy (1) 1) 2,0đ (4,0 đ) (x  y)  3xy    x  y  xy  a + 3b  Hệ phương trình trở thành:  a  b  a  a   Giải hệ phương trình ta được:   b   b  - 11 Với a = 3, b = -2 thay vào (1) ta được: x - y  x  x     xy   y  -2 y  -1 Với a = - 6, b = - 11 thay vào(1) ta được: x  y   x - y  -  ( Hệ PT vô nghiệm)   xy   11 y  6y  11    x  x  vµ  Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  y  -2 y  -1 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài Câu Tóm tắt cách giải ( 2x + 5y + 1)(  x  x + y ) = 105 Điểm x 2) 2,0đ Vì 105 số lẻ nên 2x +5y +1 x  x  x + y phải số lẻ Từ 2x +5y +1 số lẻ mà 2x +1 số lẻ nên 5y số chẵn suy y số chẵn x  x  x + y số lẻ mà x  x  x(x  1) tích hai số nguyên liên tiếp nên số chẵn, y số chẵn nên x số lẻ Điều xảy x = Thay x = vào phương trình cho ta được: ( 5y + 1)( y + 1) =105  5y2 + 6y – 104 =  5y2 – 20y + 26y – 104 = 5y( y – 4) + 26(y – 4) =  (5y + 26)(y – 4) = 26  y=  ( loại) y = 4( thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm nguyên(x;y) = ( ; 4) 0,5 0,5 1,0 2014 1) 2,0đ (4,0 đ) 2) 2,0đ Giả sử tồn số nguyên n thỏa mãn (2014 +1) chia hết cho n + 2012n Ta có : n3 + 2012n = (n3 – n) + 2013n = n(n -1)(n +1)+2013n Vì n -1, n, n+1 ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Suy n(n-1)(n +1) 3; mà 2013 nên (n3 + 2012n) (1) Mặt khác: 20142014 + = (2013 + 1)2014 +1 chia cho dư ( 2013 3) (2) Từ (1) (2) dẫn đến điều giả sử vô lý, tức số nguyên thỏa mãn điều kiện toán cho Từ : 2x2 + x = 3y2 + y (1) 2 => 2x – 2y + x – y = y => (x- y)(2x + 2y + 1) = y2 (2) 2 Mặt khác từ (1) ta có: 3x – 3y + x – y = x2  ( x –y)( 3x +3y +1) = x2 =>(x –y)2( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) = x2y2 => ( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) số phương (3) Gọi ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = d => ( 2x + 2y +1) d; (3x +3y +1) d => (3x +3y +1) - ( 2x + 2y +1) = (x + y) d => 2(x +y) d =>( 2x + 2y +1) - 2(x +y) = d nên d = => ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = (4) Từ (3) (4) => 2x + 2y +1 3x +3y +1 số phương Lại có từ (2) =>(x- y)(2x + 2y + 1) số phương  x- y số phương Vậy 2x2 + x = 3y2 + y x –y; 2x +2y +1 3x + 3y +1đều số phương 0,5 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 Bài Tóm tắt cách giải Câu Điểm A O Q C N P I B M E d H 1) Q giao điểm AB với OM Ta có AM // CE(cùng vuông góc với AC)  BEC  MAB ( so le trong) Mà ABC  90 ; AQM  90 AMO  OMB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  AMO  OMB  BCE (cùng phụ với hai góc nhau) BE OB MB OB => tan BCE  tan OMB  (1)    BC MB BC BE Lại có MBA  OBC ( phụ với ABO ) 2,0đ (6,0 đ) 2) 1,5đ 0,5 0,5 0,5 Nên MBC  OBE ( = 900 + OBC ) (2) Từ (1) (2) suy  MBC  OBE (c.g.c) 0,5  OBE  BCM  BEO Từ  MBC Gọi I N giao điểm OE với BC MC  BIE  NIC (g.g)  IBE  INC 0,5 mà IBE  90 => INC  90 Vậy CM  OE Gọi H hình chiếu vuông góc O d P giao điểm AB với OH OQ OP  Ta có  OQP  OHM (.g.g) => OH OM R2 2  QO OM = OP OH = OA = R  OP  OH Mà O d cố định => OH không đổi => OP không đổi 3) Gọi Lại có : AB = 2AQ = 0A  OQ mà OQ  OP  AB  OA  OP  R  ( không đổi) R4 2R  OH  R 2 OH OH 0,75 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Bài Câu Tóm tắt cách giải Dấu “=” xảy  Q  P  M  H 2R VậyGTNNcủaAB = OH  R  M  H OH Điểm 0,25 A O Q A1 P 3) C N I B1 B M E 2,5đ d H AB.OM  AQ.OM Vẽ dây cung A1B1 vuông góc với OH P, P (O) cố định nên A1B1 không đổi Vì OP  OQ  AB  A1B1 (liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) Mà OM  OH  SAOBM  A1B1.OH ( không đổi) Dấu “=” xảy  M  H Vậy GTNN SAOBM  A1B1.OH M  H *) Vi MO  AB nên SAOBM  b) * a + b + c = => a + b = -c => (a + b)3 = -c => a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b) = 3abc 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 *    => ab + bc + ca = a 2,0 đ b c * a6 + b6 + c6 = (a3 )2 + (b3)2 + (c3)2 = (a3 + b3 + c3)2 – 2(a3b3 + b3c3 + c3a3) * ab + bc + ca = => a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 Do * a6 + b6 + c6 = (3abc)2 – 2.3a2b2c2 = 3a2b2c2 + Vậy: 0,5 a b c 3a b c 0,5 (2,0   abc 3 a b c 3abc đ) Lưu ý: Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa Bài hình không vẽ hình vẽ sai hình không chấm điểm 6 2 ...PHÕNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ VINH DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP NĂM HỌC: 2016 – 2017 Bài Câu 1) 2,0đ (4,0 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán - Lớp... MBC  OBE ( = 90 0 + OBC ) (2) Từ (1) (2) suy  MBC  OBE (c.g.c) 0,5  OBE  BCM  BEO Từ  MBC Gọi I N giao điểm OE với BC MC  BIE  NIC (g.g)  IBE  INC 0,5 mà IBE  90 => INC  90 Vậy CM ... giao điểm AB với OM Ta có AM // CE(cùng vuông góc với AC)  BEC  MAB ( so le trong) Mà ABC  90 ; AQM  90 AMO  OMB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  AMO  OMB  BCE (cùng phụ với hai góc