Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 thành phố buôn ma thuột năm học 2017 2018 có đáp án

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP BN MA THUỘT ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng tính giao đề) Ngày thi: 06/03/2018 Bài 1: (4,0 điểm) a) Cho biểu thức K  x x  26 x  19 x x 3   Tìm điều kiện để K có nghĩa x  x 3 x 1 x 3 rút gọn K b) Cho B  2018x  2019  x  2020 Tìm giá trị nhỏ B 1 x Bài 2: (4,5 điểm) a) Chứng minh n số nguyên dương thì: A  5n (5n  1)  6n (3n  2n )91 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  8y  3(x  xy  y ) c) Giải phương trình: x  3x    x  x Bài 3: (3,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm giá trị tham số m để hai đường thằng (d): y  x  (d’): y   mx cắt điểm có tọa độ dương 1   3 b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn  a b c Tìm a, b, c a  b  c  12 Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A có AB = AC = a Gọi D trung điểm BC, E điểm di động đoạn thẳng AD Gọi H K hình chiếu E lên cạnh AB AC Kẻ HI vng góc với DK (với I  DK ) Đường thẳng DK cắt đường thăng vng góc với AB B F a) Chứng minh năm điểm A, H, E, I, K thuộc đường tròn b) Tính số đo góc HIB c) Chứng minh ba điểm B, E, I thẳng hàng d) Tìm vị trí E AD để diện tích tam giác ABI lón Tính giá trị lớn theo a Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O,R) vẽ tứ giác ABCD có đỉnh thuộc đường tròn (O) a) Chứng minh AB.DC + AD.BC = BD.AC b) Gọi D điểm cung lớn BC có chứa đỉnh A Trên BC chọn I cho BI = 2IC, DI cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai E Chứng minh AB  2AE  AE.BC CE Hết G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 11 BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1: (4,0 điểm) x   x  x  x   a) K có nghĩa    x 1  x 1    x 3 K     x  x x  x  16 x  16    x  x        x  3 x  1  x  1  x  16  x  16  x 3 x  1 x   x x  26 x  19 x x  x x  26 x  19  x x      x  x 3 x 1 x 3 x 1 x  x x  26 x  19  2x  x  x    x 1 x 3  2018x  2019  x  2020 Tìm giá trị nhỏ B 1 x  a  1 x  a  x   a  1   a  1 x   a  1  a  M  a (ĐK: 1  x  ) Đặt a  2019 , ta có B  1 x2 1 x2 b) Cho B  M   a  1 x   a  1 x   a  1 1 x2 2  4a 1  x    a  1 x   a  1 x   a  1 1 x2  a  1 x   a  1  4a    4a  x  0,  a  1 x  a  1   1 x  M  a  B  a  a  2019  2019 a 1 2018 1009 Đẳng thức xảy   a  1 x   a  1   x     (TMĐK) a 1 2020 1010   Bài 2: (4,5 điểm) a) A  5n (5n  1)  6n (3n  2n )  25n  5n  18n  12n   25n  18n   12n  5n 7 lại có A  25n  5n  18n  12n   25n  12n   18n  5n 13 ; mặt khác  7;13   A  13  91 b) x  8y  3(x  xy  y )  3x   3y  1 x  3y  8y  * Ta có    3y  1  12  3y  8y   27y  90y  15  57 15  57 y  y  0;1; 2;3 9 +) y   3x  x   x  3x  1   x  (vì x  Z ) Do * có nghiệm    27y  90y    +) y   3x  2x     x  1 3x     x  (vì x  Z ) 5  73 (loại, x  Z ) 4  +) y   3x  8x    x  (loại, x  Z ) Vậy cặp số nguyên  x; y  cần tìm  0;  ; 1;1 +) y   3x  5x    x  0  x   x  c) ĐKXĐ:  G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 22 x  3x    x  1  x  3x   x    x  3x   x    x  2x  x x x x 1         x    2 x  1    x   2 x    x  x x x     1  x 0     x  1   x  x      x   1  0  x  3 x (TMĐK)   1   Bài 3: (3,5 điểm) a) (d) cắt (d’)    m  m  1 Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (d’) là: x    mx   m  1 x   x  Khi y  (do m  1 ) m 1  2m 2 m 1 m 1   m    m 1  Tọa độ giao điểm (d) (d’) dương     1  m  (TMĐK) 3  2m    2m   m  a2 b2  a  b  b) Với a, b, x, y số dương ta chứng minh minh   x y x y 1   a y  b x   x  y   xy  a  b  2 1  a xy  a y  b x  b xy  a xy  b xy  2abxy   a y  b x  2abxy    ay  bx   a b Dấu “=” xảy ay  bx    x y  Luon dung voi moi a, b, x, y  a2 b2 c2  a  b  c  Dựa vào (1) ta chứng minh    x y z xyz 2   với a, b, c, x, y, z số dương a b c a2 b2 c2  a  b  c2  a  b  c  Thật      Dấu “=” xảy   x y z x y z xy z xyz 1   3 36 36 Áp dụng (2), ta có:       (vì  a  b  c  12 ) a b c a bc a  b  c 12 a  1     Dấu ”=” xảy  a b c  b  a  b  c  12 c   Bài 4: (4,5 điểm) a) Chứng minh năm điểm A, H, E, I, K thuộc đường tròn Dễ dàng chứng minh tứ giác AHEK hình vng  A, H, E, K thuộc đường tròn đường kính HK   900  I thuộc đường tròn đường kính HK Lại có HIK G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 33 Vậy A, H, E, K, I thuộc đường tròn đường kính HK b) Tính số đo góc HIB BDF  CDK  g.c.g   BF  CK , lại có A BH  AB  AH  AC  AK  CK  BF  BH   900  BF  AB  nên BHF vuông cân mà HBF   45 B  HFB   HBF   900  gt   tứ Tứ giác BHIF có HIF K H I E B C D   HFB   45 giác BHIF nội tiếp  HIB c) Chứng minh ba điểm B, E, I thẳng hàng   45 (do tứ giác AHEK hình F Ta có HAE vng) Vì A, H, E, K, I thuộc đường tròn đường kính HK (câu a)   HAE   45 , mặt khác HIB   45 (cmt)  B, E, I thẳng hàng  HIE d) Tìm vị trí E AD để diện tích tam giác ABI lón Tính giá trị lớn theo a 1 AI  BI 1 AI  BI    AB2  a 2 2 4 Đẳng thức xảy  AI  BI  I  D  E  D Vậy max SABI  a  E  D D ABI vuông I (gt), nên SABI  C O K Bài 5: (4,0 điểm) a) Chứng minh AB.DC + AD.BC = BD.AC   CBD  Trên đoạn thẳng AC lấy điểm K cho ABK A B   CBD   ABD   DBK   KBC   DBK   ABD   KBC  Ta có: ABK )   KBC  (cmt), ADB   KCB  (góc nội tiếp chắn cung AB Xét ABD KBC: ABD AD KC Vậy ABD KBC (g.g)    AD  BC  KC.BD  a  BD BC   DBC  (gt), BAK   BDC  (góc nội tiếp chắn cung BC ) Xét ABK DBC: ABK AB DB Vậy ABK DBC (g.g)    AB  DC  AK BD  b  AK DC Từ a) b)  AB  DC  AD  BC  AK BD  KC  BD  BD   AK  KC   BD  AC b) Chứng minh AB  2AE  AE.BC CE Cần xem lại đề !!!!!! (Kiểm nghiệm sketpad đây) G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 44 Trường hợp C I E O D m CB = 5,43 cm m CE = 1,93 cm m AC = 7,82 cm B A m CI = 1,81 cm m BI = 3,62 cm m BI-2m CI = 0,00 cm m BA = 6,34 cm m AE = 7,82 cm m BAD = 136,46 m CGD = 136,46 m AEm CB = 0,00 cm m BA+2m AEm CE Trường hợp sai C E I O D A B m CI = 3,07 cm m BI = 6,14 cm m BI-2m CI = 0,00 cm m BA = 8,56 cm m AE = 10,61 cm m CB = 9,20 cm m CE = 3,48 cm m AC = 9,75 cm m BAD = 120,08  m CGD = 120,08 m BA+2m AE- m AEm CB m CE = 1,70 cm G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 55 Bàn luận: Đẳng thức cần chứng minh  AB  CE  2AE  CE  AE  BC * Áp dụng kết câu a) tứ giác ABEC nội tiếp đường tròn (O) nên ta có: AB  CE  BE  AC  AE.BC , để chứng minh * ta cần chứng minh CE AC  ** BE 2AE   BAD   CED   BED   EI phân giác BCE  CE  IC   IB  2IC  Lại có CD BE IB AC Nên để chứng minh ** ta chứng minh   AC  AE !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2AE 2AE  CE  BE  AC  Cần thêm điều kiện có AC = AE ! (Mời bạn suy nghĩ nhé, tui đau đầu rồi) G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 66 ... 1 x   x x  26 x  19 x x  x x  26 x  19  x x      x  x 3 x 1 x 3 x 1 x  x x  26 x  19  2x  x  x    x 1 x 3  2018x  20 19  x  2020 Tìm giá trị nhỏ B 1 x  a ... 1  4a    4a  x  0,  a  1 x  a  1   1 x  M  a  B  a  a  20 19  20 19 a 1 2018 10 09 Đẳng thức xảy   a  1 x   a  1   x     (TMĐK) a 1 2020 1010   Bài...  1  12  3y  8y   27y  90 y  15  57 15  57 y  y  0;1; 2;3 9 +) y   3x  x   x  3x  1   x  (vì x  Z ) Do * có nghiệm    27y  90 y    +) y   3x  2x   