TIỂU LUẬN môn tổ hợp

Số Stirling ứng dụng MỤC LỤC Mở đầu .2 Chương I: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 1.1 Sơ lược lịch sử 1.2 Các toán tổ hợp .4 1.3 Nguyên lý cộng nguyên lý nhân .6 1.4 Các cấu hình tổ hợp Chương II: SỐ STIRLING LOẠI I VÀ SỐ STIRLING LOẠI II .9 2.1 Số Stirling loại I 2.2 Số Stirling loại II Chương III: ỨNG DỤNG 13 3.1 Các toán 13 3.2 Moment hàm phân phối Poisson 15 3.3 Moment điểm cố định hoán vị ngẫu nhiên 15 3.4 Sơ đồ âm điệu 15 3.5 Một vấn đề hộp ngũ cốc 16 3.6 Thu gọn số Stirling loại II: .16 Kết luận 17 Tài liệu tham khảo 18 Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 Trang: Số Stirling ứng dụng MỞ ĐẦU Lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp, thỏa mãn số điều kiện Tổ hợp ngành khoa học xuất sớm vào đầu kỷ 17, áp dụng nhiều lĩnh vực khác lý thuyết số, hình học, đại số, xác xuất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học, … Giáo trình hình thành sở giảng tác giả cho sinh viên học viên cao học ngành Toán Tin học Các toán tổ hợp thường phân thành dạng sau : toán tồn tại, toán đếm, toán liệt kê toán tối ưu Với mục tiêu hướng hướng tới người đọc giáo viên Trung học phổ thông, giáo trình tập trung trình bày hai lớp toán tổ hợp toán tồn toán đếm Bài tiểu luận gồm chương : Chương : Đại cương tổ hợp Chương : Số Stirling loại I số Stirling loại II Chương : Ứng dụng Chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Trần Quốc Chiến tận tình hướng dẫn, bảo chúng em suốt thời gian học tập thực tiểu luận Mặc dù cố gắng hoàn thành tiểu luận chắn không tránh khỏi thiếu sót Chúng em kính mong nhận thông cảm tận tình bảo quý Thầy Cô bạn Cuối cùng, chúng em kính chúc Thầy Cô luôn mạnh khỏe, hạnh phúc để mang đến cho chúng em ngày nhiều học hay bổ ích Chúng em xin chân thành cảm ơn Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 Trang: Số Stirling ứng dụng BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC STT Công việc Họ tên (theo mục lục) Chữ ký Nhận xét giảng viên Chịu trách nhiệm nội Phạm Văn Hạnh (NT) dung tổng hợp bài tiểu Đinh Thị Ngọc Hạnh Chương : Đại cương tổ hợp Chương : Số Stirling loại I số Stirling loại II luận Lê Thị Thanh Tâm Chương : Ứng dụng Chương I ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 Trang: Số Stirling ứng dụng 1.1 Sơ lược lịch sử Có thể nói tư tổ hợp đời từ sớm Vào thời nhà Chu Trung Quốc người ta biết đến hình vuông thần bí Thời cổ Hi-lạp, kỷ trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokarat biết cách tính số từ khác lập từ bảng chữ cho trước Nhà toán học Pitagor học trò tìm nhiều số có tính chất đặc biệt Chẳng hạn 36 tổng số chẵn số lẻ đầu tiên, mà tổng lập phương số tự nhiên 36 = + +3 + + + + + = 13 + 23 + 33 Từ định lý Pitagor người ta tìm số mà bình phương tổng bình phương số khác Các toán đòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp định Tuy nhiên nói rằng, lý thuyết tổ hợp hình thành ngành toán học vào kỷ 17 loạt công trình nghiên cứu nhà toán học xuất sắc Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz,… Các toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp hàng chục năm) Vì thời gian dài, mà ngành toán học Phép tính vi phân, Phép tính tích phân, phương trình vi phân, phát triển vũ bão, dường nằm phát triển ứng dụng toán học Tình thay đổi từ xuất máy tính phát triển toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp giải máy tính Từ chỗ nghiên cứu trò chơi, tổ hợp trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học, tin học… 1.2 Các toán tổ hợp Có thể nói toán tổ hợp đa dạng phong phú, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học đời sống khác Một cách tổng quát lí thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp, thỏa mãn số điều kiện Mỗi cách phân bố xếp gọi cấu hình tổ hợp • Cấu hình tổ hợp : Cho tập hợp A1, A2,…,An, giả sử S sơ đồ xếp phần tử A 1, A2, …,An, mô tả quy tắc xếp R 1, R2,…,Rm điều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ đồ S Khi cách xếp phần tử A 1, A2,…,An, thảo mãn điều kiện R1, R2,…,Rm gọi cấu hình tổ hợp tập A1, A2,…,An Ví dụ 1.2.1 Xét bố trí quân cờ bàn cờ vua Mỗi cờ coi cấu hình tổ hợp Ở định nghĩa: Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 Trang: Số Stirling ứng dụng A tập hợp quân cờ trắng B tập hợp quân cờ đen S sơ đồ xếp quân cờ bàn cờ R hệ thống điều kiện xác định luật cờ vua • Các dạng toán tổ hợp * Bài toán tồn Mục tiêu toán tồn chứng minh tồn không tồn cấu hình tổ hợp Có nhiều toán loại khó việc cố gắng giải chúng thúc đẩy nhiều hướng nghiên cứu toán học Ví dụ 1.2.2 Cho n số nguyên dương A tập hợp n x n điểm: A = { [ i, j ], i, j = n} S tập hợp 2n điểm A R điều kiện điểm S thẳng hàng Với ≤ n ≤ cấu hình tổ hợp tồn Nhưng bái toán chưa có lời giáo với n>15 * Bài toán đếm Nội dung toán đếm trả lời câu hỏi “Có cấu hình tổ hợp thuộc dạng xét” Phương pháp đếm cấu hình thường dựa vào số quy tắc, nguyên lí đếmvà phân rã đưa cấu hình tổ hợp đơn giản Khi việc xác định xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, ước lượng cận cận Bài toán đếm áp dụng vào công việc tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán Ví dụ 1.2.3 Đếm số nghiệm nguyên dương phương trình x + y +z = 10 * Bài toán liệt kê Các toán loại nghiên cứu thuật toán hiệu để xây dựng tất cấu hình tổ hợp cho Nhiều vấn đề lĩnh vự khác thường đưa toàn liệt kê kiểm tra xem cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất cho trước hay không ? Ví dụ 1.2.4 Liệt kê tất hoán vị n phần tử * Bài toán tối ưu tổ hợp Trong nhiều vấn đề, cấu hình tổ hợp gán giá trị số (chẳng hạn hiệu sử dụng hay chi phí thực ) Khi toán tối ưu tổ hợp nghiên cứu thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhỏ nhất) Ví dụ 1.2.5 Cho đồ thị có trọng số G, a b đỉnh Tìm đường ngắn từ a đến b Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 Trang: Số Stirling ứng dụng 1.3 Nguyên lý cộng nguyên lý nhân : • Nguyên lý cộng : Định nghĩa 1.3.1 Giả sử {X1, X2, ,Xn} phân hoạch tập S Khi S = X + X + + X n Ví dụ 1.3.2 : Một lớp có 18 học sinh nam 12 học sinh nữ Hỏi có cách chọn học sinh làm lớp trưởng Giải: Có 18 cách chọn học sinh nam 12 cách chọn học sinh nữ Do có 18+12 = 30 cách chọn thỏa mãn • Nguyên lý nhân : Định nghĩa 1.3.3 : Giả sử cấu hình tổ hợp xây dựng qua k bước, bước thực theo n1 cách , bước thực theo n cách, , bước k thực theo nk cách Khi số cấu hình tổ hợp : n1n2 nk Ví dụ 1.3.3 : Một giá sách có sáu sách tiếng Anh đôi khác nhau, sách tiếng Pháp đôi khác nhau, 10 sách tiếng Đức đôi khác i) Có cách chọn ba sách thứ tiếng ? 6.8.10 = 480 (cách) ii) Có cách lấy sách số sách ? 6+8+10 = 24 (cách) 1.4 Các cấu hình tổ hợp • Hoán vị Định nghĩa 1.4.1 Một hoán vị n phần tử khác cách xếp thứ tự phần tử Ví dụ 1.4.2 : Có học sinh xếp thành hàng dọc trước lúc vào lớp Hỏi có bao niêu cách xếp Giải: cách hàng hoán vị người Vậy số cách xếp hàng : ! = 720 • Hoán vị lặp Định nghĩa 1.4.3 Hoán vị lặp hoán vị phần tử ấn định số lần lặp lại cho trước Ví dụ 1.3.4 : Có viên bi đỏ, viên bi xanh viên bi trắng Hỏi có cách xếp viên bi theo hàng ngang Giải : Có tất lỗ trống để xếp tất viên bi Ta có C(3,9) khả xếp viên bi đỏ, C(6,2) khả xếp viên bi xanh, lại khả xếp viên bi trắng Theo nguyên lí nhân ta có C(9, 3) x C(6, 2) = 9! cách xếp 3!.2!.4! Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 Trang: Số Stirling ứng dụng • Tổ hợp Định nghĩa 1.4.5 Một tổ hợp chập k n phần tử khác không kể thức tự gồm k thành phần khác lấy từ n phần tử cho Nói cách khác ta coi tổ hợp chập k n phần tử khác tập có phần tử từ n phần tử cho Kí hiệu Cnk số tổ hợp chập k n phần tử ta có: C ( n, k ) = n! k!.(n − k )! Ví dụ 1.4.6 Một lớp học có 45 học sinh Hỏi có cách chọn học sinh lớp thi học sinh giỏi? Giải Mỗi cách chon học sinh 45 học sinh lớp ứng với tổ hợp chập 45 Vậy có C ( 45,5) = 45! 5!.(45 − 5)! • Tổ hợp lặp Định nghĩa 1.4.7 Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phân tử trích từ n phần tử cho, phần tử lặp lại Ví dụ 1.4.8 Giả sử ta có quyên sách: Toán, Lí, Hóa có có photocopy Hỏi có cách chọn Giải: Bài toán đặt chọn phần tử, không kể thứ tự cho phép lặp lại Mỗi cách chọn sách xác định số lượng loại sách Ta biểu diễn cách chọn sách sau: Toán Xxx Lí | xx Hóa | x Trong dấu x sách chọn hai dấu gạch đứng phân cách giữa loại sách Như cách chọn sách tương ứng chọn vị trí vị trí để đặt dấu gạch | tức tổ hợp chập từ phần tử Suy số cách chọ sách là: C(8,2) = 28 • Chỉnh hợp Định nghĩa 1.4.9 Một chỉnh hợp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n thành phần cho Các thành phần không lặp lại Kí hiệu: A(n, k) A(n, k ) = n! (n − k )! Ví dụ 1.4.10 Một lớp học có 45 học sinh Hỏi có cách chọ học sinh lớp thi học sinh giỏi môn: Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 Trang: Số Stirling ứng dụng Giải Mỗi cách chon học sinh 45 học sinh lớp thi học sinh giỏi môn ứng với chỉnh hợp chập 45 Vậy có A(45,5) = 45! (45 − 5)! • Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.4.11 Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n thành phần cho Các thành phần lặp lại Một chỉnh hợp lặp chập k n xem phần tử tích Đê- X , với X tập n phần tử Như số tất chỉnh hợp chập k n k AR(n, k) = nk Ví dụ 1.4.12 Tính số hàm từ tập X có k phần tử đến tập Y có n phần tử Giải: Mỗi hàm từ X vào Y tương ứng với có thứ tự k thành phần n phần tử Y, phần tử lặp lại Như số hàm từ X vào Y n k • Nhị thức Newton: * Công thức nhị thức Newton n (a + b) = ∑ Cnk a n−k b k = Cn0a n + Cn1a n −1b + + Cnnb n n k =0 Chú ý: Số hạng tổng quát thứ k+1 là: Tk +1 = Cnk a n−k b k = Cnk a k b n−k Hệ số số hạng thứ k+1 giá trị không chứa biến Ví dụ 1.4.13 Tìm hệ số số hạng thứ khai triển (1 + 2x)n Giải: Số hạng thứ Cn2 22 x Suy hệ số số hạng thứ ba khai triển Cn2 22 Chương II: SỐ STIRLING LOẠI I VÀ SỐ STIRLING LOẠI II Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 Trang: Số Stirling ứng dụng Kí hiệu [x]0 ≡ [x]n ≡ x(x-1)(x-2)…(x-n+1) với n = 1,2,… (i) Kí hiệu [x]0 ≡ [x]n ≡ x(x+1)(x+2)…(x+n-1) với n = 1,2,… 2.1 Số Stirling loại I : Định nghĩa 2.1.1: Hệ số xr [x]n hiểu số Stirling loại I kí hiệu s(n,r) ∞ Ta có [x]n = ∑ s(n, r ) x r , s(n,r) = r > n (ii) Định lý 2.1.2 Chứng minh s(n+1,r) = s(n,r-1) – ns(n,r) Chứng minh : Theo (i) [x]n+1 = (x-n)[x]n Do từ (ii) ta có : ∞ ∞ r =0 r =0 ∑ s(n + 1, r ) x r = x ∑ s(n, r ) x r - n ∞ ∑ s(n, r ) x r =0 ∞ = r ∑ [s(n, r − 1) − ns(n, r )]x r r =0 Bằng phương pháp cân hệ số ta có điều phải chứng minh 2.2 Số Stirling loại II : Định nghĩa 2.2.1: Cho tập X có n phần tử khác nhau, k ≤ n {X1, X2, … , Xk} phân hoạch k khối X Số tất phân hoạch k khối tập lực lượng n gọi số Stirling loại II, kí hiệu S(n, k) Hiển nhiên S(n,0) = S(n,n) = S(n, k) > với ≤ k ≤ n S(n, k) = ≤ n < k Ta đặt S(0,0) = S(0, k) = với k ≥ Do ý nghĩa số Stirling số quan hệ tương đương với k lớp tập hợp n phần tử Đó số cách phân bố n cầu riêng biệt vào k hộp không phân biệt (mà không tính thứ tự xếp) cho hộp rỗng Số Stirling tính trực tiếp qua công thức sau: S ( n, k ) = = j n ( −1) Ckj ( k − j ) ∑ k ! 0≤ j ≤ k k −i ( −1) Cki i n ∑ k ! ≤i ≤ k Công thức k > n (lúc S(n,k) = 0) Thật vậy, gọi N tập hợp n phần tử xem xét E tập ánh xạ từ N vào [ k ] = { 1, 2, , k } , F tập toàn ánh E Khi E = k n F = k !S (n, k ) (3 - 1; S (n,3) = n −1 Theo đó, ta có: S(n, 1) = 1; S(n, 2) = n-1 + 1) − 2n −1 ; Định lí 2.2.2 Số Stirling loại II S(n, k), có hàm sinh "dọc" : Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 Trang: Số Stirling ứng dụng k tn t Φ k (t ) := ∑ S ( n, k ) = ( e − 1) , k ≥ n! k ! n≥ k (tại n ≥ k thay n ≥ 0), có hàm sinh "đôi":  tn k tn  tn Φ (t , u ) := ∑ S (n, k ) u = + ∑  ∑ S (n, k ).u k  n! n,k ≥0 n ≥1 n ! 1≤ k ≤ n n !  t = eu ( e −1) Sử dụng định nghĩa công thức (1.1) ta có: n tn j n t j Φ k (t ) = ∑ S (n, k ) = ∑ ( −1) Ck ( k − j ) n ! n ! k ! n≥ n≥0 0≤ j ≤ k n n  k − j t  ( ) j j =  ∑ ( −1) Ck ∑ k ! 0≤ j ≤ k  n ! n≥   k− j k 1 t j j t = − C e = e − ( ) ( ) ( ) ∑ k k ! 0≤ j ≤ k k! Áp dụng kết cho hàm sinh "đôi" ta được: k t  k tn  Φ (t , u ) = ∑ u ∑ S ( n, k )  = ∑ u k ( et − 1) = eu ( e −1) n ! k ≥0 k ! k ≥0  n≥k •Các tính chất: xk Fk ( x ) = ∑ S (n, k ) x = ( − x ) ( − x ) ( − kx ) n≥ k n S (n, k ) = S (n − 1, k − 1) + k S (n − 1, k ) S ( n, k ) = S ( n, k ) = m = ∑ k −1≤l ≤ n −1 Cnl −1S (l , k − 1) ∑ S (l − 1, k − 1).k n −1 k ≤l ≤ n n ∑ S ( n, k ) A 0≤k ≤n k m k n k −1 j S ( n, k ) = − ∑ Ak S (n, j ) k ! k ! j =1 Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 10 Trang: Số Stirling ứng dụng S ( n, k ) = ∑ ( −1) j 0≤ j ≤ n − k S (n, k ) = ∑ Akj+1S (n + k , k + j + 1) 1r1.2r2 k rk r1 + r2 + + rk = n − k Hệ 2.2.3 Từ kết tính chất điều kiện S( n,1) = S(n,n) = 1; S(n,m) = với m>n Ta nhận tam giác số Stirling loại hai sau : n,m 1 1 3 15 25 10 31 90 65 15 63 301 350 140 21 Định lí 2.2.4 S(n,k) hàm sinh ngang x n = ∑S (n, k )[x ]k , ≤k ≤n Đồng thức hệ số tn / n! số số hạng cuối của: x t n tx (et − 1)k tn t ∑n≥ x n! = e = { + (e − 1} = ∑k ≥ ( x)k k ! = 0∑≤ k ≤ n [x]k S (n, k ) n! n Định lí 2.2.5 S(n,k) hàm sinh hữu tỷ : uk ϕk : ∑S ( n, k )u = (1 − u )(1 − 2u ) (1 − ku ) n ≥k n , k≥1 Nếu ta phân tích phân số hữu tỷ ϕ k được: (*) uk ( −1) j k    ϕk = = ∑   (1 −u )(1 −2u ) (1 −ku ) ≤ j ≤k k!  j 1 −( k − j )u Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 11 Trang: Số Stirling ứng dụng ( −1) j = ∑ ≤j ≤k  k ! u n =∑  n≥ k !  k  n n   ( k − j ) u   j ∑  n ≥0  ∑(−1) ≤j ≤ k j  k  n  j  ( k −j )     (**) =∑ S ( n, k )u n n≥ k Chương III : ỨNG DỤNG 3.1 Các toán : Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 12 Trang: Số Stirling ứng dụng Bài toán 3.1.1 Tìm số cách đặt n vật phân biệt vào m hộp phân biệt, theo thứ tự từ trái qua phải biết cho phép số hộp để trống ( ý m>n , m-n hộp phải bỏ trống ) Giải : Giả sử số cần tìm f (n, m) Giả thiết có f (n-1,m) phân phối n-1 vật : mang i1 vật vào hộp , i2 vật vào hộp 2, , im vật vào hộp m cho ik > 0, k = 0,1,2, ,m i1 + i2 + +im = n-1 Vật thứ n vào k hộp theo ik + cách (vị trí bên trái , vị trí thứ từ trái qua phải , , vị trí thứ i k + tính từ trái qua phải ) Do có : (i1 + 1) + (i2 + 1) + +(im + 1) = n-1+m cách xếp cho vật thứ n Vậy ta có quan hệ : f(n,m) = ( n – + m) f(n-1,m) = (n + m – )(n + m -2) m = [m]n Bài toán 3.1.2 Yêu cầu tương tự 3.1.1 nhiên thêm điều kiện m ≤ n trường hợp để trống không phép Giải : Bây hộp đặt vào vật phía bên trái Công việc làm theo A(n,m) cách Do kết cần tìm : A(n,m).[m]n-m = n! m( m + 1)( m + 2) (n − 1) (n − m)! = n!C(n-1 ;m-1) Từ toán 3.1.1 3.1.2 ta tính số nghiệm nguyên phương trình tuyến tính Bài toán 3.1.3 Nếu m n số nguyên dương Chứng minh phương trình x1 + x2 + xm = n có [m]n nghiệm Trong xk số nguyên không âm ( kết n! n = ) Giải : Bài toán tương đương với có cách đặt n vật giống vào m hộp phân biệt ( hộp có x1 vật , hộp có x2 vật, , hộp có xm ), có hộp vật Nếu tạm thời làm cho vật trở nên phân biệt cách giãn nhãn cho chúng l1, l2, , lm theo 3.1.1 có [m]n cách xếp Tuy nhiên trở lại toán , xếp mà khác nhãn dán n vật coi nghiệm phương trình Do câu trả lời : [m]n = C (n + m -1, m-1) n! Nghiệm thoả mãn Từ kết toán 3.1.3 ta có kết sau : Bài toán 3.1.4 Giả sử A = {ai : i = 1,2, ,m} bảng chữ bao gồm m chữ xếp thứ tự sau : a1 < a2 < < am Một từ θ1θ θ n tạo từ bảng chữ gọi từ tăng ( có độ dài n ) θ1 ≤ θ ≤ ≤ θ n Hãy chứng minh số từ tăng có độ dài n C(n+m-1,m-1) Giải : Một từ tăng có độ dài n bao gồm x1 chữ a1 , sau x2 chữ a2 , , sau xm chữ am thỏa mãn xk ≥ ( k = 0,1, ,m) x1 + x2 + +xm = n theo 3.1.3 số từ tăng C(n+m-1,m-1) Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 13 Trang: Số Stirling ứng dụng Định nghĩa 3.1.5 Một hàm f có tập xác định N = { α1 , α , , α n } tập giá trị M = { β1 , β , , β m } , f hàm tăng ( từ N tới M ) f (α i ) ≤ f (α j ) α i < α j Bài toán 3.1.6 Xác định số lượng hàm tăng định nghĩa Giải : Chúng ta giả thiết α1 < α < < α n β1 ≤ β ≤ ≤ β m Khi ,một hàm tăng từ N tới M biến x1 số α thành β1 , x2 số α thành β , , xm số α cuối thành β m , x1 + x2 + xm = n xk số nguyên không âm , k = 0,1, ,m Vậy tập hợp xk thỏa mãn điều kiện xác định hàm tăng từ N tới M Theo , kết cần tìm C ( n+m-1,m-1) Bài toán 3.1.7 Cho trước λ1 , λ2 , , λm số nguyên không âm Tìm số nghiệm nguyên phương trình x1+ x2 + xm = n cho xi ≥ λi với i = 1, ,m Giải : Với i lấy xi = λi +yi viết λ = λ1 + λ2 + + λm Ta có phương trình y1 + y2 + + ym = n - λ ; yi ≥ ( i = 1, ,m) *) Nếu λ < n kết cần tùm : C( n - λ +m – , m -1 ) *) Nếu λ = n ta có phương trình y1 + y2 + + ym = , yi ≥ ( i = 1, ,m) Có nghiệm (0,0, ,0) phương trình ban đầu có nghiệm λ1 , λ2 , , λm *) Nếu λ > n hiển nhiên phương trình cho nghiệm thỏa mãn Bài toán 3.1.8 Tìm số cách chọn r số nguyên phân biệt từ n số nguyên dương cho lựa chọn chứa hai số nguyên liên tiếp Giải : Sắp xếp n số nguyên dương thành hàng theo thứ tự tăng Nếu số chọn đặt biểu tượng Y số , không chọn đặt biểu tượng N số Gọi x1 số lượng số có biểu tượng N đứng trước biểu tượng Y ; x2 số lượng số có biểu tượng N đứng biểu tượng Y biểu tượng Y thứ hai , , xr số lượng số có biểu tượng N biểu tượng Y thứ r-1 biểu tượng thứ r ; xr+1 số lượng số đứng sau biểu tượng Y thứ r Khi có tương ứng – siwj lựa chọn chấp nhận với nghiệm nguyên phương trình : x1 + x2 + + xr+1 = n-r với x1 ≥ 0, x2 ≥ , , xr ≥ r, xr+1 ≥ Do theo 3.1.7 kết cần tìm C(n – r + 1, r) Bài toán 3.1.9 Tìm số cách chọn r số nguyên phân biệt từ n số nguyên dương cho hai số nguyên liên tiếp xuất lựa chọn lựa chọn đồng thời hai số n Giải : Trường hợp : Sự lựa chọn có số Theo kí hiệu 3.8, x1 = (có biểu tượng Y số ) xr+1 ≥ , ( có biểu tượng N số n) Do có phương trình : x2 + + xr+1 = n-r với x2 ≥ , x3 ≥ 1, , xr ≥ r, xr+1 ≥ Suy có C(n- r -1, r -1) cách lựa chọn Trường hợp : Sự lựa chọn số Ta có x1 ≥ (có biểu tượng N số ) Do có phương trình : Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 14 Trang: Số Stirling ứng dụng x1 + x2 + + xr+1 = n-r với x1 ≥ , x2 ≥ 1, , xr+1 ≥ Suy có C(n- r , r) cách lựa chọn Vậy tổng số lựa chọn thỏa mãn : C(n –r -1, r – 1) + C(n – r, r ) = n C( n – r – , r – ) r Bài toán 3.1.10 Chứng minh số toán ánh từ tập n phần tử tới tập m phần tử m!S(n,m) Giải: Lấy tập hợp X = {x1, x2, ,xm} Y = {y1, y2, , ym} Gọi X = X ∪ X ∪ ∪ X m phân chia X thành m tập không rỗng Khi đó, tương ứng - yi Xj đếu xác định tương ứng từ X tới Y , có xác m! Toán ánh – Có S(n,m) cách phân chia tập X Vậy có : m!S(n, m) toàn ánh thỏa mãn Bài toán 3.1.11 Đếm số cách phân phối n vật phân biệt vào m hộp thỏa mãn : a) m hộp giống hộp phải có vật b) m hộp giống cho phép có hộp trống c) Các hộp phân biệt hộp phải có vật Giải: a) S(n,m) b) S(n,1) + S(n,2) + + S(n,m) c) m!S(n,m) 3.2 Moment hàm phân phối Poisson: Nếu X biến ngẫu nhiên với phân phối Poisson có giá trị kì vọng λ , moment thứ n là: E( X n n ) = ∑ S ( n, k )λ k k =1 Đặc biệt, moment thứ n phân phối Poisson với giá trị kì vọng số phân hoạch tập hợp n phần tử 3.3 Moment điểm cố định hoán vị ngẫu nhiên: Cho biến ngẫu nhiên X số điểm cố định hoán vị ngẫu nhiên phân phối tập hợp hữu hạn m phần tử Khi moment thứ n X là: E( X n m ) = ∑ S (n, k ) k =1 Chú ý cận phép lấy tổng m n Nói cách khác, moment thứ n phân phối xác suất số phân hoạch tập hợp n phần tử thành không m phần 3.4 Sơ đồ âm điệu: Số Stirling loại II biểu diễn tất số sơ đồ âm điệu thơ n dòng S(n,k) cho ta số sơ đồ vần điệu có n dòng sử dụng k âm tiết đơn trị vần điệu Chẳng hạn, với thơ dòng, có sơ đồ âm điệu sử dụng âm (aaa), sơ đồ âm điệu sử dụng âm (aab), (aba), (abb), sơ đồ âm điệu sử dụng âm (abc) 3.5 Một vấn đề hộp ngũ cốc: Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 15 Trang: Số Stirling ứng dụng Số Stirling loại II biểu diễn tất số cách người thu thập loại giá sau mở số cho trước hộp ngũ cốc Chẳng hạn, có giá, người mở hộp có S(3,3) = cách để thắng, {1,2,3} Nếu có hộp mở, có S(4,3) = cách để thắng: {1,1,2,3}, {1,2,1,3}, {1,2,3,1}, {1,2,2,3}, {1,2,3,2}, {1,2,3,3} 3.6 Thu gọn số Stirling loại II: Kí hiệu n phần tử để phân hoạch n số nguyên dương 1, 2, , n Xác định thu gọn số Stirling loại II , kí hiệu S d (n, k ) , số cách để phân hoạch số nguyên 1, 2, , n thành k tập không rỗng cho tất phần tử tập cách đôi một khoảng cách tối thiểu d Khi đó, với số nguyên i j tập cho trước yêu cầu i − j ≥ d Điều cho thấy số thỏa mãn: S d (n, k ) = S ( n − d + 1, k − d + 1) , n ≥ k ≥ d (vì nên gọi "thu gọn") Như vậy, S1(n,k) = S(n,k) Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 16 Trang: Số Stirling ứng dụng KẾT LUẬN : Nội dung tiểu luận nêu rõ đầy đủ số Stirling Trong phạm vi tiểu luận môn học giới hạn kiến thức, chắn tiểu luận nhiều thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp quí báu quý thầy cô ban đọc Xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 17 Trang: Số Stirling ứng dụng [1] Nguyễn Tô Thành, Nguyễn Đức Nghĩa : Giáo trình toán rời rạc Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Hà Nội năm 2004 [2] Nguyễn Xuân Quỳnh : Cơ sở toán rời rạc ứng dụng NXB Giáo dục Hà Nội năm 2005 [3] Ngô Đắc Tân : Lý thuyết tổ hợp đồ thị NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Hà Nội năm 2003 [4] Hoàng Chí Thành: Giáo trình tổ hợp NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Hà Nội năm 2001 [5] Trần Quốc Chiến, Trương Công Nên: Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử Tạp chí Khoa học & Công nghệ Đại Học Đà Nẵng 6/2008, 64-70 [6] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến : Giáo trình lý thuyết tổ hợp- Đà Nẵng- 2010 NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 18 Trang: Số Stirling ứng dụng Đà Nẵng, ngày … tháng … năm …… (Giảng viên hướng dẫn) PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Nhóm _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 19 Trang: [...]... (vì thế nên gọi là "thu gọn") Như vậy, S1(n,k) = S(n,k) Nhóm 9 _ Lớp: PP Toán sơ cấp K24 16 Trang: Số Stirling và ứng dụng KẾT LUẬN : Nội dung bài tiểu luận nêu rõ và khá đầy đủ số Stirling Trong phạm vi của bài tiểu luận về môn học và giới hạn về kiến thức, chắc chắn bài tiểu luận này vẫn còn nhiều thiếu sót Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp quí báu của quý thầy cô và ban đọc Xin chân thành... 2005 [3] Ngô Đắc Tân : Lý thuyết tổ hợp và đồ thị NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Hà Nội năm 2003 [4] Hoàng Chí Thành: Giáo trình tổ hợp NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Hà Nội năm 2001 [5] Trần Quốc Chiến, Trương Công Nên: Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử Tạp chí Khoa học & Công nghệ Đại Học Đà Nẵng 6/2008, 64-70 [6] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến : Giáo trình lý thuyết tổ hợp- Đà Nẵng- 2010 NHẬN XÉT CỦA... tập hợp n phần tử 3.3 Moment của các điểm cố định của một hoán vị ngẫu nhiên: Cho biến ngẫu nhiên X là số điểm cố định của một hoán vị ngẫu nhiên phân phối đều của một tập hợp hữu hạn m phần tử Khi đó moment thứ n của X là: E( X n m ) = ∑ S (n, k ) k =1 Chú ý rằng cận trên của phép lấy tổng là m chứ không phải là n Nói cách khác, moment thứ n của phân phối xác suất này là số phân hoạch của một tập hợp. .. x1 + x2 + + xr+1 = n-r với x1 ≥ 1 , x2 ≥ 1, , xr+1 ≥ 1 Suy ra có C(n- r , r) cách lựa chọn Vậy tổng số sự lựa chọn thỏa mãn là : C(n –r -1, r – 1) + C(n – r, r ) = n C( n – r – 1 , r – 1 ) r Bài toán 3.1.10 Chứng minh rằng số toán ánh từ tập n phần tử tới tập m phần tử bằng m!S(n,m) Giải: Lấy các tập hợp X = {x1, x2, ,xm} và Y = {y1, y2, , ym} Gọi X = X 1 ∪ X 2 ∪ ∪ X m là một sự phân chia bất kì... lựa chọn không có đồng thời cả hai số 1 và n Giải : Trường hợp 1 : Sự lựa chọn có số 1 Theo kí hiệu bài 3.8, x1 = 0 (có một biểu tượng Y dưới số 1 ) và xr+1 ≥ 1 , ( có một biểu tượng N dưới số n) Do đó chúng ta có phương trình : x2 + + xr+1 = n-r với x2 ≥ 1 , x3 ≥ 1, , xr ≥ r, xr+1 ≥ 1 Suy ra có C(n- r -1, r -1) cách lựa chọn Trường hợp 2 : Sự lựa chọn không có số 1 Ta có x1 ≥ 1 (có một biểu... tới M sẽ biến x1 số α đầu tiên ở trên thành β1 , x2 số α tiếp theo thành β 2 , , xm số α cuối cùng thành β m , trong đó x1 + x2 + xm = n và xk là số nguyên không âm , k = 0,1, ,m Vậy bất kỳ một tập hợp xk thỏa mãn những điều kiện trên đều xác định một hàm tăng từ N tới M Theo bài trên , kết quả cần tìm là C ( n+m-1,m-1) Bài toán 3.1.7 Cho trước λ1 , λ2 , , λm là các số nguyên không âm Tìm số nghiệm... cách xếp cho vật thứ n Vậy ta có quan hệ : f(n,m) = ( n – 1 + m) f(n-1,m) = (n + m – 1 )(n + m -2) m = [m]n Bài toán 3.1.2 Yêu cầu tương tự như bài 3.1.1 tuy nhiên thêm điều kiện m ≤ n và những trường hợp để trống không được phép Giải : Bây giờ mỗi hộp được đặt vào nó một vật đầu tiên ở phía bên trái Công việc này có thể làm theo A(n,m) cách Do đó kết quả cần tìm là : A(n,m).[m]n-m = n! m( m + 1)( ... khác Một cách tổng quát lí thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp, thỏa mãn số điều kiện Mỗi cách phân bố xếp gọi cấu hình tổ hợp • Cấu hình tổ hợp : Cho tập hợp A1, A2,…,An,... đề tổ hợp giải máy tính Từ chỗ nghiên cứu trò chơi, tổ hợp trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học, tin học… 1.2 Các toán tổ hợp Có thể nói toán tổ hợp. .. Bài toán tối ưu tổ hợp Trong nhiều vấn đề, cấu hình tổ hợp gán giá trị số (chẳng hạn hiệu sử dụng hay chi phí thực ) Khi toán tối ưu tổ hợp nghiên cứu thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị